Metode de demonstrare a identităților. Identitate. Modalități de a demonstra identitățile Să luăm în considerare câteva exemple simple

În timpul procesului de învățare, elevii ar trebui să dezvolte abilități de a demonstra identitățile în următoarele moduri.

Dacă trebuie să dovediți că A=B, atunci puteți

1. demonstrați că A - B = O,

2. demonstrați că A/B = 1,

3. convertiți A în forma B,

4. convertiți B în tipul A,

5. convertiți A și B într-o formă C.

Proprietățile operațiilor aritmetice sunt folosite ca suport pe care sunt construite dovezile de identități. Uneori se folosesc concepte și metode geometrice în demonstrație. Dovezile geometrice nu sunt doar instructive și vizuale, dar ajută și la consolidarea conexiunilor interdisciplinare.

Probele de identitate pot fi împărțite în trei tipuri, în funcție de măsura în care satisfac cerințele de rigoare:

a) Raționament nu complet riguros, necesitând folosirea metodei inducției matematice pentru a-i conferi deplină rigoare. Aceste dovezi sunt folosite pentru a deriva reguli pentru operații cu polinoame și proprietăți ale puterilor cu exponenți naturali. De exemplu,

a k a r = (a ·······a) (a ········a) = a ········a = a k+p

k ori p ori k+p ori

b) Raționament complet riguros, bazat pe proprietățile de bază ale operațiilor aritmetice și nefolosind alte proprietăți ale sistemului numeric. Domeniul principal de aplicare a unor astfel de dovezi este identitățile înmulțirii prescurtate. Multe dintre afirmațiile exprimate prin formule de multiplicare prescurtate permit o ilustrare geometrică vizuală.

Exemplu Pentru identitate Profesorul poate sugera următoarea ilustrație:

c) Raționament complet riguros folosind condiții de solubilitate a ecuațiilor de forma Ψ(x) = a, unde Ψ este funcția elementară studiată. Astfel de dovezi sunt tipice pentru deducerea proprietăților unei puteri cu un exponent rațional și o funcție logaritmică. De exemplu, la demonstrarea proprietății rădăcinii aritmetice

(1)

ne vom baza pe o reformulare a definiţiei aritmeticii rădăcină pătrată: pentru numere nenegative x și y egalități y =
Şi

y 2 = x sunt echivalente, prin urmare (1) este echivalent cu (
) 2 = (
) 2 (2). De unde urmează și în = (
) 2 (
) 2 = a c.

Metoda de demonstrare care a fost folosită aici este folosită destul de rar, cu toate acestea, trebuie subliniat că ideea principală a demonstrației este de a compara două operații (sau funcții) - directă și inversă acesteia, care vor fi folosite deja în liceu.

Lanțul tehnologic de formare a algoritmilor și tehnicilor

transformări identitare ale expresiilor în școala de bază

Algoritm și metode de calcul

Expresii întregi

Tipuri de expresii întregi (monomic, polinom), gradul acestora, forma standard, cazuri speciale, formule de înmulțire abreviate. Acțiuni cu expresii întregi: factorizarea unui polinom;

identificarea unui pătrat perfect într-un trinom.

1. Algoritmi pentru efectuarea acțiunilor de bază cu expresii întregi.

2. Tehnici de factorizare a unui polinom.

3. O tehnică specială pentru izolarea unui pătrat complet într-un trinom.

4. O tehnică generalizată pentru simplificarea unei întregi expresii.

5. Tehnici de demonstrare a identității.

Expresii raționale

Proprietatea principală a unei expresii fracționale și consecințele acesteia. Reducerea expresiilor fracționale. Acțiuni cu rațional

expresii.

6. Tehnici de scriere a transformărilor expresiilor raţionale. 7. Tehnici de utilizare a analogiilor cu actiuni pe numere raționale

în cazuri generale și speciale.

8. Generalizarea tehnicilor 4 și 5.

Iraţional

expresii

Principala proprietate a unei rădăcini, cele mai simple transformări ale rădăcinilor. Acțiuni cu rădăcini, ridicând o expresie la o putere cu un exponent fracționar.

9. Tehnici speciale pentru transformările de bază ale rădăcinilor aritmetice.

10.Tehnici de conversie a expresiilor cu puteri cu exponent rațional.

11. Primirea dovezii inegalităţilor.

12. Generalizarea tehnicilor 2, 4, 5 și 11.

Sarcina pentru prelegere

Exemplu
După ce ați analizat manualele școlare, creați un tabel de egalități identice indicând mulțimea pe care este adevărată.

, M 1 – acele x pentru care f(x) are sens.

PRELEȚARE Nr. 3 Dovada identităților

Scop: 1. Repetați definițiile identității și expresiile identice egale.

3. 2. Introduceți conceptul de transformare identică a expresiilor.

Înmulțirea unui polinom cu un polinom.

4. Factorizarea unui polinom folosind metoda grupării.

Lasă în fiecare zi și în fiecare oră

El ne va aduce ceva nou,

Să ne fie mintea bună,

Și inima va fi inteligentă!

Există multe concepte în matematică. Una dintre ele este identitatea. O identitate este o egalitate care este valabilă pentru toate valorile variabilelor incluse în ea.

Știm deja câteva identități. De exemplu, toată lumea formule de înmulțire prescurtate

sunt identități.

1. (Formule de înmulțire prescurtate ± o)2 = Formule de înmulțire prescurtate b 2 ± 2 + o 2,

2. (Formule de înmulțire prescurtate ± o)3 = Formule de înmulțire prescurtate 3 ± 3 Formule de înmulțire prescurtate 2o + 32 ± 2 2 ± o 3,

3. Formule de înmulțire prescurtate 2 - o 2 = (Formule de înmulțire prescurtate - o)(Formule de înmulțire prescurtate + o),

4. Formule de înmulțire prescurtate 3 ± o 3 = (Formule de înmulțire prescurtate ± o)(Formule de înmulțire prescurtate 2 2 ± 2 + o 2).

Dovediți identitatea- aceasta înseamnă a stabili că pentru orice valoare variabilă validă, partea stângă a acesteia este egală cu partea dreaptă.

În algebră, există mai multe moduri diferite de a demonstra identitățile.

Metode de demonstrare a identităților

partea stângă a identității.

partea dreaptă a identității.

partea stângă și dreaptă a identității.

Din partea dreaptă a identității scădem partea stângă.

Partea dreaptă este scăzută din partea stângă a identității.

De asemenea, trebuie amintit că identitatea este valabilă numai pentru valorile admisibile ale variabilelor.

După cum puteți vedea, există destul de multe moduri. Ce metodă să alegeți într-un caz dat depinde de identitatea pe care trebuie să o dovediți. Pe măsură ce dovediți diferite identități, veți câștiga experiență în alegerea unei metode de probă.

O identitate este o ecuație care este satisfăcută identic, adică valabilă pentru orice valori admisibile ale variabilelor incluse în ea. A dovedi o identitate înseamnă a stabili că pentru toate valorile admisibile ale variabilelor, laturile ei stânga și dreapta sunt egale.
Modalități de a dovedi identitatea:
1. Efectuați transformări pe partea stângă și, în final, obțineți partea dreaptă.
2. Efectuați transformări pe partea dreaptă și, în final, obțineți partea stângă.
3. Transformați separat părțile din dreapta și din stânga și obțineți aceeași expresie atât în primul cât și în al doilea caz.
4. Compuneți diferența dintre laturile stânga și dreapta și, ca urmare a transformărilor sale, obțineți zero.
Să ne uităm la câteva exemple simple

Exemplul 1. Dovediți identitatea x·(a+b) + a·(b-x) = b·(a+x).

Soluţie.

Deoarece partea dreaptă are o expresie mică, să încercăm să transformăm partea stângă a egalității.

x·(a+b) + a·(b-x) = x·a +x·b + a·b – a·x.

Să prezentăm termeni similari și să scoatem factorul comun din paranteză.

x a + x b + a b – a x = x b + a b = b (a + x).

Am descoperit că partea stângă după transformări a devenit aceeași cu partea dreaptă. Prin urmare, această egalitate este o identitate.

Exemplul 2. Dovediți identitatea: Formule de înmulțire prescurtate² + 7·Formule de înmulțire prescurtate + 10 = (Formule de înmulțire prescurtate+5)·(Formule de înmulțire prescurtate+2).

Soluţie:

ÎN în acest exemplu o poți face în felul următor. Să deschidem parantezele din partea dreaptă a egalității.

(a+5)·(a+2) = (a²) + 5·a +2·a +10 = a²+7·a + 10.

Vedem că după transformări, partea dreaptă a egalității a devenit aceeași cu partea stângă a egalității. Prin urmare, această egalitate este o identitate.

„Înlocuirea unei expresii cu o alta identic egală cu ea se numește o transformare identică a expresiei”

Aflați ce egalitate este o identitate:

1. - (a – c) = - a – c;

2. 2 · (x + 4) = 2x – 4;

3. (x – 5) · (-3) = - 3x + 15.

4. рху (- р2 x2 y) = - р3 x3 y3.

„Pentru a demonstra că o anumită egalitate este o identitate sau, după cum se spune altfel, pentru a dovedi o identitate, se folosesc transformări identice ale expresiilor”

Se numește o egalitate care este adevărată pentru orice valoare a variabilelor identitate. Pentru a demonstra că o oarecare egalitate este o identitate sau, cum se spune altfel, așa că dovedi identitatea, folosiți transformări identice ale expresiilor.
Să demonstrăm identitatea:
xy - 3y - 5x + 16 = (x - 3)(y - 5) + 1 Transformați partea stângă a acestei egalități:
xy - 3y - 5x + 16 = (xy - 3y) + (- 5x + 15) +1 = y(x - 3) - 5(x -3) +1 = (y - 5)(x - 3) + 1 Ca urmare transformarea identităţii din partea stângă a polinomului am obținut latura sa dreaptă și prin aceasta am demonstrat că această egalitate este identitate.
Pentru dovezi de identitate transforma partea stângă în dreapta sau partea dreaptă în stânga sau arată că părțile stânga și dreaptă ale egalității inițiale sunt identic egale cu aceeași expresie.

Înmulțirea unui polinom cu un polinom

Să înmulțim polinomul a+b la un polinom c + d. Să compunem produsul acestor polinoame:
(a+b)(c+d).
Să notăm binomul a+b scrisoare xși transformați produsul rezultat conform regulii de înmulțire a unui monom cu un polinom:
(a+b)(c+d) = x(c+d) = xc + xd.
În exprimare xc + xd. hai sa inlocuim x polinom a+bși din nou folosiți regula pentru înmulțirea unui monom cu un polinom:
xc + xd = (a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd.
Aşa: (a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd.
Produsul polinoamelor a+bŞi c + d l-am reprezentat ca un polinom ac + bc + ad + bd. Acest polinom este suma tuturor monomiilor rezultate din înmulțirea fiecărui termen al polinomului a+b pentru fiecare termen al polinomului c + d.
Concluzie: produsul a oricăror două polinoame poate fi reprezentat ca un polinom.
Regulă: Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al altui polinom și să adăugați produsele rezultate.
Rețineți că atunci când înmulțiți un polinom care conține m termeni la un polinom care contine n termeni din produs, înainte de a aduce termeni similari, rezultatul ar trebui să fie mn membrii. Acesta poate fi folosit pentru control.

Factorizarea unui polinom folosind metoda grupării:

Anterior, am fost introduși în factorizarea unui polinom prin scoaterea din paranteze a factorului comun. Uneori este posibil să factorizezi un polinom folosind o altă metodă - gruparea membrilor săi.
Să factorizăm polinomul
ab - 2b + 3a - 6 Să o grupăm astfel încât termenii din fiecare grup să aibă un factor comun și să scoatem acest factor din paranteze:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab - 2b) + (3a - 6) = b(a - 2) + 3(a - 2) Fiecare termen al expresiei rezultate are un factor comun (a - 2). Să scoatem acest factor comun dintre paranteze:
b(a - 2) + 3(a - 2) = (b +3)(a - 2) Ca rezultat, am factorizat polinomul original:
ab - 2b + 3a - 6 = (b +3)(a - 2) Metoda pe care am folosit-o pentru factorizarea polinomului se numește metoda de grupare.
Expansiunea polinomială ab - 2b + 3a - 6 factorizarea se poate face prin gruparea diferită a termenilor săi:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab + 3a) + (- 2b - 6) = a(b + 3) -2(b + 3) = (a - 2)(b + 3)

Repeta:

1. Metode de demonstrare a identităților.

2. Ceea ce se numește transformarea identitară a unei expresii.

3. Înmulțirea unui polinom cu un polinom.

4. Factorizarea unui polinom folosind metoda grupării

Înapoi Înainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Daca esti interesat această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiective:

Revizuiți definițiile identității și expresiile identice egale.
Introduceți conceptul de transformare a identității expresiilor.
Să dezvolte abilitățile elevilor în demonstrarea identităților folosind metoda transformării identice a expresiilor.
A menționa cultura comunicativă elevilor.

Progresul lecției

Înainte de începerea lecției, elevii clasei sunt împărțiți în șase grupuri de studiu mixte.

eu

Profesor: Bună, băieți, îmi propun să transformăm sala de clasă într-o provizorie laborator de cercetare, iar tu și cu mine în Master în științe matematice.

Dar fiecare om de știință care se respectă decide constant ceva foarte problema importanta, așa că noi, în primul rând, trebuie să aflăm: la ce problemă vom lucra astăzi?

Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvăm două probleme: (Diapozitivul 1)

Factorizați expresia 4x – 8xy.(După finalizarea sarcinii, cuvântul „Dovadă” apare pe diapozitiv)
Imaginează-ți expresia -5у(у – 2) sub forma unui polinom. (După finalizarea sarcinii, cuvântul „Identități” apare pe diapozitiv)

Profesor: Astăzi vom lucra la „Dovada identităților”, și îmi propun să luăm aceste cuvinte minunate drept motto al muncii noastre: (Diapozitivul 2)

Lasă în fiecare zi și în fiecare oră
El ne va aduce ceva nou,
Să ne fie mintea bună,
Și inima va fi inteligentă!

II

Profesor: Domnilor, oameni de știință, înainte de a rezolva problema, trebuie să ne întărim baza teoretică, deoarece conceptul de identitate vă este deja familiar. Și, prin urmare, în secțiunea (Diapozitivul 3) „Repetiția este mama învățării” Vă sugerez să faceți următoarele:

În fiecare grupă științifică există formulări a trei concepte pe cardul 1, dintre care trebuie să găsiți două definiții: 1) Definiția identității, 2) Definiția expresiilor identice egale.

(Elevii studiază aceste definiții timp de 2-3 minute, sunt întrebați reprezentanții acelor grupuri care au finalizat sarcina cel mai repede, restul participanților din alte grupuri arată de acord sau dezacord folosind cartonașe verzi și roșii)

Cardul 1

Odată ce elevii dau definiția corectă, aceasta este afișată pe ecran.

Profesor: Bine, acum hai să ne testăm. Pe ecran vor apărea egalități, dacă această egalitate este o identitate, atunci vă sugerez să vă ridicați, dar dacă nu, atunci continuați să stați: (Diapozitivul 4)

- (a – b) = - a + b
a (b + c) = ab - ac
a – (b + c) = a – b + c
(a + b) – c = a – c + b
- (a + b) = - b - a

III

Profesor: Bine, acum este timpul să ne transformăm din teoreticieni în oameni de știință practicieni, dar pentru aceasta trebuie să aflăm ce trebuie să folosim pentru dovedi identitatea, și aici nu ne putem lipsi literatura stiintifica, vom găsi răspunsul la această întrebare pe pagina ... a manualului dvs. Elevii găsesc răspunsul în manual: „Pentru a dovedi că o anumită egalitate este o identitate sau, după cum spun ei altfel, pentru a dovedi o identitate, folosesc transformări identice ale expresiilor”. Participanții din alte grupuri indică acordul sau dezacordul cu semnalele speciale discutate mai sus. (Diapozitivul 5)

Profesor: Bravo, dar acum apare următoarea întrebare, și ce este transformarea identitară a expresiilor? Răspunsul poate fi găsit la card 1, aceasta este a treia definiție rămasă.

„Înlocuirea unei expresii cu alta identică cu ea se numește o transformare identică a unei expresii” (profesorul invită unul dintre participanții oricărui grup să răspundă la această întrebare) (Diapozitivul 6)

Acum suntem deja „copți” pentru munca practica, și v-aș ruga să vă îndreptați atenția asupra cardul 2. Sarcina: „Demonstrați identitatea”, fiecare grup de oameni de știință a primit un exemplu pe care trebuie să-l rezolve în mod independent, dacă apar dificultăți, cardurile de consultant vor veni în ajutor.

Cardul 2

Acum trebuie să ne protejăm munca. (Prezentarea lucrărilor finalizate la consiliu, vorbesc membrii grupului dornici)

Profesor: Grozav, iar acum, dragi colegi, este timpul să rezumam, ce trebuie să facem pentru a demonstra că egalitatea este identitate? Răspunsuri așteptate ale elevilor: (Diapozitivul 7)

Scrieți partea stângă a egalității, transformați-o și asigurați-vă că este egală cu dreapta.
sau
Notați partea dreaptă a egalității, transformați-o și asigurați-vă că este egală cu stânga.
sau
Transformați ambele părți din stânga și din dreapta ale egalității și asigurați-vă că sunt egale cu aceeași expresie.

Profesor: Ce concluzie se poate trage în cazul în care tot ceea ce tocmai am spus nu se va împlini? Răspuns sugerat pentru elev: Egalitatea nu va fi identitate.

IV

Profesor: Pentru a ne asigura că cunoștințele dobândite sunt de durată, vom continua această muncă acasă:

Teme pentru acasă: p. 30, 773, * Alcătuiește o egalitate care va fi o identitate.

V

Profesor: Și acum a venit ceasul creativității: În poezia pe care o vedeți, introduceți cuvintele care lipsesc: (Diapozitive 8-9)

Sunt tot felul de egalități, fraților,
Și toată lumea, desigur, știe despre asta.
Există - cu variabile, există - (numerice),
Foarte, foarte complex (simplu)
Dar printre egalități există o clasă specială,
Ne vom spune povestea despre el acum.
Această egalitate se numește (identitate).
Dar mai trebuie să dovedim acest lucru.
Pentru a face acest lucru trebuie doar să luăm
Iar egalitatea este (conversia)
Desigur, nu ne va fi greu să aflăm
Ce parte va trebui să schimbăm?
Sau poate va trebui să le schimbăm pe amândouă,
Prin egalitate de spirit nu este greu (de înțeles)
Ura! Am putut să ne aplicăm cunoștințele
Conversia egalității a fost finalizată.
Și spunem cu îndrăzneală răspunsul:
Deci (identitatea) este sau nu!

Dovada identităților. Există multe concepte în matematică. Una dintre ele este identitatea.

Există multe concepte în matematică. Una dintre ele este identitatea.

Știm deja câteva identități. De exemplu, toate formulele de multiplicare abreviate sunt identități.

Dovediți identitatea- aceasta înseamnă a stabili că pentru orice valoare variabilă validă, partea stângă a acesteia este egală cu partea dreaptă.

În algebră, există mai multe moduri diferite de a demonstra identitățile.

Metode de demonstrare a identităților

partea stângă a identității. Dacă ajungem cu partea dreaptă, atunci identitatea este considerată dovedită.
Efectuați conversii echivalente partea dreaptă a identității. Dacă ajungem în sfârșit pe partea stângă, atunci identitatea este considerată dovedită.
Efectuați conversii echivalente partea stângă și dreaptă a identității. Dacă obținem același rezultat, atunci identitatea este considerată dovedită.
Din partea dreaptă a identității scădem partea stângă.
Partea dreaptă este scăzută din partea stângă a identității. Efectuăm transformări echivalente asupra diferenței. Și dacă până la urmă obținem zero, atunci identitatea este considerată dovedită.

De asemenea, trebuie amintit că identitatea este valabilă numai pentru valorile admisibile ale variabilelor.

Să ne uităm la câteva exemple simple

Exemplul 1.

Demonstrați identitatea x*(a+b) + a*(b-x) = b*(a+x).

Soluţie.

Deoarece partea dreaptă are o expresie mică, să încercăm să transformăm partea stângă a egalității.

x*(a+b) + a*(b-x) = x*a+x*b+a*b – a*x.

Să prezentăm termeni similari și să scoatem factorul comun din paranteză.

x*a+x*b+a*b – a*x = x*b+a*b = b*(a+x).

Am descoperit că partea stângă după transformări a devenit aceeași cu partea dreaptă. Prin urmare, această egalitate este o identitate.

Exemplul 2.

Demonstrați identitatea a^2 + 7*a + 10 = (a+5)*(a+2).

Soluţie.

În acest exemplu, puteți proceda în felul următor. Să deschidem parantezele din partea dreaptă a egalității.

(a+5)*(a+2) = (a^2) +5*a +2*a +10= a^2+7*a+10.

Vedem că după transformări, partea dreaptă a egalității a devenit aceeași cu partea stângă a egalității. Prin urmare, această egalitate este o identitate.

Exemplul 2. Dovediți identitatea

Vom dovedi această identitate transformând expresia din partea dreaptă.

Metoda 1.

De aceea

Metoda 2.

În primul rând, rețineți că ctg α =/= 0; altfel expresia tg nu ar avea sens α = 1/ctg α . Dar dacă ctg α =/= 0, atunci numărătorul și numitorul expresiei radicalului pot fi înmulțite cu ctg α , fără a modifica valoarea fracției. Prin urmare,

Utilizarea identităților tg α ctg α = 1 și 1+ ctg 2 α = cosec 2 α , primim

De aceea Q.E.D.

Comentariu. Trebuie remarcat faptul că partea stângă a identității dovedite (păcat α ) este definit pentru toate valorile α , iar cea potrivită - numai când α =/= π / 2 n.

Prin urmare, numai când toate valabile valorile α În general, aceste expresii nu sunt echivalente între ele.

Exemplul 3. Dovediți identitatea

păcat (3/2 π + α ) + cos ( π - α ) = cos (2 π + α ) - 3sin ( π / 2 - α )

Să transformăm părțile stânga și dreaptă ale acestei identități folosind formulele de reducere:

păcat (3/2 π + α ) + cos ( π - α ) = -cos α -cos α = - 2cos α ;

cos(2 π + α ) - 3sin ( π / 2 - α ) =cos α - 3cos α = - 2cos α .

Deci, expresiile care apar în ambele părți ale acestei identități sunt reduse la aceeași formă. Aceasta dovedește identitatea.

Exemplul 4. Dovediți identitatea

păcatul 4 α + cos 4 α - 1 = - 2 sin 2 α cos 2 α .

Să arătăm că diferența dintre partea stângă și cea dreaptă. a acestei identități este egală cu zero.

(păcatul 4 α + cos 4 α - 1) - (- 2 sin 2 α cos 2 α ) = (păcatul 4 α + 2sin 2 α cos 2 α + cos 4 α ) - 1 =

= (păcatul 2 α + cos 2 α ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0.

Aceasta dovedește identitatea.

Exemplul 5. Dovediți identitatea

Această identitate poate fi considerată o proporție. Dar pentru a demonstra validitatea proporției a / b = c / d, este suficient să arătăm că produsul termenilor săi extremi ad egal cu produsul termenilor săi medii bc. În asta vom face în acest caz,. Să arătăm că (1 - păcat α ) (1+ sin α ) = cos α cos α .

Într-adevăr, (1 - păcat α ) (1 + sin α ) = 1 -sin 2 α = cos 2 α .