Aria unui paralelogram. Cum să găsiți aria unui paralelogram? Aria unui paralelogram dacă se cunosc două laturi

Definiţia parallelogram

Paralelogram este un patrulater în care laturi opuse egale și paralele.

Calculator online

Paralelogramul are câteva proprietăți utile care facilitează rezolvarea problemelor care implică această figură. De exemplu, una dintre proprietăți este că unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt egale.

Să luăm în considerare mai multe metode și formule urmate de rezolvarea unor exemple simple.

Formula pentru aria unui paralelogram bazată pe baza și înălțimea acestuia

Această metodă de găsire a zonei este probabil una dintre cele mai de bază și mai simple, deoarece este aproape identică cu formula pentru găsirea ariei unui triunghi, cu câteva excepții. Mai întâi, să ne uităm la cazul generalizat fără a folosi numere.

Să fie dat un paralelogram arbitrar cu o bază a a o, latura b b b si inaltime h h h, dus la baza noastră. Atunci formula pentru aria acestui paralelogram este:

S = a ⋅ h S=a\cdot h S=a ⋅h

A a o- baza;
h h h- înălțime.

Să ne uităm la o problemă ușoară pentru a exersa rezolvarea problemelor tipice.

Exemplu

Găsiți aria unui paralelogram în care se știe că baza este de 10 (cm) și înălțimea este de 5 (cm).

Soluţie

A = 10 a=10 a =1 0
h = 5 h=5 h =5

O înlocuim în formula noastră. Primim:
S = 10 ⋅ 5 = 50 S=10\cdot 5=50S=1 0 ⋅ 5 = 5 0 (vezi mp.)

Răspuns: 50 (vezi pătratul)

Formula pentru aria unui paralelogram bazată pe două laturi și unghiul dintre ele

În acest caz, valoarea necesară este găsită după cum urmează:

S = a ⋅ b ⋅ sin ⁡ (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha)S=a ⋅b ⋅păcat(α)

A, b a, b a, b- laturile unui paralelogram;
α\alfa α - unghiul dintre laturi a a oŞi b b b.

Acum să rezolvăm un alt exemplu și să folosim formula descrisă mai sus.

Exemplu

Aflați aria unui paralelogram dacă latura este cunoscută a a o, care este baza și are o lungime de 20 (cm) și un perimetru p p p, numeric egal cu 100 (cm), unghiul dintre laturile adiacente ( a a oŞi b b b) este egal cu 30 de grade.

Soluţie

A = 20 a=20 a =2 0
p = 100 p=100 p =1 0 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Pentru a găsi răspunsul, cunoaștem doar a doua latură a acestui patrulater. Să o găsim. Perimetrul unui paralelogram este dat de formula:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b p =a+a+b+b
100 = 20 + 20 + b + b 100=20+20+b+b1 0 0 = 2 0 + 2 0 + b+b
100 = 40 + 2b 100=40+2b 1 0 0 = 4 0 + 2 b
60 = 2b 60=2b 6 0 = 2 b
b = 30 b=30 b =3 0

Cea mai grea parte s-a terminat, tot ce rămâne este să înlocuim valorile noastre cu laturile și unghiul dintre ele:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300S=2 0 ⋅ 3 0 ⋅ păcatul (3 0 ∘ ) = 3 0 0 (vezi mp.)

Răspuns: 300 (vezi mp)

Formula pentru aria unui paralelogram bazată pe diagonale și unghiul dintre ele

S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha)S=2 1 ⋅ D⋅d⋅păcat(α)

D D D- diagonala mare;
d d d- diagonala mica;
α\alfa α - unghi ascuțitîntre diagonale.

Exemplu

Sunt date diagonalele unui paralelogram egale cu 10 (cm) și 5 (cm). Unghiul dintre ele este de 30 de grade. Calculați-i aria.

Soluţie

D=10 D=10 D=1 0
d = 5 d=5 d =5
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 12.5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12.5S=2 1 ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ păcatul (3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (vezi mp.)

La rezolvarea problemelor pe această temă, cu excepția proprietăți de bază paralelogramși formulele corespunzătoare, vă puteți aminti și aplica următoarele:

Bisectoarea unui unghi interior al unui paralelogram decupează un triunghi isoscel din acesta
Bisectoarele unghiurilor interioare adiacente uneia dintre laturile unui paralelogram sunt reciproc perpendiculare
Bisectoarele care provin din colțurile interioare opuse ale unui paralelogram sunt paralele între ele sau se află pe aceeași linie dreaptă
Suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu suma pătratelor laturilor sale
Aria unui paralelogram este egală cu jumătate din produsul diagonalelor și sinusul unghiului dintre ele

Să luăm în considerare problemele în care sunt utilizate aceste proprietăți.

Sarcina 1.

Bisectoarea unghiului C a paralelogramului ABCD intersectează latura AD în punctul M și continuarea laturii AB dincolo de punctul A în punctul E. Aflați perimetrul paralelogramului dacă AE = 4, DM = 3.

Soluţie.

1. Triunghiul CMD este isoscel. (Proprietatea 1). Prin urmare, CD = MD = 3 cm.

2. Triunghiul EAM este isoscel.
Prin urmare, AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Perimetrul ABCD = 20 cm.

Răspuns. 20 cm.

Sarcina 2.

Diagonalele sunt desenate într-un patrulater convex ABCD. Se știe că ariile triunghiurilor ABD, ACD, BCD sunt egale. Demonstrați că acest patrulater este un paralelogram.

Soluţie.

1. Fie BE înălțimea triunghiului ABD, CF înălțimea triunghiului ACD. Întrucât, conform condițiilor problemei, ariile triunghiurilor sunt egale și au teren comun AD, atunci înălțimile acestor triunghiuri sunt egale. BE = CF.

2. BE, CF sunt perpendiculare pe AD. Punctele B și C sunt situate pe aceeași parte față de dreapta AD. BE = CF. Prin urmare, linia dreaptă BC || A.D. (*)

3. Fie AL înălțimea triunghiului ACD, BK înălțimea triunghiului BCD. Deoarece, conform condițiilor problemei, ariile triunghiurilor sunt egale și au o bază comună CD, atunci înălțimile acestor triunghiuri sunt egale. AL = BK.

4. AL și BK sunt perpendiculare pe CD. Punctele B și A sunt situate pe aceeași parte față de linia dreaptă CD. AL = BK. Prin urmare, linia dreaptă AB || CD (**)

5. Din condiții (*), (**) rezultă că ABCD este un paralelogram.

Răspuns. Dovedit. ABCD este un paralelogram.

Sarcina 3.

Pe laturile BC și CD ale paralelogramului ABCD sunt marcate punctele M, respectiv H, astfel încât segmentele BM și HD să se intersecteze în punctul O;<ВМD = 95 о,

Soluţie.

1. În triunghi DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. Într-un triunghi dreptunghic DHC
(
Apoi<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Deoarece într-un triunghi dreptunghic catetul care se află opus unghiului de 30° este egal cu jumătate din ipotenuză).

Dar CD = AB. Atunci AB: HD = 2: 1.

3. <С = 30 о,
4. <А = <С = 30 о, <В =
Răspuns: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Sarcina 4.

Una dintre diagonalele unui paralelogram cu lungimea de 4√6 face un unghi de 60° cu baza, iar a doua diagonală face un unghi de 45° cu aceeași bază. Găsiți a doua diagonală.

Soluţie.

1. AO = 2√6.

2. Aplicăm teorema sinusului triunghiului AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Raspuns: 12.

Sarcina 5.

Pentru un paralelogram cu laturile 5√2 și 7√2, unghiul mai mic dintre diagonale este egal cu unghiul mai mic al paralelogramului. Aflați suma lungimilor diagonalelor.

Soluţie.

Fie d 1, d 2 diagonalele paralelogramului, iar unghiul dintre diagonale și unghiul mai mic al paralelogramului este egal cu φ.

1. Să numărăm două diferite
modurile zonei sale.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Obținem egalitatea 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f sau

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Folosind relația dintre laturile și diagonalele paralelogramului scriem egalitatea

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Să creăm un sistem:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Să înmulțim a doua ecuație a sistemului cu 2 și să o adăugăm la prima.

Se obține (d 1 + d 2) 2 = 576. Prin urmare, Id 1 + d 2 I = 24.

Deoarece d 1, d 2 sunt lungimile diagonalelor paralelogramului, atunci d 1 + d 2 = 24.

Raspuns: 24.

Sarcina 6.

Laturile paralelogramului sunt 4 și 6. Unghiul ascuțit dintre diagonale este de 45 de grade. Aflați aria paralelogramului.

Soluţie.

1. Din triunghiul AOB, folosind teorema cosinusului, scriem relația dintre latura paralelogramului și diagonale.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. În mod similar, scriem relația pentru triunghiul AOD.

Să luăm în considerare asta<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Obținem ecuația d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Avem un sistem
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Scăzând prima din a doua ecuație, obținem 2d 1 · d 2 √2 = 80 sau

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Nota:În această problemă și în cea anterioară nu este nevoie să rezolvăm complet sistemul, anticipând că în această problemă avem nevoie de produsul diagonalelor pentru a calcula aria.

Raspuns: 10.

Sarcina 7.

Aria paralelogramului este 96, iar laturile sale sunt 8 și 15. Aflați pătratul diagonalei mai mici.

Soluţie.

1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Să facem o înlocuire în formulă.

Obținem 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Prin urmare, sin ВAD = 4/5.

2. Să găsim cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25.

În funcție de condițiile problemei, găsim lungimea diagonalei mai mici. Diagonala ВD va fi mai mică dacă unghiul ВАD este acut. Atunci cos VAD = 3 / 5.

3. Din triunghiul ABD, folosind teorema cosinusului, găsim pătratul diagonalei BD.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

Raspuns: 145.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi o problemă de geometrie?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Un paralelogram este o figură geometrică care se găsește adesea în problemele unui curs de geometrie (planimetrie secțiuni). Caracteristicile cheie ale acestui patrulater sunt egalitatea unghiurilor opuse și prezența a două perechi de laturi opuse paralele. Cazurile speciale ale unui paralelogram sunt rombul, dreptunghiul, pătratul.

Calcularea ariei acestui tip de poligon se poate face în mai multe moduri. Să ne uităm la fiecare dintre ele.

Aflați aria unui paralelogram dacă se cunosc latura și înălțimea

Pentru a calcula aria unui paralelogram, puteți utiliza valorile laturii sale, precum și lungimea înălțimii coborâte pe acesta. În acest caz, datele obținute vor fi de încredere atât pentru cazul unei laturi cunoscute - baza figurii, cât și dacă aveți la dispoziție partea laterală a figurii. În acest caz, valoarea necesară va fi obținută folosind formula:

S = a * h (a) = b * h (b),

S este zona care ar fi trebuit determinată,

a, b – partea cunoscută (sau calculată),

h este înălțimea coborâtă pe el.

Exemplu: valoarea bazei unui paralelogram este de 7 cm, lungimea perpendicularei coborâte pe acesta de la vârful opus este de 3 cm.

Rezolvare: S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.

Aflați aria unui paralelogram dacă sunt cunoscute 2 laturi și unghiul dintre ele

Să luăm în considerare cazul când cunoașteți dimensiunile a două laturi ale unei figuri, precum și gradul de măsurare a unghiului pe care îl formează între ele. Datele furnizate pot fi folosite și pentru a găsi aria unui paralelogram. În acest caz, expresia formulei va arăta astfel:

S = a * c * sinα = a * c * sinβ,

a - partea,

c – bază cunoscută (sau calculată),

α, β – unghiuri dintre laturile a și c.

Exemplu: baza unui paralelogram este de 10 cm, latura lui este cu 4 cm mai mică. Unghiul obtuz al figurii este de 135°.

Rezolvare: determinați valoarea celei de-a doua laturi: 10 – 4 = 6 cm.

S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2.

Aflați aria unui paralelogram dacă diagonalele și unghiul dintre ele sunt cunoscute

Prezența valorilor cunoscute ale diagonalelor unui poligon dat, precum și unghiul pe care acestea îl formează ca urmare a intersecției lor, ne permite să determinăm aria figurii.

S = (d1*d2)/2*sinγ,
S = (d1*d2)/2*sinφ,

S este aria de determinat,
d1, d2 – diagonale cunoscute (sau calculate prin calcule),
γ, φ – unghiuri dintre diagonalele d1 și d2.