Avion în spațiu - informații necesare. Poziția relativă a unei drepte și a unui plan. un semn de paralelism între o dreaptă și un plan Poziția relativă a unei drepte și a unui plan.

Poziția relativă a dreptei și a planului este determinată de numărul de puncte comune :

1) dacă o dreaptă are două puncte comune cu un plan, atunci ea aparține acestui plan,

2) dacă o dreaptă are un punct comun cu un plan, atunci linia intersectează planul,

3) dacă punctul de intersecție al unei drepte cu un plan este îndepărtat la infinit, atunci linia și planul sunt paralele.

Sarcini care determina poziție relativă diferitele figuri geometrice unele față de altele se numesc probleme de poziție.

Linia aparținând avionului a fost luată în considerare mai devreme.

O linie dreaptă este paralelă cu un plan, dacă este paralelă cu o dreaptă situată în acest plan. Pentru a construi o astfel de linie dreaptă, trebuie să specificați orice linie dreaptă în plan și să desenați paralela cu aceasta pe cea necesară.

Orez. 1.53 Fig. 1.54 Fig. 1.55

Lăsați să treacă O(Fig. 1.53) este necesar să se tragă o linie dreaptă AB, paralel cu planul Q, definit printr-un triunghi CDF. Pentru a face acest lucru, prin proiecția frontală a punctului O / puncte O hai sa facem o proiectie frontala a/b/ linia dorită paralelă cu proiecția frontală a oricărei linii situate în plan R, de exemplu, drept CD (a/b/!!s/d/). Prin proiecție orizontală O puncte O paralel sd efectuați o proiecție orizontală aw linia dreaptă dorită AB (av11 sd). Drept AB paralel cu planul R, dat de un triunghi CDF.

Dintre toate pozițiile posibile ale unei drepte care intersectează un plan, notăm cazul când linia este perpendiculară pe plan. Să luăm în considerare proprietățile proiecțiilor unei astfel de linii.

Orez. 1,56 Fig. 1,57

O linie dreaptă este perpendiculară pe plan(un caz special de intersecție a unei drepte și a unui plan) dacă este perpendiculară pe orice dreptă situată în plan. Pentru a construi proiecții ale unei perpendiculare pe un plan într-o poziție generală, acest lucru nu este suficient fără a transforma proiecțiile. Prin urmare, se introduce o condiție suplimentară: o dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte principale care se intersectează(pentru a construi proiecții se folosește condiția de proiecție unghi drept). În acest caz: proiecțiile orizontale și frontale ale perpendicularei sunt perpendiculare, respectiv, proiecției orizontale a orizontalei și proiecției frontale a frontalului unui plan dat de poziție generală (Fig. 1.54). La precizarea unui plan prin urme, proiecţiile perpendicularei sunt perpendiculare, respectiv, frontale pe urma frontală, orizontale pe urma orizontală a planului (Fig. 1.55).

Intersecția unei drepte cu un plan proeminent. Să luăm în considerare o linie dreaptă care intersectează un plan, când avionul se află într-o anumită poziție.

Un plan perpendicular pe planul de proiecție (planul de proiecție) este proiectat pe acesta ca o linie dreaptă. Pe această dreaptă (proiecția planului) trebuie să existe o proiecție corespunzătoare a punctului în care o anumită dreaptă intersectează acest plan (Fig. 1.56).

În figura 1.56, proiecția frontală a punctului LA intersecția unei linii drepte AB cu triunghi СDE este determinată la intersecţia proiecţiilor lor frontale, deoarece triunghi СDE proiectat pe planul frontal sub forma unei linii drepte. Găsim proiecția orizontală a punctului de intersecție a dreptei cu planul (se află pe proiecția orizontală a dreptei). Folosind metoda punctelor concurente, determinăm vizibilitatea liniei AB raportat la planul triunghiului СDE pe planul orizontal de proiecție.

Figura 1.59 prezintă un plan de proiecție orizontal Pși o linie dreaptă în poziție generală AB. Deoarece avion R este perpendicular pe planul orizontal al proiecțiilor, apoi tot ceea ce este în el este proiectat pe planul orizontal al proiecțiilor pe urma sa, inclusiv punctul de intersecție cu linia. AB. În consecință, în desenul complex avem o proiecție orizontală a punctului de intersecție a dreptei cu planul R. Pe baza faptului că un punct aparține unei linii drepte, găsim proiecția frontală a punctului de intersecție al dreptei. AB c avion R. Determinăm vizibilitatea liniei pe planul frontal al proiecțiilor.

Orez. 1,58 Fig. 1,59

Este dată figura 1.58 desen complex construirea proiecțiilor punctului de intersecție a unei drepte AB cu plan de nivel orizontal G. Urmă plană frontală G este proiecția sa frontală. Proiecția frontală a punctului de intersecție plan G cu o linie dreaptă AB va fi determinată la intersecţia proiecţiei frontale a dreptei şi a traseului frontal al planului. Având o proiecție frontală a punctului de intersecție, găsim proiecția orizontală a punctului de intersecție a liniei AB cu avionul G.

Figura 1.57 prezintă un plan generic definit de un triunghi CDEși linia de proiectare frontală AB? planul care se intersectează într-un punct K. Proiecția frontală a punctului - k/ coincide cu punctele o/Şi b/ . Pentru a construi o proiecție orizontală a punctului de intersecție, trageți prin punct Kîn avion CDE direct (de exemplu, 1-2 ). Să construim proiecția sa frontală, apoi una orizontală. Punct K este punctul de intersecție al dreptelor ABŞi 1-2. Acesta este ideea K simultan aparține liniei ABși planul triunghiului și, prin urmare, este punctul de intersecție a acestora.

Intersecția a două plane. Linia dreaptă de intersecție a două plane este determinată de două puncte, fiecare dintre ele aparținând ambelor plane, sau un punct aparținând două plane, și direcția cunoscută a dreptei. În ambele cazuri, sarcina este de a găsi un punct comun celor două planuri.

Intersecția planurilor proiectate. Două plane pot fi paralele unul cu celălalt sau se pot intersecta. Să luăm în considerare cazurile de intersecție reciprocă a planurilor.

Linia dreaptă obținută prin intersecția reciprocă a două plane este complet determinată de două puncte, fiecare dintre ele aparținând ambelor plane, prin urmare, este necesar și suficient să se găsească aceste două puncte aparținând dreptei de intersecție a două plane date;

Prin urmare, în cazul general, pentru a construi linia de intersecție a două plane, este necesar să găsiți oricare două puncte, fiecare dintre acestea aparținând ambelor plane. Aceste puncte determină linia de intersecție a planurilor. Pentru a găsi fiecare dintre aceste două puncte, de obicei trebuie să efectuați construcții speciale. Dar dacă cel puțin unul dintre planurile care se intersectează este perpendicular (sau paralel) pe orice plan de proiecție, atunci construirea proiecției dreptei de intersecție a acestora este simplificată.

Orez. 1,60 Fig. 1,61

Dacă planurile sunt definite prin urme, atunci este firesc să se caute puncte care definesc linia de intersecție a planurilor la punctele de intersecție a acelorași urme de planuri în perechi: linia care trece prin aceste puncte este comună ambelor plane, adică linia lor de intersecție.

Să luăm în considerare cazuri speciale de locație a unuia (sau ambelor) planuri care se intersectează.

Desenul complex (Fig. 1.60) prezintă planuri proiectate orizontal PŞi Q. Apoi proiecția orizontală a liniei lor de intersecție degenerează într-un punct, iar proiecția frontală într-o linie dreaptă perpendiculară pe axă. Oh.

Desenul complex (Fig. 1.61) prezintă plane de o anumită poziţie: plan R perpendicular pe planul de proiecție orizontal (planul de proiecție orizontal) și pe plan Q- plan de nivel orizontal. În acest caz, proiecția orizontală a liniei lor de intersecție va coincide cu urma orizontală a planului R, iar frontal – cu urma frontală a planului Q.

În cazul specificării planurilor cu urme, este ușor de stabilit că aceste planuri se intersectează: dacă cel puțin o pereche de urme cu același nume se intersectează, atunci planurile se intersectează.

Cele de mai sus se aplică planurilor definite de urme care se intersectează. Dacă ambele planuri au urme pe planurile orizontale și frontale care sunt paralele între ele, atunci aceste planuri pot fi paralele sau se pot intersecta. Poziția relativă a unor astfel de planuri poate fi judecată prin construirea unei a treia proiecții (a treia urmă). Dacă urmele ambelor plane de pe a treia proiecție sunt și ele paralele, atunci planurile sunt paralele între ele. Dacă urmele de pe al treilea plan se intersectează, atunci planurile specificate în spațiu se intersectează.

Desenul complex (Fig. 1.62) prezintă plane proiectate frontal definite de un triunghi ABCŞi DEF. Proiecția dreptei de intersecție pe planul frontal al proiecțiilor este un punct, i.e. întrucât triunghiurile sunt perpendiculare pe planul frontal al proiecțiilor, atunci linia lor de intersecție este și perpendiculară pe planul frontal al proiecțiilor. Prin urmare, proiecția orizontală a dreptei de intersecție a triunghiurilor ( 12 ) perpendicular pe ax Oh. Vizibilitatea elementelor triunghiulare pe planul orizontal de proiecție este determinată folosind puncte concurente (3,4).

În desenul complex (Fig. 1.63) sunt specificate două plane: dintre care unul este un triunghi ABC poziție generală, celălalt - un triunghi DEF perpendicular pe planul frontal al proiecțiilor, i.e. situat într-o poziție privată (proiectată frontal). Proiectia frontala a liniei de intersectie a triunghiurilor ( 1 / 2 / ) se găsește pe baza punctelor comune aparținând simultan ambelor triunghiuri (tot ce se află în triunghiul care se proiectează frontal). DEF pe proiecția frontală va avea ca rezultat o linie - proiecția sa pe planul frontal, inclusiv linia de intersecție cu triunghiul ABC. Prin apartenența punctelor de intersecție la laturile triunghiului ABC, găsim proiecția orizontală a dreptei de intersecție a triunghiurilor. Folosind metoda punctelor concurente, determinăm vizibilitatea elementelor triunghiulare pe planul orizontal de proiecție.

Orez. 1.63 Fig. 1,64

Figura 1.64 prezintă un desen complex de două plane definite de un triunghi generic ABCși plan orizontal de proiecție R, dat de urme. De când avionul R– proiectând orizontal, apoi tot ce se află în el, inclusiv linia de intersecție cu planul triunghiului ABC, pe proiecția orizontală va coincide cu ea

traseu orizontal. Găsim proiecția frontală a dreptei de intersecție a acestor plane din condiția ca punctele elementului să aparțină (laturilor) unui plan în poziție generală.

În cazul precizării planurilor de poziție generală nu prin urme, apoi pentru a obține linia de intersecție a planelor, se găsește succesiv punctul de întâlnire a laturii unui triunghi cu planul altui triunghi. Dacă planurile în poziție generală nu sunt definite prin triunghiuri, atunci linia de intersecție a unor astfel de planuri poate fi găsită prin introducerea alternativă a două planuri de tăiere auxiliare - proiectare (pentru a defini planuri prin triunghiuri) sau un nivel pentru toate celelalte cazuri.

Intersecția unei linii generice cu un plan generic. Anterior, cazurile de intersecție a avioanelor erau luate în considerare atunci când unul dintre ele era proiectat. Pe baza acesteia, putem găsi punctul de intersecție al unei drepte generice cu un plan generic prin introducerea unui plan intermediar proiectant suplimentar.

Înainte de a lua în considerare intersecția planurilor generice, luați în considerare intersecția unei linii generice cu un plan generic.

Pentru a găsi punctul de întâlnire al unei drepte în poziție generală cu un plan în poziție generală, trebuie să:

1) includeți linia dreaptă într-un plan de proiecție auxiliar,

2) găsiți linia de intersecție a planurilor date și auxiliare,

determinați un punct comun care aparține simultan la două plane (aceasta este linia lor de intersecție) și o dreaptă.

Orez. 1,65 Fig. 1,66

Orez. 1,67 Fig. 1,68

Desenul complex (Fig. 1.65) prezintă un triunghi СDE pozitie generala si dreapta AB pozitia generala. Pentru a găsi punctul de intersecție al unei drepte cu un plan, încheiem o dreaptă AB Q. Să găsim linia de intersecție ( 12 ) plan mediator Qși un avion dat СDE. Când construiți o proiecție orizontală a liniei de intersecție, există un punct comun LA, aparținând simultan la două planuri și o dreaptă dată AB. Din apartenența unui punct la o dreaptă, găsim proiecția frontală a punctului de intersecție a dreptei cu un plan dat. Vizibilitatea elementelor de linie pe planurile de proiecție este determinată folosind puncte concurente.

Figura 1.66 prezintă un exemplu de găsire a punctului de întâlnire al unei linii drepte AB, care este o linie orizontală (o linie paralelă cu planul orizontal al proiecțiilor) și un plan R, poziție generală, dată de urme. Pentru a găsi punctul lor de intersecție, o linie dreaptă AB se află în planul proiectat orizontal Q. Apoi procedați ca în exemplul de mai sus.

Pentru a găsi punctul de întâlnire al unei linii care se proiectează orizontal AB cu un plan în poziție generală (Fig. 1.67), prin punctul de intersecție al dreptei cu planul (proiecția orizontală a acesteia coincide cu proiecția orizontală a dreptei în sine), trasăm o linie orizontală (adică legăm punctul de intersecție al dreptei cu planul cu planul R). După ce am găsit proiecția frontală a liniei orizontale trasate în plan R, marcați proiecția frontală a punctului de întâlnire al dreptei AB cu avionul R.

Pentru a găsi linia de intersecție a planurilor generice definite prin urme, este suficient să marchezi două puncte comune care aparțin simultan ambelor plane. Astfel de puncte sunt punctele de intersecție ale urmelor lor (Fig. 1.68).

Pentru a găsi dreapta de intersecție a planurilor generice definite de două triunghiuri (Fig. 1.69), găsim succesiv punctul

întâlnirea laturii unui triunghi cu planul altui triunghi. Luând oricare două laturi din orice triunghi, încadrându-le în planurile proeminente ale intermediarilor, se găsesc două puncte care aparțin simultan ambelor triunghiuri - linia de intersecție a acestora.

Figura 1.69 prezintă un desen cuprinzător al triunghiurilor ABCŞi DEF pozitia generala. Pentru a găsi linia de intersecție a acestor plane:

1. Încheiem o petrecere Soare triunghi ABCîn planul proiectat frontal S(alegerea avioanelor este complet arbitrară).

2. Aflați linia de intersecție a planului S si avioane DEF – 12 .

3. Marcați proiecția orizontală a punctului de întâlnire (punctul comun al celor două triunghiuri) LA de la intersecția 12 și Soareși găsiți proiecția sa frontală pe proiecția frontală a dreptei Soare.

4. Desenați un al doilea plan auxiliar de proiecție Q prin lateral DF triunghi DEF.

5. Aflați linia de intersecție a planului Qși triunghi ABC - 3 4.

6. Marcați proiecția orizontală a punctului L, care este punctul de întâlnire al partidului DF cu un plan triunghiular ABCși găsiți proiecția sa frontală.

7. Conectarea proiecțiilor punctelor cu același nume LAŞi L. la L– linia de intersecție a planurilor generice definite prin triunghiuri ABCŞi DEF.

8. Folosind metoda punctelor concurente, determinăm vizibilitatea elementelor triunghiulare pe planurile de proiecție.

Deoarece cele de mai sus sunt valabile și pentru liniile principale ale planelor paralele, putem spune că planurile sunt paralele dacă urmele lor cu același nume sunt paralele(Fig. 1.71).
Figura 1.72 prezintă construcția unui plan paralel cu unul dat și care trece printr-un punct O.În primul caz, prin punct O o linie dreaptă (fronta) este trasată paralelă cu planul dat G. Astfel, se desenează un avion R conţinând o dreaptă paralelă cu un plan dat Gși paralel cu acesta. În al doilea caz, prin punct O se trasează un plan definit de liniile principale cu condiția ca aceste drepte să fie paralele cu planul dat G.

Planuri reciproc perpendiculare.Dacă un avion conține

cel puțin o dreaptă perpendiculară pe alt plan, atunci așa

planurile sunt perpendiculare.În figura 1.73 sunt prezentate planuri reciproc perpendiculare. Figura 1.74 prezintă construcția unui plan perpendicular pe cel specificat prin punct O, folosind condiția de perpendicularitate a dreptei (in în acest caz, linii principale) plan.

În primul caz, prin punct O se trasează o linie frontală perpendiculară pe plan R, se construiește urma sa orizontală și se trasează prin ea urma orizontală a planului Q, perpendicular pe urma orizontală a planului R. Prin punctul de fuga rezultat Q X se trasează o urmă frontală a planului Q perpendicular pe urma frontală a planului R.

În al doilea caz, liniile orizontale sunt trasate în planul triunghiului FI si fata B.F.și printr-un punct dat O definim planul prin intersectarea liniilor drepte (linii principale), perpendicular pe plan triunghi. Pentru a face acest lucru, tragem prin punct O orizontală și frontală. Proiecția orizontală a orizontalei planului dorit ( N) desenăm perpendicular pe proiecția orizontală a orizontalei triunghiului, proiecția frontală a frontului noului plan ( M) – perpendicular pe proiecția frontală a frontalei triunghiului.

În planimetrie, avionul este una dintre figurile principale, prin urmare, este foarte important să aveți o înțelegere clară a acestuia. Acest articol a fost creat pentru a acoperi acest subiect. În primul rând, este dat conceptul de plan, reprezentarea sa grafică și sunt prezentate denumirile planurilor. În continuare, planul este considerat împreună cu un punct, o linie dreaptă sau un alt plan, iar opțiunile apar din poziția relativă în spațiu. În al doilea și al treilea și al patrulea paragraf ale articolului sunt analizate toate opțiunile pentru poziția relativă a două plane, o linie dreaptă și un plan, precum și punctele și planurile, sunt date axiomele de bază și ilustrațiile grafice. În concluzie, sunt date principalele metode de definire a unui plan în spațiu.

Navigare în pagină.

Avion - concepte de bază, simboluri și imagine.

Cel mai simplu și de bază forme geometrice V spatiu tridimensional sunt un punct, o dreaptă și un plan. Avem deja o idee despre un punct și o linie pe un plan. Dacă plasăm un plan pe care punctele și liniile sunt reprezentate în spațiul tridimensional, atunci obținem puncte și linii în spațiu. Ideea unui avion în spațiu ne permite să obținem, de exemplu, suprafața unei mese sau a unui perete. Cu toate acestea, o masă sau un perete are dimensiuni finite, iar planul se extinde dincolo de limitele sale până la infinit.

Punctele și liniile din spațiu sunt desemnate în același mod ca pe un plan - cu litere mari și, respectiv, mici latine. De exemplu, punctele A și Q, liniile a și d. Dacă sunt date două puncte situate pe o linie, atunci linia poate fi notată cu două litere corespunzătoare acestor puncte. De exemplu, dreapta AB sau BA trece prin punctele A și B. Avioanele sunt de obicei notate cu litere grecești mici, de exemplu, avioane sau.

Când rezolvați probleme, devine necesar să reprezentați planuri într-un desen. Un plan este de obicei descris ca un paralelogram sau o regiune închisă simplă arbitrară.

Planul este de obicei considerat împreună cu puncte, drepte sau alte planuri și apar probleme. diverse opțiuni poziţia lor relativă. Să trecem la descrierea lor.

Poziția relativă a planului și a punctului.

Să începem cu axioma: există puncte în fiecare plan. Din aceasta urmează prima opțiune pentru poziția relativă a planului și a punctului - punctul poate aparține planului. Cu alte cuvinte, un avion poate trece printr-un punct. Pentru a indica faptul că un punct aparține unui plan, se folosește simbolul „”. De exemplu, dacă avionul trece prin punctul A, atunci puteți scrie pe scurt .

Trebuie înțeles că pe un plan dat în spațiu există infinit de puncte.

Următoarea axiomă arată câte puncte din spațiu trebuie marcate pentru ca acestea să definească un anumit plan: prin trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă trece un plan și doar unul. Dacă sunt cunoscute trei puncte situate într-un plan, atunci planul poate fi notat cu trei litere corespunzătoare acestor puncte. De exemplu, dacă un avion trece prin punctele A, B și C, atunci poate fi desemnat ABC.

Să formulăm o altă axiomă, care dă a doua versiune a poziției relative a planului și a punctului: există cel puțin patru puncte care nu se află în același plan. Deci, un punct din spațiu poate să nu aparțină planului. Într-adevăr, în virtutea axiomei anterioare, un plan trece prin trei puncte din spațiu, iar al patrulea punct se poate afla sau nu pe acest plan. Când scrieți pe scurt, utilizați simbolul „”, care este echivalent cu expresia „nu aparține”.

De exemplu, dacă punctul A nu se află în plan, atunci utilizați notația scurtă.

Linie dreaptă și plană în spațiu.

În primul rând, o linie dreaptă poate fi situată într-un plan. În acest caz, cel puțin două puncte ale acestei linii se află în plan. Acest lucru este stabilit de axioma: dacă două puncte ale unei drepte se află într-un plan, atunci toate punctele acestei drepte se află în plan. Pentru a înregistra pe scurt apartenența unei anumite linii la un plan dat, utilizați simbolul „”. De exemplu, notația înseamnă că linia dreaptă a se află în plan.

În al doilea rând, o linie dreaptă poate intersecta un plan. În acest caz, linia dreaptă și planul au un singur punct comun, care se numește punctul de intersecție al dreptei și al planului. Când scriu pe scurt, notez intersecția cu simbolul „”. De exemplu, notația înseamnă că linia dreaptă a intersectează planul în punctul M. Când un plan intersectează o anumită dreaptă, apare conceptul de unghi între linie dreaptă și plan.

Separat, merită să vă concentrați pe o linie dreaptă care intersectează planul și este perpendiculară pe orice linie dreaptă care se află în acest plan. O astfel de dreaptă se numește perpendiculară pe plan. Pentru a înregistra pe scurt perpendicularitatea, utilizați simbolul „”. Pentru un studiu mai aprofundat al materialului, vă puteți referi la articolul perpendicularitatea unei linii drepte și a unui plan.

De o importanță deosebită la rezolvarea problemelor legate de plan este așa-numitul vector normal al planului. Un vector normal al unui plan este orice vector diferit de zero situat pe o dreaptă perpendiculară pe acest plan.

În al treilea rând, o linie dreaptă poate fi paralelă cu planul, adică poate să nu aibă puncte comune în ea. Când scrieți concurență pe scurt, utilizați simbolul „”. De exemplu, dacă linia a este paralelă cu planul, atunci putem scrie . Vă recomandăm să studiați acest caz mai detaliat, referindu-vă la articolul paralelism al unei drepte și al unui plan.

Trebuie spus că o linie dreaptă situată într-un plan împarte acest plan în două semiplane. Linia dreaptă în acest caz se numește limita semiplanurilor. Orice două puncte ale aceluiași semiplan se află pe aceeași parte a unei linii, iar două puncte din semiplanuri diferite se află pe părțile opuse ale liniei de limită.

Aranjamentul reciproc al avioanelor.

Două avioane din spațiu pot coincide. În acest caz, au cel puțin trei puncte în comun.

Două planuri din spațiu se pot intersecta. Intersecția a două plane este o dreaptă, care este stabilită prin axiomă: dacă două plane au un punct comun, atunci ele au o dreaptă comună pe care se află toate punctele comune ale acestor plane.

În acest caz, apare conceptul de unghi între planuri care se intersectează. Un interes deosebit este cazul când unghiul dintre planuri este de nouăzeci de grade. Astfel de planuri se numesc perpendiculare. Am vorbit despre ele în articolul perpendicularitatea avioanelor.

În cele din urmă, două plane din spațiu pot fi paralele, adică nu au puncte comune. Vă recomandăm să citiți articolul paralelism of planes pentru a înțelege complet această opțiune pentru aranjarea relativă a planurilor.

Metode de definire a unui plan.

Acum vom enumera principalele modalități de a defini un anumit plan în spațiu.

În primul rând, un plan poate fi definit prin fixarea a trei puncte în spațiu care nu se află pe aceeași linie dreaptă. Această metodă se bazează pe axioma: prin oricare trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă, există un singur plan.

Dacă un plan este fix și specificat în spațiul tridimensional indicând coordonatele celor trei puncte ale sale diferite care nu se află pe aceeași dreaptă, atunci putem scrie ecuația planului care trece prin cele trei puncte date.

Următoarele două metode de definire a unui plan sunt o consecință a celei anterioare. Ele se bazează pe corolare ale axiomei despre un plan care trece prin trei puncte:

• un plan trece printr-o dreaptă și un punct care nu se află pe ea și doar unul (vezi și ecuația articolului a unui plan care trece printr-o dreaptă și un punct);
• Există un singur plan care trece prin două drepte care se intersectează (recomandăm să citiți articolul: ecuația unui plan care trece prin două drepte care se intersectează).

A patra modalitate de a defini un plan în spațiu se bazează pe definirea liniilor paralele. Amintiți-vă că două drepte din spațiu sunt numite paralele dacă se află în același plan și nu se intersectează. Astfel, indicând două drepte paralele în spațiu, vom determina singurul plan în care se află aceste drepte.

Dacă un plan este dat în modul indicat în spațiul tridimensional în raport cu un sistem de coordonate dreptunghiular, atunci putem crea o ecuație pentru un plan care trece prin două drepte paralele.

În știință liceu La lecțiile de geometrie se demonstrează următoarea teoremă: printr-un punct fix în spațiu trece un singur plan perpendicular pe o dreaptă dată. Astfel, putem defini un plan dacă precizăm punctul prin care trece și o dreaptă perpendiculară pe acesta.

Dacă un sistem de coordonate dreptunghiular este fixat în spațiul tridimensional și un plan este specificat în modul indicat, atunci este posibil să se construiască o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată.

În loc de o dreaptă perpendiculară pe plan, puteți specifica unul dintre vectorii normali ai acestui plan. În acest caz, este posibil să scrieți

Poziția relativă a unei linii drepte și a unui plan în spațiu permite trei cazuri. O linie dreaptă și un plan se pot intersecta într-un punct. Ele pot fi paralele. În cele din urmă, o linie dreaptă poate fi situată într-un plan. Aflând situație specifică pentru o linie dreaptă și un plan depinde de metoda descrierii lor.

Să presupunem că planul π este dat de ecuația generală π: Ax + By + Cz + D = 0, iar linia L este dată de ecuațiile canonice (x - x 0)/l = (y - y 0) /m = (z - z 0) /n. Ecuațiile dreptei dau coordonatele punctului M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) de pe linie și coordonatele vectorului de direcție s = (l; m; n) al acestei drepte, iar ecuația lui planul dă coordonatele vectorului său normal n = (A; B; C).

Dacă dreapta L și planul π se intersectează, atunci vectorul de direcție s al dreptei nu este paralel cu planul π. Mijloace, vector normal n al planului nu este ortogonal cu vectorul s, i.e. lor produs punctual nu este egal cu zero. Prin coeficienții ecuațiilor dreptei și planului, această condiție se scrie ca inegalitatea A1 + Bm + Cn ≠ 0.

Dacă linia și planul sunt paralele sau linia se află în plan, atunci este îndeplinită condiția s ⊥ n, care în coordonate se reduce la egalitatea Al + Bm + Cn = 0. Pentru a separa cazurile „paralel” și „ linia aparține planului”, trebuie să verificați dacă punctul unei linii drepte într-un plan dat.

Astfel, toate cele trei cazuri ale poziției relative a unei linii drepte și a unui plan sunt separate prin verificarea condițiilor corespunzătoare:

Dacă dreapta L este dată de ecuațiile sale generale:

atunci poziția relativă a dreptei și a planului π poate fi analizată după cum urmează. Din ecuațiile generale ale dreptei și ecuație generală hai să creăm un avion sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute

Dacă acest sistem nu are soluții, atunci linia este paralelă cu planul. Dacă are o soluție unică, atunci linia și planul se intersectează într-un singur punct. Acesta din urmă este echivalent cu determinant de sistem (6.6)

diferit de zero. În sfârșit, dacă sistemul (6.6) are infinit de soluții, atunci linia dreaptă aparține planului.

Unghiul dintre o linie dreaptă și un plan. Unghiul φ dintre dreapta L: (x - x 0)/l = (y - y 0)/m = (z - z 0)/n și planul π: Ax + By + Cz + D = 0 este în intervalul 0° (în caz de paralelism) până la 90° (în cazul perpendicularității pe o dreaptă și un plan). Sinusul acestui unghi este egal cu |cosψ|, unde ψ este unghiul dintre vectorul de direcție al dreptei s și vectorul normal n al planului (Fig. 6.4). După ce am calculat cosinusul unghiului dintre doi vectori prin coordonatele lor (vezi (2.16)), obținem

Condiția ca o dreaptă și un plan să fie perpendiculare este echivalentă cu faptul că vectorul normal al planului și vectorul direcție al dreptei sunt coliniare. Prin coordonatele vectorilor, această condiție se scrie ca o egalitate dublă

Locaţie

Semn: dacă o dreaptă care nu se află într-un plan dat este paralelă cu o dreaptă situată în acest plan, atunci este paralelă cu planul dat.

1. dacă un plan trece printr-o dreaptă dată paralelă cu un alt plan și intersectează acest plan, atunci linia de intersecție a planurilor este paralelă cu dreapta dată.

2. dacă una dintre cele 2 drepte este paralelă cu una dată, atunci cealaltă dreaptă este fie paralelă cu un plan dat, fie se află în acest plan.

POZIȚIA RECIPROCĂ A AVIONULUI. PARALELITATEA PLANURILOR

Locaţie

1. avioanele au cel putin 1 punct comun, i.e. se intersectează în linie dreaptă

2. planurile nu se intersectează, adică. nu au nici 1 punct comun, în acest caz se numesc paralele.

semn

dacă 2 drepte care se intersectează dintr-un plan sunt, respectiv, paralele cu 2 drepte ale altui plan, atunci aceste plane sunt paralele.

Sfânt

1. dacă 2 plane paralele sunt intersectate 3, atunci liniile de intersecție ale acestora sunt paralele

2. segmente de drepte paralele cuprinse între plane paralele, sunt egale.

PERPENDICULARITATEA DREPTEI ȘI A PLANEI. SEMNUL PERPENDICULARIȚII DREPTEI ȘI AVIONULUI.

Nume directe perpendicular, dacă se intersectează sub<90.

Lema: Dacă 1 din 2 drepte paralele este perpendiculară pe a treia dreaptă, atunci cealaltă dreaptă este perpendiculară pe această dreaptă.

Se spune că o dreaptă este perpendiculară pe un plan, dacă este perpendiculară pe orice dreaptă din acest plan.

Teorema: Dacă 1 din 2 drepte paralele este perpendiculară pe un plan, atunci cealaltă dreaptă este perpendiculară pe acest plan.

Teorema: Dacă două drepte sunt perpendiculare pe un plan, atunci sunt paralele.

Semn

Dacă o dreaptă este perpendiculară pe 2 drepte care se intersectează situate într-un plan, atunci este perpendiculară pe acest plan.

PERPENDICULAR ȘI OBLIC

Să construim un avion și așa mai departe, care nu aparține avionului. T.A lor vom trasa o linie dreaptă, perpendiculară pe plan. Punctul de intersecție al dreptei cu planul este desemnat H. Segmentul AN este o perpendiculară trasată din punctul A pe plan. T.N – baza perpendicularei. Să luăm în planul t.M, care nu coincide cu H. Segmentul AM este înclinat, tras din t.A spre plan. M – bază înclinată. Segmentul MH este o proiecție a unui plan înclinat pe un plan. Perpendiculara AN - distanta de la t.A la plan. Orice distanță face parte dintr-o perpendiculară.

Teorema celor 3 perpendiculare:

O linie dreaptă trasată într-un plan prin baza unui plan înclinat perpendicular pe proiecția sa pe acest plan este, de asemenea, perpendiculară pe planul înclinat însuși.

UNGHI ÎNTRE O DREPTĂ ȘI UN AVION

Unghiul dintre o linie dreaptă și Un plan este unghiul dintre această dreaptă și proiecția ei pe plan.

UNGHI DIEDRU. unghiul dintre planuri

Unghi diedru numită figură formată dintr-o dreaptă și 2 semiplane cu o limită comună a, care nu aparțin aceluiași plan.

Granița a - marginea unui unghi diedru. Semi avioane - feţe unghiulare diedre. Pentru a măsura unghiul diedrului. Trebuie să construiți un unghi liniar în interiorul acestuia. Să marchem un punct pe marginea unghiului diedru și să desenăm o rază din acest punct la fiecare față, perpendicular pe margine. Unghiul format de aceste raze se numește unghi diedru liniar. Pot exista un număr infinit de ele în interiorul unui unghi diedru. Toate au aceeași dimensiune.

PERPENDICULARITATEA A DOUA PLANURI

Două plane care se intersectează sunt numite perpendicular, dacă unghiul dintre ele este de 90.

Semn:

Dacă 1 din 2 planuri trece printr-o linie perpendiculară pe alt plan, atunci astfel de planuri sunt perpendiculare.

POLIedre

Poliedru– o suprafață compusă din poligoane și delimitând un anumit corp geometric. Margini– poligoane din care sunt realizate poliedre. Coaste– părțile laterale ale fețelor. Vârfurile- capete de coaste. Diagonala unui poliedru numit segment care leagă 2 vârfuri care nu aparțin unei singure fețe. Se numește un plan pe ambele părți ale cărui puncte ale unui poliedru sunt . plan de tăiere. Se numește partea comună a poliedrului și aria secantei secțiunea transversală a unui poliedru. Poliedrele pot fi convexe sau concave. Poliedrul se numește convex, dacă este situat pe o parte a planului fiecăreia dintre fețele sale (tetraedru, paralelipiped, octaedru). Într-un poliedru convex, suma tuturor unghiurilor plane de la fiecare vârf este mai mică de 360.

PRISMĂ

Un poliedru compus din 2 poligoane egale situate în plane paralele și n - paralelograme se numește prismă.

Poligoane A1A2..A(p) și B1B2..B(p) – baza prismei. А1А2В2В1...- paralelograme, A(p)A1B1B(p) – marginile laterale. Segmentele A1B1, A2B2..A(p)B(p) – coaste laterale.În funcție de poligonul care stă la baza prismei, prisma numit p-cărbune. Se numește perpendiculară trasată din orice punct al unei baze pe planul altei baze înălţime. Dacă marginile laterale ale prismei sunt perpendiculare pe bază, atunci prisma - Drept, iar dacă nu perpendicular - este înclinat.Înălțimea unei prisme drepte este egală cu lungimea marginii sale laterale. Prisma directă este corectă, dacă baza sa este poligoane regulate, toate fețele laterale sunt dreptunghiuri egale.

PARALEPIPID

ABCD//A1B1S1D1, AA1//BB1//CC1//DD1, AA1=BB1=CC1=DD1 (în funcție de natura planurilor paralele)

Un paralelipiped este format din 6 paralelograme. Se numesc paralelograme marginile. ABCD și А1В1С1Д1 sunt bazele, fețele rămase sunt numite lateral. Puncte A B C D A1 B1 C1 D1 – vârfuri. Segmente de linie care leagă vârfurile - coaste AA1, BB1, SS1, DD1 – coaste laterale.

Diagonala paralelipipedului este numit segment care leagă 2 vârfuri care nu aparțin unei singure fețe.

Sfinti

1. Fețele opuse ale paralelipipedului sunt paralele și egale. 2. Diagonalele paralelipipedului se intersectează într-un punct și sunt tăiate în două de acest punct.

PIRAMIDĂ

Se consideră poligonul A1A2..A(n), un punct P care nu se află în planul acestui poligon. Să conectăm punctul P cu vârfurile poligonului și să obținem n triunghiuri: RA1A2, RA2A3....RA(n)A1.

Poliedru compus din n-gon și n-triunghiuri numită piramidă. Poligon – fundație. triunghiuri - marginile laterale. R – vârful piramidei. Segmentele A1P, A2P..A(p)P – coaste laterale.În funcție de poligonul aflat la bază, se numește piramida p-cărbune. Înălțimea piramidei numită perpendiculară trasată dinspre vârf spre planul bazei. Piramida se numește corectă, dacă baza sa conține un poligon regulat și înălțimea sa se încadrează în centrul bazei. Apotema– înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite.

PIRAMIDĂ TUNCHISĂ

Luați în considerare piramida PA1A2A3A(n). Să desenăm un plan de tăiere paralel cu baza. Acest plan împarte piramida noastră în 2 părți: cea de sus este o piramidă asemănătoare cu aceasta, cea de jos este o piramidă trunchiată. Suprafața laterală este formată dintr-un trapez. Coastele laterale conectează vârfurile bazelor.

Teorema: Aria suprafeței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite este egală cu produsul dintre jumătate din suma perimetrelor bazelor și apotema.

POLHEDE REGULARE

Un poliedru convex se numește regulat, dacă toate fețele sale sunt poligoane regulate egale și același număr de muchii converg la fiecare dintre vârfurile sale. Un exemplu de poliedru regulat este cubul. Toate fețele sale sunt pătrate egale și 3 muchii se întâlnesc la fiecare vârf.

Tetraedru regulat compus din 4 triunghiuri echilaterale. Fiecare vârf este vârful a 3 triunghiuri. Suma unghiurilor plane de la fiecare vârf este 180.

Octaedru regulat compus din 8 triunghiuri echilaterale. Fiecare vârf este vârful a 4 triunghiuri. Suma unghiurilor plane la fiecare vârf = 240

Icosaedru regulat compus din 20 de triunghiuri echilaterale. Fiecare vârf este un triunghi cu vârf 5. Suma unghiurilor plane de la fiecare vârf este 300.

Cub compus din 6 pătrate. Fiecare vârf este vârful a 3 pătrate. Suma unghiurilor plane la fiecare vârf = 270.

Dodecaedru regulat compus din 12 pentagoane regulate. Fiecare vârf este vârful a 3 pentagoane regulate. Suma unghiurilor plane la fiecare vârf = 324.

Nu există alte tipuri de poliedre regulate.

CILINDRU

Se numește un corp delimitat de o suprafață cilindrică și două cercuri cu limite L și L1 cilindru. Se numesc cercurile L și L1 bazele cilindrului. Segmente MM1, AA1 – formativ. Formarea unei suprafețe cilindrice sau laterale a unui cilindru. Linie dreaptă care leagă centrele bazelor O și O1 axa cilindrului. Lungimea generatorului - înălțimea cilindrului. Raza bazei (r) – raza cilindrului.

Secțiuni de cilindru

Axial trece prin axa și diametrul bazei

Perpendicular pe axa

Un cilindru este un corp de rotație. Se obține prin rotirea dreptunghiului în jurul uneia dintre laturile sale.

CON

Se consideră un cerc (o;r) și o dreaptă OP perpendiculară pe planul acestui cerc. Prin fiecare punct al cercului L și etc. vom desena segmente sunt infinite; Ele formează o suprafață conică și se numesc formativ.

R- vârf, SAU – axa suprafeței conice.

Un corp delimitat de o suprafață conică și un cerc cu limita L numit con. Cercul - baza conului. Partea superioară a suprafeței conice - vârful conului. Formarea unei suprafețe conice - formând un con. suprafata conica - suprafata laterala a conului. RO – axa conului. Distanța de la P la O - înălțimea conului. Un con este un corp de rotație. Se obține prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul unui picior.

Secțiune conică

Secțiune axială

Secțiune perpendiculară pe axă

SFERĂ ȘI MINGE

Sferă numită suprafață formată din toate punctele din spațiu situate la o distanță dată de un punct dat. Acest punct este centrul sferei. Aceasta distanta este raza sferei.

Un segment care leagă 2 puncte ale unei sfere și care trece prin centrul acesteia numit diametrul sferei.

Un corp delimitat de o sferă numită minge. Centrul, raza și diametrul sferei se numesc centrul, raza și diametrul mingii.

O sferă și o minge sunt corpuri de rotație. Sferă se obține prin rotirea unui semicerc în jurul diametrului și minge obtinut prin rotirea unui semicerc in jurul diametrului.

într-un sistem de coordonate dreptunghiular, ecuația unei sfere de rază R cu centrul C(x(0), y(0), Z(0) are forma (x-x(0))(2)+(y-y(0) )(2 )+(z-z(0))(2)= R(2)