Metode de calcul." Prezentare pentru lecția "Integrală nedefinită. Metode de calcul „Extreme ale unei funcții a două variabile

GBOU SPO „Colegiul de mecanică marină Navashinsky” Integrală nedefinită. Metode de calcul

Eudox din Cnidus c. 408 - aprox. 355 î.Hr e. Calculul integral a apărut în timpul perioada antica dezvoltare stiinta matematicași a început cu metoda epuizării, care a fost dezvoltată de matematicieni Grecia antică, și a fost un set de reguli dezvoltat de Eudoxus din Cnidus. Folosind aceste reguli, au fost calculate suprafețe și volume

Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716) Simbolul ∫ a fost introdus de Leibniz (1675). Acest semn este o modificare a literei latine S (prima literă a cuvântului summa).

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Isaac Newton (1643 - 1727) Newton și Leibniz au descoperit independent un fapt cunoscut sub numele de formula Newton-Leibniz.

Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) Carl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 1897) Lucrările lui Cauchy și Weierstrass au rezumat dezvoltarea de secole a calculului integral.

Matematicienii ruși au luat parte la dezvoltarea calculului integral: M.V. Ostrogradsky (1801 – 1862) V.Ya. Bunyakovsky (1804 – 1889) P.L. Cebyshev (1821 – 1894)

INDEMNITĂ INTEGRALĂ Integrala nedefinită a functie continua f(x) pe intervalul (a; b) este oricare dintre funcțiile sale antiderivate. Unde C este o constantă arbitrară (const).

1. f(x) = x n 2. f(x) = C 3. f(x) = sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Cx+C 2 . F(x) = 3. F(x) = 4. F(x) = sin x +С 5. F(x) = с tan x +С 6. F(x) = - cos x +С 5. f (x) = cosx Setați corespondența. Găsiți o formă generală de antiderivată care să corespundă funcţie dată. tg x +C

Proprietățile integralei

Proprietățile integralei

Metode de bază de integrare Tabelar. 2. Reducere la un tabel prin transformarea integranului într-o sumă sau diferență. 3.Integrare prin înlocuire variabilă (substituție). 4.Integrare pe părți.

Găsiți antiderivate pentru funcțiile: F(x) = 5 x ² + C F(x) = x ³ + C F(x) = - cos x + 5x+ C F(x) = 5 sin x + C F(x) = 2 x ³ + C F(x) = 3 x - x² + C 1) f(x) = 10x 2) f(x) =3 x² 3) f(x) = sin x +5 4) f(x) = 5 cos x 5) f(x) = 6 x ² 6) f(x) = 3-2x

Este adevărat că: a) c) b) d)

Exemplul 1. Integrala sumei expresiilor este egală cu suma integralelor acestor expresii Factorul constant poate fi scos din semnul integralei

Exemplul 2. Verificați soluția Scrieți soluția:

Exemplul 3. Verificați soluția Scrieți soluția:

Exemplul 4. Verificați soluția Scrieți soluția: Introduceți o nouă variabilă și exprimați diferențele:

Exemplul 5. Verificați soluția Scrieți soluția:

C munca independentă Aflați integrala nedefinită Verificați soluția Nivelul „A” (la „3”) Nivelul „B” (la „4”) Nivelul „C” (la „5”)

Sarcina Stabilirea corespondenței. Găsiți o formă generală de antiderivată care să corespundă funcției date.

Anoshina O.V.

Literatura de baza

1. Shipachev V. S. Matematică superioară. Curs de bază: manual și
atelier pentru licențe [marca de stat a Ministerului Educației al Federației Ruse] / V.S.
Shipaciov; editat de A. N. Tihonova. - Ed. a 8-a, revizuită. si suplimentare Moscova: Yurayt, 2015. - 447 p.
2. Shipachev V. S. Matematică superioară. Curs complet: manual
pentru academician Licență [Griff UMO] / V. S. Shipachev; editat de O.
N. Tihonova. - Ed. a IV-a, rev. si suplimentare - Moscova: Yurayt, 2015. - 608
Cu
3. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T..Ya. Matematică superioară
în exerciții și sarcini. [Text] / P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya.
Kozhevnikova. La ora 2 - M.: facultate, 2007. – 304+415c.

Raportare

1.
Test. Efectuat în conformitate cu:
Sarcini și linii directoare pentru a efectua lucrări de control
la disciplina „MATEMATICĂ APLICATĂ”, Ekaterinburg, Instituție de Învățământ Autonomă de Stat Federal
VO „Pedagogic profesional de stat rusesc
Universitatea”, 2016 - 30 p.
Opţiune munca de testare selectați după ultima cifră a numărului
cartea de note.
2.
Examen

Integrală nedefinită, proprietățile și calculul integrală antiderivată și integrală nedefinită

Definiţie. Se numește funcția F x
funcția antiderivată f x definit pe
un interval, dacă F x f x pentru
fiecare x din acest interval.
De exemplu, funcția cos x este
antiderivat functii sin x, din moment ce
cos x sin x .

Evident, dacă F x este o antiderivată
funcția f x , atunci F x C , unde C este o constantă, este de asemenea
antiderivată a funcției f x .
Dacă F x este orice antiderivată
funcțiile f x , apoi orice funcție de formă
Ф x F x C este de asemenea
funcția antiderivată f x și orice
antiderivatul poate fi reprezentat sub această formă.

Definiţie. Totalitatea tuturor
antiderivate ale funcției f x ,
definite pe unele
se numește interval
integrală nedefinită a
funcţiile f x pe acest interval şi
notat cu f x dx.

Dacă F x este o antiderivată a funcției
f x, atunci se scrie f x dx F x C, deși
mai corect ar fi să scriem f x dx F x C .
Conform tradiției stabilite, vom scrie
f x dx F x C .
Astfel, același simbol
f x dx va desemna întregul
un set de antiderivate ale funcției f x ,
și orice element al acestui set.

Proprietățile integralei

Derivata integralei nedefinite este egala cu
funcția integrand și expresia sa diferențială integrand. Serios:
1.(f (x)dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.

Proprietățile integralei

3. Integrală nedefinită a
diferenţial continuu (x)
funcția fiind diferențiabilă este egală cu ea însăși
această funcție până la o constantă:
d (x) (x)dx (x) C,
întrucât (x) este o antiderivată a lui (x).

Proprietățile integralei

4.Dacă funcţiile f1 x şi f 2 x au
sunt antiderivate, atunci funcția f1 x f 2 x
are, de asemenea, un antiderivat și
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx K f x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

1. dx x C .
a 1
x
2. xa dx
C, (a 1).
a 1
dx
3. ln x C .
x
x
o
4.a x dx
C.
în a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8. 2 ctgx C .
sin x
dx
9. 2 tgx C .
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x

Tabelul integralelor nedefinite

11.
dx
arcsin x C .
1 x 2
dx
1
x
12. 2 2 arctg C .
o
o
un x
13.
14.
15.
dx
a2 x2
x
arcsin C..
o
dx
1
xa
ln
C
2
2
2a x a
xa
dx
1
un x
a 2 x 2 2a ln a x C .
dx
16.
x2 a
ln x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
19.
20.
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C .
2
sh x

Proprietățile diferențialelor

Convenabil de utilizat la integrare
proprietati: 1
1. dx d (ax)
o
1
2. dx d (ax b),
o
1 2
3. xdx dx,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3

Exemple

Exemplu. Calculați cos 5xdx.
Soluţie. În tabelul de integrale găsim
cos xdx sin x C .
Să transformăm această integrală într-una tabelară,
profitand de faptul ca d ax adx .
Apoi:
d 5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5 x
5
5
1
= sin 5 x C .
5

Exemple

Exemplu. Calculați x
3x x 1 dx.
Soluţie. Întrucât sub semnul integral
este suma a patru termeni, atunci
extinde integrala la suma a patru
integrale:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx .
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2

Independența tipului de variabilă

La calcularea integralelor este convenabil
utilizați următoarele proprietăți
integrale:
Dacă f x dx F x C , atunci
f x b dx F x b C .
Dacă f x dx F x C , atunci
1
f ax b dx F ax b C .
o

Exemplu

Să calculăm
1
6
2
3
x
dx
2
3
x
C
.
3 6
5

Metode de integrare Integrare pe părți

Această metodă se bazează pe formula udv uv vdu.
Folosind metoda integrării pe părți, se iau următoarele integrale:
a) x n sin xdx, unde n 1,2...k;
b) x n e x dx , unde n 1,2...k ;
c) x n arctgxdx, unde n 0, 1, 2,... k. ;
d) x n ln xdx, unde n 0, 1, 2,... k.
Când se calculează integralele a) și b) se introduce
n 1
notație: x n u , apoi du nx dx , și, de exemplu
sin xdx dv, atunci v cos x.
Când se calculează integralele c), d), u se notează cu funcția
arctgx, ln x, iar pentru dv ia x n dx.

Exemple

Exemplu. Calculați x cos xdx .
Soluţie.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

Exemple

Exemplu. Calcula
x ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
ln x
=
2
2 x
x2
1
x2
1 x2
ln x xdx
ln x
C.
=
2
2
2
2 2

Metoda de înlocuire a variabilei

Să fie necesar să se găsească f x dx , și
selectează direct antiderivatul
pentru f x nu putem, dar știm asta
ea exista. Este adesea posibil să găsești
antiderivată prin introducerea unei noi variabile,
conform formulei
f x dx f t t dt , unde x t și t sunt noi
variabilă

Integrarea funcțiilor care conțin un trinom pătratic

Luați în considerare integrala
toporul b
dx,
x px q
conţinând trinom pătratic V
numitorul integrandului
expresii. O astfel de integrală poate fi luată și
prin metoda substituirii variabilelor,
având anterior alocat în
numitorul este un pătrat perfect.
2

Exemplu

Calcula
dx
.
x 4x 5
Soluţie. Să transformăm x 2 4 x 5 ,
2
selectând un pătrat complet folosind formula a b 2 a 2 2ab b 2.
Atunci obținem:
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x 4x 5
t 1
arctgt C arctg x 2 C.

Exemplu

Găsi
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2,
dx 2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d(t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
ln(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt

Integrală definită, principalele sale proprietăți. formula Newton-Leibniz. Aplicații ale unei integrale definite.

Conduce la conceptul de integrală definită
problema găsirii ariei unui curbiliniu
trapeze.
Să fie dat pe un anumit interval
funcția continuă y f (x) 0
Sarcină:
Construiți graficul său și găsiți F aria figurii,
mărginite de această curbă, două drepte x = a și x
= b, iar mai jos – segmentul axei absciselor dintre puncte
x = a și x = b.

Se numește cifra aABb
trapez curbat

Definiţie

b
f(x)dx
Sub integrala definită
o
de la o funcție continuă dată f(x) la
acest segment este inteles
incrementul său corespunzător
antiderivat, adică
F (b) F (a) F (x) /
b
o
Numerele a și b sunt limitele integrării,
– interval de integrare.

Regulă:

Integrala definită este egală cu diferența
valorile integrandului antiderivat
funcții pentru limitele superioare și inferioare
integrare.
Prin introducerea notației pentru diferență
b
F(b)F(a)F(x)/a
b
f (x)dx F (b) F (a)
o
Formula Newton-Leibniz.

Proprietățile de bază ale unei integrale definite.

1) Valoarea integralei definite nu depinde de
notație pentru variabila de integrare, i.e.
b
b
o
o
f (x)dx f (t)dt
unde x și t sunt orice litere.
2) Integrală definită cu identic
exterior
integrarea este zero
o
f (x)dx F (a) F (a) 0
o

3) La rearanjarea limitelor integrării
integrala definită își schimbă semnul în opus
b
o
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
o
b
(proprietate de aditivitate)
4) Dacă intervalul este împărțit într-un număr finit
intervale parțiale, apoi o integrală definită,
luat pe interval, este egal cu suma anumitor
integrale preluate pe toate intervalele sale parțiale.
b
c
b
f (x)dx f (x)dx
c
o
o
f(x)dx

5) Multiplicatorul constant poate fi ajustat
pentru semnul integralei definite.
6) Integrală definită a algebricii
sume ale unui număr finit de continue
funcții este egală cu aceeași algebrică
suma integralelor definite ale acestora
funcții.

3. Schimbarea variabilei într-o integrală definită.

3. Înlocuirea unei variabile într-o anumită
integrală.
b
f (x)dx f (t) (t)dt
o
a(), b(), (t)
Unde
pentru t [ ; ] , funcțiile (t) și (t) sunt continue pe;
5
Exemplu:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t 0 4
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Integrale improprii.

Integrale improprii.
Definiţie. Fie definită funcția f(x).
interval infinit, unde b< + . Если
există
b
lim
f(x)dx,
b
o
atunci această limită se numește improprie
integrală a funcției f(x) pe interval
}