Cu acest videoclip încep o serie lungă de lecții despre derivate. Această lecție constă din mai multe părți.

În primul rând, vă voi spune ce sunt derivatele în general și cum să le calculez, dar nu într-un limbaj academic sofisticat, ci felul în care le înțeleg eu însumi și cum le explic studenților mei. În al doilea rând, vom lua în considerare cea mai simplă regulă de rezolvare a problemelor în care vom căuta derivate ale sumelor, derivate ale diferențelor și derivate. functie de putere.

Vom analiza exemple combinate mai complexe, din care veți afla, în special, că probleme similare care implică rădăcini și chiar fracții pot fi rezolvate folosind formula pentru derivata unei funcții de putere. În plus, desigur, vor fi multe probleme și exemple de soluții pentru cele mai multe diferite niveluri complexitate.

În general, inițial urma să înregistrez un videoclip scurt de 5 minute, dar puteți vedea cum a ieșit. Deci destule versuri - să trecem la treabă.

Ce este un derivat?

Deci, să începem de departe. Cu mulți ani în urmă, când copacii erau mai verzi și viața era mai distractivă, matematicienii s-au gândit la asta: luați în considerare funcție simplă, dat de graficul său, să-l numim $y=f\left(x \right)$. Desigur, graficul nu există singur, așa că trebuie să desenați axele $x$ precum și axa $y$. Acum să alegem orice punct din acest grafic, absolut orice. Să numim abscisa $((x)_(1))$, ordonata, după cum ați putea ghici, va fi $f\left(((x)_(1)) \right)$.

Să ne uităm la un alt punct din același grafic. Nu contează care dintre ele, principalul lucru este că diferă de cel original. Are, din nou, o abscisă, să o numim $((x)_(2))$ și, de asemenea, o ordonată - $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Deci, avem două puncte: au abscise diferite și, prin urmare, valori diferite ale funcției, deși aceasta din urmă nu este necesară. Dar ceea ce este cu adevărat important este că știm din cursul de planimetrie: prin două puncte se poate trasa o linie dreaptă și, în plus, doar una. Deci hai să o ducem la îndeplinire.

Acum să tragem o linie dreaptă prin prima dintre ele, paralelă cu axa absciselor. Primim triunghi dreptunghic. Să-i spunem $ABC$, unghi drept $C$. Acest triunghi are o proprietate foarte interesantă: faptul este că unghiul $\alpha $, de fapt, egal cu unghiul, sub care dreapta $AB$ se intersectează cu continuarea axei absciselor. Judecă singur:

1. linia dreaptă $AC$ este paralelă cu axa $Ox$ prin construcție,
2. linia $AB$ intersectează $AC$ sub $\alpha $,
3. prin urmare, $AB$ intersectează $Ox$ sub același $\alpha $.

Ce putem spune despre $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Nimic specific, cu excepția faptului că în triunghiul $ABC$ raportul dintre catetul $BC$ și catetul $AC$ este egal cu tangenta acestui unghi. Deci hai sa o scriem:

Desigur, $AC$ în în acest caz, usor de calculat:

La fel pentru $BC$:

Cu alte cuvinte, putem scrie următoarele:

\[\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \dreapta))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Acum că am scăpat de toate acestea, să ne întoarcem la graficul nostru și să ne uităm la punct nou$B$. Să ștergem vechile valori și să luăm $B$ undeva mai aproape de $((x)_(1))$. Să notăm din nou abscisa cu $((x)_(2))$ și ordonata cu $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Să ne uităm din nou la micul nostru triunghi $ABC$ și $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ în interiorul acestuia. Este destul de evident că acesta va fi un unghi complet diferit, tangenta va fi și ea diferită deoarece lungimile segmentelor $AC$ și $BC$ s-au schimbat semnificativ, dar formula pentru tangentei unghiului nu s-a schimbat deloc - aceasta este încă relația dintre o schimbare a funcției și o schimbare a argumentului .

În cele din urmă, continuăm să ne apropiem $B$ de punctul original $A$, ca urmare triunghiul va deveni și mai mic, iar linia dreaptă care conține segmentul $AB$ va arăta din ce în ce mai mult ca o tangentă la graficul lui functia.

Ca rezultat, dacă continuăm să aducem punctele mai aproape, adică să reducem distanța la zero, atunci linia dreaptă $AB$ se va transforma într-adevăr într-o tangentă la grafic într-un punct dat și $\text( )\ !\!\alpha\!\ !\text( )$ se va transforma dintr-un element triunghi regulat în unghiul dintre tangenta la grafic și direcția pozitivă a axei $Ox$.

Și aici trecem ușor la definiția lui $f$, și anume, derivata unei funcții în punctul $((x)_(1))$ este tangentea unghiului $\alpha $ dintre tangenta la grafic în punctul $((x)_( 1))$ și direcția pozitivă a axei $Ox$:

\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]

Revenind la graficul nostru, trebuie remarcat că $((x)_(1))$ poate fi orice punct al graficului. De exemplu, cu același succes am putea elimina cursa în punctul prezentat în figură.

Să numim unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei $\beta$. În consecință, $f$ în $((x)_(2))$ va fi egal cu tangentei acestui unghi $\beta $.

\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]

Fiecare punct din grafic va avea propria sa tangentă și, prin urmare, propria sa valoare a funcției. În fiecare dintre aceste cazuri, pe lângă punctul în care căutăm derivata unei difere sau a unei sume, sau derivata unei funcții de putere, este necesar să luăm un alt punct situat la o oarecare distanță de acesta și apoi să direcționăm acest punct la cel original și, desigur, aflați cum în acest proces o astfel de mișcare va schimba tangenta unghiului de înclinare.

Derivată a unei funcții de putere

Din păcate, o astfel de definiție nu ne convine deloc. Toate aceste formule, imagini, unghiuri nu ne dau nici cea mai mică idee despre cum să calculăm derivata reală în probleme reale. Prin urmare, să ne abatem puțin de la definiția formală și să luăm în considerare formule și tehnici mai eficiente cu care puteți rezolva deja probleme reale.

Să începem cu cele mai multe desene simple, și anume, funcții de forma $y=((x)^(n))$, adică. funcții de putere. În acest caz, putem scrie următoarele: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Cu alte cuvinte, gradul care a fost în exponent este afișat în multiplicatorul frontal, iar exponentul în sine este redus cu unitate.

\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]

Iată o altă opțiune:

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]

Folosind aceste reguli simple, să încercăm să eliminăm atingerea următoarelor exemple:

Deci obținem:

\[((\left(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

Acum să rezolvăm a doua expresie:

\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prim ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]

Desigur, acestea au fost foarte sarcini simple. Cu toate acestea, problemele reale sunt mai complexe și nu se limitează doar la grade de funcționare.

Deci, regula nr. 1 - dacă o funcție este prezentată sub forma celorlalte două, atunci derivata acestei sume este egală cu suma derivatelor:

\[((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

În mod similar, derivata diferenței a două funcții este egală cu diferența derivatelor:

\[((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\left(((x)^(2))+x \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prim ))+((\left(x \right))^(\prime ))=2x+1\]

În plus, mai este unul regula importanta: dacă un $f$ este precedat de o constantă $c$, cu care această funcție este înmulțită, atunci $f$ din întreaga construcție se calculează după cum urmează:

\[((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\left(3((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \right))^(\ prim ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

În sfârșit, încă o regulă foarte importantă: în probleme există adesea un termen separat care nu conține deloc $x$. De exemplu, putem observa acest lucru în expresiile noastre de astăzi. Derivata unei constante, adică a unui număr care nu depinde în niciun fel de $x$, este întotdeauna egală cu zero și nu contează deloc cu ce este egală constanta $c$:

\[((\left(c \right))^(\prime ))=0\]

Exemplu de solutie:

\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

Puncte cheie din nou:

1. Derivata sumei a doua functii este intotdeauna egala cu suma derivatelor: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
2. Din motive similare, derivata diferenței a două funcții este egală cu diferența a două derivate: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
3. Dacă o funcție are un factor constant, atunci această constantă poate fi luată ca semn derivat: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
4. Dacă întreaga funcție este o constantă, atunci derivata ei este întotdeauna zero: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

Să vedem cum funcționează totul exemple reale. Aşa:

Scriem:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))+(7) „= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(align)\]

În acest exemplu vedem atât derivata sumei, cât și derivata diferenței. În total, derivata este egală cu $5((x)^(4))-6x$.

Să trecem la a doua funcție:

Să notăm soluția:

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^() 2)) \right))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x)) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

Aici am găsit răspunsul.

Să trecem la a treia funcție - este mai gravă:

\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Am găsit răspunsul.

Să trecem la ultima expresie - cea mai complexă și mai lungă:

Deci, luăm în considerare:

\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]

Dar soluția nu se termină aici, pentru că ni se cere nu doar să eliminăm un stroke, ci să-i calculăm valoarea într-un anumit punct, așa că înlocuim −1 în loc de $x$ în expresia:

\[(y)"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Să mergem mai departe și să trecem la și mai complex și exemple interesante. Cert este că formula pentru rezolvarea derivatei puterii $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ are un domeniu de aplicare chiar mai larg decât se crede de obicei. Cu ajutorul lui, puteți rezolva exemple cu fracții, rădăcini etc. Asta vom face acum.

Pentru început, să scriem din nou formula care ne va ajuta să găsim derivata unei funcții de putere:

Și acum atenție: până acum am considerat doar numerele naturale ca $n$, dar nimic nu ne împiedică să luăm în considerare fracțiile și chiar numerele negative. De exemplu, putem scrie următoarele:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prim ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end(align)\]

Nimic complicat, așa că să vedem cum ne va ajuta această formulă atunci când rezolvăm probleme mai complexe. Deci, un exemplu:

Să notăm soluția:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ stânga(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\end(align)\]

Să ne întoarcem la exemplul nostru și să scriem:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

Aceasta este o decizie atât de dificilă.

Să trecem la al doilea exemplu - există doar doi termeni, dar fiecare dintre ei conține atât un grad clasic, cât și rădăcini.

Acum vom învăța cum să găsim derivata unei funcții de putere, care, în plus, conține rădăcina:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3) ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2) ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3) ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]

Ambii termeni au fost calculati, nu mai ramane decat sa scrieti raspunsul final:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Am găsit răspunsul.

Derivată a unei fracții printr-o funcție de putere

Dar posibilitățile formulei de rezolvare a derivatei unei funcții de putere nu se termină aici. Faptul este că, cu ajutorul său, puteți calcula nu numai exemple cu rădăcini, ci și cu fracții. Aceasta este tocmai o oportunitate rară care simplifică foarte mult soluția unor astfel de exemple, dar este adesea ignorată nu numai de elevi, ci și de profesori.

Deci, acum vom încerca să combinăm două formule deodată. Pe de o parte, derivata clasică a unei funcții de putere

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Pe de altă parte, știm că o expresie de forma $\frac(1)(((x)^(n)))$ poate fi reprezentată ca $((x)^(-n))$. Prin urmare,

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x) )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

Astfel, derivatele fracțiilor simple, unde numărătorul este o constantă și numitorul este un grad, se calculează și ele folosind formula clasică. Să vedem cum funcționează acest lucru în practică.

Deci prima functie:

\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ dreapta))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

Primul exemplu este rezolvat, să trecem la al doilea:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(() x)^(3))) \right))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x))) (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2) ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ stânga(3((x)^(4)) \right))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ sfârşitul (alinierea)\]...

Acum colectăm toți acești termeni într-o singură formulă:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Am primit un răspuns.

Cu toate acestea, înainte de a trece mai departe, aș dori să vă atrag atenția asupra formei de scriere a expresiilor originale în sine: în prima expresie am scris $f\left(x \right)=...$, în a doua: $y =...$ Mulți studenți se pierd când văd diferite forme de înregistrare. Care este diferența dintre $f\left(x \right)$ și $y$? Nimic cu adevărat. Sunt doar intrări diferite cu același sens. Doar că atunci când spunem $f\left(x \right)$, vorbim, în primul rând, despre o funcție, iar când vorbim despre $y$, cel mai adesea ne referim la graficul unei funcții. În caz contrar, acesta este același lucru, adică derivata în ambele cazuri este considerată aceeași.

Probleme complexe cu derivate

În concluzie, aș dori să iau în considerare câteva probleme complexe combinate care folosesc tot ceea ce am luat în considerare astăzi. Ele conțin rădăcini, fracții și sume. Cu toate acestea, aceste exemple vor fi complexe doar în tutorialul video de astăzi, deoarece funcțiile derivate cu adevărat complexe vă vor aștepta înainte.

Deci, partea finală a lecției video de astăzi, constând din două sarcini combinate. Să începem cu primul dintre ele:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ stânga(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]

Derivata functiei este:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

Primul exemplu este rezolvat. Să luăm în considerare a doua problemă:

În al doilea exemplu procedăm în mod similar:

\[((\left(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\prime ))\]

Să numărăm fiecare termen separat:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ stânga(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot) ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(((x)^(1\frac(3)) )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]

Toți termenii au fost calculati. Acum revenim la formula originală și adunăm toți cei trei termeni împreună. Observăm că răspunsul final va fi astfel:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

Și asta-i tot. Aceasta a fost prima noastră lecție. În lecțiile următoare ne vom uita la construcții mai complexe și, de asemenea, vom afla de ce sunt necesare derivate în primul rând.

Foarte ușor de reținut.

Ei bine, să nu mergem departe, să ne uităm la asta imediat functie inversa. Care functie este inversa functie exponentiala? Logaritm:

În cazul nostru, baza este numărul:

Un astfel de logaritm (adică un logaritm cu bază) se numește „natural” și folosim o notație specială pentru el: scriem în schimb.

Cu ce ​​este egal? Desigur.

Derivata logaritmului natural este, de asemenea, foarte simplă:

Exemple:

1. Aflați derivata funcției.
2. Care este derivata functiei?

Raspunsuri: Expozant și logaritmul natural- funcțiile sunt unic simple în ceea ce privește derivatele. Funcțiile exponențiale și logaritmice cu orice altă bază vor avea o derivată diferită, pe care o vom analiza mai târziu, după ce vom parcurge regulile de diferențiere.

Reguli de diferențiere

Reguli de ce? Din nou un nou termen, din nou?!...

Diferenţiere este procesul de găsire a derivatei.

Asta e tot. Ce altceva poți numi acest proces într-un singur cuvânt? Nu derivată... Matematicienii numesc diferenţialul acelaşi increment al unei funcţii la. Acest termen provine din latinescul diferentia - diferenta. Aici.

Când derivăm toate aceste reguli, vom folosi două funcții, de exemplu, și. De asemenea, vom avea nevoie de formule pentru incrementele lor:

Sunt 5 reguli în total.

Constanta este scoasă din semnul derivatului.

Dacă - un număr constant (constant), atunci.

Evident, această regulă funcționează și pentru diferența: .

Să demonstrăm. Să fie, sau mai simplu.

Exemple.

Aflați derivatele funcțiilor:

1. la un punct;
2. la un punct;
3. la un punct;
4. la punct.

Solutii:

1. (derivata este aceeași în toate punctele, deoarece aceasta funcţie liniară, îți amintești?);

Derivat al produsului

Totul este similar aici: să introducem o nouă funcție și să găsim incrementul acesteia:

Derivat:

Exemple:

1. Aflați derivatele funcțiilor și;
2. Aflați derivata funcției într-un punct.

Solutii:

Derivată a unei funcții exponențiale

Acum cunoștințele tale sunt suficiente pentru a învăța cum să găsești derivata oricărei funcții exponențiale și nu doar exponenți (ai uitat încă ce este asta?).

Deci, unde este un număr.

Știm deja derivata funcției, așa că să încercăm să ne reducem funcția la o nouă bază:

Pentru aceasta vom folosi regula simpla: . Apoi:

Ei bine, a funcționat. Acum încercați să găsiți derivata și nu uitați că această funcție este complexă.

A funcționat?

Iată, verifică-te:

Formula s-a dovedit a fi foarte asemănătoare cu derivata unui exponent: așa cum a fost, rămâne aceeași, a apărut doar un factor, care este doar un număr, dar nu o variabilă.

Exemple:
Aflați derivatele funcțiilor:

Raspunsuri:

Acesta este doar un număr care nu poate fi calculat fără un calculator, adică nu mai poate fi notat în formă simplă. Prin urmare, îl lăsăm în această formă în răspuns.

Rețineți că aici este un coeficient de două funcții, așa că aplicăm regula de diferențiere corespunzătoare:

În acest exemplu, produsul a două funcții:

Derivată a unei funcții logaritmice

Este similar aici: cunoașteți deja derivata logaritmului natural:

Prin urmare, pentru a găsi un logaritm arbitrar cu o bază diferită, de exemplu:

Trebuie să reducem acest logaritm la bază. Cum schimbi baza unui logaritm? Sper să vă amintiți această formulă:

Abia acum vom scrie în schimb:

Numitorul este pur și simplu o constantă (un număr constant, fără o variabilă). Derivata se obține foarte simplu:

Derivate ale exponenţialului şi funcții logaritmice aproape niciodată nu apar la examenul de stat unificat, dar nu ar strica să le cunoaștem.

Derivată a unei funcții complexe.

Ce este o „funcție complexă”? Nu, acesta nu este un logaritm și nu o arctangentă. Aceste funcții pot fi greu de înțeles (deși dacă ți se pare dificil logaritmul, citește subiectul „Logaritmi” și vei fi bine), dar din punct de vedere matematic, cuvântul „complex” nu înseamnă „dificil”.

Imaginați-vă o bandă rulantă mică: două persoane stau și fac niște acțiuni cu unele obiecte. De exemplu, primul învelește un baton de ciocolată într-un ambalaj, iar al doilea îl leagă cu o panglică. Rezultatul este un obiect compozit: un baton de ciocolată înfășurat și legat cu o panglică. Pentru a mânca un baton de ciocolată, trebuie să faceți pașii inversi ordine inversă.

Să creăm o conductă matematică similară: mai întâi vom găsi cosinusul unui număr, apoi vom pătrat numărul rezultat. Așadar, ni se dă un număr (ciocolată), îi găsesc cosinus (înveliș), iar apoi pătrați ce am primit (legați-l cu o panglică). Ce s-a întâmplat? Funcţie. Acesta este un exemplu functie complexa: când, pentru a-i găsi valoarea, executăm prima acțiune direct cu variabila, iar apoi o a doua acțiune cu ceea ce a rezultat din prima.

Cu alte cuvinte, o funcție complexă este o funcție al cărei argument este o altă funcție: .

Pentru exemplul nostru, .

Putem face cu ușurință aceiași pași în ordine inversă: mai întâi îl pătrați, iar apoi caut cosinusul numărului rezultat: . Este ușor de ghicit că rezultatul va fi aproape întotdeauna diferit. O caracteristică importantă a funcțiilor complexe: atunci când ordinea acțiunilor se schimbă, funcția se schimbă.

Al doilea exemplu: (același lucru). .

Acțiunea pe care o facem ultima va fi numită funcția „externă”., iar acțiunea efectuată prima - în consecință funcția „internă”.(acestea sunt nume informale, le folosesc doar pentru a explica materialul într-un limbaj simplu).

Încercați să determinați singur ce funcție este externă și care este internă:

Raspunsuri: Separarea funcțiilor interioare și exterioare este foarte asemănătoare cu schimbarea variabilelor: de exemplu, într-o funcție

1. Ce acțiune vom efectua mai întâi? Mai întâi, să calculăm sinusul și abia apoi să-l cubăm. Aceasta înseamnă că este o funcție internă, dar una externă.
   Iar funcția inițială este compoziția lor: .
2. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
3. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
4. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
5. Intern: ; extern: .
   Examinare: .

Schimbăm variabilele și obținem o funcție.

Ei bine, acum ne vom extrage batonul de ciocolată și vom căuta derivatul. Procedura este întotdeauna inversată: mai întâi căutăm derivata funcției exterioare, apoi înmulțim rezultatul cu derivata funcției interioare. În raport cu exemplul original, arată astfel:

Un alt exemplu:

Deci, să formulăm în sfârșit regula oficială:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

Pare simplu, nu?

Să verificăm cu exemple:

Solutii:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(Nu încercați să o tăiați până acum! Nu iese nimic de sub cosinus, vă amintiți?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Este imediat clar că aceasta este o funcție complexă pe trei niveluri: la urma urmei, aceasta este deja o funcție complexă în sine și extragem și rădăcina din ea, adică efectuăm a treia acțiune (punem ciocolata într-un ambalaj iar cu o panglică în servietă). Dar nu există niciun motiv să ne fie frică: vom „despacheta” această funcție în aceeași ordine ca de obicei: de la sfârșit.

Adică, mai întâi diferențiem rădăcina, apoi cosinusul și abia apoi expresia dintre paranteze. Și apoi înmulțim totul.

În astfel de cazuri, este convenabil să numerotați acțiunile. Adică să ne imaginăm ce știm. În ce ordine vom efectua acțiuni pentru a calcula valoarea acestei expresii? Să ne uităm la un exemplu:

Cu cât acțiunea este efectuată mai târziu, cu atât funcția corespunzătoare va fi mai „externă”. Secvența acțiunilor este aceeași ca înainte:

Aici cuibărirea este în general pe 4 niveluri. Să stabilim cursul acțiunii.

1. Exprimarea radicală. .

2. Rădăcină. .

3. Sine. .

4. Pătrat. .

5. Punând totul împreună:

DERIVAT. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Derivata unei functii- raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului pentru o creștere infinitezimală a argumentului:

Derivate de bază:

Reguli de diferentiere:

Constanta este scoasă din semnul derivat:

Derivată a sumei:

Derivat al produsului:

Derivată a coeficientului:

Derivata unei functii complexe:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

1. Definim funcția „internă” și găsim derivata ei.
2. Definim funcția „externă” și găsim derivata ei.
3. Înmulțim rezultatele primului și celui de-al doilea punct.

O funcție putere-exponențială este o funcție care are forma unei funcții de putere
y = u v ,
în care baza u și exponentul v sunt unele funcții ale variabilei x:
u = u (x); (x).
v = v Această funcție este numită și exponenţială

sau .
.
Rețineți că funcția putere-exponențială poate fi reprezentată în formă exponențială: De aceea se mai numește.

funcţie exponenţială complexă

Derivată a unei funcții putere-exponențială

Calcul folosind derivată logaritmică
(2) ,
Să găsim derivata funcției putere-exponențială
unde și sunt funcții ale variabilei.
.
Pentru a face acest lucru, vom logaritm ecuația (2), folosind proprietatea logaritmului:
(3) .
Diferențierea față de variabila x: Aplicam reguli de diferențiere a funcțiilor complexe
;
.

si functioneaza:
.
Înlocuim în (3):
.

De aici
(1) .
Deci, am găsit derivata funcției putere-exponențială:
.
Dacă exponentul este constant, atunci .
.
Atunci derivata este egală cu derivata unei funcții de putere complexe:

Dacă baza gradului este constantă, atunci .

Atunci derivata este egală cu derivata unei funcții exponențiale complexe:
(2) ,
Când și sunt funcții ale lui x, atunci derivata funcției putere-exponențială este egală cu suma derivatelor puterii complexe și ale funcțiilor exponențiale.
(4) .

Calculul derivatei prin reducerea la o funcție exponențială complexă
.
Acum să găsim derivata funcției putere-exponențială

.
prezentându-l ca o funcție exponențială complexă:

Să diferențiem produsul:

Aplicăm regula pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:
.

Și am primit din nou formula (1).
Exemplul 1 .

Găsiți derivata următoarei funcții:
;
.
Calculăm folosind derivata logaritmică. Să logaritmăm funcția originală:
.
(A1.1)
.
Din tabelul derivatelor găsim:
,
Folosind formula derivată a produsului, avem:
.

Diferențiem (A1.1):
Deoarece

Că

Derivate complexe. Derivată logaritmică. Derivată a unei funcții putere-exponențială Continuăm să ne îmbunătățim tehnica de diferențiere. În această lecție, vom consolida materialul pe care l-am abordat, vom analiza derivate mai complexe și, de asemenea, ne vom familiariza cu noi tehnici și trucuri pentru găsirea unei derivate, în special, cu derivata logaritmică. Acelor cititori care au nivel scăzut pregătire, ar trebui să consultați articolul Cum să găsesc derivatul? Exemple de soluții , care vă va permite să vă îmbunătățiți abilitățile aproape de la zero. În continuare, trebuie să studiați cu atenție pagina exemplele pe care le-am dat. Această lecție este în mod logic a treia la rând, iar după ce o stăpânești vei diferenția cu încredere funcții destul de complexe. Nu este de dorit să luăm poziția „Unde altundeva? Da, este suficient”, deoarece toate exemplele și soluțiile sunt luate din real testeși sunt adesea întâlnite în practică.

Să începem cu repetarea. În clasă pregătire, ar trebui să consultați articolul Am analizat o serie de exemple cu comentarii detaliate. În timpul studiului calculului diferenţial şi a altor secţiuni analiză matematică– va trebui să diferențiezi foarte des și nu este întotdeauna convenabil (și nu întotdeauna necesar) să descrii exemple în detaliu. Prin urmare, vom exersa găsirea derivatelor pe cale orală. Cei mai potriviți „candidați” pentru aceasta sunt derivate ale celei mai simple funcții complexe, de exemplu:

Conform regulii de diferenţiere a funcţiilor complexe :

Când studiați alte subiecte matan în viitor, cel mai adesea nu este necesară o înregistrare atât de detaliată, se presupune că studentul știe să găsească astfel de derivate pe pilotul automat. Să ne imaginăm că la ora 3 dimineața a sunat telefonul și o voce plăcută a întrebat: „Care este derivata tangentei a doi X?” Aceasta ar trebui să fie urmată de un răspuns aproape instantaneu și politicos: .

Primul exemplu va fi destinat imediat decizie independentă.

Exemplul 1

Găsiți oral următoarele derivate, într-o singură acțiune, de exemplu: . Pentru a finaliza sarcina trebuie doar să utilizați tabel de derivate ale funcțiilor elementare(dacă nu ți-ai amintit încă). Dacă aveți dificultăți, vă recomand să recitiți lecția pregătire, ar trebui să consultați articolul.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Răspunsuri la sfârșitul lecției

Derivate complexe

După pregătirea preliminară a artileriei, exemplele cu 3-4-5 cuibări de funcții vor fi mai puțin înfricoșătoare. Următoarele două exemple pot părea complicate pentru unii, dar dacă le înțelegeți (cineva va avea de suferit), atunci aproape orice altceva din calculul diferențial va părea o glumă de copil.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

După cum sa menționat deja, atunci când găsiți derivata unei funcții complexe, în primul rând, este necesar CorectÎNȚELEGEȚI investițiile dvs. În cazurile în care există îndoieli, vă reamintesc de o tehnică utilă: luăm valoarea experimentală a lui „x”, de exemplu, și încercăm (mental sau într-o schiță) să substituim această valoare în „expresia groaznică”.

1) Mai întâi trebuie să calculăm expresia, ceea ce înseamnă că suma este cea mai profundă încorporare.

2) Apoi trebuie să calculați logaritmul:

4) Apoi cubează cosinusul:

5) La al cincilea pas diferența este:

6) Și în sfârșit, cea mai externă funcție este rădăcină pătrată:

Formula pentru diferențierea unei funcții complexe sunt aplicate în ordine inversă, de la funcția cea mai exterioară la cea mai interioară. Noi decidem:

Se pare că nu există erori...

(1) Luați derivata rădăcinii pătrate.

(2) Luăm derivata diferenței folosind regula

(3) Derivata unui triplu este zero. În al doilea termen luăm derivata gradului (cubul).

(4) Luați derivata cosinusului.

(5) Luați derivata logaritmului.

(6) Și, în sfârșit, luăm derivata celei mai profunde încorporare.

Poate părea prea dificil, dar acesta nu este cel mai brutal exemplu. Luați, de exemplu, colecția lui Kuznetsov și veți aprecia toată frumusețea și simplitatea derivatului analizat. Am observat că le place să dea un lucru similar la un examen pentru a verifica dacă un student înțelege cum să găsească derivata unei funcții complexe sau nu înțelege.

Următorul exemplu este pe care îl puteți rezolva singur.

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Sugestie: Mai întâi aplicăm regulile de liniaritate și regula de diferențiere a produsului

Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției.

Este timpul să trecem la ceva mai mic și mai frumos.
Nu este neobișnuit ca un exemplu să arate produsul nu a două, ci a trei funcții. Cum să găsiți derivata produsului a trei factori?

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

Mai întâi ne uităm, este posibil să transformăm produsul a trei funcții în produsul a două funcții? De exemplu, dacă am avea două polinoame în produs, am putea deschide parantezele. Dar în exemplul luat în considerare, toate funcțiile sunt diferite: grad, exponent și logaritm.

În astfel de cazuri este necesar secvenţial aplica regula de diferentiere a produselor de două ori

Trucul este că prin „y” notăm produsul a două funcții: , iar cu „ve” notăm logaritmul: . De ce se poate face asta? Este cu adevărat – acesta nu este un produs al doi factori și regula nu funcționează?! Nu este nimic complicat:

Acum rămâne să aplici regula a doua oară la paranteză:

De asemenea, puteți să vă răsuciți și să puneți ceva din paranteze, dar în acest caz este mai bine să lăsați răspunsul exact în această formă - va fi mai ușor de verificat.

Exemplul luat în considerare poate fi rezolvat în al doilea mod:

Ambele soluții sunt absolut echivalente.

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă în probă se rezolvă folosind prima metodă.

Să ne uităm la exemple similare cu fracții.

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Există mai multe moduri prin care puteți merge aici:

Sau cam asa:

Dar soluția se va scrie mai compact dacă folosim mai întâi regula de diferențiere a coeficientului , luând pentru întregul numărător:

În principiu, exemplul este rezolvat, iar dacă este lăsat așa cum este, nu va fi o eroare. Dar, dacă aveți timp, este întotdeauna indicat să verificați schița pentru a vedea dacă răspunsul poate fi simplificat? Să reducem expresia numărătorului la un numitor comun și să scăpăm de fracția cu trei etaje:

Dezavantajul simplificărilor suplimentare este că există riscul de a greși nu la găsirea derivatei, ci în timpul transformărilor școlare banale. Pe de altă parte, profesorii resping adesea sarcina și cer să „aducă în minte” derivatul.

Un exemplu mai simplu de rezolvat singur:

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Continuăm să stăpânim metodele de găsire a derivatei și acum vom lua în considerare un caz tipic în care se propune un logaritm „teribil” pentru diferențiere

Exemplul 8

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți merge pe calea lungă, folosind regula pentru diferențierea unei funcții complexe:

Dar chiar primul pas te cufundă imediat în deznădejde - trebuie să iei derivatul neplăcut dintr-o putere fracțională și apoi și dintr-o fracțiune.

De aceea înainte cum să luăm derivata unui logaritm „sofisticat”, aceasta este mai întâi simplificată folosind proprietățile școlii bine-cunoscute:

! Dacă aveți la îndemână un caiet de practică, copiați aceste formule direct acolo. Dacă nu aveți un caiet, copiați-le pe o foaie de hârtie, deoarece exemplele rămase ale lecției se vor învârti în jurul acestor formule.

Soluția în sine poate fi scrisă cam așa:

Să transformăm funcția:

Găsirea derivatei:

Pre-conversia funcției în sine a simplificat foarte mult soluția. Astfel, atunci când se propune un logaritm similar pentru diferențiere, este întotdeauna recomandabil să-l „defalci”.

Și acum câteva exemple simple pe care să le rezolvați singur:

Exemplul 9

Aflați derivata unei funcții

Exemplul 10

Aflați derivata unei funcții

Toate transformările și răspunsurile sunt la sfârșitul lecției.

Derivată logaritmică

Dacă derivatul logaritmilor este o muzică atât de dulce, atunci se pune întrebarea: este posibil în unele cazuri să se organizeze logaritmul în mod artificial? Poate! Și chiar necesar.

Exemplul 11

Aflați derivata unei funcții

Am analizat recent exemple similare. Ce să fac? Puteți aplica succesiv regula de diferențiere a coeficientului, iar apoi regula de diferențiere a produsului. Dezavantajul acestei metode este că ajungeți cu o fracție uriașă de trei etaje, cu care nu doriți să vă ocupați deloc.

Dar în teorie și practică există un lucru atât de minunat precum derivata logaritmică. Logaritmii pot fi organizați artificial prin „atârnând” pe ambele părți:

Nota : pentru că o funcție poate lua valori negative, atunci, în general, trebuie să utilizați module: , care va dispărea ca urmare a diferențierii. Cu toate acestea, designul actual este de asemenea acceptabil, unde implicit este luat în considerare complex sensuri. Dar dacă cu toată rigoarea, atunci în ambele cazuri ar trebui făcută o rezervă că.

Acum trebuie să „despărțiți” cât mai mult posibil logaritmul din partea dreaptă (formulele din fața ochilor?). Voi descrie acest proces în detaliu:

Să începem cu diferențierea.
Încheiem ambele părți sub primul:

Derivatul din partea dreaptă este destul de simplu, nu îl voi comenta, pentru că dacă citiți acest text, ar trebui să îl puteți gestiona cu încredere.

Dar partea stângă?

Pe partea stângă avem functie complexa. Prevăd întrebarea: „De ce, există o literă „Y” sub logaritm?”

Faptul este că acest „joc cu o literă” - ESTE ÎNȘI O FUNCȚIE(dacă nu este foarte clar, consultați articolul Derivată a unei funcții specificată implicit). Prin urmare, logaritmul este o funcție externă, iar „y” este o funcție internă. Și folosim regula pentru diferențierea unei funcții complexe :

În partea stângă, ca prin farmec, avem un derivat. Apoi, conform regulii proporției, transferăm „y” de la numitorul părții stângi în partea de sus a părții drepte:

Și acum să ne amintim despre ce fel de funcție „jucător” am vorbit în timpul diferențierii? Să ne uităm la starea:

Raspuns final:

Exemplul 12

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Un exemplu de proiect al unui exemplu de acest tip se află la sfârșitul lecției.

Folosind derivata logaritmică a fost posibil să se rezolve oricare dintre exemplele nr. 4-7, un alt lucru este că funcțiile de acolo sunt mai simple, și poate că utilizarea derivatei logaritmice nu este foarte justificată.

Derivată a unei funcții putere-exponențială

Nu am luat în considerare această funcție încă. O funcție exponențială putere este o funcție pentru care atât gradul cât și baza depind de „x”. Un exemplu clasic care vă va fi dat în orice manual sau prelegere:

Cum se găsește derivata unei funcții putere-exponențială?

Este necesar să se folosească tehnica tocmai discutată - derivata logaritmică. Agățăm logaritmi pe ambele părți:

De regulă, în partea dreaptă, gradul este scos de sub logaritm:

Ca urmare, în partea dreaptă avem produsul a două funcții, care vor fi diferențiate conform formulei standard .

Găsim derivata pentru a face acest lucru, închidem ambele părți sub linii:

Alte acțiuni sunt simple:

In sfarsit:

Dacă orice conversie nu este complet clară, vă rugăm să recitiți cu atenție explicațiile din Exemplul nr. 11.

În sarcinile practice, funcția putere-exponențială va fi întotdeauna mai complexă decât exemplul de prelegere discutat.

Exemplul 13

Aflați derivata unei funcții

Folosim derivata logaritmică.

În partea dreaptă avem o constantă și produsul a doi factori - „x” și „logaritmul logaritmului x” (un alt logaritm este imbricat sub logaritm). Când diferențiem, așa cum ne amintim, este mai bine să mutați imediat constanta din semnul derivat, astfel încât să nu împiedice; și, bineînțeles, aplicăm regula familiară :

Derivarea formulei pentru derivata unei funcții putere (x la puterea lui a). Sunt considerate derivate din rădăcinile lui x. Formula pentru derivata unei funcții de putere de ordin superior. Exemple de calculare a derivatelor.

Conţinut

Vezi și: Funcția de putere și rădăcini, formule și grafic
Grafice ale funcției de putere

Formule de bază

Derivata lui x la puterea lui a este egală cu a ori x puterea unui minus unu:
(1) .

Derivata rădăcinii a n-a a lui x la puterea a m este:
(2) .

Derivarea formulei pentru derivata unei funcții de putere

Cazul x > 0

Să considerăm o funcție de putere a variabilei x cu exponent a:
(3) .
Aici a este arbitrar număr real. Să luăm în considerare mai întâi cazul.

Pentru a găsi derivata funcției (3), folosim proprietățile unei funcții de putere și o transformăm în următoarea formă:
.

Acum găsim derivata folosind:
;
.
Aici .

Formula (1) a fost dovedită.

Derivarea formulei pentru derivata rădăcinii de gradul n a lui x la gradul de m

Acum luați în considerare o funcție care este rădăcina următoarei forme:
(4) .

Pentru a găsi derivata, transformăm rădăcina într-o funcție de putere:
.
Comparând cu formula (3) vedem că
.
Apoi
.

Folosind formula (1) găsim derivata:
(1) ;
;
(2) .

În practică, nu este nevoie să memorați formula (2). Este mult mai convenabil să transformați mai întâi rădăcinile în funcții de putere și apoi să găsiți derivatele lor folosind formula (1) (vezi exemplele de la sfârșitul paginii).

Cazul x = 0

Dacă , atunci funcția de putere este definită pentru valoarea variabilei x = 0 . 0 Să găsim derivata funcției (3) la x =
.

. 0 :
.
Pentru a face acest lucru, folosim definiția unei derivate:

Să înlocuim x =
.
În acest caz, prin derivată înțelegem limita din dreapta pentru care .
Deci am gasit:
Deci am gasit:
Din aceasta rezultă clar că pentru , .
(1) .
La , . 0 .

Acest rezultat se obține și din formula (1):< 0

Prin urmare, formula (1) este valabilă și pentru x =
(3) .
Cazul x
,
Luați în considerare din nou funcția (3): Pentru anumite valori ale constantei a, este definită și pentru valori negative ale variabilei x..

Dacă n este impar, atunci funcția de putere este definită și pentru valorile negative ale variabilei x. 3 De exemplu, când n = 1 și m =
.
avem rădăcina cubă a lui x:

De asemenea, este definit pentru valorile negative ale variabilei x.
.
Să găsim derivata funcției de putere (3) pentru și pentru valorile raționale ale constantei a pentru care este definită. Pentru a face acest lucru, să reprezentăm x în următoarea formă:
.
Apoi,

.
Găsim derivata plasând constanta în afara semnului derivatei și aplicând regula de diferențiere a unei funcții complexe:
.
Aici . Dar
.
Apoi
.
De atunci
(1) .

Adică, formula (1) este valabilă și pentru:

Derivate de ordin superior
(3) .
Acum să găsim derivate de ordin superior ale funcției de putere
.

Am găsit deja derivata de ordinul întâi:
.
Luând constanta a în afara semnului derivatei, găsim derivata de ordinul doi:
;

.

În mod similar, găsim derivate de ordinul al treilea și al patrulea: Din aceasta este clar că derivată de ordin al n-lea arbitrar
.

are următoarea formă: Rețineți că dacă a este număr natural
.
, atunci derivata a n-a este constantă:
,
Atunci toate derivatele ulterioare sunt egale cu zero:

la .

Exemple de calculare a derivatelor

Exemplu
.

Aflați derivata funcției:
;
.
Să convertim rădăcinile în puteri:
.

Atunci funcția originală ia forma:
;
.
Găsirea derivatelor puterilor:
.