Așteptări matematice variabila aleatorie discretă este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestora

Cometariu. Din definiție rezultă că așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete este o mărime non-aleatoare (constantă).

Valorea estimata variabila aleatoare continuă poate fi calculată folosind formula

M(X) =
.

Așteptările matematice sunt aproximativ egale cu(cu cât este mai precis, cu atât este mai mare numărul de teste) media aritmetică a valorilor observate ale unei variabile aleatorii.

Proprietățile așteptărilor matematice.

Proprietatea 1. Așteptările matematice ale unei constante sunt egale cu constanta însăși:

Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării matematice:

Proprietatea 3. Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice:

M(XY) =M(X) *M(Y).

Proprietatea 4. Așteptarea sumei a doi variabile aleatoare egal cu suma așteptărilor matematice ale termenilor:

M(X+Y) =M(X) +M(Y).

12.1. Dispersia unei variabile aleatoare și proprietățile acesteia.

În practică, este adesea necesar să se afle împrăștierea unei variabile aleatoare în jurul valorii sale medii. De exemplu, în artilerie este important să știți cât de aproape vor cădea obuzele lângă ținta care urmează să fie lovită.

La prima vedere, poate părea că cel mai simplu mod de a estima dispersia este de a calcula toate abaterile posibile ale unei variabile aleatoare și apoi de a găsi valoarea medie a acestora. Cu toate acestea, această cale nu va produce nimic, deoarece valoarea medie a abaterii, adică M, pentru orice variabilă aleatorie este zero.

Prin urmare, cel mai adesea ei iau o cale diferită - folosesc varianța pentru a o calcula.

Varianta(difuzarea) unei variabile aleatoare este așteptarea matematică a abaterii pătrate a unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică:

D(X) = M2.

Pentru a calcula varianța, este adesea convenabil să folosiți următoarea teoremă.

Teorema. Varianta este egală cu diferența dintre așteptarea matematică a pătratului variabilei aleatoare X și pătratul așteptării sale matematice.

D(X) = M(X 2) – 2.

Proprietăți de dispersie.

Proprietatea 1. Varianta valorii constanteCegal cu zero:

Proprietatea 2. Factorul constant poate fi ridicat la semnul dispersiei prin pătratul:

D(CX) =C2D(X).

Proprietatea 3. Varianța sumei a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestor variabile:

D(X+Y) =D(X) +D(Y).

Proprietatea 4. Varianta diferenței dintre două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor lor:

D(X–Y) =D(X) +D(Y).

13.1. Variabile aleatoare normalizate.

are o varianță egală cu 1 și o așteptare matematică egală cu 0.

Variabilă aleatorie normalizată V este raportul dintre o variabilă aleatoare dată X și abaterea ei standard σ

Deviație standard este rădăcina pătrată a varianței

Așteptările matematice și varianța variabilei aleatoare normalizate V sunt exprimate prin caracteristicile lui X după cum urmează:

unde v este coeficientul de variație al variabilei aleatoare originale X.

Pentru funcția de distribuție F V (x) și densitatea de distribuție f V (x) avem:

F V (x) =F(σx), f V (x) =σf(σx),

Unde F(x)– funcția de distribuție a variabilei aleatoare originale X, A f(x)– densitatea sa de probabilitate.

CARACTERISTICI RĂSPÂNDIRE

Din caracteristicile poziției - așteptare matematică, mediană, mod - să trecem la caracteristicile răspândirii variabilei aleatoare X. variaţiile D(X)= a 2, abaterea standard a și coeficientul de variație v. Definiția și proprietățile dispersiei pentru variabile aleatoare discrete au fost discutate în capitolul anterior. Pentru variabile aleatoare continue

Abaterea standard este o valoare nenegativă rădăcină pătrată din dispersie:

Coeficientul de variație este raportul dintre abaterea standard și așteptarea matematică:

Coeficientul de variație – folosit când M(X)> O - măsoară răspândirea în unități relative, în timp ce abaterea standard - în unități absolute.

Exemplul 6. Pentru o variabilă aleatoare distribuită uniform X Să găsim dispersia, abaterea standard și coeficientul de variație. Varianta este:

Înlocuire variabilă face posibilă scrierea:

Unde Cu = f - aU2.

Prin urmare, abaterea standard este egală cu iar coeficientul de variație este:

TRANSFORMAREA VARIABILLOR ALEATORII

Pentru fiecare variabilă aleatoare X determina inca trei marimi - centrate Y, normalizat Vși dat U. Variabilă aleatoare centrată Y este diferența dintre o variabilă aleatoare dată Xși așteptările sale matematice M(X), acestea. Y=X - M(X). Așteptarea unei variabile aleatoare centrate Y este egal cu 0, iar varianța este varianța unei variabile aleatoare date:

Funcția de distribuție Fy(x) variabilă aleatoare centrată Y legate de funcţia de distribuţie F(x) a variabilei aleatoare originale X raport:

Densitățile acestor variabile aleatoare satisfac egalitatea

Variabilă aleatorie normalizată V este raportul unei variabile aleatoare date X la abaterea sa standard a, adică V = XIо. Așteptările și varianța unei variabile aleatoare normalizate V exprimate prin caracteristici X Asa de:

unde v este coeficientul de variație al variabilei aleatoare originale X. Pentru funcția de distribuție Fv(x) si densitate fv(x) variabilă aleatoare normalizată V avem:

Unde F(x)- funcţia de distribuţie a variabilei aleatoare originale X; repara)- densitatea sa de probabilitate.

Variabilă aleatoare redusă U este o variabilă aleatoare centrată și normalizată:

Pentru variabila aleatoare dată

Variabile aleatoare normalizate, centrate și reduse sunt utilizate în mod constant atât în ​​studii teoretice, cât și în algoritmi, produse software, documentație de reglementare, tehnică și instrucțională. În special, pentru că egalitățile M(U) = 0, D(lf) = 1 fac posibilă simplificarea justificării metodelor, formularea teoremelor și formulelor de calcul.

Sunt utilizate transformări ale variabilelor aleatoare și altele plan general. Deci, dacă U = aX + b, Unde AȘi b- niște numere, atunci

Exemplul 7. Dacă A= 1/G, b = -M(X)/G, atunci Y este o variabilă aleatoare redusă, iar formulele (8) se transformă în formule (7).

Cu fiecare variabilă aleatoare X este posibil să se asocieze un set de variabile aleatoare Y, date prin formula Y = Oh + b la diferit a > 0 și b. Acest set se numește familie cu schimbare la scară, generat de o variabilă aleatoare X. Funcții de distribuție Fy(x) constituie o familie de distribuții scale-shift generate de funcția de distribuție F(x).În loc de Y = aX + b folosesc adesea înregistrarea

Număr Cu se numește parametrul de schimbare și numărul d- parametrul de scară. Formula (9) arată că X- rezultatul măsurării unei anumite mărimi - intră în K - rezultatul măsurării aceleiași mărimi dacă începutul măsurării este mutat într-un punct Cu,și apoi utilizați noua unitate de măsură, în d ori mai mare decât cea veche.

Pentru familia scale-shift (9), distribuția X numit standard. În metodele statistice probabilistice de luare a deciziilor și alte cercetări aplicate, distribuția normală standard, distribuția standard Weibull-Gnedenko, gama standard

distribuție etc. (vezi mai jos).

Sunt utilizate și alte transformări ale variabilelor aleatoare. De exemplu, pentru o variabilă aleatoare pozitivă X iau în considerare Y = IgX, Unde IgX- logaritmul zecimal al unui număr X. Lanț de egalități

conectează funcțiile de distribuție XȘi Y.

Pe lângă caracteristicile de poziție - medie, valori tipice ale unei variabile aleatorii - sunt utilizate o serie de caracteristici, fiecare dintre acestea descriind una sau alta proprietate a distribuției. Așa-numitele momente sunt cel mai adesea folosite ca astfel de caracteristici.

Conceptul de moment este utilizat pe scară largă în mecanică pentru a descrie distribuția maselor (momente statice, momente de inerție etc.). Exact aceleași tehnici sunt folosite în teoria probabilității pentru a descrie proprietățile de bază ale distribuției unei variabile aleatoare. Cel mai adesea, în practică se folosesc două tipuri de momente: inițial și central.

Momentul inițial de ordinul al șlea al unei variabile aleatoare discontinue este o sumă de forma:

. (5.7.1)

Evident, această definiție coincide cu definiția momentului inițial de ordin s în mecanică, dacă masele sunt concentrate pe axa absciselor în puncte.

Pentru o variabilă aleatoare continuă X, momentul inițial de ordinul al șlea se numește integrală

. (5.7.2)

Este ușor de observat că principala caracteristică a poziției introduse în n°-ul precedent - așteptarea matematică - nu este altceva decât primul moment inițial al variabilei aleatoare.

Folosind semnul așteptării matematice, puteți combina două formule (5.7.1) și (5.7.2) într-una singură. Într-adevăr, formulele (5.7.1) și (5.7.2) sunt complet similare ca structură cu formulele (5.6.1) și (5.6.2), cu diferența că în loc de și există, respectiv, și . Prin urmare, putem scrie o definiție generală a momentului inițial de ordinul al-lea, valabilă atât pentru discontinuu cât și cantități continue:

, (5.7.3)

acestea. Momentul inițial de ordinul al treilea al unei variabile aleatoare este așteptarea matematică a gradului al treilea al acestei variabile aleatoare.

Înainte de a defini momentul central, introducem un nou concept de „variabilă aleatoare centrată”.

Să existe o variabilă aleatorie cu așteptări matematice. O variabilă aleatoare centrată corespunzătoare valorii este abaterea variabilei aleatoare de la așteptările ei matematice:

În viitor, vom fi de acord să notăm peste tot variabila aleatoare centrată corespunzătoare unei variabile aleatoare date cu aceeași literă cu un simbol în partea de sus.

Este ușor de verificat că așteptarea matematică a unei variabile aleatoare centrate este egală cu zero. Într-adevăr, pentru o cantitate discontinuă

în mod similar pentru o cantitate continuă.

Centrarea unei variabile aleatoare este evident echivalentă cu mutarea originii coordonatelor către punctul central, „central”, a cărui abscisă este egală cu așteptarea matematică.

Momentele unei variabile aleatoare centrate se numesc momente centrale. Ele sunt analoge cu momentele legate de centrul de greutate din mecanică.

Astfel, momentul central de ordinul s al unei variabile aleatoare este așteptarea matematică a puterii a-lea a variabilei aleatoare centrate corespunzătoare:

, (5.7.6)

iar pentru continuu – prin integrală

. (5.7.8)

În cele ce urmează, în cazurile în care nu există nicio îndoială asupra cărei variabile aleatoare îi aparține un moment dat, pentru concizie vom scrie simplu și în loc de și .

Evident, pentru orice variabilă aleatoare momentul central de ordinul întâi egal cu zero:

, (5.7.9)

întrucât așteptarea matematică a unei variabile aleatoare centrate este întotdeauna egală cu zero.

Să derivăm relații care leagă momentele centrale și inițiale ale diferitelor ordine. Vom efectua concluzia numai pentru cantități discontinue; este ușor de verificat că exact aceleași relații sunt valabile pentru mărimi continue dacă înlocuim sumele finite cu integrale, iar probabilitățile cu elemente de probabilitate.

Să luăm în considerare al doilea punct central:

În mod similar pentru al treilea moment central obținem:

Expresii pentru etc. poate fi obținută într-un mod similar.

Astfel, pentru momentele centrale ale oricărei variabile aleatoare formulele sunt valabile:

(5.7.10)

În general, momentele pot fi considerate nu numai relativ la origine (momente inițiale) sau așteptări matematice (momente centrale), ci și relativ la un punct arbitrar:

. (5.7.11)

Cu toate acestea, momentele centrale au un avantaj față de toate celelalte: primul moment central, după cum am văzut, este întotdeauna egal cu zero, iar următorul, al doilea moment central, cu acest sistem de referință are o valoare minimă. Să demonstrăm. Pentru o variabilă aleatoare discontinuă at, formula (5.7.11) are forma:

. (5.7.12)

Să transformăm această expresie:

Evident, această valoare atinge minimul atunci când , i.e. când momentul este luat relativ la punct.

Dintre toate momentele, primul moment inițial (așteptarea matematică) și al doilea moment central sunt cel mai adesea folosite ca caracteristici ale unei variabile aleatorii.

Al doilea moment central se numește varianța variabilei aleatoare. Având în vedere importanța extremă a acestei caracteristici, printre alte puncte, introducem o denumire specială pentru aceasta:

Conform definiţiei momentului central

, (5.7.13)

acestea. varianța unei variabile aleatoare X este așteptarea matematică a pătratului variabilei centrate corespunzătoare.

Înlocuind cantitatea din expresia (5.7.13) cu expresia ei, avem și:

. (5.7.14)

Pentru a calcula direct varianța, utilizați următoarele formule:

, (5.7.15)

(5.7.16)

În consecință pentru cantități discontinue și continue.

Dispersia unei variabile aleatoare este o caracteristică a dispersiei, împrăștierea valorilor unei variabile aleatoare în jurul așteptării sale matematice. Cuvântul „dispersie” în sine înseamnă „dispersie”.

Dacă ne întoarcem la interpretarea mecanică a distribuției, atunci dispersia nu este altceva decât momentul de inerție al unei distribuții de masă date relativ la centrul de greutate (așteptare matematică).

Varianta unei variabile aleatoare are dimensiunea pătratului variabilei aleatoare; Pentru a caracteriza vizual dispersia, este mai convenabil să folosiți o mărime a cărei dimensiune coincide cu dimensiunea variabilei aleatoare. Pentru a face acest lucru, luați rădăcina pătrată a varianței. Valoarea rezultată se numește abaterea standard (altfel „standard”) a variabilei aleatoare. Vom nota abaterea standard:

, (5.7.17)

Pentru a simplifica notațiile, vom folosi adesea abrevierile pentru abaterea standard și dispersie: și . În cazul în care nu există nicio îndoială la care variabilă aleatoare se referă aceste caracteristici, uneori vom omite simbolul x y și și vom scrie simplu și . Cuvintele „abatere standard” vor fi uneori prescurtate pentru a fi înlocuite cu literele r.s.o.

În practică, este adesea folosită o formulă care exprimă dispersia unei variabile aleatoare prin al doilea moment inițial al acesteia (al doilea dintre formule (5.7.10)). În notația nouă va arăta astfel:

Așteptările și varianța (sau abaterea standard) sunt caracteristicile cele mai frecvent utilizate ale unei variabile aleatorii. Ele caracterizează cele mai importante trăsături ale distribuției: poziția și gradul de împrăștiere a acesteia. Pentru o descriere mai detaliată a distribuției se folosesc momente de comenzi mai mari.

Al treilea punct central servește la caracterizarea asimetriei (sau „asimetriei”) distribuției. Dacă distribuția este simetrică față de așteptarea matematică (sau, într-o interpretare mecanică, masa este distribuită simetric față de centrul de greutate), atunci toate momentele de ordin impar (dacă există) sunt egale cu zero. Într-adevăr, în total

când legea distribuției este simetrică față de lege și impară, fiecărui termen pozitiv îi corespunde un termen negativ egal în valoare absolută, astfel încât întreaga sumă este egală cu zero. Același lucru este, evident, valabil și pentru integrală

,

care este egal cu zero ca integrală în limitele simetrice ale unei funcții impare.

Este firesc, așadar, să alegem unul dintre momentele impare ca caracteristică a asimetriei distribuției. Cel mai simplu dintre acestea este al treilea moment central. Are dimensiunea cubului unei variabile aleatoare: pentru a obține o caracteristică adimensională, al treilea moment este împărțit la cubul abaterii standard. Valoarea rezultată se numește „coeficient de asimetrie” sau pur și simplu „asimetrie”; o vom nota:

În fig. 5.7.1 prezintă două distribuții asimetrice; una dintre ele (curba I) are o asimetrie pozitivă (); celălalt (curba II) este negativ ().

Al patrulea punct central servește pentru a caracteriza așa-numita „răcire”, adică. distribuție cu vârf sau cu vârf plat. Aceste proprietăți de distribuție sunt descrise folosind așa-numita curtoză. Curtoza unei variabile aleatoare este cantitatea

Numărul 3 se scade din raport deoarece pentru legea distribuției normale foarte importantă și răspândită în natură (pe care o vom cunoaște în detaliu mai târziu) . Astfel, pentru o distribuție normală kurtoza este zero; curbele care sunt mai cu vârf în comparație cu curba normală au o curtoză pozitivă; Curbele cu vârf mai plat au curtoză negativă.

În fig. 5.7.2 arată: distribuția normală (curba I), distribuția cu curtoză pozitivă (curba II) și distribuția cu curtoză negativă (curba III).

Pe lângă momentele inițiale și centrale discutate mai sus, în practică se folosesc uneori așa-numitele momente absolute (inițiale și centrale), determinate de formulele

Evident, momentele absolute de ordine egală coincid cu momentele obișnuite.

Dintre momentele absolute, cel mai des folosit este primul moment central absolut.

, (5.7.21)

numită abaterea medie aritmetică. Împreună cu dispersia și deviația standard, abaterea medie aritmetică este uneori folosită ca o caracteristică a dispersiei.

Așteptarea, modul, mediana, momentele inițiale și centrale și, în special, dispersia, abaterea standard, asimetria și curtoza sunt caracteristicile numerice cele mai frecvent utilizate ale variabilelor aleatoare. În multe probleme de practică caracteristici complete variabila aleatoare - legea distributiei - fie nu este necesara, fie nu poate fi obtinuta. În aceste cazuri, se limitează la o descriere aproximativă a variabilei aleatoare folosind ajutorul. Caracteristici numerice, fiecare dintre acestea exprimând o proprietate caracteristică a distribuției.

Foarte des, caracteristicile numerice sunt folosite pentru a înlocui aproximativ o distribuție cu alta și, de obicei, încearcă să facă această înlocuire în așa fel încât mai multe puncte importante să rămână neschimbate.

Exemplul 1. Se efectuează un experiment, în urma căruia poate apărea sau nu un eveniment, a cărui probabilitate este egală cu . Se consideră o variabilă aleatoare - numărul de apariții ale unui eveniment (variabilă aleatoare caracteristică a unui eveniment). Determinați-i caracteristicile: așteptare matematică, dispersie, abatere standard.

Soluţie. Seria de distribuție a valorii are forma:

unde este probabilitatea ca evenimentul să nu se producă.

Folosind formula (5.6.1) găsim așteptarea matematică a valorii:

Dispersia valorii se determină prin formula (5.7.15):

(Sugerăm ca cititorul să obțină același rezultat exprimând dispersia în termenii celui de-al doilea moment inițial).

Exemplul 2. Trei focuri independente sunt trase către o țintă; Probabilitatea de a lovi fiecare lovitură este de 0,4. variabilă aleatorie – numărul de accesări. Determinați caracteristicile unei mărimi - așteptare matematică, dispersie, r.s.d., asimetrie.

Soluţie. Seria de distribuție a valorii are forma:

Calculăm caracteristicile numerice ale cantității:

Rețineți că aceleași caracteristici ar putea fi calculate mult mai simplu folosind teoreme privind caracteristicile numerice ale funcțiilor (vezi Capitolul 10).

Mat. Mod de așteptare Median

Cea mai importantă caracteristică valorea estimata , care arată valoarea medie a unei variabile aleatoare.

Valorea estimata valoarea lui X se notează cu M[X], sau m x.

Pentru variabile aleatoare discrete valorea estimata :

Suma valorilor valorii corespunzătoare cu probabilitatea variabilelor aleatoare.

Modă (Mod) a unei variabile aleatoare X este valoarea sa cea mai probabilă.

Pentru o variabilă aleatoare discretă. Pentru o variabilă aleatoare continuă.

Distribuție unimodală

Distribuție multimodală

În general, Mod și valorea estimata Nu

se potrivesc.

Median (Med) a unei variabile aleatoare X este o valoare pentru care probabilitatea ca P(X Med). Orice alocare Med poate avea doar una.

Med împarte aria de sub curbă în 2 părți egale. În cazul unei distribuţii unimodale şi simetrice

Momente.

Cel mai adesea în practică se folosesc momente de două tipuri: inițiale și centrale.

Moment de pornire. Ordinul al treilea al unei variabile aleatoare discrete X se numește sumă de forma:

Pentru o variabilă aleatoare continuă X, momentul inițial de ordin se numește integrală , este evident că așteptarea matematică a unei variabile aleatoare este primul moment inițial.

Folosind semnul (operatorul) M, momentul inițial al ordinului al treilea poate fi reprezentat ca șah-mat. așteptarea puterii-a a unei variabile aleatoare.

Centrat Variabila aleatoare a variabilei aleatoare corespunzătoare X este abaterea variabilei aleatoare X de la așteptările ei matematice:

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare centrate este 0.

Pentru variabile aleatoare discrete avem:

Se numesc momentele unei variabile aleatoare centrate Momente centrale

Moment central al comenzii variabila aleatoare X se numește așteptarea matematică a puterii-a a variabilei aleatoare centrate corespunzătoare.

Pentru variabile aleatoare discrete:

Pentru variabile aleatoare continue:

Relația dintre momentele centrale și inițiale de diferite ordine

Dintre toate momentele, primul moment (așteptarea matematică) și al doilea moment central sunt cel mai adesea folosite ca caracteristică a unei variabile aleatorii.

Al doilea moment central este numit dispersie variabilă aleatorie. Are denumirea:

Conform definiției

Pentru o variabilă aleatoare discretă:

Pentru o variabilă aleatoare continuă:

Dispersia unei variabile aleatoare este o caracteristică a dispersării (împrăștierii) variabilelor aleatoare X în jurul așteptării sale matematice.

Dispersiaînseamnă dispersie. Varianta are dimensiunea pătratului variabilei aleatoare.

Pentru a caracteriza vizual dispersia, este mai convenabil să folosiți mărimea m y la fel ca și dimensiunea variabilei aleatoare. În acest scop, rădăcina este luată din varianță și o valoare numită - abatere standard (RMS) variabila aleatoare X, si se introduce notatia:

Abaterea standard este uneori numită „standardul” variabilei aleatoare X.

Transformări ale variabilelor aleatoare

Pentru fiecare variabilă aleatoare X determina inca trei marimi - centrate Y, normalizat Vși dat U. Variabilă aleatoare centrată Y este diferența dintre o variabilă aleatoare dată Xși așteptările sale matematice M(X), acestea. Y = X – M(X). Așteptarea unei variabile aleatoare centrate Y este egal cu 0, iar varianța este varianța unei variabile aleatoare date: M(Y) = 0, D(Y) = D(X). Funcția de distribuție F Y(X) variabilă aleatoare centrată Y legate de funcţia de distribuţie F(X) variabilă aleatoare inițială X raport:

F Y(X) = F(X + M(X)).

Densitățile acestor variabile aleatoare satisfac egalitatea

f Y(X) = f(X + M(X)).

Variabilă aleatorie normalizată V este raportul unei variabile aleatoare date X la abaterea sa standard, adică . Așteptările și varianța unei variabile aleatoare normalizate V exprimate prin caracteristici X Asa de:

,

Unde v– coeficientul de variație al variabilei aleatoare inițiale X. Pentru funcția de distribuție F V(X) si densitate f V(X) variabilă aleatoare normalizată V avem:

Unde F(X) – funcția de distribuție a variabilei aleatoare originale X, A f(X) – densitatea sa de probabilitate.

Variabilă aleatoare redusă U este o variabilă aleatoare centrată și normalizată:

.

Pentru variabila aleatoare dată

Variabile aleatoare normalizate, centrate și reduse sunt utilizate în mod constant atât în ​​studii teoretice, cât și în algoritmi, produse software, documentație de reglementare, tehnică și instrucțională. În special, pentru că egalitățile fac posibilă simplificarea justificării metodelor, formularea de teoreme și formule de calcul.

Se folosesc transformări ale variabilelor aleatoare și altele mai generale. Astfel, dacă Y = topor + b, Unde AȘi b– niște numere, atunci

Exemplul 7. Daca atunci Y este variabila aleatoare redusă, iar formulele (8) se transformă în formule (7).

Cu fiecare variabilă aleatoare X puteți asocia multe variabile aleatoare Y, dat de formula Y = topor + b la diferit A> 0 și b. Acest set se numește familie cu schimbare la scară, generat de variabila aleatoare X. Funcții de distribuție F Y(X) constituie o familie de distribuții cu schimbare la scară generată de funcția de distribuție F(X). În loc de Y = topor + b folosesc adesea înregistrarea

Număr Cu se numește parametrul de schimbare și numărul d- parametrul de scară. Formula (9) arată că X– rezultatul măsurării unei anumite cantități – intră în U– rezultatul măsurării aceleiași mărimi dacă începutul măsurării este mutat la punct Cu, apoi utilizați noua unitate de măsură, în d ori mai mare decât cea veche.

Pentru familia scale-shift (9), distribuția X se numește standard. În metodele statistice probabilistice de luare a deciziilor și alte cercetări aplicate, sunt utilizate distribuția normală standard, distribuția standard Weibull-Gnedenko, distribuția gamma standard etc. (vezi mai jos).

Sunt utilizate și alte transformări ale variabilelor aleatoare. De exemplu, pentru o variabilă aleatoare pozitivă X iau în considerare Y= jurnal X, unde lg X– logaritmul zecimal al unui număr X. Lanț de egalități

F Y (x) = P( lg X< x) = P(X < 10x) = F( 10X)

conectează funcțiile de distribuție XȘi Y.