Linia mediană t. Proprietăți, semne, zonă. Linia de mijloc a trapezului - materiale pentru pregătirea pentru examenul de stat unificat la matematică. Proprietatea Bisectoarei Trapezului

Se numește patrulater în care doar două laturi sunt paralele trapez.

Laturile paralele ale unui trapez se numesc sale motive, iar acele laturi care nu sunt paralele se numesc laturi. Dacă laturile sunt egale, atunci un astfel de trapez este isoscel. Distanța dintre baze se numește înălțimea trapezului.

Linia de mijloc Trapez

Linia mediană este un segment care leagă punctele medii ale laturilor laterale ale trapezului. Linia mediană a trapezului este paralelă cu bazele sale.

Teorema:

Dacă o linie dreaptă care intersectează mijlocul unei laturi este paralelă cu bazele trapezului, atunci ea traversează a doua. lateral trapeze.

Teorema:

Lungimea liniei de mijloc este egală cu media aritmetică a lungimilor bazelor sale

MN || AB || DC
AM = MD; BN=NC

MN linia mediană, AB și CD - baze, AD și BC - laterale

MN = (AB + DC)/2

Teorema:

Lungimea liniei mediane a unui trapez este egală cu media aritmetică a lungimilor bazelor sale.

Sarcina principală: Demonstrați că linia mediană a unui trapez traversează un segment ale cărui capete se află în mijlocul bazelor trapezului.

Linia de mijloc a triunghiului

Segmentul care leagă punctele medii ale două laturi ale unui triunghi se numește linia mediană a triunghiului. Este paralel cu a treia latură și lungimea sa este egală cu jumătate din lungimea celei de-a treia laturi.
Teorema: Dacă o dreaptă care intersectează punctul de mijloc al unei laturi a unui triunghi este paralelă cu cealaltă parte a triunghiului, atunci ea traversează a treia latură.

AM = MC și BN = NC =>

Aplicarea proprietăților liniei mediane ale unui triunghi și ale unui trapez

Împărțirea unui segment într-o anumită cantitate părţi egale.
Sarcină: Împărțiți segmentul AB în 5 părți egale.
Soluţie:
Fie p o rază aleatorie a cărei origine este punctul A și care nu se află pe dreapta AB. Punem deoparte secvenţial 5 segmente egale pe p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Conectăm A 5 la B și trasăm astfel de linii prin A 4, A 3, A 2 și A 1 care sunt paralele cu A 5 B. Ele se intersectează cu AB, respectiv, în punctele B 4, B 3, B 2 și B 1. Aceste puncte împart segmentul AB în 5 părți egale. Într-adevăr, din trapezul BB 3 A 3 A 5 vedem că BB 4 = B 4 B 3. În același mod, din trapezul B 4 B 2 A 2 A 4 obținem B 4 B 3 = B 3 B 2

În timp ce din trapez B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Apoi din B 2 AA 2 rezultă că B 2 B 1 = B 1 A. În concluzie obținem:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Este clar că pentru a împărți segmentul AB în alt număr de părți egale, trebuie să proiectăm același număr de segmente egale pe raza p. Și apoi continuați în modul descris mai sus.

Linia de mijloc figuri în planimetrie - un segment care leagă punctele mijlocii a două laturi ale unei figuri date. Conceptul este folosit pentru următoarele figuri: triunghi, patrulater, trapez.

YouTube enciclopedic

1 / 3

✪ Clasa a VIII-a, lecția 25, Linia de mijloc a unui triunghi

✪ geometrie LINIA DE MEDIU A UNUI TRIUNGHI Atanasyan clasa a VIII-a

✪ Linia de mijloc a triunghiului | Geometrie 7-9 clasa #62 | Lecție de informații

Subtitrări

Linia de mijloc a triunghiului

Proprietăți

linia de mijloc a triunghiului este paralelă cu baza și egală cu jumătatea acesteia.
când toate cele trei linii de mijloc se intersectează, se formează 4 triunghiuri egale, similare (chiar homotetice) cu cel inițial cu un coeficient de 1/2.
linia de mijloc taie un triunghi care este similar cu acesta, iar aria sa este egală cu un sfert din aria triunghiului original.
Cele trei linii de mijloc ale triunghiului îl împart în 4 triunghiuri egale (identice), similare cu triunghiul original. Toate cele 4 astfel de triunghiuri identice se numesc triunghiuri mediale. Cel central dintre aceste 4 triunghiuri identice se numește triunghi complementar.

Semne

dacă un segment este paralel cu una dintre laturile triunghiului și conectează punctul de mijloc al unei laturi a triunghiului de un punct situat pe cealaltă parte a triunghiului, atunci aceasta este linia mediană.

Linia mediană a unui patrulater

Linia mediană a unui patrulater- un segment care leagă punctele medii ale laturilor opuse ale unui patrulater.

Proprietăți

Prima linie leagă 2 laturi opuse. Al doilea conectează alte 2 părți opuse. Al treilea conectează centrele a două diagonale (nu în toate patrulaterele diagonalele sunt împărțite la jumătate în punctul de intersecție).

Dacă într-un patrulater convex se formează linia de mijloc unghiuri egale cu diagonalele unui patrulater, atunci diagonalele sunt egale.
Lungimea liniei mediane a unui patrulater este mai mică de jumătate din suma celorlalte două laturi sau egală cu aceasta dacă aceste laturi sunt paralele și numai în acest caz.
Punctele de mijloc ale laturilor unui patrulater arbitrar sunt vârfurile unui paralelogram. Aria sa este egală cu jumătate din aria patrulaterului, iar centrul său se află în punctul de intersecție al liniilor de mijloc. Acest paralelogram se numește paralelogramul lui Varignon;
Ultimul punct înseamnă următoarele: Într-un patrulater convex poți desena patru linii mediane de al doilea fel. Linii mediane de al doilea fel- patru segmente în interiorul unui patrulater, care trec prin punctele medii ale laturilor sale adiacente paralele cu diagonalele. Patru linii mediane de al doilea fel a unui patrulater convex, tăiați-l în patru triunghiuri și un patrulater central. Acest patrulater central este un paralelogram Varignon.
Punctul de intersecție al liniilor mediane ale unui patrulater este punctul lor de mijloc comun și bisectează segmentul care leagă punctele de mijloc ale diagonalelor. Mai mult, ea este

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în procedurile judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

În acest articol, o altă selecție de probleme cu trapezul a fost făcută pentru tine. Condițiile sunt oarecum legate de linia mediană. Tipuri de sarcini preluate de la bancă deschisă sarcini tipice. Dacă doriți, vă puteți reîmprospăta cunoștințe teoretice. Blogul a discutat deja despre sarcini ale căror condiții sunt legate de, precum și. Pe scurt despre linia de mijloc:

Linia mediană a trapezului conectează punctele medii ale laturilor laterale. Este paralel cu bazele și egal cu jumătatea sumei lor.

Înainte de a rezolva probleme, să ne uităm la un exemplu teoretic.

Dat un trapez ABCD. Diagonala AC care se intersectează cu linia de mijloc formează punctul K, diagonala BD punctul L. Demonstrați că segmentul KL este egal cu jumătate din diferența bazelor.

Să remarcăm mai întâi faptul că linia mediană a unui trapez bisectează orice segment ale cărui capete se află pe bazele sale. Această concluzie se sugerează de la sine. Imaginați-vă un segment care conectează două puncte ale bazelor, acesta va împărți acest trapez în alte două. Se pare că un segment paralel cu bazele trapezului și care trece prin mijlocul laturii va trece prin mijlocul celeilalte părți.

Aceasta se bazează și pe teorema lui Thales:

Dacă mai multe segmente egale sunt așezate succesiv pe una dintre cele două linii și sunt trasate linii paralele prin capetele lor care intersectează a doua linie, atunci acestea vor tăia segmente egale de pe a doua linie.

Adică în în acest caz, K este mijlocul lui AC și L este mijlocul lui BD. Prin urmare EK este linia de mijloc triunghiul ABC, LF este linia mediană a triunghiului DCB. Conform proprietății liniei mediane a unui triunghi:

Acum putem exprima segmentul KL în termeni de baze:

Dovedit!

Acest exemplu este dat cu un motiv. În sarcini pentru decizie independentă există doar o astfel de sarcină. Numai că nu spune că segmentul care leagă punctele medii ale diagonalelor se află pe linia mediană. Să luăm în considerare sarcinile:

27819. Aflați linia mediană a trapezului dacă bazele lui sunt 30 și 16.

Calculăm folosind formula:

27820. Linia mediană a trapezului este 28, iar baza mai mică este 18. Aflați baza mai mare a trapezului.

Să exprimăm baza mai mare:

Astfel:

27836. O perpendiculară căzută de la vârful unui unghi obtuz la baza mai mare a unui trapez isoscel o împarte în părți având lungimile 10 și 4. Aflați linia mediană a acestui trapez.

Pentru a găsi linia de mijloc trebuie să cunoașteți bazele. Baza AB este ușor de găsit: 10+4=14. Să găsim DC.

Să construim a doua perpendiculară DF:

Segmentele AF, FE și EB vor fi egale cu 4, 6 și respectiv 4.

Într-un trapez isoscel, perpendicularele coborâte la baza mai mare îl împart în trei segmente. Două dintre ele, care au picioare tăiate triunghiuri dreptunghiulare, sunt egale între ele. Al treilea segment este egal cu baza mai mică, deoarece la construirea înălțimilor indicate, se formează un dreptunghi, iar într-un dreptunghi laturile opuse sunt egale. În această sarcină:

Astfel DC=6. Calculam:

27839. Bazele trapezului sunt în raportul 2:3, iar linia mediană este 5. Aflați baza mai mică.

Să introducem coeficientul de proporționalitate x. Atunci AB=3x, DC=2x. Putem scrie:

Prin urmare, baza mai mică este 2∙2=4.

27840. Perimetrul unui trapez isoscel este 80, linia sa mediană este egală cu latura laterală. Găsiți latura trapezului.

Pe baza condiției, putem scrie:

Dacă notăm linia din mijloc prin valoarea x, obținem:

A doua ecuație poate fi deja scrisă ca:

27841. Linia mediană a trapezului este 7, iar una dintre bazele sale este cu 4 mai mare decât cealaltă Aflați baza mai mare a trapezului.

Să notăm baza mai mică (DC) ca x, apoi cea mai mare (AB) va fi egală cu x+4. O putem nota

Am descoperit că baza mai mică este începutul cinci, ceea ce înseamnă că cea mai mare este egală cu 9.

27842. Linia mediană a trapezului este 12. Una dintre diagonale îl împarte în două segmente, a căror diferență este 2. Aflați baza mai mare a trapezului.

Putem găsi cu ușurință baza mai mare a trapezului dacă calculăm segmentul EO. Este linia mediană în triunghiul ADB și AB=2∙EO.

Ce avem? Se spune că linia din mijloc este egală cu 12 și diferența dintre segmentele EO și ОF este egală cu 2. Putem scrie două ecuații și rezolva sistemul:

Este clar că în acest caz puteți selecta o pereche de numere fără calcule, acestea sunt 5 și 7. Dar, totuși, să rezolvăm sistemul:

Deci EO=12–5=7. Astfel, baza mai mare este egală cu AB=2∙EO=14.

27844. Într-un trapez isoscel, diagonalele sunt perpendiculare. Înălțimea trapezului este de 12. Găsiți linia mediană a acestuia.

Să observăm imediat că înălțimea trasată prin punctul de intersecție al diagonalelor dintr-un trapez isoscel se află pe axa de simetrie și împarte trapezul în două trapeze dreptunghiulare egale, adică bazele acestei înălțimi sunt împărțite la jumătate.

S-ar părea că pentru a calcula linia de mijloc trebuie să găsim motive. Aici apare o mică fundătură... Cum, cunoscând înălțimea, în acest caz, calculăm bazele? În nici un caz! Există multe astfel de trapeze cu o înălțime fixă și diagonale care se intersectează la un unghi de 90 de grade. Ce ar trebuii să fac?

Uitați-vă la formula pentru linia mediană a unui trapez. La urma urmei, nu trebuie să cunoaștem motivele în sine, este suficient să le cunoaștem suma (sau jumătate). Putem face asta.

Deoarece diagonalele se intersectează în unghi drept, se formează triunghiuri dreptunghiulare isoscele cu înălțimea EF:

Din cele de mai sus rezultă că FO=DF=FC și OE=AE=EB. Acum să scriem cu ce este egală înălțimea, exprimată prin segmentele DF și AE:

Deci linia de mijloc este 12.

*În general, aceasta este o problemă, după cum înțelegeți, pentru calculul mental. Dar sunt sigur că explicația detaliată oferită este necesară. Și așa... Dacă te uiți la desen (cu condiția ca unghiul dintre diagonale să fie respectat în timpul construcției), egalitatea FO=DF=FC, și OE=AE=EB îți atrage imediat atenția.

Prototipurile includ și tipuri de sarcini cu trapeze. Este construit pe o foaie de hârtie într-o cușcă și trebuie să găsiți linia de mijloc, partea laterală a cuștii este de obicei egală cu 1, dar poate fi o valoare diferită.

27848. Aflați linia mediană a trapezului ABCD, dacă laturile celulelor pătrate sunt egale cu 1.

Este simplu, calculăm bazele pe celule și folosim formula: (2+4)/2=3

Dacă bazele sunt construite la un unghi față de grila celulei, atunci există două moduri. De exemplu!

Linia mediană a unui trapez, și în special proprietățile sale, sunt foarte des folosite în geometrie pentru a rezolva probleme și a demonstra anumite teoreme.

este un patrulater cu doar 2 laturi paralele între ele. Laturile paralele se numesc baze (în Figura 1 - ADŞi B.C.), celelalte două sunt laterale (în figură ABŞi CD).

Linia mediană a trapezului este un segment care leagă punctele medii ale laturilor sale (în Figura 1 - KL).

Proprietățile liniei mediane a unui trapez

Demonstrarea teoremei liniei mediane a trapezului

Dovedi că linia mediană a unui trapez este egală cu jumătate din suma bazelor sale și este paralelă cu aceste baze.

Dat un trapez ABCD cu linia mediană KL. Pentru a demonstra proprietățile luate în considerare, este necesar să se tragă o linie dreaptă prin puncte BŞi L. În figura 2, aceasta este o linie dreaptă BQ. Și, de asemenea, continuă fundația AD până la intersecția cu linia BQ.

Luați în considerare triunghiurile rezultate L.B.C.Şi LQD:

Prin definiția liniei mediane KL punct L este punctul de mijloc al segmentului CD. Rezultă că segmentele C.L.Şi LD sunt egali.
∠BLC = ∠QLD, deoarece aceste unghiuri sunt verticale.
∠BCL = ∠LDQ, deoarece aceste unghiuri se află transversal pe drepte paralele ADŞi B.C. si secante CD.

Din aceste 3 egalităţi rezultă că triunghiurile considerate anterior L.B.C.Şi LQD egal pe o latură și două unghiuri adiacente (vezi Fig. 3). Prin urmare, ∠LBC = ∠ LQD, BC=DQ si cel mai important - BL=LQ => KL, care este linia mediană a trapezului ABCD, este, de asemenea, linia mediană a triunghiului ABQ. După proprietatea liniei mediane a unui triunghi ABQ primim.