Înmulțirea matricei. Matematică pentru manechini. Matrici și operații de bază asupra acestora. Cazul matricelor dreptunghiulare

Adăugarea matricei$ A $ și $ B $ este o operație aritmetică, în urma căreia ar trebui să se obțină matricea $ C $, fiecare element al cărei element este egal cu suma elementelor corespunzătoare ale matricelor adăugându-se:

$$ c_(ij) = a_(ij) + b_(ij) $$

Mai multe detalii Formula pentru adăugarea a două matrice arată astfel:

$$ A + B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) și b_(32) și b_(33) \end(pmatrix) = $$

$$ = \begin(pmatrix) a_(11) + b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+b_(13) \\ a_(21)+b_(21) & a_ (22)+b_(22) & a_(23)+b_(23) \\ a_(31)+b_(31) & a_(32)+b_(32) & a_(33)+b_(33) \ end(pmatrix) = C$$

Vă rugăm să rețineți că puteți adăuga și scădea doar matrici de aceeași dimensiune. Cu suma sau diferența, rezultatul va fi o matrice $ C $ de aceeași dimensiune cu termenii (scăzuți) ai matricelor $ A $ și $ B $. Dacă matricele $ A $ și $ B $ diferă între ele în mărime, atunci adăugarea (scăderea) unor astfel de matrici va fi o eroare!

Formula adaugă matrice 3 cu 3, ceea ce înseamnă că rezultatul ar trebui să fie o matrice 3 cu 3.

Scăderea matricelor complet similar cu algoritmul de adunare, doar cu semnul minus. Fiecare element al matricei necesare $C$ se obține prin scăderea elementelor corespunzătoare ale matricelor $A$ și $B$:

$$ c_(ij) = a_(ij) - b_(ij) $$

Să scriem detaliile formula pentru scaderea a doua matrici:

$$ A - B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) și a_(33) \end(pmatrix) - \begin(pmatrix) b_(11) și b_(12) și b_(13) \\ b_(21) și b_(22) și b_(23) \\ b_(31) și b_(32) și b_(33) \end(pmatrix) = $$

$$ = \begin(pmatrix) a_(11) - b_(11) & a_(12)-b_(12) & a_(13)-b_(13) \\ a_(21)-b_(21) & a_ (22)-b_(22) & a_(23)-b_(23) \\ a_(31)-b_(31) & a_(32)-b_(32) & a_(33)-b_(33) \ end(pmatrix) = C$$

De asemenea, este de remarcat faptul că nu puteți adăuga și scădea matrici cu numere obișnuite, precum și cu alte elemente.

Va fi util să cunoaștem proprietățile adunării (scăderii) pentru soluții ulterioare la problemele cu matrice.

Proprietăți

1. Dacă matricele $ A,B,C $ au aceeași dimensiune, atunci li se aplică proprietatea de asociativitate: $$ A + (B + C) = (A + B) + C $$
2. Pentru fiecare matrice există o matrice zero, notată $ O $, la adunare (scădere) cu care matricea originală nu se modifică: $$ A \pm O = A $$
3. Pentru fiecare matrice nenulă $ A $ există o matrice opusă $ (-A) $ a cărei sumă dispare: $ $ A + (-A) = 0 $ $
4. La adunarea (scăderea) matricelor este permisă proprietatea comutativității, adică matricele $ A $ și $ B $ pot fi schimbate: $$ A + B = B + A $$ $$ A - B = B - A $$

Exemple de soluții

Exemplul 1

Matricele date $ A = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) $ și $ B = \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) $. Efectuați adunarea matricei și apoi scăderea.

Soluţie

În primul rând, verificăm dimensionalitatea matricelor. Matricea $ A $ are dimensiunea $ 2 \times 2 $, a doua matrice $ B $ are dimensiunea $ 2 \times 2 $. Aceasta înseamnă că cu aceste matrice este posibilă efectuarea unei operații comune de adunare și scădere. Reamintim că pentru suma este necesar să se efectueze adunarea în perechi a elementelor corespunzătoare ale matricelor $ A \text( și ) B $. $$ A + B = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 + 1 & 3 + (-3) \\ -1 + 2 & 4 + 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end( pmatrix)$$ În mod similar cu suma, găsim diferența matricelor prin înlocuirea semnului „plus” cu un „minus”: $$ A - B = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 - 1 & 3 - (-3) \\ -1 - 2 & 4 - 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \ sfârşitul (pmatrix) $$ Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Vom oferi o soluție detaliată. Veți putea vizualiza progresul calculului și veți obține informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți nota de la profesorul dvs. în timp util!

Răspuns

$$ A + B = \begin(pmatrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end(pmatrix); A - B = \begin(pmatrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \end(pmatrix) $$

În articolul: „Adunarea și scăderea matricelor” au fost date definiții, reguli, comentarii, proprietăți ale operațiilor și exemple practice de soluții.

În primul rând, CARE ar trebui să fie rezultatul înmulțirii a trei matrici? O pisică nu va da naștere unui șoarece. Dacă înmulțirea matricei este fezabilă, atunci rezultatul va fi și o matrice. Hmmm, ei bine, profesorul meu de algebră nu vede cum explic închiderea structurii algebrice în raport cu elementele sale =)

Produsul a trei matrici poate fi calculat în două moduri:

1) găsiți și apoi înmulțiți cu matricea „ce”: ;

2) fie mai întâi găsiți, apoi înmulțiți.

Rezultatele vor coincide cu siguranță, și în teorie această proprietate se numește asociativitatea înmulțirii matriceale:

Exemplul 6

Înmulțiți matrice în două moduri

Algoritm solutiiîn doi pași: găsim produsul a două matrici, apoi din nou găsim produsul a două matrici.

1) Folosiți formula

Acțiunea unu:

Actul doi:

2) Folosiți formula

Acțiunea unu:

Actul doi:

Răspuns:

Prima soluție este, desigur, mai familiară și standard, unde „totul pare să fie în ordine”. Apropo, referitor la comanda. În sarcina luată în considerare, apare adesea iluzia că vorbim despre un fel de permutări ale matricilor. Ei nu sunt aici. Vă reamintesc din nou că În general, MATRICILE NU POT FI PERMANENT PERMANENTE. Deci, în al doilea paragraf, în al doilea pas, efectuăm înmulțirea, dar în niciun caz nu facem . Cu numerele obișnuite, un astfel de număr ar funcționa, dar cu matrice nu ar funcționa.

Proprietatea înmulțirii asociative este adevărată nu numai pentru pătrat, ci și pentru matrici arbitrare - atâta timp cât acestea sunt înmulțite:

Exemplul 7

Aflați produsul a trei matrici

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. În soluția eșantion, calculele sunt efectuate în două moduri, analizează care cale este mai profitabilă și mai scurtă.

Proprietatea de asociativitate a înmulțirii matriceale se aplică și unui număr mai mare de factori.

Acum este momentul să ne întoarcem la puterile matricelor. Pătratul matricei este luat în considerare chiar de la început și este pe ordinea de zi.

Aceasta este una dintre cele mai comune operații matrice. Matricea care se obține după înmulțire se numește produs de matrici.

Produs Matrix A.m × n la matrice Bn × k va exista o matrice Cm × k astfel încât elementul de matrice C, situat în i-a linia și j-a coloană, adică elementul c ij egală cu suma produselor elementelor i al-lea rând al matricei O la elementele corespunzătoare j coloana a matricei B.

Proces înmulțirea matriceală este posibil numai dacă numărul de coloane din prima matrice este egal cu numărul de rânduri din a doua matrice.

Exemplu:
Este posibil să înmulțim o matrice cu o matrice?

m =n, ceea ce înseamnă că este posibil să se înmulțească datele matricei.

Dacă matricele sunt schimbate, atunci, cu astfel de matrici, înmulțirea nu va mai fi posibilă.

m≠ n, astfel inmultirea nu poate fi efectuata:

Destul de des puteți găsi sarcini cu un truc atunci când studentul este întrebat înmulțiți matrice, a cărui multiplicare este evident imposibilă.

Vă rugăm să rețineți că uneori puteți înmulți matrice în orice fel. De exemplu, pentru matrici și, eventual, ca înmulțire MN, și înmulțirea N.M.

Aceasta nu este o acțiune foarte dificilă. Înmulțirea matricelor este mai bine înțeleasă folosind exemple specifice, deoarece definiția singură poate fi foarte confuză.

Să începem cu cel mai simplu exemplu:

Trebuie înmulțit cu. În primul rând, dăm formula pentru acest caz:

- există un model clar aici.

Înmulțiți cu .

Formula pentru acest caz este: .

Înmulțirea matricei și rezultatul:

Ca urmare, așa-numitul matrice zero.

Este foarte important să ne amintim că „regula de rearanjare a locurilor termenilor” nu funcționează aici, deoarece aproape întotdeauna MN≠ N.M.. Prin urmare, producând operația de multiplicare a matricei Sub nicio formă nu trebuie schimbate.

Acum să ne uităm la exemple de înmulțire a matricelor de ordinul trei:

Multiplica pe .

Formula este foarte asemănătoare cu cele anterioare:

Soluție matriceală: .

Aceasta este aceeași înmulțire a matricei, doar un număr prim este luat în locul celei de-a doua matrice. După cum ați putea ghici, acest tip de înmulțire este mult mai ușor de efectuat.

Un exemplu de înmulțire a unei matrice cu un număr:

Totul este clar aici - pentru a înmulțiți matricea cu număr, fiecare element al matricei trebuie înmulțit succesiv cu numărul specificat. În acest caz - până la 3.

Un alt exemplu util:

- înmulțirea unei matrice cu un număr fracționar.

În primul rând, vă vom arăta ce să nu faceți:

Când înmulțiți o matrice cu o fracție, nu este nevoie să introduceți fracția în matrice, deoarece acest lucru, în primul rând, complică acțiunile ulterioare cu matricea și, în al doilea rând, îngreunează profesorul să verifice soluția.

Și, în plus, nu este nevoie să împărțiți fiecare element al matricei la -7:

.

Ceea ce ar trebui făcut în acest caz este să adăugați un minus la matrice:

.

Dacă ați avea un exemplu în care toate elementele matricei erau divizibile cu 7 fără rest, atunci ați putea (și ar trebui!) să împărțiți.

În acest exemplu, este posibil și necesar să se înmulțească toate elementele matricei cu ½, deoarece Fiecare element al matricei este divizibil cu 2 fără rest.

Notă: în teoria matematicii de învățământ superior nu există conceptul de „diviziune”. În loc să spuneți „acest împărțit cu asta”, puteți spune întotdeauna „acest înmulțit cu o fracție”. Adică împărțirea este un caz special de înmulțire.

Principalele aplicații ale matricelor sunt legate de operație multiplicare.

Sunt date două matrice:

A – mărimea mn

B – mărimea n k

Deoarece lungimea unui rând din matricea A coincide cu înălțimea unei coloane din matricea B, puteți defini o matrice C=AB, care va avea dimensiunile m k. Element matricea C, situată într-un i-lea rând arbitrar (i=1,...,m) și o j-a coloană arbitrară (j=1,...,k), prin definiție, este egală cu produsul scalar a doi vectori din
:i-lea rând al matricei A și j-a coloană a matricei B:

Proprietăți:

Cum este definită operația de înmulțire a unei matrice A cu un număr λ?

Produsul lui A și numărul λ este o matrice în care fiecare element este egal cu produsul elementului corespunzător lui A și λ. Corolar: Factorul comun al tuturor elementelor matricei poate fi scos din semnul matricei.

13. Definirea matricei inverse și proprietățile acesteia.

Definiţie. Dacă există matrici pătrate X și A de același ordin care îndeplinesc condiția:

unde E este matricea de identitate de același ordin ca și matricea A, atunci se numește matricea X verso la matricea A și se notează A -1.

Proprietățile matricelor inverse

Să indicăm următoarele proprietăți ale matricelor inverse:

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (A T) -1 = (A -1) T .

1. Dacă matricea inversă există, atunci este unică.

2. Nu orice matrice pătrată diferită de zero are un invers.

14. Indicați principalele proprietăți ale determinanților. Verificați valabilitatea proprietății |AB|=|A|*|B| pentru matrice

A= și B=

Proprietățile determinanților:

1. Dacă orice rând al determinantului este format din zerouri, atunci determinantul în sine este egal cu zero.

2. La rearanjarea a două rânduri, determinantul se înmulțește cu -1.

3. Determinantul cu două rânduri identice este egal cu zero.

4. Factorul comun al elementelor oricărui rând poate fi scos din semnul determinant.

5. Dacă elementele unui anumit rând de determinant A sunt prezentate ca sumă a doi termeni, atunci determinantul în sine este egal cu suma a doi determinanți B și D. În determinantul B, linia specificată este formată din primii termeni, în D - din al doilea termen. Liniile rămase ale determinanților B și D sunt aceleași ca în A.

6. Valoarea determinantului nu se va modifica dacă la una dintre linii se adaugă o altă linie, înmulțită cu orice număr.

7. Suma produselor elementelor oricărui rând prin complemente algebrice la elementele corespunzătoare dintr-un alt rând este egală cu 0.

8. Determinantul matricei A este egal cu determinantul matricei transpuse A m, i.e. determinantul nu se modifică la transpunere.

15. Definiți modulul și argumentul unui număr complex. Scrieți numerele √3+ în formă trigonometricăi, -1+ i.

Fiecare număr complex z=a+ib poate fi asociat cu un vector (a,b)€R 2. Lungimea acestui vector egală cu √a 2 + b 2 se numește modulul unui număr complex z și se notează cu |z|. Unghiul φ dintre un vector dat și direcția pozitivă a axei Ox se numește argument de număr complex z și este notat cu arg z.

Orice număr complex z≠0 poate fi reprezentat ca z=|z|(cosφ +isinφ).

Această formă de scriere a unui număr complex se numește trigonometrică.

√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(cosπ/6+isinπ/6);

1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosπ/4+isinπ/4).

Fiecărui număr complex Z = a + ib i se poate atribui un vector (a; b) aparținând lui R^2. Lungimea acestui vector, egală cu KB de la a^2 + b^2, se numește modulul unui număr complex și se notează cu modulul Z. Unghiul dintre acest vector și direcția pozitivă a axei Ox se numește argumentul numărului complex (notat cu arg Z).

DEFINIȚIA MATRICEI. TIPURI DE MATRICE

Matricea mărimii m× n numit set m·n numere dispuse într-un tabel dreptunghiular de m linii şi n coloane. Acest tabel este de obicei inclus între paranteze. De exemplu, matricea ar putea arăta astfel:

Pentru concizie, o matrice poate fi desemnată cu o singură literă majusculă, de exemplu, O sau ÎN.

În general, o matrice de dimensiune m× n scrie asa

.

Se numesc numerele care alcătuiesc matricea elemente de matrice. Este convenabil să se furnizeze elemente de matrice cu doi indici a ij: Primul indică numărul rândului, iar al doilea indică numărul coloanei. De exemplu, un 23– elementul se află în rândul 2, coloana a 3-a.

Dacă o matrice are același număr de rânduri ca și numărul de coloane, atunci matricea este numită pătrat, iar numărul rândurilor sau coloanelor sale este numit în ordine matrici. În exemplele de mai sus, a doua matrice este pătrată - ordinea sa este 3, iar a patra matrice este ordinea sa 1.

Se numește o matrice în care numărul de rânduri nu este egal cu numărul de coloane dreptunghiular. În exemple, aceasta este prima matrice și a treia.

Există, de asemenea, matrice care au un singur rând sau o coloană.

Se numește o matrice cu un singur rând matrice - rând(sau șir) și o matrice cu o singură coloană matrice - coloană.

Se numește o matrice ale cărei elemente sunt toate zero nulși este notat cu (0), sau pur și simplu 0. De exemplu,

.

Diagonala principală a unei matrice pătrate numim diagonala care merge din colțul din stânga sus spre colțul din dreapta jos.

Se numește o matrice pătrată în care toate elementele de sub diagonala principală sunt egale cu zero triunghiular matrice.

.

Se numește o matrice pătrată în care toate elementele, cu excepția probabil celor de pe diagonala principală, sunt egale cu zero diagonală matrice. De exemplu, sau.

Se numește o matrice diagonală în care toate elementele diagonale sunt egale cu unul singur matrice și este notat cu litera E. De exemplu, matricea de identitate de ordinul 3 are forma .

ACȚIUNI PE MATRICE

Egalitatea matricei. Două matrice OŞi B se spune că sunt egale dacă au același număr de rânduri și coloane și elementele corespunzătoare sunt egale a ij = b ij. Deci dacă Şi , Asta A=B, Dacă a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21Şi a 22 = b 22.

Transpune. Luați în considerare o matrice arbitrară O din m linii şi n coloane. Poate fi asociat cu următoarea matrice B din n linii şi m coloane, în care fiecare rând este o coloană matrice O cu același număr (deci fiecare coloană este un rând al matricei O cu același număr). Deci dacă , Asta .

Această matrice B numit transpus matrice O, și trecerea de la O La B transpunere.

Astfel, transpunerea este o inversare a rolurilor rândurilor și coloanelor unei matrice. Matrice transpusă în matrice O, de obicei notat A T.

Comunicarea între matrice O iar transpunerea lui poate fi scrisă sub forma .

De exemplu. Găsiți matricea transpusă celei date.

Adăugarea matricei. Lasă matricele OŞi B constau din același număr de rânduri și același număr de coloane, adică au aceleasi marimi. Apoi pentru a adăuga matrice OŞi B necesare pentru elementele matricei O adăugați elemente de matrice B stând în aceleași locuri. Astfel, suma a două matrice OŞi B numită matrice C, care este determinat de regulă, de exemplu,

Exemple. Aflați suma matricelor:

Este ușor de verificat că adunarea matricei respectă următoarele legi: comutativă A+B=B+Ași asociativ ( A+B)+C=O+(B+C).

Înmulțirea unei matrice cu un număr. Pentru a multiplica o matrice O pe număr k fiecare element al matricei este necesar Oînmulțiți cu acest număr. Astfel, produsul matricei O pe număr k există o nouă matrice, care este determinată de regulă sau .

Pentru orice numere oŞi bși matrice OŞi B sunt valabile următoarele egalități:

Exemple.

Înmulțirea matricei. Această operațiune se efectuează conform unei legi speciale. În primul rând, observăm că dimensiunile matricelor factorilor trebuie să fie consistente. Puteți înmulți numai acele matrice în care numărul de coloane din prima matrice coincide cu numărul de rânduri din a doua matrice (adică lungimea primului rând este egală cu înălțimea celei de-a doua coloane). Munca matrici O nu o matrice B numită noua matrice C=AB, ale căror elemente sunt compuse după cum urmează:

Astfel, de exemplu, pentru a obține produsul (adică în matrice C) element situat în rândul 1 și coloana a 3-a de la 13, trebuie să luați primul rând din prima matrice, a treia coloană în a doua, apoi să înmulțiți elementele rândului cu elementele de coloană corespunzătoare și să adăugați produsele rezultate. Și alte elemente ale matricei de produs sunt obținute folosind un produs similar dintre rândurile primei matrice și coloanele celei de-a doua matrice.

În general, dacă înmulțim o matrice A = (a ij) dimensiune m× n la matrice B = (b ij) dimensiune n× p, apoi obținem matricea C dimensiune m× p, ale căror elemente se calculează astfel: element c ij se obţine ca rezultat al produsului elementelor i al-lea rând al matricei O la elementele corespunzătoare j coloana a matricei Bși completările lor.

Din această regulă rezultă că se pot înmulți oricând două matrice pătrate de același ordin și ca rezultat obținem o matrice pătrată de același ordin. În special, o matrice pătrată poate fi întotdeauna înmulțită cu ea însăși, adică pătratul.

Un alt caz important este înmulțirea unei matrice de rând cu o matrice de coloană, iar lățimea primei trebuie să fie egală cu înălțimea celei de-a doua, rezultând o matrice de ordinul întâi (adică un element). într-adevăr,

.

Exemple.

Astfel, aceste exemple simple arată că matricele, în general, nu fac naveta între ele, i.e. A∙B ≠ B∙A . Prin urmare, atunci când înmulțiți matrice, trebuie să monitorizați cu atenție ordinea factorilor.

Se poate verifica că înmulțirea matriceală se supune legilor asociative și distributive, i.e. (AB)C=A(BC)Şi (A+B)C=AC+BC.

De asemenea, este ușor să verificați acest lucru atunci când înmulțiți o matrice pătrată O la matricea identitară E de aceeași ordine obținem din nou o matrice O, și AE=EA=A.

Următorul fapt interesant poate fi remarcat. După cum știți, produsul a 2 numere diferite de zero nu este egal cu 0. Pentru matrice, acesta poate să nu fie cazul, adică. produsul a 2 matrice nenule se poate dovedi a fi egal cu matricea zero.

De exemplu, Dacă , Asta

.

CONCEPTUL DE DETERMINANȚI

Să fie dată o matrice de ordinul doi - o matrice pătrată formată din două rânduri și două coloane .

Determinant de ordinul doi, corespunzător acestei matrice, este numărul obţinut astfel: a 11 la 22 – a 12 la 21.

Determinantul este indicat prin simbol .

Deci, pentru a găsi determinantul de ordinul doi, trebuie să scădeți produsul elementelor de-a lungul celei de-a doua diagonale din produsul elementelor diagonalei principale.

Exemple. Calculați determinanții de ordinul doi.

În mod similar, putem considera o matrice de ordinul trei și determinantul corespunzător.

Determinant de ordinul trei, corespunzătoare unei matrice pătrate date de ordinul trei, este numărul notat și obținut după cum urmează:

.

Astfel, această formulă oferă expansiunea determinantului de ordinul trei în ceea ce privește elementele primului rând un 11, un 12, un 13și reduce calculul determinantului de ordinul trei la calculul determinanților de ordinul doi.

Exemple. Calculați determinantul de ordinul trei.

În mod similar, se pot introduce conceptele de determinanți ai al patrulea, al cincilea etc. ordine, coborându-și ordinea prin extinderea în elementele primului rând, cu semnele „+” și „–” ale termenilor alternând.

Deci, spre deosebire de o matrice, care este un tabel de numere, un determinant este un număr care este atribuit matricei într-un anumit mod.