Proprietățile și graficul funcției sin x. Sinus (sin x) și cosinus (cos x) – proprietăți, grafice, formule. Tema: Funcții trigonometrice
>>Matematică: Funcțiile y = sin x, y = cos x, proprietățile și graficele lor
Funcțiile y = sin x, y = cos x, proprietățile și graficele lor
În această secțiune vom discuta câteva proprietăți ale funcțiilor y = sin x,y= cos x și construiți graficele lor.
1. Funcția y = sin X.
Mai sus, în § 20, am formulat o regulă care permite fiecărui număr t să fie asociat cu numărul cos t, adică. a caracterizat funcţia y = sin t. Să notăm câteva dintre proprietățile sale.
Proprietățile funcției u = sin t.
Domeniul de definiție este mulțimea K de numere reale.
Aceasta rezultă din faptul că oricărui număr 2 corespunde unui punct M(1) de pe cercul numeric, care are o ordonată bine definită; această ordonată este cos t.
u = sin t este o funcție impară.
Aceasta rezultă din faptul că, după cum sa dovedit în § 19, pentru orice t egalitatea
Aceasta înseamnă că graficul funcției u = sin t este ca orice grafic funcţie ciudată, este simetric în raport cu originea în sistemul de coordonate dreptunghiular tOi.
Funcția u = sin t crește pe interval 
Aceasta rezultă din faptul că atunci când un punct se deplasează de-a lungul primului sfert cerc numeric ordonata crește treptat (de la 0 la 1 - vezi Fig. 115), iar când punctul se deplasează de-a lungul celui de-al doilea sfert al cercului numeric, ordonata scade treptat (de la 1 la 0 - vezi Fig. 116).
Funcția u = sint este mărginită atât dedesubt, cât și de sus. Aceasta rezultă din faptul că, după cum am văzut în § 19, pentru orice t inegalitatea
(funcția atinge această valoare în orice punct al formularului 
(funcția atinge această valoare în orice punct al formularului
Folosind proprietățile obținute, vom construi un grafic al funcției care ne interesează. Dar (atentie!) in loc de u - sin t vom scrie y = sin x (la urma urmei, suntem mai obisnuiti sa scriem y = f(x), si nu u = f(t)). Aceasta înseamnă că vom construi un grafic în sistemul obișnuit de coordonate xOy (și nu tOy).
Să facem un tabel cu valorile funcției y - sin x:
Comentariu.
Să dăm una dintre versiunile originii termenului „sinus”. În latină, sinus înseamnă îndoire (coarda arcului).
Graficul construit justifică într-o oarecare măsură această terminologie. 
Linia care servește ca grafic al funcției y = sin x se numește undă sinusoidală. Acea parte a sinusoidei care este prezentată în fig. 118 sau 119 se numește undă sinusoidală, iar acea parte a undei sinusoidale care este prezentată în fig. 117 se numește semiundă sau arc de undă sinusoidală.
2. Funcția y = cos x.
Studiul funcției y = cos x ar putea fi efectuat aproximativ după aceeași schemă folosită mai sus pentru funcția y = sin x. Dar vom alege mai repede calea care duce la obiectiv. În primul rând, vom demonstra două formule care sunt importante în sine (veți vedea asta la liceu), dar deocamdată au doar o semnificație auxiliară pentru scopurile noastre.
Pentru orice valoare a lui t sunt valabile următoarele egalități:
Dovada. Fie numărul t să corespundă punctului M al cercului numeric n, iar numărul * + - punctul P (Fig. 124; de dragul simplității, am luat punctul M în primul trimestru). Arcele AM și BP sunt egale, iar triunghiurile dreptunghiulare OKM și OLBP sunt egale în mod corespunzător. Aceasta înseamnă O K = Ob, MK = Pb. Din aceste egalități și din locația triunghiurilor OCM și OBP în sistemul de coordonate, tragem două concluzii:
1) ordonata punctului P atât ca mărime, cât și ca semn coincide cu abscisa punctului M; asta înseamnă că
2) abscisa punctului P este egală în valoare absolută cu ordonata punctului M, dar diferă ca semn de aceasta; asta înseamnă că
Aproximativ același raționament se efectuează în cazurile în care punctul M nu aparține primului trimestru.
Să folosim formula 
(aceasta este formula dovedită mai sus, doar că în locul variabilei t folosim variabila x). Ce ne oferă această formulă? Ne permite să afirmăm că funcțiile
sunt identice, ceea ce înseamnă că graficele lor coincid.
Să diagramăm funcția 
Pentru a face acest lucru, să trecem la un sistem de coordonate auxiliar cu originea într-un punct (linia punctată este trasată în Fig. 125). Să asociem funcția y = sin x la sistem nou coordonate - acesta va fi graficul funcției 
(Fig. 125), i.e. graficul funcției y - cos x. Ea, ca și graficul funcției y = sin x, se numește undă sinusoidală (ceea ce este destul de natural).
Proprietățile funcției y = cos x.
y = cos x este o funcție pară.
Etapele construcției sunt prezentate în Fig. 126:
1) construiți un grafic al funcției y = cos x (mai precis, o jumătate de undă);
2) prin întinderea graficului construit de pe axa x cu un factor de 0,5, obținem o jumătate de undă din graficul necesar;
3) folosind semiunda rezultată, construim întregul grafic al funcției y = 0,5 cos x.
, Concurs „Prezentare pentru lecție”
Prezentare pentru lecție
Înapoi Înainte
Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Daca esti interesat această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.
Fierul rugineste fara a-si gasi nici un folos,
apa stătătoare putrezește sau îngheață la frig,
iar mintea unei persoane, negăsindu-și nici un folos, lâncește.
Leonardo da Vinci
Tehnologii folosite:învăţare bazată pe probleme, gândire critică, comunicare comunicativă.
Obiective:
- Dezvoltarea interesului cognitiv pentru învățare.
- Studierea proprietăților funcției y = sin x.
- Formarea deprinderilor practice în construirea unui grafic al funcției y = sin x pe baza materialului teoretic studiat.
Sarcini:
1. Utilizați potențialul existent de cunoștințe despre proprietățile funcției y = sin x în situații specifice.
2. Aplicați stabilirea conștientă a conexiunilor între modelele analitice și geometrice ale funcției y = sin x.
Dezvoltați inițiativa, o anumită dorință și interes în găsirea unei soluții; capacitatea de a lua decizii, de a nu te opri aici și de a-ți apăra punctul de vedere.
Să promoveze la elevi activitatea cognitivă, simțul responsabilității, respectul unul față de celălalt, înțelegerea reciprocă, sprijinul reciproc și încrederea în sine; cultura comunicarii.
Progresul lecției
Etapa 1. Actualizarea cunoștințelor de bază, motivarea învățării materialelor noi
— Intrând în lecție.
Pe tablă sunt scrise 3 afirmații:
- Ecuația trigonometrică sin t = a are întotdeauna soluții.
- Graficul unei funcții impare poate fi construit folosind o transformare de simetrie în jurul axei Oy.
- Programa functie trigonometrica poate fi construit folosind o jumătate de undă principală.
Elevii discută în perechi: sunt adevărate afirmațiile? (1 minut). Rezultatele discuției inițiale (da, nu) sunt apoi introduse în tabelul din coloana „Înainte”.
Profesorul stabilește scopurile și obiectivele lecției.
2. Actualizarea cunoștințelor (frontal pe un model de cerc trigonometric).
Ne-am familiarizat deja cu funcția s = sin t.
1) Ce valori poate lua variabila t. Care este scopul acestei funcții?
2) În ce interval sunt cuprinse valorile expresiei sin t? Aflați cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției s = sin t.
3) Rezolvați ecuația sin t = 0.
4) Ce se întâmplă cu ordonata unui punct când se deplasează de-a lungul primului sfert? (ordonata crește). Ce se întâmplă cu ordonata unui punct când se deplasează de-a lungul celui de-al doilea sfert? (ordonata scade treptat). Cum se leagă acest lucru cu monotonitatea funcției? (funcția s = sin t crește pe segment și scade pe segment ).
5) Să scriem funcția s = sin t sub forma y = sin x care ne este familiară (o vom construi în sistemul obișnuit de coordonate xOy) și să alcătuim un tabel cu valorile acestei funcție.
| X | 0 | ||||||
| la | 0 | 1 | 0 |
Etapa 2. Percepție, înțelegere, consolidare primară, memorare involuntară
Etapa 4. Sistematizarea primară a cunoștințelor și metodelor de activitate, transferul și aplicarea acestora în situații noi
6. Nr. 10.18 (b,c)
Etapa 5. Control final, corectare, evaluare și autoevaluare
7. Reveniți la enunțuri (începutul lecției), discutați folosind proprietățile funcției trigonometrice y = sin x și completați coloana „După” din tabel.
8. D/z: clauza 10, nr. 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)
În această lecție vom arunca o privire detaliată asupra funcției y = sin x, proprietățile sale de bază și graficul. La începutul lecției, vom da definiția funcției trigonometrice y = sin t pe cercul de coordonate și vom considera graficul funcției pe cerc și dreaptă. Să arătăm periodicitatea acestei funcții pe grafic și să luăm în considerare principalele proprietăți ale funcției. La sfârșitul lecției, vom rezolva câteva probleme simple folosind graficul unei funcții și proprietățile acesteia.
Tema: Funcții trigonometrice
Lecția: Funcția y=sinx, proprietățile ei de bază și graficul
Când luăm în considerare o funcție, este important să asociați fiecare valoare de argument cu o singură valoare a funcției. Acest legea corespondențeiși se numește funcție.
Să definim legea corespondenței pentru .
Orice număr real corespunde unui singur punct de pe cercul unității. Un punct are o singură ordonată, care se numește sinusul numărului (Fig. 1).
Fiecare valoare de argument este asociată cu o singură valoare a funcției.
Proprietăți evidente rezultă din definiția sinusului.
Figura arată că 
deoarece este ordonata unui punct de pe cercul unitar.
Luați în considerare graficul funcției. Să ne amintim interpretarea geometrică a argumentului. Argumentul este unghiul central, măsurat în radiani. De-a lungul axei vom trasa numere reale sau unghiuri în radiani, de-a lungul axei valorile funcției corespunzătoare.
De exemplu, un unghi pe cercul unității corespunde unui punct de pe grafic (Fig. 2)
Am obținut un grafic al funcției din zonă. Dar cunoscând perioada sinusului, putem reprezenta graficul funcției pe întregul domeniu de definiție (Fig. 3).
Perioada principală a funcției este. Aceasta înseamnă că graficul poate fi obținut pe un segment și apoi continuat pe întregul domeniu de definiție.
Luați în considerare proprietățile funcției:
1) Domeniul de aplicare al definiției:
2) Interval de valori: 
3) Funcția impară:
4) Cea mai mică perioadă pozitivă:
5) Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu axa absciselor: 
6) Coordonatele punctului de intersecție a graficului cu axa ordonatelor:
7) Intervale la care funcția ia valori pozitive:
8) Intervale la care funcția ia valori negative:
9) Creșterea intervalelor:
10) Intervale descrescătoare:
11) Puncte minime: 
12) Funcții minime:
13) Puncte maxime: 
14) Funcții maxime:
Ne-am uitat la proprietățile funcției și graficul acesteia. Proprietățile vor fi folosite în mod repetat la rezolvarea problemelor.
Referințe
1. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Tutorial pentru institutii de invatamant (nivel de profil) ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebră și analiză matematică pentru clasa a X-a ( manual de instruire pentru elevii școlilor și claselor cu studiu aprofundat al matematicii).-M.: Prosveshchenie, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Studiu aprofundat al algebrei și analizei matematice.-M.: Educație, 1997.
5. Culegere de probleme de matematică pentru solicitanţii la instituţiile de învăţământ superior (editate M.I. Skanavi - M.: Şcoala superioară, 1992).
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulator algebric.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleme de algebră și principii de analiză (manual pentru elevii din clasele 10-11 din instituțiile de învățământ general - M.: Prosveshchenie, 2003).
8. Karp A.P. Culegere de probleme de algebră și principii de analiză: manual. indemnizatie pentru 10-11 clase. cu profunzime studiat Matematică.-M.: Educaţie, 2006.
Teme pentru acasă
Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed.
A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Resurse web suplimentare
3. Portal educațional a se pregăti pentru examene ().
Funcţiey = păcatx
Graficul funcției este o sinusoidă.
Porțiunea completă care nu se repetă a unei undă sinusoidală se numește undă sinusoidală.
Jumătate de undă sinusoidală se numește jumătate de undă sinusoidală (sau arc).
Proprietățile funcțieiy =
păcatx:
3) Aceasta este o funcție ciudată. 4) Aceasta functie continua.
6) Pe segmentul [-π/2; funcția π/2] crește pe intervalul [π/2; 3π/2] – scade. 7) Pe intervale funcția ia valori pozitive. 8) Intervale ale funcției crescătoare: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]. 9) Puncte minime ale funcției: -π/2 + 2πn. |
Pentru a reprezenta grafic o funcție y= păcat x Este convenabil să utilizați următoarele scale:
Pe o foaie de hârtie cu un pătrat, luăm lungimea a două pătrate ca unitate de segment.
Pe axa x Să măsurăm lungimea π. În același timp, pentru comoditate, prezentăm 3,14 sub formă de 3 - adică fără fracție. Apoi, pe o foaie de hârtie într-o celulă π vor fi 6 celule (de trei ori 2 celule). Și fiecare celulă va primi propriul nume natural (de la prima la a șasea): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Acestea sunt semnificațiile x.
Pe axa y marchem 1, care include două celule.
Să creăm un tabel cu valorile funcției folosind valorile noastre x:
√3 | √3 |
În continuare, să creăm un program. Rezultatul este o jumătate de undă, cel mai înalt punct al căruia este (π/2; 1). Acesta este graficul funcției y= păcat x pe segment. Să adăugăm o semiundă simetrică la graficul construit (simetrică față de origine, adică pe segmentul -π). Creasta acestei semi-unde se află sub axa x cu coordonatele (-1; -1). Rezultatul va fi un val. Acesta este graficul funcției y= păcat x pe segmentul [-π; π].
Puteți continua valul construind-o pe segmentul [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π], etc. Pe toate aceste segmente, graficul funcției va arăta la fel ca pe segmentul [-π; π]. Veți obține o linie ondulată continuă cu valuri identice.
Funcţiey = cosx.
Graficul unei funcții este o undă sinusoidală (uneori numită undă cosinus).
Proprietățile funcțieiy = cosx:
1) Domeniul de definire al unei funcții este mulțimea numerelor reale. 2) Gama de valori ale funcției este segmentul [–1; 1] 3) Aceasta este o funcție uniformă. 4) Aceasta este o funcție continuă. 5) Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului: 6) Pe segment funcția scade, pe segmentul [π; 2π] – crește. 7) Pe intervale [-π/2 + 2πn; Funcția π/2 + 2πn] ia valori pozitive. 8) Intervale crescătoare: [-π + 2πn; 2πn]. 9) Puncte minime ale funcției: π + 2πn. 10) Funcția este limitată de sus și de jos. Cea mai mică valoare a funcției este –1, 11) Aceasta functie periodica cu perioada 2π (T = 2π) |
Funcţiey = mf(x).
Să luăm funcția anterioară y=cos x. După cum știți deja, graficul său este o undă sinusoidală. Dacă înmulțim cosinusul acestei funcții cu un anumit număr m, atunci unda se va extinde de pe axă x(sau se va micșora, în funcție de valoarea lui m).
Acest nou val va fi graficul funcției y = mf(x), unde m este orice număr real.
Astfel, funcția y = mf(x) este funcția familiară y = f(x) înmulțită cu m.
Dacăm< 1, то синусоида сжимается к оси x prin coeficientm. Dacăm > 1, atunci sinusoida este întinsă de la axăx prin coeficientm.
Când efectuați întindere sau compresie, puteți mai întâi să reprezentați o singură jumătate de undă dintr-o undă sinusoidală și apoi să completați întregul grafic.
Funcţiey= f(kx).
Dacă funcţia y=mf(x) duce la întinderea sinusoidei din axă x sau compresie spre ax x, atunci funcția y = f(kx) duce la întinderea de pe axă y sau compresie spre ax y.
Mai mult, k este orice număr real.
La 0< k< 1 синусоида растягивается от оси y prin coeficientk. Dacăk > 1, atunci sinusoida este comprimată spre axăy prin coeficientk.
Când reprezentați grafic această funcție, puteți construi mai întâi o jumătate de undă dintr-o undă sinusoidală și apoi o puteți utiliza pentru a completa întregul grafic.
Funcţiey = tgx.
Graficul funcției y= tg x este o tangentă.
Este suficient să construiți o parte a graficului în intervalul de la 0 la π/2 și apoi o puteți continua simetric în intervalul de la 0 la 3π/2.
Proprietățile funcțieiy = tgx:
Funcţiey = ctgx
Graficul funcției y=ctg x este, de asemenea, tangentoid (uneori este numit cotangentoid).
Proprietățile funcțieiy = ctgx:
„Colegiul de Tehnologii de Servicii Yoshkar-Ola”
Construirea și studiul graficului funcției trigonometrice y=sinx într-o foaie de calculDOMNIȘOARĂ Excela
/dezvoltare metodologica/
Yoshkar – Ola
Subiect. Construirea și studiul graficului unei funcții trigonometricey = sinx în foaia de calcul MS Excel
Tipul de lecție– integrat (dobândirea de noi cunoștințe)
Obiective:
Scopul didactic - explorați comportamentul graficelor de funcții trigonometricey= sinxîn funcție de șansele folosind un computer
Educațional:
1. Aflați modificarea graficului unei funcții trigonometrice y= păcat x in functie de cote
2. Arătați introducerea tehnologiei informatice în predarea matematicii, integrarea a două discipline: algebră și informatică.
3. Dezvoltarea abilităților de utilizare a tehnologiei informatice la lecțiile de matematică
4. Întăriți abilitățile de a studia funcțiile și de a construi grafice ale acestora
Educațional:
1. Să dezvolte interesul cognitiv al studenților pentru disciplinele academice și capacitatea de a-și aplica cunoștințele în situații practice
2. Dezvoltați capacitatea de a analiza, compara, evidenția principalul lucru
3. Ajuta la crestere nivel general dezvoltarea elevilor
Educarea :
1. Încurajează independența, acuratețea și munca grea
2. Promovarea unei culturi a dialogului
Forme de lucru în lecție - combinate
Facilități și echipamente didactice:
1. Calculatoare
2. Proiector multimedia
4. Fișe
5. Diapozitive de prezentare
Progresul lecției
eu. Organizarea începutului lecției
· Salutarea studenților și oaspeților
· Starea de spirit pentru lecție
II. Stabilirea obiectivelor și actualizarea subiectului
Este nevoie de mult timp pentru a studia o funcție și a-i construi graficul, trebuie să efectuați o mulțime de calcule greoaie, nu este convenabil, tehnologia computerului vine în ajutor.
Astăzi vom învăța cum să construim grafice ale funcțiilor trigonometrice în mediul de foi de calcul MS Excel 2007.
Tema lecției noastre este „Construirea și studiul graficului unei funcții trigonometrice y= sinxîntr-un procesor de masă"
Din cursul de algebră, cunoaștem schema pentru studierea unei funcții și construirea graficului acesteia. Să ne amintim cum să facem asta.
Slide 2
Schema de studiu a funcției
1. Domeniul funcției (D(f))
2. Domeniul funcției E(f)
3. Determinarea parităţii
4. Frecvența
5. Zerurile funcției (y=0)
6. Intervale de semn constant (y>0, y<0)
7. Perioade de monotonie
8. Extreme ale funcției
III. Asimilarea primară a noului material educațional
Deschideți MS Excel 2007.
Să reprezentăm grafic funcția y=sin x
Construirea de grafice într-un procesor de foi de calculDOMNIȘOARĂ Excela 2007
Vom reprezenta graficul acestei funcții pe segment xЄ [-2π; 2π]
Vom lua valorile argumentului în trepte , pentru a face graficul mai precis.
Deoarece editorul lucrează cu numere, să convertim radianii în numere, știind asta P ≈ 3,14 . (tabel de traducere în fișă).
1. Găsiți valoarea funcției în punct x=-2P. În rest, editorul calculează automat valorile funcției corespunzătoare.
2. Acum avem un tabel cu valorile argumentului și funcției. Cu aceste date, trebuie să trasăm această funcție folosind Chart Wizard.
3. Pentru a construi un grafic, trebuie să selectați intervalul de date necesar, liniile cu valorile argumentului și ale funcției
4..jpg" width="667" height="236 src=">
Notăm concluziile într-un caiet (diapozitivul 5)
Concluzie. Graficul unei funcții de forma y=sinx+k este obținut din graficul funcției y=sinx folosind translația paralelă de-a lungul axei amplificatorului operațional cu k unități
Dacă k >0, atunci graficul se deplasează în sus cu k unități
Dacă k<0, то график смещается вниз на k единиц
Construirea și studiul unei funcții a formeiy=k*sinx,k- const
Sarcina 2. La locul de muncă Foaia 2 desenați grafice ale funcțiilor într-un sistem de coordonate y= sinx y=2* sinx, y= * sinx, pe intervalul (-2π; 2π) și urmăriți cum se modifică aspectul graficului.
(Pentru a nu reseta valoarea argumentului, să copiem valorile existente. Acum trebuie să setați formula și să construiți un grafic folosind tabelul rezultat.)
Comparăm graficele rezultate. Împreună cu elevii, analizăm comportamentul graficului unei funcții trigonometrice în funcție de coeficienți. (Diapozitivul 6)
https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , pe intervalul (-2π; 2π) și urmăriți cum se modifică aspectul graficului.
Comparăm graficele rezultate. Împreună cu elevii, analizăm comportamentul graficului unei funcții trigonometrice în funcție de coeficienți. (Diapozitivul 8)
https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">
Notăm concluziile într-un caiet (diapozitivul 11)
Concluzie. Graficul unei funcții de forma y=sin(x+k) se obține din graficul funcției y=sinx folosind translația paralelă de-a lungul axei OX cu k unități
Dacă k >1, atunci graficul se deplasează la dreapta de-a lungul axei OX
Daca 0 IV. Consolidarea primară a cunoştinţelor dobândite Fișe diferențiate cu sarcina de a construi și studia o funcție folosind un grafic Y=6*păcat(x) Y=1-2
păcatX Y=-
păcat(3x+)
1.
Domeniul definiției 2.
Interval de valoare 3.
Paritate 4.
Periodicitate 5.
Intervale de constanță a semnelor 6.
Lacunemonotonie Funcția crește Funcţie scade 7.
Extreme ale funcției Minim Maxim V. Organizarea temelor Trasează un grafic al funcției y=-2*sinх+1, examinează și verifică corectitudinea construcției într-un mediu de calcul Microsoft Excel. (Diapozitivul 12) VI. Reflecţie
