Să ne uităm la modalități de a converti numerele dintr-un sistem numeric în altul.

a) Conversia unui număr binar în zecimal.

Este necesar să adăugați doi în puteri corespunzătoare pozițiilor în care cei doi stau în binar. De exemplu:

Să luăm numărul 20. În sistemul binar are următoarea formă: 10100.

Deci (numărăm de la stânga la dreapta, numărând de la 4 la 0; un număr până la puterea zero este întotdeauna egal cu unu)

10100 = 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 = 20

16+0+4+0+0 = 20.

b) Convertirea unui număr zecimal în binar.

Trebuie să o împărțiți la două, scriind restul de la dreapta la stânga:

20/2 = 10, restul 0

10/2=5, restul 0

5/2=2, restul 1

2/2=1, restul 0

1/2=0, restul 1

Ca rezultat, obținem: 10100 = 20

c) Conversia unui număr hexazecimal în zecimal.

În sistemul hexazecimal, numărul de poziție al unei cifre într-un număr corespunde puterii la care trebuie ridicat numărul 16:

8A = 8*16 + 10 (0A) = 138

În final, prezentăm algoritmul de conversie în și din sistemul binar, propus de L. Radyuk.

Fie A(cd) un număr zecimal întreg. Să o scriem ca o sumă de puteri de bază 2 cu coeficienți binari. În forma sa extinsă, nu vor exista puteri negative ale bazei (numerele 2):

A(td) = a(n-1) * 2^(n-1) + a(n-2) * 2^(n-2) + … + a(1) * 2^1 + a(0) * 2^0.

La primul pas, împărțim numărul A(tsd) la baza sistemului binar, adică la 2. Coeficientul împărțirii va fi egal cu:

a(n-1) * 2^(n-2) + a(n-2) * 2^(n-3) + … + a(1), iar restul este a(0).

La al doilea pas, împărțim din nou câtul întreg la 2, restul împărțirii va fi acum egal cu a(1).

Dacă continuăm acest proces de împărțire, atunci după al n-lea pas obținem secvența de reziduuri:

a(0), a(1),…, a(n-1).

Este ușor de observat că succesiunea lor coincide cu succesiunea inversă a cifrelor unui număr binar întreg scris în formă restrânsă:

A(2) = a(n-1)...a(1)a(0).

Astfel, este suficient să scrieți resturile în ordine inversă pentru a obține numărul binar dorit.

Apoi algoritmul în sine va fi după cum urmează:

1. Împărțiți în mod consecvent numărul zecimal întreg inițial și coeficientii întregi rezultați la baza sistemului (cu 2) până când obțineți un coeficient care este mai mic decât divizorul, adică mai mic decât 2.

2. Notați resturile rezultate în ordine inversă și adăugați ultimul coeficient la stânga.

Pentru a converti numerele din sistemele de numere octale și hexazecimale în binar, trebuie să convertiți cifrele numărului în grupuri de cifre binare. Pentru a converti de la sistemul octal la binar, fiecare cifră a numărului trebuie convertită într-un grup de trei cifre binare, o triadă, iar la conversia unui număr hexazecimal într-un grup de patru cifre, o tetradă.

CONCLUZIE

Rezumând rezultatele lucrării, putem trage următoarele concluzii.

Sistemul de numere poziționale constă în utilizarea unui număr limitat de cifre, dar poziția fiecărei cifre în număr oferă semnificația (greutatea) acestei cifre. Poziția unei cifre într-un număr se numește cifră în limbajul matematic.

Baza unui sistem de numere poziționale este numărul de semne sau simboluri (cifre) diferite utilizate pentru afișarea numerelor dintr-un sistem dat.

Pentru a face numerele binare, care sunt destul de lungi, mai ușor de perceput și afișat, ele sunt comprimate în sisteme de numere octale și hexazecimale.

În tehnologia informatică, toate tipurile de informații sunt codificate doar prin numere sau, mai exact, numere care sunt reprezentate în sistemul numeric binar, metodă de reprezentare a oricăror numere folosind două semne (cifre) conform principiului pozițional.

1. Numărarea ordinală în diverse sisteme numerice.

ÎN viata moderna folosim sisteme de numere poziționale, adică sisteme în care numărul notat cu o cifră depinde de poziția cifrei în notația numărului. Prin urmare, în viitor vom vorbi doar despre ele, omițând termenul „pozițional”.

Pentru a învăța cum să convertim numerele dintr-un sistem în altul, vom înțelege cum are loc înregistrarea secvențială a numerelor folosind exemplul sistemului zecimal.

Deoarece avem un sistem de numere zecimal, avem 10 simboluri (cifre) pentru a construi numere. Începem să numărăm: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Numerele s-au terminat. Creștem adâncimea de biți a numărului și resetam cifra cea mai puțin semnificativă: 10. Apoi creștem din nou cifra inferioară până când toate cifrele dispar: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Noi mărim cifra mare cu 1 și resetam cifra inferioară: 20. Când folosim toate cifrele pentru ambele cifre (obținem numărul 99), creștem din nou capacitatea de cifre a numărului și resetam cifrele existente: 100. Și așa pe.

Să încercăm să facem același lucru în sistemele 2, 3 și 5 (introducem notația pentru al 2-lea sistem, pentru al 3-lea etc.):

0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	10	3
4	100	11	4
5	101	12	10
6	110	20	11
7	111	21	12
8	1000	22	13
9	1001	100	14
10	1010	101	20
11	1011	102	21
12	1100	110	22
13	1101	111	23
14	1110	112	24
15	1111	120	30

Dacă sistemul numeric are o bază mai mare de 10, atunci va trebui să introducem caractere suplimentare se obișnuiește să introduceți litere din alfabetul latin. De exemplu, pentru sistemul cu 12 cifre, pe lângă zece cifre, avem nevoie de două litere ( și ):

0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10
11
12	10
13	11
14	12
15	13

2. Conversia din sistemul numeric zecimal în oricare altul.

Pentru a converti un număr zecimal întreg pozitiv într-un sistem numeric cu o bază diferită, trebuie să împărțiți acest număr la bază. Împărțiți din nou câtul rezultat la bază și mai departe până când câtul este mai mic decât baza. Ca urmare, notează pe un rând ultimul coeficient și toate resturile, începând de la ultimul.

Exemplul 1. Să convertim numărul zecimal 46 în sistemul numeric binar.

Exemplul 2. Să convertim numărul zecimal 672 în sistemul de numere octale.

Exemplul 3. Să convertim numărul zecimal 934 în sistemul numeric hexazecimal.

3. Conversie din orice sistem numeric în zecimal.

Pentru a învăța cum să convertiți numerele din orice alt sistem în zecimal, să analizăm notația obișnuită pentru un număr zecimal.
De exemplu, numărul zecimal 325 este de 5 unități, 2 zeci și 3 sute, adică.

Situația este exact aceeași în alte sisteme de numere, doar că vom înmulți nu cu 10, 100 etc., ci cu puterile bazei sistemului de numere. De exemplu, să luăm numărul 1201 în sistemul numeric ternar. Să numerotăm cifrele de la dreapta la stânga începând de la zero și să ne imaginăm numărul ca suma produselor unei cifre și trei la puterea cifrei numărului:

Asta este notație zecimală numărul nostru, adică

Exemplul 4. Să convertim numărul octal 511 în sistemul numeric zecimal.

Exemplul 5. Să convertim numărul hexazecimal 1151 în sistemul numeric zecimal.

4. Conversia de la sistemul binar la sistemul cu „puterea a doi” de bază (4, 8, 16 etc.).

Pentru a converti un număr binar într-un număr cu o putere de două baze, este necesar să împărțiți secvența binară în grupuri în funcție de numărul de cifre egal cu puterea de la dreapta la stânga și să înlocuiți fiecare grup cu cifra corespunzătoare a noii sistem de numere.

De exemplu, să convertim numărul binar 1100001111010110 în sistemul octal. Pentru a face acest lucru, îl vom împărți în grupuri de 3 caractere începând din dreapta (din ), apoi vom folosi tabelul de corespondență și vom înlocui fiecare grup cu un număr nou:

Am învățat cum să construim un tabel de corespondență la pasul 1.

0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7

Aceste.

Exemplul 6. Să convertim numărul binar 1100001111010110 în hexazecimal.

0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7
1000	8
1001	9
1010	O
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

5. Conversia dintr-un sistem cu „puterea a doi” de bază (4, 8, 16 etc.) în binar.

Această traducere este similară cu cea anterioară, făcută în sens invers: înlocuim fiecare cifră cu un grup de cifre în sistemul binar din tabelul de corespondență.

Exemplul 7. Să convertim numărul hexazecimal C3A6 în sistemul de numere binar.

Pentru a face acest lucru, înlocuiți fiecare cifră a numărului cu un grup de 4 cifre (din moment ce ) din tabelul de corespondență, completând grupul cu zerouri la început, dacă este necesar:

Reguli pentru conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

Deoarece același număr poate fi scris în sisteme numerice diferite (de exemplu, ), se pune problema traducerii reprezentării unui număr dintr-un sistem în altul. Regulile de traducere pentru numerele întregi și fracționale sunt diferite.

Pentru a converti numerele din orice sistem numeric în zecimal, puteți utiliza formula (1).

Exemplu. Convertiți numerele în sistem numeric zecimal

Soluţie:

Conversia numerelor întregi dintr-un sistem numeric în altul

1. Împărțiți un număr dat la noua bază, scrisă ca număr cu vechea bază, până când se obține un rest.

2. Coeficientul rezultat ar trebui din nou împărțit la o nouă bază, iar acest proces trebuie repetat până când coeficientul devine mai mic decât divizorul.

3. Resturile rezultate din împărțire și ultimul coeficient sunt scrise în ordine inversă celei obținute în timpul împărțirii.

Soluţie:

Conversia numerelor fracționale dintr-un sistem numeric în altul

Înmulțiți un număr dat cu o bază nouă, scrisă ca număr cu baza veche. Cu fiecare înmulțire întreaga parte produsul este luat ca următoarea cifră a cifrei corespunzătoare, iar partea fracțională rămasă este luată ca noul multiplicand. Numărul de înmulțiri determină adâncimea de biți a rezultatului rezultat.

Exemplu. Convertiți un număr în sisteme numerice binare, octale, hexazecimale.

Soluţie:

Soluție: Să convertim părțile întregi și fracționale ale numărului separat în sistemul numeric binar.

.

Combinând părțile întregi și fracționale, obținem

Deoarece sistemele de numere binare, octale și hexazecimale sunt legate între ele prin puteri de 2, conversiile între ele se pot face într-un mod mai simplu.

1. Pentru a converti dintr-un sistem de numere hexazecimal (octal) într-unul binar, este suficient să scrieți coduri cu cifre hexazecimale (octale) în tetrade (triade) folosind cod binar.

2. Traducerea inversă din codul binar se face în ordine inversă: Un număr binar este împărțit la stânga și la dreapta punctului zecimal în tetrade pentru înregistrarea ulterioară a cifrelor în reprezentare hexazecimală și în triade pentru înregistrarea valorilor lor în cifre octale.

3. Când treceți de la sistemul numeric octal la sistemul numeric hexazecimal și înapoi, se folosește un cod numeric binar auxiliar.

Exemplu. Convertiți numărul în sisteme numerice octale și hexazecimale.

Soluţie:

Exemplu. Convertiți numărul în sistemul numeric binar.

Soluţie:

Pentru a converti numerele dintr-un sistem numeric în altul, trebuie să aveți informații de bază despre sistemele numerice și forma de reprezentare a numerelor în acestea.

Cantitate s Numărul de cifre diferite utilizate într-un sistem numeric se numește baza sau baza sistemului numeric. În general, un număr pozitiv Xîntr-un sistem pozițional cu o bază s poate fi reprezentat ca polinom:

Unde s- baza sistemului de numere, - numere permise într-un sistem de numere dat. Secvența formează o parte întreagă X, iar șirul este partea fracționară X.

În calcul, cele mai utilizate sunt sistemele de numere codificate binar (BIN - binary) și binar: octal (OCT - octal), hexazecimal (HEX - hexazecimal) și zecimal codificat binar (BCD - binary coded decimal).

În viitor, pentru a indica sistemul de numere utilizat, numărul va fi cuprins între paranteze, iar baza sistemului va fi indicată în index. Număr X bazat pe s va fi indicat.

Sistem de numere binar

Baza sistemului numeric este numărul 2 ( s= 2) și se folosesc doar două cifre pentru a scrie numere: 0 și 1. Pentru a reprezenta orice cifră a unui număr binar, este suficient să existe un element fizic cu două stări stabile clar diferite, dintre care una reprezintă 1, iar cealaltă 0 .

Înainte de a începe conversia de la orice sistem de numere în binar, trebuie să studiați cu atenție un exemplu de scriere a unui număr în sistemul de numere binar:

Dacă nu trebuie să aprofundați teorie, ci trebuie doar să obțineți rezultatul, atunci utilizați Calculator online Conversia numerelor întregi din sistemul numeric zecimal în alte sisteme .

Sisteme de numere octale și hexazecimale

Aceste sisteme numerice sunt codificate binar, în care baza sistemului numeric este o putere întreagă de două: - pentru octal și - pentru hexazecimal.

În sistemul de numere octale ( s= 8) Se folosesc 8 cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Înainte de a începe conversia de la orice sistem numeric în sistem octal, trebuie să studiați cu atenție un exemplu de scriere a unui număr în sistemul octal:

În sistemul numeric hexazecimal ( s= 16) Sunt utilizate 16 cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Un exemplu de scriere a unui număr în hexazecimal:

Utilizarea pe scară largă a sistemelor de numere octale și hexazecimale se datorează a doi factori.

În primul rând, aceste sisteme vă permit să înlocuiți notația unui număr binar cu o reprezentare mai compactă (notația unui număr în sisteme octal și hexazecimal va fi de 3, respectiv de 4 ori mai scurtă decât notația binară a acestui număr). În al doilea rând, conversia reciprocă a numerelor între sistemul binar, pe de o parte, și sistemele octal și hexazecimal, pe de altă parte, este relativ simplă. Într-adevăr, deoarece pentru un număr octal fiecare cifră este reprezentată printr-un grup de trei cifre binare (triade), iar pentru un număr hexazecimal - printr-un grup de patru cifre binare (tetrade), atunci pentru a converti un număr binar este suficient să combinați cifrele sale în grupuri de 3 sau, respectiv, 4 cifre, deplasându-se de la virgulă la dreapta și la stânga. În acest caz, dacă este necesar, se adaugă zerouri la stânga părții întregi și/sau la dreapta părții fracționale și fiecare astfel de grup - triadă sau tetradă - este înlocuit cu o cifră octală sau hexazecimală echivalentă (vezi tabelul).

Dacă nu trebuie să aprofundați teorie, ci trebuie doar să obțineți rezultatul, atunci utilizați Calculator online Conversia numerelor întregi din sistemul numeric zecimal în alte sisteme .

Corespondența între cifre în diferite sisteme de numere

DEC	BIN	OCT	HEX	BCD
0	0000	0	0	0000
1	0001	1	1	0001
2	0010	2	2	0010
3	0011	3	3	0011
4	0100	4	4	0100
5	0101	5	5	0101
6	0110	6	6	0110
7	0111	7	7	0111
8	1000	10	8	1000
9	1001	11	9	1001
10	1010	12	O	0001 0000
11	1011	13	B	0001 0001
12	1100	14	C	0001 0010
13	1101	15	D	0001 0011
14	1110	16	E	0001 0100
15	1111	17	F	0001 0101

Pentru translația inversă, fiecare cifră OCT sau HEX este înlocuită, respectiv, cu o triadă sau tetradă de cifre binare, cu zerouri nesemnificative din stânga și din dreapta fiind eliminate.

Pentru exemplele discutate mai devreme, aceasta arată astfel:

Dacă nu trebuie să aprofundați teorie, ci trebuie doar să obțineți rezultatul, atunci utilizați Calculator online Conversia numerelor întregi din sistemul numeric zecimal în alte sisteme .

Sistem de numere binar zecimal

În sistemul zecimal binar, greutatea fiecărei cifre egal cu puterea 10, ca în sistemul zecimal, iar fiecare cifră zecimală este codificată cu patru cifre binare. Pentru a scrie un număr zecimal în sistemul BCD, este suficient să înlocuiți fiecare cifră zecimală cu o combinație binară echivalentă de patru cifre:

Orice număr zecimal poate fi reprezentat în notație BCD, dar rețineți că nu este echivalentul binar al numărului. Acest lucru poate fi văzut din următorul exemplu:

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

Lasă X- un număr într-un sistem numeric cu bază s, care trebuie reprezentat într-un sistem cu bază h. Este convenabil să distingem două cazuri.

În primul caz și, prin urmare, la trecerea la bază h puteți folosi aritmetica acestui sistem. Metoda conversiei constă în reprezentarea numărului ca polinom în puteri s, precum și în calculul acestui polinom conform regulilor de aritmetică ale sistemului de numere radix h. De exemplu, este convenabil să comutați de la sistemul numeric binar sau octal la sistemul numeric zecimal. Tehnica descrisă este ilustrată prin următoarele exemple:

.

.

În ambele cazuri, operațiile aritmetice sunt efectuate conform regulilor sistemului numeric de bază 10.

În al doilea caz () este mai convenabil să folosiți aritmetica radix s. Aici trebuie luat în considerare faptul că translația numerelor întregi și a fracțiilor proprii se realizează conform diverse reguli. La traducerea fracțiilor mixte, părțile întregi și fracționale sunt traduse fiecare după propriile reguli, după care numerele rezultate sunt scrise separate prin virgule.

Conversie intreg

Regulile pentru conversia numerelor întregi devin clare din formula generala scrierea unui număr într-un sistem pozițional arbitrar. Lăsați numărul în sistemul de numere original s arata ca . Trebuie să obțineți un număr scris într-un sistem numeric cu o bază h:

.

Pentru a găsi valorile, împărțiți acest polinom la h:

.

După cum puteți vedea, cifra cea mai puțin semnificativă, adică este egală cu primul rest. Următoarea cifră semnificativă este determinată prin împărțirea coeficientului la h:

.

Restul se calculează și prin împărțirea coeficientilor până la egal cu zero.

Pentru a converti un număr întreg din sistemul de numere s-ary în sistemul de numere h-ary, este necesar să se împartă succesiv acest număr și coeficientii rezultați la h (conform regulilor sistemului numeric cu baza h) până când câtul devine egal cu zero. Cea mai semnificativă cifră din notația unui număr cu baza h este ultimul rest, iar cifrele care îl urmează formează resturile din diviziunile anterioare, scrise în ordinea inversă a primirii lor.

Metode de conversie a numerelor dintr-un sistem numeric în altul.

Conversia numerelor dintr-un sistem de numere pozițional în altul: conversia numerelor întregi.

Pentru a converti un număr întreg dintr-un sistem numeric cu baza d1 în altul cu baza d2, trebuie să împărțiți secvențial acest număr și coeficientii rezultați la baza d2 a noului sistem până când obțineți un cât mai mic decât baza d2. Ultimul cât este cea mai mare cifră a numărului din sistem nou numerele cu baza d2, iar numerele care o urmează sunt resturi din împărțire, scrise în ordinea inversă a primirii lor. Operatii aritmetice efectua în sistemul numeric în care este scris numărul care se traduce.

Exemplul 1. Convertiți numărul 11(10) în sistemul numeric binar.

Răspuns: 11(10)=1011(2).

Exemplul 2. Convertiți numărul 122(10) în sistemul numeric octal.

Răspuns: 122(10)=172(8).

Exemplul 3. Convertiți numărul 500(10) în sistem numeric hexazecimal.

Răspuns: 500(10)=1F4(16).

Conversia numerelor dintr-un sistem de numere pozițional în altul: conversia fracțiilor proprii.

Pentru a converti o fracție adecvată dintr-un sistem numeric cu baza d1 într-un sistem cu baza d2, este necesar să se înmulțească secvențial fracția originală și părțile fracționale ale produselor rezultate cu baza noului sistem de numere d2. Fracția corectă a unui număr în noul sistem numeric cu baza d2 se formează sub formă de părți întregi ale produselor rezultate, începând de la primul.
Dacă traducerea are ca rezultat o fracție sub forma unei serii infinite sau divergente, procesul poate fi finalizat atunci când este atinsă precizia necesară.

Atunci când traduceți numere mixte, este necesar să traduceți separat părțile întregi și fracționale într-un nou sistem conform regulilor de traducere a numerelor întregi și fracțiilor proprii și apoi să combinați ambele rezultate într-un număr mixt în noul sistem de numere.

Exemplul 1. Convertiți numărul 0,625(10) în sistemul numeric binar.

Răspuns: 0,625(10)=0,101(2).

Exemplul 2. Convertiți numărul 0,6(10) în sistemul numeric octal.

Răspuns: 0,6(10)=0,463(8).

Exemplul 2. Convertiți numărul 0,7(10) în sistem numeric hexazecimal.

Răspuns: 0.7(10)=0.B333(16).

Convertiți numere binare, octale și hexazecimale în sistem numeric zecimal.

Pentru a converti un număr din sistemul P-ary într-unul zecimal, trebuie să utilizați următoarea formulă de expansiune:
anan-1…а1а0=аnPn+ аn-1Pn-1+…+ а1P+a0 .

Exemplu 1. Convertiți numărul 101.11(2) în sistemul numeric zecimal.

Răspuns: 101,11(2)= 5,75(10) .

Exemplul 2. Convertiți numărul 57.24(8) în sistemul numeric zecimal.

Răspuns: 57,24(8) = 47,3125(10) .

Exemplul 3. Convertiți numărul 7A,84(16) în sistemul numeric zecimal.

Răspuns: 7A.84(16)= 122,515625(10) .

Conversia numerelor octale și hexazecimale în sistemul de numere binar și invers.

Pentru a converti un număr din sistemul de numere octale în binar, fiecare cifră a acestui număr trebuie scrisă ca un număr binar de trei cifre (triada).

Exemplu: scrieți numărul 16.24(8) în sistemul numeric binar.

Răspuns: 16,24(8)= 1110,0101(2) .

Pentru a converti un număr binar înapoi în sistemul de numere octale, trebuie să împărțiți numărul original în triade la stânga și la dreapta punctului zecimal și să reprezentați fiecare grup cu o cifră în sistemul de numere octale. Triadele extreme incomplete sunt completate cu zerouri.

Exemplu: scrieți numărul 1110.0101(2) în sistemul de numere octale.

Răspuns: 1110.0101(2)= 16.24(8) .

Pentru a converti un număr din sistemul numeric hexazecimal în sistemul binar, trebuie să scrieți fiecare cifră a acestui număr ca un număr binar de patru cifre (tetradă).

Exemplu: scrieți numărul 7A,7E(16) în sistemul numeric binar.


Răspuns: 7A,7E(16)= 1111010.0111111(2) .

Notă: zerourile de început în stânga pentru numere întregi și în dreapta pentru fracții nu sunt scrise.

Pentru a converti un număr binar înapoi în sistemul numeric hexazecimal, trebuie să împărțiți numărul original în tetrade la stânga și la dreapta punctului zecimal și să reprezentați fiecare grup cu o cifră în sistemul numeric hexazecimal. Triadele extreme incomplete sunt completate cu zerouri.

Exemplu: scrieți numărul 1111010.0111111(2) în sistemul numeric hexazecimal.