Prezentare despre geometrie „cerc înscris și circumscris”. Un cerc circumscris unui triunghi este suma laturilor opuse

În ce imagine este un cerc înscris într-un triunghi?

Dacă un cerc este înscris într-un triunghi,

atunci triunghiul este circumscris unui cerc.

Teorema. Puteți înscrie un cerc într-un triunghi și doar unul. Centrul său este punctul de intersecție al bisectoarelor triunghiului.

Dată de: ABC

Demonstrați: există Env.(O; r),

înscris într-un triunghi

Dovada:

Să desenăm bisectoarele triunghiului: AA 1, BB 1, CC 1.

După proprietate (punctul remarcabil al triunghiului)

bisectoarele se intersectează la un moment dat - Oh,

iar acest punct este echidistant de toate laturile triunghiului, adică:

OK = OE = SAU, unde OK AB, OE BC, SAU AC, ceea ce înseamnă

O este centrul cercului, iar AB, BC, AC sunt tangente la acesta.

Aceasta înseamnă că cercul este înscris în ABC.

Având în vedere: Mediul (O; r) este înscris în ABC,

p = ½ (AB + BC + AC) – semiperimetru.

Dovedi: S ABC = p r

Dovada:

conectează centrul cercului cu vârfurile

triunghi și desenați razele

cercuri la punctele de contact.

Aceste raze sunt

altitudinile triunghiurilor AOB, BOC, COA.

S ABC = S AOB +S BOC + S AOC = ½ AB r + ½ BC r + ½ AC r =

= ½ (AB + BC + AC) r = ½ p r.

Sarcină: într-un triunghi echilateral cu latura de 4 cm

este înscris cerc. Găsiți-i raza.

Derivarea formulei pentru raza unui cerc înscris într-un triunghi

S = p r = ½ P r = ½ (a + b + c) r

2S = (a + b + c) r

Formula necesară pentru raza unui cerc este

înscris într-un triunghi dreptunghic

- catete, c - ipotenuză

Definiţie: Un cerc se numește înscris într-un patrulater dacă toate laturile patrulaterului îl ating.

În ce figură este un cerc înscris într-un patrulater?

Teorema: dacă un cerc este înscris într-un patrulater,

apoi sumele laturi opuse

patrulaterele sunt egale (în orice descris

suma patrulatera a contrariilor

laturile sunt egale).

AB + SK = BC + AK.

Teorema inversă: dacă sumele laturilor opuse

patrulaterele convexe sunt egale,

apoi poti incadra un cerc in el.

Problemă: un cerc este înscris într-un romb al cărui unghi ascuțit este 60 0,

a cărui rază este de 2 cm Aflați perimetrul rombului.

Rezolva probleme

Având în vedere: Env.(O; r) este înscris în ABCC,

R ABCC = 10

Găsiți: BC + AK

Dat: ABCM este descris despre Environ.(O; r)

BC = 6, AM = 15,

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Cerc circular

Definiție: se spune că un cerc este circumscris unui triunghi dacă toate vârfurile triunghiului se află pe acest cerc. În ce figură este descris un cerc în jurul unui triunghi: 1) 2) 3) 4) 5) Dacă un cerc este descris în jurul unui triunghi, atunci triunghiul este înscris în cerc.

Teorema. În jurul unui triunghi poți descrie un cerc și doar unul. Centrul său este punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare pe laturile triunghiului. A B C Dat: ABC Demonstrați: există un mediu (O; r) descris lângă ABC. Demonstrație: Să desenăm bisectoare p, k, n la laturile AB, BC, AC După proprietatea bisectoarelor la laturile unui triunghi (un punct remarcabil al unui triunghi): se intersectează într-un punct - O. , pentru care OA = OB = OC. Adică, toate vârfurile triunghiului sunt echidistante de punctul O, ceea ce înseamnă că se află pe un cerc cu centrul O. Aceasta înseamnă că cercul este circumscris aproximativ triunghiul ABC. O n p k

Proprietate importantă: Dacă un cerc este circumscris aproximativ triunghi dreptunghic, atunci centrul său este mijlocul ipotenuzei. O R R C A B R = ½ AB Problemă: găsiți raza unui cerc circumscris unui triunghi dreptunghic ale cărui catete au 3 cm și 4 cm Centrul unui cerc circumscris unui triunghi obtuz se află în afara triunghiului.

a b c R R = Formule pentru raza unui cerc circumscris în jurul unui triunghi Sarcină: găsiți raza unui cerc circumscris în jurul unui triunghi echilateral a cărui latură este de 4 cm Rezolvare: R = R = , Răspuns: cm (cm)

Problemă: înscris într-un cerc cu raza de 10 cm triunghi isoscel. Înălțimea trasă la baza sa este de 16 cm Găsiți latura laterală și aria triunghiului. A B C O N Soluție: Deoarece cercul este circumscris triunghiului isoscel ABC, centrul cercului se află la înălțimea BH. AO = VO = CO = 10 cm, OH = VN – VO = = 16 – 10 = 6 (cm) AON – dreptunghiular, AO 2 = AN 2 + AN 2, AN 2 = 10 2 – 6 2 = 64, AN = 8 cm ABN - dreptunghiular, AB 2 = AN 2 + VN 2 = 8 2 + 16 2 = 64 + 256 = 320, AB = (cm) AC = 2AN = 2 8 = 16 (cm), S ABC = ½ AC · ВН = ½ · 16 · 16 = 128 (cm 2) Răspuns: AB = cm S = 128 cm 2, Aflați: AB, S ABC Dat: ABC-r/b, VN AC, VN = 16 cm Surround (O ; 10 cm) este descris lângă ABC

Definiție: se spune că un cerc este circumscris unui patrulater dacă toate vârfurile patrulaterului se află pe cerc. Teorema. Dacă un cerc este circumscris în jurul unui patrulater, atunci suma unghiurilor sale opuse este egală cu 180 0. Dovada: Deoarece cercul este circumscris la ABC D, atunci sunt înscriși A, B, C, D, ceea ce înseamnă A + C = ½ BCD + ½ BAD = ½ (BCD + BAD) = ½ 360 0 = 180 0 B+ D = ½ ADC + ½ ABC = ½ (ADC+ ABC) = ½ 360 0 = 180 0 A + C = B + D = 180 0 Dat: Mediul (O; R) este descris în jurul ABC D Demonstrați: Deci A + C = B + D = 180 0 O altă formulare a teoremei: într-un patrulater înscris într-un cerc, suma unghiurilor opuse este 180 0. A B C D O

Teorema inversă: dacă suma unghiurilor opuse ale unui patrulater este 180 0, atunci se poate descrie un cerc în jurul lui. Dat: ABC D, A + C = 180 0 A B C D O Demonstrați: Înconjurarea (O; R) este descrisă în jurul ABC D Dovada: Nr. 729 (manual) În jurul cărui patrulater nu poate fi descris un cerc?

Corolarul 1: în jurul oricărui dreptunghi puteți descrie un cerc, centrul acestuia este punctul de intersecție al diagonalelor. Corolarul 2: un cerc poate fi descris în jurul unui trapez isoscel. A B C K

Rezolva probleme 80 0 120 0 ? ? A B C M K N O R E 70 0 Aflați unghiurile patrulaterului RKEN: 80 0

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Clasa a VIII-a L.S. Geometria Atanasyan 7-9 Cercuri înscrise și circumscrise

O D B C Dacă toate laturile unui poligon ating un cerc, atunci se spune că cercul este înscris în poligon. A E A se spune că poligonul este circumscris acestui cerc.

D B C Care dintre cele două patrulatere ABC D sau AEK D este descris? A E K O

D B C Un cerc nu poate fi înscris într-un dreptunghi. A O

D B C Ce proprietăți cunoscute ne vor fi utile atunci când studiem cercul înscris? A E O K Proprietatea unei tangente Proprietatea segmentelor tangente F P

D B C În orice patrulater circumscris, sumele laturilor opuse sunt egale. A E O a a R N F b b c c d d

D B C Suma a două laturi opuse ale patrulaterului circumscris este de 15 cm Aflați perimetrul acestui patrulater. A O No. 695 B C+AD=15 AB+DC=15 P ABCD = 30 cm

D F Găsiți FD A O N ? 4 7 6 5

D B C Un trapez echilateral este circumscris unui cerc. Bazele trapezului sunt 2 și 8. Aflați raza cercului înscris. A B C+AD=1 0 AB+DC=1 0 2 8 5 5 2 N F 3 3 4 S L O

D B C Este adevărat și invers. A O Dacă sumele laturilor opuse ale unui patrulater convex sunt egale, atunci poate fi înscris în el un cerc. BC + A D = AB + DC

D B C Este posibil să se înscrie un cerc în acest patrulater? A O 5 + 7 = 4 + 8 5 7 4 8

B C A Un cerc poate fi înscris în orice triunghi. Teorema Demonstrați că un cerc poate fi înscris într-un triunghi Având în vedere: ABC

K B C A L M O 1) DP: bisectoare ale unghiurilor unui triunghi 2) C OL = CO M, de-a lungul ipotenuzei și restului. unghi O L = M O Să tragem perpendiculare din punctul O pe laturile triunghiului 3) MOA = KOA, de-a lungul ipotenuzei și repaus. colțul MO = KO 4) L O= M O= K O punctul O este echidistant de laturile triunghiului. Aceasta înseamnă că un cerc cu centrul la t.O trece prin punctele K, L și M. Laturile triunghiului ABC ating acest cerc. Aceasta înseamnă că cercul este un cerc înscris de ABC.

K B C A Un cerc poate fi înscris în orice triunghi. Teorema L M O

D B C Demonstrați că aria unui poligon circumscris este egală cu jumătate din produsul perimetrului său și raza cercului înscris. A No. 69 7 F r a 1 a 2 a 3 r O r ... + K

O D B C Dacă toate vârfurile unui poligon se află pe un cerc, atunci cercul se numește circumscris poligonului. A E A se spune că poligonul este înscris în acest cerc.

O D B C Care dintre poligoanele prezentate în figură este înscris într-un cerc? A E L P X E O D B C A E

O A B D C Ce proprietăți cunoscute ne vor fi utile atunci când studiem cercul circumferitor? Teorema unghiului înscris

O A B D În orice patrulater ciclic, suma unghiurilor opuse este 180 0. C + 360 0

59 0 ? 90 0 ? 65 0 ? 100 0 D А В С О 80 0 115 0 D А В С О 121 0 Aflați unghiurile necunoscute ale patrulaterelor.

D Este adevărat și invers. Dacă suma unghiurilor opuse ale unui patrulater este 180 0, atunci se poate înscrie un cerc în jurul lui. A B C O 80 0 100 0 113 0 67 0 O D A B C 79 0 99 0 123 0 77 0

B C A Un cerc poate fi descris în jurul oricărui triunghi. Teorema Demonstrați că este posibil să descriem un cerc Având în vedere: ABC

K B C A L M O 1) DP: bisectoare perpendiculare pe laturile VO = CO 2) B OL = COL, de-a lungul picioarelor 3) COM = A O M, de-a lungul catetelor CO = AO 4) VO=CO=AO, adică de ex. punctul O este echidistant de vârfurile triunghiului. Aceasta înseamnă că un cerc cu centrul la TO și raza OA va trece prin toate cele trei vârfuri ale triunghiului, adică. este un cerc circumscris.

K B C A Un cerc poate fi descris în jurul oricărui triunghi. L M Teorema O

O B C A O B C A Nr. 702 Triunghiul ABC este înscris într-un cerc, astfel încât AB este diametrul cercului. Aflați unghiurile triunghiului dacă: a) BC = 134 0 134 0 67 0 23 0 b) AC = 70 0 70 0 55 0 35 0

O VSA Nr. 703 Un triunghi isoscel ABC cu baza BC este înscris într-un cerc. Aflați unghiurile triunghiului dacă BC = 102 0. 102 0 51 0 (180 0 – 51 0) : 2 = 129 0: 2 = 128 0 60 / : 2 = 64 0 30 /

O VSA No. 704 (a) Un cerc cu centrul O este circumscris unui triunghi dreptunghic. Demonstrați că punctul O este punctul de mijloc al ipotenuzei. 180 0 d i a m e t r

O VSA Nr. 704 (b) Un cerc cu centrul O este circumscris unui triunghi dreptunghic. Aflați laturile unui triunghi dacă diametrul cercului este d și unul dintre colțuri ascuțite triunghiul este egal. d

O C V A No. 705 (a) Un cerc este circumscris unui triunghi dreptunghic ABC cu unghi drept C. Aflați raza acestui cerc dacă AC=8 cm, BC=6 cm 8 6 10 5 5

O S A B No. 705 (b) Un cerc este circumscris unui triunghi dreptunghic ABC cu unghi drept C. Aflați raza acestui cerc dacă AC=18 cm, 18 30 0 36 18 18

O B C A Laturile laterale ale triunghiului prezentat în figură sunt egale cu 3 cm Aflați raza cercului circumscris acestuia. 180 0 3 3

O B C A Raza cercului circumscris triunghiului prezentat în desen este de 2 cm Găsiți latura AB. 180 0 2 2 45 0 ?

Pe tema: dezvoltări metodologice, prezentări și note

Prezentarea pentru lecție include definiții ale conceptelor de bază, crearea unei situații problematice, precum și dezvoltarea creativitatea elevi....

Program de lucru pentru cursul opțional de geometrie „Rezolvarea problemelor planimetrice pe cercuri înscrise și circumscrise” clasa a IX-a

Statistica analizei rezultatelor efectuarea examenului de stat unificat ei spun că cel mai mic procent de răspunsuri corecte este dat în mod tradițional de către elevi problemelor geometrice. Sarcini de planimetrie incluse în...

OA=OB O b => OB=OC => O bisectoare perpendiculară pe AC => aproximativ tr. ABC poate fi descris printr-un cerc ba =>OA=OC =>" title="Teorema 1 Demonstrație: 1) a – bisectoare perpendiculară pe AB 2) b – bisectoare perpendiculară pe BC 3) ab=O 4) O a = > OA=OB O b => OB=OC => O bisectoare perpendiculară pe AC => aproximativ tr. ABC poate descrie un cerc ba =>OA=OC =>" class="link_thumb"> 8 !} Teorema 1 Demonstrație: 1) a – bisectoare perpendiculară pe AB 2) b – bisectoare perpendiculară pe BC 3) ab=O 4) O a => OA=OB O b => OB=OC => O bisectoare perpendiculară pe AC => despre tr. ABC poate descrie un cerc ba =>OA=OC => OA=OB O b => OB=OC => O bisectoare perpendiculară pe AC => aproximativ tr. ABC poate descrie un cerc ba =>OA=OC =>"> OA=OB O b => OB=OC => O la bisectoarea perpendiculară pe AC => despre tr. ABC poate descrie un cerc ba =>OA= OC =>"> OA=OB O b => OB=OC => O bisectoare perpendiculară pe AC => aproximativ tr. ABC poate fi descris printr-un cerc ba =>OA=OC =>" title="Teorema 1 Demonstrație: 1) a – bisectoare perpendiculară pe AB 2) b – bisectoare perpendiculară pe BC 3) ab=O 4) O a = > OA=OB O b => OB=OC => O bisectoare perpendiculară pe AC => aproximativ tr. ABC poate descrie un cerc ba =>OA=OC =>"> title="Teorema 1 Demonstrație: 1) a – bisectoare perpendiculară pe AB 2) b – bisectoare perpendiculară pe BC 3) ab=O 4) O a => OA=OB O b => OB=OC => O bisectoare perpendiculară pe AC => despre tr. ABC poate descrie un cerc ba =>OA=OC =>"> !}

Proprietățile unui triunghi și ale unui trapez înscris într-un cerc Centrul mediului descris în apropierea semicercului se află în mijlocul ipotenuzei Centrul mediului descris lângă tubul cu unghi acut se află în tub Centrul mediului descris lângă tub obtuz în unghi, nu se află în tub Dacă împrejurimile unui trapez pot fi descrise, atunci este isoscel

„Algebră și geometrie” - O femeie îi învață pe copii geometrie. Proclus era deja, se pare, ultimul reprezentant al geometriei grecești. Dincolo de puterea a 4-a a unor astfel de formule pt solutie generala nu exista ecuatii. Mediatori între eleni și moderni stiinta europeana au apărut arabii. S-a pus întrebarea despre geometrizarea fizicii.

„Termeni de geometrie” - Bisectoarea unui triunghi. Puncte de abscisă. Diagonală. Dicţionar de geometrie. Cerc. Rază. Perimetrul unui triunghi. Unghiuri verticale. Termeni. Colţ. Coarda unui cerc. Puteți adăuga propriile condiții. Teorema. Selectați prima literă. Geometrie. Dictionar electronic. rupt. Busolă. Colțuri adiacente. Mediana unui triunghi.

„Geometrie de clasa a 8-a” - Deci, trecând prin teoreme, puteți ajunge la axiome. Conceptul de teoremă. Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. a2+b2=c2. Conceptul de axiome. Fiecare afirmație matematică obținută prin demonstrație logică este o teoremă. Fiecare clădire are o fundație. Fiecare afirmație se bazează pe ceea ce a fost deja dovedit.

„Geometrie vizuală” - Pătrat. Plicul nr. 3. Vă rog să ajutați, băieți, altfel Matroskin mă va ucide complet. Toate laturile pătratului sunt egale. Pătratele sunt peste tot în jurul nostru. Câte pătrate sunt în imagine? Sarcini de atenție. Plicul nr. 2. Toate colțurile pătratului sunt drepte. Dragă Sharik! Geometrie vizuală, clasa a V-a. Proprietăți excelente Lungimi laterale diferite Culori diferite.

„Informații geometrice inițiale” - Euclid. Lectură. Ce spun cifrele despre noi. Figura evidențiază o parte a unei linii drepte delimitată de două puncte. Puteți desena orice număr de linii drepte diferite printr-un punct. Matematică. Nu există cale regală în geometrie. Înregistra. Sarcini suplimentare. Planimetrie. Desemnare. Paginile Elementelor lui Euclid. Platon (477-347 î.Hr.) - filosof grec antic, elev al lui Socrate.

„Tabele de geometrie” - Tabele. Înmulțirea unui vector cu un număr Simetria axială și centrală. Tangenta la un cerc Unghiuri centrale și înscrise Cerc înscris și circumscris Conceptul de vector Adunarea și scăderea vectorilor. Cuprins: Poligoane Paralelogram și trapez Dreptunghi, romb, pătrat Aria unui poligon Aria unui triunghi, paralelogram și trapez Teorema lui Pitagora Triunghiuri similare Semne de asemănare ale triunghiurilor Relații între laturile și unghiurile unui triunghi dreptunghic Poziție reciprocă linie dreaptă și cerc.