Ecuație plană generală - descriere, exemple, rezolvare de probleme. Ecuația unui plan. Cum se scrie o ecuație a unui plan? Aranjamentul reciproc al avioanelor. Probleme Scrieți ecuația unei perpendiculare pe un plan dat

Dacă toate numerele A, B, C și D sunt diferite de zero, atunci ecuația generală a planului se numește complet. În caz contrar, se numește ecuația generală a planului incomplet.

Să luăm în considerare toate posibilele comune ecuații incomplete plan în sistemul de coordonate Oxyz dreptunghiular în spațiul tridimensional.

Fie D = 0, atunci avem o ecuație generală plană incompletă de forma . Acest plan din sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz trece prin origine. Într-adevăr, când înlocuim coordonatele unui punct în ecuația incompletă rezultată a planului, ajungem la identitatea .

Pentru , sau , sau avem ecuații generale incomplete ale planurilor , sau , sau , respectiv. Aceste ecuații definesc plane paralele cu planurile de coordonate Oxy, Oxz și, respectiv, Oyz (vezi articolul pentru starea planurilor paralele) și care trec prin puncte si in consecinta. La. De la punctul aparține planului prin condiție, atunci coordonatele acestui punct trebuie să satisfacă ecuația planului, adică egalitatea trebuie să fie adevărată. De aici găsim. Astfel, ecuația necesară are forma .

Să prezentăm a doua modalitate de a rezolva această problemă.

Deoarece planul, a cărui ecuație generală trebuie să o compunem, este paralel cu planul Oyz, atunci ca vector normal putem lua vectorul normal al planului Oyz. Vectorul normal al planului de coordonate Oyz este vectorul de coordonate. Acum cunoaștem vectorul normal al planului și punctul planului, prin urmare, putem scrie ecuația lui generală (am rezolvat o problemă similară în paragraful anterior al acestui articol):
, atunci coordonatele sale trebuie să satisfacă ecuația planului. Prin urmare, egalitatea este adevărată de unde o găsim. Acum putem scrie ecuația generală dorită a planului, are forma .

Răspuns:

Referințe.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematică superioară. Volumul unu: elemente de algebră liniară și geometrie analitică.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometrie analitică.

Să considerăm planul Q în spațiu Poziția sa este complet determinată prin specificarea vectorului N perpendicular pe acest plan și a unui punct fix situat în planul Q. Vectorul N perpendicular pe planul Q se numește vectorul normal al acestui plan. Dacă notăm cu A, B și C proiecțiile vectorului normal N, atunci

Să derivăm ecuația planului Q care trece printr-un punct dat și are un vector normal dat. Pentru a face acest lucru, luați în considerare un vector care conectează un punct cu un punct arbitrar pe planul Q (Fig. 81).

Pentru orice poziție a punctului M pe planul Q, vectorul MHM este perpendicular pe vectorul normal N al planului Q produs punctual Să scriem produsul scalar în termeni de proiecții. Deoarece , și este un vector, atunci

şi prin urmare

Am arătat că coordonatele oricărui punct din planul Q satisfac ecuația (4). Este ușor de observat că coordonatele punctelor care nu se află pe planul Q nu satisfac această ecuație (în acest din urmă caz). În consecință, am obținut ecuația necesară pentru planul Q. Ecuația (4) se numește ecuația planului care trece printr-un punct dat. Este de gradul I relativ la coordonatele curente

Deci, am arătat că fiecărui plan îi corespunde o ecuație de gradul I în raport cu coordonatele curente.

Exemplul 1. Scrieți ecuația unui plan care trece printr-un punct perpendicular pe vector.

Soluţie. Aici . Pe baza formulei (4) obținem

sau, după simplificare,

Atribuirea coeficienților A, B și C ecuației (4) sensuri diferite, putem obține ecuația oricărui plan care trece prin punctul . Mulțimea de planuri care trec printr-un punct dat se numește mănunchi de plane. Ecuația (4), în care coeficienții A, B și C pot lua orice valoare, se numește ecuația unui grup de plane.

Exemplul 2. Creați o ecuație pentru un plan care trece prin trei puncte (Fig. 82).

Soluţie. Să scriem ecuația pentru o grămadă de avioane care trec prin punct

unghiul dintre planuri

Se consideră două plane α 1 și α 2, definite, respectiv, de ecuațiile:

Sub unghiîntre două plane vom înţelege unul dintre unghiurile diedrice formate de aceste plane. Este evident că unghiul dintre vectorii normali și planele α 1 și α 2 este egal cu unul dintre unghiurile diedrice adiacente indicate sau . De aceea . Deoarece Şi , Asta

.

Exemplu. Determinați unghiul dintre plane x+2y-3z+4=0 și 2 x+3y+z+8=0.

Condiție pentru paralelismul a două plane.

Două plane α 1 și α 2 sunt paralele dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt paraleli și, prin urmare .

Deci, două plane sunt paralele între ele dacă și numai dacă coeficienții coordonatelor corespunzătoare sunt proporționale:

sau

Condiția de perpendicularitate a planurilor.

Este clar că două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt perpendiculari și, prin urmare, sau .

Astfel, .

Exemple.

DREPT ÎN SPAȚIU.

ECUAȚIE VECTORALĂ PENTRU O LINIE.

ECUATII DIRECTE PARAMETRICE

Poziția unei linii în spațiu este complet determinată prin specificarea oricăruia dintre punctele sale fixe M 1 și un vector paralel cu această dreaptă.

Se numeste un vector paralel cu o dreapta ghiduri vector al acestei linii.

Deci, lăsați linia dreaptă l trece printr-un punct M 1 (x 1 , y 1 , z 1), situată pe o dreaptă paralelă cu vectorul .

Luați în considerare un punct arbitrar M(x,y,z) pe o linie dreaptă. Din figură este clar că .

Vectori și sunt coliniare, deci există un astfel de număr t, ce , unde este multiplicatorul t poate accepta orice valoare numerică in functie de pozitia punctului M pe o linie dreaptă. Factor t numit parametru. După ce au desemnat vectorii de rază ai punctelor M 1 și M respectiv, prin și , obținem . Această ecuație se numește vector ecuația unei linii drepte. Arată că pentru fiecare valoare a parametrului t corespunde vectorului raza unui punct M, întins pe o linie dreaptă.

Să scriem această ecuație sub formă de coordonate. Rețineți că, si de aici

Ecuațiile rezultate se numesc parametrice ecuațiile unei linii drepte.

La modificarea unui parametru t se schimbă coordonatele x, yŞi zși punct M se mișcă în linie dreaptă.

ECUAȚII CANONICE ALE DIRECTULUI

Lasă M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – un punct situat pe o linie dreaptă l, Și este vectorul său de direcție. Să luăm din nou un punct arbitrar pe linie M(x,y,z)și luați în considerare vectorul .

Este clar că vectorii sunt, de asemenea, coliniari, deci coordonatele lor corespunzătoare trebuie să fie proporționale, prin urmare,

– canonic ecuațiile unei linii drepte.

Nota 1. Rețineți că ecuațiile canonice ale dreptei pot fi obținute din cele parametrice prin eliminarea parametrului t. Într-adevăr, din ecuațiile parametrice obținem sau .

Exemplu. Scrieți ecuația dreptei în formă parametrică.

Să notăm , de aici x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Nota 2. Fie linia dreaptă perpendiculară pe una dintre axele de coordonate, de exemplu axa Bou. Atunci vectorul direcție al dreptei este perpendicular Bou, prin urmare, m=0. În consecință, ecuațiile parametrice ale dreptei vor lua forma

Excluzând parametrul din ecuații t, obținem ecuațiile dreptei în forma

Totuși, și în acest caz, suntem de acord să scriem formal ecuațiile canonice ale dreptei în forma . Astfel, dacă numitorul uneia dintre fracții este zero, aceasta înseamnă că linia dreaptă este perpendiculară pe axa de coordonate corespunzătoare.

Similar cu ecuațiile canonice corespunde unei drepte perpendiculare pe axele BouŞi Oi sau paralel cu axa Oz.

Exemple.

ECUAȚII GENERALE ALE LINEILOR DREPTĂ CA LINII DE INTERSECȚIE A DOUA PLANURI

Prin fiecare linie dreaptă din spațiu există nenumărate avioane. Oricare două dintre ele, intersectându-se, îl definesc în spațiu. În consecință, ecuațiile oricăror două astfel de planuri, considerate împreună, reprezintă ecuațiile acestei drepte.

În general, oricare două nu sunt plane paralele, dat de ecuații generale

determinați linia dreaptă a intersecției lor. Aceste ecuații se numesc ecuații generale direct.

Exemple.

Construiți o dreaptă dată de ecuații

Pentru a construi o linie dreaptă, este suficient să găsiți oricare dintre punctele sale. Cel mai simplu mod este să selectați punctele de intersecție ale unei linii drepte cu planuri de coordonate. De exemplu, punctul de intersecție cu planul xOy obţinem din ecuaţiile dreptei, presupunând z= 0:

După ce am rezolvat acest sistem, găsim ideea M 1 (1;2;0).

În mod similar, presupunând y= 0, obținem punctul de intersecție al dreptei cu planul xOz:

Din ecuațiile generale ale unei linii drepte se poate trece la ecuațiile ei canonice sau parametrice. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un punct M 1 pe o dreaptă și vectorul direcție al unei drepte.

Coordonatele punctului M 1 obținem din acest sistem de ecuații, dând uneia dintre coordonate o valoare arbitrară. Pentru a găsi vectorul direcție, rețineți că acest vector trebuie să fie perpendicular pe ambele vectori normali Şi . Prin urmare, dincolo de vectorul direcție al dreptei l o poti lua produs vectorial vectori normali:

.

Exemplu. Dați ecuații generale ale dreptei la forma canonică.

Să găsim un punct situat pe o linie. Pentru a face acest lucru, alegem în mod arbitrar una dintre coordonate, de exemplu, y= 0 și rezolvați sistemul de ecuații:

Vectorii normali ai planurilor care definesc dreapta au coordonate Prin urmare, vectorul direcție va fi drept

. Prin urmare, l: .

unghiul dintre drepte

Unghiîntre drepte în spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să fie date două drepte în spațiu:

Evident, unghiul φ dintre drepte poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și . Deoarece , folosind formula pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem

Pentru a obține ecuația generală a unui plan, să analizăm planul care trece printr-un punct dat.

Să fie trei axe de coordonate deja cunoscute de noi în spațiu - Bou, OiŞi Oz. Țineți foaia de hârtie astfel încât să rămână plată. Avionul va fi foaia în sine și continuarea ei în toate direcțiile.

Lasă P plan arbitrar în spațiu. Fiecare vector perpendicular pe acesta se numește vector normal la acest avion. Desigur, vorbim despre un vector diferit de zero.

Dacă se cunoaşte vreun punct al avionului Pși un vector normal al acestuia, atunci prin aceste două condiții planul în spațiu este complet definit(printr-un punct dat puteți desena un singur plan perpendicular pe vectorul dat). Ecuația generală a planului va fi:

Deci, condițiile care definesc ecuația planului sunt. Pentru a te obține ecuația plană, având forma de mai sus, ia în avion P arbitrar punct M cu coordonate variabile x, y, z. Acest punct aparține planului numai dacă vector perpendicular pe vector(Fig. 1). Pentru aceasta, conform condiției de perpendicularitate a vectorilor, este necesar și suficient ca produsul scalar al acestor vectori să fie egal cu zero, adică

Vectorul este specificat de condiție. Găsim coordonatele vectorului folosind formula :

.

Acum, folosind formula produsului scalar al vectorilor , exprimăm produsul scalar sub formă de coordonate:

De la punctul M(x; y; z) este aleasă arbitrar pe plan, apoi ultima ecuație este satisfăcută de coordonatele oricărui punct situat pe plan P. Pentru un punct N, neîntins într-un anumit plan, adică egalitatea (1) este încălcată.

Exemplul 1. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct și perpendicular pe vector.

Soluţie. Să folosim formula (1) și să ne uităm din nou:

În această formulă numerele O , BŞi C coordonate vectoriale și numere x0 , y0 Şi z0 - coordonatele punctului.

Calculele sunt foarte simple: înlocuim aceste numere în formulă și obținem

Înmulțim tot ce trebuie înmulțit și adunăm doar numere (care nu au litere). Rezultat:

.

Ecuația necesară a planului din acest exemplu s-a dovedit a fi exprimată printr-o ecuație generală de gradul întâi în raport cu coordonatele variabile x, y, z punct arbitrar al planului.

Deci, o ecuație a formei

numit ecuația planului general .

Exemplul 2. Construiți într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare un plan dat de ecuație .

Soluţie. Pentru a construi un plan, este necesar și suficient să cunoașteți oricare trei dintre punctele sale care nu se află pe aceeași linie dreaptă, de exemplu, punctele de intersecție ale planului cu axele de coordonate.

Cum să găsești aceste puncte? Pentru a găsi punctul de intersecție cu axa Oz, trebuie să înlocuiți zerourile pentru X și Y în ecuația dată în enunțul problemei: x = y= 0 . Prin urmare primim z= 6. Astfel, planul dat intersectează axa Oz la punct O(0; 0; 6) .

În același mod găsim punctul de intersecție al planului cu axa Oi. La x = z= 0 obținem y= −3, adică punctul B(0; −3; 0) .

Și, în sfârșit, găsim punctul de intersecție a planului nostru cu axa Bou. La y = z= 0 obținem x= 2, adică un punct C(2; 0; 0). Pe baza celor trei puncte obținute în soluția noastră O(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) și C(2; 0; 0) construiește planul dat.

Să luăm în considerare acum cazuri speciale ecuație generală avion. Acestea sunt cazurile în care anumiți coeficienți ai ecuației (2) devin zero.

1. Când D= 0 ecuație definește un plan care trece prin origine, deoarece coordonatele punctului 0 (0; 0; 0) satisface această ecuație.

2. Când A= 0 ecuație definește un plan paralel cu axa Bou, deoarece vectorul normal al acestui plan este perpendicular pe axa Bou(proiecția sa pe axă Bou egal cu zero). La fel, când B= 0 avion paralel cu axa Oi, și când C= 0 avion paralel cu axa Oz.

3. Când A=D= Ecuația 0 definește un plan care trece prin axă Bou, deoarece este paralelă cu axa Bou (A=D= 0). În mod similar, planul trece prin axă Oi, iar planul prin axă Oz.

4. Când A=B= Ecuația 0 definește un plan paralel cu planul de coordonate xOy, deoarece este paralel cu axele Bou (O= 0) și Oi (B= 0). În mod similar, planul este paralel cu planul yOz, iar avionul este avionul xOz.

5. Când A=B=D= 0 ecuație (sau z = 0) definește planul de coordonate xOy, deoarece este paralel cu planul xOy (A=B= 0) și trece prin origine ( D= 0). La fel, Eq. y = 0 în spațiu definește planul de coordonate xOz, și ecuația x = 0 - plan de coordonate yOz.

Exemplul 3. Creați o ecuație a planului P, trecând prin axă Oiși punct.

Soluţie. Deci avionul trece prin axă Oi. Prin urmare, în ecuația ei y= 0 și această ecuație are forma . Pentru a determina coeficienții OŞi C să profităm de faptul că punctul aparține planului P .

Prin urmare, printre coordonatele sale se numără cele care pot fi substituite în ecuația plană pe care am derivat-o deja (). Să ne uităm din nou la coordonatele punctului:

M0 (2; −4; 3) .

Printre ei x = 2 , z= 3 . Le substituim în ecuația generală și obținem ecuația pentru cazul nostru particular:

2O + 3C = 0 .

Lasă 2 Oîn partea stângă a ecuației, mutați 3 Cîn partea dreaptă și ajungem

O = −1,5C .

Înlocuirea valorii găsite Oîn ecuație, obținem

sau .

Aceasta este ecuația necesară în condiția exemplu.

Rezolvați singur problema ecuației plane și apoi uitați-vă la soluție

Exemplul 4. Definiți un plan (sau planuri, dacă sunt mai multe) în raport cu axele de coordonate sau planuri de coordonate, dacă planul (planele) este dat de ecuație.

Soluții la problemele tipice care apar în teste- în manualul „Probleme plane: paralelism, perpendicularitate, intersecția a trei plane într-un punct.”

Ecuația unui plan care trece prin trei puncte

După cum am menționat deja, este necesar și condiție suficientă Pentru a construi un plan, pe lângă un punct și vectorul normal, există și trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă.

Să fie date trei puncte diferite , și , care nu se află pe aceeași linie. Deoarece cele trei puncte indicate nu se află pe aceeași dreaptă, vectorii nu sunt coliniari și, prin urmare, orice punct din plan se află în același plan cu punctele și dacă și numai dacă vectorii și coplanare, adică atunci și numai când produsul mixt al acestor vectori este egal cu zero.

Folosind expresia produsului mixt în coordonate, obținem ecuația planului

(3)

După dezvăluirea determinantului, această ecuație devine o ecuație de forma (2), adică. ecuația generală a planului.

Exemplul 5. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin trei puncte date care nu se află pe aceeași dreaptă:

si determina caz special ecuația generală a dreptei, dacă aceasta există.

Soluţie. Conform formulei (3) avem:

Ecuație plană normală. Distanța de la punct la plan

Ecuația normală a unui plan este ecuația acestuia, scrisă sub forma