Pentru a caracteriza viteza de mișcare se introduce conceptul de viteză.

Definiție: Viteza medie a punctului pentru intervalul de timp de la până la
numită mărime vectorială egală cu raportul dintre incrementul vectorului rază al unui punct în această perioadă de timp și durata acestuia
.

- viteza medie.

Definiție: Viteza (sau viteza instantanee) a unui punct se numește mărime vectorială egală cu derivata primară a vectorului rază.

Vectorul viteză caracterizează mișcarea, atât ca mărime, cât și ca direcție. Vectorul viteză este întotdeauna direcționat tangențial la traiectoria în direcția mișcării.

Definiție: Modulul de viteză este egal cu prima derivată temporală a distanței parcurse.

Să extindem vectorul viteză în funcție de baza unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare:

, unde V x , V y , V z sunt proiecțiile vectorului viteză pe axa corespunzătoare, care sunt, respectiv, egale cu:

Unde
este proiecția X a vectorului rază a punctului material.

În reprezentarea în coordonate, vectorul viteză are forma:

Modulul vectorului viteză în reprezentarea în coordonate:

Raport invers.

Să reprezentăm vectorul viteză rază prin intermediul unei integrale definite și nedefinite:

unde t, t 0 sunt momentele inițiale și finale ale timpului.

Reprezentarea distanței parcurse prin modulul de viteză prin intermediul unei integrale definite și nedefinite.

§patru. Vectorul de accelerație.

Pentru a caracteriza viteza de schimbare a vectorului viteză al unui punct în mecanică, este introdus conceptul de accelerație.

Definiție: Accelerația medie pentru intervalul de timp de la inainte de
numită mărime vectorială egală cu raportul dintre incrementul vectorului viteză al unui punct pentru un interval de timp dat și valoarea acestuia.

Definiție: Accelerația (sau accelerația instantanee) a unui punct se numește mărime vectorială egală numeric cu prima derivată temporală a vitezei punctului în cauză sau, care este aceeași, derivata a doua temporală a vectorului rază a acestui punct:

Accelerația poate fi introdusă prin limita accelerației medii:

Cele două înregistrări de accelerație introduse sunt echivalente.

Să extindem vectorul de accelerație în funcție de baza unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare:

unde a x , a y , a z sunt proiecții ale vectorului de accelerație pe axă.

Reprezentarea în coordonate a modulului vectorului de accelerație:

rapoarte inverse:

;

Luați în considerare mișcarea unui punct material de-a lungul unei curbe plane. Accelerația este întotdeauna direcționată în interiorul concavității curbei sau a traiectoriei. Introducem doi vectori unitari: , care este îndreptată tangenţial la traiectorie şi - îndreptată perpendicular pe traiectoria spre centrul curbei.

;

Să extindem vectorul de accelerație în direcții date.

- accelerația tangențială.

Definiție: Accelerația tangențială este o mărime vectorială care caracterizează viteza de schimbare a vectorului viteză modulo.

- reprezentare vectoriala.

- reprezentare scalară.

- accelerație normală.

Definiție: Accelerația normală caracterizează viteza de schimbare a vectorului viteză în direcție și este calculată prin formula:

-unde R este raza de curbură a traiectoriei în punctul M

Dacă traiectoria este un cerc, atunci R este raza cercului.

În reprezentarea scalară:

Din proprietățile componentelor accelerației totale rezultă că accelerația totală este îndreptată spre concavitatea traiectoriei.

Modulul de accelerație total este:

În mod similar, pentru vectorul de accelerație completă:

În acest subiect, vom lua în considerare un tip foarte special de mișcare neuniformă. Pe baza opoziției la mișcarea uniformă, nu mișcare uniformă- aceasta este mișcarea cu viteză inegală, de-a lungul oricărei traiectorii. Care este caracteristica mișcării uniform accelerate? Aceasta este o mișcare neuniformă, dar care "la fel de accelerare". Accelerația este asociată cu o creștere a vitezei. Amintiți-vă de cuvântul „egal”, obținem o creștere egală a vitezei. Și cum să înțelegeți „o creștere egală a vitezei”, cum să evaluați viteza este la fel de crescută sau nu? Pentru a face acest lucru, trebuie să detectăm timpul, să estimăm viteza în același interval de timp. De exemplu, o mașină începe să se miște, în primele două secunde dezvoltă o viteză de până la 10 m/s, în următoarele două secunde 20 m/s, după alte două secunde se deplasează deja cu o viteză de 30 m/ s. La fiecare două secunde, viteza crește și de fiecare dată cu 10 m/s. Aceasta este o mișcare uniform accelerată.

Mărimea fizică care caracterizează cât de mult de fiecare dată când viteza crește se numește accelerație.

Poate fi considerată mișcarea unui biciclist uniform accelerată dacă, după oprire, viteza acestuia este de 7 km/h în primul minut, 9 km/h în al doilea și 12 km/h în al treilea? Este interzis! Biciclistul accelerează, dar nu în mod egal, mai întâi accelerând cu 7 km/h (7-0), apoi cu 2 km/h (9-7), apoi cu 3 km/h (12-9).

De obicei, mișcarea cu viteză în creștere se numește mișcare accelerată. Mișcare cu viteză descrescătoare - mișcare lentă. Dar fizicienii numesc orice mișcare cu o viteză care se schimbă mișcare accelerată. Fie că mașina pornește (viteza crește!), fie că încetinește (viteza scade!), în orice caz, se mișcă cu accelerație.

Mișcare uniform accelerată- aceasta este o astfel de mișcare a unui corp în care viteza sa pentru orice intervale egale de timp schimbări(poate crește sau scădea) în mod egal

accelerația corpului

Accelerația caracterizează rata de schimbare a vitezei. Acesta este numărul cu care viteza se schimbă în fiecare secundă. Dacă accelerația modulo a corpului este mare, aceasta înseamnă că corpul preia rapid viteza (când accelerează) sau o pierde rapid (când deceleră). Accelerare- aceasta este o mărime vectorială fizică, egală numeric cu raportul dintre modificarea vitezei și perioada de timp în care a avut loc această modificare.

Să determinăm accelerația în următoarea problemă. La momentul inițial de timp, viteza navei era de 3 m/s, la sfârșitul primei secunde viteza navei devenind 5 m/s, la sfârșitul celei de-a doua - 7 m/s, la sfârșitul treilea - 9 m/s, etc. Evident, . Dar cum stabilim? Considerăm diferența de viteză într-o secundă. În prima secundă 5-3=2, în a doua secundă 7-5=2, în a treia 9-7=2. Dar dacă vitezele nu sunt date pentru fiecare secundă? O astfel de sarcină: viteza de pornire navă 3 m / s, la sfârșitul celei de-a doua secunde - 7 m / s, la sfârșitul celei de-a patra 11 m / s. În acest caz, aveți nevoie de 11-7 = 4, apoi 4/2 = 2. Împărțim diferența de viteză la intervalul de timp.

Această formulă este folosită cel mai adesea în rezolvarea problemelor într-o formă modificată:

Formula nu este scrisă sub formă vectorială, așa că scriem semnul „+” când corpul accelerează, semnul „-” - când încetinește.

Direcția vectorului de accelerație

Direcția vectorului de accelerație este prezentată în figuri

În această figură, mașina se mișcă într-o direcție pozitivă de-a lungul axei Ox, vectorul viteză coincide întotdeauna cu direcția de mișcare (direcționată spre dreapta). Când vectorul de accelerație coincide cu direcția vitezei, aceasta înseamnă că mașina accelerează. Accelerația este pozitivă.

În timpul accelerației, direcția de accelerație coincide cu direcția vitezei. Accelerația este pozitivă.

În această imagine, mașina se mișcă în direcția pozitivă de-a lungul axei Ox, vectorul viteză este același cu direcția de mișcare (spre dreapta), accelerația NU este aceeași cu direcția vitezei, ceea ce înseamnă că mașina este decelerată. Accelerația este negativă.

La frânare, direcția de accelerație este opusă direcției vitezei. Accelerația este negativă.

Să ne dăm seama de ce accelerația este negativă la frânare. De exemplu, în prima secundă, nava a scăzut viteza de la 9m/s la 7m/s, în a doua secundă la 5m/s, în a treia la 3m/s. Viteza se schimbă în „-2m/s”. 3-5=-2; 5-7=-2; 7-9=-2m/s. De aici vine valoarea accelerației negative.

La rezolvarea problemelor, daca corpul incetineste, acceleratia din formule este inlocuita cu semnul minus!!!

Mișcarea cu mișcare uniform accelerată

O formulă suplimentară numită intempestiv

Formula în coordonate

Comunicare cu viteză medie

La mișcare uniform accelerată viteza medie poate fi calculată ca medie aritmetică a vitezei inițiale și finale

Din această regulă rezultă o formulă care este foarte convenabilă de utilizat atunci când rezolvi multe probleme

Raportul traseului

Dacă corpul se mișcă uniform accelerat, viteza inițială este zero, atunci traseele parcurse în intervale de timp egale succesive sunt legate ca o serie de numere impare.

Principalul lucru de reținut

1) Ce este mișcarea uniform accelerată;
2) Ce caracterizează accelerația;
3) Accelerația este un vector. Dacă corpul accelerează, accelerația este pozitivă; dacă încetinește, accelerația este negativă;
3) Direcția vectorului de accelerație;
4) Formule, unităţi de măsură în SI

Exerciții

Două trenuri merg unul spre celălalt: unul - accelerat spre nord, celălalt - încet spre sud. Cum sunt direcționate accelerațiile trenurilor?

La fel și în nord. Pentru că primul tren are aceeași accelerație în direcția de mișcare, iar al doilea are mișcarea opusă (încetinește).

Traiectoria mișcării unui punct material prin vectorul rază

După ce am uitat această secțiune a matematicii, în memoria mea, ecuațiile de mișcare ale unui punct material au fost întotdeauna reprezentate folosind dependența familiară nouă tuturor. y(x), și uitându-mă la textul sarcinii, am fost puțin surprins când am văzut vectorii. S-a dovedit că există o reprezentare a traiectoriei unui punct material folosind raza-vector- un vector care specifică poziția unui punct în spațiu față de un punct prefixat, numit origine.

Formula pentru traiectoria unui punct material, în plus față de vectorul rază, este descrisă în același mod orts- vectori unitari i, j, kîn cazul nostru coincizând cu axele sistemului de coordonate. Și, în sfârșit, luați în considerare un exemplu de ecuație pentru traiectoria unui punct material (în spațiul bidimensional):

Ce este interesant în acest exemplu? Traiectoria mișcării punctului este dată de sinusuri și cosinusuri, cum credeți că va arăta graficul în reprezentarea familiară a lui y(x)? „Probabil un fel de înfiorător”, te-ai gândit, dar totul nu este atât de dificil pe cât pare! Să încercăm să construim traiectoria punctului material y(x), dacă acesta se mișcă conform legii prezentate mai sus:

Aici am observat pătratul cosinusului, dacă vedeți pătratul sinusului sau cosinusului în orice exemplu, aceasta înseamnă că trebuie să aplicați identitatea trigonometrică de bază, ceea ce am făcut (a doua formulă) și am transformat formula de coordonate y pentru a înlocui formula de schimbare în ea în loc de sinus X:

Drept urmare, teribila lege a mișcării unui punct s-a dovedit a fi obișnuită parabolă ale căror ramuri sunt îndreptate în jos. Sper că înțelegeți algoritmul aproximativ pentru construirea dependenței y(x) din reprezentarea mișcării prin vectorul rază. Acum să trecem la întrebarea noastră principală: cum să găsiți vectorul viteză și accelerație al unui punct material, precum și modulele acestora.

Vector viteza punctului material

Toată lumea știe că viteza unui punct material este valoarea distanței parcurse de punct pe unitatea de timp, adică derivata formulei pentru legea mișcării. Pentru a găsi vectorul viteză, trebuie să luați derivata în funcție de timp. sa luam in considerare exemplu concret găsirea vectorului viteză.

Un exemplu de găsire a vectorului viteză

Avem legea deplasării unui punct material:

Acum trebuie să luați derivata acestui polinom, dacă ați uitat cum se face acest lucru, atunci aici sunteți. Ca rezultat, vectorul viteză va arăta astfel:

Totul s-a dovedit a fi mai ușor decât credeați, acum să găsim vectorul de accelerație al unui punct material conform aceleiași legi prezentate mai sus.

Cum să găsiți vectorul de accelerație al unui punct material

Vector de accelerație punctual aceasta este o mărime vectorială care caracterizează modificarea modulului și a direcției vitezei unui punct în timp. Pentru a găsi vectorul de accelerație al unui punct material în exemplul nostru, trebuie să luați derivata, dar din formula vectorului viteză prezentată chiar mai sus:

Modulul vector al vitezei punctului

Acum să găsim modulul vectorului viteză al unui punct material. După cum știți din clasa a IX-a, modulul unui vector este lungimea acestuia, în coordonate carteziene dreptunghiulare este egal cu rădăcină pătrată din suma pătratelor coordonatelor sale. Și de unde cereți de la vectorul viteză pe care l-am obținut mai sus să ia coordonatele? Totul este foarte simplu:

Acum este suficient doar să înlocuiți timpul specificat în sarcină și să obțineți o anumită valoare numerică.

Modulul vectorului de accelerație

După cum ați înțeles din cele scrise mai sus (și din clasa a IX-a), găsirea modulului vectorului accelerație se întâmplă în același mod ca și modulul vectorului viteză: extragem rădăcina pătrată din suma pătratelor vectorului. coordonate, totul este simplu! Ei bine, iată un exemplu pentru tine:

După cum puteți vedea, accelerația unui punct material conform legii date mai sus nu depinde de timp și are o mărime și o direcție constante.

Mai multe exemple de soluții la problema găsirii vectorului viteză și accelerație

Și aici puteți găsi exemple de rezolvare a altor probleme din fizică. Și pentru cei care nu prea înțeleg cum să găsească vectorul viteză și accelerație, iată câteva exemple din rețea fără nicio explicație suplimentară, sper că vă vor ajuta.

Dacă aveți întrebări, le puteți adresa în comentarii.

Viteza este o mărime vectorială care caracterizează nu numai viteza de mișcare a particulei de-a lungul traiectoriei, ci și direcția în care particula se mișcă în fiecare moment de timp.

Viteza medie în timp din t1 inainte de t2 este egal cu raportul dintre mișcarea din acest timp și intervalul de timp pentru care a avut loc această mișcare:

Faptul că aceasta este viteza medie pe care o vom nota prin includerea valorii medii între paranteze unghiulare:<...>, așa cum s-a făcut mai sus.

Formula de mai sus pentru vectorul viteză medie este o consecință directă a generalului definiție matematică Valoarea medie<f(x)> funcție arbitrară f(x) pe intervalul [ a,b]:

Într-adevăr

Viteza medie poate fi prea aspră caracteristică mișcării. De exemplu, viteza medie într-o perioadă de oscilație este întotdeauna zero, indiferent de natura acestor oscilații, din simplul motiv că într-o perioadă - prin definiția unei perioade - un corp oscilant se va întoarce la punctul său de pornire și, prin urmare, deplasarea pe o perioadă este întotdeauna zero. Din acest motiv și din multe alte motive, este introdusă viteza instantanee - viteza de intrare acest moment timp. În viitor, implicând viteza instantanee, vom scrie simplu: „viteză”, omițând cuvintele „instantaneu” sau „la un moment dat de timp” ori de câte ori acest lucru nu poate duce la neînțelegeri. Pentru a obține viteză la un moment dat. t trebuie sa fac lucrul evident: Calculați limita raportului atunci când vizați o perioadă de timp t2 – t1 la zero. Să redenumim: t1 = tși t 2 \u003d t +și rescrieți relația superioară ca:

Viteza la timp t este egală cu limita raportului mișcării în timp cu intervalul de timp în care a avut loc această mișcare, când aceasta din urmă tinde spre zero

Orez. 2.5. La definirea vitezei instantanee.

Momentan nu luăm în considerare problema existenței acestei limite, presupunând că există. Rețineți că dacă există o deplasare finită și un interval finit de timp, atunci și sunt valorile lor limită: o deplasare infinitezimală și un interval de timp infinit mic. Deci partea dreaptă a definiției vitezei

nu este altceva decât o fracție - un coeficient de împărțire cu , deci ultimul raport poate fi rescris și este destul de des folosit sub forma

De sens geometric derivată, vectorul viteză în fiecare punct al traiectoriei este direcționat tangențial la traiectoria în acest punct în direcția sa de mișcare.

Video 2.1. Vectorul viteză este direcționat tangențial la traiectorie. Experiment de ascuțit.

Orice vector poate fi extins într-o bază (pentru vectorii unitari ai bazei, cu alte cuvinte, vectorii unitari care determină direcțiile pozitive ale axelor BOU,OY,oz folosim notația , , sau , respectiv). Coeficienții acestei expansiuni sunt proiecțiile vectorului pe axele corespunzătoare. Următorul este important: în algebra vectorilor, se demonstrează că expansiunea din punct de vedere al bazei este unică. Să extindem vectorul rază a unui punct material în mișcare în termeni de bază

Ținând cont de constanța vectorilor unitari cartezieni , , , vom diferenția această expresie în raport cu timpul

Pe de altă parte, expansiunea în funcție de baza vectorului viteză are forma

comparând ultimele două expresii, ținând cont de unicitatea expansiunii oricărui vector din punct de vedere al bazei, dă următorul rezultat: proiecțiile vectorului viteză pe axele carteziene sunt egale cu derivatele în timp ale coordonatelor corespunzătoare, că este

Modulul vectorului viteză este

Să obținem încă o expresie importantă pentru modulul vectorului viteză.

S-a remarcat deja că pentru valoarea || din ce în ce mai puțin diferit de calea corespunzătoare (vezi fig. 2). De aceea

si in limita (>0)

Cu alte cuvinte, modulul de viteză este derivata distanței parcurse în raport cu timpul.

În sfârșit avem:

Modulul mediu al vectorului viteză, este definită după cum urmează:

Valoarea medie a modulului vectorului viteză este egală cu raportul dintre distanța parcursă și timpul în care a fost parcurs această cale:

Aici s(t1,t2)- cale în timp de la t1 inainte de t2și în mod corespunzător, s(t0,t2)- cale în timp de la t0 inainte de t2și s(t0,t2)- cale în timp de la t0 inainte de t1.

Vectorul viteză medie, sau pur și simplu viteza medie ca mai sus, este

Rețineți că, în primul rând, acesta este un vector, modulul său - modulul vectorului viteză medie nu trebuie confundat cu valoarea medie a modulului vectorului viteză. În cazul general, ele nu sunt egale: modulul vectorului mediu nu este deloc egal cu modulul mediu al acestui vector. Două operații: calculul modulului și calculul mediei, în cazul general, nu pot fi schimbate.

Luați în considerare un exemplu. Lăsați punctul să se miște într-o direcție. Pe fig. 2.6. arată un grafic al drumului pe care a parcurs-o s la momentul respectiv (pentru timpul de la 0 inainte de t). Folosind sens fizic viteza, utilizați acest grafic pentru a afla momentul în care viteza instantanee este egală cu viteza medie la sol pentru primele secunde ale mișcării punctului.

Orez. 2.6. Determinarea vitezei instantanee și medii a corpului

Modulul de viteză la un moment dat

fiind derivata traseului în raport cu timpul, este egal cu coeficientul unghiular al balansării față de graficul de dependență până la punctul corespunzător momentului de timp t*. Modulul mediu de viteză pentru o perioadă de timp de la 0 inainte de t* este panta secantei care trece prin punctele aceluiași grafic corespunzătoare începutului t = 0 si sfarsit t = t* interval de timp. Trebuie să găsim un astfel de moment în timp t* când ambele pante sunt aceleași. Pentru a face acest lucru, trasăm o linie dreaptă prin originea coordonatelor, tangentă la traiectorie. După cum se poate observa din figură, punctul de contact al acestei linii drepte Sf)și dă t*. În exemplul nostru, obținem

Viteza este una dintre principalele caracteristici. Ea exprimă însăși esența mișcării, adică. determină diferența care există între un corp staționar și un corp în mișcare.

Unitatea SI pentru viteza este Domnișoară.

Este important să ne amintim că viteza este o mărime vectorială. Direcția vectorului viteză este determinată de mișcare. Vectorul viteză este întotdeauna direcționat tangențial la traiectoria în punctul prin care trece corpul în mișcare (Fig. 1).

De exemplu, luați în considerare roata unei mașini în mișcare. Roata se rotește și toate punctele roții se mișcă în cerc. Pulverizarea care zboară de pe roată va zbura de-a lungul tangentelor la aceste cercuri, indicând direcția vectorilor de viteză ai punctelor individuale ale roții.

Astfel, viteza caracterizează direcția de mișcare a corpului (direcția vectorului viteză) și viteza mișcării acestuia (modulul vectorului viteză).

Viteza negativă

Poate fi viteza unui corp negativă? Da poate. Dacă viteza corpului este negativă, aceasta înseamnă că corpul se mișcă în direcția opusă direcției axei de coordonate în cadrul de referință selectat. Figura 2 prezintă mișcarea autobuzului și a mașinii. Viteza mașinii este negativă, iar viteza autobuzului este pozitivă. Trebuie amintit că vorbind despre semnul vitezei, ne referim la proiecția vectorului viteză pe axa de coordonate.

Mișcare uniformă și neuniformă

În general, viteza depinde de timp. După natura dependenței vitezei de timp, mișcarea este uniformă și neuniformă.

DEFINIȚIE

Mișcare uniformă este o mișcare cu o viteză modulo constantă.

În cazul mișcării inegale, se vorbește despre:

Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Viteza”

EXEMPLUL 1

Exercițiu	Mașina a trecut de prima jumătate a drumului între două aşezări cu o viteză de 90 km/h, iar cealaltă jumătate cu o viteză de 54 km/h. Determinați viteza medie a mașinii.
Soluţie	Ar fi incorect să se calculeze viteza medie a unei mașini ca medie aritmetică a celor două viteze indicate. Să folosim definiția vitezei medii: Deoarece se presupune o mișcare uniformă rectilinie, semnele vectorilor pot fi omise. Timpul petrecut de mașină pe parcurgerea întregului segment de potecă: unde este timpul necesar pentru a finaliza prima jumătate a călătoriei și este timpul necesar pentru a finaliza a doua jumătate a călătoriei. Deplasarea totală este egală cu distanța dintre așezări, adică. . Înlocuind aceste rapoarte în formula pentru viteza medie, obținem: Traducem vitezele în secțiuni individuale în sistemul SI: Atunci viteza medie a mașinii este: (Domnișoară)
Răspuns	Viteza medie a mașinii este de 18,8 m/s

EXEMPLUL 2

Exercițiu	O mașină se deplasează timp de 10 secunde cu o viteză de 10 m/s și apoi se deplasează încă 2 minute cu o viteză de 25 m/s. Determinați viteza medie a mașinii.
Soluţie	Să facem un desen.