Demonstrarea teoremei: segmente proporționale într-un triunghi dreptunghic. Lecția „segmente proporționale într-un triunghi dreptunghic”. V. însuşirea conceptului de proporţională medie a două segmente

Lecția 40. Segmente proporționale în triunghi dreptunghic. C. b. o. h. S. bc. N. ac. A. B. Altitudinea unui triunghi dreptunghic trasat de la vârf unghi drept, împarte triunghiul în 2 triunghiuri dreptunghiulare similare, fiecare dintre ele similar cu triunghiul dat. Test de similaritate pentru triunghiuri dreptunghiulare. Două triunghiuri dreptunghiulare sunt similare dacă sunt egale colț ascuțit. Segmentul XY se numește medie proporțională (media geometrică) pentru segmentele AB și CD dacă Proprietatea 1. Altitudinea unui triunghi dreptunghic trasat din vârful unghiului drept este media proporțională dintre proiecțiile catetelor pe ipotenuză. Proprietatea 2. Un catet al unui triunghi dreptunghic este media proporțională dintre ipotenuză și proiecția acestui catet pe ipotenuză.

Slide 28 din prezentare „Geometrie „Triunghiuri similare””.

Dimensiunea arhivei cu prezentarea este de 232 KB.

Geometrie clasa a VIII-a rezumat

alte prezentări „Rezolvarea problemelor cu teorema lui Pitagora” - Triunghiul ABC este isoscel. Aplicație practică

Teorema lui Pitagora. ABCD este un patrulater. Suprafața unui pătrat. Găsiți soarele. Dovada. Bazele unui trapez isoscel. Luați în considerare teorema lui Pitagora. Aria unui patrulater. Triunghiuri dreptunghiulare. Teorema lui Pitagora. Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

„„Pătrat” clasa a VIII-a” – Pătratul Negru. Sarcini pentru lucru oral în jurul perimetrului pătratului. Suprafața unui pătrat. Semne ale unui pătrat. Piața este printre noi. Un pătrat este un dreptunghi cu toate laturile egale. Pătrat. Geanta cu baza patrata. Sarcini orale. Câte pătrate sunt prezentate în imagine? Proprietățile unui pătrat. Negustor bogat. Teme pentru lucru oral pe aria unui pătrat. Perimetrul unui pătrat.

„Definiția simetriei axiale” - Puncte situate pe aceeași perpendiculară. Desenați două linii drepte. Constructii. Trasează punctele. Cheie. Figuri care nu au simetrie axială. Segment. Coordonatele lipsesc. Figura. Figuri care au mai mult de două axe de simetrie. Simetrie. Simetria în poezie. Construiți triunghiuri. Axele de simetrie. Construirea unui segment. Construirea unui punct. Figuri cu două axe de simetrie. Popoarele. Triunghiuri. Proporționalitate.

„Definiția triunghiurilor similare” - Poligoane. Segmente proporționale. Raportul ariilor triunghiurilor similare. Două triunghiuri se numesc similare. Condiții. Construiți un triunghi folosind cele două unghiuri date și bisectoarea la vârf. Să presupunem că trebuie să determinăm distanța până la stâlp. Al treilea semn de asemănare a triunghiurilor. Să construim un fel de triunghi. ABC. Triunghiuri ABCși ABC sunt egale pe trei laturi. Determinarea înălțimii unui obiect.

„Rezolvarea teoremei lui Pitagora” - părți ale ferestrelor. Cea mai simplă dovadă. Hammurabi. Diagonală. Dovada completă. Dovada prin metoda scăderii. pitagoreici. Dovada prin metoda de descompunere. Istoria teoremei. Diametru. Dovada prin metoda adunării. Dovada lui Epstein. Cantor. Triunghiuri. Urmaritori. Aplicații ale teoremei lui Pitagora. Teorema lui Pitagora. Enunțul teoremei. Dovada lui Perigal. Aplicarea teoremei.

Astăzi vă aducem în atenție o altă prezentare pe un subiect uimitor și misterios - geometria. În această prezentare vă vom prezenta o nouă proprietate forme geometrice, în special, cu conceptul de segmente proporționale în triunghiuri dreptunghiulare.

În primul rând, ar trebui să ne amintim ce este un triunghi? Acesta este cel mai simplu poligon, format din trei vârfuri conectate prin trei segmente. Un triunghi se numește triunghi dreptunghic în care unul dintre unghiuri este egal cu 90 de grade. Le-ați familiarizat deja mai detaliat în anterioare materiale educaționale prezentat atenției dumneavoastră.

Deci, revenind la subiectul nostru de astăzi, să notăm astfel încât altitudinea unui triunghi dreptunghic trasat dintr-un unghi de 90 de grade îl împarte în două triunghiuri care sunt similare atât unul cu celălalt, cât și cu cel original. Toate figurile și graficele care vă interesează sunt date în prezentarea propusă și vă recomandăm să vă referiți la ele, însoțite de explicația descrisă.

Un exemplu grafic al tezei de mai sus poate fi văzut pe al doilea diapozitiv. Pe baza primului semn de asemănare a triunghiurilor, triunghiurile sunt similare deoarece au două unghiuri identice. Dacă precizăm mai detaliat, atunci înălțimea coborâtă până la ipotenuză formează un unghi drept cu aceasta, adică există deja unghiuri identice, iar fiecare dintre unghiurile formate are și un unghi comun ca cel original. Rezultatul sunt două unghiuri egale unul cu celălalt. Adică triunghiurile sunt asemănătoare.

Să notăm, de asemenea, ce înseamnă conceptul de „înseamnă proporțională” sau „înseamnă geometrică”? Acesta este un anumit segment XY pentru segmentele AB și CD, atunci când este egal rădăcină pătrată produse de lungimile lor.

Din care mai rezultă că catetul unui triunghi dreptunghic este media geometrică dintre ipotenuză și proiecția acestui catet pe ipotenuză, adică un alt catet.

O altă proprietate a unui triunghi dreptunghic este că înălțimea lui, trasată dintr-un unghi de 90°, este media proporțională dintre proiecțiile catetelor pe ipotenuză. Dacă apelați la prezentarea și alte materiale oferite atenției dumneavoastră, veți vedea că există dovezi ale acestei teze într-o formă foarte simplă și accesibilă. Anterior, am demonstrat deja că triunghiurile rezultate sunt similare între ele și cu triunghiul original. Apoi, folosind raportul catetelor acestor figuri geometrice, ajungem la concluzia că înălțimea unui triunghi dreptunghic este direct proporțională cu rădăcina pătrată a produsului segmentelor care s-au format ca urmare a scăderii înălțimii de la unghiul drept al triunghiului original.

Ultimul lucru din prezentare este că catetul unui triunghi dreptunghic este media geometrică pentru ipotenuză și segmentul acesteia situat între catete și altitudinea trasă dintr-un unghi egal cu 90 de grade. Acest caz ar trebui luat în considerare din punctul de vedere că triunghiurile indicate sunt similare între ele, iar catetul unuia dintre ele se dovedește a fi ipotenuza celuilalt. Dar te vei familiariza mai mult cu acest lucru studiind materialele propuse.

Test de similaritate pentru triunghiuri dreptunghiulare

Să introducem mai întâi criteriul de similitudine pentru triunghiuri dreptunghiulare.

Teorema 1

Test de similaritate pentru triunghiuri dreptunghiulare: două triunghiuri dreptunghiulare sunt similare atunci când au fiecare un unghi ascuțit egal (Fig. 1).

Figura 1. Triunghiuri dreptunghice asemănătoare

Dovada.

Să dăm că $\angle B=\angle B_1$. Deoarece triunghiurile sunt dreptunghiulare, atunci $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Prin urmare, ele sunt similare conform primului criteriu de asemănare a triunghiurilor.

Teorema a fost demonstrată.

Teorema înălțimii în triunghi dreptunghic

Teorema 2

Altitudinea unui triunghi dreptunghic trasat de la vârful unui unghi drept împarte triunghiul în două triunghiuri dreptunghiulare similare, fiecare dintre ele similar cu triunghiul dat.

Dovada.

Să ni se dă un triunghi dreptunghic $ABC$ cu unghi drept $C$. Să desenăm înălțimea $CD$ (Fig. 2).

Figura 2. Ilustrarea teoremei 2

Să demonstrăm că triunghiurile $ACD$ și $BCD$ sunt similare cu triunghiul $ABC$ și că triunghiurile $ACD$ și $BCD$ sunt similare între ele.

Deoarece $\angle ADC=(90)^0$, atunci triunghiul $ACD$ este dreptunghic. Triunghiurile $ACD$ și $ABC$ au un unghi comun $A$, prin urmare, după teorema 1, triunghiurile $ACD$ și $ABC$ sunt similare.

Deoarece $\angle BDC=(90)^0$, atunci triunghiul $BCD$ este dreptunghic. Triunghiurile $BCD$ și $ABC$ au un unghi comun $B$, prin urmare, după teorema 1, triunghiurile $BCD$ și $ABC$ sunt similare.

Să luăm acum în considerare triunghiurile $ACD$ și $BCD$

\[\angle A=(90)^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=(90)^0-\angle ACD=\unghi A\]

Prin urmare, după teorema 1, triunghiurile $ACD$ și $BCD$ sunt similare.

Teorema a fost demonstrată.

Media proporțională

Teorema 3

Altitudinea unui triunghi dreptunghic trasat din vârful unui unghi drept este media proporțională cu segmentele în care altitudinea împarte ipotenuza triunghiului dat.

Dovada.

Prin teorema 2, avem că triunghiurile $ACD$ și $BCD$ sunt similare, prin urmare

Teorema a fost demonstrată.

Teorema 4

Categorul unui triunghi dreptunghic este media proporțională dintre ipotenuză și segmentul ipotenuzei cuprins între catete și altitudinea trasă de la vârful unghiului.

Dovada.

În demonstrarea teoremei vom folosi notația din figura 2.

Prin teorema 2, avem că triunghiurile $ACD$ și $ABC$ sunt similare, prin urmare

Teorema a fost demonstrată.

Obiectivele lecției:

introduceți conceptul de medie proporțională (media geometrică) a două segmente;
luați în considerare problema segmentelor proporționale dintr-un triunghi dreptunghic: proprietatea altitudinii unui triunghi dreptunghic trasat de la vârful unui unghi drept;
să dezvolte abilitățile elevilor în utilizarea temei studiate în procesul de rezolvare a problemelor.

Tip de lecție: lectie de invatare a materialelor noi.

Plan:

Moment org.
Actualizarea cunoștințelor.
Studiind proprietatea altitudinii unui triunghi dreptunghic trasat de la vârful unui unghi drept:
– etapa pregătitoare;
– introducere;
– asimilare.
Introducerea conceptului de medie proporțională la două segmente.
Stăpânirea conceptului de proporțională medie a două segmente.
Dovada consecințelor:
– înălțimea unui triunghi dreptunghic tras de la vârful unui unghi drept este media proporțională dintre segmentele în care se împarte ipotenuza la această înălțime;
– catetul unui triunghi dreptunghic este media proporțională dintre ipotenuză și segmentul ipotenuzei cuprins între catete și altitudine.
Rezolvarea problemelor.
Rezumând.
Stabilirea temelor.

Progresul lecției

I. MOMENT ORGANIZAȚIONAL

- Bună băieți, luați loc. Toată lumea este pregătită pentru curs?

Să începem treaba.

II. CUNOAȘTE ACTUALIZATE

- Cât de important concept matematic te-ai cunoscut pe lecțiile anterioare? (cu conceptul de similitudine a triunghiurilor)

- Să ne amintim care două triunghiuri se numesc asemănătoare? (două triunghiuri se numesc similare dacă unghiurile lor sunt egale, iar laturile unui triunghi sunt proporționale cu laturile similare ale celuilalt triunghi)

– Ce folosim pentru a demonstra asemănarea a două triunghiuri? (

– Formulați aceste semne (formula trei semne de asemănare a triunghiurilor)

III. STUDIAREA PROPRIETĂȚILOR ÎNĂLȚIMII UNUI TRIANGUL DREPTUNGULAR, EFECTUAT DIN VERSUL UNGIULUI DREPT.

a) etapa pregătitoare

– Băieți, vă rog să vă uitați la primul diapozitiv. ( Aplicație) Aici sunt prezentate două triunghiuri dreptunghiulare – și . şi sunt înălţimile şi respectiv. .

Sarcina 1. a) Stabiliți dacă și sunt similare.

– Ce folosim pentru a demonstra asemănarea triunghiurilor? ( semne de asemănare a triunghiurilor)

(primul semn, pentru că în problemă nu se știe nimic despre laturile triunghiurilor)

. (Două perechi: 1. ∟B= ∟B1 (drept), 2. ∟A= ∟A 1)

– Trageți o concluzie.( după primul criteriu de asemănare a triunghiurilor ~)

Sarcina 1. b) Stabiliți dacă și sunt similare.

– Ce semn de similitudine vom folosi și de ce? (primul semn, pentru că în problemă nu se știe nimic despre laturile triunghiurilor)

– Câte perechi unghiuri egale trebuie sa gasim? Găsiți aceste perechi (deoarece triunghiurile sunt dreptunghiulare, atunci este suficientă o pereche de unghiuri egale: ∟A= ∟A 1)

- Trageți o concluzie. (pe baza primului criteriu de asemănare a triunghiurilor, concluzionăm că aceste triunghiuri sunt asemănătoare).

Ca rezultat al conversației, diapozitivul 1 arată astfel:

b) descoperirea teoremei

Sarcina 2.

– Stabiliți dacă și sunt similare. Ca rezultat al conversației, se construiesc răspunsuri care se reflectă pe diapozitiv.

– Imaginea indica că . Am folosit această măsură a gradului când am răspuns la întrebările legate de teme? ( Nu, nu l-am folosit)

– Băieți, trageți o concluzie: în ce triunghiuri se împarte un triunghi dreptunghic la altitudinea trasă de la vârful unghiului drept? (încheia)

– Se pune întrebarea: vor fi asemănătoare între ele aceste două triunghiuri dreptunghiulare, în care înălțimea împarte triunghiul dreptunghic? Să încercăm să găsim perechi de unghiuri egale.

Ca rezultat al conversației, se construiește o înregistrare:

– Acum să tragem o concluzie completă.( CONCLUZIE: altitudinea unui triunghi dreptunghic tras de la vârful unghiului drept împarte triunghiul în două asemănătoare

- Asta. Am formulat și demonstrat o teoremă despre proprietatea înălțimii unui triunghi dreptunghic.

Să stabilim structura teoremei și să facem un desen. Ce este dat în teoremă și ce trebuie demonstrat? Elevii scriu în caiet:

– Să demonstrăm primul punct al teoremei pentru noul desen. Ce caracteristică de similaritate vom folosi și de ce? (Primul, deoarece în teoremă nu se știe nimic despre laturile triunghiurilor)

– Câte perechi de unghiuri egale trebuie să găsim? Găsiți aceste perechi. (ÎN în acest caz, o pereche este suficientă: ∟A-general)

- Trageți o concluzie. Triunghiurile sunt asemănătoare. Ca rezultat, este prezentată o mostră a teoremei

– Scrieți singur al doilea și al treilea punct acasă.

c) stăpânirea teoremei

- Deci, formulează din nou teorema (Altitudinea unui triunghi dreptunghic trasat de la vârful unui unghi drept împarte triunghiul în două asemănătoare triunghiuri dreptunghiulare, fiecare dintre ele similar cu acesta)

– Câte perechi de triunghiuri asemănătoare din construcția „într-un triunghi dreptunghic altitudinea este trasată de la vârful unui unghi drept” vă permite să găsiți această teoremă? ( Trei perechi)

Studenților li se oferă următoarea sarcină:

IV. INTRODUCEREA CONCEPTULUI DE PROPORȚIONAL MEDIE A DOUĂ SEGMENTE

– Și acum vom studia un nou concept cu tine.

Atenţie!

Definiţie. Segment XY numit medie proporțională (medie geometrică)între segmente ABŞi CD, Dacă

(notați-l într-un caiet).

V. ÎNȚELEGEREA CONCEPTULUI DE PROPORȚIONAL MEDIE A DOUĂ SEGMENTE

– Acum să trecem la următorul diapozitiv.

Sarcina 1. Aflați lungimea segmentelor proporționale medii MN și KP, dacă MN = 9 cm, KP = 16 cm.

– Ce este dat în problemă? ( Două segmente și lungimile lor: MN = 9 cm, KP = 16 cm)

— Ce trebuie să găsești? ( Lungimea mediei proporționale cu aceste segmente)

– Ce formulă exprimă media proporțională și cum o găsim?

(Înlocuiți datele în formulă și găsiți lungimea mediei prop.)

Sarcina nr. 2. Aflați lungimea segmentului AB dacă media proporțională a segmentelor AB și CD este de 90 cm și CD = 100 cm

– Ce este dat în problemă? (lungimea segmentului CD = 100 cm și media proporțională a segmentelor AB și CD este de 90 cm)

– Ce ar trebui găsit în problemă? ( Lungimea segmentului AB)

– Cum vom rezolva problema? (Să scriem formula pentru segmentele proporționale medii AB și CD, să exprimăm lungimea AB din aceasta și să înlocuim datele din problemă.)

VI. CONCLUZIA IMPLICAȚIILOR

- Bravo, băieți. Acum să revenim la asemănarea triunghiurilor, pe care am demonstrat-o în teoremă. Prezentați din nou teorema. ( Altitudinea unui triunghi dreptunghic trasat de la vârful unui unghi drept împarte triunghiul în două asemănătoare triunghiuri dreptunghiulare, fiecare dintre ele asemănător celui dat)

– Să folosim mai întâi asemănarea triunghiurilor și . Ce rezultă din asta? ( Prin definiție, laturile similare sunt proporționale cu laturile similare)

– Ce egalitate va rezulta la folosirea proprietății de bază a proporției? ()

– Exprimați CD-ul și trageți o concluzie (;.

Concluzie: înălțimea unui triunghi dreptunghic tras de la vârful unui unghi drept este media proporțională dintre segmentele în care ipotenuza este împărțită la această înălțime)

– Acum demonstrați singuri că catetul unui triunghi dreptunghic este media proporțională dintre ipotenuză și segmentul ipotenuzei cuprins între catete și altitudine Vom găsi din -... segmentele în care se împarte ipotenuza de această altitudine )

Un catet al unui triunghi dreptunghic este media proporțională între...(-...ipotenuza si segmentul ipotenuzei cuprinse intre acest catet si inaltime )

– Unde aplicăm afirmațiile pe care le-am învățat? ( La rezolvarea problemelor)

IX. SETAREA TEMEI

d/z: nr. 571, nr. 572 (a, d), munca independentaîntr-un caiet, teorie.

Test de similaritate pentru triunghiuri dreptunghiulare

Să introducem mai întâi criteriul de similitudine pentru triunghiuri dreptunghiulare.

Teorema 1

Test de similaritate pentru triunghiuri dreptunghiulare: două triunghiuri dreptunghiulare sunt similare atunci când au fiecare un unghi ascuțit egal (Fig. 1).

Figura 1. Triunghiuri dreptunghice asemănătoare

Dovada.

Teorema a fost demonstrată.

Teorema înălțimii în triunghi dreptunghic

Teorema 2

Altitudinea unui triunghi dreptunghic trasat de la vârful unui unghi drept împarte triunghiul în două triunghiuri dreptunghiulare similare, fiecare dintre ele similar cu triunghiul dat.

Dovada.

Să ni se dă un triunghi dreptunghic $ABC$ cu unghi drept $C$. Să desenăm înălțimea $CD$ (Fig. 2).

Figura 2. Ilustrarea teoremei 2

Să demonstrăm că triunghiurile $ACD$ și $BCD$ sunt similare cu triunghiul $ABC$ și că triunghiurile $ACD$ și $BCD$ sunt similare între ele.

Deoarece $\angle ADC=(90)^0$, atunci triunghiul $ACD$ este dreptunghic. Triunghiurile $ACD$ și $ABC$ au un unghi comun $A$, prin urmare, după teorema 1, triunghiurile $ACD$ și $ABC$ sunt similare.

Deoarece $\angle BDC=(90)^0$, atunci triunghiul $BCD$ este dreptunghic. Triunghiurile $BCD$ și $ABC$ au un unghi comun $B$, prin urmare, după teorema 1, triunghiurile $BCD$ și $ABC$ sunt similare.

Să luăm acum în considerare triunghiurile $ACD$ și $BCD$

\[\angle A=(90)^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=(90)^0-\angle ACD=\unghi A\]

Prin urmare, după teorema 1, triunghiurile $ACD$ și $BCD$ sunt similare.

Teorema a fost demonstrată.

Media proporțională

Teorema 3

Altitudinea unui triunghi dreptunghic trasat din vârful unui unghi drept este media proporțională cu segmentele în care altitudinea împarte ipotenuza triunghiului dat.

Dovada.

Prin teorema 2, avem că triunghiurile $ACD$ și $BCD$ sunt similare, prin urmare

Teorema a fost demonstrată.

Teorema 4

Categorul unui triunghi dreptunghic este media proporțională dintre ipotenuză și segmentul ipotenuzei cuprins între catete și altitudinea trasă de la vârful unghiului.

Dovada.

În demonstrarea teoremei vom folosi notația din figura 2.

Prin teorema 2, avem că triunghiurile $ACD$ și $ABC$ sunt similare, prin urmare

Teorema a fost demonstrată.