Cum să desenezi un cub cu patru dimensiuni. Un program pentru desenarea unui cub cu patru dimensiuni. Ce este un tesseract
De îndată ce am putut ține prelegeri după operație, prima întrebare pe care elevii au pus-o a fost:
Când ne vei desena un cub cu 4 dimensiuni? Ilyas Abdulkhaevici ne-a promis!
Îmi amintesc că prietenilor mei dragi le place uneori un moment de activități educaționale matematice. Prin urmare, voi scrie aici o parte din prelegerea mea pentru matematicieni. Și voi încerca fără să fiu plictisitor. În unele momente am citit prelegerea mai strict, desigur.
Să fim de acord mai întâi. Spațiul 4-dimensional și cu atât mai mult 5-6-7- și în general k-dimensional nu ne este oferit în senzațiile senzoriale.
„Suntem nefericiți pentru că suntem doar tridimensionali”, așa cum a spus profesorul meu de la școala duminicală, care mi-a spus prima dată ce este un cub cu patru dimensiuni. scoala de duminica era, firesc, extrem de religios – matematic. Acea dată studiam hiper-cuburi. Cu o săptămână înainte de aceasta, inducția matematică, o săptămână după aceea, ciclurile hamiltoniene în grafice - în consecință, aceasta este clasa a VII-a.
Nu putem atinge, mirosi, auzi sau vede un cub 4-dimensional. Ce putem face cu el? Ne putem imagina! Pentru că creierul nostru este mult mai complex decât ochii și mâinile noastre.
Așadar, pentru a înțelege ce este un cub cu 4 dimensiuni, să înțelegem mai întâi ce ne este la dispoziție. Ce este un cub tridimensional?
Bine, bine! Nu vă cer un clar definiție matematică. Imaginează-ți cel mai simplu și mai obișnuit cub tridimensional. Introdus?
Amenda.
Pentru a înțelege cum să generalizați un cub 3-dimensional într-un spațiu 4-dimensional, să ne dăm seama ce este un cub 2-dimensional. Este atât de simplu - este un pătrat! 
Un pătrat are 2 coordonate. Cubul are trei. Punctele pătrate sunt puncte cu două coordonate. Primul este de la 0 la 1. Iar al doilea este de la 0 la 1. Punctele cubului au trei coordonate. Și fiecare este orice număr de la 0 la 1.
Este logic să ne imaginăm că un cub cu 4 dimensiuni este un lucru care are 4 coordonate și totul este de la 0 la 1.
/* Este imediat logic să ne imaginăm un cub unidimensional, care nu este altceva decât un simplu segment de la 0 la 1. */
Deci, stai, cum desenezi un cub cu 4 dimensiuni? La urma urmei, nu putem desena spațiu 4-dimensional pe un plan!
Dar nici nu desenăm spațiu tridimensional pe un plan, îl desenăm proiecție pe un plan de desen bidimensional. Așezăm a treia coordonată (z) într-un unghi, imaginându-ne că axa din planul desenului merge „spre noi”. 
Acum este complet clar cum să desenezi un cub cu 4 dimensiuni. În același mod în care am poziționat a treia axă la un anumit unghi, să luăm a patra axă și, de asemenea, să o poziționăm la un anumit unghi.
Și - voila! -- proiecția unui cub 4-dimensional pe un plan. 
Ce? Ce este asta oricum? Aud mereu șoapte de la birourile din spate. Permiteți-mi să explic mai detaliat ce este acest amestec de linii.
Priviți mai întâi cubul tridimensional. Ce am făcut? Am luat pătratul și l-am târât de-a lungul celei de-a treia axe (z). Este ca multe, multe pătrate de hârtie lipite împreună într-un teanc.
Este la fel și cu un cub cu 4 dimensiuni. Să numim a patra axă, pentru comoditate și pentru science fiction, „axa timpului”. Trebuie să luăm un cub tridimensional obișnuit și să-l tragem în timp de la momentul „acum” până la momentul „într-o oră”.
Avem un cub „acum”. In poza este roz. 
Și acum îl tragem de-a lungul celei de-a patra axe - de-a lungul axei timpului (am arătat-o în verde). Și obținem cubul viitorului - albastru. 
Fiecare vârf al „cubului acum” lasă o urmă în timp - un segment. Conectând prezentul ei cu viitorul ei.
Pe scurt, fără versuri: am desenat două cuburi tridimensionale identice și am conectat vârfurile corespunzătoare.
Exact la fel ca și cu un cub tridimensional (desenați 2 cuburi bidimensionale identice și conectați vârfurile).
Pentru a desena un cub 5-dimensional, va trebui să desenați două copii ale unui cub 4-dimensional (un cub 4-dimensional cu a cincea coordonată 0 și un cub 4-dimensional cu a cincea coordonată 1) și să conectați vârfurile corespunzătoare cu muchii. Adevărat, va exista un astfel de amestec de margini în avion, încât va fi aproape imposibil să înțelegi ceva.
Odată ce ne-am imaginat un cub cu 4 dimensiuni și chiar am putut să-l desenăm, îl putem explora în moduri diferite. Amintește-ți să-l explorezi atât în mintea ta, cât și din imagine.
De exemplu. Un cub bidimensional este delimitat pe 4 laturi de cuburi unidimensionale. Acest lucru este logic: pentru fiecare dintre cele 2 coordonate are atât un început, cât și un sfârșit.
Un cub tridimensional este delimitat pe 6 laturi de cuburi bidimensionale. Pentru fiecare dintre cele trei coordonate are un început și un sfârșit.
Aceasta înseamnă că un cub 4-dimensional trebuie să fie limitat de opt cuburi 3-dimensionale. Pentru fiecare dintre cele 4 coordonate - pe ambele părți. În figura de mai sus vedem clar 2 fețe care o limitează de-a lungul coordonatei „timp”.
Iată două cuburi (sunt ușor oblice pentru că au 2 dimensiuni proiectate în plan în unghi), limitând hipercubul nostru la stânga și la dreapta. 
De asemenea, este ușor de observat „sus” și „jos”. 
Cel mai dificil lucru este să înțelegeți vizual unde sunt „fața” și „spate”. Cel din față începe de la marginea din față a „cubului acum” și până la marginea din față a „cubului viitorului” - este roșu. Cel din spate este violet. 
Sunt cele mai greu de observat deoarece alte cuburi sunt încurcate sub picioare, ceea ce limitează hipercubul la o coordonată proiectată diferită. Dar rețineți că cuburile sunt încă diferite! Iată din nou imaginea, unde sunt evidențiate „cubul de acum” și „cubul viitorului”.
Desigur, este posibil să proiectați un cub 4-dimensional în spațiul 3-dimensional.
Primul model spațial posibil este clar cum arată: trebuie să luați 2 cadre cub și să conectați vârfurile lor corespunzătoare cu o nouă muchie.
Nu am acest model pe stoc acum. La prelegere, le arăt studenților un model tridimensional ușor diferit al unui cub cu patru dimensiuni.
Știi cum se proiectează un cub pe un astfel de plan.
Parcă ne uităm la un cub de sus. 
Marginea apropiată este, desigur, mare. Și marginea îndepărtată pare mai mică, o vedem prin cea din apropiere.
Acesta este modul în care puteți proiecta un cub 4-dimensional. Cubul este mai mare acum, vedem cubul viitorului în depărtare, așa că pare mai mic. 
Pe cealaltă parte. Din partea de sus. 
Direct exact din partea marginii: 
Din partea coastei: 
Iar ultimul unghi, asimetric. Din secțiunea „Spune-mi că m-am uitat printre coastele lui”. 
Ei bine, atunci poți veni cu orice. De exemplu, la fel cum există o dezvoltare a unui cub tridimensional pe un plan (este ca și cum ai tăia o foaie de hârtie, astfel încât atunci când este pliat să obții un cub), același lucru se întâmplă și cu dezvoltarea unui cub tridimensional în spaţiu. Este ca și cum ai tăia o bucată de lemn, astfel încât pliând-o în spațiu 4-dimensional să obținem un tesseract.
Puteți studia nu doar un cub cu 4 dimensiuni, ci și cuburi n-dimensionale în general. De exemplu, este adevărat că raza unei sfere circumscrise în jurul unui cub n-dimensional este mai mică decât lungimea muchiei acestui cub? Sau iată o întrebare mai simplă: câte vârfuri are un cub n-dimensional? Câte muchii (fețe unidimensionale)?
Tesseract (din greaca veche τέσσερες ἀκτῖνες - patru raze) este un hipercub cu patru dimensiuni - un analog al unui cub în spațiul cu patru dimensiuni.
Imaginea este o proiecție (perspectivă) a unui cub cu patru dimensiuni pe spațiul tridimensional.
Potrivit Dicționarului Oxford, cuvântul „tesseract” a fost inventat și folosit în 1888 de Charles Howard Hinton (1853–1907) în cartea sa Eră nouă gânduri". Mai târziu, unii oameni au numit aceeași figură „tetracub”.
Geometrie
Un teseract obișnuit în spațiul euclidian cu patru dimensiuni este definit ca o înveliș convex de puncte (±1, ±1, ±1, ±1). Cu alte cuvinte, poate fi reprezentat ca următorul set:
Teseractul este limitat de opt hiperplane, a căror intersecție cu teseractul însuși își definește fețele tridimensionale (care sunt cuburi obișnuite). Fiecare pereche de fețe 3D neparalele se intersectează pentru a forma fețe 2D (pătrate) și așa mai departe. În cele din urmă, tesseractul are 8 fețe 3D, 24 fețe 2D, 32 de muchii și 16 vârfuri.
Descriere populară
Să încercăm să ne imaginăm cum va arăta un hipercub fără să plecăm spatiu tridimensional.
Într-un „spațiu” unidimensional - pe o linie - selectăm un segment AB de lungime L. Pe un plan bidimensional la o distanță L de AB, desenăm un segment DC paralel cu acesta și legăm capetele. Rezultatul este un pătrat ABCD. Repetând această operație cu planul, obținem un cub tridimensional ABCDHEFG. Și prin deplasarea cubului în a patra dimensiune (perpendiculară pe primele trei) cu o distanță L, obținem hipercubul ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG
Segmentul unidimensional AB servește ca latură a pătratului bidimensional ABCD, pătratul - ca latură a cubului ABCDHEFG, care, la rândul său, va fi latura hipercubului cu patru dimensiuni. Un segment de linie dreaptă are două puncte de limită, un pătrat are patru vârfuri, iar un cub are opt. Într-un hipercub cu patru dimensiuni, vor exista astfel 16 vârfuri: 8 vârfuri ale cubului original și 8 ale celui deplasat în a patra dimensiune. Are 32 de muchii - câte 12 oferă pozițiile inițiale și finale ale cubului original, iar alte 8 muchii „desenează” cele opt vârfuri ale sale, care s-au mutat în a patra dimensiune. Același raționament se poate face și pentru fețele unui hipercub. În spațiul bidimensional există doar unul (pătratul însuși), un cub are 6 dintre ele (două fețe din pătratul mutat și încă patru care descriu laturile sale). Un hipercub cu patru dimensiuni are 24 de fețe pătrate - 12 pătrate ale cubului original în două poziții și 12 pătrate din cele douăsprezece muchii ale sale.
În mod similar, putem continua raționamentul pentru hipercuburi Mai mult dimensiuni, dar este mult mai interesant să vedem cum va arăta un hipercub cu patru dimensiuni pentru noi, locuitorii spațiului tridimensional. Pentru aceasta vom folosi metoda deja familiară a analogiilor.
Desfacerea teseractului
Să luăm cubul de sârmă ABCDHEFG și să-l privim cu un ochi din partea marginii. Vom vedea și putem desena două pătrate pe plan (marginile apropiate și îndepărtate), conectate prin patru linii - margini laterale. În mod similar, un hipercub cu patru dimensiuni în spațiu trei dimensiuni vor arăta ca două „cutii” cubice introduse una în alta și conectate prin opt margini. În acest caz, „cutiile” în sine - fețe tridimensionale - vor fi proiectate în spațiul „nostru”, iar liniile care le leagă se vor întinde în a patra dimensiune. De asemenea, puteți încerca să vă imaginați cubul nu în proiecție, ci într-o imagine spațială.
Așa cum un cub tridimensional este format dintr-un pătrat deplasat de lungimea feței sale, un cub mutat în a patra dimensiune va forma un hipercub. Este limitat de opt cuburi, care în perspectivă vor arăta ca o figură destul de complexă. Partea care rămâne în spațiul „nostru” este desenată cu linii continue, iar partea care a intrat în hiperspațiu este desenată cu linii punctate. Hipercubul cu patru dimensiuni în sine constă dintr-un număr infinit de cuburi, la fel cum un cub tridimensional poate fi „tăiat” într-un număr infinit de pătrate plate.
Tăiind cele șase fețe ale unui cub tridimensional, îl puteți descompune într-o figură plată - o dezvoltare. Va avea câte un pătrat pe fiecare parte a feței originale, plus încă unul - fața opusă acesteia. Și dezvoltarea tridimensională a unui hipercub cu patru dimensiuni va consta din cubul original, șase cuburi „crescând” din acesta, plus încă unul - „hiperfața” finală.
Proprietățile teseractului sunt o extensie a proprietăților forme geometrice dimensiune mai mică în spațiu cu patru dimensiuni.
Proiecții
Spre spațiul bidimensional
Această structură este greu de imaginat, dar este posibil să se proiecteze un tesseract în spații bidimensionale sau tridimensionale. În plus, proiectarea pe un plan facilitează înțelegerea locației vârfurilor unui hipercub. În acest fel, este posibil să se obțină imagini care nu mai reflectă relațiile spațiale din interiorul teseractului, dar care ilustrează structura conexiunii vârfurilor, ca în următoarele exemple:
Spre spațiul tridimensional
Proiecția unui tesseract pe spațiul tridimensional constă din două cuburi tridimensionale imbricate, ale căror vârfuri corespunzătoare sunt conectate prin segmente. Cuburile interioare și exterioare au dimensiuni diferite în spațiul tridimensional, dar în spațiul cu patru dimensiuni sunt cuburi egale. Pentru a înțelege egalitatea tuturor cuburilor teseract, a fost creat un model de teseract rotativ.
Cele șase piramide trunchiate de-a lungul marginilor teseractului sunt imagini de șase cuburi egale.
Pereche stereo
O pereche stereo a unui tesseract este reprezentată ca două proiecții în spațiul tridimensional. Această imagine a teseractului a fost concepută pentru a reprezenta adâncimea ca o a patra dimensiune. Perechea stereo este vizualizată astfel încât fiecare ochi să vadă doar una dintre aceste imagini, apare o imagine stereoscopică care reproduce adâncimea teseractului.
Desfacerea teseractului
Suprafața unui tesseract poate fi desfășurată în opt cuburi (similar cu modul în care suprafața unui cub poate fi desfășurată în șase pătrate). Există 261 de modele diferite de tesseract. Desfăşurarea unui teseract poate fi calculată prin trasarea unghiurilor conectate pe un grafic.
Tesseract în art
În „New Abbott Plain” al Edwinei A., hipercubul acționează ca un narator.
Într-un episod din Aventurile lui Jimmy Neutron: „Boy Genius”, Jimmy inventează un hipercub cu patru dimensiuni identic cu cutia pliabilă din romanul lui Heinlein din 1963, Glory Road.
Robert E. Heinlein a menționat hipercuburi în cel puțin trei povești științifico-fantastice. În Casa celor patru dimensiuni (The House That Teal Built) (1940), el a descris o casă construită ca un tesseract neîmpachetat.
Romanul lui Heinlein, Drumul Gloriei, descrie feluri de mâncare de dimensiuni superioare, care erau mai mari la interior decât la exterior.
Povestea lui Henry Kuttner „Mimsy Were the Borogoves” descrie o jucărie educativă pentru copiii din viitorul îndepărtat, similară ca structură cu un tesseract.
În romanul lui Alex Garland (1999), termenul „tesseract” este folosit pentru desfășurarea tridimensională a unui hipercub cu patru dimensiuni, mai degrabă decât hipercubul în sine. Aceasta este o metaforă menită să arate că sistemul cognitiv trebuie să fie mai larg decât cel cognoscibil.
Intriga din Cube 2: Hypercube se concentrează pe opt străini prinși într-un „hipercub” sau o rețea de cuburi conectate.
Serialul de televiziune Andromeda folosește generatoare de teseract ca dispozitiv de complot. Ele sunt concepute în primul rând pentru a manipula spațiul și timpul.
Pictura „Răstignirea” (Corpus Hypercubus) de Salvador Dali (1954)
Cartea de benzi desenate Nextwave descrie un vehicul care include 5 zone tesseract.
În albumul Voivod Nothingface una dintre compoziții se numește „În hipercubul meu”.
În romanul lui Anthony Pearce Route Cube, una dintre lunile în orbită ale Asociației Internaționale de Dezvoltare este numită tesseract care a fost comprimat în 3 dimensiuni.
În seria „Școală” gaura neagra„” în al treilea sezon există un episod „Tesseract”. Lucas apasă un buton secret și școala începe să prindă contur ca un teseract matematic.
Termenul „tesseract” și termenul său derivat „tesseract” se găsesc în povestea „A Wrinkle in Time” de Madeleine L’Engle.
În geometrie hipercub- Asta n-analogia dimensională a unui pătrat ( n= 2) și cubul ( n= 3). Este o figură convexă închisă, constând din grupuri de linii paralele situate pe marginile opuse ale figurii și conectate între ele în unghi drept.
Această cifră este cunoscută și ca tesseract(teseract). Teseractul este la cub, așa cum cubul este la pătrat. Mai formal, un tesseract poate fi descris ca un politop cu patru dimensiuni convex obișnuit (poliedru) a cărui limită constă din opt celule cubice.
Potrivit Oxford English Dictionary, cuvântul „tesseract” a fost inventat în 1888 de Charles Howard Hinton și folosit în cartea sa „A New Era of Thought”. Cuvântul a fost derivat din grecescul „τεσσερες ακτινες” („patru raze”), sub forma a patru axe de coordonate. În plus, în unele surse, a fost numită aceeași cifră tetracub(tetracub).
n-hipercubul dimensional mai este numit n-cub.
Un punct este un hipercub de dimensiunea 0. Dacă deplasați punctul cu o unitate de lungime, obțineți un segment de unitate de lungime - un hipercub de dimensiunea 1. În plus, dacă deplasați segmentul cu o unitate de lungime într-o direcție perpendiculară pe direcția segmentului se obține un cub - un hipercub de dimensiunea 2. Deplasând pătratul cu o unitate de lungime în direcția perpendiculară pe planul pătratului, se obține un cub - un hipercub de dimensiunea 3. Acest proces poate fi generalizat la orice număr de dimensiuni. De exemplu, dacă mutați un cub cu o unitate de lungime în a patra dimensiune, obțineți un tesseract.
Familia hipercuburilor este una dintre puținele poliedre regulate care pot fi reprezentate în orice dimensiune.
Elementele unui hipercub
Hipercubul de dimensiune n are 2 n„laturile” (o linie unidimensională are 2 puncte; un pătrat bidimensional are 4 laturi; un cub tridimensional are 6 fețe; un tesseract cu patru dimensiuni are 8 celule). Numărul de vârfuri (puncte) unui hipercub este 2 n(de exemplu, pentru un cub - 2 3 vârfuri).
Cantitate m-hipercuburi dimensionale la limita n-cubul este egal
De exemplu, la limita unui hipercub sunt 8 cuburi, 24 de pătrate, 32 de muchii și 16 vârfuri.
| n-cub | Nume | Vertex (0-față) |
Margine (1-față) |
Margine (2 fețe) |
Celulă (3 fețe) |
(4 fețe) | (5 fețe) | (pe 6 fețe) | (7 fețe) | (8 fețe) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0-cub | Punct | 1 | ||||||||
| 1-cub | Segment | 2 | 1 | |||||||
| 2-cub | Pătrat | 4 | 4 | 1 | ||||||
| 3-cub | Cub | 8 | 12 | 6 | 1 | |||||
| 4-cub | Teseract | 16 | 32 | 24 | 8 | 1 | ||||
| 5-cub | Penteract | 32 | 80 | 80 | 40 | 10 | 1 | |||
| 6-cub | Hexeract | 64 | 192 | 240 | 160 | 60 | 12 | 1 | ||
| 7-cub | Hepteract | 128 | 448 | 672 | 560 | 280 | 84 | 14 | 1 | |
| 8-cub | Octeract | 256 | 1024 | 1792 | 1792 | 1120 | 448 | 112 | 16 | 1 |
| 9-cub | Eneract | 512 | 2304 | 4608 | 5376 | 4032 | 2016 | 672 | 144 | 18 |
Proiecție pe un avion
Formarea unui hipercub poate fi reprezentată în felul următor:
- Două puncte A și B pot fi conectate pentru a forma un segment de dreaptă AB.
- Două segmente paralele AB și CD pot fi conectate pentru a forma un pătrat ABCD.
- Două pătrate paralele ABCD și EFGH pot fi conectate pentru a forma un cub ABCDEFGH.
- Două cuburi paralele ABCDEFGH și IJKLMNOP pot fi conectate pentru a forma hipercubul ABCDEFGHIJKLMNOP.
Această ultimă structură nu este ușor de vizualizat, dar este posibilă reprezentarea proiecției sale în spațiul bidimensional sau tridimensional. Mai mult decât atât, proiecțiile pe un plan bidimensional pot fi mai utile, permițând rearanjarea pozițiilor vârfurilor proiectate. În acest caz, este posibil să se obțină imagini care nu mai reflectă relațiile spațiale ale elementelor din interiorul teseractului, ci ilustrează structura conexiunilor de vârf, ca în exemplele de mai jos.
Prima ilustrație arată cum, în principiu, un tesseract se formează prin unirea a două cuburi. Această schemă este similară cu schema de creare a unui cub din două pătrate. A doua diagramă arată că toate marginile teseractului au aceeași lungime. De asemenea, această schemă te obligă să cauți cuburi conectate între ele. În cea de-a treia diagramă, vârfurile teseractului sunt situate în conformitate cu distanțele de-a lungul fețelor față de punctul de jos. Această schemă este interesantă deoarece este folosită ca schemă de bază pentru topologia rețelei de conectare a procesoarelor atunci când se organizează calculul paralel: distanța dintre oricare două noduri nu depășește 4 lungimi de margine și există multe căi diferite pentru echilibrarea sarcinii.
Hipercubul în art
Hipercubul a apărut în literatura științifico-fantastică din 1940, când Robert Heinlein, în povestea „Și a construit o casă strâmbă”, a descris o casă construită sub forma unei scanări tesseract. În poveste, acest Next, această casă se prăbușește, transformându-se într-un tesseract cu patru dimensiuni. După aceasta, hipercubul apare în multe cărți și nuvele.
Filmul Cube 2: Hypercube este despre opt oameni prinși într-o rețea de hipercuburi.
Pictura lui Salvador Dali „Răstignirea (Corpus Hypercubus)”, 1954, îl înfățișează pe Iisus răstignit pe o scanare a teseractelor. Acest tablou poate fi văzut la Metropolitan Museum of Art din New York.
Concluzie
Un hipercub este unul dintre cele mai simple obiecte cu patru dimensiuni, pe exemplul căruia puteți vedea toată complexitatea și neobișnuința a patra dimensiune. Și ceea ce pare imposibil în trei dimensiuni este posibil în patru, de exemplu, figuri imposibile. Deci, de exemplu, barele unui triunghi imposibil în patru dimensiuni vor fi conectate în unghi drept. Și această figură va arăta așa din toate punctele de vedere și nu va fi distorsionată, spre deosebire de implementările unui triunghi imposibil în spațiul tridimensional (vezi.
Să începem prin a explica ce este spațiul cu patru dimensiuni.
Acesta este un spațiu unidimensional, adică pur și simplu axa OX. Orice punct de pe el este caracterizat de o coordonată.
Acum să desenăm axa OY perpendiculară pe axa OX. Deci obținem un spațiu bidimensional, adică planul XOY. Orice punct de pe acesta este caracterizat de două coordonate - abscisă și ordonată.
Să desenăm axa OZ perpendiculară pe axele OX și OY. Rezultă un spațiu tridimensional în care orice punct are o abscisă, ordonată și aplicată.
Este logic ca a patra axă, OQ, să fie perpendiculară pe axele OX, OY și OZ în același timp. Dar nu putem construi cu exactitate o astfel de axă și, prin urmare, nu putem decât să încercăm să ne imaginăm. Fiecare punct din spațiul cu patru dimensiuni are patru coordonate: x, y, z și q.
Acum să vedem cum a apărut cubul cu patru dimensiuni.
Imaginea arată o figură într-un spațiu unidimensional - o linie.
Dacă faceți o translație paralelă a acestei linii de-a lungul axei OY și apoi conectați capetele corespunzătoare ale celor două linii rezultate, veți obține un pătrat.
În mod similar, dacă faceți o translație paralelă a pătratului de-a lungul axei OZ și conectați vârfurile corespunzătoare, veți obține un cub.
Și dacă facem o translație paralelă a cubului de-a lungul axei OQ și conectăm vârfurile acestor două cuburi, atunci vom obține un cub cu patru dimensiuni. Apropo, se numește tesseract.
Pentru a desena un cub pe un avion, ai nevoie de el proiect. Vizual arată așa: 
Să ne imaginăm că atârnă în aer deasupra suprafeței model wireframe cub, adică ca și cum ar fi „făcut din sârmă”, iar deasupra este un bec. Dacă aprindeți becul, trasați umbra cubului cu un creion și apoi stingeți becul, o proiecție a cubului va fi reprezentată pe suprafață.
Să trecem la ceva un pic mai complex. Privește din nou desenul cu becul: după cum poți vedea, toate razele converg într-un punct. Se numește punct de fugași este folosit pentru a construi proiecție în perspectivă(și se întâmplă și paralel, când toate razele sunt paralele între ele. Rezultatul este că nu se creează senzația de volum, dar este mai ușoară și, în plus, dacă punctul de fuga este destul de departe de obiectul proiectat, atunci diferența dintre aceste două proiecții este puțin vizibilă). Pentru a proiecta un punct dat pe avion dat, folosind punctul de fuga, trebuie să trasați o linie dreaptă prin punctul de fuga și punctul dat, apoi găsiți punctul de intersecție al dreptei rezultate și al planului. Și pentru a proiecta o figură mai complexă, să zicem, un cub, trebuie să proiectați fiecare dintre vârfurile sale și apoi să conectați punctele corespunzătoare. Trebuie remarcat faptul că algoritm pentru proiectarea spațiului în subspațiu poate fi generalizat la cazul 4D->3D, nu doar 3D->2D.
După cum am spus, nu ne putem imagina exact cum arată axa OQ, la fel ca tesseract. Dar ne putem face o idee limitată despre el dacă îl proiectăm pe un volum și apoi îl desenăm pe ecranul unui computer!
Acum să vorbim despre proiecția teseractului.
În stânga este proiecția cubului pe plan, iar în dreapta este tesseract pe volum. Ele sunt destul de asemănătoare: proiecția unui cub arată ca două pătrate, mici și mari, unul în interiorul celuilalt, și ale căror vârfuri corespunzătoare sunt conectate prin linii. Și proiecția teseractului arată ca două cuburi, mici și mari, unul în interiorul celuilalt, și ale căror vârfuri corespunzătoare sunt conectate. Dar cu toții am văzut un cub și putem spune cu încredere că atât un pătrat mic, cât și unul mare, și patru trapeze deasupra, dedesubt, la dreapta și la stânga pătrat mic, sunt de fapt pătrate și sunt egale. Și teseract are același lucru. Și un cub mare și un cub mic și șase piramide trunchiate pe părțile laterale ale unui cub mic - toate acestea sunt cuburi și sunt egale.
Programul meu poate nu numai să deseneze proiecția unui tesseract pe un volum, ci și să îl rotească. Să vedem cum se face acest lucru.
În primul rând, vă voi spune despre ce este vorba rotație paralelă cu planul.
Imaginează-ți că cubul se rotește în jurul axei OZ. Apoi fiecare dintre vârfurile sale descrie un cerc în jurul axei OZ. 
Un cerc este o figură plată. Și planurile fiecăruia dintre aceste cercuri sunt paralele între ele și în în acest caz, paralel cu planul XOY. Adică, putem vorbi nu numai despre rotație în jurul axei OZ, ci și despre rotație paralelă cu planul XOY După cum vedem, pentru punctele care se rotesc paralel cu axa XOY, doar abscisa și ordonatele se schimbă, în timp ce aplicația rămâne. neschimbat și, de fapt, putem vorbi despre rotație în jurul unei linii drepte doar atunci când avem de-a face cu spațiu tridimensional. În spațiul bidimensional totul se rotește în jurul unui punct, în spațiul patrudimensional totul se rotește în jurul unui plan, în spațiul cincidimensional vorbim despre rotație în jurul unui volum. Și dacă ne putem imagina rotația în jurul unui punct, atunci rotația în jurul unui plan și al unui volum este ceva de neconceput. Și dacă vorbim despre rotație paralelă cu planul, atunci în orice spațiu n-dimensional un punct se poate roti paralel cu planul.
Mulți dintre voi probabil ați auzit de matricea de rotație. Înmulțind punctul cu acesta, obținem un punct rotit paralel cu planul cu un unghi phi. Pentru spatiu bidimensional arata cam asa: 
Cum se înmulțește: x dintr-un punct rotit cu un unghi phi = cosinusul unghiului phi*ix al punctului inițial minus sinus al unghiului phi*ig al punctului inițial;
ig al unui punct rotit cu un unghi phi = sinusul unghiului phi * ix al punctului original plus cosinusul unghiului phi * ig al punctului original.
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, unde Xa și Ya sunt abscisa și ordonata punctului de rotit, Xa` și Ya` sunt abscisa și ordonata punctului deja rotit
Pentru spațiul tridimensional, această matrice este generalizată după cum urmează: 
Rotație paralelă cu planul XOY. După cum puteți vedea, coordonatele Z nu se schimbă, ci doar X și Y se schimbă
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (în esență, Za`=Za)
Rotire paralelă avion XOZ. Nimic nou
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (în esență, Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za
Și a treia matrice.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (în esență, Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya - sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za
Și pentru a patra dimensiune arată astfel: 
Cred că înțelegeți deja cu ce să înmulțiți, așa că nu voi mai intra în detalii. Dar remarc că face același lucru ca o matrice pentru rotație paralelă cu un plan în spațiul tridimensional! Ambele schimba doar ordonata si aplicata, si nu ating celelalte coordonate, deci poate fi folosita in cazul tridimensional, pur si simplu fara a acorda atentie celei de-a patra coordonate.
Dar cu formula de proiecție, nu totul este atât de simplu. Indiferent câte forumuri am citit, nici una dintre metodele de proiecție nu a funcționat pentru mine. Cea paralelă nu era potrivită pentru mine, deoarece proiecția nu ar părea tridimensională. În unele formule de proiecție, pentru a găsi un punct trebuie să rezolvi un sistem de ecuații (și nu știu să învăț un calculator să le rezolve), altele pur și simplu nu le-am înțeles... În general, am decis să vin cu felul meu. În acest scop, luați în considerare proiecția 2D->1D.
pov înseamnă „Punctul de vedere”, ptp înseamnă „Punctul spre proiect” (punctul de proiectat), iar ptp` este punctul dorit pe axa OX.
Unghiurile povptpB și ptpptp`A sunt egale ca corespunzătoare (linia punctată este paralelă cu axa OX, linia dreaptă povptp este o secantă).
X-ul punctului ptp` este egal cu x-ul punctului ptp minus lungimea segmentului ptp`A. Acest segment poate fi găsit din triunghiul ptpptp`A: ptp`A = ptpA/tangente a unghiului ptpptp`A. Putem găsi această tangentă din triunghiul povptpB: tangentă ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Răspuns: Xptp`=Xptp-Yptp/tangente a unghiului ptpptp`A.
Nu am descris acest algoritm în detaliu aici, deoarece există o mulțime de cazuri speciale când formula se schimbă oarecum. Dacă cineva este interesat, uită-te la codul sursă al programului, totul este descris acolo în comentarii.
Pentru a proiecta un punct din spațiul tridimensional pe un plan, pur și simplu luăm în considerare două plane - XOZ și YOZ și rezolvăm această problemă pentru fiecare dintre ele. În cazul spațiului cu patru dimensiuni, este necesar să se ia în considerare trei planuri: XOQ, YOQ și ZOQ.
Și în sfârșit, despre program. Funcționează astfel: inițializați șaisprezece vârfuri ale tesseractului -> în funcție de comenzile introduse de utilizator, rotiți-l -> proiectați-l pe volum -> în funcție de comenzile introduse de utilizator, rotiți proiecția acestuia -> proiectați-l pe avionul -> desen.
Am scris eu însumi proiecțiile și rotațiile. Funcționează după formulele pe care tocmai le-am descris. Biblioteca OpenGL desenează linii și, de asemenea, se ocupă de amestecarea culorilor. Și coordonatele vârfurilor teseractelor sunt calculate în acest fel:
Coordonatele vârfurilor unei linii centrate la origine și lungimea 2 - (1) și (-1);
- " - " - pătrat - " - " - și o margine de lungime 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) și (-1; -1);
- " - " - cub - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
După cum puteți vedea, un pătrat este o linie deasupra axei OY și o linie sub axa OY; un cub este un pătrat în fața planului XOY și unul în spatele acestuia; Teseractul este un cub pe cealaltă parte a volumului XOYZ și unul pe această parte. Dar este mult mai ușor de perceput această alternanță de uni și minus dacă sunt scrise într-o coloană
1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1
În prima coloană, unu și minus unu alternează. În a doua coloană, mai întâi sunt două plusuri, apoi două minusuri. În al treilea - patru plus, și apoi patru minus. Acestea erau vârfurile cubului. Teseractul are de două ori mai multe dintre ele și, prin urmare, a fost necesar să se scrie o buclă pentru a le declara, altfel este foarte ușor să se confunde.
Programul meu poate desena și anaglifă. Posesorii fericiți de ochelari 3D pot observa o imagine stereoscopică. Nu este nimic dificil să desenezi o imagine, pur și simplu desenezi două proiecții pe plan, pentru ochiul drept și cel stâng. Dar programul devine mult mai vizual și mai interesant și, cel mai important, oferă o idee mai bună a lumii cu patru dimensiuni.
Funcții mai puțin semnificative sunt iluminarea uneia dintre margini în roșu, astfel încât virajele să poată fi văzute mai bine, precum și facilități minore - reglarea coordonatelor punctelor „ochi”, creșterea și scăderea vitezei de viraj.
Arhivați cu programul, codul sursă și instrucțiunile de utilizare.
Dacă ți s-a întâmplat un incident neobișnuit, ai văzut o creatură ciudată sau un fenomen de neînțeles, ne poți trimite povestea ta și va fi publicată pe site-ul nostru ===> .
Doctrina spațiilor multidimensionale a început să apară la mijlocul secolului al XIX-lea. Ideea spațiului cu patru dimensiuni a fost împrumutată de la oamenii de știință de către scriitorii de science fiction. În lucrările lor au spus lumii despre minuni uimitoare a patra dimensiune.
Eroii lucrărilor lor, folosind proprietățile spațiului cu patru dimensiuni, puteau mânca conținutul unui ou fără a deteriora coaja și să bea o băutură fără a deschide capacul sticlei. Hoții au scos comoara din seif prin dimensiunea a patra. Chirurgii au efectuat operații pe organele interne fără a tăia țesutul corporal al pacientului.
Teseract
În geometrie, un hipercub este o analogie n-dimensională a unui pătrat (n = 2) și a unui cub (n = 3). Analogul cu patru dimensiuni al cubului nostru obișnuit tridimensional este cunoscut sub numele de tesseract. Teseractul este la cub, așa cum cubul este la pătrat. Mai formal, un tesseract poate fi descris ca un poliedru cu patru dimensiuni convex obișnuit a cărui limită constă din opt celule cubice.
Fiecare pereche de fețe 3D neparalele se intersectează pentru a forma fețe 2D (pătrate) și așa mai departe. În cele din urmă, tesseractul are 8 fețe 3D, 24 fețe 2D, 32 de muchii și 16 vârfuri.
Apropo, conform Dicționarului Oxford, cuvântul tesseract a fost inventat și folosit în 1888 de Charles Howard Hinton (1853-1907) în cartea sa A New Age of Thought. Mai târziu, unii oameni au numit aceeași figură un tetracub (greacă tetra - patru) - un cub cu patru dimensiuni.
Construcție și descriere
Să încercăm să ne imaginăm cum va arăta un hipercub fără a părăsi spațiul tridimensional.
Într-un „spațiu” unidimensional - pe o linie - selectăm un segment AB de lungime L. Pe un plan bidimensional la o distanță L de AB, desenăm un segment DC paralel cu acesta și legăm capetele. Rezultatul este un CDBA pătrat. Repetând această operație cu planul, obținem un cub tridimensional CDBAGHFE. Și prin deplasarea cubului în a patra dimensiune (perpendiculară pe primele trei) cu o distanță L, obținem hipercubul CDBAGHFEKLJIOPNM.
Într-un mod similar, ne putem continua raționamentul pentru hipercuburi de un număr mai mare de dimensiuni, dar este mult mai interesant să vedem cum ne va arăta un hipercub cu patru dimensiuni pentru noi, rezidenții spațiului tridimensional.
Să luăm cubul de sârmă ABCDHEFG și să-l privim cu un ochi din partea marginii. Vom vedea și putem desena două pătrate pe plan (marginile apropiate și îndepărtate), conectate prin patru linii - margini laterale. În mod similar, un hipercub cu patru dimensiuni în spațiul tridimensional va arăta ca două „cutii” cubice introduse una în cealaltă și conectate prin opt margini. În acest caz, „cutiile” în sine - fețe tridimensionale - vor fi proiectate în spațiul „nostru”, iar liniile care le leagă se vor întinde în direcția celei de-a patra axe. De asemenea, puteți încerca să vă imaginați cubul nu în proiecție, ci într-o imagine spațială.
Așa cum un cub tridimensional este format dintr-un pătrat deplasat de lungimea feței sale, un cub mutat în a patra dimensiune va forma un hipercub. Este limitat de opt cuburi, care în perspectivă vor arăta ca o figură destul de complexă. Hipercubul cu patru dimensiuni în sine poate fi împărțit într-un număr infinit de cuburi, la fel cum un cub tridimensional poate fi „tăiat” într-un număr infinit de pătrate plate.
Tăiind cele șase fețe ale unui cub tridimensional, îl puteți descompune într-o figură plată - o dezvoltare. Va avea câte un pătrat pe fiecare parte a feței originale plus încă unul - fața opusă acesteia. Și dezvoltarea tridimensională a unui hipercub cu patru dimensiuni va consta din cubul original, șase cuburi „crescând” din acesta, plus încă unul - „hiperfața” finală.
Hipercubul în art
Tesseract este o figură atât de interesantă încât a atras în mod repetat atenția scriitorilor și realizatorilor de film.
Robert E. Heinlein a menționat de mai multe ori hipercuburi. În The House That Teal Built (1940), el a descris o casă construită ca un teseract neîmpachetat și apoi, din cauza unui cutremur, „s-a pliat” în dimensiunea a patra pentru a deveni un „adevărat” tesseract. Romanul lui Heinlein, Drumul Gloriei, descrie o cutie de dimensiuni foarte mari, care era mai mare la interior decât la exterior.
Povestea lui Henry Kuttner „All Tenali Borogov” descrie o jucărie educativă pentru copiii din viitorul îndepărtat, similară ca structură cu un tesseract.
Intriga din Cube 2: Hypercube se concentrează pe opt străini prinși într-un „hipercub” sau o rețea de cuburi conectate.
Lumea paralelă
Abstracțiile matematice au dat naștere ideii de existență lumi paralele. Acestea sunt înțelese ca realități care există simultan cu ale noastre, dar independent de aceasta. O lume paralelă poate avea dimensiuni diferite: de la o zonă geografică mică la un întreg univers. Într-o lume paralelă, evenimentele au loc în felul lor, pot fi diferite de lumea noastră, atât în detalii individuale, cât și în aproape orice. În același timp legi fizice ale unei lumi paralele nu sunt neapărat similare cu legile Universului nostru.
Acest subiect este un teren fertil pentru scriitorii de science fiction.
Pictura lui Salvador Dali „Răstignirea” înfățișează un teseract. „Răstignirea sau corpul hipercubic” este un tablou al artistului spaniol Salvador Dali, pictat în 1954. Îl înfățișează pe Iisus Hristos răstignit pe o scanare a teseractelor. Pictura este păstrată la Metropolitan Museum of Art din New York
Totul a început în 1895, când H.G. Wells, cu povestea sa „The Door in the Wall”, a descoperit existența unor lumi paralele pentru science fiction. În 1923, Wells a revenit la ideea de lumi paralele și a plasat într-una dintre ele o țară utopică în care merg personajele din romanul Men Like Gods.
Romanul nu a trecut neobservat. În 1926, a apărut povestea lui G. Dent „Împăratul Țării „Dacă”” În povestea lui Dent, a apărut pentru prima dată ideea că ar putea exista țări (lumi) a căror istorie ar putea merge diferit de istoria țărilor reale. în lumea noastră, iar aceste lumi nu sunt mai puțin reale decât ale noastre.
În 1944, Jorge Luis Borges a publicat povestea „Grădina căilor care se bifurcă” în cartea sa Povestiri fictive. Aici ideea timpului de ramificare a fost în sfârșit exprimată cu cea mai mare claritate.
În ciuda apariției lucrărilor enumerate mai sus, ideea multor lumi a început să se dezvolte serios în science fiction abia la sfârșitul anilor patruzeci ai secolului al XX-lea, aproximativ în același timp când a apărut o idee similară în fizică.
Unul dintre pionierii noii direcții în science-fiction a fost John Bixby, care a sugerat în povestea „One Way Street” (1954) că între lumi te poți mișca doar într-o singură direcție - odată ce treci din lumea ta într-una paralelă, nu te vei întoarce înapoi, dar vei trece dintr-o lume în alta. Cu toate acestea, întoarcerea la propria lume nu este exclusă - pentru aceasta este necesar ca sistemul de lumi să fie închis.
Romanul lui Clifford Simak Un inel în jurul soarelui (1982) descrie numeroase planete Pământ, fiecare existând în propria sa lume, dar pe aceeași orbită, iar aceste lumi și aceste planete diferă unele de altele doar printr-o ușoară schimbare (microsecundă) în timp. Numeroasele Pământuri vizitate de eroul romanului formează sistem unificat lumi.
Alfred Bester a exprimat o viziune interesantă asupra ramificării lumilor în povestea sa „The Man Who Killed Mohammed” (1958). „Schimbând trecutul”, a argumentat eroul poveștii, „îl schimbi doar pentru tine”. Cu alte cuvinte, după o schimbare în trecut, se naște o ramură a istoriei în care doar pentru personajul care a făcut schimbarea există această schimbare.
Povestea fraților Strugatsky „Monday Begins on Saturday” (1962) descrie călătoriile personajelor către diferite versiuni ale viitorului descrise de scriitorii de science-fiction - spre deosebire de călătoriile în lume care existau deja în science-fiction. diverse opțiuni trecut.
Cu toate acestea, chiar și o simplă enumerare a tuturor lucrărilor care ating tema lumilor paralele ar dura prea mult timp. Și, deși scriitorii de science fiction, de regulă, nu fundamentează științific postulatul multidimensionalității, au dreptate cu privire la un lucru - aceasta este o ipoteză care are dreptul de a exista.
A patra dimensiune a teseractului încă așteaptă să o vizităm.
Victor Savinov
