Reprezentarea grafică a conceptelor folosind cercuri Euler. Probleme logice și cercurile lui Euler. Concepte compatibile și incompatibile

Leonhard Euler - cel mai mare dintre matematicieni a scris peste 850 de lucrări științifice.Într-unul dintre ele au apărut aceste cercuri.

Omul de știință a scris asta„sunt foarte potrivite pentru a ne facilita reflecțiile.”

Cercuri Euler este o diagramă geometrică care ajută la găsirea și/sau la clarificarea conexiunilor logice între fenomene și concepte. De asemenea, ajută la înfățișarea relației dintre un set și partea sa.

Problema 1

Din cei 90 de turiști care merg într-o excursie, 30 de persoane vorbesc germană, 28 de persoane vorbesc engleză, 42 de persoane vorbesc franceza.8 persoane vorbesc engleza si germana in acelasi timp, 10 persoane vorbesc engleza si franceza, 5 persoane vorbesc germana si franceza, 3 persoane vorbesc toate cele trei limbi. Câți turiști nu vorbesc nicio limbă?

Soluţie:

Să arătăm grafic starea problemei - folosind trei cercuri

Răspuns: 10 persoane.

Problema 2

Mulți copii din clasa noastră iubesc fotbalul, baschetul și voleiul. Și unii chiar au două sau trei dintre aceste sporturi. Se știe că 6 persoane din clasă joacă doar volei, 2 - doar fotbal, 5 - doar baschet. Doar 3 persoane pot juca volei și fotbal, 4 pot juca fotbal și baschet, 2 pot juca volei și baschet O persoană din clasă poate juca toate jocurile, 7 nu pot juca niciun joc. Trebuie să găsiți:

Câți oameni sunt în clasă?

Câți oameni pot juca fotbal?

Câți oameni pot juca volei?

Problema 3

În tabăra de copii erau 70 de copii. Dintre aceștia, 20 sunt implicați în clubul de teatru, 32 cântă în cor, 22 sunt pasionați de sport. Există 10 copii de cor în clubul de teatru, 6 sportivi în cor, 8 sportivi în clubul de teatru și 3 sportivi participă atât la clubul de teatru, cât și la cor. Câți copii nu cântă în cor, nu sunt interesați de sport și nu sunt implicați în clubul de teatru? Câți bărbați sunt implicați doar în sport?

Problema 4

Dintre angajații companiei, 16 au vizitat Franța, 10 – Italia, 6 – Anglia. În Anglia și Italia - cinci, în Anglia și Franța - 6, în total trei țări– 5 angajati. Câte persoane au vizitat atât Italia, cât și Franța, dacă compania are 19 angajați în total și fiecare dintre ei a vizitat cel puțin una dintre aceste țări?

Problema 5

Elevii de clasa a șasea au completat un chestionar întrebând despre desenele lor preferate. S-a dovedit că majoritatea le-au plăcut Albă ca Zăpada și cei șapte pitici, SpongeBob SquarePants și Lupul și vițelul. În clasă sunt 38 de elevi. 21 de elevi ca Albă ca Zăpada și cei șapte pitici. Mai mult, trei dintre ei le place, de asemenea, „Lupul și vițelul”, șase le place „SpongeBob SquarePants” și unui copil îi plac la fel de toate cele trei desene animate. „The Wolf and the Calf” are 13 fani, dintre care cinci au numit două desene animate în chestionar. Trebuie să stabilim câți elevi de clasa a șasea le plac SpongeBob SquarePants.

Probleme pe care elevii trebuie să le rezolve

1. În clasă sunt 35 de elevi. Toți sunt cititori ai bibliotecilor școlare și raionale. Dintre acestea, 25 împrumută cărți de la biblioteca școlii, 20 de la biblioteca raională. Câți dintre ei:

a) nu sunt cititori ai bibliotecii școlare;

b) nu sunt cititori ai bibliotecii raionale;

c) sunt cititori numai ai bibliotecii școlii;

d) sunt cititori numai ai bibliotecii raionale;

e) sunt cititori ai ambelor biblioteci?

2.Fiecare elev din clasă învață engleză sau german, sau ambele limbi. Engleza este studiată de 25 de persoane, germana de 27 de persoane și ambele de 18 persoane. Câți elevi sunt în clasă?

3. Pe o foaie de hârtie, desenați un cerc cu o suprafață de 78 cm2 și un pătrat cu o suprafață de 55 cm2. Aria de intersecție a unui cerc și a unui pătrat este de 30 cm2. Partea foii care nu este ocupată de cerc și pătrat are o suprafață de 150 cm2. Găsiți zona foii.

4. În grupul de turiști sunt 25 de persoane. Dintre aceștia, 20 de persoane au sub 30 de ani și 15 persoane au peste 20 de ani. Ar putea fi adevărat? Daca da, in ce caz?

5. B grădiniţă 52 de copii. Fiecare dintre ei iubește tortul sau înghețata sau ambele. Jumătate dintre copii le place prăjitura, iar 20 de persoane le place prăjitura și înghețata. Câți copii iubesc înghețata?

6. În clasă sunt 36 de persoane. Elevii acestei clase frecventează cluburile de matematică, fizică și chimie, iar 18 persoane merg la clubul de matematică, 14 - fizice, 10 - chimice În plus, se știe că 2 persoane frecventează toate cele trei cluburi, 8 persoane - atât matematice, cât și fizice. 5 - atât cercuri matematice cât și chimice, 3 - atât cercuri fizice, cât și chimice. Câți elevi din clasă nu frecventează niciun club?

7. După vacanță, profesorul clasei a întrebat care dintre copii a mers la teatru, cinema sau circ. S-a dovedit că din 36 de studenți, doi nu fuseseră niciodată la cinema, teatru sau circ. 25 de persoane au participat la cinema; în teatru - 11; la circ - 17; atât la cinema, cât și la teatru - 6; atât la cinema, cât și la circ - 10; atât la teatru, cât și la circ - 4. Câți oameni au vizitat teatrul, cinematograful și circul în același timp?

Rezolvarea problemelor Unified State Exam folosind cercuri Euler

Problema 1

În limbajul de interogare a motorului de căutare, simbolul „|” este folosit pentru a desemna operația logică „SAU”, iar simbolul „&” este folosit pentru operația logică „ȘI”.

Cruiser și cuirasat? Se presupune că toate întrebările sunt executate aproape simultan, astfel încât setul de pagini care conțin toate cuvintele căutate să nu se modifice în timpul executării interogărilor.

Cerere	Pagini găsite (în mii)
Cruiser \| Vas de război	7000
Crucişător	4800
Vas de război	4500

Soluţie:

Folosind cercurile lui Euler, descriem condițiile problemei. În acest caz, folosim numerele 1, 2 și 3 pentru a desemna zonele rezultate.

Pe baza condițiilor problemei, creăm ecuațiile:

Cruiser | Cuirasat: 1 + 2 + 3 = 7000
Cruiser: 1 + 2 = 4800
Cuirasat: 2 + 3 = 4500

Pentru a găsi Cruiser și cuirasat(indicat în desen ca zona 2), înlocuiți ecuația (2) în ecuația (1) și aflați că:

4800 + 3 = 7000, din care obținem 3 = 2200.

Acum putem înlocui acest rezultat în ecuația (3) și aflăm că:

2 + 2200 = 4500, din care 2 = 2300.

Răspuns: 2300 - număr de pagini găsite la cerereCruiser și cuirasat.

Problema 2

În limbajul de interogare al motorului de căutare pentru a denota

Tabelul arată interogările și numărul de pagini găsite pentru un anumit segment de internet.

Cerere	Pagini găsite (în mii)
Prajituri \| Plăcinte	12000
Prajituri si placinte	6500
Plăcinte	7700

Câte pagini (în mii) vor fi găsite pentru interogare? prăjituri?

Soluţie

Pentru a rezolva problema, să afișăm seturile de prăjituri și plăcinte sub formă de cercuri Euler.

A, B, C).

Din declarația problemei rezultă:

Prajituri │Plăcinte = A + B + C = 12000

Prajituri si placinte = B = 6500

Plăcinte = B + C = 7700

Pentru a găsi numărul de prăjituri (Prăjituri = A + B ), trebuie să găsim sectorul A Torturi│Plăcinte ) scădeți setul de Plăcinte.

Prăjituri│Plăcinte – Plăcinte = A + B + C -(B + C) = A = 1200 – 7700 = 4300

Sectorul A este egal cu 4300, prin urmare

Prajituri = A + B = 4300+6500 = 10800

Problema 3

|”, iar pentru operația logică „ȘI” - simbolul „&”.

Tabelul arată interogările și numărul de pagini găsite pentru un anumit segment de internet.

Cerere	Pagini găsite (în mii)
Prajituri si coacere	5100
Tort	9700
Tort \| Brutărie	14200

Câte pagini (în mii) vor fi găsite pentru interogare? Brutărie?

Se crede că toate interogările au fost executate aproape simultan, astfel încât setul de pagini care conțineau toate cuvintele căutate nu s-a modificat în timpul executării interogărilor.

Soluţie

Pentru a rezolva problema, afișăm seturile prăjituri și Coacerea sub formă de cercuri Euler.

Să notăm fiecare sector cu o literă separată ( A, B, C).

Din declarația problemei rezultă:

Prajituri si produse de patiserie = B = 5100

Tort = A + B = 9700

Tort │ Produse de patiserie = A + B + C = 14200

Pentru a afla cantitatea de coacere (coacere = B + C ), trebuie să găsim sectorulÎN , pentru aceasta din setul general ( Tort │ Coacerea) scădeți setul Tort.

Tort │ Coacere – Tort = A + B + C -(A + B) = C = 14200–9700 = 4500

Sectorul B este egal cu 4500, prin urmare Coacerea = B + C = 4500+5100 = 9600

Problema 4
descendent
Pentru a indicaOperația logică „SAU” folosește simbolul „|”, iar pentru operația logică „ȘI” - simbolul „&”.
Soluţie

Să ne imaginăm seturi de câini ciobănești, terrieri și spaniel sub formă de cercuri Euler, care desemnează sectoarele cu litere ( A, B, C, D).

Cu paniels │(terrieri & ciobani) = G + B

Cu paniel│caini ciobanesc= G + B + C

spaniels│terrieri│ciobani= A + B + C + D

terieri & ciobani = B

Să aranjam numerele cererii în ordinea descrescătoare a numărului de pagini:3 2 1 4

Problema 5

Tabelul prezintă interogări către serverul de căutare. Puneți în ordine numerele de solicitare crescând numărul de pagini pe care motorul de căutare le va găsi pentru fiecare cerere.
Pentru a indicaOperația logică „SAU” folosește simbolul „|”, iar pentru operația logică „ȘI” - simbolul „&”.

1	baroc \| clasicism \| stil imperiu
2	baroc \| (clasicism și stil imperiu)
3	clasicism și stil imperiu
4	baroc \| clasicism

Soluţie

Să ne imaginăm seturile clasicism, stil imperiu și clasicism sub formă de cercuri Euler, notând sectoarele cu litere ( A, B, C, D).

Să transformăm starea problemei sub forma unei sume de sectoare:

baroc│ clasicism│imperiu = A + B + C + D
Baroc │(clasicism & imperiu) = G + B
clasicism și stil imperiu = B
baroc│clasicism = G + B + A

Din sumele de sector vedem ce cerere a emis mai multa cantitate pagini.

Să aranjam numerele cererii în ordinea crescătoare a numărului de pagini:3 2 4 1

Problema 6
Tabelul prezintă interogări către serverul de căutare. Puneți în ordine numerele de solicitare crescând numărul de pagini pe care motorul de căutare le va găsi pentru fiecare cerere.
Pentru a indicaOperația logică „SAU” folosește simbolul „|”, iar pentru operația logică „ȘI” - simbolul „&”.

1	canari \| cardurii \| conţinut
2	canari și conținut
3	canari și cardurii și conținut
4	reproducere și păstrare și canari și carduri

Soluţie

Pentru a rezolva problema, să ne imaginăm interogări sub formă de cercuri Euler.

K - canari,

Ш – cardurii,

R – reproducere.

canari \| terieri \| conţinut	canari și conținut	canari și cardurii și conținut	reproducere și păstrare și canari și carduri

Prima solicitare are cea mai mare suprafață de sectoare umbrite, apoi a doua, apoi a treia, iar a patra cerere are cea mai mică.

În ordine crescătoare după numărul de pagini, cererile vor fi prezentate în următoarea ordine: 4 3 2 1

Vă rugăm să rețineți că în prima cerere, sectoarele completate ale cercurilor Euler conțin sectoarele completate ale celei de-a doua cereri, iar sectoarele completate ale celei de-a doua cereri conțin sectoarele completate ale celei de-a treia cereri, iar sectoarele completate ale celei de-a treia cereri conțin sectorul completat al celei de-a patra cereri.

Doar în astfel de condiții putem fi siguri că am rezolvat corect problema.

Problema 7 (Examenul de stat unificat 2013)

În limbajul de interogare a motorului de căutare, simbolul „|” este folosit pentru a desemna operația logică „SAU”, iar simbolul „&” este folosit pentru operația logică „ȘI”.

Tabelul arată interogările și numărul de pagini găsite pentru un anumit segment de internet.

Cerere	Pagini găsite (in mii)
Fregata \| Distrugător	3400
Fregata și distrugător	900
Fregată	2100

Câte pagini (în mii) vor fi găsite pentru interogare? Distrugător?
Se crede că toate interogările au fost executate aproape simultan, astfel încât setul de pagini care conțineau toate cuvintele căutate nu s-a modificat în timpul executării interogărilor.

Cercuri Euler- una dintre cele mai simple teme de care aveți nevoie admiterea în clasa a V-a la liceele de fizică și matematică. De fapt, Cercuri Euler nu este altceva decât o reprezentare grafică a mulțimilor. Obiectele cu o anumită proprietate sunt amplasate în interior Cercul Euler-Venn cei care nu posedă sunt afară. Desigur, de obicei, diagrama conține nu un cerc, ci mai multe, fiecare dintre acestea combinând obiecte cu un fel de proprietate. Orice sarcină din acest bloc se rezumă la faptul că este necesar să se numere numărul de elemente din orice zonă. Să ne uităm la exemple de ceea ce trebuie făcut:

Sarcini pentru mulți oameni

Sunt elevi în clasă. studiaza engleza, germana si franceza. Oamenii nu cunosc nicio limbă. De asemenea, se știe că dintre toți copiii, doar un băiat studiază limbi: engleza și franceza. Câți oameni studiază limba?

Pentru a rezolva problema, să notăm numărul de studenți necesari ca (cei care studiază limba). Numărul de studenți care studiază un număr diferit de limbi poate fi exprimat prin și condițiile problemei. Diagrama Euler-Venn V în acest caz, va arăta astfel: De exemplu, băieții care știu doar Limba engleză, indicate cu roșu și numărul acestora.

Rețineți că nu am folosit în niciun fel numărul total de studenți - această condiție va genera însăși ecuația cu care va fi rezolvată problema:

Se pare că toate limbile sunt studiate de oameni (Acum, știind, puteți reconstrui independent câți elevi au fost în clasă și puteți verifica răspunsul)

Probleme de divizibilitate (divizibilitate complexă)

Acestea sunt deja sarcinile complexitate crescută. Vă recomandăm să studiați mai întâi subiectul. O lectură obligatorie doar pentru cei care plănuiesc să câștige premii.

Pentru câte numere între și este adevărată următoarea afirmație: numărul este divizibil cu sau nu este divizibil cu?

O astfel de condiție teribilă și de neînțeles devine simplă dacă utilizați Cercuri Euler. Este clar că în această problemă luăm în considerare numerele care - ne interesează cele din interiorul cercului corespunzător. Există și numere care vdots 12 - ne interesează numerele care sunt în afară. Dar cum rămâne cu numerele care aparțin ambelor seturi? În primul rând, ce proprietate comună au și, în al doilea rând, ne interesează?

Să răspundem mai întâi la prima întrebare. Se dovedește că, dacă un număr este divizibil simultan cu alte două numere, atunci este divizibil cu Cel mai mic multiplu comun aceste două numere, adică prin numărul minim care este divizibil fără rest de ambele. Pentru numere și LCM nu există nimic altceva decât numărul , deoarece și , și număr mai mic cu asemenea proprietati nr. În total, la intersecția mulțimilor noastre există numere care .

În continuare, trebuie remarcat faptul că cuvântul este folosit în condiție "SAU". Aceasta înseamnă că pentru numerele cerute, MĂRÂNU UNA dintre afirmațiile propuse trebuie să fie adevărată (eventual ambele). Adică, suntem potriviti pentru numerele care se află în interiorul cercului de numere, care sunt, precum și pentru toate numerele care sunt în afara cercului.

Aşa, Diagrama Euler-Venn arată astfel: umbrirea indică numerele care trebuie găsite. Acum, sper, este evident că trebuie să aflăm câte numere sunt în problema luată în considerare, din această cantitate scădem numărul de numere care și adunăm numărul de numere care .

Deci, să începem:

Se pare că numerele necesare

Deci, să rezumam. Dacă mergi intra in clasa a V-a a liceului de fizica si matematica, apoi cunoștințe generale de Cercuri Euler-Venn Ai nevoie de el. Domeniul principal de aplicare este problemele în care există seturi de obiecte care au anumite proprietăți și este necesar să se găsească numărul de obiecte care au (sau nu au) un set de proprietăți specificate.

Secțiuni: Informatica

1. Introducere

În cadrul cursului de Informatică și TIC a liceului de bază și liceu se discută următoarele: subiecte importante precum „Fundamentals of Logic” și „Searing for Information on the Internet”. Când rezolvați un anumit tip de problemă, este convenabil să folosiți cercuri Euler (diagramele Euler-Venn).

Referință matematică. Diagramele Euler-Venn sunt utilizate în principal în teoria mulțimilor ca o reprezentare schematică a tuturor intersecțiilor posibile ale mai multor mulțimi. În general, ele reprezintă toate cele 2 n combinații de n proprietăți. De exemplu, cu n=3, diagrama Euler-Venn este de obicei reprezentată ca trei cercuri cu centre la vârfurile unui triunghi echilateral și aceeași rază, aproximativ egală cu lungimea laturii triunghiului.

2. Reprezentarea conectivelor logice în interogări de căutare

Când studiați subiectul „Căutarea informațiilor pe Internet”, sunt luate în considerare exemple de interogări de căutare folosind conective logice, similare ca semnificație cu conjuncțiile „și”, „sau” ale limbii ruse. Semnificația conectivelor logice devine mai clară dacă le ilustrezi folosind o diagramă grafică - cercuri Euler (diagramele Euler-Venn).

Conectiv logic	Exemplu de cerere	Explicaţie	Cercuri Euler
& - „ȘI”	Paris & universitate	Vor fi selectate toate paginile care menționează ambele cuvinte: Paris și universitate	Fig.1
\| - „SAU”	Paris \| universitate	Vor fi selectate toate paginile în care sunt menționate cuvintele Paris și/sau universitate	Fig.2

3. Comunicare operatii logice cu teoria multimilor

Diagramele Euler-Venn pot fi folosite pentru a vizualiza legătura dintre operațiile logice și teoria mulțimilor. Pentru demonstrație, puteți folosi diapozitivele din Anexa 1.

Operațiile logice sunt specificate de tabelele lor de adevăr. ÎN Anexa 2 Ilustrațiile grafice ale operațiilor logice împreună cu tabelele lor de adevăr sunt discutate în detaliu. Să explicăm principiul construirii unei diagrame în cazul general. În diagramă, aria cercului cu numele A afișează adevărul afirmației A (în teoria mulțimilor, cercul A este desemnarea tuturor elementelor incluse într-o mulțime dată). În consecință, zona din afara cercului afișează valoarea „falsă” a afirmației corespunzătoare. Pentru a înțelege care zonă a diagramei va afișa o operație logică, trebuie să umbriți numai acele zone în care valorile operației logice pe seturile A și B sunt egale cu „adevărat”.

De exemplu, valoarea implicației este adevărată în trei cazuri (00, 01 și 11). Să umbrim secvențial: 1) zona din afara celor două cercuri care se intersectează, care corespunde valorilor A=0, B=0; 2) o zonă legată doar de cercul B (semiluna), care corespunde valorilor A=0, B=1; 3) aria aferentă atât cercului A, cât și cercului B (intersecție) - corespunde valorilor A=1, B=1. Combinația acestor trei zone va fi o reprezentare grafică a operației logice a implicației.

4. Folosirea cercurilor lui Euler în demonstrarea egalităților logice (legi)

Pentru a demonstra egalitățile logice, puteți utiliza metoda diagramei Euler-Venn. Să demonstrăm următoarea egalitate ¬(АvВ) = ¬А&¬В (legea lui de Morgan).

Pentru a reprezenta vizual partea stângă a egalității, să o facem secvențial: umbriți ambele cercuri (aplicați disjuncția) cu culoare gri, apoi pentru a afișa inversarea, umbriți zona din afara cercurilor cu culoarea neagră:

Fig.3 Fig.4

Pentru a reprezenta vizual partea dreaptă a egalității, să o facem secvențial: umbriți zona pentru afișarea inversării (¬A) în gri și, în mod similar, zona ¬B tot în gri; apoi pentru a afișa conjuncția trebuie să luați intersecția acestor zone gri (rezultatul suprapunerii este reprezentat cu negru):

Fig.5 Fig.6 Fig.7

Vedem că zonele pentru afișarea părților din stânga și din dreapta sunt egale. Q.E.D.

5. Probleme în formatul examenului de stat și examenului unificat de stat pe tema: „Căutarea informațiilor pe internet”

Problema nr. 18 din versiunea demo a GIA 2013.

Tabelul prezintă interogări către serverul de căutare. Pentru fiecare cerere este indicat codul acesteia - litera corespunzătoare de la A la G. Aranjați codurile de solicitare de la stânga la dreapta în ordine descendent numărul de pagini pe care motorul de căutare le va găsi pentru fiecare cerere.

Cod	Cerere
O	(Fly & Money) \| Samovar
B	Fly & Money & Bazar & Samovar
ÎN	Zbura \| Bani \| Samovar
G	Fly & Money & Samovar

Pentru fiecare interogare, vom construi o diagramă Euler-Venn:

Solicitarea A

Cererea B

Solicitare G

Răspuns: VAGB.

Problema B12 din versiunea demonstrativă a Unified State Exam 2013.

Tabelul arată interogările și numărul de pagini găsite pentru un anumit segment de internet.

Cerere	Pagini găsite (în mii)
Fregata \| Distrugător	3400
Fregata și distrugător	900
Fregată	2100

Câte pagini (în mii) vor fi găsite pentru interogare? Distrugător?

Se crede că toate interogările au fost executate aproape simultan, astfel încât setul de pagini care conțineau toate cuvintele căutate nu s-a modificat în timpul executării interogărilor.

Ф – numărul de pagini (în mii) la cerere Fregată;

E – numărul de pagini (în mii) la cerere Distrugător;

X – numărul de pagini (în mii) pentru o interogare care menționează FregatăŞi Nu menţionat Distrugător;

Y – numărul de pagini (în mii) pentru o interogare care menționează DistrugătorŞi Nu menţionat Fregată.

Să construim diagrame Euler-Venn pentru fiecare interogare:

Cerere	Diagrama Euler-Venn	Număr de pagini
Fregata \| Distrugător	Fig.12	3400
Fregata și distrugător	Fig.13	900
Fregată	Fig.14	2100
Distrugător	Fig.15	?

Conform diagramelor avem:

X + 900 + Y = F + Y = 2100 + Y = 3400. De aici găsim Y = 3400-2100 = 1300.
E = 900+U = 900+1300= 2200.

Raspuns: 2200.

6. Rezolvarea problemelor logice semnificative folosind metoda diagramei Euler-Venn

Sunt 36 de persoane în clasă. Elevii acestei clase frecventează cercurile de matematică, fizică și chimie, cu 18 persoane care participă la cercul matematic, 14 persoane participând la cercul fizic, 10 persoane participând la cercul chimic În plus, se știe că 2 persoane participă la toate cele trei cercuri, 8 persoane frecventează atât matematică cât și fizică, 5 și matematică și chimie, 3 - atât fizice cât și chimice.

Câți elevi din clasă nu frecventează niciun club?

Pentru a rezolva această problemă, este foarte convenabil și intuitiv să folosiți cercurile Euler.

Cel mai mare cerc este mulțimea tuturor elevilor din clasă. În interiorul cercului există trei mulțimi care se intersectează: membrii matematicii ( M), fizic ( F), chimic ( X) cercuri.

Lasă MFC- o mulțime de băieți, fiecare dintre care frecventează toate cele trei cluburi. MF¬X- o mulțime de copii, fiecare dintre ei frecventând cluburi de matematică și fizică și Nu vizite chimice. ¬M¬FH- o mulțime de băieți, fiecare dintre ei frecventând clubul de chimie și nu frecventează cluburile de fizică și matematică.

În mod similar, introducem seturi: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.

Se știe că toate cele trei cercuri sunt frecventate de 2 persoane, așadar, în regiune MFC Să introducem numărul 2. Pentru că 8 persoane frecventează atât cercurile matematice cât și fizice, iar printre ei sunt deja 2 persoane care frecventează toate cele trei cercuri, apoi în regiune MF¬X sa intram 6 persoane (8-2). Să determinăm în mod similar numărul de elevi din seturile rămase:

Să însumăm numărul de oameni din toate regiunile: 7+6+3+2+4+1+5=28. În consecință, 28 de persoane din clasă frecventează cluburi.

Aceasta înseamnă că 36-28 = 8 studenți nu participă la cluburi.

După sarbatori de iarna profesor de clasă a întrebat care dintre băieți a mers la teatru, cinema sau circ. S-a dovedit că din 36 de elevi din clasă, doi nu fuseseră niciodată la cinema. nici la teatru, nici la circ. 25 de persoane au mers la cinema, 11 la teatru, 17 la circ; atât la cinema, cât și la teatru - 6; atât la cinema, cât și la circ - 10; iar la teatru și circ - 4.

Câți oameni au fost la cinema, la teatru și la circ?

Fie x numărul de copii care au fost la cinema, la teatru și la circ.

Apoi puteți construi următoarea diagramă și puteți număra numărul de băieți din fiecare zonă:

6 persoane au vizitat cinematograful și teatrul, ceea ce înseamnă că doar 6 persoane au vizitat cinematograful și teatrul.

În mod similar, numai în cinema și circ (al 10-lea) oameni.

Numai la teatru și circ (4) persoane.

25 de persoane au mers la cinema, ceea ce înseamnă că 25 dintre ei au mers doar la cinema - (10's) - (6's) - x = (9+x).

La fel, doar în teatru erau (1+x) oameni.

Numai că erau (3+x) oameni în circ.

Nu am fost la teatru, cinema sau circ – 2 persoane.

Deci, 36-2=34 de persoane. a participat la evenimente.

Pe de altă parte, putem rezuma numărul de oameni care au fost la teatru, cinema și circ:

(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10)+(6)+(4)+x = 34

Rezultă că o singură persoană a participat la toate cele trei evenimente.

Astfel, cercurile Euler (diagramele Euler-Venn) își găsesc aplicație practică în rezolvarea problemelor în Format de examen de stat unificatși GIA și la rezolvarea unor probleme logice semnificative.

Literatură

V.Yu. Lyskova, E.A. Rakitina. Logica în informatică.
M.: Informatică și Educație, 2006. 155 p.
L.L. Bosova. Fundamentele aritmetice și logice ale calculatoarelor. M.: Informatică și Educație, 2000. 207 p.
L.L. Bosova, A.Yu. Bosova. Manual. Informatica si TIC pentru clasa a 8-a: BINOM. Laboratorul de cunoștințe, 2012. 220 p.
L.L. Bosova, A.Yu. Bosova. Manual. Informatica si TIC pentru clasa a 9-a: BINOM. Laboratorul de cunoștințe, 2012. 244 p.

Site-ul FIPI: http://www.fipi.ru/

Fiecare obiect sau fenomen are anumite proprietăți (semne).

Se pare că formarea unui concept despre un obiect înseamnă, în primul rând, capacitatea de a-l distinge de alte obiecte asemănătoare acestuia.

Putem spune că un concept este conținutul mental al unui cuvânt. Concept -

este o formă de gândire care afișează obiectele în caracteristicile lor cele mai generale și esențiale.

Un concept este o formă de gândire, și nu o formă de cuvânt, deoarece un cuvânt este doar o etichetă cu care notăm cutare sau cutare gând. Cuvintele pot fi diferite, dar înseamnă totuși același concept. În rusă - „creion”, în engleză - „creion”, în germană - bleistift. Același gând în diferite limbi

are o expresie verbală diferită.

RELAȚII ÎNTRE CONCEPTE. CERCUL EULER. Sunt numite concepte care au caracteristici comune în conținutul lor COMPARABIL

(„avocat” și „deputat”; „student” și „atlet”). În caz contrar, conceptele sunt luate în considerare INCOMPARABIL

(„crocodil” și „caiet”; „om” și „barcă cu aburi”). Dacă, pe lângă caracteristicile generale, conceptele au și elemente comune de volum, atunci ele sunt numite.

COMPATIBIL

Există șase tipuri de relații între concepte comparabile. Este convenabil să se desemneze relații între volumele de concepte folosind cercuri Euler (diagrame circulare, unde fiecare cerc denotă volumul unui concept).	TIP DE RELATIE DINTRE CONCEPTE
IMAGINEA FOLOSIND CERCULE EULER	ECHIVALITATE (IDENTITATE) Domeniile conceptelor coincid complet. Aceste. Acestea sunt concepte care diferă ca conținut, dar în ele sunt gândite aceleași elemente de volum.
1) A - Aristotel B - fondatorul logicii 2) A - pătratul B - dreptunghi echilateral	1) A - persoana B - elev 2) A - animal B - elefant
INTERSECȚIE (ÎNTRECARE) Volumele a două concepte coincid parțial. Adică, conceptele conțin elemente comune, dar includ și elemente care aparțin doar unuia dintre ele.	1) A - avocat B - deputat 2) A - elev B - sportiv
COORDONARE (COORDINARE) Concepte care nu au elemente comune, sunt pe deplin incluse în domeniul de aplicare al celui de-al treilea concept, mai larg.	1) A - animal B - pisica; C - câine; D - mouse 2) A - metal pretios B - aur; C - argint; D - platină
OPOZ (CONTRAARITATE) Conceptele A și B nu sunt pur și simplu incluse în sfera celui de-al treilea concept, ci par a fi la polii opuși ai săi. Adică conceptul A are în cuprinsul său o astfel de caracteristică, care în conceptul B este înlocuită cu cea opusă.	1) A - pisica alba; B - pisica rosie (pisicile sunt si negre si gri) 2) A - ceai fierbinte; ceai cu gheață (ceaiul poate fi și cald) adică conceptele A și B nu epuizează întreaga sferă a conceptului în care sunt incluse.
CONTRADIȚIE (CONTRADIȚIONALITATE) Relația dintre concepte, dintre care unul exprimă prezența unor caracteristici, iar celălalt - absența lor, adică pur și simplu neagă aceste caracteristici, fără a le înlocui cu altele.	1) A - casă înaltă B - casă joasă 2) A - bilet câștigător B - bilet necâștigător I.e. conceptele A și nu-A epuizează întreaga sferă a conceptului în care sunt incluse, întrucât nu poate fi plasat niciun concept suplimentar între ele.