Operația de găsire a derivatei se numește diferențiere.

Ca urmare a rezolvării problemelor de găsire a derivatelor celor mai simple (și nu foarte simple) funcții prin definirea derivatei ca limită a raportului incrementului la incrementul argumentului, a apărut un tabel de derivate și exact anumite reguli diferenţiere. Primii care au lucrat în domeniul găsirii derivatelor au fost Isaac Newton (1643-1727) și Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Prin urmare, în timpul nostru, pentru a găsi derivata oricărei funcții, nu trebuie să calculați limita menționată mai sus a raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului, ci trebuie doar să utilizați tabelul de derivate și regulile de diferențiere. Următorul algoritm este potrivit pentru găsirea derivatei.

Pentru a găsi derivata, aveți nevoie de o expresie sub semnul prim descompune funcțiile simple în componenteși stabiliți ce acțiuni (produs, sumă, coeficient) aceste funcții sunt legate. Alte derivate functii elementare găsim în tabelul derivatelor, iar formulele pentru derivatele produsului, sumă și coeficient sunt în regulile de diferențiere. Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere sunt date după primele două exemple.

Exemplul 1. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Din regulile de diferențiere aflăm că derivata unei sume de funcții este suma derivatelor de funcții, adică.

Din tabelul derivatelor aflăm că derivata lui „x” este egală cu unu, iar derivata sinusului este egală cu cosinus. Inlocuim aceste valori in suma derivatelor si gasim derivata ceruta de conditia problemei:

Exemplul 2. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Diferențiem ca derivată a unei sume în care al doilea termen are un factor constant poate fi scos din semnul derivatei:

Dacă încă apar întrebări despre unde provine ceva, acestea sunt de obicei clarificate după familiarizarea cu tabelul derivatelor și cu cele mai simple reguli de diferențiere. Trecem la ele chiar acum.

Tabel de derivate ale funcțiilor simple

1. Derivată a unei constante (număr). Orice număr (1, 2, 5, 200...) care se află în expresia funcției. Întotdeauna egal cu zero. Acest lucru este foarte important de reținut, deoarece este necesar foarte des
2. Derivată a variabilei independente. Cel mai adesea „X”. Întotdeauna egal cu unu. Acest lucru este, de asemenea, important de reținut pentru o lungă perioadă de timp
3. Derivată de grad. Când rezolvați probleme, trebuie să convertiți rădăcinile nepătrate în puteri.
4. Derivată a unei variabile la puterea -1
5. Derivat rădăcină pătrată
6. Derivată de sinus
7. Derivată a cosinusului
8. Derivată a tangentei
9. Derivat de cotangente
10. Derivată de arcsinus
11. Derivată a arccosinusului
12. Derivată a arctangentei
13. Derivată a cotangentei arcului
14. Derivată a logaritmului natural
15. Derivata unei functii logaritmice
16. Derivată a exponentului
17. Derivata unei functii exponentiale

Reguli de diferențiere

1. Derivată a unei sume sau diferențe
2. Derivat al produsului
2a. Derivată a unei expresii înmulțită cu un factor constant
3. Derivată a coeficientului
4. Derivata unei functii complexe

Regula 1.Dacă funcţiile

sunt diferențiabile la un moment dat, atunci funcțiile sunt diferențiabile în același punct

şi

aceste. derivata unei sume algebrice de funcții este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții.

Consecinţă. Dacă două funcții diferențiabile diferă printr-un termen constant, atunci derivatele lor sunt egale, adică

Regula 2.Dacă funcţiile

sunt diferențiabile la un moment dat, atunci produsul lor este diferențiabil în același punct

şi

aceste. Derivata produsului a doua functii este egala cu suma produselor fiecareia dintre aceste functii si derivata celeilalte.

Corolarul 1. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei:

Corolarul 2. Derivata produsului mai multor functii diferentiabile este egala cu suma produselor derivatei fiecarui factor si a tuturor celorlalti.

De exemplu, pentru trei multiplicatori:

Regula 3.Dacă funcţiile

diferentiabil la un moment dat Şi , atunci în acest moment câtul lor este de asemenea diferențiabilu/v și

aceste. derivata câtului a două funcții este egală cu o fracție, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorului, iar numitorul este pătratul fostul numărător.

Unde să cauți lucruri pe alte pagini

La găsirea derivatei unui produs și a unui coeficient în probleme reale, este întotdeauna necesar să se aplice mai multe reguli de diferențiere simultan, așa că există mai multe exemple despre aceste derivate în articol„Derivată a produsului și coeficientul de funcții”.

Comentariu. Nu trebuie să confundați o constantă (adică un număr) ca termen dintr-o sumă și ca factor constant! În cazul unui termen, derivata acestuia este egală cu zero, iar în cazul unui factor constant, se scoate din semnul derivatelor. Aceasta este o eroare tipică care apare pe stadiu inițial studiind derivatele, dar pe măsură ce rezolvăm mai multe exemple cu una și două părți student mediu nu mai face aceasta greseala.

Și dacă, la diferențierea unui produs sau a unui coeficient, ai un termen u"v, în care u- un număr, de exemplu, 2 sau 5, adică o constantă, atunci derivata acestui număr va fi egală cu zero și, prin urmare, întregul termen va fi egal cu zero (acest caz este discutat în exemplul 10).

O altă greșeală comună este rezolvarea mecanică a derivatei unei funcții complexe ca derivată a unei funcții simple. De aceea derivata unei functii complexe este dedicat un articol separat. Dar mai întâi vom învăța să găsim derivate ale funcțiilor simple.

Pe parcurs, nu te poți descurca fără transformarea expresiilor. Pentru a face acest lucru, poate fi necesar să deschideți manualul în ferestre noi. Acțiuni cu puteri și rădăciniŞi Operații cu fracții .

Dacă căutați soluții la derivatele fracțiilor cu puteri și rădăcini, adică atunci când funcția arată ca , apoi urmați lecția „Derivată de sume de fracții cu puteri și rădăcini”.

Dacă aveți o sarcină ca , apoi veți lua lecția „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple”.

Exemple pas cu pas - cum să găsiți derivatul

Exemplul 3. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Definim părțile expresiei funcției: întreaga expresie reprezintă un produs, iar factorii săi sunt sume, în al doilea dintre care unul dintre termeni conține un factor constant. Aplicam regula de diferentiere a produsului: derivata produsului a doua functii este egala cu suma produselor fiecareia dintre aceste functii prin derivata celeilalte:

În continuare, aplicăm regula diferențierii sumei: derivata unei sume algebrice de funcții este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții. În cazul nostru, în fiecare sumă al doilea termen are semnul minus. În fiecare sumă vedem atât o variabilă independentă, a cărei derivată este egală cu unu, cât și o constantă (număr), a cărei derivată este egală cu zero. Deci, „X” se transformă în unu, iar minus 5 se transformă în zero. În a doua expresie, „x” este înmulțit cu 2, așa că înmulțim doi cu aceeași unitate ca și derivata lui „x”. Obținem următoarele valori derivate:

Inlocuim derivatele gasite in suma produselor si obtinem derivata intregii functii ceruta de conditia problemei:

Și puteți verifica soluția problemei derivate pe.

Exemplul 4. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Ni se cere să găsim derivata coeficientului. Aplicăm formula de diferențiere a câtului: derivata câtului a două funcții este egală cu o fracție, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorul, iar numitorul este pătratul fostului numărător. Primim:

Am găsit deja derivata factorilor din numărător în exemplul 2. De asemenea, să nu uităm că produsul, care este al doilea factor la numărător în exemplul curent, este luat cu semnul minus:

Dacă căutați soluții la probleme în care trebuie să găsiți derivata unei funcții, unde există o grămadă continuă de rădăcini și puteri, cum ar fi, de exemplu, , atunci bun venit la curs „Derivată a sumelor fracțiilor cu puteri și rădăcini” .

Dacă trebuie să aflați mai multe despre derivatele sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și altor funcții trigonometrice, adică atunci când funcția arată ca , atunci o lecție pentru tine „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple” .

Exemplul 5. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. În această funcție vedem un produs, unul dintre factorii căruia este rădăcina pătrată a variabilei independente, a cărei derivată ne-am familiarizat în tabelul de derivate. Folosind regula de diferențiere a produsului și a valorii tabelare a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:

Puteți verifica soluția problemei derivate la calculator de derivate online .

Exemplul 6. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. În această funcție vedem un coeficient al cărui dividend este rădăcina pătrată a variabilei independente. Folosind regula de diferențiere a coeficientilor, pe care am repetat-o ​​și aplicată în exemplul 4, și valoarea tabelată a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:

Pentru a scăpa de o fracție din numărător, înmulțiți numărătorul și numitorul cu .

Sunt date exemple de calculare a derivatelor folosind formula derivatelor functie complexa.

Conţinut

Vezi și: Dovada formulei pentru derivata unei funcții complexe

Formule de bază

Aici oferim exemple de calculare a derivatelor următoarelor funcții:
; ; ; ; .

Dacă o funcție poate fi reprezentată ca o funcție complexă în următoarea formă:
,
atunci derivata sa este determinată de formula:
.
În exemplele de mai jos, vom scrie această formulă după cum urmează:
.
Unde .
Aici, indicele sau , situate sub semnul derivatei, denotă variabilele prin care se realizează diferențierea.

De obicei, în tabelele de derivate, sunt date derivate ale funcțiilor din variabila x.

Cu toate acestea, x este un parametru formal. Variabila x poate fi înlocuită cu orice altă variabilă. Prin urmare, la diferențierea unei funcții de o variabilă, pur și simplu schimbăm, în tabelul derivatelor, variabila x în variabila u.

Exemple simple

Exemplul 1
.

Aflați derivata unei funcții complexe Să-l notăm funcţie dată
.
in forma echivalenta:
;
.

În tabelul derivatelor găsim:
.
Conform formulei pentru derivata unei funcții complexe, avem:

Aici .

Exemplul 2
.

Luăm constanta 5 din semnul derivatei și din tabelul derivatelor găsim:
.

.
Conform formulei pentru derivata unei funcții complexe, avem:

Exemplul 3

Găsiți derivata
.

Scoatem o constantă -1 pentru semnul derivatei și din tabelul derivatelor găsim:
;
Din tabelul derivatelor găsim:
.

Aplicam formula pentru derivata unei functii complexe:
.
Conform formulei pentru derivata unei funcții complexe, avem:

Exemple mai complexe

În mai mult exemple complexe aplicăm de mai multe ori regula diferențierii unei funcții complexe. În acest caz, calculăm derivata de la final. Adică, împărțim funcția în părțile sale componente și găsim derivatele celor mai simple părți folosind tabelul derivatelor. De asemenea, folosim reguli de diferențiere a sumelor, produse și fracții. Apoi facem substituții și aplicăm formula pentru derivata unei funcții complexe.

Exemplul 4

Găsiți derivata
.

Să selectăm cea mai simplă parte a formulei și să găsim derivata acesteia. .

.
Aici am folosit notația
.

Găsim derivata următoarei părți a funcției originale folosind rezultatele obținute. Aplicam regula de diferentiere a sumei:
.

Încă o dată aplicăm regula diferențierii funcțiilor complexe.

.
Conform formulei pentru derivata unei funcții complexe, avem:

Exemplul 5

Aflați derivata funcției
.

Să selectăm cea mai simplă parte a formulei și să găsim derivata acesteia din tabelul cu derivate. .

Aplicam regula de diferentiere a functiilor complexe.
.
Aici
.

Să diferențiem următoarea parte folosind rezultatele obținute.
.
Aici
.

Să diferențiem următoarea parte.

.
Aici
.

Acum găsim derivata funcției dorite.

.
Aici
.

Vezi și:

Derivate complexe. Derivată logaritmică.
Derivată a unei funcții putere-exponențială

Continuăm să ne îmbunătățim tehnica de diferențiere. În această lecție, vom consolida materialul pe care l-am abordat, vom analiza derivate mai complexe și, de asemenea, ne vom familiariza cu noi tehnici și trucuri pentru găsirea unei derivate, în special, cu derivata logaritmică.

Acelor cititori care au nivel scăzut pregătire, ar trebui să consultați articolul Cum să găsesc derivatul? Exemple de soluții, care vă va permite să vă ridicați abilitățile aproape de la zero. În continuare, trebuie să studiați cu atenție pagina Derivată a unei funcții complexe, înțelegeți și rezolvați Toate exemplele pe care le-am dat. Această lecție este în mod logic a treia la rând, iar după ce o stăpânești vei diferenția cu încredere funcții destul de complexe. Nu este de dorit să luăm poziția „Unde altundeva? Da, este suficient”, deoarece toate exemplele și soluțiile sunt luate din real testeși sunt adesea întâlnite în practică.

Să începem cu repetarea. În clasă Derivată a unei funcții complexe Am analizat o serie de exemple cu comentarii detaliate. În timpul studiului calculului diferenţial şi a altor secţiuni analiză matematică– va trebui să diferențiezi foarte des și nu este întotdeauna convenabil (și nu întotdeauna necesar) să descrii exemple în detaliu. Prin urmare, vom exersa găsirea derivatelor pe cale orală. Cei mai potriviți „candidați” pentru aceasta sunt derivate ale celei mai simple funcții complexe, de exemplu:

Conform regulii de diferenţiere a funcţiilor complexe :

Când studiați alte subiecte matan în viitor, o înregistrare atât de detaliată nu este de cele mai multe ori necesară, se presupune că studentul știe să găsească astfel de derivate pe pilotul automat. Să ne imaginăm că la ora 3 dimineața a sunat telefonul și o voce plăcută a întrebat: „Care este derivata tangentei a doi X?” Aceasta ar trebui să fie urmată de un răspuns aproape instantaneu și politicos: .

Primul exemplu va fi destinat imediat decizie independentă.

Exemplul 1

Găsiți oral următoarele derivate, într-o singură acțiune, de exemplu: . Pentru a finaliza sarcina trebuie doar să utilizați tabel de derivate ale funcțiilor elementare(dacă nu ți-ai amintit încă). Dacă aveți dificultăți, vă recomand să recitiți lecția Derivată a unei funcții complexe.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Răspunsuri la sfârșitul lecției

Derivate complexe

După pregătirea preliminară a artileriei, exemplele cu 3-4-5 cuibări de funcții vor fi mai puțin înfricoșătoare. Următoarele două exemple pot părea complicate pentru unii, dar dacă le înțelegeți (cineva va avea de suferit), atunci aproape orice altceva din calculul diferențial va părea o glumă de copil.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

După cum sa menționat deja, atunci când găsiți derivata unei funcții complexe, în primul rând, este necesar CorectÎNȚELEGEȚI investițiile dvs. În cazurile în care există îndoieli, vă reamintesc de o tehnică utilă: luăm valoarea experimentală a lui „x”, de exemplu, și încercăm (mental sau într-o schiță) să substituim această valoare în „expresia groaznică”.

1) Mai întâi trebuie să calculăm expresia, ceea ce înseamnă că suma este cea mai adâncă încorporare.

2) Apoi trebuie să calculați logaritmul:

4) Apoi cubează cosinusul:

5) La al cincilea pas diferența:

6) Și în sfârșit, funcția cea mai exterioară este rădăcina pătrată:

Formula pentru diferențierea unei funcții complexe va fi folosit în ordine inversă, de la funcția cea mai exterioară până la cea mai interioară. Noi decidem:

Se pare că nu există erori...

(1) Luați derivata rădăcinii pătrate.

(2) Luăm derivata diferenței folosind regula

(3) Derivata tripluului este zero. În al doilea termen luăm derivata gradului (cubul).

(4) Luați derivata cosinusului.

(5) Luați derivata logaritmului.

(6) Și, în sfârșit, luăm derivata celei mai profunde încorporare.

Poate părea prea dificil, dar acesta nu este cel mai brutal exemplu. Luați, de exemplu, colecția lui Kuznetsov și veți aprecia toată frumusețea și simplitatea derivatului analizat. Am observat că le place să dea un lucru similar la un examen pentru a verifica dacă un student înțelege cum să găsească derivata unei funcții complexe sau nu înțelege.

Următorul exemplu este pe care îl puteți rezolva singur.

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Sugestie: Mai întâi aplicăm regulile de liniaritate și regula de diferențiere a produsului

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Este timpul să trecem la ceva mai mic și mai frumos.
Nu este neobișnuit ca un exemplu să arate produsul nu a două, ci a trei funcții. Cum să găsiți derivata produsului a trei factori?

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

Mai întâi, să vedem dacă este posibil să transformăm produsul a trei funcții în produsul a două funcții? De exemplu, dacă am avea două polinoame în produs, am putea deschide parantezele. Dar în exemplul luat în considerare, toate funcțiile sunt diferite: grad, exponent și logaritm.

În astfel de cazuri este necesar secvenţial aplica regula de diferentiere a produselor de două ori

Trucul este că prin „y” notăm produsul a două funcții: , iar cu „ve” notăm logaritmul: . De ce se poate face asta? Este cu adevărat – acesta nu este un produs al doi factori și regula nu funcționează?! Nu este nimic complicat:

Acum rămâne să aplici regula a doua oară la paranteză:

Poți să fii pervertit și să scoți ceva din paranteze, dar în în acest caz, Este mai bine să lăsați răspunsul în acest formular - va fi mai ușor de verificat.

Exemplul luat în considerare poate fi rezolvat în al doilea mod:

Ambele soluții sunt absolut echivalente.

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă în probă se rezolvă folosind prima metodă.

Să ne uităm la exemple similare cu fracții.

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Există mai multe moduri prin care puteți merge aici:

Sau cam asa:

Dar soluția se va scrie mai compact dacă folosim mai întâi regula de diferențiere a coeficientului , luând pentru întregul numărător:

În principiu, exemplul este rezolvat, iar dacă este lăsat așa, nu va fi o eroare. Dar, dacă aveți timp, este întotdeauna indicat să verificați schița pentru a vedea dacă răspunsul poate fi simplificat? Să reducem expresia numărătorului la un numitor comun și să scăpăm de fracția cu trei etaje:

Dezavantajul simplificărilor suplimentare este că există riscul de a greși nu la găsirea derivatei, ci în timpul transformărilor școlare banale. Pe de altă parte, profesorii resping adesea sarcina și cer să „aducă în minte” derivatul.

Un exemplu mai simplu de rezolvat singur:

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Continuăm să stăpânim metodele de găsire a derivatei și acum vom lua în considerare un caz tipic în care se propune un logaritm „teribil” pentru diferențiere

Exemplul 8

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți merge pe calea lungă, folosind regula pentru diferențierea unei funcții complexe:

Dar chiar primul pas te cufundă imediat în deznădejde - trebuie să iei derivatul neplăcut dintr-o putere fracțională și apoi și dintr-o fracțiune.

De aceea înainte cum să luăm derivata unui logaritm „sofisticat”, aceasta este mai întâi simplificată folosind proprietățile școlii bine-cunoscute:

! Dacă aveți la îndemână un caiet de practică, copiați aceste formule direct acolo. Dacă nu aveți un caiet, copiați-le pe o foaie de hârtie, deoarece exemplele rămase ale lecției se vor învârti în jurul acestor formule.

Soluția în sine poate fi scrisă cam așa:

Să transformăm funcția:

Găsirea derivatei:

Pre-conversia funcției în sine a simplificat foarte mult soluția. Astfel, atunci când se propune un logaritm similar pentru diferențiere, este întotdeauna recomandabil să-l „defalci”.

Și acum câteva exemple simple pe care să le rezolvați singur:

Exemplul 9

Aflați derivata unei funcții

Exemplul 10

Aflați derivata unei funcții

Toate transformările și răspunsurile sunt la sfârșitul lecției.

Derivată logaritmică

Dacă derivatul logaritmilor este o muzică atât de dulce, atunci se pune întrebarea: este posibil în unele cazuri să se organizeze logaritmul în mod artificial? Poate! Și chiar necesar.

Exemplul 11

Aflați derivata unei funcții

Am analizat recent exemple similare. Ce să fac? Puteți aplica succesiv regula de diferențiere a coeficientului, iar apoi regula de diferențiere a produsului. Dezavantajul acestei metode este că ajungeți cu o fracție uriașă de trei etaje, cu care nu doriți să vă ocupați deloc.

Dar în teorie și practică există un lucru atât de minunat precum derivata logaritmică. Logaritmii pot fi organizați artificial prin „atârnând” pe ambele părți:

Nota : pentru că o funcție poate lua valori negative, atunci, în general, trebuie să utilizați module: , care va dispărea ca urmare a diferențierii. Cu toate acestea, designul actual este de asemenea acceptabil, unde implicit este luat în considerare complex sensuri. Dar dacă cu toată rigoarea, atunci în ambele cazuri ar trebui făcută o rezervă că.

Acum trebuie să „despărțiți” cât mai mult posibil logaritmul din partea dreaptă (formulele din fața ochilor?). Voi descrie acest proces în detaliu:

Să începem cu diferențierea.
Încheiem ambele părți sub primul:

Derivatul din partea dreaptă este destul de simplu, nu îl voi comenta, pentru că dacă citiți acest text, ar trebui să îl puteți gestiona cu încredere.

Dar partea stângă?

Pe partea stângă avem functie complexa. Prevăd întrebarea: „De ce, există o literă „Y” sub logaritm?”

Faptul este că acest „joc cu o literă” - ESTE ÎNȘI O FUNCȚIE(dacă nu este foarte clar, consultați articolul Derivată a unei funcții specificată implicit). Prin urmare, logaritmul este o funcție externă, iar „y” este o funcție internă. Și folosim regula pentru diferențierea unei funcții complexe :

În partea stângă, ca prin farmec, avem un derivat. Apoi, conform regulii proporției, transferăm „y” de la numitorul părții stângi în partea de sus a părții drepte:

Și acum să ne amintim despre ce fel de funcție „jucător” am vorbit în timpul diferențierii? Să ne uităm la starea:

Raspuns final:

Exemplul 12

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Un exemplu de proiect al unui exemplu de acest tip se află la sfârșitul lecției.

Folosind derivata logaritmică a fost posibil să se rezolve oricare dintre exemplele nr. 4-7, un alt lucru este că funcțiile de acolo sunt mai simple, și poate că utilizarea derivatei logaritmice nu este foarte justificată.

Derivată a unei funcții putere-exponențială

Nu am luat în considerare această funcție încă. O funcție exponențială putere este o funcție pentru care atât gradul cât și baza depind de „x”. Un exemplu clasic care vă va fi dat în orice manual sau prelegere:

Cum se găsește derivata unei funcții putere-exponențială?

Este necesar să se folosească tehnica tocmai discutată - derivata logaritmică. Agățăm logaritmi pe ambele părți:

De regulă, în partea dreaptă, gradul este scos de sub logaritm:

Ca urmare, în partea dreaptă avem produsul a două funcții, care vor fi diferențiate conform formulei standard .

Găsim derivata pentru a face acest lucru, închidem ambele părți sub linii:

Alte acțiuni sunt simple:

In sfarsit:

Dacă orice conversie nu este complet clară, vă rugăm să recitiți cu atenție explicațiile din Exemplul nr. 11.

În sarcinile practice, funcția putere-exponențială va fi întotdeauna mai complexă decât exemplul de prelegere discutat.

Exemplul 13

Aflați derivata unei funcții

Folosim derivata logaritmică.

În partea dreaptă avem o constantă și produsul a doi factori - „x” și „logaritmul logaritmului x” (un alt logaritm este imbricat sub logaritm). Când diferențiem, așa cum ne amintim, este mai bine să mutați imediat constanta din semnul derivat, astfel încât să nu împiedice; și, bineînțeles, aplicăm regula familiară :

De când ați venit aici, probabil că ați văzut deja această formulă în manual

si fa o fata ca asta:

Prietene, nu-ți face griji! De fapt, totul este pur și simplu scandalos. Cu siguranță vei înțelege totul. O singură cerere - citiți articolul luându-ți timpul, încearcă să înțelegi fiecare pas. Am scris cât se poate de simplu și clar, dar tot trebuie să înțelegeți ideea. Și asigurați-vă că rezolvați sarcinile din articol.

Ce este o funcție complexă?

Imaginați-vă că vă mutați într-un alt apartament și, prin urmare, împachetați lucrurile în cutii mari. Să presupunem că trebuie să colectați câteva obiecte mici, de exemplu, materiale de scris la școală. Dacă le arunci într-o cutie imensă, se vor pierde printre altele. Pentru a evita acest lucru, le pui mai întâi, de exemplu, într-o pungă, pe care apoi o pui într-o cutie mare, după care o sigilezi. Acest proces „complex” este prezentat în diagrama de mai jos:

S-ar părea, ce legătură are matematica cu asta? Da, în ciuda faptului că o funcție complexă se formează EXACT ÎN ACELAȘI mod! Numai că „împachetăm” nu caiete și pixuri, ci \(x\), în timp ce „pachetele” și „cutiile” sunt diferite.

De exemplu, să luăm x și să-l „împachetăm” într-o funcție:

Ca rezultat, obținem, desigur, \(\cos⁡x\). Acesta este „sacul nostru de lucruri”. Acum să-l punem într-o „cutie” - împachetați-l, de exemplu, într-o funcție cubică.

Ce se va întâmpla până la urmă? Da, așa este, va exista o „pungă de lucruri într-o cutie”, adică „cosinus cu X cub”.

Designul rezultat este o funcție complexă. Diferă de unul simplu prin aceea că MAI MULTE „impacturi” (pachete) sunt aplicate unui X la rândși se dovedește a fi „funcție din funcție” - „ambalare în ambalaj”.

ÎN curs şcolar Există foarte puține tipuri de aceste „pachete”, doar patru:

Acum să „împachetăm” X mai întâi funcţie exponenţială cu baza 7 și apoi într-o funcție trigonometrică. Primim:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Acum să „împachetăm” X de două ori funcții trigonometrice, mai întâi în , și apoi în:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Simplu, nu?

Acum scrieți singur funcțiile, unde x:
- mai întâi este „împachetat” într-un cosinus, apoi într-o funcție exponențială cu baza \(3\);
- mai întâi la puterea a cincea, iar apoi la tangentă;
- primul la logaritmul la baza \(4\) , apoi la puterea \(-2\).

Găsiți răspunsurile la această sarcină la sfârșitul articolului.

Putem „împacheta” X nu de două, ci de trei ori? Da, nicio problemă! Și de patru, și cinci și de douăzeci și cinci de ori. Iată, de exemplu, o funcție în care x este „ambalat” \(4\) ori:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Dar astfel de formule nu se vor găsi în practica școlară (elevii sunt mai norocoși - ale lor pot fi mai complicate☺).

„Despachetarea” unei funcții complexe

Priviți din nou funcția anterioară. Vă puteți da seama de secvența de „împachetare”? În ce a fost îndesat X mai întâi, în ce apoi și așa mai departe până la sfârșit. Adică, ce funcție este imbricată în care? Ia o bucată de hârtie și notează ce crezi. Puteți face acest lucru cu un lanț cu săgeți așa cum am scris mai sus sau în orice alt mod.

Acum, răspunsul corect este: mai întâi, x a fost „împachetat” în puterea \(4\)-a, apoi rezultatul a fost împachetat într-un sinus, acesta, la rândul său, a fost plasat în logaritmul la baza \(2\) , iar în cele din urmă toată această construcție a fost îndesată într-o putere de cinci.

Adică, trebuie să derulați secvența ÎN ORDINE INVERSĂ. Și iată un indiciu despre cum să o faci mai ușor: uită-te imediat la X - ar trebui să dansezi din el. Să ne uităm la câteva exemple.

De exemplu, iată următoarea funcție: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Ne uităm la X - ce se întâmplă mai întâi cu el? Luat de la el. Și atunci? Se ia tangenta rezultatului. Secvența va fi aceeași:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Un alt exemplu: \(y=\cos⁡((x^3))\). Să analizăm - mai întâi am tăiat X cub, apoi am luat cosinusul rezultatului. Aceasta înseamnă că șirul va fi: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Atentie, functia pare a fi asemanatoare cu prima (unde are poze). Dar aceasta este o funcție complet diferită: aici în cub este x (adică \(\cos⁡((x·x·x)))\), iar acolo în cub este cosinusul \(x\) ( adică \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Această diferență apare din diferite secvențe de „ambalare”.

Ultimul exemplu (cu informații importante în el): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Este clar ce au făcut aici mai întâi operatii aritmetice cu x, apoi a luat sinusul rezultatului: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Și acesta este un punct important: în ciuda faptului că operațiile aritmetice nu sunt funcții în sine, aici acționează și ca o modalitate de „împachetare”. Să ne adâncim puțin în această subtilitate.

După cum am spus mai sus, în funcțiile simple x este „împachetat” o dată, iar în funcțiile complexe - două sau mai multe. Mai mult, orice combinație de funcții simple (adică suma, diferența, înmulțirea sau împărțirea lor) este de asemenea funcție simplă. De exemplu, \(x^7\) este o funcție simplă și la fel este \(ctg x\). Aceasta înseamnă că toate combinațiile lor sunt funcții simple:

\(x^7+ ctg x\) - simplu,
\(x^7· cot x\) – simplu,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – simplu etc.

Cu toate acestea, dacă se aplică încă o funcție unei astfel de combinații, aceasta va deveni o funcție complexă, deoarece vor exista două „pachete”. Vezi diagrama:

Bine, dă-i drumul acum. Scrieți secvența funcțiilor de „împachetare”:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Răspunsurile sunt din nou la sfârșitul articolului.

Funcții interne și externe

De ce trebuie să înțelegem imbricarea funcțiilor? Ce ne oferă asta? Faptul este că fără o astfel de analiză nu vom putea găsi în mod fiabil derivate ale funcțiilor discutate mai sus.

Și pentru a merge mai departe, vom avea nevoie de încă două concepte: funcții interne și externe. Acesta este un lucru foarte simplu, în plus, de fapt, le-am analizat deja mai sus: dacă ne amintim analogia de la început, atunci funcția internă este un „pachet”, iar funcția externă este o „cutie”. Aceste. ceea ce este „învelit” X este o funcție internă, iar ceea ce este „învelit” funcția internă este deja extern. Ei bine, este clar de ce - ea este afară, asta înseamnă exterior.

În acest exemplu: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funcția \(\log_2⁡x\) este internă și
- extern.

Și în aceasta: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) este intern și
- extern.

Finalizați ultima practică de analiză a funcțiilor complexe și, în sfârșit, să trecem la ceea ce am început cu toții - vom găsi derivate ale funcțiilor complexe:

Completați spațiile libere din tabel:

Derivată a unei funcții complexe

Bravo nouă, am ajuns în sfârșit la „șeful” acestui subiect - de fapt, derivatul unei funcții complexe, și mai precis, la acea formulă foarte groaznică de la începutul articolului.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Această formulă se citește astfel:

Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei functiei externe fata de o functie interna constanta si derivata functiei interne.

Și uită-te imediat la diagrama de analiză „cuvânt cu cuvânt” pentru a înțelege ce este:

Sper că termenii „derivat” și „produs” nu provoacă dificultăți. „Funcție complexă” - am rezolvat-o deja. Captura este în „derivatul unei funcții externe în raport cu o funcție internă constantă”. Ce este?

Răspuns: Aceasta este derivata obișnuită a unei funcții externe, în care doar funcția externă se modifică, iar cea internă rămâne aceeași. Încă nu este clar? Bine, hai să folosim un exemplu.

Să avem o funcție \(y=\sin⁡(x^3)\). Este clar că funcția internă aici este \(x^3\), iar cea externă
. Să găsim acum derivata exteriorului în raport cu interiorul constant.

După pregătirea preliminară a artileriei, exemplele cu 3-4-5 cuibări de funcții vor fi mai puțin înfricoșătoare. Următoarele două exemple pot părea complicate pentru unii, dar dacă le înțelegeți (cineva va avea de suferit), atunci aproape orice altceva din calculul diferențial va părea o glumă de copil.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

După cum sa menționat deja, atunci când găsiți derivata unei funcții complexe, în primul rând, este necesar CorectÎNȚELEGEȚI investițiile dvs. În cazurile în care există îndoieli, vă reamintesc de o tehnică utilă: luăm valoarea experimentală a lui „x”, de exemplu, și încercăm (mental sau într-o schiță) să substituim această valoare în „expresia groaznică”.

1) Mai întâi trebuie să calculăm expresia, ceea ce înseamnă că suma este cea mai profundă încorporare.

2) Apoi trebuie să calculați logaritmul:

4) Apoi cubează cosinusul:

5) La al cincilea pas diferența:

6) Și în sfârșit, funcția cea mai exterioară este rădăcina pătrată:

Formula pentru diferențierea unei funcții complexe sunt aplicate în ordine inversă, de la funcția cea mai exterioară la cea mai interioară. Noi decidem:

Pare fara erori:

1) Luați derivata rădăcinii pătrate.

2) Luați derivata diferenței folosind regula

3) Derivata unui triplu este zero. În al doilea termen luăm derivata gradului (cubul).

4) Luați derivata cosinusului.

6) Și, în sfârșit, luăm derivata celei mai profunde încorporare.

Poate părea prea dificil, dar acesta nu este cel mai brutal exemplu. Luați, de exemplu, colecția lui Kuznetsov și veți aprecia toată frumusețea și simplitatea derivatului analizat. Am observat că le place să dea un lucru similar la un examen pentru a verifica dacă un student înțelege cum să găsească derivata unei funcții complexe sau nu înțelege.

Următorul exemplu este pe care îl puteți rezolva singur.

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Sugestie: Mai întâi aplicăm regulile de liniaritate și regula de diferențiere a produsului

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Este timpul să trecem la ceva mai mic și mai frumos.
Nu este neobișnuit ca un exemplu să arate produsul nu a două, ci a trei funcții. Cum să găsiți derivata produsului a trei factori?

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

Mai întâi, să vedem dacă este posibil să transformăm produsul a trei funcții în produsul a două funcții? De exemplu, dacă am avea două polinoame în produs, am putea deschide parantezele. Dar în exemplul luat în considerare, toate funcțiile sunt diferite: grad, exponent și logaritm.

În astfel de cazuri este necesar secvenţial aplica regula de diferentiere a produselor de două ori

Trucul este că prin „y” notăm produsul a două funcții: , iar cu „ve” notăm logaritmul: . De ce se poate face asta? Este cu adevărat - acesta nu este un produs al doi factori și regula nu funcționează?! Nu este nimic complicat:

Acum rămâne să aplici regula a doua oară la paranteză:

De asemenea, puteți să vă răsuciți și să puneți ceva din paranteze, dar în acest caz este mai bine să lăsați răspunsul exact în această formă - va fi mai ușor de verificat.

Exemplul luat în considerare poate fi rezolvat în al doilea mod:

Ambele soluții sunt absolut echivalente.

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă în probă se rezolvă folosind prima metodă.

Să ne uităm la exemple similare cu fracții.

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Există mai multe moduri prin care puteți merge aici:

Sau cam asa:

Dar soluția se va scrie mai compact dacă folosim mai întâi regula de diferențiere a coeficientului , luând pentru întregul numărător:

În principiu, exemplul este rezolvat, iar dacă este lăsat așa cum este, nu va fi o eroare. Dar, dacă aveți timp, este întotdeauna indicat să verificați schița pentru a vedea dacă răspunsul poate fi simplificat?

Să reducem expresia numărătorului la un numitor comun și să scăpăm de structura cu trei etaje a fracției:

Dezavantajul simplificărilor suplimentare este că există riscul de a greși nu la găsirea derivatei, ci în timpul transformărilor școlare banale. Pe de altă parte, profesorii resping adesea sarcina și cer să „aducă în minte” derivatul.

Un exemplu mai simplu de rezolvat singur:

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Continuăm să stăpânim metodele de găsire a derivatei și acum vom lua în considerare un caz tipic în care se propune un logaritm „teribil” pentru diferențiere