Ce oscilații se numesc neliniare. Hayashi T. Oscilații neliniare în sistemele fizice. Ideologia teoriei proceselor neliniare

Pechenkin A.A. Paradigma și ideologia: experiența reconstrucției filozofice a istoriei teoriei oscilațiilor neliniare // Filosofia științei. Vol. 7: Formarea unei paradigme moderne de științe naturale - M.: , 2001

A.A.Pechenkin

Paradigma și ideologia: experiența reconstrucției filozofice a istoriei teoriei

oscilații neliniare*

Observații preliminare

Pentru a arăta conceptele introduse „la lucru”, să luăm în considerare o serie de fragmente din istoria teoriei oscilațiilor neliniare. Folosim termenul „teoria oscilațiilor neliniare” în sensul sociologic kuhnian. Acesta nu este doar un sistem deductiv (sau o încercare de a formula unul), ci un fenomen social - idei dezvoltate la sfârșitul anilor 20. al XX-lea și în anii 30. comunitatea de oameni de știință, numită de obicei școala lui L.I. Mandelstam. Teoria oscilațiilor neliniare considerată în acest fel a înlocuit teoria neliniară a oscilațiilor electrice a fizicianului și inginerului radio olandez B. Van der Pol, la care a lucrat deja la începutul anilor 20. În 1927, L.I Mandelstam a stabilit o sarcină pentru studentul său absolvent, A.A. În același timp, L.I Mandelstam nu numai că a inițiat crearea teoriei oscilațiilor neliniare, dar împreună cu prietenul și coautorul său N.D. Papaleksi a contribuit la dezvoltarea acestei teorii. La această dezvoltare au luat parte și alți studenți ai L.I Mandelstam, angajați ai lui N.D. Papaleksi, studenți și angajați ai A.A. Andronov, care, s-au mutat de la Moscova la Gorki (acum Nijni Novgorod) în 1931, și-a fondat propria școală. considerată ca o ramură a şcolii lui Mandelstam.

Teoria oscilațiilor neliniare nu a fost imediat recunoscută în străinătate. Recunoașterea sa deplină a venit deja în anii postbelici, când N. Minorsky și-a scris cartea, în care a prezentat principalele rezultate ale școlii lui L.I. Mandelstam. În 1949, a fost publicată o traducere în limba engleză a cărții „Teoria oscilațiilor” de A.A. Witt și S.E. Khaikin, publicată în URSS în 1937 (de vreme ce Witt a fost arestat, numele său a fost eliminat din titlul cărții). , o carte care prezintă principalul conținut și programul teoriei oscilațiilor neliniare (așa spune, în orice caz, Mandelstam în prefața acestei cărți). În 1966, a fost publicată o traducere în limba engleză a celei de-a doua ediții a acestei cărți (1959), pregătită de studentul lui Andronov, N.A. Zheleztsov. Ulterior, se lucrează la teoria oscilațiilor neliniare dizolvată în fluxul general de publicații despre dinamica neliniară.

Acest articol intenționează să arate că nu numai paradigma, ci și ideologia au ghidat formarea și dezvoltarea teoriei oscilațiilor neliniare, iar ideologia a fost cea care a condus la concepte non-triviale care s-au dovedit a fi în anii '70. în domeniul intereselor sinergeticii – teoria auto-organizării. În paragraful următor

Vom vorbi despre paradigma în care s-a format teoria oscilațiilor neliniare. În al treilea paragraf ne vom uita la această paradigmă „în acțiune”, adică. Să discutăm o serie de realizări în teoria oscilațiilor neliniare (30s), obținute pe calea a ceea ce T. Kuhn a numit „rezolvarea puzzle-urilor”. În al patrulea paragraf va fi descrisă ideologia oscilațiilor neliniare și se va urmări modul în care „a funcționat” dincolo de granițele problemelor care au fost rezolvate în cadrul paradigmei.

Paradigma teoriei oscilațiilor neliniare

După cum sa menționat mai sus, teoria oscilațiilor neliniare a înlocuit teoria neliniară a oscilațiilor electrice a lui van der Pol. Acesta din urmă, la rândul său, este legat genetic de dezvoltarea teoriei unui dispozitiv radio-tehnic - un generator de tuburi. În acest dispozitiv, care, ca orice dispozitiv real, funcționează cu „frecare” (adică, fiind un sistem neconservator), apar oscilații neamortizate. Desigur, asta înseamnă că sistemul conține o sursă de energie (sau energia intră în sistem din exterior). Cu toate acestea, nu vorbim de oscilații forțate. Generatorul de tub în sine generează oscilații neamortizate. Este un sistem autonom (ecuațiile diferențiale ale unor astfel de sisteme nu conțin în mod explicit timp), adică. sistem cu o sursă de energie neperiodică. Oscilațiile continue apar datorită designului special al oscilatorului cu tub, care include, pe lângă circuitul oscilator, un amplificator (tub electronic) conectat la circuitul oscilator prin feedback.

Lăsând deschisă problema paradigmei teoriei lui van der Pol, vom descrie paradigma care a apărut în lucrările lui Mandelstam, Andronov și colaboratorii lor la sfârșitul anilor 20. Vom urmări „elementele matricei disciplinare” enumerate de Kuhn în Suplimentul din 1969. la cartea sa „Structura revoluțiilor științifice”.

Ca prim element, Kuhn indică „generalizări simbolice” - formule matematice care exprimă legi științifice universale. În fizica modernă, acestea sunt în principal ecuații diferențiale. „Generalizările simbolice” trebuie să fie suficient de încăpătoare, astfel încât formularea sarcinilor specifice să se realizeze prin „descifrarea” acestor „generalizări”.

Van der Pol a lucrat în mare parte din ecuația care îi poartă acum numele, care descrie principiul de funcționare al unui oscilator cu tub simplu:

d 2 x/dt 2 –μ(1–2x 2)dx/dt+x=0 (1)

Aici x– coordonate generalizate (în cazul unui generator de tuburi – puterea curentului), t este timpul, iar elementul neliniar este 2x 2 dx/dt exprimă funcționarea unui amplificator (tub de electroni).

În lucrările lui Andronov și ale altor reprezentanți ai școlii lui Mandelstam, o ecuație diferențială devine o „generalizare simbolică”, în raport cu care ecuația van der Pol este un caz special. Aceasta este următoarea ecuație:

d 2 x/dt 2 +2δdx/dt+ω 2 x=f(x,dx/dt) (2)

Unde x și t, ca și înainte, coordonatele generalizate și timpul, δ este coeficientul de amortizare, ω este frecvența naturală, adică. frecvența ciclică a procesului care ar avea loc în absența frecării și a forței externe, f(x, dx/dt) – o funcție neliniară care descrie acțiunea unei surse de energie inclusă într-un sistem de control care asigură oscilații continue. Ecuația (2) poate fi scrisă de fiecare dată în felul său pentru diferite probleme neliniare de inginerie radio și mecanică - pentru a descrie un generator de tuburi, un ceas, un pendul de frecare (așa-numitul pendul Froud, care este un pendul obișnuit montat cu frecare pe un arbore care se rotește cu viteză constantă) etc.

Pe locul al doilea după „generalizări simbolice” pentru Kuhn sunt „prescripții general acceptate” precum „căldura reprezintă energia cinetică a părților care alcătuiesc corpul”. Pentru Mandelstam, Andronov, colaboratorii și studenții lor, o astfel de instrucțiune a fost în primul rând următoarea: „a construi un portret de fază al sistemului oscilator - traiectoria acestuia pe planul de fază (unde axele de coordonate sunt x, dx/dt).” Ecuația (2), în general, nu poate fi integrată și nu poate fi rezolvată în funcții elementare. Van der Pol, rezolvând ecuația (1), a folosit metoda aproximativă pe care a inventat-o ​​- metoda variației lente a amplitudinii (μ a fost interpretat de el ca un parametru mic). Construcția unui portret de fază poate fi considerată și integrare. Deoarece portretul de fază se supune legilor stricte ale teoriei ecuațiilor diferențiale, construirea unui portret de fază oferă o soluție exactă pentru ecuația diferențială. Deoarece portretul de fază în sine nu conține informații cantitative despre amplitudinea, faza și frecvența oscilațiilor, această soluție este calitativă. Prin urmare, termenul popular în cercul lui Andronov este „integrare calitativă”.

Van der Pol s-a apropiat de problema construirii unui portret de fază în 1926. Folosind metoda izoclinului, el a conturat contururile a ceea ce a fost numit mai târziu portretul de fază al ecuației (1). Dar „portretul său de fază” nu a făcut obiectul teoriei calitative a ecuațiilor diferențiale formulată de A. Poincaré în ultimele decenii ale secolului al XIX-lea. Era mai degrabă o imagine, o ilustrare grafică.

Portretele de fază ale ecuațiilor (1) și (2) au fost construite de Andronov în lucrările sale din 1928–1929, care au devenit baza tezei sale de doctorat. Andronov a arătat că oscilațiile neamortizate care apar într-un oscilator cu tub, ceas etc. (el le-a numit auto-oscilații), sunt reprezentate pe planul de fază sub formă de cicluri limită Poincaré - curbe închise de care se apropie asimptotic toate curbele din apropiere. Un ciclu limită înconjoară un punct singular, simbolizând o stare de echilibru. În lucrările ulterioare, Andronov a examinat procesele tranzitorii - cazuri de excitație „dure” și „moale” a oscilațiilor într-un generator de tuburi - și a găsit imaginile lor geometrice în planul de fază.

„Integrarea calitativă” presupune analiza stabilității oscilațiilor. Andronov a arătat că auto-oscilațiile corespund unor cicluri limită Poincaré stabile. În acest caz, două tipuri de stabilitate se dovedesc a fi semnificative: stabilitatea Lyapunov și stabilitatea structurală (rugozitatea) sistemului oscilator. Stabilitatea Lyapunov înseamnă stabilitate în raport cu mici modificări ale condițiilor inițiale. Termenul „rugozitatea unui sistem dinamic” a fost introdus de Andronov deja în primele sale lucrări despre ciclurile limită. Cu toate acestea, formularea corectă a acestui concept a fost realizată de el împreună cu L.S Pontryagin în 1937. Un sistem este numit brut, al cărui portret de fază este stabil în raport cu micile modificări ale ecuației diferențiale care descrie acest sistem. Pentru a formula „rugozitatea” mai precis, ecuația (2) trebuie rescrisă după cum urmează:

d 2 x/dt 2 +ω 2 x=f(x,dx/dt) (3)

unde funcția neliniară f(x, dx/dt) reprezintă nu numai o sursă neperiodică de energie, ci și un factor de amortizare (există un motiv pentru aceasta, deoarece frecarea poate fi neliniară). O mișcare brută va fi una care este stabilă în raport cu modificările mici din partea dreaptă a ecuației (3).

Ghidat de teoria stabilității dezvoltată de A.M Lyapunov la începutul secolului al XX-lea, Andronov, împreună cu A.A Witt, au arătat că, având în vedere rugozitatea sistemului, exponenții caracteristici ai lui Lyapunov pot fi utilizați pentru a judeca stabilitatea ciclului limită. , prin urmare, prezența auto-oscilațiilor.

reglare automată. Andronov a scris că în acești ani a rezolvat problema stabilității mișcărilor, care i-a fost pusă de Mandelstam în 1927.

Folosind metoda de potrivire, portretul de fază este căutat prin alcătuirea unei soluții la o ecuație neliniară de tip (2) de la bucăți de soluții la ecuații liniare care aproximează secțiuni individuale ale acestei soluții și „coasere împreună” soluții liniare pe baza cerinței de continuitatea soluției la ecuația neliniară. În acest caz, constanta de integrare a soluției liniare corespunzătoare piesei liniare ulterioare se găsește prin „potrivirea” acestei secțiuni la cea anterioară: valorile inițiale care caracterizează această secțiune trebuie să coincidă cu valorile finale care caracterizează secțiunea anterioară. .

Schița portretului de fază pe care o dă metoda de potrivire depinde puternic de valorile inițiale la care s-a obținut soluția primei ecuații liniare, într-un cuvânt, de condițiile în care a început „potrivirea”. Folosind metoda de cartografiere a punctelor, acest dezavantaj poate fi parțial depășit: intervalul de valori inițiale posibile poate fi luat în considerare. Într-un fel sau altul, metoda de potrivire permite să se judece natura portretului de fază a problemei care se rezolvă și să se evalueze caracteristicile cantitative ale acestui portret. Se pare că deschide ușa către spațiul fazelor, fiind în care trebuie deja să se deplaseze după alte legi - nu după legile observațiilor și regulilor empirice, ci după legile unei teorii matematice stricte - teoria calitativă a diferențiale. ecuații.

O altă metodă aproximativă a fost menționată mai sus - metoda variației lente a amplitudinii, dezvoltată de van der Pol. Această metodă a fost folosită și pentru considerente euristice referitoare la portretul de fază. În 1930, Andronov și Witt, folosind metoda variației lente a amplitudinii, au examinat fenomenul de „captură” care are loc într-un sistem neautonom (spre deosebire de ecuațiile (1) și (2), care descriu sisteme autonome, în ecuațiile pentru sistemele neautonome există un termen care ține cont de forța externă periodică)*. În același timp, au primit o imagine a acestui lucru

* Pentru sistemele neautonome sunt tipice „bătăile”, oscilații caracterizate prin două frecvențe (frecvența ω - vezi ecuația (2) și frecvența forței externe). „Captura” se numește sincronizare forțată: prin modificarea frecvenței forței externe, observăm că la o anumită valoare a acestui parametru apar oscilații omogene cu această frecvență.

fenomene în spațiul fazelor, adică a urmărit schimbarea portretului de fază a unui sistem auto-oscilant cu o schimbare a frecvenței forței externe.

Metoda variației lente a amplitudinii constă în înlocuirea ecuației (1) cu ecuații mai simple „scurtate”, a căror soluție aproximează soluția ecuației inițiale pentru valori mici ale parametrului μ. Cartea lui Andronov, Witt și Khaikin explică relația dintre portretele de fază ale ecuației originale și portretul de fază al „ecuațiilor scurtate”. Sistemul de coordonate al ecuației inițiale, plasat pe planul de fază al ecuațiilor „scurtate”, se rotește în sensul acelor de ceasornic cu o viteză unghiulară egală cu 1. Ciclurile limită ale ecuației originale corespund cercurilor stărilor de echilibru de pe portretul de fază al ecuației originale. ecuațiile „scurtate”, iar spiralele care se înfășoară în jurul ciclurilor limită sunt traiectorii în linii drepte pe acest portret de fază auxiliară.

Desigur, aceste corespondențe duc doar la un portret de fază conjecturală al ecuației originale. Totuși, această presupunere este introdusă în contextul unei teorii matematice riguroase - teoria calitativă a ecuațiilor diferențiale. Astfel, capătă un statut superior în structura fizicii. Toate teoriile fizicii sunt conjecturale. Cu toate acestea, printre ele există sisteme conceptuale închise care operează cu concepte și legi stricte. Această rigoare le este dată de rigurosul aparat matematic în cadrul căruia sunt formulate. Datorită teoriei calitative a ecuațiilor diferențiale, o astfel de teorie devine teoria oscilațiilor neliniare.

Deja în primele sale lucrări despre ciclurile limită Poincaré, Andronov a folosit o altă metodă asimptotică - metoda parametrilor mici, introdusă de Poincaré în „New Methods of Celestial Mechanics” (această metodă este numită și metoda Poincaré). În anii 1930 În colaborare cu Witt, a aplicat această metodă într-un domeniu dincolo de sfera acelor studii care au fost efectuate pe baza teoriei calitative a ecuațiilor diferențiale.

După ce am comparat modelele „ontologice” și „euristice”, am atins deja cel de-al treilea element al matricei „disciplinare” a lui Kuhn – valorile. Școala lui Mandelstam a fost caracterizată de fundamentalism - s-a acordat preferință teoriilor fizice generale, mai degrabă decât modelelor „productive”. Atât Andronov însuși, cât și Mandelstam au interpretat lucrarea lui Andronov despre ciclurile limită Poincaré ca fiind fundamentale în teoria oscilațiilor neliniare. Ei credeau că datorită acestei lucrări a câștigat teoria oscilațiilor neliniare

un aparat matematic riguros și astfel abordat în statutul său de o teorie fundamentală (cum ar fi mecanica, electrodinamica etc.). Van der Pol, care a dezvoltat teoria oscilațiilor electrice și și-a publicat cercetările simultan cu Mandelstam și Andronov, nu a folosit doar metode aproximative, ci a declarat importanța fundamentală a acestor metode. Mandelstam și Andronov, în timp ce aduceau un tribut eficacității metodelor lui van der Pol, au remarcat că el nu a creat o teorie „adecvată” subiectului luat în considerare și care să conducă la predicții calitative de anvergură.

În prefața sa la cartea lui Andronov, Witt și Khaikin, Mandelstam a subliniat semnificația conceptuală a acestei lucrări. Nu numai că a examinat metode care iau în considerare neliniaritatea sub forma unei corecții la calcule liniare, dar a creat și un limbaj specific pentru fizica neliniară. „În regiunea complexă a oscilațiilor neliniare”, a prezis Mandelstam, „conceptele, prevederile și metodele lor generale specifice se vor cristaliza, care vor intra în viața de zi cu zi a fizicianului, vor deveni familiare și evidente, îi vor permite să înțeleagă un set complex de fenomene și să ofere un armă euristică puternică pentru noi cercetări.” Un fizician interesat de problemele moderne ale oscilațiilor ar trebui să participe deja la progresul pe această cale.”

Acest lucru nu înseamnă că Mandelstam, Andronov, colaboratorii și studenții lor au subestimat metodele aproximative. Dimpotrivă, aproape toate lucrările lor erau din anii 30. asociat cu utilizarea metodelor aproximative. Preferința acordată metodelor precise a fost un fel de idee de reglementare. Acesta a determinat prezentarea materialului în manuale și articole de recenzie. În plus, această preferință a stimulat munca de fundamentare a metodei aproximative a amplitudinilor care variază încet (L.I. Mandelstam și N.D. Papaleksi, 1935). Și în cele din urmă (și acesta este poate cel mai important lucru), plasând teoria calitativă a ecuațiilor diferențiale în prim plan, Andronov, în colaborare cu o serie de colaboratori și studenți ai săi, a dezvoltat o teorie a evoluției portretului de fază al unui sistem. care apare atunci când un parametru al sistemului se modifică. Această dezvoltare a început cu studiul menționat mai sus al excitației „moale” și „dure” a unui oscilator cu tub și a condus la îmbogățirea teoriei oscilațiilor neliniare cu conceptele de „schimbare a stabilității” și puncte de bifurcație,

un fel de metodă asimptotică, un fel de principiu de corespondență”, a spus Mandelstam. Cu toate acestea, ulterior nu numai că a aprobat munca studenților săi care au folosit metoda parametrilor mici, dar el însuși, împreună cu N.D. Papaleksi, a aplicat această metodă într-un articol despre fenomenul rezonanței de al doilea fel (1934–35). Andronov și Witt au folosit metoda parametrilor mici pentru a calcula un sistem cu două grade de libertate. Ei înșiși au remarcat că acest sistem este încă prea complex pentru a fi considerat din punctul de vedere al teoriei calitative a ecuațiilor diferențiale. Cu toate acestea, ghidat de scara de valori care a fost adoptată în școala lui Mandelstam, G.S. Gorelik, unul dintre ultimii absolvenți ai lui Mandelstam și colaborator al lui Andronov, a scris că „metoda parametrilor mici ocupă un loc complet secundar în lucrările sale (a lui Andronov). Principalul lucru în ele este aplicarea la studiul oscilațiilor neliniare a teoriei calitative a ecuațiilor diferențiale și a metodelor topologice aferente."

Și, în sfârșit, a patra componentă a „matricei disciplinare” este exemplele pe care se practică formularea și rezolvarea problemelor, exemple care arată cum să concretizezi „generalizări simbolice” și să le aplici „prescripții”, cum „modele euristice” vă permit să construi un „model ontologic”. După cum sa menționat mai sus, teoria oscilațiilor neliniare s-a dezvoltat inițial ca teoria unui dispozitiv simplu de inginerie radio - un oscilator cu tub. Acest dispozitiv a servit drept „exemplu comun” pe care conceptul de auto-oscilații și utilizarea ciclurilor limită Poincaré pentru a descrie auto-oscilațiile au fost explicate în manuale. În Prelegerile sale despre oscilații, Mandelstam oferă un alt exemplu - pendulul Froud în cartea lui Andronov, Witt și Khaikin, un generator de tuburi este adiacent unui ceas.

Paradigma „la serviciu”

Pentru a explica rolul pe care l-a jucat paradigma în dezvoltarea teoriei oscilațiilor neliniare, să luăm în considerare modul în care au fost rezolvate două probleme: problema oscilațiilor în multivibratorul Abraham și Bloch (un sistem care nu conține inductanțe notabile) și problema a oscilațiilor unei coarde de vioară. Prima problemă (1930) a dus la formarea doctrinei oscilațiilor de relaxare, oscilații puternic nesinusoidale constând în mișcări rapide și lente. Al doilea (1936) a însemnat o descoperire în domeniul sistemelor distribuite și al mediilor continue. În primele sale lucrări, inițiate

Aplicarea de către Andronovo a ciclurilor limită Poincaré, Mandelstam, colaboratorii și studenții săi s-au ocupat exclusiv de sisteme concentrate, ale căror oscilații sunt mișcări spațiale - oscilațiile unui pendul, mișcările unei sarcini electrice. Deși parametrii care determină comportamentul unor astfel de sisteme - masa pendulului, inductanța și capacitatea din circuitul oscilator - nu sunt practic punctiformi, ci sunt repartizați pe propriile lor regiuni spațiale, se poate face abstracție de la această non-punctualitate. Sistemele cumulate sunt descrise prin ecuații diferențiale obișnuite, în timp ce sistemele distribuite sunt descrise prin ecuații diferențiale parțiale.

Andronov însuși a făcut următoarea descriere a acestei povești: „În 1929, mă ocup, așa cum se va vedea mai târziu, într-un anumit sens, prea direct, de punctul de vedere că imaginea matematică a oscilațiilor neamortizate, sau auto-oscilațiilor, este ciclu limită Poincaré. Mă uit la sisteme diferite și caut cicluri limită peste tot. Cu toate acestea, iau circuitul multivibrator idealizat obișnuit Abraham-Bloch, care conține doar capacități, dar care prezintă auto-oscilații. Scriu ecuații diferențiale de dinamică, în căutarea unui ciclu, dar fără rezultate. Mai mult, am putut demonstra că ecuațiile diferențiale luate în considerare nu pot avea un ciclu limită. În loc de un ciclu, am găsit o curbă specifică care arată că viteza fazei devine infinită. Prezența unei astfel de curbe nu ne permite să stabilim fără ambiguitate mișcarea punctului reprezentativ. Se dovedește un paradox: auto-oscilațiile înseamnă cicluri, nu există cicluri, ci sistemul

efectuează auto-oscilații. Cu acest paradox am ajuns la Mandelstam, care a înțeles imediat ce se întâmplă. După câteva discuții, a concluzionat: „Dacă se dovedește că nu există cicluri, asta este deja ceva. Deoarece sistemul oscilează, fie idealizarea ta este invalidă, fie nu știi cum să lucrezi cu el.” El a adăugat că pleacă la Leningrad și că va încerca să se gândească la acest paradox acolo. La întoarcerea de la Leningrad, a spus următoarele: „N.D Papaleksi și eu credem că putem lucra cu idealizarea ta și găsim o soluție periodică interesantă din punct de vedere fizic. Dar această soluție nu va aparține soluțiilor continue pe care le căutați. Aceasta va fi o soluție discontinuă, adică. mişcarea corespunzătoare a punctului reprezentativ va face salturi instantanee. Credem că este posibil să găsim o soluție periodică dacă introducem ipoteza suplimentară că odată cu aceste modificări energia stocată în condensatoare se modifică continuu.” Curând, împreună cu Witt, am încercat să pun în aplicare aceste idei ale lui Mandelstam. Depășind unele dificultăți de calcul, am găsit o soluție periodică discontinuă.”

Deci, problema multivibratorului Abraham-Bloch a fost rezolvată de Andronov în două etape.

Andronov a arătat riguros că acest sistem de ecuații „nu admite nicio soluție periodică continuă”. În același timp, probleme paradigmatice i-au spus că sistemul este auto-oscilant, adică. efectuează mișcare periodică continuă.

II. După ce a discutat problema cu Mandelstam, Andronov, în colaborare cu Witt, a rezolvat „puzzleul”. Menținând aceeași idealizare, a acceptat „ipoteza saltului” sugerată de Mandelstam și Papaleksi. Această ipoteză, care constă în faptul că tensiunile de pe condensatoare sunt continue, ne permite să „completăm” traiectoria de fază a ecuațiilor multivibratoare până la ciclul limită în spațiul de fază cu patru dimensiuni. Punctul reprezentativ, după ce a atins o valoare critică (rata de schimbare a tensiunii pe rețea se întoarce la infinit), face un salt la punctul curbei determinat de condițiile de continuitate indicate și apoi se deplasează din nou de-a lungul traiectoriei fazei acestora. ecuații,

se întoarce la infinit), face un salt la un punct al curbei determinat de condițiile de continuitate indicate și apoi se deplasează din nou de-a lungul traiectoriei de fază a acestor ecuații.

Problema oscilațiilor coardelor de vioară a fost rezolvată de Witt, care în 1934 a publicat un articol despre „sisteme auto-oscilante distribuite”. În această lucrare, totuși, așa cum prevede Witt însuși, el a acționat folosind metode aproximative foarte grosiere. În primul rând, el consideră sistemele neliniare ca fiind slab neliniare, ceea ce îi oferă posibilitatea de a utiliza metoda parametrilor mici, iar în varianta sa cea mai simplă, unde se ia în considerare doar primul termen al seriei în puteri ale parametrului μ. În al doilea rând, Witt presupune că teorema de stabilitate a lui Lyapunov, care este valabilă pentru sistemele concentrate, este valabilă și pentru sistemele distribuite.

În articolul său despre vibrațiile unei coarde de vioară, Witt lucrează deja în paradigma teoriei vibrațiilor neliniare. Din punct de vedere matematic, această problemă este formulată sub forma unui sistem de ecuații cu diferențe parțiale: o ecuație de undă și ecuații care exprimă condiții la limită - una dintre ele este neliniară. Pentru a reduce problema la o formă corespunzătoare „generalizării simbolice” (1)–(2), Witt folosește metoda mapărilor de puncte (vezi mai sus). Cu alte cuvinte, din ecuațiile diferențiale parțiale a obținut o „ecuație funcțională” la care, în conformitate cu metoda mapărilor de puncte, se reduc problemele cu ecuații diferențiale obișnuite. „Pentru a obține relații universale, vom folosi cantități adimensionale”, scrie Witt. – Vom măsura poziția punctului pe șir cu valoarea y=x/l, unde x– distanța punctului considerat al coardei de la capătul fix, / – lungimea jumătății de sfoară, vom măsura timpul prin raportul τ=tc/l=4t/T , Unde Cu - viteza de propagare a vibrațiilor în coardă, t – timp, T – perioada tonului fundamental al vibrațiilor libere. Să notăm prin u raportul v/l, unde v este deplasarea șirului. Potrivit lui d'Alembert:

u=φ 1 (τ-у)+φ 2 (τ+у) (a)

pentru y=0: u=0 și, prin urmare, ъ=0 (pentru τ>0) (b)

ϕ(τ+ Τ )=ψ(ϕ(τ))

cu valorile inițiale ϕ(t)=ϕ 0 (τ), 0<τ<Τ.

El a studiat această ecuație care definește mapările punctuale folosind iterații. În același timp, el a introdus conceptul de secvență staționară. Exemple de astfel de secvențe sunt secvențe în care toți membrii sunt secvențe identice și periodice. El a introdus, de asemenea, conceptul de secvență stabilă Koenigs. Analogia cu ciclurile limită apare atunci când aceste secvențe sunt reprezentate pe diagrame Lemerey (grafice ale funcției ψ(ϕ(τ)). în coordonatele carteziene ϕ(τ)=х și ϕ(τ+Т)=ψ).

Witt a considerat un exemplu de sistem neliniar distribuit foarte simplu: neliniaritatea sa era concentrată în punctul de contact dintre arc și coardă. Cercetarea sistematică a oscilațiilor neliniare ale sistemelor distribuite a început mai târziu, în anii '50. Și nu a mai fost realizat în cadrul „paradigmei auto-oscilațiilor”, ci al „ideologiei auto-oscilațiilor”.

Ideologia teoriei oscilațiilor neliniare

Ideologia teoriei oscilațiilor neliniare este, în primul rând, conceptul de auto-oscilații, introdus, după cum am menționat mai sus, de Andronov în articolele din 1928–1929. De fapt, van der Pol s-a ocupat și de auto-oscilații, descriind oscilațiile neamortizate într-un oscilator cu tub, dar nu a introdus un termen special pentru ele. Andronov nu numai că a introdus un termen special, ci a dat acestui fenomen profunzime teoretică prin conectarea auto-oscilațiilor cu cicluri limită pe planul de fază. Și înainte de Andronov, inginerii radio și fizicienii radio știau că un generator de tuburi este caracterizat de oscilații neamortizate, caracterizate prin amplitudinea lor specifică, independent de condițiile de excitare a acestor oscilații. Andronov, însă, a făcut acest concept teoretic. El a arătat

că stabilitatea auto-oscilațiilor poate fi înțeleasă în sens matematic și este explicată ca stabilitate Lyapunov și rugozitatea sistemului oscilator.

Conceptul de auto-oscilații a început să capete autoritate după Prima Conferință Uniune asupra Oscilațiilor (1931), care a fost susținută de școala lui L.I. Mandelstam. Autooscilațiile au fost punctul central al acestei conferințe. Citim într-unul dintre articolele din 1936 că „în prezent există o teorie riguroasă din punct de vedere matematic și adecvată din punct de vedere fizic a unei clase largi de fenomene auto-oscilatorii, care și-a dovedit fecunditatea într-un număr mare de studii”. „Fenomenul auto-oscilațiilor... apare în natură la fiecare pas”, scrie G.S. Gorelik în manualul său, a cărui abordare a metodei parametrilor mici a fost discutată mai sus. „Oamenii de știință sovietici”, spune una dintre recenzii, „au creat în esență un nou domeniu de știință despre oscilații - domeniul auto-oscilațiilor, care este în prezent completat cu noi cercetări și rezultate”.

În anii postbelici au apărut cărți dedicate în mod special auto-oscilațiilor. În 1944, a fost publicată o carte a lui K.F Teodorchik, care a preluat postul în 1939. actorie Şeful Departamentului de Oscilaţii, fondat de L.I. Cartea se numea „Sisteme auto-oscilante” și a trecut prin trei ediții. Cartea „Self-Oscillations” a lui A.A Kharkevich, un specialist proeminent în probleme de control automat, a trecut și ea prin trei ediții. Prefața acestei cărți, scrisă „fără o singură formulă matematică în textul principal”, afirmă „semnificația largă a auto-oscilațiilor nu numai pentru tehnologie, ci și pentru știința naturală în general”.

Ideologia apare odată cu paradigma se poate spune și că paradigma poartă o anumită ideologie; Cu toate acestea, ideologia se extinde dincolo de paradigmă. Mai sus am caracterizat cele patru componente ale paradigmelor conform lui Kuhn: „generalizări simbolice” (de obicei acestea sunt ecuații diferențiale), „prescripții” (de obicei acestea sunt metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale), valori care stabilesc o ierarhie între prescripții și împărtășite. exemple, probleme destul de simple, permițându-ne să explicăm modul în care „rețetele” asigură aplicarea „generalizărilor simbolice”. Atât „generalizările simbolice”, cât și „prescripțiile” sunt condiționate de anumite reguli (de exemplu, regulile matematicii). Ideologia este cuvinte și expresii, ale căror semnificații sunt explicate folosind exemple (analogii și ilustrații). Utilizarea acestor cuvinte și expresii este ghidată de intuiție. Desigur, fiecare comunitate științifică are propria intuiție. Dar intuiția

poate depăși regulile și chiar ridica probleme care necesită revizuirea regulilor. Semnificațiile cuvintelor și expresiilor se pot dezvolta, formând ceea ce L. Wittgenstein numea „asemănări de familie”. De exemplu, sensul cuvântului „joc”, pe care Wittgenstein îl ia ca model, admite exemple precum șah, solitaire, dans rotund. Sensul cuvântului „auto-oscilație” poate fi dezvoltat într-o serie de ilustrații, începând cu un generator de tuburi, un pendul Froud și un ceas mecanic și incluzând o coardă de vioară excitată de un arc, stele de luminozitate variabilă (cefeide), o inimă și un „ceas biologic”. Dacă ne întoarcem la un astfel de predicat „să fie condiționat de proprietățile sistemului în sine, și nu de condițiile inițiale”, atunci această serie va fi completată cu obiecte precum undele auto și structuri disipative.

Unul dintre semnele importante ale aplicării ideologice a unui concept este erodarea conținutului acestuia. Conceptul pare să-și depășească domeniul de aplicare. În esență, aceasta înseamnă că sunt formulați analogi ai acestui concept, că apar concepte noi sub același termen și concepte care nu sunt clar definite.

Primul astfel de prag pe care l-a traversat conceptul de auto-oscilații a fost pragul dintre auto-oscilațiile și oscilațiile forțate. „În legătură cu descoperirea de noi principii de generare a auto-oscilațiilor și dezvoltarea celor deja cunoscute, conceptul de auto-oscilații după cel de-al Doilea Război Mondial sa extins semnificativ. În special, auto-oscilațiile au început să includă nu numai acele oscilații neamortizate, a căror energie este extrasă dintr-o sursă constantă, ci și acele oscilații care sunt susținute de energia unui alt proces oscilator suficient de puternic excitat din exterior... ( astfel de oscilații pot fi stinse complet prin modificarea parametrului de sistem, să zicem, atenuare sau deacord)".

O continuare a acestui proces de eroziune este replicarea conceptului sub formă de analogi lingvistici. În raport cu auto-oscilațiile, aceasta a fost apariția conceptelor de autowave și autostructură. Primul a fost introdus de R.V. Khokhlov într-o recenzie a tezei de doctorat a lui A.M. Khohlov a înțeles că Zhabotinsky a descris nu numai auto-oscilațiile chimice în sine, ci și procesele de undă similare, similare în sensul suveranității lor - independență față de condițiile inițiale și, într-o oarecare măsură, de limită și definibilitatea prin parametrii sistemului.

Conceptul de autostructuri apare într-un articol comun al doi autori care se identifică cu școala lui Mandelstam - A.V Gaponov-Grekhov (un fost student absolvent al lui Andronov) și M.I. Autostructura este înțeleasă ca o ordonare spațială sau temporală stabilă care apare într-un sistem distribuit cu neliniaritate clar exprimată și situat departe de starea de echilibru. O proprietate a autostructurilor este din nou independența lor relativă față de condițiile inițiale și de limită.

Este ușor de observat că atunci când se formulează concepte precum autowave și autostructuri, nu se utilizează orice definiție a autooscilațiilor, ci formele lingvistice inerente acestor definiții. Aceste forme lingvistice transmit nu doar intuiția unui ciclu limită, care este purtată de definițiile auto-oscilațiilor, ci mai degrabă intuiția unui atractor în general.

Articolul lui Gaponov-Grekhov și Rabinovici, în care au fost introduse „autostructuri”, a fost menționat mai sus. Într-un interviu acordat autorului acestor rânduri (22.05.1992), ca răspuns la întrebarea: „Se poate spune că o anumită „ideologie auto-oscilantă” este esențială pentru tine?” – M.I Rabinovich a spus: „Da, cu siguranță. De fapt, nici măcar nu e vorba de cuvânt. Doar auto-oscilații, precum undele automate pe care le-a inventat R.V. Nu a venit cu valurile în sine, ci cu un cuvânt, o întorsătură de frază foarte reușită... Dar, știi, un cuvânt foarte reușit. Am lucrat aproape toată viața cu sisteme neliniare disipative de echilibru. Ar putea fi miercuri. De regulă, lucrez la probleme cu valurile sau turbulențe, dar există întotdeauna disipare acolo. Am sisteme hamiltoniene, sisteme fără frecare, fără disipare, întotdeauna un caz limitativ. Întotdeauna m-au interesat mai mult sistemele cu atractori, în care la t→∞ se stabilește întotdeauna ceva: haos, deci haos, oscilații periodice, deci oscilații periodice, structuri stocastice - pentru numele lui Dumnezeu. În acest sens, pentru mine, structurile și haosul dinamic sunt pur și simplu diferite tipuri de atractori care se stabilesc pe măsură ce t tinde spre infinit în timpul evoluției comportamentului sistemului. Mereu m-au interesat sistemele în care se stabilește ceva, în care există ceva obiectiv, independent de condițiile inițiale.”

Deci, M.I Rabinovich este fascinat nu atât de conceptul de auto-oscilații, cât de ideea de suveranitate conținută în acesta, care poartă intuiția unui atractor.

Concluzie

Când se califică filozofic o teorie științifică, accentul se pune de obicei fie pe capacitățile sale descriptive, fie pe instrumentele sale explicative. În acest articol sunt luate în considerare ambele ipostaze ale cunoștințelor teoretice. O paradigmă este un ghid pentru rezolvarea problemelor și construirea de explicații și predicții științifice. Ideologia este un limbaj, un aparat de descriere științifică, care, de regulă, se extinde dincolo de limitele resurselor explicative.

Note

Kun T. Structura revoluțiilor științifice / Trad. din engleză I.Z Naletova. Ed. S.R. Mikulinsky și L.A. Markova. M, 1975. P. 70.

Minorsky N. Introducere în mecanica neliniară. Michigan: J.W. Edwards, 1947.

Andronov A.A., Chaikin S.E. Teoria oscilațiilor. Princeton: Princeton Univ. Press., 1949.

Van der Pol B. Despre oscilaţiile de relaxare // Philos. Mag. Ser. 7. Vol. 2, 1926. P. 978–992.

Andronov A.A. Cicluri limită Poincaré și teoria oscilațiilor // IV Congresul Fizicienilor Ruși. M., N.-Novgorod, Kazan, Saratov (5–16 august 1928). Lista rapoartelor prezentate la congres cu un scurt rezumat al conținutului acestora. M.-L., 1928. P. 23–24; El este la fel. Les cycles limites de Poincaré et la théorie des oscillations autoentrenues // C.r. Acad sci. Paris. T. 189, 1929. P. 559–561. Retipărit: Andronov A.A. Colectare tr. M., 1956. S. 32–33, 41–43.

Andronov A.A., Vitt A.A. Zur Theorie des Mitnehmens von van der Pol // Archiv fuer Elektrotechnik. Bd. 24, 1930. S. 99–110. Retipărit: Gorelik G.S. Oscilații și unde. M.; L.: GTTI, 1950. P. 105.

Krylov N.N. Modalități de dezvoltare a teoriei oscilațiilor neliniare în URSS peste 50 de ani // Inginerie radio. 1969. T. 24, Nr. 5. P. 10.

Kharkevich A.A. Auto-oscilații. M., 1950. P. 5.

Kaplan A. Autooscilații (nepublicate). 1979. P. 5.

Gaponov-Grekhov A.V., Rabinovici M.I.. L.I. Mandelstam și teoria modernă a oscilațiilor și undelor neliniare // Progrese în științe fizice. T. 128, 1979. p. 579–624.

Ministerul Educației al Republicii Belarus

Instituție de învățământ

Universitatea de Stat din Brest numită după A.S. Pușkin

Facultatea de Fizică

Departamentul de Metode de Predare a Fizicii și OTD

LUCRARE DE CURS

OSCILAȚII NELINIARE ȘI SINCRONIZARE A OSCILAȚII

Realizat de un elev din grupa FI-51

Pashkevich A.Ya.

Supraveghetor stiintific:

Ph.D. Sc., Conf. N.N. Vorsin

Brest, 2012

Introducere

1.1 Oscilații liniare în prezența unei forțe externe deterministe

2. Vibrații libere ale sistemelor conservatoare cu forțe de restabilire neliniare

2.1 Oscilații neliniare libere ale sistemelor cu forță de amortizare și de restabilire neliniară

2.2 Diferite tipuri de caracteristici0

3. Oscilații neamortizate și de relaxare

3.1 Analiza calitativă a ecuației van der Pol

3.2 Oscilații neliniare cuplate, receptor regenerativ blocat de fază și principiu de sincronizare

3.3 Ecuații de bază

3.4 Oscilații cu dezacordare mare

3.5 Oscilații combinate de amplitudine constantă

3.6 Probleme electrice care conduc la ecuația Hill

Concluzie

Referințe

Introducere

Nu este surprinzător faptul că un fizician ar trebui să fie capabil să găsească soluții la probleme neliniare, deoarece multe fenomene care apar în lumea din jurul lui sunt controlate de dependențe neliniare. În procesul de dezvoltare a științelor matematice, dificultățile analizei neliniare au împiedicat formularea unor idei despre mișcările neliniare care să permită o înțelegere mai profundă a unor astfel de fenomene.

Dacă privim înapoi la istoria realizărilor științifice, este izbitor că principalele eforturi ale cercetătorilor s-au concentrat doar pe studiul sistemelor liniare și al conceptelor liniare. Dacă în același timp aruncați o privire asupra lumii din jurul nostru, literalmente la fiecare pas întâlniți fenomene care sunt neliniare în natură. Conceptele liniare oferă doar o înțelegere superficială a multor a ceea ce se întâmplă în natură. Pentru a face analiza mai realistă, este necesar să se obțină un nivel mai înalt și o mai mare ușurință în înțelegerea și utilizarea reprezentărilor neliniare.

În ultimii ani s-au dezvoltat metode de analiză computerizată, iar în multe cazuri s-a crezut că soluțiile rezultate pot oferi o mai bună înțelegere a manifestărilor neliniarității. În general, s-a descoperit că simpla trecere prin soluții numerice duce la o înțelegere puțin mai mare a proceselor neliniare decât, de exemplu, observarea naturii însăși „slefuind” soluții la o problemă neliniară specifică, cum ar fi vremea. Se pare că înțelegerea noastră nu se bazează pe ecuații sau soluțiile lor, ci mai degrabă pe concepte fundamentale și bine învățate. În mod obișnuit, înțelegem mediul nostru doar atunci când îl putem descrie în termeni de concepte atât de simple încât pot fi bine înțelese și atât de ample încât să putem opera cu ele fără a ne referi la o situație specifică. Lista acestor concepte este extinsă și include, de exemplu, termeni precum rezonanță, histerezis, unde, feedback, straturi limită, turbulență, unde de șoc, deformare, fronturi meteorologice, imunitate, inflație, depresie etc. Cele mai utile procesele sunt de natură neliniară, iar incapacitatea noastră de a descrie într-un limbaj matematic precis fenomene cotidiene, cum ar fi curgerea apei într-un jgheab sau vârtejul de fum dintr-o țigară, constă parțial în lipsa noastră de dorință de a ne scufunda anterior și de a înțelege matematica neliniară.

Fenomenul de rezonanță, după cum se știe, apare adesea în materia vie. În urma lui Wiener, Szent-Györgyi a propus importanța rezonanței pentru structura mușchilor. Se dovedește că substanțele cu proprietăți rezonante puternice au de obicei o capacitate excepțională de a stoca atât energie, cât și informații, iar o astfel de acumulare are loc, fără îndoială, în mușchi.

Oscilațiile neliniare, oscilațiile neliniare aleatoare și oscilațiile neliniare cuplate (sincronizate cu fază) constituie însăși esența fenomenelor din multe domenii ale științei și tehnologiei, cum ar fi comunicațiile și energia; procesele ritmice au loc în sistemele biologice şi fiziologice. Biofizician, meteorolog, geofizician, fizician nuclear, seismolog - toți se ocupă de oscilații neliniare, adesea blocate în fază într-o formă sau alta. De exemplu, un inginer energetic se ocupă de problema stabilității mașinilor sincrone, un inginer de comunicații se ocupă de instabilitatea selecției sau sincronizării timpului, un fiziolog se ocupă de clonus, un neurolog se ocupă de ataxie, un meteorolog se ocupă de frecvența fluctuațiilor în presiunea atmosferică, un cardiolog se ocupă de fluctuațiile cauzate de activitatea inimii, un biolog - cu fluctuațiile cauzate de cursul ceasului biologic.

Scopul principal al tezei este de a lua în considerare o serie de probleme în teoria oscilațiilor neliniare legate de concepte fundamentale precum captarea (sau sincronizarea), urmărirea, demodularea și sistemele de comunicație coerente în fază. Se va încerca să ofere o imagine de ansamblu asupra problemelor neliniare de interes practic, ale căror soluții sunt scrise într-o formă accesibilă. Revizuirea nu este exhaustivă, dar include exemple de probleme care servesc la ilustrarea conceptelor de bază necesare pentru înțelegerea proprietăților neliniare ale sistemelor blocate în fază. Problema existenței și unicității soluțiilor este atinsă doar superficial; accentul principal este pus pe metodele de obținere a soluțiilor.

Materialul revizuit poate fi grupat în trei subiecte principale. Primul subiect include o prezentare a rezultatelor teoriei oscilațiilor liniare în sisteme cu un grad de libertate și cu parametri constanți. Acest material este folosit ca referință și pentru comparare cu rezultatele obținute din teoria oscilațiilor neliniare. Al doilea subiect este dedicat sistemelor neliniare ușor integrate care nu sunt afectate de forțele externe dependente de timp. Aici, folosind aparatul plan de fază, sunt studiate în detaliu oscilațiile libere ale sistemelor neliniare. Este dat un scurt rezumat al teoriei lui Poincaré a punctelor singulare ale ecuațiilor diferențiale de ordinul întâi. Utilitatea conceptului de punct singular este ilustrată prin rezolvarea unui număr de probleme fizice. În cele din urmă, al treilea subiect acoperă oscilațiile forțate, auto-susținute (auto-oscilații) și oscilațiile neliniare de relaxare. În special, aplicarea teoriei van der Pol la problemele de sincronizare și urmărire va fi discutată, iar capitolul se va încheia cu o discuție despre ecuația Hill.

1. Vibrații libere în sisteme liniare

Pare valoros și interesant să rezum principalele caracteristici ale oscilațiilor liniare. Există o serie de motive pentru a face acest lucru aici. Una dintre sarcinile noastre fundamentale este să comparăm metode liniare și neliniare pentru studierea vibrațiilor. În plus, a devenit o practică să se aplice, pe cât posibil, terminologia folosită în problemele liniare la cele neliniare. În cele din urmă, este util să aveți un rezumat al ideilor și formulelor principale ale teoriei liniare pentru o referire ușoară.

Poate cel mai simplu exemplu de problemă de oscilație liniară este oferit de un circuit electric simplu format dintr-o inductanță conectată în serie cu un condensator și un rezistor (Fig. 1). Analogul mecanic prezentat în Fig. 1, constă dintr-un corp de masă atașat de un arc care dezvoltă o forță (numită forță de restabilire) proporțională cu deplasarea corpului. Pentru acest sistem electric, folosind legea lui Kirchhoff, avem

Dacă presupunem că un corp dintr-un sistem mecanic se mișcă într-un mediu care oferă rezistență proporțională cu viteza (frecare vâscoasă), atunci ecuația de mișcare pentru vibrațiile sistemului mecanic este dată de relația

Prin analogie avem că; ; și, în plus, este un analog al deplasării.

Orez. 1.Sisteme electrice și mecanice liniare

Presupunând deocamdată că forța externă și introducând notația

reducem (1.2) la forma

Deoarece oscilațiile determinate de această ecuație liniară omogenă se numesc oscilații liniare libere. Soluția generală a unei ecuații liniare cu coeficienți constanți este o combinație liniară a două funcții exponențiale:

unde și sunt constante arbitrare care sunt determinate de condițiile inițiale și și sunt rădăcinile ecuației caracteristice

Astfel, și sunt date de relații

Dacă vrem să prezentăm soluția (1.5) în formă reală, avem în vedere trei cazuri când mărimea este: a) reală, b) zero, c) imaginară. Este ușor de arătat că soluțiile iau forma

unde și sunt reale; și sunt constante arbitrare, care sunt determinate prin specificarea valorilor deplasării (curentului) și vitezei la un moment inițial.

Ecuația (1.8 - a) apare cel mai des în practică. După cum este ușor de observat din (1.3), acest caz apare dacă coeficientul de amortizare este mic în comparație cu. Ecuația (1.8 - a) în acest caz descrie o astfel de mișcare oscilativă încât fiecare două maxime și deplasări succesive satisfac relația

1. Ipoteza despre magnitudinea infinitezimală a perturbațiilor utilizată mai sus în analiza liniară nu ne permite să luăm în considerare dezvoltarea perturbațiilor reale. În teoria liniară, după cum se poate observa, amplitudinea perturbațiilor fie nu este deloc definită (la limita de stabilitate), fie crește la nesfârșit (în zona de instabilitate), ceea ce se obține ca urmare a prevederilor sale inițiale. De fapt, la o anumită amplitudine a perturbațiilor, efectele neliniare devin semnificative, care împiedică o creștere infinită a amplitudinii și conduc la un ciclu limită de oscilații.

Neliniaritatea începe să apară doar pentru perturbații cu o anumită amplitudine (critică): la o amplitudine mai mică, conform teoriei neliniare, oscilațiile se atenuează, la o amplitudine mai mare, apare așa-numita instabilitate neliniară (instabilitate în mare, impuls). instabilitate). Neliniaritățile procesului oscilator într-un motor de rachetă cu combustibil solid sunt determinate de neliniaritatea procesului de ardere și de mișcarea valurilor din cameră, care se manifestă printr-o creștere a curburii undelor de presiune, dispersia perturbațiilor și apariția șocului. valuri.

În ciuda faptului că teoriile liniare oferă o înțelegere destul de completă a problemei instabilității motorului rachetei cu combustibil solid, ele nu pot rezolva problema practică extrem de importantă a oscilațiilor cu amplitudine mare, care sunt cele mai periculoase pentru motor și pentru întreaga aeronavă. Prin urmare, se acordă din ce în ce mai multă atenție studiului unor astfel de oscilații neliniare. În prezent, este posibil să se indice o gamă restrânsă de probleme neliniare deja rezolvate.

2. Ecuații originale . Să luăm în considerare în formularea următoare problema oscilațiilor acustice neliniare pentru un flux unidimensional. Sistemul de ecuații diferențiale neliniare pentru un astfel de caz poate fi prezentat sub următoarea formă:

ecuația de conservare a masei gazului

ecuația de conservare a masei particulelor

; (5.85)

ecuația de conservare a impulsului

; (5.86)

ecuația de conservare a energiei

unde este indexul" l » înseamnă debitul masic pe unitate de lungime; v- pe unitate de volum; alți indici și valori sunt aceleași.

3. Ipoteze de bază . Pentru a rezolva aceste ecuații, facem următoarele ipoteze:

Nu există post-ardere, adică E = 0; Q = 0;

Schimbul de energie este reprezentat de schimbul de căldură între particule și gaz din arzător;

Secțiunea transversală a canalului de încărcare este neschimbată, adică F= const;

La z= 0 vitezele gazului și ale particulelor sunt zero;

Pentru un flux în două faze în duză, se presupune o întârziere constantă a fracției grele;

Modul de funcționare a duzei este cvasi-staționar;

Caracteristicile arderii tranzitorii sunt determinate de funcția de sensibilitate din formă

. (5.88)

prin urmare, caracteristica de ardere presupune liniaritate;

Se ține cont de legătura dintre viteza de ardere și presiune, iar în unele cazuri - cu debitul;

Particulele sunt considerate doar de o dimensiune, folosind coeficienți de rezistență liniari și neliniari.

4. Rezultatele soluției numerice . Metodele numerice pentru rezolvarea problemelor de stabilitate neliniară includ metoda caracteristicilor, metoda „eșantionării” etc. În acest din urmă caz, soluția problemei este aproximată în ipoteza că neliniaritatea este satisfăcută la un număr finit de puncte discrete. Sistemul de ecuații prezentat (5.84) ... (5.87) poate fi rezolvat, de exemplu, prin metoda caracteristicilor. Această soluție, obținută de F. Kulik, dă dependența de timp a amplitudinii perturbațiilor. Exemple de rezultate ale calculelor numerice ale lui F. Kulik sunt prezentate în Fig. 7. Condițiile inițiale au fost specificate sub forma unei undă staționară a frecvenței fundamentale a camerei. Perturbarea inițială a fost părți egale din primul și al doilea mod, dar după trei cicluri presiunea nu conținea aproape nicio a doua armonică. Influența conexiunii cu arderea tranzitorie în acest caz joacă evident un rol decisiv; funcția de sensibilitate atunci când este acceptată O Şi ÎN arată acest lucru într-un grad puternic pentru frecvența fundamentală și într-un grad slab pentru al doilea mod. De asemenea, se poate observa că amplitudinea presiunii nu începe să crească imediat; Mai mult, există chiar și o anumită atenuare după un ciclu. Acest lucru se poate explica prin faptul că viteza de ardere abia după mai multe cicluri atinge o valoare corespunzătoare perturbărilor de presiune rezultate.

Pe. din engleză Boldova B. A. și Gusev G. G. Editat de V. E. Bogolyubov. - M.: Mir, 1968. - 432 p.
UDC 534 (Vibrații mecanice. Acustica). Există un strat de text (adică textul este ușor de copiat).
Monografia celebrului om de știință japonez T. Hayashi este dedicată teoriei proceselor oscilatorii neliniare care apar într-o mare varietate de sisteme fizice.
Cartea este o ediție revizuită și extinsă a uneia dintre lucrările anterioare ale autorului, familiară cititorului sovietic din traducerea rusă (T. Hayashi, Forced oscillations in nonlinear systems, Il, M., 1957). Cu toate acestea, după procesare și completări, rezultatul a fost de fapt o nouă carte.
Se deosebește de precedentul nu numai prin secțiuni noi, ci și printr-o metodă de prezentare îmbunătățită semnificativ. Cartea este de interes atât pentru fizicienii și inginerii de diferite specialități care se ocupă cu teoria oscilațiilor neliniare și aplicațiile acesteia, cât și pentru matematicienii care se ocupă de teoria ecuațiilor diferențiale.
Cuprins.
Prefață la ediția rusă.
Prefaţă.
Introducere.
Partea I. Metode de bază de analiză a oscilațiilor neliniare.
Capitolul i.
Metode analitice.
Introducere.
Metoda perturbării.
Metoda iterației.
Metoda de mediere.
Principiul echilibrului armonic.
Exemple numerice de rezolvare a ecuației Duffing.
Capitolul II.
Metode topologice și soluții grafice.
Introducere.
Curbe integrale și puncte singulare pe planul stării.
Curbe integrale și puncte singulare în spațiul de stare.
Metoda Isoclin.
Metoda Lienard.
Metoda Delta.
Metoda liniilor înclinate.
Capitolul III.
Stabilitatea sistemelor neliniare.
Determinarea stabilității conform Lyapunov.
Criteriul Routh-Hurwitz pentru sistemele neliniare.
Criteriul de stabilitate Lyapunov.
Stabilitatea oscilațiilor periodice.
ecuația lui Mathieu.
Ecuația lui Hill.
Aproximare îmbunătățită a exponentului caracteristic pentru.
Ecuații Hill.
Partea a II-a, Oscilații forțate în regim staționar.
Capitolul iy.
Stabilitatea oscilațiilor periodice în sistemele de ordinul doi.
Introducere.
Condiție de stabilitate pentru soluții periodice.
Condiții de stabilitate îmbunătățite.
Note suplimentare privind condițiile de stabilitate.
Capitolul y.
Vibrații armonice.
Oscilații armonice cu o caracteristică neliniară simetrică.
Oscilații armonice cu o caracteristică neliniară asimetrică.

Capitolul Yi.
Vibrații ultraarmonice.
Vibrații ultraarmonice c.
circuite rezonante în serie.
Studiu experimental.
Oscilații ultraarmonice în circuite rezonante paralele.
Studiu experimental.
Capitolul Yii.
Vibrații subarmonice.
Introducere.
Relația dintre caracteristica neliniară și ordine.
vibratii subarmonice.

caracteristică reprezentată de o funcţie cubică.
Oscilațiile subarmonice sunt de ordinul 1/3 cu neliniare.
caracteristică reprezentată de un polinom de gradul cinci.
Studiu experimental.

caracteristică reprezentată de un polinom de gradul trei.
Oscilațiile subarmonice sunt de ordinul 1/2 atunci când sunt neliniare.
caracteristică reprezentată printr-o pătratică simetrică.
funcţie.
Studiu experimental.
Partea a III-a. Procese tranzitorii de oscilații forțate.
Capitolul Yiii.
Vibrații armonice.
Introducere.
Soluții periodice și stabilitatea acestora.
Analiza vibrațiilor armonice folosind cele integrale.
curbe.
Analiza oscilațiilor armonice pe planul de fază.
Analiza geometrică a curbelor integrale pentru sisteme conservative.
Analiza geometrică a curbelor integrale pentru sisteme disipative.
Studiu experimental.
Capitolul ix.
Vibrații subarmonice.
Analiza vibrațiilor subarmonice folosind curbe integrale.
Analiza oscilațiilor subarmonice de ordinul 1/3 pe planul de fază.
Studiu experimental.
Vibrații subarmonice de ordinul 1/5.
Vibrațiile subarmonice sunt de ordinul 1/2.
Analiza oscilațiilor subarmonice de ordinul 1/2 pe faza unu.
avion.
Cercetare pe un computer analog.
Capitolul x.
Condiții inițiale care conduc la diferite specii.
oscilații periodice.
Metoda de analiză.
Sisteme simetrice.

fluctuațiile sunt de aproximativ 1/3.
Sisteme asimetrice.
Zone de atractie pentru armonici si subarmonici.
vibratii de ordinul 1/2 si 1/3.
Studii experimentale.
Capitolul Xi.

Introducere.
Oscilații aproape periodice într-un circuit rezonant cu polarizare DC.
Cuprins.
Studiu experimental.
Oscilații aproape periodice într-o manieră parametrică.
circuit excitat.
Partea a IV-a. Sisteme auto-oscilante sub influența periodică a forței externe.
Capitolul Xii.
Blocarea frecvenței.
Introducere.

Captură armonică.
Captură ultraarmonică.
Captură subarmonică.
Zone de blocare a frecvenței.
Analiza folosind un computer analog.

Sistem auto-oscilator cu forță de restabilire neliniară.
Capitolul XIII.
Oscilații aproape periodice.
Ecuația Van der Pol cu ​​termen de forțare.

vibratii armonice.
Considerarea geometrică a curbelor integrale pe.
limita captării armonice.
Oscilații aproape periodice care decurg din.
vibratii ultraarmonice.
Oscilații aproape periodice care decurg din.
vibratii subarmonice.
Sistem auto-oscilant cu forță de restabilire neliniară.
Anexa i. Extinderi ale funcțiilor Mathieu.
Anexa ii. Soluții instabile ale ecuației Hill.
Anexa iii. Soluții instabile ale ecuației Hill generalizate.
Anexa IV. Criteriul de stabilitate obtinut prin metoda.
tulburări.
Anexa v. Observații privind curbele integrale și puncte singulare.
Aplicația Vi. Comutator electronic sincron.
Sarcini.
Literatură.
Indicator.
T. Hayashi.
Oscilații neliniare în sisteme fizice.

Editor N. Pluzhnakova Artista A. Shklovskaya.
Redactor de artă V. Shapovalov Redactor tehnic N. Tursukova.
Dat în producție la 9/X 1967. Semnat pentru tipărire la 25/W 1968.
Hârtie 60х90у1в-= 13,5 hârtie. l. 27,0 buc. l.
Uh. -ed. l. 24,
0. Ed. Nr. 1/3899.
Pret 1 rub. 91 k. 907.
Templan 1968, editura Mir, por. nr. 38.
Editura „Mir”, Moscova, 1st Rizhsky per. , 2.
Tipografia nr. 2 din Leningrad, numită după Evgenia Sokolova din Comitetul Glavpoligrafprom.
pentru Presă sub Consiliul de Miniștri al URSS. Izmailovski pr., 29.

Vezi de asemenea

Andrianov I.V., Danishevsky V.V., Ivankov A.O. Metode asimptotice în teoria vibrațiilor grinzilor și plăcilor

• format fisier: pdf
• dimensiune: 5,53 MB
• adăugat: 25 septembrie 2011

Dnepropetrovsk: Pridneprovsk State Academy of Construction and Architecture, 2010, 217 p. Monografia discută metode asimptotice pentru rezolvarea problemelor de vibrații ale grinzilor și plăcilor. Atenția principală este acordată metodei de perturbare a homotopiei, care se bazează pe introducerea unui parametru artificial mic. Vibrații liniare ale structurilor cu condiții la limită mixte, precum și vibrații neliniare ale sistemelor cu...

Vibrații în tehnologie. Volumul 6. Protecție împotriva vibrațiilor și șocurilor

• format de fișier: djvu
• dimensiune: 7,28 MB
• adăugat: 27 octombrie 2009

Frolov K.V. Al șaselea volum prezintă metode pentru reducerea activității de vibrație a surselor de vibrații și reglarea amortizoarelor dinamice. Sunt luate în considerare problemele de echilibrare a pieselor rotative ale mașinilor, echilibrarea mașinilor și mecanismelor, alegerea legilor raționale pentru mișcarea părților de lucru ale mașinilor, echipamentelor izolante și a bazelor, precum și problema protecției oamenilor de vibrații. Cartea de referință este destinată lucrătorilor ingineri și tehnici implicați în calcule,...

Ganiev R.F., Kononenko V.O. Vibrații ale corpurilor rigide

• format de fișier: djvu
• dimensiune: 8,89 MB
• adăugat: 27 octombrie 2011

M.: Nauka, 1976, 432 p. Au fost studiate oscilațiile neliniare în mișcarea spațială, în special condițiile de apariție a rezonanțelor. Lucrarea este relevantă atunci când se creează sisteme de amortizare pentru aviație și tehnologia spațială. Ganiev R.F. - academician RAS, Kononenko V. O. - academician. Academia de Științe a Ucrainei. Amortizor elastic 39 Amortizarea vibrațiilor 145, 41, 7 Izolarea vibrațiilor 145, 417 Excitația cinematică 134, 358 Giroscop biaxial 343 Giroscop triaxial 353 Giroscop astatic...

Den-Hartog D.P. Vibrații mecanice

• format de fișier: djvu
• dimensiune: 7,5 MB
• adăugat: 25 mai 2010

M. Fizmatgiz. 1960 574 p. Cinematica oscilațiilor. Sisteme cu un grad de libertate. Două grade de libertate. Sisteme cu un număr arbitrar de grade de libertate. Motoare cu mai multe cilindri. Piese rotative ale mașinii. Auto-oscilații. Oscilații cvasi-armonice și neliniare ale sistemelor.

Migulin V.V. Fundamentele teoriei vibrațiilor

• format de fișier: djvu
• dimensiune: 3,88 MB
• adăugat: 10 ianuarie 2010

Cartea introduce cititorul în proprietățile generale ale proceselor oscilatorii care apar în inginerie radio, sisteme optice și alte sisteme, precum și diverse metode calitative și cantitative de studiere a acestora. Se acordă o atenție considerabilă luării în considerare a sistemelor parametrice, auto-oscilatoare și a altor sisteme oscilatorii neliniare. Studiul sistemelor și proceselor oscilatorii din ele descrise în carte este prezentat folosind metode binecunoscute ale teoriei oscilațiilor fără detalii...

Obmorshev A.N. Introducere în teoria oscilației

• format fisier: pdf
• dimensiune: 8,75 MB
• adăugat: 23 februarie 2010

Neliniar efectele se pot manifesta în multe moduri diferite. Un exemplu clasic este un arc neliniar, în care forța de restabilire variază neliniar cu întinderea. În cazul neliniarității simetrice (același răspuns la compresie și tensiune), ecuația mișcării ia forma

Dacă nu există amortizare și , există soluții periodice în care la frecvența naturală crește cu amplitudinea. Acest model este adesea numit ecuație Duffing după numele matematicianului care a studiat-o (Figura 1.54).

Dacă un sistem este supus unei forțe periodice, atunci în teoria clasică se crede că răspunsul va fi și periodic. Rezonanța unui arc neliniar la o frecvență de răspuns care se potrivește cu frecvența forței este prezentată în figură.

Figura 1.54 - Curba de rezonanță clasică neliniară oscilator cu arc rigid în cazul în care oscilațiile sunt periodice și au aceeași perioadă ca forța de antrenare (a și b sunt definite în ecuație)

Cu o amplitudine constantă a forței de antrenare, există o gamă de frecvențe de antrenare în care sunt posibile trei amplitudini de răspuns diferite. Se poate demonstra că linia întreruptă este instabilă și, pe măsură ce frecvența crește și scade, histerezis. Acest fenomen se numește transfer,și se observă în experimente cu multe sisteme mecanice și electrice.

Există și alte soluții periodice, cum ar fi subarmonicăŞi superarmonică fluctuatii.

Dacă forţa motrice are forma , atunci oscilaţiile subarmonice pot avea forma plus armonici superioare ( –intger).

Teoria rezonanței neliniare se bazează pe presupunerea că un stimul periodic provoacă un răspuns periodic. Cu toate acestea, tocmai acest postulat este contestat de noua teorie a oscilațiilor haotice.

Oscilații autoexcitate - o altă clasă importantă de fenomene neliniare. Acestea sunt mișcări oscilatorii care apar în sisteme fără influențe externe periodice sau forțe periodice (Figura 1.55).

Figura 1.55 - Exemple de oscilații autoexcitate: A - frecare uscată între masă și centura în mișcare;

b – forțe aeroelastice care acționează asupra unei aripi subțiri

În primul exemplu, vibrația este cauzată de frecarea creată de mișcarea relativă a masei și a curelei în mișcare.

Al doilea exemplu ilustrează o întreagă clasă de vibrații aeroelastice, în care vibrațiile staționare sunt cauzate de un flux staționar de fluid în spatele unui corp solid pe o suspensie elastică.

În aceste exemple, sistemul conține o sursă de energie staționară și o sursă de disipare sau un mecanism de amortizare neliniar. În modelul matematic al acestui circuit, sursa de energie este inclusă sub formă de rezistență negativă (ecuația Van der Pol):

Energia poate intra în sistem la amplitudini mici, dar pe măsură ce amplitudinea crește, creșterea sa este limitată de atenuarea neliniară.

Când se analizează ecuația Van der Pol, este convenabil să treceți la variabile adimensionale, normalizând variabila spațială la și timpul la , astfel încât ecuația să ia forma

,

La rezolvarea unei ecuații, aceasta este reprezentată ca un sistem de ecuații de ordinul întâi

Mișcările oscilatorii ale unor astfel de sisteme sunt adesea numite cicluri limită. Figura 1.56 prezintă traiectoriile oscilatorului van der Pol pe planul de fază. Micile oscilații se desfășoară într-o spirală, apropiindu-se de o traiectorie asimptotică închisă, iar mișcările de mare amplitudine sunt contractate în spirală la același ciclu limită (unde ) .

Figura 1.56 - Soluția ciclului limită pentru oscilatorul Van der Pol, reprezentată în planul de fază

Când studiezi astfel de probleme, apar adesea două întrebări. Care este amplitudinea și frecvența oscilațiilor la ciclul limită? Pentru ce valori ale parametrilor există cicluri limită stabile?

Pentru mic , ciclul limită este un cerc cu raza 2 pe planul de fază, adică unde + ... denotă armonici de ordinul trei și superior.

Când este mare, mișcarea ia forma vibrații de relaxare, prezentată în Figura 1.57 cu o perioadă adimensională de aproximativ 1.61 la .

Figura 1.57 Oscilații de relaxare ale oscilatorului Van der Pol

Problema cu forța periodică în sistemul van der Pol este mai complexă:

Deoarece sistemul este neliniar, principiul suprapunerii oscilaţiilor libere şi forţate nu este aplicabil.În schimb, mișcarea periodică rezultată capturat la frecvenţa de conducere când este aproape de frecvenţa ciclului limită.

Cu o influență externă slabă, există trei soluții periodice, dar numai una dintre ele este stabilă (vezi figura). Pentru amplitudini mari de forță, există o singură soluție. În orice caz, pe măsură ce deacordarea crește, soluția periodică capturată devine instabilă și alte tipuri de mișcare devin posibile.

Cu diferențe mari între frecvențele naturale și cele naturale, în sistemul Van der Pol apare un nou fenomen - vibrații combinate, numite uneori solutii aproape periodice sau cvasiperiodice, de forma

Când frecvențele și sunt incomensurabile, adică este un număr irațional, soluția se numește cvasiperiodică. Pentru ecuația van der Pol , unde este frecvența ciclului limită al oscilațiilor libere (Figura 1.58).

Figura 1.58 - Curbele de amplitudine pentru forțat

mișcările oscilatorului van der Pol

Despre oscilațiile cvasi-periodice vom vorbi mai jos, dar din moment ce nu sunt periodice, pot fi confundate cu soluții haotice, ceea ce nu sunt. (Pentru ei, spectrul Fourier al soluției constă din două vârfuri la , )

Când , și sunt incomensurabile, portretul de fază al soluției este o traiectorie deschisă, iar o altă metodă este utilizată pentru a reprezenta grafic funcții cvasiperiodice.

Prelevarea de probe stroboscopice se face la intervale de timp; să punem și să notăm , .

Apoi raportul se reduce la