Proprietatea principală a cosinusurilor direcției. Formula pentru calcularea cosinusurilor de direcție ale unui vector pentru probleme spațiale Modulul de coordonate și cosinusurile de direcție ale unui vector

Fie dat vectorul. Vector unitar în aceeași direcție ca (vector unitar ) se găsește prin formula:

.

Lasă axa formează unghiuri cu axele de coordonate
.Cosinusurile de direcție ale axei Cosinusurile acestor unghiuri se numesc:. Dacă direcţia dat de un vector unitar , atunci cosinusurile direcției servesc drept coordonate, adică:

.

Cosinusurile direcției sunt legate între ele prin relația:

Dacă direcţia dat de un vector arbitrar , apoi găsiți vectorul unitar al acestui vector și, comparându-l cu expresia pentru vectorul unitar , obține:

Produs punctual

Produs punctual
doi vectori Şi este un număr egal cu produsul lungimii lor și cosinusul unghiului dintre ele:
.

Produsul scalar are următoarele proprietăți:

Prin urmare,
.

Semnificația geometrică a produsului punctual: produs punctual vector la vector unitar egală cu proiecția vectorului spre direcția determinată , adică
.

Următorul tabel de multiplicare a vectorilor unitari rezultă din definiția produsului scalar:
:

.

Dacă vectorii sunt dați prin coordonatele lor
Şi
, adică
,
, apoi, înmulțind acești vectori scalar și folosind tabelul de înmulțire a vectorilor unitari, obținem expresia produsului scalar
prin coordonate vectoriale:

.

Opera de artă vectorială

Produsul încrucișat al unui vectora vector numit vector , a căror lungime și direcție sunt determinate de condițiile:

Produsul vectorial are următoarele proprietăți:

Din primele trei proprietăți rezultă că înmulțirea vectorială a unei sume de vectori cu o sumă de vectori respectă regulile uzuale de înmulțire a polinoamelor. Trebuie doar să vă asigurați că ordinea factorilor nu se schimbă.

Vectorii de bază se înmulțesc după cum urmează:

Dacă
Şi
, ținând cont de proprietățile produsului vectorial al vectorilor, putem deriva o regulă pentru calcularea coordonatelor produsului vectorial din coordonatele vectorilor factori:

Dacă luăm în considerare regulile de mai sus pentru înmulțirea vectorilor unitari, atunci:

O formă mai compactă de scriere a unei expresii pentru calcularea coordonatelor produsului vectorial al doi vectori poate fi construită prin introducerea conceptului de determinant al unei matrice.

Să luăm în considerare cazul special când vectorii Şi aparțin avionului
, adică ele pot fi reprezentate ca
Şi
.

Dacă coordonatele vectorilor sunt scrise sub formă de tabel, după cum urmează:
, atunci putem spune că din ele se formează o matrice pătrată de ordinul doi, adică. dimensiune
, format din două rânduri și două coloane. Fiecare matrice pătrată este asociată cu un număr, care este calculat din elementele matricei conform anumitor reguli și se numește determinant. Determinantul unei matrice de ordinul doi este egal cu diferența dintre produsele elementelor diagonalei principale și diagonalei secundare:

.

În acest caz:

Valoarea absolută a determinantului este astfel egală cu aria paralelogramului construit pe vectori Şi , ambele laterale.

Dacă comparăm această expresie cu formula produsului vectorial (4.7), atunci:

Această expresie este o formulă pentru calcularea determinantului unei matrice de ordinul trei din primul rând.

Astfel:

Determinant al unei matrice de ordinul trei se calculează după cum urmează:

și este suma algebrică a șase termeni.

Formula pentru calcularea determinantului unei matrice de ordinul trei este ușor de reținut dacă utilizați regulăSarrus, care se formulează după cum urmează:

Fiecare termen este produsul a trei elemente situate în coloane diferite și rânduri diferite ale matricei;

Semnul plus este produsul elementelor care formează triunghiuri cu latura paralelă cu diagonala principală;

Produsele elementelor aparținând diagonalei secundare și două produse ale elementelor care formează triunghiuri cu latura paralelă cu diagonala secundară au semnul minus.

Suma pătratelor cosinusurilor direcției este egală cu unu.

Dacă cosinusurile de direcție ale vectorului sunt cunoscute, atunci coordonatele acestuia pot fi găsite folosind formulele: Formule similare se aplică și în cazul tridimensional - dacă cosinusurile de direcție ale vectorului sunt cunoscute, atunci coordonatele acestuia pot fi găsite folosind formulele :

9 Dependență liniarăși independența liniară a vectorilor. Bazat pe plan și în spațiu

Se numește un set de vectori sistem de vectori.

dependent liniar, dacă astfel de numere există, nu toate egal cu zeroîn acelaşi timp că

Un sistem de vectori se numește liniar independent, dacă egalitatea este posibilă numai pentru , i.e. când combinația liniară din partea stângă a egalității este trivială.

1. Un vector formează și un sistem: at - dependent liniar și at - independent liniar.

2. Se numește orice parte a unui sistem de vectori subsistem.

1. Dacă un sistem de vectori include un vector zero, atunci acesta este dependent liniar

2. Dacă un sistem de vectori are doi vectori egali, atunci este dependent liniar.

3. Dacă un sistem de vectori are doi vectori proporționali, atunci este dependent liniar.

4. Un sistem de vectori este dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin unul dintre vectori este o combinație liniară a celorlalți.

5. Orice vectori incluși într-un sistem liniar independent formează un subsistem liniar independent.

6. Un sistem de vectori care conține un subsistem dependent liniar este dependent liniar.

7. Dacă un sistem de vectori este liniar independent și, după adăugarea unui vector la el, se dovedește a fi liniar dependent, atunci vectorul poate fi extins în vectori și, în plus, într-un mod unic, de exemplu. coeficienții de expansiune pot fi găsiți în mod unic.

Bază pe un plan și în spațiu se numește sistem maximal de vectori care este liniar independent pe un plan sau în spațiu (adăugarea unui alt vector la sistem îl face dependent liniar).

Astfel, o bază pe un plan este oricare doi vectori necoliniari luați într-o anumită ordine, iar o bază în spațiu este oricare trei vectori necoplanari luați într-o anumită ordine.

Fie o bază în spațiu, atunci, conform T. 3, orice vector de spațiu poate fi descompus într-un mod unic în vectori de bază: . Coeficienții de expansiune se numesc coordonatele vectorului din bază

Scrierea operațiilor liniare pe vectori prin coordonate:

a) adunare si scadere: - baza

b) înmulțirea cu numărul R:

Formulele decurg din proprietățile operațiilor liniare.

10 Coordonatele vectorului relativ la bază. Orty

Bazăîn spațiul vectorial liber V 3 este orice triplu ordonat al vectorilor necoplanari.

Lasă ÎN :a 1,a 2,a 3– bază fixă ​​în V 3.

Coordonatele vector b raportat la bază ÎN numit triplu ordonat de numere ( x, y, z), incl. b=x· a 1 +ya 2 +z· un 3.

Desemnare:b={x, y, z} B Notă: Coordonatele unui vector fix înseamnă coordonatele vectorului liber corespunzător.

Teorema 1: Corespondența dintre V 3 și R 3 pentru o bază fixă ​​este unu-la-unu, adică. b V 3 ! {x, y, z) R 3 și ( x, y, z) R 3 ! b V 3, incl. b={x, y, z} B

Corespondența dintre un vector și coordonatele sale într-o bază dată are următoarele proprietăți:

1. Lasă b 1 ={x 1 , y 1 , z 1} B , b 2 ={x 2 , y 2 , z 2} B b 1 + b 2 ={x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2} B

2. Lasă b={x, y, z} B , λR λ b={ λ· x, λ· y, λ· z} B

3. Lasă b 1 || b 2 , b 1 = {x 1 , y 1 , z 1} B , b 2 ={x 2 , y 2 , z 2} B
(Aici: orice număr).

Vector unitar, îndreptată de-a lungul axei X, se notează i, vector unitar, îndreptată de-a lungul axei Y, se notează j, A vector unitar, îndreptat de-a lungul axei Z, este notat k. Vectori i, j, k sunt numite orts– au module unice, adică
i = 1, j = 1, k = 1

11 produs scalar al vectorilor. Unghiul dintre vectori. Condiție pentru ortogonalitatea vectorială

Acesta este un număr egal cu produsul dintre lungimile acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei.

Produsul scalar al vectorilor în funcție de coordonatele lor

Produsul punctual al vectorilor X, Y, Z și:

unde este unghiul dintre vectorii si ; dacă oricare, atunci

Din definiția produsului scalar rezultă că unde, de exemplu, este mărimea proiecției vectorului pe direcția vectorului.

Vector scalar pătrat:

Proprietățile produsului punctual:

Unghiul dintre vectori

Condiții pentru ortogonalitatea vectorială.

Două vector a și b ortogonal (perpendicular), dacă produsul lor scalar este egal cu zero a· b= 0

Deci, în cazul unei probleme vectoriale plane

a= (a x ;a y )și b= (b x ;b y )

ortogonală dacă b= a x b x + a y b y = 0

12 produs vectorial al vectorilor, proprietățile acestuia. Condiție de coliniaritate a vectorilor

Produsul încrucișat dintre un vector și un vector este un vector notat cu un simbol și definit de următoarele trei condiții:

1). Modulul vectorului este egal cu , unde este unghiul dintre vectorii si ;

2). Vectorul este perpendicular pe fiecare dintre vectori și ;

3). Direcția vectorului corespunde „regula mâinii drepte”. Aceasta înseamnă că, dacă vectorii și sunt aduși la o origine comună, atunci vectorul ar trebui direcționat în același mod ca degetul mijlociu al mâinii drepte, al cărui degetul mare este îndreptat de-a lungul primului factor (adică de-a lungul vector), iar degetul arătător - de-a lungul celui de-al doilea (adică de-a lungul vectorului). Produsul vectorial depinde de ordinea factorilor și anume: .

Modulul produsului vectorial este egal cu aria S a unui paralelogram construit pe vectori și : .

Produsul vectorial în sine poate fi exprimat prin formula,

unde este vectorul unitar al produsului vectorial.

Produsul încrucișat dispare dacă și numai dacă vectorii și sunt coliniari. În special, .

Dacă sistemul de axe de coordonate este corect și vectorii și sunt specificați în acest sistem prin coordonatele lor:

atunci produsul vectorial al unui vector și al unui vector este determinat de formula

Un vector este coliniar cu un vector diferit de zero dacă și numai dacă coordonatele

vectorii sunt proporționali cu coordonatele corespunzătoare ale vectorului, adică.

Operațiile liniare asupra vectorilor specificați prin coordonatele lor în spațiu sunt efectuate într-un mod similar.

13 munca mixta vectori. Proprietățile sale. Condiție de coplanaritate a vectorilor

Produs mixt a trei vectori, , este un număr egal cu produsul scalar al unui vector și al unui vector:

Proprietățile unui produs mixt:

3° Trei vectori sunt coplanari dacă și numai dacă

4° Un triplu de vectori este corect dacă și numai dacă . Dacă , atunci vectorii , și formează tripletul stâng al vectorilor.

10° identitate Jacobi:

Dacă vectorii , și sunt dați de coordonatele lor, atunci produsul lor mixt este calculat folosind formula

Se numesc vectori paraleli cu un plan sau situati pe acelasi plan vectori coplanari.

Condiții de coplanaritate a vectorilor

Trei vectorii sunt coplanari dacă produsul lor amestecat este zero.

Trei vectorii sunt coplanari dacă sunt dependente liniar.

15 diferite tipuri de ecuații de linii și plane

Orice linie dreaptă de pe plan poate fi specificată printr-o ecuație de ordinul întâi

Ax + Wu + C = 0,

Mai mult, constantele A și B nu sunt egale cu zero în același timp. Această ecuație de ordinul întâi se numește ecuația generală a unei drepte. In functie de valori constanta A, Bși C sunt posibile următoarele cazuri speciale:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – dreapta trece prin origine

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - linie dreaptă paralelă cu axa Ox

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – linie dreaptă paralelă cu axa Oy

B = C = 0, A ≠0 – linia dreaptă coincide cu axa Oy

A = C = 0, B ≠0 – linia dreaptă coincide cu axa Ox

Ecuația unei linii drepte poate fi prezentată în diferite forme în funcție de orice condiții inițiale date.

acestea sunt cosinusurile unghiurilor pe care le formează vectorul cu semiaxele pozitive ale coordonatelor. Cosinusurile direcției specifică în mod unic direcția vectorului. Dacă un vector are lungimea 1, atunci cosinusurile direcției sale sunt egale cu coordonatele sale. În general, pentru un vector cu coordonate ( o; b; c) cosinusurile direcției sunt egale:

unde a, b, g sunt unghiurile făcute de vectorul cu axele x, y, z respectiv.

21) Descompunerea unui vector în vectori unitari. Vectorul unitar al axei de coordonate este notat cu , axele cu , iar axele cu (Fig. 1).

Pentru orice vector care se află în plan, are loc următoarea expansiune:

Dacă vectorul situat în spațiu, atunci expansiunea în vectori unitari a axelor de coordonate are forma:

22)Produs punctual doi vectori nenuli și numărul egal cu produsul lungimilor acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei se numește:

23) Unghiul dintre doi vectori

Dacă unghiul dintre doi vectori este acut, atunci produsul lor scalar este pozitiv; dacă unghiul dintre vectori este obtuz, atunci produsul scalar al acestor vectori este negativ. Produsul scalar a doi vectori nenuli este egal cu zero dacă și numai dacă acești vectori sunt ortogonali.

24) Condiția de paralelism și perpendicularitate a doi vectori.

Condiția ca vectorii să fie perpendiculari
Vectorii sunt perpendiculari dacă și numai dacă produsul lor scalar este zero Dați doi vectori a(xa;ya) și b(xb;yb). Acești vectori vor fi perpendiculari dacă expresia xaxb + yayb = 0.

25) Produs vectorial al doi vectori.

Produsul vectorial al doi vectori necoliniari este un vector c=a×b care îndeplinește următoarele condiții: 1) |c|=|a| |b| sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) Vectorii a, b, c formează un triplet de vectori din dreapta.

26) Vectori coliniari și coplanari..

Vectorii sunt coliniari dacă abscisa primului vector este legată de abscisa celui de-al doilea în același mod în care ordonata primului este legată de ordonata celui de-al doilea o (xa;da) Și b (xb;yb). Acești vectori sunt coliniari dacă xa = x bŞi y a = y b, Unde R.

Vectori −→ o,−→bși −→ c sunt numite coplanare, dacă există un plan cu care sunt paralele.

27) Produs mixt a trei vectori. Produs mixt al vectorilor- produsul scalar al vectorului a și produsul vectorial al vectorilor b și c. Aflați produsul mixt al vectorilor a = (1; 2; 3), b = (1; 1; 1), c = (1; 2; 1).

Soluţie:

1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

28) Distanța dintre două puncte dintr-un plan. Distanța dintre două puncte date este egală cu rădăcina pătrată a sumei diferențelor pătrate ale acelorași coordonate ale acestor puncte.

29) Împărțirea unui segment în în această privinţă. Dacă punctul M(x; y) se află pe o dreaptă care trece prin două puncte date ( , ) și ( , ), și este dată o relație în care punctul M împarte segmentul , atunci coordonatele punctului M sunt determinate de formulele

Dacă punctul M este punctul de mijloc al segmentului, atunci coordonatele acestuia sunt determinate de formule

30-31. Panta unei drepte se numește tangenta unghiului de înclinare a acestei drepte. Panta unei linii drepte este de obicei indicată prin literă k. Apoi, prin definiție

Ecuația unei drepte cu panta are forma unde k- pantă în linie dreaptă, b– un număr real. Folosind ecuația unei linii drepte cu un coeficient de unghi, puteți specifica orice linie dreaptă care nu este paralelă cu axa Oi(pentru o dreaptă paralelă cu axa ordonatelor, coeficientul unghiular nu este definit).

33. Ecuația generală a unei drepte pe un plan. Ecuația formei Există ecuația generală a unei linii Oxy. În funcție de valorile constantelor A, B și C, sunt posibile următoarele cazuri speciale:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – dreapta trece prin origine

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - linie dreaptă paralelă cu axa Ox

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – linie dreaptă paralelă cu axa Oy

B = C = 0, A ≠0 – linia dreaptă coincide cu axa Oy

A = C = 0, B ≠0 – linia dreaptă coincide cu axa Ox

34.Ecuația unei drepte în segmente pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxy are forma unde oŞi b- unele non-zero numere reale. Acest nume nu este întâmplător, deoarece valorile absolute ale numerelor OŞi b egală cu lungimile segmentelor pe care linia dreaptă le taie pe axele de coordonate BouŞi Oi respectiv (segmentele se numără de la origine). Astfel, ecuația unei linii în segmente facilitează construirea acestei linii într-un desen. Pentru a face acest lucru, ar trebui să marcați punctele cu coordonate și într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan și să utilizați o riglă pentru a le conecta cu o linie dreaptă.

35. Ecuația normală a unei drepte are forma

unde este distanța de la linia dreaptă până la origine;  – unghiul dintre normala la dreapta și axă.

Ecuația normală se poate obține din ecuația generală (1) prin înmulțirea acesteia cu factorul de normalizare, semnul  este opus semnului astfel încât .

Cosinusurile unghiurilor dintre linie dreaptă și axele de coordonate se numesc cosinus de direcție,  – unghiul dintre linie dreaptă și axă,  – dintre linie dreaptă și axă:

Astfel, ecuația normală poate fi scrisă sub forma

Distanța de la punct la o linie dreaptă determinat de formula

36. Distanța dintre un punct și o dreaptă se calculează folosind următoarea formulă:

unde x 0 și y 0 sunt coordonatele punctului, iar A, B și C sunt coeficienți din ecuația generală a dreptei

37. Reducerea ecuației generale a unei drepte la normal. O ecuație și un plan în acest context nu diferă unul de celălalt în altceva decât în ​​numărul de termeni din ecuații și dimensiunea spațiului. Prin urmare, mai întâi voi spune totul despre avion, iar la final voi face o rezervare despre linia dreaptă.
Să fie dată ecuația generală a planului: Ax + By + Cz + D = 0.
;. obținem sistemul: g;Mc=cosb, MB=cosa Să-l aducem la forma normală. Pentru a face acest lucru, înmulțim ambele părți ale ecuației cu factorul de normalizare M. Se obține: Max+Mvu+MCz+MD=0. În acest caz MA=cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa obținem sistemul:

M2 B2=cos2b
M2 C2=cos2g

Însumând toate ecuațiile sistemului, obținem M*(A2 + B2 + C2) = 1 Acum tot ce rămâne este să exprimăm M de aici pentru a ști cu ce factor de normalizare trebuie înmulțită ecuația generală inițială pentru a o aduce. la forma normala:
M=-+1/ROOT KV A2 +B2 +C2
MD trebuie să fie întotdeauna mai mic decât zero, prin urmare semnul numărului M este luat opus semnului numărului D.
Cu ecuația unei linii drepte, totul este la fel, doar din formula pentru M ar trebui să eliminați pur și simplu termenul C2.

Topor + De + Cz + D = 0,

38. Ecuație generală avion în spațiu se numește ecuație de formă

Unde O 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 .

ÎN spatiu tridimensionalîn sistemul de coordonate carteziene, orice plan este descris printr-o ecuație de gradul I (ecuație liniară). Și înapoi, oricare ecuație liniară definește un plan.

40.Ecuația unui plan în segmente.Într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyzîn spaţiul tridimensional o ecuaţie a formei , Unde o, bŞi c– sunt numite numere reale diferite de zero ecuația planului în segmente. Valorile absolute ale numerelor o, bŞi c egală cu lungimile segmentelor pe care planul le decupează pe axele de coordonate Bou, OiŞi Oz respectiv, numărând de la origine. Semn de numere o, bŞi c arată în ce direcție (pozitivă sau negativă) sunt trasate segmentele pe axele de coordonate

41) Ecuația plană normală.

Ecuația normală a unui plan este ecuația lui scrisă sub forma

unde , , sunt cosinusurile direcției normalei planului, e

p este distanța de la origine la plan. Când se calculează cosinusurile direcției normalei, ar trebui să se presupună că aceasta este direcționată de la origine la plan (dacă planul trece prin origine, atunci alegerea direcției pozitive a normalei este indiferentă).

42) Distanța de la un punct la un plan.Fie planul dat de ecuație și se acordă un punct. Apoi, distanța de la punct la plan este determinată de formula

Dovada. Distanța de la un punct la un plan este, prin definiție, lungimea perpendicularei trasate de la punct la plan.

Unghiul dintre planuri

Fie planele și să fie specificate de ecuațiile și, respectiv. Trebuie să găsiți unghiul dintre aceste planuri.

Planele, intersectându-se, formează patru unghiuri diedrice: două obtuze și două acute sau patru unghiuri drepte, iar ambele unghiuri obtuze sunt egale între ele, iar ambele unghiuri ascuțite sunt, de asemenea, egale între ele. Vom căuta întotdeauna un unghi ascuțit. Pentru a-i determina valoarea, luăm un punct pe linia de intersecție a planurilor și în acest punct în fiecare dintre

plane, desenăm perpendiculare pe dreapta de intersecție.

Def. 1.5.6. Cosinusuri de direcție vector O să numim cosinusurile unghiurilor pe care le formează acest vector cu vectorii de bază, respectiv, i , j , k .

Cosinusurile de direcție ale unui vector O = (X, la, z) se gasesc prin formulele:

Suma pătratelor cosinusurilor direcției este egală cu unu:

Cosinusurile de direcție ale unui vector o sunt coordonatele vectorului său unitar: .

Fie vectorii de bază i , j , k amânat de la punct comun DESPRE. Vom presupune că ortele specifică direcțiile pozitive ale axelor Oh, Oh, Oz. Punctul stabilit DESPRE (origine) și pe bază ortonormală i , j , k numit Sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu. Lasă O– un punct arbitrar în spațiu. Vector O = OA= x i + y j + z k numit vector rază puncte O, coordonatele acestui vector ( x, y, z) sunt numite și coordonate punctuale O(desemnare: O(x, y, z)). Axele de coordonate Oh, Oh, Oz numita si, respectiv, axa abscisă, axa ordonată, axa aplica.

Dacă un vector este dat de coordonatele punctului său de plecare ÎN 1 (x 1 , y 1 , z 1) și punctul final ÎN 2 (x 2 , y 2 , z 2), atunci coordonatele vectorului sunt egale cu diferența dintre coordonatele sfârșitului și începutului: (deoarece ).

Sisteme de coordonate carteziene dreptunghiulare pe plan și pe linie sunt determinate exact în același mod cu modificările cantitative corespunzătoare (în conformitate cu dimensiunea).

Rezolvarea problemelor tipice.

Exemplul 1. Aflați lungimea și cosinusurile direcției unui vector O = 6i – 2j -3k .

Soluţie. Lungimea vectorului: . Cosinus de directie: .

Exemplul 2. Găsiți coordonatele vectoriale O , formând cu axele de coordonate egale colțuri ascuțite, dacă lungimea acestui vector este .

Soluţie. Deoarece , înlocuind apoi în formula (1.6), obținem . Vector O formează unghiuri ascuțite cu axele de coordonate, deci ort . Prin urmare, găsim coordonatele vectorului .

Exemplul 3. Sunt dați trei vectori necoplanari e 1 = 2i – k , e 2 = 3i + 3j , e 3 = 2i + 3k . Extinde vectorul d = i + 5j - 2k pe baza e 1 , e 2 , e 3 .