Scopul serviciului. Calculator matrice conceput pentru rezolvarea expresiilor matriceale, cum ar fi 3A-CB 2 sau A -1 +B T .

Instrucţiuni. Pentru soluții online trebuie să specificați o expresie matriceală. În a doua etapă, va fi necesar să se clarifice dimensiunea matricelor.

Acțiuni asupra matricelor

Operații valide: înmulțire (*), adunare (+), scădere (-), matrice inversă A^(-1), exponențiere (A^2, B^3), transpunere matrice (A^T).

Operații valide: înmulțire (*), adunare (+), scădere (-), matrice inversă A^(-1), exponențiere (A^2, B^3), transpunere matrice (A^T).
Pentru a efectua o listă de operații, utilizați un separator punct și virgulă (;). De exemplu, pentru a efectua trei operații:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
va trebui să o scrieți astfel: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

O matrice este un tabel numeric dreptunghiular cu m rânduri și n coloane, astfel încât matricea poate fi reprezentată schematic ca dreptunghi.
Matrice zero (matrice nulă) este o matrice ale cărei elemente sunt toate egale cu zero și sunt notate cu 0.
Matricea de identitate se numește matrice pătrată de forma

Două matrice A și B sunt egale, dacă au aceeași dimensiune și elementele corespunzătoare sunt egale.
Matrice singulară se numeşte matrice al cărei determinant egal cu zero (Δ = 0).

Să definim operații de bază pe matrice.

Adăugarea matricei

Definiție . Suma a două matrice de aceeași dimensiune este o matrice de aceleași dimensiuni, ale cărei elemente se găsesc după formula . Notat cu C = A+B.

Exemplul 6. .
Operația de adăugare a matricei se extinde la cazul oricărui număr de termeni. Evident A+0=A .
Să subliniem încă o dată că pot fi adăugate numai matrice de aceeași dimensiune; Pentru matrice de dimensiuni diferite, operația de adăugare nu este definită.

Scăderea matricelor

Definiție . Diferența B-A matricele B și A de aceeași dimensiune se numesc matrice C astfel încât A+ C = B.

Înmulțirea matricei

Definiție . Produsul unei matrice cu un număr α este o matrice obținută din A prin înmulțirea tuturor elementelor sale cu α, .
Definiție . Să fie date două matrice și , iar numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de rânduri ale lui B. Produsul lui A cu B este o matrice ale cărei elemente se găsesc după formula .
Notat cu C = A·B.
Schematic, operația de înmulțire a matricei poate fi descrisă după cum urmează:

și regula pentru calcularea unui element dintr-un produs:

Să subliniem încă o dată că produsul A·B are sens dacă și numai dacă numărul de coloane al primului factor este egal cu numărul de rânduri al celui de-al doilea, iar produsul produce o matrice al cărei număr de rânduri este egal cu numărul de rânduri al primului factor, iar numărul de coloane este egal cu numărul de coloane al celui de-al doilea. Puteți verifica rezultatul înmulțirii folosind un calculator special online.

Exemplul 7. Matrici date Şi . Găsiți matrice C = A·B și D = B·A.
Soluţie. În primul rând, rețineți că produsul A·B există deoarece numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de rânduri ale lui B.

Rețineți că în cazul general A·B≠B·A, adică. produsul matricelor este anticomutativ.
Să găsim B·A (înmulțirea este posibilă).

Exemplul 8. Dată o matrice . Găsiți 3A 2 – 2A.
Soluţie.

.
; .
.
Să remarcăm următorul fapt interesant.
După cum știți, produsul a două numere diferite de zero nu este egal cu zero. Pentru matrice, este posibil să nu apară o circumstanță similară, adică produsul matricelor non-nule se poate dovedi egal cu matricea nulă.

Multiplicare

Înmulțire matrice (produs matrice):

Operația de înmulțire a două matrici se introduce numai pentru cazul în care numărul de coloane din primul matrici egal cu numărul de linii ale celui de-al doilea matrici .

Această condiție nu este îndeplinită; produsul AB nu există.

Produsul matricei și vectorului A b :

Produsul punctual al vectorilor ( b ,Cu):

Aflați determinantul matricei A:

În special, formula de calcul a determinantului matricei

este aceasta:

= o 11 o 22 o 33 − o 11 o 23 o 32 − o 12 o 21 o 33 + o 12 o 23 o 31 + o 13 o 21 o 32 − o 13 o 22 o 31

2*(-4)*5 – 2*4*2 – (-2)*5*5 + (-2)*4*(-1) +(-1)*5*2 – (-1)*(-4)*(-1) = -40 – 16 +50 + 8 – 10 + 4 = -4

Aflați matricea inversă A -1:

Soluţie .

Determinantul matricei introduse este egal cu:

Prin urmare, determinantul nu este egal cu zero matrice inversă există.

Să adăugăm matricea de identitate la matricea originală din dreapta.

Să începem să reducem matricea pătrată din stânga la formă de identitate. Cu ajutorul transformări elementare eliminați toți coeficienții de sub diagonala principală.

Să reducem toți coeficienții de deasupra diagonalei principale la 0 folosind transformări elementare.

Răspuns .

După cum am menționat anterior, noi, folosind transformări elementare, am mutat matricea de identitate din partea dreaptă spre stânga, fără a încălca nicio regulă de lucru cu o matrice.

Matricea pătrată pe care o vedeți în dreapta este matricea inversă celei introduse .

Rezolvarea sistemului de ecuații Ах= b :

Stare

Să găsim determinantul matricei principale compuse din coeficienți pentru X 1 - n:

Determinantul matricei principale a unui sistem de ecuații nu este egal cu zero, prin urmare acest sistem de ecuații are o soluție unică. Să-l găsim. Mai adăugăm o coloană la determinantul principal al sistemului de ecuații, în care inserăm valorile după semnul egal.

Acum secvenţial, folosind transformări elementare transforma partea stângă a matricei (3 × 3) într-o formă triunghiulară (resetăm toți coeficienții care nu sunt pe diagonala principală și convertim coeficienții de pe diagonala principală în uni).

Scădeți prima linie din toate liniile de sub ea. Această acțiune nu contrazice transformările matriceale elementare.

Scădeți a doua linie din toate liniile de sub ea. Această acțiune nu contrazice transformările matriceale elementare.

Scădeți a treia linie din toate liniile de deasupra ei. Această acțiune nu contrazice transformările matriceale elementare.

Scădeți a doua linie din toate liniile de deasupra ei. Această acțiune nu contrazice transformările matriceale elementare.

Să reducem toți coeficienții de pe diagonala principală a matricei la 1. Împărțim fiecare rând al matricei la coeficientul acestui rând situat pe diagonala principală, dacă nu este egal cu 1.

Răspuns .

Numerele rezultate din dreapta matricei de identitate vor fi soluția sistemului dumneavoastră de ecuații.

Transformări matrice elementare

Transformări elementare matrici Următoarele transformări se numesc: 1) înmulțirea rândurilor matriceale la un alt număr decât zero; 2) adăugarea la o linie matrici altă linie; 3) rearanjarea corzilor; 4) tăierea (stergerea) unuia dintre rândurile (coloanele) identice; 5) transpunerea matriceală ;

Aceleași operații aplicate coloanelor matrici, numite și transformări elementare. Folosind transformări elementare, puteți aplica oricărui rând sau coloană matrici adăugați o combinație liniară a rândurilor (coloanelor) rămase.

Începem să rezolvăm un astfel de sistem de ecuații folosind metoda Gauss

Determinantul matricei principale este egal cu -4

Vrem să facem elementul egal cu 1. Am împărțit întregul linia 1 pe element =2.

Fabricat în 1 linie elementul 1 este unic.

Să resetam 1 coloană: De la 2 linii scăzut 1 linie, înmulțit cu elementul =5.

Din 3 linii scăzut 1 linie, înmulțit cu elementul = -1.

Matrici. Acțiuni asupra matricelor. Proprietăți ale operațiilor pe matrice. Tipuri de matrice.

Matrici (și, în consecință, secțiunea matematică - algebră matricială) au importantîn matematică aplicată, deoarece acestea permit să se noteze o parte semnificativă a modele matematice obiecte și procese. Termenul „matrice” a apărut în 1850. Matricele au fost menționate pentru prima dată în China antică, iar mai târziu de către matematicienii arabi.

Matrice A=A min se numește ordinea m*n tabel dreptunghiular de numere care conține m - rânduri și n - coloane.

Elemente de matrice aij, pentru care i=j se numesc diagonală și formă diagonala principală.

Pentru o matrice pătrată (m=n), diagonala principală este formată din elementele a 11, a 22,..., a nn.

Egalitatea matricei.

A=B, dacă matricea comandă OŞi B sunt aceleași și a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Acțiuni asupra matricelor.

1. Adunarea matricei - operație în funcție de elemente

2. Scăderea matricelor - operație element-wise

3. Produsul dintre o matrice și un număr este o operație în funcție de elemente

4. Înmulțirea A*B matrice conform regulii rând la coloană(numărul de coloane ale matricei A trebuie să fie egal cu numărul de rânduri ale matricei B)

A mk *B kn =C mnși fiecare element cu ij matrici Cmn este egală cu suma produselor elementelor rândului i al matricei A cu elementele corespunzătoare ale coloanei j a matricei B, adică.

Să demonstrăm funcționarea înmulțirii matricelor folosind un exemplu

5. Exponentiație

m>1 este un întreg pozitiv. A este o matrice pătrată (m=n), adică relevante numai pentru matrice pătrată

6. Matricea transpusă A. Matricea transpusă este notată cu A T sau A"

Rândurile și coloanele sunt schimbate

Exemplu

Proprietăți ale operațiilor pe matrice

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Tipuri de matrice

1. Dreptunghiular: mŞi n- numere întregi pozitive arbitrare

2. Pătrat: m=n

3. Rând matrice: m=1. De exemplu, (1 3 5 7) - în multe probleme practice o astfel de matrice se numește vector

4. Coloana Matrice: n=1. De exemplu

5. Matricea diagonală: m=nŞi a ij =0, Dacă i≠j. De exemplu

6. Matricea identitară: m=nŞi

7. Matrice zero: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Matrice triunghiulară: toate elementele de sub diagonala principală sunt 0.

9. Matricea simetrică: m=nŞi a ij =a ji(adică, elementele egale sunt situate în locuri simetrice față de diagonala principală) și, prin urmare A"=A

De exemplu,

10. Matricea oblică-simetrică: m=nŞi a ij =-a ji(adică, elementele opuse sunt situate în locuri simetrice față de diagonala principală). În consecință, există zerouri pe diagonala principală (de când i=j avem a ii =-a ii)

Clar, A"=-A

11. Matricea hermitiana: m=nŞi a ii =-ã ii (ã ji- complex - conjugat cu a ji, adică Dacă A=3+2i, apoi conjugatul complex Ã=3-2i)

Dat manual metodologic te va ajuta să înveți cum să performați operatii cu matrici: adunarea (scăderea) matricei, transpunerea matricei, înmulțirea matricei, aflarea matrice inversă. Tot materialul este prezentat într-o formă simplă și accesibilă, sunt date exemple relevante, astfel încât chiar și o persoană nepregătită poate învăța cum să efectueze acțiuni cu matrice.

Pentru automonitorizare și autotestare, puteți descărca gratuit un calculator matrice >>>. Voi încerca să minimizez calculele teoretice în unele locuri sunt posibile explicații „pe degete” și utilizarea unor termeni neștiințifici. Iubitori de teorie solidă, vă rugăm să nu vă implicați în critici, sarcina noastră este.

invata sa faci operatii cu matrici Pentru pregătirea SUPER FAST pe tema (cine este „pe foc”) există un curs intensiv pdf

Matrice, determinant și test! O matrice este un tabel dreptunghiular al unora elemente O matrice este un tabel dreptunghiular al unora. Ca vom lua în considerare numerele, adică matrice numerice. ELEMENT

este un termen. Este indicat să rețineți termenul, va apărea des, nu întâmplător am folosit font aldine pentru a-l evidenția. Desemnare:

matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine Exemplu:

Luați în considerare o matrice de două câte trei: Această matrice O matrice este un tabel dreptunghiular al unora:

este format din șase

Toate numerele (elementele) din interiorul matricei există singure, adică nu se pune problema vreunei scăderi:

Este doar un tabel (set) de numere! De asemenea, vom fi de acord nu rearanja

numere, dacă nu se specifică altfel în explicații. Fiecare număr are propria sa locație și nu poate fi amestecat!

Matricea în cauză are două rânduri:

si trei coloane: STANDARD : atunci când vorbim despre dimensiunile matricei la început

indicați numărul de rânduri și abia apoi numărul de coloane. Tocmai am defalcat matricea de două câte trei. Dacă numărul de rânduri și coloane ale unei matrice este același, atunci matricea este numită pătrat , De exemplu:

– o matrice de trei câte trei. Dacă o matrice are o coloană sau un rând, atunci se mai numesc și astfel de matrice.

vectori

De fapt, conceptul de matrice îl cunoaștem încă de la școală să considerăm, de exemplu, un punct cu coordonatele „x” și „y”: . În esență, coordonatele unui punct sunt scrise într-o matrice una câte două. Apropo, iată un exemplu de ce contează ordinea numerelor: și sunt două puncte complet diferite pe plan. Acum să trecem la studii:

operatii cu matrici.

1) Primul act. Eliminarea unui minus din matrice (introducerea unui minus în matrice) . După cum probabil ați observat, există prea multe numere negative în această matrice. Acest lucru este foarte incomod din punctul de vedere al efectuării diferitelor acțiuni cu matricea, este incomod să scrieți atât de multe minusuri și pur și simplu arată urât în ​​design.

Să mutăm minusul în afara matricei prin schimbarea semnului fiecărui element al matricei:

La zero, după cum înțelegeți, semnul nu se schimbă, de asemenea, zero este zero;

Exemplu invers: . Arată urât.

Să introducem un minus în matrice prin schimbarea semnului fiecărui element al matricei:

Ei bine, s-a dovedit mult mai frumos. Și, cel mai important, va fi MAI UȘOR să efectuați orice acțiuni cu matricea. Pentru că există un astfel de semn popular matematic: cu cât mai multe minusuri, cu atât mai multe confuzii și erori.

2) Actul doi. Înmulțirea unei matrice cu un număr.

matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine

Este simplu, pentru a înmulți o matrice cu un număr, ai nevoie fiecare element de matrice înmulțit cu un număr dat. ÎN în acest caz,- pentru trei.

Un alt exemplu util:

– înmulțirea unei matrice cu o fracție

Mai întâi să ne uităm la ce să facem NU ESTE NEVOIE:

NU ESTE NEVOIE să introduceți o fracție în matrice, în primul rând, doar complică acțiunile ulterioare cu matricea și, în al doilea rând, îngreunează ca profesorul să verifice soluția (mai ales dacă; – răspunsul final al sarcinii).

Și, în plus, NU ESTE NEVOIEîmpărțiți fiecare element al matricei la minus șapte:

Din articol Matematică pentru manechin sau de unde să încep, ne amintim asta zecimale la matematica superioară încearcă să le evite în toate modurile posibile.

Singurul lucru este preferabil Ce trebuie să faceți în acest exemplu este să adăugați un minus la matrice:

Dar dacă numai TOATE elementele matricei au fost împărțite la 7 fără urmă, atunci ar fi posibil (și necesar!) să se împartă.

matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine

În acest caz, puteți TREBUIEînmulțiți toate elementele matricei cu , deoarece toate numerele matricei sunt divizibile cu 2 fără urmă.

Notă: în teorie matematică superioară Nu există un concept școlar de „diviziune”. În loc să spuneți „acest împărțit cu asta”, puteți spune întotdeauna „acest înmulțit cu o fracție”. Adică diviziunea este caz special multiplicare.

3) Actul trei. Transpunerea matricei.

Pentru a transpune o matrice, trebuie să scrieți rândurile acesteia în coloanele matricei transpuse.

matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine

Transpune matricea

Există un singur rând aici și, conform regulii, trebuie scris într-o coloană:

– matrice transpusă.

O matrice transpusă este de obicei indicată printr-un superscript sau un prim în dreapta sus.

Exemplu pas cu pas:

Transpune matricea

Mai întâi rescriem primul rând în prima coloană:

Apoi rescriem a doua linie în a doua coloană:

Și, în sfârșit, rescriem al treilea rând în a treia coloană:

Gata. În linii mari, transpunerea înseamnă întoarcerea matricei pe o parte.

4) Actul patru. Suma (diferența) matricelor.

Suma matricelor este o operație simplă.
NU TOATE MATRICILE POT FI POLIATE. Pentru a efectua adunarea (scăderea) matricelor, este necesar ca acestea să aibă ACEEAȘI DIMENSIUNE.

De exemplu, dacă se dă o matrice două câte două, atunci aceasta poate fi adăugată numai cu o matrice două câte două și nu alta!

matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine

Adăugați matrici Şi

Pentru a adăuga matrice, trebuie să adăugați elementele corespunzătoare ale acestora:

Pentru diferența de matrice regula este similară, este necesar să se găsească diferența elementelor corespunzătoare.

matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine

Găsiți diferența de matrice ,

Cum să decizi acest exemplu mai usor ca sa nu te incurci? Este recomandabil să scăpați de minusurile inutile pentru a face acest lucru, adăugați un minus la matrice:

Notă: în teoria matematicii de învățământ superior nu există conceptul de „scădere”. În loc să spuneți „scădeți acest lucru din asta”, puteți spune întotdeauna „adăugați un număr negativ la acesta”. Adică scăderea este un caz special de adunare.

5) Actul cinci. Înmulțirea matricei.

Ce matrice pot fi multiplicate?

Pentru ca o matrice să fie înmulțită cu o matrice, este necesar astfel încât numărul de coloane de matrice să fie egal cu numărul de rânduri de matrice.

matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine
Este posibil să înmulțim o matrice cu o matrice?

Aceasta înseamnă că datele matricei pot fi multiplicate.

Dar dacă matricele sunt rearanjate, atunci, în acest caz, înmulțirea nu mai este posibilă!

Prin urmare, înmulțirea nu este posibilă:

Nu este atât de rar să întâlniți sarcini cu un truc, atunci când elevului i se cere să înmulțească matrici, a căror înmulțire este evident imposibilă.

Trebuie remarcat faptul că în unele cazuri este posibilă multiplicarea matricelor în ambele moduri.
De exemplu, pentru matrice, și înmulțirea și înmulțirea sunt posibile

Pagina nouă 1

Calcul matriceal pentru manechine. Lecţie 1. Conceptul de matrice.

Calculul matriceal (sau algebra matriceală) este o ramură a matematicii care studiază matricele. Matricele sunt prezente în multe probleme de calcul, de exemplu, rezolvarea sistemelor de ecuații liniare (când sunt multe dintre ele), în probleme de optimizare și așa mai departe. Prin urmare, este foarte important să cunoaștem și să înțelegem această ramură a matematicii. Deci, mai întâi ne vom familiariza cu însuși conceptul de matrice.

O matrice este pur și simplu un tabel de numere. Doar o masă obișnuită. Are rânduri și coloane. Dar există și o definiție științifică a matricei, pe care trebuie să o cunoști și tu. și sună așa: „Să fie dat un câmp numeric K, apoi un tabel dreptunghiular de numere din câmpul K:

vom suna matrice".

Un alt concept care poate fi necunoscut pentru dvs. este folosit aici - un câmp numeric. Să decidem și noi. Aşa, câmp numeric este orice set de numere în care patru operații sunt fezabile și lipsite de ambiguitate: adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea cu un alt număr decât zero. Astfel, toate numerele normale aparțin câmpului de numere, numere de roată, de altfel, de asemenea (vezi și ciclurile lecțiilor și)). Dar dacă cineva inventează niște numere „exotice” pentru care cel puțin una dintre cele patru operații matematice enumerate mai sus nu este fezabilă în mod unic, atunci nu se va mai putea spune că aceste numere aparțin câmpului numeric.

Dacă vorbim în cuvinte simple, atunci numai un tabel de numere, precum și orice alte obiecte matematice care pot fi în mod normal adunate, scăzute, înmulțite și împărțite, este considerată o matrice. Dar dacă puneți ceva într-un tabel care nu poate fi adăugat, de exemplu, atunci nu va mai fi o matrice. Cert este că puteți face și câteva operații matematice pe matrice, care se rezumă la acțiuni asupra numerelor incluse în matrice. Și dacă matricea nu conține numere, ci cine știe ce, de exemplu, rânduri, sau niște obiecte exotice, atunci pe un astfel de tabel nu vom mai putea efectua operațiile matematice pe care le putem face pe matrice.

Deci, să discutăm din nou ce poate fi în interiorul matricei și ce nu. Pot exista numere care sunt complexe (deoarece pot fi adunate, scăzute și împărțite). Pot exista funcții și expresii matematice dacă rezultatul calculului lor este un număr (sau număr complex). Într-adevăr, dacă avem o anumită funcție și există o anumită funcție al cărei rezultat al calculului este un număr „normal”, atunci cine ne spune să efectuăm operația sau, de exemplu, ?

Numerele n și m sunt dimensiunile matricei dacă sunt aceleași, atunci se numește o astfel de matrice pătrat. În acest caz, numărul n egal cu m se numește ordinea matricei. În general, când m și n nu sunt egale, matricea este numită dreptunghiular. Numerele incluse în matrice se numesc elemente matrici.

Să ne uităm la modul în care este notată matricea. Chiar la începutul lecției, am arătat notația generală a unei matrice. Există și una simplificată: , unde i=1,2,3...m, j=1,2,3,... n. Când se desemnează elemente de matrice cu doi indici, primul index arată întotdeauna numărul rândului, iar al doilea arată numărul coloanei.

O matrice este de asemenea notă cu o singură literă, de exemplu, A. Dacă A este o matrice pătrată de ordinul n, atunci putem scrie

O matrice pătrată poate avea un determinant. determinant (sau determinant) este un polinom care combină elementele unei matrice pătrate în așa fel încât valoarea acesteia să fie păstrată sub transpunere și combinații liniare de rânduri sau coloane. Transpunerea se referă la „întoarcerea” unei matrice - rândurile devin coloane, iar coloanele devin rânduri.

Există, de asemenea, tipuri speciale de matrice care pot avea simboluri separate. În special, matrice dreptunghiulară tip:

sau, cu alte cuvinte, o matrice formată dintr-o coloană este de obicei desemnată astfel . O astfel de matrice se numește coloană. Matricea poate fi de asemenea litere mici:

Este desemnat astfel:

Dacă toate elementele unei matrice pătrate, cu excepția diagonalei principale, sunt egale cu zero:

Această matrice se numește diagonală. Este desemnat astfel.