Antiderivată și integrală. Prezentare pentru lectia "Integrala nedefinita. Metode de calcul" Metode de integrare Integrare pe parti

GBOU SPO „Colegiul de mecanică marină Navashinsky” Integrală nedefinită. Metode de calcul

Eudox din Cnidus c. 408 - aprox. 355 î.Hr e. Calculul integral a apărut în timpul perioada antica dezvoltare stiinta matematicași a început cu metoda epuizării, care a fost dezvoltată de matematicieni Grecia antică, și a fost un set de reguli dezvoltat de Eudoxus din Cnidus. Folosind aceste reguli, au fost calculate suprafețe și volume

Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716) Simbolul ∫ a fost introdus de Leibniz (1675). Acest semn este o modificare a literei latine S (prima literă a cuvântului summa).

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Isaac Newton (1643 - 1727) Newton și Leibniz au descoperit independent un fapt cunoscut sub numele de formula Newton-Leibniz.

Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) Carl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 1897) Lucrările lui Cauchy și Weierstrass au rezumat dezvoltarea de secole a calculului integral.

Matematicienii ruși au luat parte la dezvoltarea calculului integral: M.V. Ostrogradsky (1801 – 1862) V.Ya. Bunyakovsky (1804 – 1889) P.L. Cebyshev (1821 – 1894)

INDEMNITĂ INTEGRALĂ Integrala nedefinită a functie continua f(x) pe intervalul (a; b) este oricare dintre funcțiile sale antiderivate. Unde C este o constantă arbitrară (const).

1. f(x) = x n 2. f(x) = C 3. f(x) = sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Cx+C 2 . F(x) = 3. F(x) = 4. F(x) = sin x +С 5. F(x) = с tan x +С 6. F(x) = - cos x +С 5. f (x) = cosx Setați corespondența. Găsiți o formă generală de antiderivată care să corespundă funcţie dată. tg x +C

Proprietățile integralei

Metode de bază de integrare Tabelar. 2. Reducere la un tabel prin transformarea integranului într-o sumă sau diferență. 3.Integrare prin înlocuire variabilă (substituție). 4.Integrare pe părți.

Găsiți antiderivate pentru funcțiile: F(x) = 5 x ² + C F(x) = x ³ + C F(x) = - cos x + 5x+ C F(x) = 5 sin x + C F(x) = 2 x ³ + C F(x) = 3 x - x² + C 1) f(x) = 10x 2) f(x) =3 x² 3) f(x) = sin x +5 4) f(x) = 5 cos x 5) f(x) = 6 x ² 6) f(x) = 3-2x

Este adevărat că: a) c) b) d)

Exemplul 1. Integrala sumei expresiilor este egală cu suma integralelor acestor expresii Factorul constant poate fi scos din semnul integralei

Exemplul 2. Verificați soluția Scrieți soluția:

Exemplul 3. Verificați soluția Scrieți soluția:

Exemplul 4. Verificați soluția Scrieți soluția: Introduceți o nouă variabilă și exprimați diferențele:

Exemplul 5. Verificați soluția Scrieți soluția:

C munca independentă Găsiți integrală nedefinită Verificați soluția Nivelul „A” (la „3”) Nivelul „B” (la „4”) Nivelul „C” (la „5”)

Sarcina Stabilirea corespondenței. Găsiți o formă generală de antiderivată care să corespundă funcției date.

Slide 1

Slide 2

Informații istorice Calculul integral a apărut din nevoia de a crea metoda generala Găsirea zonelor, volumelor și centrelor de greutate. Această metodă a fost folosită în forma sa embrionară de către Arhimede. A primit o dezvoltare sistematică în secolul al XVII-lea în lucrările lui Cavalieri, Torricelli, Fermame și Pascal. În 1659, I. Barrow a stabilit o legătură între problema găsirii zonei și problema găsirii tangentei. Newton și Leib-Nitz în anii 70 ai secolului al XVII-lea au distras această legătură de la problemele geometrice specifice menționate. Astfel, s-a stabilit o legătură între calculul integral și cel diferențial. Această conexiune a fost folosită de Newton, Leibniz și studenții lor pentru a dezvolta tehnica integrării. Metodele de integrare au atins în principal starea actuală în lucrările lui L. Euler. Lucrările lui M.V.Ostrogradsky-Go și P.L.Chebyshev au finalizat dezvoltarea acestor metode.

Slide 3

Conceptul de integrală. Fie ca dreapta MN să fie dată de ecuația Și trebuie să găsim aria F a trapezului curbiliniu aABb. Să împărțim segmentul ab în n părți (egale sau inegale) și să construim o figură în trepte, prezentată prin hașura în desenul 1. Aria sa, aria sa este egală cu (1) Dacă introducem notația, atunci formula (1) va ia forma (3) Aria necesară este limita sumei (3) pentru n infinit mare. Leibniz a introdus notația pentru această limită (4) În care (s italic) este litera inițială a cuvântului summa (sumă), E expresia indică forma tipică a termenilor individuali. Leibniz a început să numească expresia integrală - din cuvântul latin integralis - integrală. J.B. Fourier a îmbunătățit notația Leibniz, dându-i forma Aici valorile inițiale și finale ale lui x sunt indicate în mod explicit.

Slide 4

Legătura dintre integrare și diferențiere. Vom considera că a este o constantă și b o variabilă. Atunci integrala va fi o funcție a lui b. Diferenţialul acestei funcţii este egal cu

Slide 5

Funcția antiderivată. Fie funcția o derivată a funcției, T.S. Există o diferenţială a unei funcţii: atunci funcţia se numeşte antiderivată a funcţiei

Slide 6

Un exemplu de găsire a unui antiderivat. Funcția este antiderivată de la T.S. Există o diferenţială a unei funcţii. O funcţie este o antiderivată a unei funcţii.

Slide 7

Integrală nedefinită. Integrală nedefinită expresie dată Cea mai generală formă a funcției sale antiderivate se numește. Se notează integrala nedefinită a unei expresii. Expresia se numește expresie integrandă, Funcția se numește funcție integrandă, iar variabila x este numită variabilă de integrare. Găsirea integralei nedefinite a unei funcții date se numește integrare.

Antiderivat. Problemă de calcul diferențial: dată o funcție dată, găsiți derivata acesteia. Problemă de calcul integral: găsiți o funcție cunoscând derivata ei. Funcția F(x) se numește antiderivată a funcției f(x) on interval dat, dacă pentru orice x din acest interval egalitatea F ʹ (x)=f(x) este adevărată.

Teorema. Dacă o funcție F(x) este o antiderivată pentru o funcție f(x) pe un anumit interval, atunci mulțimea tuturor antiderivatelor acestei funcții are forma F(x)+C, unde C R. y x 0 Geometric: F (x)+C este o familie de curbe obținute din fiecare dintre ele prin transfer paralel de-a lungul axei amplificatorului operațional. C curba integrală

Exemplul 2. Găsiți toate funcțiile antiderivate f(x)=2x și reprezentați-le geometric. y x

Funcția integrand - expresie integrand - semnul integralei nedefinite x - variabila de integrare F(x) + C - mulțimea tuturor antiderivatelor C - constanta de integrare Procesul de găsire a antiderivatei unei funcții se numește integrare, iar ramura matematicii se numește calcul integral.

Proprietățile integralei nedefinite Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul, iar derivata integralei nedefinite este egală cu integrandul:

Metode de bază de integrare. Metoda de integrare directă. Integrarea directă este o metodă de calcul a integralelor în care acestea sunt reduse la integrale tabelare prin aplicarea acestora a proprietăților de bază ale integralei nedefinite. În acest caz, funcția integrand este de obicei transformată în consecință.

Anoshina O.V.

Literatura de baza

1. Shipachev V. S. Matematică superioară. Curs de bază: manual și
atelier pentru licențe [marca de stat a Ministerului Educației al Federației Ruse] / V.S.
Shipaciov; editat de A. N. Tihonova. - Ed. a 8-a, revizuită. si suplimentare Moscova: Yurayt, 2015. - 447 p.
2. Shipachev V. S. Matematică superioară. Curs complet: manual
pentru academician Licență [Griff UMO] / V. S. Shipachev; editat de O.
N. Tihonova. - Ed. a IV-a, rev. si suplimentare - Moscova: Yurayt, 2015. - 608
Cu
3. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T..Ya. Matematică superioară
în exerciții și sarcini. [Text] / P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya.
Kozhevnikova. La ora 2 - M.: facultate, 2007. – 304+415c.

Raportare

1.
Test. Efectuat în conformitate cu:
Sarcini și linii directoare pentru a efectua lucrări de control
la disciplina „MATEMATICĂ APLICATĂ”, Ekaterinburg, Instituție de Învățământ Autonomă de Stat Federal
VO „Pedagogic profesional de stat rusesc
Universitatea”, 2016 - 30 p.
Opţiune munca de testare selectați după ultima cifră a numărului
cartea de note.
2.
Examen

Integrală nedefinită, proprietățile și calculul integrală antiderivată și integrală nedefinită

Definiţie. Se numește funcția F x
funcția antiderivată f x definită pe
un interval, dacă F x f x pentru
fiecare x din acest interval.
De exemplu, funcția cos x este
antiderivat functii sin x, din moment ce
cos x sin x .

Evident, dacă F x este o antiderivată
funcția f x , atunci F x C , unde C este o constantă, este de asemenea
antiderivată a funcției f x .
Dacă F x este orice antiderivată
funcțiile f x , apoi orice funcție de formă
Ф x F x C este de asemenea
funcția antiderivată f x și orice
antiderivatul poate fi reprezentat sub această formă.

Definiţie. Totalitatea tuturor
funcții antiderivate fx,
definite pe unele
se numește interval
integrală nedefinită a
funcţiile f x pe acest interval şi
notat cu f x dx.

Dacă F x este o antiderivată a funcției
f x, atunci se scrie f x dx F x C, deși
mai corect ar fi să scriem f x dx F x C .
Conform tradiției stabilite, vom scrie
f x dx F x C .
Astfel, același simbol
f x dx va desemna întregul
un set de antiderivate ale funcției f x ,
și orice element al acestui set.

Proprietățile integralei

Derivata integralei nedefinite este egala cu
funcția integrand și expresia sa diferențială integrand. Serios:
1.(f (x)dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.

Proprietățile integralei

3. Integrală nedefinită a
diferenţial continuu (x)
funcția fiind diferențiabilă este egală cu ea însăși
această funcție până la o constantă:
d (x) (x)dx (x) C,
întrucât (x) este o antiderivată a lui (x).

Proprietățile integralei

4.Dacă funcţiile f1 x şi f 2 x au
sunt antiderivate, atunci funcția f1 x f 2 x
are, de asemenea, un antiderivat și
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx K f x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

1. dx x C .
a 1
x
2. xa dx
C, (a 1).
a 1
dx
3. ln x C .
x
x
o
4.a x dx
C.
în a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8. 2 ctgx C .
sin x
dx
9. 2 tgx C .
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x

Tabelul integralelor nedefinite

11.
dx
arcsin x C .
1 x 2
dx
1
x
12. 2 2 arctg C .
o
o
un x
13.
14.
15.
dx
a2 x2
x
arcsin C..
o
dx
1
xa
ln
C
2
2
2a x a
xa
dx
1
un x
a 2 x 2 2a ln a x C .
dx
16.
x2 a
ln x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
19.
20.
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C .
2
sh x

Proprietățile diferențialelor

Convenabil de utilizat la integrare
proprietati: 1
1. dx d (ax)
o
1
2. dx d (ax b),
o
1 2
3. xdx dx,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3

Exemple

Exemplu. Calculați cos 5xdx.
Soluţie. În tabelul de integrale găsim
cos xdx sin x C .
Să transformăm această integrală într-una tabelară,
profitand de faptul ca d ax adx .
Apoi:
d 5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5 x
5
5
1
= sin 5 x C .
5

Exemple

Exemplu. Calculați x
3x x 1 dx.
Soluţie. Întrucât sub semnul integral
este suma a patru termeni, atunci
extinde integrala la suma a patru
integrale:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx .
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2

Independența tipului de variabilă

La calcularea integralelor este convenabil
utilizați următoarele proprietăți
integrale:
Dacă f x dx F x C , atunci
f x b dx F x b C .
Dacă f x dx F x C , atunci
1
f ax b dx F ax b C .
o

Exemplu

Să calculăm
1
6
2
3
x
dx
2
3
x
C
.
3 6
5

Metode de integrare Integrare pe părți

Această metodă se bazează pe formula udv uv vdu.
Folosind metoda integrării pe părți, se iau următoarele integrale:
a) x n sin xdx, unde n 1,2...k;
b) x n e x dx , unde n 1,2...k ;
c) x n arctgxdx, unde n 0, 1, 2,... k. ;
d) x n ln xdx, unde n 0, 1, 2,... k.
Când se calculează integralele a) și b) se introduce
n 1
notație: x n u , apoi du nx dx , și, de exemplu
sin xdx dv, atunci v cos x.
Când se calculează integralele c), d), u se notează cu funcția
arctgx, ln x, iar pentru dv ia x n dx.

Exemple

Exemplu. Calculați x cos xdx .
Soluţie.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

Exemple

Exemplu. Calcula
x ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
ln x
=
2
2 x
x2
1
x2
1 x2
ln x xdx
ln x
C.
=
2
2
2
2 2

Metoda de înlocuire a variabilei

Să fie necesar să se găsească f x dx , și
selectează direct antiderivatul
pentru f x nu putem, dar știm asta
ea exista. Este adesea posibil să găsești
antiderivată prin introducerea unei noi variabile,
conform formulei
f x dx f t t dt , unde x t și t sunt noi
variabilă

Integrarea funcțiilor care conțin un trinom pătratic

Luați în considerare integrala
toporul b
dx,
x px q
conţinând trinom pătratic V
numitorul integrandului
expresii. O astfel de integrală poate fi luată și
prin metoda substituirii variabilelor,
având anterior alocat în
numitorul este un pătrat perfect.
2

Exemplu

Calcula
dx
.
x 4x 5
Soluţie. Să transformăm x 2 4 x 5 ,
2
selectând un pătrat complet folosind formula a b 2 a 2 2ab b 2.
Atunci obținem:
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x 4x 5
t 1
arctgt C arctg x 2 C.

Exemplu

Găsi
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2,
dx 2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d(t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
ln(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt

Integrală definită, principalele sale proprietăți. formula Newton-Leibniz. Aplicații ale unei integrale definite.

Conduce la conceptul de integrală definită
problema găsirii ariei unui curbiliniu
trapeze.
Să fie dat pe un anumit interval
funcția continuă y f (x) 0
Sarcină:
Construiți graficul său și găsiți F aria figurii,
mărginite de această curbă, două drepte x = a și x
= b, iar mai jos – segmentul axei absciselor dintre puncte
x = a și x = b.

Se numește cifra aABb
trapez curbat

Definiţie

b
f(x)dx
Sub integrala definită
o
de la o funcție continuă dată f(x) la
acest segment este inteles
incrementul său corespunzător
antiderivat, adică
F (b) F (a) F (x) /
b
o
Numerele a și b sunt limitele integrării,
– interval de integrare.

Regulă:

Integrala definită este egală cu diferența
valorile integrandului antiderivat
funcții pentru limitele superioare și inferioare
integrare.
Prin introducerea notației pentru diferență
b
F(b)F(a)F(x)/a
b
f (x)dx F (b) F (a)
o
Formula Newton-Leibniz.

Proprietățile de bază ale unei integrale definite.

1) Valoarea integralei definite nu depinde de
notație pentru variabila de integrare, i.e.
b
b
o
o
f (x)dx f (t)dt
unde x și t sunt orice litere.
2) Integrală definită cu identic
exterior
integrarea este zero
o
f (x)dx F (a) F (a) 0
o

3) La rearanjarea limitelor integrării
integrala definită își schimbă semnul în opus
b
o
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
o
b
(proprietate de aditivitate)
4) Dacă intervalul este împărțit într-un număr finit
intervale parțiale, apoi o integrală definită,
luat pe interval, este egal cu suma anumitor
integrale preluate pe toate intervalele sale parțiale.
b
c
b
f (x)dx f (x)dx
c
o
o
f(x)dx

5) Multiplicatorul constant poate fi ajustat
pentru semnul integralei definite.
6) Integrală definită a algebricii
sume ale unui număr finit de continue
funcții este egală cu aceeași algebrică
suma integralelor definite ale acestora
funcții.

3. Schimbarea variabilei într-o integrală definită.

3. Înlocuirea unei variabile într-o anumită
integrală.
b
f (x)dx f (t) (t)dt
o
a(), b(), (t)
Unde
pentru t [ ; ] , funcțiile (t) și (t) sunt continue pe;
5
Exemplu:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t 0 4
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Integrale improprii.

Integrale improprii.
Definiţie. Fie definită funcția f(x).
interval infinit, unde b< + . Если
există
b
lim
f(x)dx,
b
o
atunci această limită se numește improprie
integrală a funcției f(x) pe interval
}