Găsirea nodurilor și nodurilor de polinoame. Cel mai mare divizor comun al polinoamelor. polinoame relativ prime. Opțiuni de laborator

Fie date polinoame nenule f(x) și φ(x). Dacă restul împărțirii f(x) la φ(x) este egal cu zero, atunci polinomul φ(x) se numește divizor al polinomului f(x). Următoarea afirmație este valabilă: polinomul φ(x) va fi un divizor al polinomului f(x) dacă și numai dacă există un polinom ψ(x) care satisface egalitatea f(x)=φ(x)ψ(x) . Un polinom φ(x) se numește divizor comun al polinoamelor arbitrare f(x) și g(x) dacă este un divizor al fiecăruia dintre aceste polinoame. Conform proprietăților de divizibilitate, divizorii comuni ai polinoamelor f(x) și g(x) includ toate polinoamele de grad zero. Dacă aceste polinoame nu au alți divizori comuni, atunci se numesc coprim și se scriu (f(x), g(x))=1. În cazul general, polinoamele f(x) și g(x) pot avea divizori comuni în funcție de x.

Ca și în cazul numerelor întregi, conceptul de cel mai mare divizor comun al lor este introdus pentru polinoame. Cel mai mare divizor comun al polinoamelor diferite de zero f(x) și g(x) este divizorul lor comun d(x), care este divizibil cu orice divizor comun al acestor polinoame. Cel mai mare divizor comun al polinoamelor f(x) și g(x) este notat prin simboluri mcd, d(x), (f(x), g(x)). Rețineți că această definiție a GCD se aplică și numerelor întregi, deși o alta, cunoscută de toți studenții, este mai des folosită.

Această definiție ridică o serie de întrebări:

1. Există un mcd pentru polinoamele arbitrare nenule f(x) și g(x)?

2. Cum să găsiți GCD-ul polinoamelor f(x) și g(x)?

3. Câți cei mai mari divizori comuni au polinoamele f(x) și g(x)? Și cum să le găsesc?

Există o modalitate de a găsi GCD de numere întregi numită algoritm de diviziune secvențială sau algoritm euclidian. Se aplică și polinoamelor și este după cum urmează.

algoritmul lui Euclid. Să fie date polinoamele f(x) și g(x), gradul f(x)≥gradul g(x). Împărțiți f(x) la g(x), obținem restul r 1 (x). Împărțiți g(x) la r 1 (x), obținem restul r 2 (x). Împărțiți r 1 (x) la r 2 (x). Continuăm împărțirea în acest fel până când împărțirea este completă. Restul r k (x), prin care restul anterior r k -1 (x) este complet împărțit, va fi cel mai mare divizor comun al polinoamelor f(x) și g(x).

Să facem următoarea remarcă, care este utilă atunci când rezolvăm exemple. Aplicând algoritmul euclidian la polinoame pentru a găsi GCD, putem, pentru a evita coeficienții fracționali, să înmulțim dividendul sau să reducem divizorul cu orice număr diferit de zero, nu numai începând cu oricare dintre diviziunile succesive, ci și în timpul procesului de această diviziune în sine. Acest lucru va duce la o denaturare a coeficientului, dar resturile care ne interesează vor dobândi doar un anumit multiplicator al gradului zero, care, după cum știm, este permis atunci când se caută divizori.

Exemplul 1. Aflați mcd-ul polinoamelor f(x)=x 3 –x 2 –5x–3,
g(x)=x 2 +x–12. Împărțiți f(x) la g(x):

Primul rest al lui r 1 (x) după reducerea cu 9 va fi x–3. Împărțiți g(x) la r 1 (x):

.

Împărțirea era completă. Prin urmare, r 1 (x)=x–3 este GCD-ul polinoamelor x 3 –x 2 –5x–3 și x 2 +x–12.

Exemplul 2. Aflați mcd-ul polinoamelor f(x)=3x 3 +2x 2 –4x–1,
g(x)=5x 3 –3x 2 +2x–4. Înmulțiți f(x) cu 5 și împărțiți 5f(x) cu g(x):

Primul rest r 1 (x) va fi 19x 2 –26x+7. Împărțiți g(x) la primul rest, după înmulțirea g(x) cu 19:

Înmulțiți cu 19 și continuați să împărțiți:

Reducem până în 1955 și obținem al doilea rest r 2 (x) = x-1. Împărțiți r 1 (x) la r 2 (x):

.

Împărțirea este completă, prin urmare, r 2 (x) = x-1 este mcd-ul polinoamelor f(x) și g(x).

Exemplul 3. Aflați mcd-ul polinoamelor f(x)=3x 3 –x 2 +2x–4,
g(x)=x 3 –2x 2 +1.

. .

.

Răspuns:(f(x), g(x))=x–1.

Această metodă de găsire a GCD arată că, dacă polinoamele f(x) și g(x) au ambele coeficienți raționali sau reali, atunci coeficienții celui mai mare divizor comun al lor vor fi de asemenea raționali sau, în consecință, reali.

Polinoamele f(x), g(x) și d(x) sunt legate prin următoarea relație, care este adesea folosită în diverse întrebări și este descrisă de teoremă.

Dacă d(x) este cel mai mare divizor comun al polinoamelor f(x) și g(x), atunci putem găsi polinoamele u(x) și v(x) astfel încât f(x)u(x)+g( x)v (x)=d(x). În acest caz, putem presupune că dacă gradele polinoamelor f(x) și g(x) sunt mai mari decât zero, atunci gradul lui u(x) este mai mic decât gradul g(x), iar gradul al lui v(x) este mai mic decât gradul lui f(x).

Să arătăm prin exemplu cum să găsim polinoamele u(x) și v(x) pentru polinoamele date f(x) și g(x).

Exemplul 4. Aflați polinoamele u(x) și v(x) astfel încât f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), dacă

A) f(x)=x 4 -3x 3 +1, g(x)=x 3 -3x 2 +1;

B) f(x)=x 4 -x 3 +3x 2 -5x+2, g(x)=x 3 +x-2.

A. Gcd-ul polinoamelor f(x) și g(x) îl găsim folosind algoritmul euclidian, doar că acum în procesul de împărțire este imposibil să reducem și să înmulțim cu numere potrivite, așa cum am făcut în exemplele 1, 2, 3.

(1) (2)

Astfel, divizorul comun al polinoamelor f(x) și g(x) este –1.

După împărțirea efectuată scriem egalitățile:

f(x)=g(x)x+(–x+1) (1 *)

g(x)=(–x+1)(–x 2 +2x+2)–1. (2*)

Din egalitate (2 *) exprimăm d(x)= –1=g(x)–(–x+1)(–x 2 +2x+2). Din egalitatea (1 *) găsim –х+1=f(x)–g(x)х și înlocuim valoarea acesteia în egalitatea (2 *): d(x)= –1=g(x)–(f( x )–g(x)х)(–x 2 +2x+2).

Acum grupăm termenii din partea dreaptă în raport cu f(x) și g(x):

d(x)= –1=g(x)–f(x)(–x 2 +2x+2)+g(x)x(–x 2 +2x+2)=f(x)(x 2 – 2x–2)+g(x)(1–x 3 +2x 2 +2x)=f(x)(x 2 –2x–2)+g(x)(–x 3 +2x 2 +2x+1) .

Prin urmare, u(x)=x 2 –2x–2, v(x)= –x 3 +2x 2 +2x+1.

Cel mai mare divizor comun al polinoamelor f(x) și g(x) este polinomul 2x-2. O exprimăm folosind egalitățile (1) și (2):

Răspuns:

OPTIUNI DE LUCRARE LABORATOR

Opțiunea 1

1. Aflați mcd-ul polinoamelor:

a) x 4 –2x 3 –x 2 –4x–6, 2x 4 –5x 3 +8x 2 –10x+8.

b) (x–1) 3 (x+2) 2 (2x+3), (x–1) 4 (x+2)x.

f(x)=x 6 -4x 5 +11x 4 -27x 3 +37x 2 -35x+35,

g(x)=x 5 -3x 4 +7x 3 -20x 2 +10x-25.

Opțiunea 2

1. Aflați mcd-ul polinoamelor:

a) x 4 -3x 3 -3x 2 +11x-6, x 4 –5x 3 +6x 2 +x-3.

b) (2x+3) 3 (x-2) 2 (x+1) și derivata ei.

2. Aflați polinoamele u(x) și v(x) astfel încât f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), dacă

f(x)=3x 7 +6x 6 -3x 5 +4x 4 +14x 3 -6x 2 -4x+4, g(x)=3x 6 -3x 4 +7x 3 -6x+2.

Opțiunea 3

1. Aflați mcd-ul polinoamelor:

a) 2x 4 +x 3 +4x 2 -4x-3, 4x 4 -6x 3 -4x 2 +2x+1.

b) (x+1) 2 (2x+4) 3 (x+5) 5, (x-2) 2 (x+2) 4 (x-1).

2. Aflați polinoamele u(x) și v(x) astfel încât f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), dacă

f(x)=3x 3 -2x 2 +2x+2, g(x)=x 2 -x+1.

Opțiunea 4

1. Aflați mcd-ul polinoamelor:

a) 3x 4 -8 3 +7x 2 -5x+2, 3x 4 -2x 3 -3x 2 +17x-10.

b) (x+7) 2 (x-3) 3 (2x+1) și derivata ei.

2. Aflați polinoamele u(x) și v(x) astfel încât f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), dacă

f(x)=x 4 -x 3 -4x 2 +4x+1, g(x)=x 2 -x-1.

Opțiunea 5

1. Aflați mcd-ul polinoamelor:

a) 2x 4 -3x 3 -x 2 +3x-1, x 4 +x 3 -x-1.

b) x 4 (x-1) 2 (x+1) 3, x 3 (x-1) 3 (x+3).

2. Aflați polinoamele u(x) și v(x) astfel încât f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), dacă

f(x)=3x 5 +5x 4 -16x 3 -6x 2 -5x-6, g(x)=3x 4 -4x 3 -x 2 -x-2.

Opțiunea 6

1. Aflați mcd-ul polinoamelor:

a) x 4 -2x 3 +4x 2 -2x+3, x 4 +5x 3 +8x 2 +5x+7.

b) x 3 (x+1) 2 (x-1) și derivata ei.

2. Aflați polinoamele u(x) și v(x) astfel încât f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), dacă

f(x)=x 5 -5x 4 -2x 3 +12x 2 -2x+12, g(x)=x 3 -5x 2 -3x+17.

Opțiunea 7

1. Aflați mcd-ul polinoamelor:

a) x 4 +3x 3 -3x 2 +3x-4, x 4 +5x 3 +5x 2 +5x+4.

b) (2x+1)(x-8)(x+1), (x 3 +1)(x-1) 2 x 3.

2. Aflați polinoamele u(x) și v(x) astfel încât f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), dacă

f(x)=4x 4 -2x 3 -16x 2 +5x+9, g(x)=2x 3 -x 2 -5x+4.

Opțiunea 8

1. Aflați mcd-ul polinoamelor:

a) x 4 -3x 3 -2x 2 +4x+6, 2x 4 -6x 3 +2x 2 -7x+3.

b) (x 3 -1)(x 2 -1)(x 2 +1), (x 3 +1)(x-1)(x 2 +2).

2. Aflați polinoamele u(x) și v(x) astfel încât f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), dacă

f(x)=2x 4 +3x 3 -3x 2 –5x+2, g(x)=2x 3 +x 2 -x-1.

Opțiunea 9

1. Aflați mcd-ul polinoamelor:

a) 2x 4 +x 3 -5x 2 +3x+2, 3x 4 +8x 3 +3x 2 -3x-2.

b) (x 3 +1)(x+1) 2 (2x+3) și derivata ei.

2. Aflați polinoamele u(x) și v(x) astfel încât f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), dacă

f(x)=3x 4 -5x 3 +4x 2 –2x+1, g(x)=3x 3 -2x 2 +x-1.

Opțiunea 10

1. Aflați mcd-ul polinoamelor:

a) x 4 -5x 3 +7x 2 -3x+2, 2x 4 -x 3 -7x 2 +3x-2.

b) (x+1)(x 2 -1)(x 3 +1), (x 3 -1)(x 2 +x)x.

2. Aflați polinoamele u(x) și v(x) astfel încât f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), dacă

f(x)=x 5 +5x 4 +9x 3 +7x 2 +5x+3, g(x)=x 4 +2x 3 +2x 2 +x+1.

2015-2020 lektsii.org -

Utilizarea ecuațiilor este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcție de structuri și chiar sport. Omul a folosit ecuații în antichitate, iar de atunci utilizarea lor a crescut. Un polinom este o sumă algebrică a produselor numerelor, variabilelor și puterilor acestora.

Conversia polinoamelor implică de obicei două tipuri de probleme. Expresia trebuie fie simplificată, fie factorizată, de exemplu. reprezentați-l ca produsul a două sau mai multe polinoame sau a unui monom și a unui polinom.

Pentru a simplifica polinomul, dați termeni similari. Exemplu. Simplificați expresia \ Găsiți monomii cu aceeași parte de literă. Îndoiți-le. Notați expresia rezultată: \ Ați simplificat polinomul. Pentru problemele care necesită factorizarea unui polinom, determinați factorul comun expresie dată

.

Pentru a face acest lucru, mai întâi eliminați din paranteze acele variabile care sunt incluse în toți membrii expresiei. Mai mult, aceste variabile ar trebui să aibă cel mai scăzut indicator. Apoi calculați cel mai mare divizor comun al fiecăruia dintre coeficienții polinomului. Modulul numărului rezultat va fi coeficientul multiplicatorului comun.

Exemplu. Factorizați polinomul \ Scoateți-l din paranteze \ deoarece variabila m este inclusă în fiecare termen al acestei expresii și cel mai mic exponent al acesteia este doi. Calculați factorul multiplicator comun. Este egal cu cinci. Astfel, factorul comun al acestei expresii este \ Prin urmare: \

Unde pot rezolva o ecuație polinomială online?

Puteți rezolva ecuația pe site-ul nostru https://site. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați ecuații online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți pur și simplu datele dvs. în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiuni video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă mai aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Alătură-te grupului nostru, suntem mereu bucuroși să te ajutăm.

1. Algoritm euclidian

Rețineți că orice număr care nu este egal cu zero este un divizor comun al oricăror două polinoame. Prin urmare, orice număr care nu este egal cu zero se numește divizor comun trivial al acestor polinoame.

Algoritmul euclidian propune o succesiune de acțiuni care fie duce la găsirea mcd-ului a două polinoame date, fie arată că un astfel de divizor sub forma unui polinom de gradul întâi sau superior nu există.

Algoritmul Euclid este implementat ca o succesiune de diviziuni. În prima diviziune, polinomul gradului mai mare este tratat ca dividend, iar cel mai mic - ca divizor. Dacă polinoamele pentru care se găsește GCD au aceleași grade, atunci dividendul și divizorul sunt alese în mod arbitrar.

Dacă, în timpul următoarei împărțiri, polinomul din rest are un grad mai mare sau egal cu 1, atunci divizorul devine dividend, iar restul devine divizor.

Dacă următoarea împărțire a polinoamelor are ca rezultat un rest, egal cu zero, atunci se găsește mcd-ul acestor polinoame. Este divizorul ultimei diviziuni.

Dacă, în timpul următoarei împărțiri a polinoamelor, restul se dovedește a fi un număr diferit de zero, atunci pentru aceste polinoame nu există alte mcd-uri decât cele triviale.

Exemplul nr. 1

Reduceți o fracție.

2. Posibilitati de simplificare a calculelor GCD în algoritmul euclidian

La înmulțirea dividendului cu un număr diferit de zero, câtul și restul se înmulțesc cu același număr.

Dovada

Fie P dividendul, F divizorul, Q coeficientul, R restul. Apoi,

Înmulțind această identitate cu numărul 0, obținem

unde polinomul P poate fi considerat dividend, iar polinoamele Q și R ca cât și restul obținute prin împărțirea polinomului P la polinomul F. Astfel, la înmulțirea dividendului cu numărul 0, câtul și restul sunt de asemenea înmulțit cu, h.t

Consecinţă

Înmulțirea divizorului cu numărul 0 poate fi considerată ca înmulțirea dividendului cu numărul.

Prin urmare, atunci când un divizor este înmulțit cu un număr, 0 este câtul, iar restul este înmulțit cu.

Exemplul nr. 2

Aflați câtul Q și restul R la împărțirea polinoamelor

algoritm polinom de diviziune euclidian

Pentru a merge la coeficienți întregi în dividend și divizor, înmulțim dividendul cu 6, ceea ce va duce la înmulțirea coeficientului dorit Q și a restului R cu 6. După aceea, înmulțim divizorul cu 5, ceea ce va duce la înmulțirea coeficientului 6Q și a restului 6R cu. Ca urmare, câtul și restul obținut prin împărțirea polinoamelor cu coeficienți întregi vor diferi cu un factor de câteva ori de valorile dorite ale coeficientului Q și restul R obținute prin împărțirea acestor polinoame.

Prin urmare, ;

Rețineți că dacă se găsește cel mai mare divizor comun al acestor polinoame, atunci înmulțindu-l cu orice număr care nu este egal cu zero, obținem și cel mai mare divizor aceste polinoame. Această împrejurare face posibilă simplificarea calculelor în algoritmul euclidian. Și anume, înainte de următoarea împărțire, dividendul sau divizorul poate fi înmulțit cu numere selectate în mod special, astfel încât coeficientul primului termen din coeficient să fie un număr întreg. După cum se arată mai sus, înmulțirea dividendului și a divizorului va duce la o modificare corespunzătoare a restului parțial, dar astfel încât, ca rezultat, GCD-ul acestor polinoame va fi înmulțit cu un număr egal cu zero, ceea ce este acceptabil.

INFORMAȚII DE BAZĂ DIN TEORIE

Definiție 4.1.

Polinomul j(x) din P[x] se numește divizor comun polinoamele g(x) și f(x) din P[x] dacă f(x) și g(x) sunt divizibile cu j(x) fără rest.

Exemplul 4.1. Având în vedere două polinoame: (x) g(x)= x 4 − 3x 3 − 4x 2 + 2x + 2 О R[x]. Factorii comuni ai acestor polinoame sunt: j 1 (x) = x 3 − 4x 2 + 2 = О R[x], j 2 (x) =(x 2 − 2x − 2) О R[x], j 3 (x) =(x − 1) О R[x], j 4 (x) = 1 О R[x]. (Verifica!)

Definiție 4.2.

Cel mai mare divizor comunpolinoamele nenule f(x) și g(x) din P[x] este un polinom d(x) din P[x] care este divizorul lor comun și este el însuși divizibil cu orice alt divizor comun al acestor polinoame.

Exemplul 4.2. Pentru polinoamele din Exemplul 4.1. f(x)= x 4 − 4x 3 + 3x 2 + 2x − 6 О R[x], g(x)= x 4 − 3x 3 − 4x 2 + 2x + 2 О R[x] cel mai mare divizor comun este polinomul d(x) = j 1 (x) = x 3 − 4x 2 + 2 О R[x], deoarece acesta este un polinom d(x) este împărțit la toți ceilalți divizori comuni ai lor j 2 (x), j 3 (x),j4(x).

Cel mai mare divizor comun (MCD) este indicat prin simbolul:

d(x) = (f(x), g(x)).

Există cel mai mare divizor comun pentru oricare două polinoame f(x),g(x) О P[x] (g(x) nr. 0). Existența lui determină Algoritmul euclidian care este după cum urmează.

Ne împărțim f(x) pe g(x). Restul și câtul obținut prin împărțire se notează cu r 1 (x)Şi q 1 (x). Atunci dacă r 1 (x)¹ 0, împărțire g(x) pe r 1 (x), primim restul r2(x)și privat q2(x) etc. Gradele reziduurilor rezultate r 1 (x), r 2 (x),... va scadea. Dar succesiunea numerelor întregi numere nenegative este limitată de jos de numărul 0. În consecință, procesul de împărțire va fi finit și vom ajunge la restul r k (x),în care restul anterior va fi împărțit complet r k – 1 (x).Întregul proces de divizare poate fi scris după cum urmează:

f(x)= g(x) × q 1 (x) + r 1 (x), deg r 1 (x)< deg g(x);

g(x)= r 1 (x)× q 2 (x) + r 2 (x), deg r2(x) < deg r1(x);

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

r k – 2 (x)= r k – 1 (x)× qk(x) + r k (x), deg r k (x)< deg r k – 1 (x);

r k – 1 (x) = r k (x) × q k +1 (x).(*)

Să demonstrăm asta r k (x) va fi cel mai mare divizor comun al polinoamelor f(x)Şi g(x).

1) Să arătăm asta r k (x) este divizor comun polinoame de date.

Să ne întoarcem la penultima egalitate:

r k –-2 (x)= r k –-1 (x)× qk(x) + r k (x), sau r k –-2 (x)= r k (x) × q k +1 (x) × qk(x) + r k (x).

Partea sa dreaptă este împărțită în r k (x). Prin urmare, partea stângă este, de asemenea, divizibilă cu r k (x), aceste. r k –-2 (x)împărțit la r k (x).

r k –- 3 (x)= r k –- 2 (x)× q k – 1 (x) + r k –- 1 (x).

Aici r k –- 1 (x)Şi r k –- 2 (x) sunt împărțite în r k (x), rezultă că suma din partea dreaptă a egalității este divizibilă cu r k (x). Aceasta înseamnă că partea stângă a egalității este, de asemenea, divizibilă cu r k (x), aceste. r k –- 3 (x)împărțit la r k (x). Deplasându-se astfel succesiv în sus, obținem că polinoamele f(x)Şi g(x) sunt împărțite în r k (x). Astfel, am arătat că r k (x) este divizor comun date polinomiale (definiția 4.1.).

2) Să arătăm asta r k (x)împărțit la oricare alta divizor comun j(x) polinoame f(x)Şi g(x), adică cel mai mare divizor comun aceste polinoame .

Să trecem la prima egalitate: f(x)=g(x) × q 1 (x) + r 1 (x).

Lasă d(x)– un divizor comun f(x)Şi g(x). Apoi, în funcție de proprietățile de divizibilitate, diferența f(x)–g(x) × q 1 (x) de asemenea împărțit în d(x), adică partea stângă a egalității f(x)–g(x) × q 1 (x)= r 1 (x)împărțit la d(x). Apoi r 1 (x) va fi împărțit la d(x). Continuând raționamentul în mod similar, coborând succesiv prin egalități, obținem că r k (x)împărțit la d(x). Apoi, conform definiție 4.2.r k (x) va fi cel mai mare divizor comun polinoame f(x)Şi g(x): d(x) = (f(x), g(x)) = r k (x).

Cel mai mare divizor comun al polinoamelor f(x)Şi g(x) este unică până la un factor - un polinom de grad zero sau, s-ar putea spune, până la asociere(definiția 2.2.).

Astfel, am demonstrat teorema:

Teorema 4.1. /Algoritm euclidian/.

Dacă pentru polinoame f(x),g(x) О P[x] (g(x)¹ 0) sistemul de egalități și inegalități este corect(*), atunci ultimul rest diferit de zero va fi cel mai mare divizor comun al acestor polinoame.

Exemplul 4.3. Aflați cel mai mare divizor comun al polinoamelor

f(x)= x 4 + x 3 +2x 2 + x + 1 și g(x)= x 3 –2x 2 + x –2.

Soluţie.

1 pas.

x 4 + x 3 +2x 2 + x + 1	x 3 –2x 2 + x –2		x 3 –2x 2 + x –2	7x 2 + 7
–(x 4 –2x 3 + x 2 – 2x)	x+3 = q 1 (x)	–(x 3 + x)	1/7x.–2/7 = q 2 (x)
3x 3 + x 2 + 3x + 1 – ( 3x 3 –6x 2 + 3x –6)		–2x 2 –2 –( –2x 2 –2)
7x 2 + 7 = r 1 (x)		0 = r 2 (x)

Să scriem etapele de împărțire sub forma unui sistem de egalități și inegalități, ca în (*) :

f(x)= g(x) × q 1 (x) + r 1 (x), deg r 1 (x)< deg g(x);

g(x)= r 1 (x)× q2(x).

Conform Teorema 4.1./Algoritm euclidian/ ultimul rest diferit de zero r 1 (x) = 7x 2 + 7 va fi cel mai mare divizor comun d(x) aceste polinoame :

(f(x), g(x)) = 7x 2 + 7.

Deoarece divizibilitatea într-un inel polinomial este definită până la asociere ( Proprietatea 2.11.) , atunci ca GCD putem lua nu 7x 2 + 7, dar ( 7x 2 + 7) = x 2 + 1.

Definiție 4.3.

Se va numi cel mai mare divizor comun cu coeficientul conducător 1 cel mai mare comun divizor normalizat.

Exemplul 4.4. În exemplul 4.2. a fost găsit cel mai mare divizor comun d(x) = (f(x), g(x)) = 7x 2 + 7 polinoame f(x)= x 4 + x 3 +2x 2 + x + 1 și g(x)= x 3 –2x 2 + x –2. Înlocuindu-l cu polinomul asociat d1(x)= x 2 + 1, obținem cel mai mare divizor comun normalizat al acestor polinoame( f(x), g(x)) = x 2 + 1.

Comentariu. Folosind algoritmul euclidian pentru a găsi cel mai mare divizor comun a două polinoame, putem trage următoarea concluzie. Cel mai mare divizor comun al polinoamelor f(x)Şi g(x) nu depinde dacă luăm în considerare f(x)Şi g(x) peste câmp P sau peste extinderea acestuia P'.

Definiție 4.4.

Cel mai mare divizor comunpolinoame f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x),... f n (x) Î P[x] se numește un astfel de polinom d(x)Î P[x], care este divizorul lor comun și este el însuși divizibil cu orice alt divizor comun al acestor polinoame.

Deoarece algoritmul lui Euclidean este potrivit doar pentru găsirea celui mai mare divizor comun a două polinoame, pentru a găsi cel mai mare divizor comun al n polinoame, trebuie să demonstrăm următoarea teoremă.