Teoreme generale privind dinamica unui sistem de corpuri. Teoreme asupra mișcării centrului de masă, asupra schimbării momentului, asupra modificării momentului unghiular principal, asupra schimbării energiei cinetice. Principiile lui D'Alembert și posibilele mișcări. Ecuația generală a dinamicii. Ecuații Lagrange.

Conţinut

Munca făcută de forță, este egal produs scalar vectori de forță și deplasarea infinitezimală a punctului de aplicare a acestuia:
,
adică produsul valorilor absolute ale vectorilor F și ds cu cosinusul unghiului dintre ei.

Munca făcută de momentul forței, este egal cu produsul scalar al vectorilor de cuplu și unghiul infinitezimal de rotație:
.

principiul lui d'Alembert

Esența principiului lui d'Alembert este de a reduce problemele de dinamică la problemele de statică. Pentru a face acest lucru, se presupune (sau se știe dinainte) că corpurile sistemului au anumite accelerații (unghiulare). În continuare, sunt introduse forțe inerțiale și (sau) momente ale forțelor inerțiale, care sunt egale ca mărime și opuse ca direcție forțelor și momentelor forțelor care, conform legilor mecanicii, ar crea accelerații date sau accelerații unghiulare.

Să ne uităm la un exemplu. Corpul suferă mișcare de translație și este acționat de forțe externe. În plus, presupunem că aceste forțe creează o accelerare a centrului de masă al sistemului. Conform teoremei privind mișcarea centrului de masă, centrul de masă al unui corp ar avea aceeași accelerație dacă o forță ar acționa asupra corpului. În continuare introducem forța de inerție:
.
După aceasta, problema de dinamică:
.
;
.

Pentru mișcarea de rotație procedați în același mod. Lăsați corpul să se rotească în jurul axei z și să fie acționat de momentele exterioare de forță M e zk .
.
Presupunem că aceste momente creează o accelerație unghiulară ε z.
;
.

În continuare, introducem momentul forțelor de inerție M И = - J z ε z.

După aceasta, problema de dinamică:

Se transformă într-o problemă de statică:.
Principiul mișcărilor posibile Principiul deplasărilor posibile este utilizat pentru rezolvarea problemelor de statică. În unele probleme, oferă o soluție mai scurtă decât alcătuirea ecuațiilor de echilibru. Acest lucru este valabil mai ales pentru sistemele cu conexiuni (de exemplu, sisteme de corpuri conectate prin fire și blocuri) constând din mai multe corpuri cu conexiuni ideale este necesar și suficient ca suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor active care acționează asupra acesteia pentru orice posibila mutare sistem a fost egal cu zero.

Posibilă mutare a sistemului- aceasta este o mica miscare in care conexiunile impuse sistemului nu sunt intrerupte.

Conexiuni ideale- acestea sunt conexiuni care nu efectuează lucru atunci când sistemul se mișcă. Mai precis, cantitatea de muncă efectuată de conexiunile în sine la mutarea sistemului este zero.

Ecuația generală a dinamicii (principiul D'Alembert - Lagrange)

Principiul D'Alembert-Lagrange este o combinație a principiului D'Alembert cu principiul mișcărilor posibile. Adică, atunci când rezolvăm o problemă dinamică, introducem forțe inerțiale și reducem problema la o problemă statică, pe care o rezolvăm folosind principiul posibilelor deplasări.

Principiul D'Alembert-Lagrange.
Atunci când un sistem mecanic cu conexiuni ideale se mișcă, în fiecare moment de timp, suma lucrărilor elementare a tuturor forțelor active aplicate și a tuturor forțelor inerțiale asupra oricărei mișcări posibile a sistemului este zero:
.
Această ecuație se numește ecuație generală difuzoare.

Ecuații Lagrange

Coordonate q generalizate 1 , q 2 , ..., q n este o mulțime de n mărimi care determină în mod unic poziția sistemului.

Numărul de coordonate generalizate n coincide cu numărul de grade de libertate ale sistemului.

Viteze generalizate sunt derivate ale coordonatelor generalizate în raport cu timpul t.

Forțele generalizate Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Să considerăm o posibilă mișcare a sistemului, la care coordonata q k va primi o mișcare δq k.
Coordonatele rămase rămân neschimbate. Fie δA k munca efectuată de forțele externe în timpul unei astfel de mișcări. Apoi
.

δA k = Q k δq k sau
Dacă, cu o posibilă mișcare a sistemului, toate coordonatele se schimbă, atunci munca efectuată de forțele externe în timpul unei astfel de mișcări are forma: δA = Q.
1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n
.

Atunci forțele generalizate sunt derivate parțiale ale lucrului asupra deplasărilor: Pentru forțele potențiale
.

cu potențial Π, Ecuații Lagrange

sunt ecuațiile de mișcare ale unui sistem mecanic în coordonate generalizate: Aici T - energie cinetică . Este o funcție de coordonate generalizate, viteze și, eventual, timp. Prin urmare, derivata sa parțială este, de asemenea, o funcție de coordonate generalizate, viteze și timp. În continuare, trebuie să țineți cont de faptul că coordonatele și vitezele sunt funcții de timp. Prin urmare, pentru a găsi derivata totală în funcție de timp, trebuie să aplicați regula de diferențiere:
.

functie complexa
Literatura folosita: S. M. Targ, Curs scurt facultate", 2010.

În același mod ca și pentru un punct material, vom deriva o teoremă asupra schimbării impulsului pentru sistem în diferite forme.

Să transformăm ecuația (teorema privind mișcarea centrului de masă al unui sistem mecanic)

după cum urmează:

;

;

Ecuația rezultată exprimă teorema despre modificarea impulsului unui sistem mecanic sub formă diferențială: derivata impulsului unui sistem mecanic în raport cu timpul este egală cu vectorul principal al forțelor externe care acționează asupra sistemului. .

În proiecțiile pe axe de coordonate carteziene:

; ; .

Luând integralele ambelor părți ale ultimelor ecuații în timp, obținem o teoremă despre modificarea impulsului unui sistem mecanic în formă integrală: modificarea impulsului unui sistem mecanic este egală cu impulsul vectorului principal al forțe externe care acționează asupra sistemului .

.

Sau în proiecții pe axe de coordonate carteziene:

; ; .

Corolare din teoremă (legile conservării impulsului)

Legea conservării impulsului se obține ca cazuri speciale ale teoremei privind modificarea impulsului pentru un sistem în funcție de caracteristicile sistemului de forțe externe. Forțele interne pot fi oricare, deoarece nu afectează schimbările de impuls.

Există două cazuri posibile:

1. Dacă suma vectorială a tuturor forțelor externe aplicate sistemului este egală cu zero, atunci cantitatea de mișcare a sistemului este constantă ca mărime și direcție

2. Dacă proiecția vectorului principal al forțelor externe pe orice axă de coordonate și/sau și/sau este egală cu zero, atunci proiecția impulsului pe aceleași axe este o valoare constantă, i.e. și/sau și/sau respectiv.

Se pot face intrări similare pentru un punct material și pentru un punct material.

Stare problematica. De la un pistol a cărui masă M, un proiectil de masă zboară în direcție orizontală mîn viteză v. Găsiți viteza V pistoale după tragere.

Soluţie. Toate forțele externe care acționează asupra sistemului mecanic armă-proiectil sunt verticale. Aceasta înseamnă că, pe baza corolarului teoremei privind modificarea impulsului sistemului, avem: .

Cantitatea de mișcare a sistemului mecanic înainte de tragere:

Cantitatea de mișcare a sistemului mecanic după lovitură:

.

Echivalând părțile din dreapta ale expresiilor, obținem că

.

Semnul „-” din formula rezultată indică faptul că, după tragere, pistolul se va întoarce înapoi în direcția opusă axei Bou.

EXEMPLU 2. Un curent de lichid cu densitate curge cu viteza V dintr-o conductă cu aria secțiunii transversale F și lovește un perete vertical în unghi. Determinați presiunea fluidului pe perete.

SOLUŢIE. Să aplicăm teorema privind modificarea impulsului în formă integrală unui volum de lichid cu o masă m lovind un perete într-o perioadă de timp t.

ECUAȚIA MESHCHERSKY

(ecuația de bază a dinamicii unui corp de masă variabilă)

În tehnologia modernă, apar cazuri când masa unui punct și a unui sistem nu rămâne constantă în timpul mișcării, ci se modifică. Deci, de exemplu, în timpul zborului rachetelor spațiale, din cauza ejectării produselor de combustie și a părților individuale inutile ale rachetelor, modificarea masei ajunge la 90-95% din totalul valoarea initiala. Dar nu numai tehnologia spațială poate fi un exemplu de dinamică a mișcării masei variabile. În industria textilă, există schimbări semnificative în masa diferitelor fusuri, bobine și role la viteze moderne de funcționare ale mașinilor și mașinilor.

Să luăm în considerare principalele caracteristici asociate cu modificările de masă, folosind exemplul mișcării de translație a unui corp de masă variabilă. Legea de bază a dinamicii nu poate fi aplicată direct unui corp de masă variabilă. Prin urmare, obținem ecuații diferențiale ale mișcării unui punct de masă variabilă, aplicând teorema privind modificarea impulsului sistemului.

Lăsați punctul să aibă masă m+dm se mișcă cu viteză. Apoi o anumită particulă cu o masă este separată de punct dm deplasându-se cu viteză.

Cantitatea de mișcare a corpului înainte ca particula să se desprindă:

Cantitatea de mișcare a unui sistem format dintr-un corp și o particulă detașată după separarea acestuia:

Apoi schimbarea impulsului:

Pe baza teoremei despre modificarea impulsului sistemului:

Să notăm cantitatea - viteza relativa particule:

Să notăm

Dimensiune R numită forță reactivă. Forța reactivă este forța motorului cauzată de ejectarea gazului din duză.

În sfârșit, obținem

-

Această formulă exprimă ecuaţia de bază a dinamicii unui corp de masă variabilă (formula Meshchersky). Din ultima formulă rezultă că ecuațiile diferențiale ale mișcării unui punct de masă variabilă au aceeași formă ca și pentru un punct de masă constantă, cu excepția forței reactive suplimentare aplicate punctului datorită modificării masei.

Ecuația de bază pentru dinamica unui corp de masă variabilă indică faptul că accelerația acestui corp se formează nu numai din cauza forțelor externe, ci și datorită forței reactive.

Forța reactivă este o forță asemănătoare cu cea resimțită de persoana care împușcă - atunci când trage din pistol, se simte cu mâna; Când trageți de la o pușcă, este perceput de umăr.

Prima formulă a lui Ciolkovski (pentru o rachetă cu o singură etapă)

Lasă un punct de masă variabilă sau o rachetă să se miște în linie dreaptă sub influența unei singure forțe reactive. Deoarece pentru multe motoare cu reacție moderne, unde este forța reactivă maximă (împingerea motorului) permisă de proiectarea motorului; - forta gravitatiei care actioneaza asupra motorului situat pe suprafata pamantului. Aceste. cele de mai sus ne permit să neglijăm componenta din ecuația Meshchersky și să acceptăm această ecuație sub forma pentru analiză ulterioară: ,

Să notăm:

Rezervă de combustibil (pentru motoarele cu reacție lichidă - masa uscată a rachetei (masa rămasă după arderea întregului combustibil);

Masa de particule separate de rachetă; este considerată o valoare variabilă, variind de la până la .

Să scriem ecuația mișcare rectilinie puncte de masă variabilă sub următoarea formă:

Deoarece formula pentru determinarea masei variabile a unei rachete este

Prin urmare, ecuațiile de mișcare ale unui punct Luând integralele ambelor părți obținem

Unde - viteza caracteristica- aceasta este viteza pe care o dobândește o rachetă sub influența împingerii după ce toate particulele au erupt din rachetă (pentru motoarele cu reacție lichidă - după ce tot combustibilul s-a ars).

Plasat în afara semnului integral (ceea ce se poate face pe baza cunoscutului matematica superioara teorema valorii medii) este viteza medie a particulelor aruncate dintr-o rachetă.

Cantitatea de mișcare a unui punct material numită mărime vectorială mV, egal cu produsul dintre masa unui punct și vectorul său viteză. Vector mV aplicat unui punct în mișcare.

Cantitatea de mișcare a sistemului numită mărime vectorială Q, egală cu suma geometrică (vectorul principal) a mărimilor de mișcare ale tuturor punctelor sistemului:

Vector Q este un vector liber. În sistemul SI de unități, modulul de impuls este măsurat în kg m/s sau N s.

De regulă, vitezele tuturor punctelor sistemului sunt diferite (a se vedea, de exemplu, distribuția vitezelor punctelor unei roți care rulează, prezentată în Fig. 6.21) și, prin urmare, suma directă a vectorilor din partea dreaptă a egalității (17.2) este dificil. Să găsim o formulă cu ajutorul căreia cantitatea Q mult mai usor de calculat. Din egalitate (16.4) rezultă că

Luând derivata în timp a ambelor părți, obținem Prin urmare, luând în considerare egalitatea (17.2), constatăm că

adică impulsul sistemului este egal cu produsul dintre masa întregului sistem și viteza centrului său de masă.

Rețineți că vectorul Q, ca și vectorul principal al forțelor în statică, este un vector generalizat caracteristic mișcării întregului sistem mecanic. În cazul general al mișcării unui sistem, impulsul său este Q poate fi considerată ca o caracteristică a părții de translație a mișcării sistemului împreună cu centrul său de masă. Dacă, atunci când sistemul (corpul) se mișcă, centrul de masă este staționar, atunci cantitatea de mișcare a sistemului va fi egală cu zero. Acesta este, de exemplu, impulsul unui corp care se rotește în jur axă fixă trecând prin centrul său de masă.

Exemplu. Determinați cantitatea de mișcare a sistemului mecanic (Fig. 17.1, O), constând din marfă O masa t A - 2 kg, bloc omogen ÎN cântărind 1 kg și roți D masa m D - 4 kg. Marfă O se mișcă cu viteză V A - 2 m/s, roată D se rulează fără alunecare, firul este inextensibil și fără greutate. Soluţie. Cantitatea de mișcare a unui sistem de corpuri

Corp O merge înainte și Q A =m A V A(numeric Q A= 4 kg m/s, direcție vectorială Q A coincide cu directia V A). Bloc ÎN comite mișcare de rotațieîn jurul unei axe fixe care trece prin centrul său de masă; prin urmare, QB- 0. Roata D face un plan-paralel

circulaţie; centrul său de viteză instantanee este în punctul respectiv LA, deci viteza centrului său de masă (punctul E) egal cu V E = V A /2= 1 m/s. Cantitatea de mișcare a roții Q D - m D V E - 4 kg m/s; vector Q Dîndreptată orizontal spre stânga.

Prin reprezentarea vectorilor Q AŞi Q Dîn fig. 17.1, b, aflați cantitatea de mișcare Q sisteme conform formulei (a). Având în vedere direcţiile şi valori numerice cantități, obținem Q ~^Q A +Q E=4l/2~ kg m/s, directie vectoriala Q prezentat în Fig. 17.1, b.

Având în vedere că a -dV/dt, ecuația (13.4) a legii de bază a dinamicii poate fi reprezentată ca

Ecuația (17.4) exprimă teorema despre modificarea impulsului unui punct în formă diferențială: în fiecare moment de timp, derivata în timp a impulsului unui punct este egală cu forța care acționează asupra punctului. (În esență, aceasta este o altă formulare a legii fundamentale a dinamicii, apropiată de cea dată de Newton.) Dacă asupra unui punct acționează mai multe forțe, atunci în partea dreaptă a egalității (17.4) va exista o rezultanta a forțelor aplicate la punctul material.

Dacă ambele părți ale egalității sunt înmulțite cu dt, atunci primim

Mărimea vectorială din partea dreaptă a acestei egalități caracterizează acțiunea exercitată asupra corpului de o forță într-o perioadă elementară de timp dt se notează această valoare dS si suna impuls elementar de forță, adică

Puls S rezistenţă F pentru o perioadă finită de timp /, - / 0 este definită ca limita sumei integrale a impulsurilor elementare corespunzătoare, i.e.

În cazul special, dacă forţa F este constantă ca mărime și direcție, atunci S = F(t| -/ 0) și S- F(t l -/ 0). În cazul general, mărimea impulsului de forță poate fi calculată din proiecțiile sale pe axele de coordonate:

Acum, integrând ambele părți ale egalității (17.5) cu T= const, obținem

Ecuația (17.9) exprimă teorema despre modificarea impulsului unui punct în formă finită (integrală): modificarea impulsului unui punct într-o anumită perioadă de timp este egală cu impulsul forței care acționează asupra punctului (sau impulsul rezultantei tuturor forțelor aplicate acestuia) în aceeași perioadă de timp.

Când rezolvați probleme, utilizați ecuațiile acestei teoreme în proiecții pe axele de coordonate

Acum luați în considerare un sistem mecanic format din n puncte materiale. Apoi pentru fiecare punct putem aplica teorema privind modificarea impulsului în forma (17.4), ținând cont de forțele externe și interne aplicate punctelor:

Însumând aceste egalități și ținând cont că suma derivatelor este egală cu derivata sumei, obținem

Deoarece prin natura forţelor interne HFk=0 și prin definiția impulsului ^fn k V/ c = Q, apoi găsim în sfârșit

Ecuația (17.11) exprimă teorema despre modificarea impulsului sistemului în formă diferențială: în fiecare moment de timp, derivata în timp a impulsului sistemului este egală cu suma geometrică a tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului.

Proiectând egalitatea (17.11) pe axele de coordonate, obținem

Înmulțirea ambelor părți (17.11) cu dtși integrând, obținem

unde 0, Q 0 - cantitatea de mișcare a sistemului în momente de timp și respectiv / 0.

Ecuația (17.13) exprimă teorema despre modificarea impulsului sistemului în formă integrală: modificarea impulsului sistemului în orice moment este egală cu suma impulsurilor tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului în același timp.

În proiecțiile pe axele de coordonate obținem

Din teorema privind modificarea impulsului unui sistem, putem obține următoarele: consecințe importante, care exprimă legea conservării impulsului unui sistem.

• 1. Dacă suma geometrică a tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului este zero (LF k=0), apoi din ecuația (17.11) rezultă că în acest caz Q= const, adică vectorul impuls al sistemului va fi constant în mărime și direcție.
• 2. Dacă forțele externe care acționează asupra sistemului sunt astfel încât suma proiecțiilor lor pe orice axă este zero (de exemplu, I e kx = 0), apoi din ecuațiile (17.12) rezultă că în acest caz Q x = const, adică proiecția impulsului sistemului pe această axă rămâne neschimbată.

Rețineți că forțele interne ale sistemului nu participă la ecuația teoremei privind modificarea impulsului sistemului. Aceste forțe, deși influențează impulsul punctelor individuale ale sistemului, nu pot schimba impulsul sistemului în ansamblu. Ținând cont de această împrejurare, la rezolvarea problemelor, este indicat să alegeți sistemul luat în considerare în așa fel încât forțele necunoscute (toate sau parțial) să fie interne.

Legea conservării impulsului este convenabil de aplicat în cazurile în care, prin modificarea vitezei unei părți a sistemului, este necesar să se determine viteza celeilalte părți a acestuia.

Problema 17.1. LA cântărirea cărucioarelor t x- 12 kg deplasându-se de-a lungul unui plan orizontal neted într-un punct O o tijă fără greutate este atașată folosind o balama cilindrică AD lungime /= 0,6 m cu sarcina D masa t 2 - 6 kg la capăt (Fig. 17.2). La timp / 0 = 0, când viteza căruciorului Și () - 0,5 m/s, tijă ADîncepe să se rotească în jurul unei axe O, perpendicular pe plan desen, conform legii f = (tg/6)(3^2 - 1) rad (/-in secunde). Defini: u=f.

§ 17.3. Teorema asupra mișcării centrului de masă

Teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic poate fi exprimată sub o altă formă, numită teorema asupra mișcării centrului de masă.

Substituind în ecuația (17.11) egalitatea Q =MV C, primim

Dacă masa M sistemul este constant, obținem

Unde si cu - accelerarea centrului de masă al sistemului.

Ecuația (17.15) exprimă teorema privind mișcarea centrului de masă al sistemului: produsul dintre masa unui sistem și accelerația centrului său de masă este egal cu suma geometrică a tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului.

Proiectând egalitatea (17.15) pe axele de coordonate, obținem

Unde x c , y c , z c - coordonatele centrului de masă al sistemului.

Aceste ecuații sunt ecuații diferențiale ale mișcării centrului de masă în proiecții pe axele sistemului de coordonate carteziene.

Să discutăm despre rezultatele obținute. Să ne amintim mai întâi că centrul de masă al sistemului este punct geometric, uneori situat în afara limitelor geometrice ale corpului. Forțele care acționează asupra sistemului mecanic (extern și intern) sunt aplicate tuturor punctelor materiale ale sistemului. Ecuațiile (17.15) fac posibilă determinarea mișcării centrului de masă al sistemului fără a determina mișcarea punctelor sale individuale. Comparând ecuațiile (17.15) ale teoremei privind mișcarea centrului de masă și ecuațiile (13.5) ale celei de-a doua legi a lui Newton pentru un punct material, ajungem la concluzia: centrul de masă al unui sistem mecanic se mișcă ca un punct material, a cărui masă este egală cu masa întregului sistem și ca și cum toate forțele externe care acționează asupra sistemului ar fi aplicate în acest punct. Astfel, soluțiile pe care le obținem considerând acest corp ca punct material, determinați legea de mișcare a centrului de masă al acestui corp.

În special, dacă un corp se mișcă translațional, atunci caracteristicile cinematice ale tuturor punctelor corpului și ale centrului său de masă sunt aceleași. De aceea un corp în mișcare translațională poate fi întotdeauna considerat ca un punct material cu o masă egală cu masa întregului corp.

După cum se poate observa din (17.15), forțele interne care acționează asupra punctelor sistemului nu afectează mișcarea centrului de masă al sistemului. Forțele interne pot influența mișcarea centrului de masă în cazurile în care forțele externe se modifică sub influența lor. Exemple în acest sens vor fi date mai jos.

Din teorema privind mișcarea centrului de masă se pot obține următoarele consecințe importante, care exprimă legea conservării mișcării centrului de masă al sistemului.

1. Dacă suma geometrică a tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului este zero (LF k=0), apoi din ecuația (17.15) rezultă,

ce zici de asta a c = 0 sau V c = const, adică centrul de masă al acestui sistem

se deplasează cu o viteză constantă ca mărime și direcție (cu alte cuvinte, uniform și rectiliniu). Într-un caz particular, dacă la început centrul de masă a fost în repaus ( Vc=0), atunci va rămâne în repaus; unde

urmări Știți că poziția sa în spațiu nu se va schimba, adică. r c = const.

2. Dacă forțele externe care acționează asupra sistemului sunt de așa natură încât suma proiecțiilor lor pe o anumită axă (de exemplu, axa X) egal cu zero (?F e kx= 0), apoi din ecuația (17.16) rezultă că în acest caz x s=0 sau V Cx =x c = const, adică proiecția vitezei centrului de masă al sistemului pe această axă este o valoare constantă. În cazul special, dacă în momentul inițial Vex= 0, atunci în orice moment ulterior această valoare va rămâne aceeași și rezultă că coordonatele x s centrul de masă al sistemului nu se va schimba, adică x c - const.

Să luăm în considerare exemple care ilustrează legea mișcării centrului de masă.

Exemple. 1. După cum s-a menționat, mișcarea centrului de masă depinde numai de forțele externe, forțele interne nu pot schimba poziția centrului de masă. Dar forțele interne ale sistemului pot provoca influențe externe. Astfel, mișcarea unei persoane pe o suprafață orizontală are loc sub influența forțelor de frecare dintre tălpile pantofilor și suprafața drumului. Cu puterea mușchilor săi (forțe interne), o persoană împinge de pe suprafața drumului cu picioarele, motiv pentru care o forță de frecare (externă persoanei) ia naștere în punctele de contact cu drumul, îndreptată în direcția sa. circulaţie.

• 2. Mașina se mișcă într-un mod similar. Forțele interne de presiune din motorul său forțează roțile să se rotească, dar deoarece acestea din urmă au tracțiune cu drumul, forțele de frecare rezultate „împing” mașina înainte (ca urmare, roțile nu se rotesc, ci se mișcă plan-paralel) . Dacă drumul este absolut neted, atunci centrul de masă al mașinii va fi staționar (la zero viteza initiala) iar roțile, în absența frecării, vor aluneca, adică vor efectua o mișcare de rotație.
• 3. Mișcarea cu ajutorul unei elice, elice sau vâsle are loc din cauza respingerii unei anumite mase de aer (sau apă). Dacă considerăm masa aruncată și corpul în mișcare ca un sistem, atunci forțele de interacțiune dintre ele, ca fiind interne, nu pot modifica cantitatea totală de mișcare a acestui sistem. Cu toate acestea, fiecare parte a acestui sistem va deplasa, de exemplu, barca înainte și apa pe care vâslele o aruncă înapoi.
• 4. În spațiul fără aer, când o rachetă se mișcă, „masa aruncată” ar trebui „luată cu tine”: motor cu reacție conferă mișcare rachetei prin aruncarea înapoi a produselor de ardere a combustibilului cu care este umplută racheta.
• 5. Când coborâți cu parașuta, puteți controla mișcarea centrului de masă al sistemului om-parașuta. Dacă, prin eforturi musculare, o persoană strânge liniile parașutei astfel încât forma baldachinului său sau unghiul de atac al fluxului de aer să se schimbe, atunci aceasta va provoca o modificare a influenței externe a fluxului de aer și, prin urmare, va influența mișcarea. a întregului sistem.

Problema 17.2. ÎN problema 17.1 (vezi Fig. 17.2) determinați: 1) legea mișcării căruciorului X (= /)(/), dacă se știe că la momentul inițial al timpului t 0 = O sistemul era în repaus și coordonata x 10 = 0; 2) legea modificării în timp a valorii totale a reacției normale N(N = N" + N") plan orizontal, adică N=f2 (t).

Soluţie. Aici, ca și în problema 17.1, considerăm un sistem format dintr-un cărucior și o încărcătură D,într-o poziţie arbitrară sub acţiunea forţelor externe aplicate acestuia (vezi Fig. 17.2). Axele de coordonate Ohoo trageți-l astfel încât axa x să fie orizontală, iar axa la a trecut prin punct A 0, adică locația punctului O la un moment dat t-t 0 - 0.

1. Determinarea legii de mișcare a căruciorului. Pentru a determina x, = /,(0, folosim teorema asupra mișcării centrului de masă al sistemului. Să compunem ecuație diferențială mișcările sale în proiecție pe axa x:

Deoarece toate forțele externe sunt verticale, atunci T,F e kx = 0 și, prin urmare

Integrând această ecuație, constatăm că Mx c = B, adică proiecția vitezei centrului de masă al sistemului pe axa x este o valoare constantă. Din moment ce în momentul inițial al timpului

Integrarea Eq. Mx s= 0, obținem

adică coordonate x s centrul de masă al sistemului este constant.

Să notăm expresia Mx s pentru o poziție arbitrară a sistemului (vezi Fig. 17.2), ținând cont de faptul că x A - x { , x D - x 2Şi x 2 - x ( - eu păcat f. În conformitate cu formula (16.5), care determină coordonatele centrului de masă al sistemului, în în acest caz, Mx s - t ( x ( + t 2 x 2".

pentru un moment arbitrar

pentru momentul de timp / () = 0, X (= 0 și

În conformitate cu egalitatea (b), coordonatele x s centrul de masă al întregului sistem rămâne neschimbat, adică xD^,) = xc(t).În consecință, echivalând expresiile (c) și (d), obținem dependența coordonatei x de timp.

Răspuns: X - 0,2 m, unde t-în secunde.

2. Definiția reacției N. Pentru a determina N=f2 (t) să creăm o ecuație diferențială de mișcare a centrului de masă al sistemului în proiecție pe axa verticală la(vezi Fig. 17.2):

Prin urmare, denotând N=N+N", primim

După formula care determină ordonata y s centrul de masă al sistemului, Mu s = t ( y x + t 2 y 2, unde y, = la C1,la 2= y D = UO ~ 1 pentru că Ф" primim

Diferențierea acestei egalități de două ori în timp (ținând cont de faptul că la C1Şi la A mărimile sunt constante și, prin urmare, derivatele lor sunt egale cu zero), aflăm

Înlocuind această expresie în ecuația (e), determinăm dependența dorită N din t.

Răspuns: N- 176,4 + 1,13,

unde f = (i/6)(3/-1), t- in secunde, N- în newtoni.

Problema 17.3. Greutatea motorului electric t x atașat de suprafața orizontală a fundației cu șuruburi (Fig. 17.3). O tijă fără greutate de lungime l este fixată la un capăt de arborele motorului în unghi drept față de axa de rotație, iar la celălalt capăt al tijei este montată o greutate punctuală. O masa t 2. Arborele se rotește uniform cu viteza unghiulara co. Găsiți presiunea orizontală a motorului pe șuruburi. Soluţie. Luați în considerare un sistem mecanic format dintr-un motor și o greutate punctuală O, în orice poziție. Să descriem forțele externe care acționează asupra sistemului: gravitația Rx, R2, reacția fundației sub formă de forță verticală N și forța orizontală R. Să desenăm axa x pe orizontală.

Pentru a determina presiunea orizontală a motorului pe șuruburi (și va fi numeric egală cu reacția R și îndreptată opus vectorului R ), vom compune ecuația teoremei privind modificarea impulsului sistemului în proiecție pe axa x orizontală:

Pentru sistemul luat în considerare în poziția sa arbitrară, ținând cont de faptul că cantitatea de mișcare a corpului motorului este zero, obținem Qx = - t 2 U A soc. Ținând cont de faptul că V A = a z/, f = co/ (rotația motorului este uniformă), obținem Q x - - m 2 co/cos co/. Diferențierea Qx în timp și substituind în egalitate (a), găsim R- m 2 co 2 /sin co/.

Rețineți că tocmai aceste forțe forțează (vezi § 14.3 când acţionează, apar vibraţii forţate ale structurilor).

Exerciții pentru munca independentă

• 1. Ce se numește impulsul unui punct și al unui sistem mecanic?
• 2. Cum se modifică impulsul unui punct care se mișcă uniform în jurul unui cerc?
• 3. Ce caracterizează un impuls de forță?
• 4. Forțele interne ale unui sistem afectează impulsul acestuia? Despre mișcarea centrului său de masă?
• 5. Cum afectează cuplurile de forțe aplicate acestuia mișcarea centrului de masă al sistemului?
• 6. În ce condiții se află centrul de masă al sistemului în repaus? se mișcă uniform și în linie dreaptă?

7. Într-o barcă staționară, fără curgere de apă, un adult stă la pupa, iar un copil stă la prova bărcii. În ce direcție se va mișca barca dacă își schimbă locul?

În ce caz modulul de mișcare al bărcii va fi mare: 1) dacă copilul se deplasează la pupa adultului; 2) dacă un adult merge la copil la prova bărcii? Care va fi deplasarea centrului de masă al sistemului „barcă și doi oameni” în timpul acestor mișcări?

(Fragmente dintr-o simfonie matematică)

Legătura dintre impulsul forței și ecuația de bază a dinamicii newtoniene este exprimată prin teorema privind modificarea impulsului unui punct material.

Teorema. Modificarea impulsului unui punct material într-o anumită perioadă de timp este egală cu impulsul forței () care acționează asupra punctului material în aceeași perioadă de timp. Dovada matematică a acestei teoreme poate fi numită un fragment dintr-o simfonie matematică. Iată-l.

Momentul diferenţial al unui punct material este egal cu impulsul elementar al forţei care acţionează asupra punctului material. Integrând expresia (128) pentru impulsul diferenţial al unui punct material, avem

(129)

Teorema a fost dovedită și matematicienii își consideră misiunea încheiată, dar inginerii, al căror destin este să creadă cu sfințenie în matematicieni, au întrebări atunci când folosesc ecuația dovedită (129). Dar ele sunt ferm blocate de succesiunea și frumusețea operațiilor matematice (128 și 129), care ne fascinează și ne încurajează să le numim fragmente dintr-o simfonie matematică. Câte generații de ingineri au fost de acord cu matematicienii și au fost uimiți de misterul simbolurilor lor matematice! Dar apoi a fost un inginer care nu a fost de acord cu matematicienii și le-a pus întrebări.

Dragi matematicieni! De ce în niciunul din manualele tale mecanică teoretică nu este luat în considerare procesul de aplicare a rezultatului simfonic (129) în practică, de exemplu, atunci când descrieți procesul de accelerare a unei mașini? Partea stângă a ecuației (129) este foarte clară. Mașina pornește accelerația din viteză și o termină, de exemplu, la viteză. Este destul de firesc ca ecuația (129) să devină

Și prima întrebare apare imediat: cum putem determina din ecuația (130) forța sub influența căreia mașina este accelerată la o viteză de 10 m/s? Răspunsul la această întrebare nu se găsește în niciunul dintre nenumăratele manuale de mecanică teoretică. Să mergem mai departe. După accelerare, mașina începe să se miște uniform cu o viteză de 10 m/s. Ce forta misca masina???????????? Nu am de ales decât să roșesc împreună cu matematicienii. Prima lege a dinamicii newtoniene spune că atunci când o mașină se mișcă uniform, nu acționează asupra ei nicio forță, iar mașina, la figurat vorbind, strănută la această lege, consumă benzină și funcționează, deplasându-se, de exemplu, pe o distanță de 100 km. Unde este forța care a făcut munca pentru a muta mașina 100 km? Ecuația matematică simfonică (130) este tăcută, dar viața continuă și cere un răspuns. Începem să-l căutăm.

Deoarece mașina se mișcă rectiliniu și uniform, forța care o mișcă este constantă ca mărime și direcție, iar ecuația (130) devine

(131)

Deci, ecuația (131) în acest caz descrie mișcarea accelerată a corpului. Cu ce ​​este egală forța? Cum să-și exprime schimbarea în timp? Matematicienii preferă să ocolească această întrebare și să o lase pe seama inginerilor, crezând că trebuie să caute răspunsul la această întrebare. Inginerilor le mai rămâne o singură opțiune - să țină cont de faptul că, dacă, după finalizarea mișcării accelerate a unui corp, începe o fază de mișcare uniformă, care este însoțită de acțiunea unei forțe constante, prezentăm ecuația (131) pentru momentul de trecerea de la accelerat la mișcare uniformăîn această formă

(132)

Săgeata din această ecuație nu înseamnă rezultatul integrării acestei ecuații, ci procesul de trecere de la forma sa integrală la o formă simplificată. Forța din această ecuație este echivalentă cu forța medie care a schimbat impulsul corpului de la zero la o valoare finală. Așadar, dragi matematicieni și fizicieni teoreticieni, absența metodei voastre pentru determinarea mărimii impulsului vostru ne obligă să simplificăm procedura de determinare a forței, iar absența unei metode pentru determinarea timpului de acțiune a acestei forțe ne pune în general într-un poziție fără speranță și suntem forțați să folosim o expresie pentru a analiza procesul de schimbare a impulsului unui corp. Rezultatul este că, cu cât forța acționează mai mult, cu atât impulsul ei este mai mare. Acest lucru contrazice în mod clar ideea de lungă durată că, cu cât durata acțiunii sale este mai scurtă, cu atât impulsul de forță este mai mare.

Să atragem atenția asupra faptului că modificarea impulsului unui punct material (impuls de forță) în timpul mișcării sale accelerate are loc sub acțiunea forței newtoniene și a forțelor de rezistență la mișcare, sub forma unor forțe generate de rezistențele mecanice și forța de inerție. Dar dinamica newtoniană în marea majoritate a problemelor ignoră forța de inerție, iar Mecanodinamica afirmă că o modificare a impulsului unui corp în timpul mișcării sale accelerate are loc din cauza excesului forței newtoniene asupra forțelor de rezistență la mișcare, inclusiv forta de inertie.

Când un corp se mișcă cu mișcare lentă, de exemplu, o mașină cu treapta de viteză oprită, nu există nicio forță newtoniană, iar schimbarea impulsului mașinii are loc datorită excesului de forțe de rezistență la mișcare față de forța inerțială care se mișcă. mașina când se mișcă încet.

Cum putem aduce acum rezultatele acțiunilor matematice „simfonice” notate (128) la curentul principal al relațiilor cauză-efect? Există o singură cale de ieșire - găsirea unei noi definiții a conceptelor „impuls de forță” și „forță de impact”. Pentru a face acest lucru, împărțiți ambele părți ale ecuației (132) la timpul t. Ca urmare vom avea

. (133)

Să acordăm atenție faptului că expresia mV/t este rata de schimbare a impulsului (mV/t) a unui punct sau corp material. Dacă luăm în considerare că V/t este accelerație, atunci mV/t este forța care modifică cantitatea de mișcare a corpului. Aceeași dimensiune din stânga și din dreapta semnului egal ne dă dreptul de a numi forța F forta de impactși notează-l prin simbol, iar impulsul S - prin pulsul de șoc și notează-l prin simbol. Aceasta conduce la o nouă definiție a forței de impact. Forța de impact care acționează asupra unui punct sau corp material este egală cu raportul dintre modificarea impulsului punctului sau corpului material și momentul acestei schimbări.

Să acordăm o atenție deosebită faptului că numai forța newtoniană participă la formarea impulsului de șoc (134), care a schimbat viteza mașinii de la valoare zero la maxim - , prin urmare ecuația (134) aparține în întregime dinamicii newtoniene. Deoarece este mult mai ușor să determinați mărimea vitezei experimental decât să determinați accelerația, formula (134) este foarte convenabilă pentru calcule.

Acest rezultat neobișnuit rezultă din ecuația (134).

Să acordăm atenție faptului că, conform noilor legi ale mecanodinamicii, generatorul impulsului de forță în timpul mișcării accelerate a unui punct sau corp material este forța newtoniană. Formează accelerația mișcării unui punct sau a unui corp, la care se naște automat o forță inerțială, îndreptată opus forței newtoniene și impactului forța newtoniană trebuie să învingă acțiunea forței inerțiale, prin urmare forța inerțială trebuie reprezentată în echilibrul de forțe pe partea stângă a ecuației (134). Deoarece forța de inerție este egală cu masa punctului sau corpului înmulțită cu decelerația pe care o formează, atunci ecuația (134) devine

(136)

Dragi matematicieni! Vezi ce formă a luat model matematic, descriind impulsul de șoc, care accelerează mișcarea corpului impactat de la viteza zero la V maximă (11). Acum să verificăm funcționarea acestuia în determinarea impulsului de impact, care este egal cu forța de impact care a declanșat a doua unitate de putere a SShG (Fig. 120), și vă vom lăsa cu ecuația dvs. inutilă (132). Pentru a nu complica prezentarea, vom lăsa formula (134) în pace deocamdată și vom folosi formule care dau valori medii ale forțelor. Vezi în ce poziție ai pus un inginer care încearcă să rezolve o anumită problemă.

Să începem cu dinamica newtoniană. Experții au descoperit că a doua unitate de putere s-a ridicat la o înălțime de 14 m. Deoarece s-a ridicat în câmpul gravitațional, la o înălțime de h = 14 m energia sa potențială s-a dovedit a fi egală cu

iar energia cinetică medie a fost egală cu

Orez. 120. Fotografie cu camera turbinelor înainte de dezastru

Din egalitatea energiilor cinetice (138) și potențiale (137), urmează rata medie de creștere a unității de putere (Fig. 121, 122)

Orez. 121. Fotonul camerei turbinelor după dezastru

Conform noilor legi ale mecanodinamicii, creșterea unității de putere a constat din două faze (Fig. 123): prima fază OA - creștere accelerată și a doua fază AB - creștere lentă , , .

Timpul și distanța acțiunii lor sunt aproximativ egale (). Apoi ecuația cinematică a fazei accelerate de ridicare a unității de putere se va scrie după cum urmează:

. (140)

Orez. 122. Vedere a puțului unității de alimentare și a unității de alimentare în sine după dezastru

Legea schimbării ratei de creștere a unității de putere în prima fază are forma

. (141)

Orez. 123. Regularitatea modificărilor vitezei de zbor V a unei unități de putere

Înlocuind timpul din ecuația (140) în ecuația (141), avem

. (142)

Timpul de ridicare a blocului în prima fază este determinat din formula (140)

. (143)

Apoi, timpul total pentru ridicarea unității de putere la o înălțime de 14 m va fi egal cu . Masa unității de putere și a capacului este de 2580 de tone. Conform dinamicii newtoniene, forța care a ridicat unitatea de putere este egală cu

Dragi matematicieni! Urmărim rezultatele matematice simfonice și scriem formula (129), urmând din dinamica newtoniană, pentru a determina pulsul de șoc care a declanșat a doua unitate de putere

și puneți o întrebare de bază: cum să determinați durata pulsului de șoc care a declanșat a 2-a unitate de putere????????????

draga!!! Amintiți-vă câtă cretă a fost scrisă pe tablă de generații de colegi, învățându-i pe elevi în mod abstru cum să determine impulsul de șoc și nimeni nu a explicat cum să determine durata impulsului de șoc în fiecare caz specific. Veți spune că durata impulsului de șoc este egală cu intervalul de timp al schimbării vitezei unității de putere de la zero la, vom presupune, valoarea maxima 16,75 m/s (139). Este în formula (143) și este egal cu 0,84 s. Deocamdată suntem de acord cu dumneavoastră și determinăm valoarea medie a impulsului de șoc

Apare imediat întrebarea: de ce magnitudinea impulsului de șoc (146) este mai mică decât forța newtoniană de 50600 de tone? Voi, dragi matematicieni, nu aveți niciun răspuns. Să mergem mai departe.

Conform dinamicii newtoniene, principala forță care a rezistat ascensiunii unității de putere a fost gravitația. Deoarece această forță este îndreptată împotriva mișcării unității de putere, ea generează decelerație, care este egală cu accelerația cădere liberă. Apoi, forța gravitațională care acționează asupra unității de putere care zboară în sus este egală cu

Dinamica lui Newton nu ține cont de alte forțe care au împiedicat acțiunea forței newtoniene de 50.600 de tone (144), iar mecanodinamica afirmă că ridicarea unității de putere a fost rezistată și de o forță inerțială egală cu

Apare imediat întrebarea: cum să găsiți cantitatea de decelerație în mișcarea unității de putere? Dinamica newtoniană este tăcută, dar mecanodinamica răspunde: în momentul acțiunii forței newtoniene, care a ridicat unitatea de putere, i-au rezistat: forța de gravitație și forța de inerție, deci ecuația forțelor care acționează asupra puterii. unitate în acel moment se scrie după cum urmează.

Lasă un punct material să se miște sub influența forței F. Este necesar să se determine mișcarea acestui punct în raport cu sistemul de mișcare Oxyz (vezi mișcarea complexă a unui punct material), care se mișcă într-un mod cunoscut în raport cu un sistem staționar 1 O 1 x 1 y 1 .

z

Ecuația de bază a dinamicii într-un sistem staționar Să-l notăm accelerație absolută

puncte conform teoremei Coriolis Unde o abs

Unde – accelerație absolută; rel

Unde – accelerație relativă; BANDĂ

Unde – accelerație portabilă; miez

– Accelerația Coriolis.

Să rescriem (25) ținând cont de (26)
Să introducem notația
- forță de inerție portabilă,

- Forța de inerție Coriolis. Atunci ecuația (27) ia forma

Ecuația de bază a dinamicii pentru studierea mișcării relative (28) este scrisă în același mod ca și pentru mișcarea absolută, la forțele care acționează asupra unui punct trebuie adăugate doar forțele de transfer și Coriolis de inerție.

Teoreme generale asupra dinamicii unui punct material

Când rezolvați multe probleme, puteți utiliza spații prefabricate obținute pe baza celei de-a doua legi a lui Newton. Astfel de metode de rezolvare a problemelor sunt combinate în această secțiune.

Teorema privind modificarea impulsului unui punct material

1. Să introducem următoarele caracteristici dinamice: Momentul unui punct material

. (29)

– mărime vectorială egală cu produsul dintre masa unui punct și vectorul său viteză

2. Impulsul de forță Impulsul elementar de forță

(30).

– mărime vectorială egală cu produsul vectorului forță și un interval de timp elementar Apoi

. (31)

impuls deplin F La S==const obținem.

Ft

Impulsul total pentru o perioadă finită de timp poate fi calculat doar în două cazuri, când forța care acționează asupra unui punct este constantă sau depinde de timp. În alte cazuri, este necesar să se exprime forța în funcție de timp.

Egalitatea dimensiunilor impulsului (29) și impulsului (30) ne permite să stabilim o relație cantitativă între ele. F Să considerăm mișcarea unui punct material M sub acțiunea unei forțe arbitrare

de-a lungul unei traiectorii arbitrare. DESPRE
. (32)

UD:

. (33)

Separăm variabilele din (32) și integrăm

. (34)

Ca urmare, ținând cont de (31), obținem

Ecuația (34) exprimă următoarea teoremă.: Modificarea impulsului unui punct material într-o anumită perioadă de timp este egală cu impulsul forței care acționează asupra punctului în același interval de timp.

La rezolvarea problemelor, ecuația (34) trebuie proiectată pe axele de coordonate

Această teoremă este convenabilă de utilizat atunci când printre mărimile date și necunoscute se numără masa unui punct, viteza sa inițială și finală, forțele și timpul de mișcare.

Teorema privind modificarea momentului unghiular al unui punct material

M
momentul impulsului unui punct material relativ la centru este egal cu produsul dintre modulul impulsului punctului și umărului, i.e. cea mai scurtă distanță (perpendiculară) de la centru la linia care coincide cu vector viteză

, (36)

. (37)

Relația dintre momentul forței (cauză) și momentul impulsului (efectul) se stabilește prin următoarea teoremă.

Fie punctul M al unei mase date m se deplasează sub influența forței F.

,
,

, (38)

. (39)

Să calculăm derivata lui (39)

. (40)

Combinând (40) și (38), obținem în final

. (41)

Ecuația (41) exprimă următoarea teoremă.

Ecuația (34) exprimă următoarea teoremă.: Derivata în timp a vectorului moment unghiular al unui punct material relativ la un centru este egală cu momentul forței care acționează asupra punctului relativ la același centru.

La rezolvarea problemelor, ecuația (41) trebuie proiectată pe axele de coordonate

În ecuațiile (42), momentele momentului și forței sunt calculate în raport cu axele de coordonate.

Din (41) rezultă legea conservării momentului unghiular (legea lui Kepler).

Dacă momentul forţei care acţionează asupra unui punct material relativ la un anumit centru egal cu zero, atunci momentul unghiular al punctului relativ la acest centru își păstrează mărimea și direcția.

Dacă
, Asta
.

Teorema și legea conservării sunt utilizate în probleme care implică mișcare curbilinie, mai ales sub acţiunea forţelor centrale.