Care este al treilea unghi dintr-un triunghi isoscel? Triunghi isoscel. Teorie detaliată cu exemple. Raza cercului înscris într-un triunghi isoscel

Dintre toate triunghiurile, există două tipuri speciale: triunghiuri dreptunghiulare și triunghiuri isoscele. De ce sunt aceste tipuri de triunghiuri atât de speciale? Ei bine, în primul rând, astfel de triunghiuri se dovedesc extrem de des a fi personajele principale în problemele Examenului de stat unificat din prima parte. Și în al doilea rând, problemele despre triunghiuri drepte și isoscele sunt mult mai ușor de rezolvat decât alte probleme de geometrie. Trebuie doar să cunoașteți câteva reguli și proprietăți. Toate cele mai interesante lucruri sunt discutate în subiectul corespunzător, dar acum să ne uităm la triunghiuri isoscele. Și, în primul rând, ce este un triunghi isoscel? Sau, după cum spun matematicienii, care este definiția unui triunghi isoscel?

Vezi cum arată:

La fel ca un triunghi dreptunghic, un triunghi isoscel are nume speciale pentru laturile sale. Se numesc două laturi egale laturi, iar tertul - bază.

Și din nou atenție la imagine:

Desigur, ar putea fi așa:

Deci fii atent: partea laterală - una din două laturi egaleîntr-un triunghi isoscel și baza este un terț.

De ce este un triunghi isoscel atât de bun? Pentru a înțelege acest lucru, să desenăm înălțimea la bază. Îți amintești ce înălțime are?

Ce s-a întâmplat? Dintr-un triunghi isoscel obținem două dreptunghiulare.

Acest lucru este deja bun, dar acest lucru se va întâmpla în orice, chiar și în cel mai „oblic” triunghi.

Cum este imaginea diferită pentru un triunghi isoscel? Uită-te din nou:

Ei bine, în primul rând, desigur, nu este suficient ca acești matematicieni ciudați doar să vadă - cu siguranță trebuie să demonstreze. În caz contrar, brusc aceste triunghiuri sunt ușor diferite, dar le vom considera la fel.

Dar nu-ți face griji: în acest caz, a dovedi este aproape la fel de ușor ca să vezi.

Să începem? Privește atent, avem:

Și asta înseamnă! De ce? Da, vom găsi pur și simplu și, și din teorema lui Pitagora (amintindu-ne în același timp că)

esti sigur? Ei bine, acum avem

Și pe trei părți - cel mai ușor (al treilea) semn al egalității triunghiurilor.

Ei bine, triunghiul nostru isoscel s-a împărțit în două dreptunghiulare identice.

Vezi cât de interesant este? S-a dovedit că:

Cum vorbesc de obicei matematicienii despre asta? Să mergem în ordine:

(Rețineți că mediana este o linie trasă dintr-un vârf care împarte latura în jumătate, iar bisectoarea este unghiul.)

Ei bine, aici am discutat ce lucruri bune pot fi văzute dacă este dat un triunghi isoscel. Am dedus că într-un triunghi isoscel unghiurile de la bază sunt egale, iar înălțimea, bisectoarea și mediana trasate la bază coincid.

Și acum apare o altă întrebare: cum să recunoaștem un triunghi isoscel? Adică, după cum spun matematicienii, ce sunt semnele unui triunghi isoscel?

Și se dovedește că trebuie doar să „întoarceți” toate afirmațiile invers. Acest lucru, desigur, nu se întâmplă întotdeauna, dar un triunghi isoscel este încă un lucru grozav! Ce se întâmplă după „cifra de afaceri”?

Ei bine, uite:
Dacă înălțimea și mediana coincid, atunci:

Dacă înălțimea și bisectoarea coincid, atunci:

Dacă bisectoarea și mediana coincid, atunci:

Ei bine, nu uitați și folosiți:

Dacă vi se oferă un triunghi triunghi isoscel, nu ezitați să desenați înălțimea, să obțineți două triunghiuri dreptunghiulare și să rezolvați problema despre un triunghi dreptunghic.
Dacă i se dă asta două unghiuri sunt egale, apoi un triunghi exact isoscel și poți desena înălțimea și... (Casa pe care Jack a construit-o...).
Dacă se dovedește că înălțimea este împărțită la jumătate, atunci triunghiul este isoscel cu toate bonusurile care decurg.
Dacă se dovedește că înălțimea împarte unghiul dintre etaje - este și isoscel!
Dacă o bisectoare împarte o latură în jumătate sau o mediană împarte un unghi, atunci se întâmplă și acest lucru numaiîntr-un triunghi isoscel

Să vedem cum arată în sarcini.

Problema 1(cel mai simplu)

Într-un triunghi, laturile și sunt egale, a. Găsi.

Noi decidem:

Mai întâi desenul.

Care este baza aici? Cu siguranță, .

Să ne amintim ce dacă, atunci și.

Desen actualizat:

Să notăm prin. Care este suma unghiurilor unui triunghi? ?

Folosim:

Începem răspuns: .

Nu e greu, nu? Nici nu a trebuit să reglez înălțimea.

Problema 2(De asemenea, nu foarte complicat, dar trebuie să repetăm subiectul)

Într-un triunghi, . Găsi.

Noi decidem:

Triunghiul este isoscel! Desenăm înălțimea (acesta este trucul cu care totul se va decide acum).

Acum haideți să „tașăm din viață”, să ne uităm la ea.

Deci, avem:

Să ne amintim valorile tabelului cosinusului (bine, sau uită-te la foaia de cheat...)

Rămâne doar să găsim: .

Răspuns: .

Rețineți că suntem aici Foarte cunoștințe necesare privind triunghiurile dreptunghiulare și sinusurile și cosinusurile „tabulare”. Foarte des se întâmplă acest lucru: subiectele , „Triunghiul isoscel” și în probleme merg împreună, dar nu sunt foarte prietenoase cu alte subiecte.

Triunghi isoscel. Nivel mediu.

Aceste două laturi egale sunt numite laturi, A a treia latură este baza unui triunghi isoscel.

Priviți imaginea: și - laturile, - baza triunghiului isoscel.

Să folosim o imagine pentru a înțelege de ce se întâmplă acest lucru. Să desenăm o înălțime dintr-un punct.

Aceasta înseamnă că toate elementele corespunzătoare sunt egale.

Toate! Într-o singură lovitură (înălțimea) au dovedit toate afirmațiile deodată.

Și amintiți-vă: pentru a rezolva o problemă despre un triunghi isoscel, este adesea foarte util să coborâți înălțimea până la baza triunghiului isoscel și să o împărțiți în două triunghiuri dreptunghiulare egale.

Semne ale unui triunghi isoscel

Afirmațiile inverse sunt de asemenea adevărate:

Aproape toate aceste afirmații pot fi dovedite din nou „dintr-o singură lovitură”.

1. Deci, lăsați să intre s-a dovedit a fi egal și.

Să verificăm înălțimea. Apoi

2. a) Acum lăsați un triunghi înălțimea și bisectoarea coincid.

2. b) Și dacă înălțimea și mediana coincid? Totul este aproape la fel, nu mai complicat!

- pe două laturi

2. c) Dar dacă nu există înălțime, care este coborât la baza unui triunghi isoscel, atunci nu există triunghiuri dreptunghiulare inițial. Prost!

Dar există o cale de ieșire - citiți-o în următorul nivel al teoriei, deoarece dovezile de aici sunt mai complicate, dar deocamdată amintiți-vă că, dacă mediana și bisectoarea coincid, triunghiul se va dovedi, de asemenea, isoscel și înălțimea va coincide în continuare cu această bisectoare și mediană.

Să rezumăm:

Dacă triunghiul este isoscel, atunci unghiurile de la bază sunt egale, iar altitudinea, bisectoarea și mediana trasate la bază coincid.
Dacă într-un triunghi există două unghiuri egale, sau vreo două dintre cele trei linii (bisectoare, mediană, altitudine) coincid, atunci un astfel de triunghi este isoscel.

Triunghi isoscel. Scurtă descriere și formule de bază

Un triunghi isoscel este un triunghi care are două laturi egale.

Semne ale unui triunghi isoscel:

Dacă într-un anumit triunghi două unghiuri sunt egale, atunci acesta este isoscel.
Dacă într-un triunghi ele coincid:
O) înălțime și bisectoare sau
b) înălțimea și mediana sau
V) mediană și bisectoare,
tras într-o parte, atunci un astfel de triunghi este isoscel.

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru succes promovarea examenului de stat unificat, pentru admiterea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit buna educatie, câștigă mult mai mult decât cei care nu l-au primit. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neaparat cu solutii, analiza detaliatași decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol -
Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - Cumpărați un manual - 899 RUR

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și acces pentru toate sarcinile și pentru toată lumea texte ascunse pot fi deschise imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

Si in concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!

Geometria nu este doar o materie în școală în care trebuie să obții o notă excelentă. Acestea sunt, de asemenea, cunoștințe care sunt adesea cerute în viață. De exemplu, la construirea unei case cu un acoperiș înalt, este necesar să se calculeze grosimea buștenilor și numărul acestora. Acest lucru nu este dificil dacă știi cum să găsești înălțimea într-un triunghi isoscel. Structurile arhitecturale se bazează pe cunoașterea proprietăților forme geometrice. Formele clădirilor seamănă adesea cu ele. Piramide egiptene, pungi de lapte, broderii artistice, picturi nordice și chiar plăcinte - toate acestea sunt triunghiuri care înconjoară o persoană. După cum spunea Platon, întreaga lume se bazează pe triunghiuri.

Triunghi isoscel

Un triunghi este isoscel dacă are două laturi egale. Ei sunt întotdeauna numiți lateral. Latura ale cărei dimensiuni diferă se numește bază.

Concepte de bază

Ca orice știință, geometria are regulile și conceptele sale de bază. Sunt destul de multe. Să luăm în considerare doar acelea fără de care subiectul nostru va fi oarecum de neînțeles.

Înălțimea este o linie dreaptă trasată perpendicular pe partea opusă.

Mediana este un segment îndreptat de la orice vârf al unui triunghi exclusiv către mijlocul laturii opuse.

Bisectoarea unghiului este o rază care bisectează unghiul.

Bisectoarea unui triunghi este o linie dreaptă, sau mai bine zis, un segment care leagă un vârf de latura opusă.

Este foarte important să ne amintim că bisectoarea unui unghi este în mod necesar o rază, iar bisectoarea unui triunghi face parte dintr-o astfel de rază.

Unghiuri la bază

Teorema afirmă că unghiurile de la baza oricărui triunghi isoscel sunt întotdeauna egale. Demonstrarea acestei teoreme este foarte simplă. Luați în considerare isoscelul ilustrat triunghiul ABC, pentru care AB = BC. Din unghiul ABC este necesar să se deseneze o bisectoare VD. Acum ar trebui să luăm în considerare cele două triunghiuri rezultate. Conform condiției AB = BC, latura WD a triunghiurilor este comună, iar unghiurile AVD și SVD sunt egale, deoarece WD este bisectoare. Amintindu-ne de primul semn de egalitate, putem concluziona cu siguranță că triunghiurile în cauză sunt egale. Prin urmare, toate unghiurile corespunzătoare sunt egale. Și, desigur, părțile laterale, dar vom reveni la acest punct mai târziu.

Înălțimea unui triunghi isoscel

Teorema principală pe care se bazează soluția la aproape toate problemele este următoarea: înălțimea într-un triunghi isoscel este bisectoarea și mediana. Pentru a înțelege sensul său practic (sau esența), ar trebui să faceți un manual auxiliar. Pentru a face acest lucru, trebuie să tăiați un triunghi isoscel din hârtie. Cel mai simplu mod de a face acest lucru este dintr-o foaie de caiet obișnuită într-o cutie.

Îndoiți triunghiul rezultat în jumătate, aliniind laturile. Ce s-a întâmplat? Două triunghiuri egale. Acum ar trebui să vă verificați presupunerile. Desfaceți origami rezultat. Desenați o linie de pliere. Cu ajutorul unui raportor, verificați unghiul dintre linia trasată și baza triunghiului. Ce înseamnă un unghi de 90 de grade? Că linia trasată este perpendiculară. Prin definiție - înălțime. Ne-am dat seama cum să găsim înălțimea într-un triunghi isoscel. Acum să ne ocupăm de unghiurile vârfurilor. Folosind același raportor, verificați unghiurile formate de înălțimea acum. Sunt egali. Aceasta înseamnă că înălțimea este și o bisectoare. Înarmați cu o riglă, măsurați segmentele în care este împărțită înălțimea bazei. Sunt egali. Prin urmare, altitudinea într-un triunghi isoscel traversează baza și este mediana.

Demonstrarea teoremei

Un ajutor vizual demonstrează clar adevărul teoremei. Dar geometria este o știință destul de precisă, așa că necesită dovezi.

Luând în considerare egalitatea unghiurilor de la bază, egalitatea triunghiurilor a fost dovedită. Amintiți-vă că WD este o bisectoare, iar triunghiurile AVD și SVD sunt egale. Concluzia a fost următoarea: laturile corespunzătoare ale triunghiului și, firește, unghiurile sunt egale. Deci, BP = DM. Prin urmare, VD este mediana. Rămâne de demonstrat că VD este o înălțime. Pe baza egalității triunghiurilor luate în considerare, se dovedește că unghiul ADV este egal cu unghiul DDV. Dar aceste două unghiuri sunt adiacente și, după cum știți, se adună până la 180 de grade. Prin urmare, cu ce sunt ele egale? Desigur, 90 de grade. Astfel, VD este înălțimea într-un triunghi isoscel trasat la bază. Q.E.D.

Caracteristici principale

Pentru a rezolva cu succes problemele, ar trebui să vă amintiți principalele caracteristici ale triunghiurilor isoscele. Ele sunt, parcă, opusul teoremelor.
Dacă, în timpul rezolvării unei probleme, se constată că două unghiuri sunt egale, atunci ai de-a face cu un triunghi isoscel.
Dacă puteți demonstra că mediana este și altitudinea triunghiului, nu ezitați să concluzionați că triunghiul este isoscel.
Dacă bisectoarea este și o înălțime, atunci, pe baza principalelor caracteristici, triunghiul este clasificat ca isoscel.
Și, desigur, dacă mediana acționează și ca înălțime, atunci un astfel de triunghi este isoscel.

Înălțime Formula 1

Cu toate acestea, majoritatea problemelor necesită găsirea valorii aritmetice a înălțimii. De aceea, vom lua în considerare cum să găsim înălțimea într-un triunghi isoscel.

Să revenim la figura ABC prezentată mai sus, în care a este laturile, b este baza. VD este înălțimea acestui triunghi, este desemnat h.

Ce este triunghiul AED? Deoarece VD este înălțimea, triunghiul ABC este un triunghi dreptunghiular, al cărui catet trebuie găsit. Folosind formula lui Pitagora, obținem:

AB² = AD² + VD²

Determinând VD din expresie și înlocuind notațiile acceptate anterior, obținem:

Н² = а² - (в/2)².

Trebuie să extrageți rădăcina:

Н = √а² - в²/4.

Dacă eliminați ¼ de sub semnul rădăcinii, formula va arăta astfel:

H = ½ √4a² - b².

Așa găsiți înălțimea într-un triunghi isoscel. Formula decurge din teorema lui Pitagora. Chiar dacă uiți această notație simbolică, atunci, cunoscând metoda de găsire, o poți deriva oricând.

Înălțimea Formula 2

Formula descrisă mai sus este cea de bază și este cel mai des folosită la rezolvarea majorității problemelor geometrice. Dar nu este singura. Uneori condiția, în loc de bază, dă valoarea unghiului. Având în vedere astfel de date, cum să găsiți înălțimea într-un triunghi isoscel? Pentru a rezolva astfel de probleme, este recomandabil să folosiți o altă formulă:

unde H este înălțimea îndreptată către bază,

a - partea,

α - unghi la bază.

Dacă problemei i se dă valoarea unghiului vârfului, atunci înălțimea într-un triunghi isoscel se găsește după cum urmează:

Н = а/cos (β/2),

unde H este înălțimea coborâtă până la bază,

β - unghiul vârfurilor,

a - latura.

Triunghi isoscel drept

Un triunghi al cărui vârf este de 90 de grade are o proprietate foarte interesantă. Luați în considerare ABC. Ca și în cazurile anterioare, HP este înălțimea îndreptată spre bază.

Unghiurile de la bază sunt egale. Nu va fi dificil să le calculezi:

α = (180 - 90)/2.

Astfel, unghiurile de la bază sunt întotdeauna de 45 de grade. Acum luați în considerare triunghiul ADV. De asemenea, este dreptunghiular. Să găsim unghiul AVD. Prin calcule simple obținem 45 de grade. Și, prin urmare, acest triunghi nu este doar dreptunghic, ci și isoscel. Laturile AD și HP sunt laturi laterale și sunt egale între ele.

Dar latura AD este în același timp jumătate din partea AC. Se dovedește că înălțimea într-un triunghi isoscel este egală cu jumătate din bază, iar dacă o scriem sub forma unei formule, obținem următoarea expresie:

Nu trebuie uitat că această formulă este un caz extrem de special și poate fi folosit doar pentru triunghiuri isoscele drepte.

Triunghiuri de aur

Triunghiul de aur este foarte interesant. În această figură, raportul dintre latură și bază este egal cu o valoare numită numărul Fidias. Unghiul situat în partea de sus este de 36 de grade, la bază - 72 de grade. Pitagoreii au admirat acest triunghi. Principiile Triunghiului de Aur formează baza multor capodopere nemuritoare. Cel cunoscut este construit pe intersecția triunghiurilor isoscele. Leonardo da Vinci a folosit principiul „triunghiului de aur” pentru multe dintre creațiile sale. Compoziția „La Gioconda” se bazează tocmai pe figurile care creează un pentagon obișnuit în formă de stea.

Tabloul „Cubismul”, una dintre creațiile lui Pablo Picasso, captivează ochiul cu triunghiurile sale isoscele ca bază.

Triunghi isoscel este un triunghi în care lungimile celor două laturi ale sale sunt egale între ele.

Nota. Din definiția unui triunghi isoscel rezultă că și un triunghi obișnuit este isoscel. Cu toate acestea, trebuie amintit că afirmația opusă nu este adevărată.

Proprietățile unui triunghi isoscel

Proprietățile prezentate mai jos sunt utilizate în rezolvarea problemelor. Deoarece sunt cunoscute pe scară largă, se înțelege că nu au nevoie de explicații. Prin urmare, referirea la acestea este omisă în textele problemelor.

Unghiuri egalîntre ei.
Bisectoare, mediane și înălțimi desenat din unghiuri opuse laturilor egale ale unui triunghi, egalîntre ei.
Bisectoare, mediană și înălțime, dus la bază, meciîntre ei.
Centrele cercurilor înscrise și circumscrise se află la înălțimea, bisectoare și mediană (coincid) trase la bază.
Unghiuri, laturile egale opuse ale unui triunghi isoscel, mereu picant.

Laturile dintr-un triunghi isoscel pot fi calculate folosind formule care exprimă lungimea lor în termeni de alte laturi și unghiuri a căror mărime este cunoscută.

Latura laterală a unui triunghi isoscel este egală cu câtul bazei împărțit la cosinusul dublu al unghiului de la bază (Formula 1). Această identitate poate fi obținută prin transformări simple din teorema cosinusului.

Baza unui triunghi isoscel este egală cu produsul laturii laterale și rădăcină pătrată din diferența dublă a unității și cosinusul unghiului la vârf (Formula 2)

Baza unui triunghi isoscel este egală cu dublul produsului dintre latura laterală și sinusul jumătății unghiului vârfului. (Formula 3)

Baza unui triunghi isoscel este egală cu dublul produsului dintre latura laterală și cosinusul unghiului de la baza sa (Formula 4).

Raza cercului înscris într-un triunghi isoscel

Denumirile din formule pot fi văzute în figura de mai sus.

Raza cercului înscris pentru un triunghi isoscel poate fi găsită pe baza valorilor bazei și ale fiecărei laturi. (Formula 1)

Raza cercului înscris pentru un triunghi isoscel poate fi determinată pe baza valorilor bazei și a înălțimii trasate la această bază (Formula 2)

Raza unui cerc înscris într-un triunghi isoscel poate fi calculată și prin lungimea laturii și înălțimea trase la baza triunghiului (Formula 3)

Cunoașterea unghiului dintre laturi și lungimea bazei vă permite, de asemenea, să determinați raza cercului înscris (Formula 4)

O formulă similară (5) vă permite să determinați raza cercului înscris prin laturi și unghiul dintre ele

Semne ale unui triunghi isoscel

Un triunghi care are următoarele caracteristici este isoscel.

Două unghiuri ale unui triunghi sunt egale
Înălțimea coincide cu mediana
Înălțimea coincide cu bisectoarea
Bisectoarea coincide cu mediana
Două înălțimi sunt egale
Două mediane sunt egale
Două bisectoare sunt egale

Aria unui triunghi isoscel

Aria unui triunghi isoscel se găsește folosind următoarele formule:

,
Unde
o- lungimea uneia dintre cele două laturi egale ale triunghiului
b- lungimea bazei
α - dimensiunea unuia dintre cele două unghiuri egale la bază

β - dimensiunea unghiului dintre laturi egale triunghiul și baza sa opusă.

Un triunghi în care două laturi sunt egale între ele se numește isoscel. Aceste laturi se numesc laterale, iar a treia latura se numeste baza. În acest articol vă vom spune despre proprietățile unui triunghi isoscel.

Teorema 1

Unghiurile de lângă baza unui triunghi isoscel sunt egale între ele

Demonstrarea teoremei.

Să presupunem că avem un triunghi isoscel ABC a cărui bază este AB. Să ne uităm la triunghiul BAC. Aceste triunghiuri, după primul semn, sunt egale între ele. Acest lucru este adevărat, deoarece BC = AC, AC = BC, unghiul ACB = unghiul ACB. Rezultă că unghiul BAC = unghiul ABC, deoarece acestea sunt unghiurile corespunzătoare triunghiurilor noastre egale. Iată proprietatea unghiurilor unui triunghi isoscel.

Teorema 2

Mediana dintr-un triunghi isoscel, care este trasă la baza sa, este, de asemenea, înălțimea și bisectoarea

Demonstrarea teoremei.

Să presupunem că avem un triunghi isoscel ABC, a cărui bază este AB și CD este mediana pe care am tras-o la baza lui. În triunghiurile ACD și BCD, unghiul CAD = unghiul CBD, ca unghiuri corespunzătoare la baza unui triunghi isoscel (Teorema 1). Și latura AC = latura BC (prin definiția unui triunghi isoscel). Latura AD = latura BD, deoarece punctul D împarte segmentul AB în părți egale. Rezultă că triunghiul ACD = triunghiul BCD.

Din egalitatea acestor triunghiuri avem egalitatea unghiurilor corespunzătoare. Adică unghiul ACD = unghiul BCD și unghiul ADC = unghiul BDC. Din egalitatea 1 rezultă că CD este o bisectoare. Și unghiul ADC și unghiul BDC sunt unghiuri adiacente, iar din egalitatea 2 rezultă că ambele sunt unghiuri drepte. Se pare că CD este înălțimea triunghiului. Aceasta este proprietatea medianei unui triunghi isoscel.

Și acum puțin despre semnele unui triunghi isoscel.

Teorema 3

Dacă două unghiuri dintr-un triunghi sunt egale între ele, atunci un astfel de triunghi este isoscel

Demonstrarea teoremei.

Să presupunem că avem un triunghi ABC în care unghiul CAB = unghiul CBA. Triunghiul ABC = triunghiul BAC conform celui de-al doilea criteriu de egalitate între triunghiuri. Acest lucru este adevărat, deoarece AB = BA; unghi CBA = unghi CAB, unghi CAB = unghi CBA. Din această egalitate a triunghiurilor avem egalitatea laturilor corespunzătoare ale triunghiului - AC = BC. Apoi se dovedește că triunghiul ABC este isoscel.

Teorema 4

Dacă în orice triunghi mediana sa este și altitudinea, atunci un astfel de triunghi este isoscel

Demonstrarea teoremei.

În triunghiul ABC vom desena mediana CD. Va fi și înălțimea. Triunghi dreptunghic ACD = triunghi dreptunghic BCD, deoarece piciorul CD le este comun, iar piciorul AD = piciorul BD. De aici rezultă că ipotenuzele lor sunt egale între ele, ca părți corespunzătoare ale triunghiurilor egale. Aceasta înseamnă că AB = BC.

Teorema 5

Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci aceste triunghiuri sunt congruente

Demonstrarea teoremei.

Să presupunem că avem un triunghi ABC și un triunghi A1B1C1 astfel încât laturile AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Să considerăm demonstrarea acestei teoreme prin contradicție.

Să presupunem că aceste triunghiuri nu sunt egale între ele. De aici avem că unghiul BAC nu este egal cu unghiul B1A1C1, unghiul ABC nu este egal cu unghiul A1B1C1, unghiul ACB nu este egal cu unghiul A1C1B1 în același timp. În caz contrar, aceste triunghiuri ar fi egale conform criteriilor discutate mai sus.

Să presupunem că triunghiul A1B1C2 = triunghiul ABC. Într-un triunghi, vârful C2 se află cu vârful C1 în raport cu dreapta A1B1 în același semiplan. Am presupus că vârfurile C2 și C1 nu coincid. Să presupunem că punctul D este mijlocul segmentului C1C2. Deci avem triunghiuri isoscele B1C1C2 și A1C1C2, care au teren comun C1C2. Se pare că medianele lor B1D și A1D sunt și înălțimile lor. Aceasta înseamnă că dreapta B1D și dreapta A1D sunt perpendiculare pe dreapta C1C2.

B1D și A1D au puncte diferite B1 și A1 și, prin urmare, nu pot coincide. Dar prin punctul D al dreptei C1C2 putem trage doar o singură dreaptă perpendiculară pe acesta. Avem o contradicție.

Acum știi care sunt proprietățile unui triunghi isoscel!