Linia UMK G. K. Muravin. Algebra și începuturile analiză matematică(10-11) (adânc)

Linia UMK G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina. Algebra și principiile analizei matematice (10-11) (de bază)

Cum să predați rezolvarea ecuațiilor trigonometrice și a inegalităților: metode de predare

Cursul de matematică al Corporației de manuale din Rusia, scris de Georgy Muravina și Olga Muravina, prevede o tranziție treptată la rezolvarea ecuațiilor trigonometrice și a inegalităților în clasa a 10-a, precum și continuarea studiului lor în clasa a XI-a. Vă prezentăm atenției etapele trecerii la subiect cu fragmente din manualul „Algebra și începutul analizei matematice” (nivel avansat).

1. Sinusul și cosinusul oricărui unghi (propedeutică la studiul ecuațiilor trigonometrice)

Exemplu de atribuire. Aflați aproximativ unghiurile ale căror cosinus sunt egale cu 0,8.

Soluţie. Cosinusul este abscisa punctului corespunzător din cercul unitar. Toate punctele cu abscise egale cu 0,8 aparțin unei drepte paralele cu axa ordonatelor și care trece prin punctul C(0,8; 0). Această linie se intersectează cerc unitar in doua puncte: P α ° Şi P β ° , simetric față de axa absciselor.

Folosind un raportor constatăm că unghiul α° aproximativ egal cu 37°. Deci, vedere generală a unghiurilor de rotație cu punctul final P α°:

α° ≈ 37° + 360° n, Unde n- orice număr întreg.

Datorită simetriei față de axa absciselor, punctul P β ° - punctul final de rotație la un unghi de –37°. Aceasta înseamnă că pentru ea forma generală a unghiurilor de rotație este:

β° ≈ –37° + 360° n, Unde n- orice număr întreg.

Răspuns: 37° + 360° n, –37° + 360° n, Unde n- orice număr întreg.

Exemplu de atribuire. Aflați unghiurile ale căror sinusuri sunt egale cu 0,5.

Soluţie. Sinusul este ordonata punctului corespunzător din cercul unitar. Toate punctele cu ordonate egale cu 0,5 aparțin unei drepte paralele cu axa absciselor și care trece prin punctul D(0; 0,5).

Această linie intersectează cercul unitar în două puncte: Pφ și Pπ–φ, simetric față de axa ordonatelor. Într-un triunghi dreptunghic OKPφ picior KPφ este egal cu jumătate din ipotenuză OPφ , Mijloace,

Vedere generală a unghiurilor de rotație cu punctul final P φ :

Unde n- orice număr întreg. Vedere generală a unghiurilor de rotație cu punctul final P π–φ :

Unde n- orice număr întreg.

Răspuns: Unde n- orice număr întreg.

2. Tangenta și cotangenta oricărui unghi (propedeutică la studiul ecuațiilor trigonometrice)

Exemplul 2.

Exemplu de atribuire. Aflați forma generală a unghiurilor a căror tangentă este –1,2.

Soluţie. Să marchem punctul pe axa tangentei C cu o ordonată egală cu –1,2 și trageți o linie dreaptă O.C.. Drept O.C. intersectează cercul unitar în puncte P α ° Şi Pβ° - capete de același diametru. Unghiurile corespunzătoare acestor puncte diferă între ele printr-un număr întreg de jumătăți de spire, adică. 180° n (n- întreg). Folosind un raportor constatăm că unghiul P α° OP 0 este egal cu –50°. Aceasta înseamnă că forma generală a unghiurilor a căror tangentă este –1,2 este următoarea: –50° + 180° n (n- întreg)

Răspuns:–50° + 180° n, n∈ Z.

Folosind sinusul și cosinusul unghiurilor de 30°, 45° și 60°, este ușor să găsiți tangentele și cotangentele acestora. De exemplu,

Unghiurile enumerate sunt destul de comune în diverse probleme, așa că este util să ne amintim valorile tangentei și cotangentei acestor unghiuri.

3. Cele mai simple ecuații trigonometrice

Se introduc urmatoarele notatii: arcsin α, arccos α, arctg α, arcctg α. Nu este recomandat să vă grăbiți să introduceți formula combinată. Este mult mai convenabil să înregistrați două serii de rădăcini, mai ales când trebuie să selectați rădăcini la intervale.

Când studiem subiectul „cele mai simple ecuații trigonometrice”, ecuațiile sunt cel mai adesea reduse la pătrate.

4. Formule de reducere

Formulele de reducere sunt identități, adică sunt adevărate pentru orice valoare validă φ . Analizând tabelul rezultat, puteți vedea că:

1) semnul din partea dreaptă a formulei coincide cu semnul funcției reductibile din cadranul corespunzător, dacă luăm în considerare φ unghi ascuțit;

2) denumirea se schimbă numai prin funcţiile unghiurilor şi

	φ + 2π n

5. Proprietățile și graficul unei funcții y= păcat x

Cele mai simple inegalități trigonometrice pot fi rezolvate fie pe un grafic, fie pe un cerc. Când rezolvați o inegalitate trigonometrică pe un cerc, este important să nu confundați ce punct să indicați primul.

6. Proprietățile și graficul unei funcții y=cos x

Sarcina de a construi un grafic al unei funcții y=cos x poate fi redusă la reprezentarea grafică a funcției y= păcat x. Într-adevăr, din moment ce graficul unei funcții y=cos x se poate obține din graficul funcției y= păcat x deplasându-l pe acesta din urmă de-a lungul axei x spre stânga cu

7. Proprietăţi şi grafice ale funcţiilor y= tg xŞi y=ctg x

Domeniul funcției y= tg x include toate numerele cu excepția numerelor de forma unde n ∈ Z. Ca și atunci când construim o sinusoidă, mai întâi vom încerca să obținem un grafic al funcției y = tg x intre ele

La capătul din stânga acestui interval tangenta egal cu zero, iar la apropierea de capătul drept, valorile tangentei cresc fără limită. Grafic arată ca graficul unei funcții y = tg x apasă pe linia dreaptă, mergând în sus cu ea nelimitat.

8. Dependenţe între funcţiile trigonometrice ale aceluiaşi argument

Egalitatea și exprimă relații între funcțiile trigonometrice ale aceluiași argument φ. Cu ajutorul lor, cunoscând sinusul și cosinusul unui anumit unghi, îi puteți găsi tangenta și cotangenta. Din aceste egalități este ușor de observat că tangenta și cotangenta sunt legate între ele prin următoarea egalitate.

tg φ · cot φ = 1

Există și alte dependențe între funcțiile trigonometrice.

Ecuația cercului unitar centrat la origine x 2 + y 2= 1 leagă abscisa și ordonata oricărui punct din acest cerc.

Identitatea trigonometrică fundamentală

cos 2 φ + sin 2 φ = 1

9. Sinus și cosinus ale sumei și diferenței a două unghiuri

Formula sumei cosinusului

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

Formula cosinusului diferențelor

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Formula diferenței sinusoidale

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

Formula sumei sinusurilor

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

10. Tangenta sumei și tangenta diferenței a două unghiuri

Formula sumei tangente

Formula diferenței tangente

Manualul este inclus în materialele didactice la matematică pentru clasele 10-11 care studiază disciplina în nivel de bază. Materialul teoretic este împărțit în obligatoriu și opțional, sistemul de sarcini este diferențiat în funcție de nivelul de dificultate, fiecare punct al capitolului este finalizat întrebări de controlși teme, iar fiecare capitol este temă pentru acasă munca de testare. Manualul include subiecte ale proiectului și link-uri către resurse de pe Internet.

11. Funcții trigonometrice cu unghi dublu

Formula tangentei cu unghi dublu

cos2α = 1 – 2sin 2 α cos2α = 2cos 2 α – 1

Exemplu de atribuire. Rezolvați ecuația

Soluţie.

13. Rezolvarea ecuaţiilor trigonometrice

În cele mai multe cazuri, ecuația originală este redusă la ecuații trigonometrice simple în timpul procesului de rezolvare. Cu toate acestea, nu există o metodă de soluție unică pentru ecuațiile trigonometrice. În fiecare caz specific, succesul depinde de cunoașterea formulelor trigonometrice și de capacitatea de a le alege pe cele potrivite dintre ele. Cu toate acestea, abundența diferitelor formule face uneori această alegere destul de dificilă.

Ecuații care se reduc la pătrate

Exemplu de atribuire. Rezolvați ecuația 2 cos 2 x+ 3 păcat x = 0

Soluţie. Folosind identitatea trigonometrică de bază, această ecuație poate fi redusă la o ecuație pătratică în raport cu sin x:

2cos 2 x+3sin x= 0, 2(1 – sin 2 x) + 3sin x = 0,

2 – 2sin 2 x+3sin x= 0, 2sin 2 x– 3sin x – 2 = 0

Să introducem o nouă variabilă y= păcat x, atunci ecuația va lua forma: 2 y 2 – 3y – 2 = 0.

Rădăcinile acestei ecuații y 1 = 2, y 2 = –0,5.

Revenind la variabilă xși obținem cele mai simple ecuații trigonometrice:

1) păcatul x= 2 – această ecuație nu are rădăcini, deoarece sin x < 2 при любом значении x;

2) păcatul x = –0,5,

Răspuns:

Ecuații trigonometrice omogene

Exemplu de atribuire. Rezolvați ecuația 2sin 2 x– 3sin x cos x– 5cos 2 x = 0.

Soluţie. Să luăm în considerare două cazuri:

1) cos x= 0 și 2) cos x ≠ 0.

Cazul 1. Dacă cos x= 0, atunci ecuația ia forma 2sin 2 x= 0, de unde sin x= 0. Dar această egalitate nu satisface condiția cos x= 0, deoarece sub nicio formă x Cosinusul și sinusul nu dispar în același timp.

Cazul 2. Dacă cos x≠ 0, atunci putem împărți ecuația la cos 2 x „Algebra și începutul analizei matematice. Clasa a X-a”, ca multe alte publicații, este disponibilă pe platforma LECTA. Pentru a face acest lucru, profitați de ofertă.

#ADVERTISING_INSERT#

Cele mai simple ecuații trigonometrice sunt ecuațiile

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

Ecuația cos(x) = a

Explicație și raționament

1. Rădăcinile ecuației cosx = a. Când | a | > 1 ecuația nu are rădăcini, deoarece | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 sau la a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Să | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Pe interval, funcția y = cos x scade de la 1 la -1. Dar o funcție descrescătoare ia fiecare dintre valorile sale doar într-un punct al domeniului său de definiție, prin urmare ecuația cos x = a are o singură rădăcină pe acest interval, care, prin definiția arccosinusului, este egală cu: x 1 = arccos a (și pentru această rădăcină cos x = A).

cosinus - chiar funcția, deci, pe intervalul [-n; 0] ecuația cos x = și are, de asemenea, o singură rădăcină - numărul opus x 1, adică

x 2 = -arccos a.

Astfel, pe intervalul [-n; p] (lungimea 2p) ecuația cos x = a cu | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Funcția y = cos x este periodică cu o perioadă de 2n, prin urmare toate celelalte rădăcini diferă de cele găsite prin 2n (n € Z). Obținem următoarea formulă pentru rădăcinile ecuației cos x = a când

x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.

1. Cazuri speciale de rezolvare a ecuației cosx = a.

Este util să ne amintim notații speciale pentru rădăcinile ecuației cos x = a când

a = 0, a = -1, a = 1, care poate fi obținut cu ușurință folosind ca referință cercul unitar.

Deoarece cosinusul este egal cu abscisa punctului corespunzător al cercului unitar, obținem că cos x = 0 dacă și numai dacă punctul corespunzător al cercului unitar este punctul A sau punctul B.

În mod similar, cos x = 1 dacă și numai dacă punctul corespunzător al cercului unitar este punctul C, prin urmare,

x = 2πп, k € Z.

De asemenea cos x = -1 dacă și numai dacă punctul corespunzător al cercului unitar este punctul D, deci x = n + 2n,

Ecuația sin(x) = a

Explicație și raționament

1. Rădăcinile ecuației sinx = a. Când | a | > 1 ecuația nu are rădăcini, deoarece | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 sau la a< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Puteți comanda solutie detaliata sarcina ta!!!

O egalitate care conține o necunoscută sub semnul unei funcții trigonometrice (`sin x, cos x, tan x` sau `ctg x`) se numește ecuație trigonometrică, iar formulele lor le vom lua în considerare în continuare.

Cele mai simple ecuații sunt `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, unde `x` este unghiul care trebuie găsit, `a` este orice număr. Să notăm formulele rădăcinilor pentru fiecare dintre ele.

1. Ecuația `sin x=a`.

Pentru `|a|>1` nu are soluții.

Când `|a| \leq 1` are un număr infinit de soluții.

Formula rădăcină: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Ecuația `cos x=a`

Pentru `|a|>1` - ca si in cazul sinusului, solutii intre numere reale nu are.

Când `|a| \leq 1` are un număr infinit de soluții.

Formula rădăcină: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Cazuri speciale pentru sinus și cosinus în grafice.

3. Ecuația `tg x=a`

Are un număr infinit de soluții pentru orice valoare a lui `a`.

Formula rădăcină: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Ecuația `ctg x=a`

Are, de asemenea, un număr infinit de soluții pentru orice valoare a lui `a`.

Formula rădăcină: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule pentru rădăcinile ecuațiilor trigonometrice din tabel

Pentru sinus:
Pentru cosinus:
Pentru tangentă și cotangentă:
Formule pentru rezolvarea ecuațiilor care conțin funcții trigonometrice inverse:

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice

Rezolvarea oricărei ecuații trigonometrice constă în două etape:

• cu ajutorul transformării în cel mai simplu;
• rezolvați cea mai simplă ecuație obținută folosind formulele rădăcinilor și tabelele scrise mai sus.

Să ne uităm la principalele metode de soluție folosind exemple.

Metoda algebrică.

Această metodă implică înlocuirea unei variabile și substituirea acesteia într-o egalitate.

Exemplu. Rezolvați ecuația: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

faceți o înlocuire: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, apoi `2y^2-3y+1=0`,

găsim rădăcinile: `y_1=1, y_2=1/2`, din care urmează două cazuri:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Răspuns: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorizarea.

Exemplu. Rezolvați ecuația: `sin x+cos x=1`.

Soluţie. Să mutăm toți termenii egalității la stânga: `sin x+cos x-1=0`. Folosind , transformăm și factorizăm partea stângă:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Răspuns: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reducerea la o ecuație omogenă

În primul rând, trebuie să reduceți această ecuație trigonometrică la una dintre cele două forme:

`a sin x+b cos x=0` (ecuația omogenă de gradul I) sau `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ecuația omogenă de gradul II).

Apoi împărțiți ambele părți la `cos x \ne 0` - pentru primul caz și la `cos^2 x \ne 0` - pentru al doilea. Obținem ecuații pentru `tg x`: `a tg x+b=0` și `a tg^2 x + b tg x +c =0`, care trebuie rezolvate folosind metode cunoscute.

Exemplu. Rezolvați ecuația: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Soluţie. Să scriem partea dreaptă ca `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Aceasta este o ecuație trigonometrică omogenă de gradul doi, împărțim laturile ei stânga și dreapta la `cos^2 x \ne 0`, obținem:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Să introducem înlocuirea `tg x=t`, rezultând `t^2 + t - 2=0`. Rădăcinile acestei ecuații sunt `t_1=-2` și `t_2=1`. Apoi:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Răspuns. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Du-te la jumătatea colțului

Exemplu. Rezolvați ecuația: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Soluţie. Să aplicăm formulele unghiului dublu, rezultând: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Aplicând cele de mai sus metoda algebrică, obținem:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Răspuns. `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Introducerea unghiului auxiliar

În ecuația trigonometrică `a sin x + b cos x =c`, unde a,b,c sunt coeficienți și x este o variabilă, împărțiți ambele părți la `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Coeficienții din stânga au proprietățile sinusului și cosinusului, și anume suma pătratelor lor este egală cu 1 și modulele lor nu sunt mai mari de 1. Să-i notăm astfel: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, apoi:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Să aruncăm o privire mai atentă la următorul exemplu:

Exemplu. Rezolvați ecuația: `3 sin x+4 cos x=2`.

Soluţie. Împărțim ambele părți ale egalității la `sqrt (3^2+4^2)`, obținem:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Să notăm `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Deoarece `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, atunci luăm `\varphi=arcsin 4/5` ca unghi auxiliar. Apoi scriem egalitatea noastră sub forma:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Aplicând formula pentru suma unghiurilor pentru sinus, scriem egalitatea noastră în următoarea formă:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Răspuns. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ecuații trigonometrice raționale fracționale

Acestea sunt egalități cu fracții ai căror numărători și numitori conțin funcții trigonometrice.

Exemplu. Rezolvați ecuația. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Soluţie. Înmulțiți și împărțiți partea dreaptă a egalității cu `(1+cos x)`. Ca rezultat obținem:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Având în vedere că numitorul nu poate fi egal cu zero, obținem `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Să echivalăm numărătorul fracției cu zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Apoi `sin x=0` sau `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Având în vedere că ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, soluțiile sunt `x=2\pi n, n \in Z` și `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Răspuns. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometria, și în special ecuațiile trigonometrice, sunt folosite în aproape toate domeniile geometriei, fizicii și ingineriei. Studiul începe în clasa a X-a, există întotdeauna sarcini pentru examenul de stat unificat, așa că încercați să vă amintiți toate formulele ecuațiilor trigonometrice - vă vor fi cu siguranță utile!

Cu toate acestea, nici nu trebuie să le memorați, principalul lucru este să înțelegeți esența și să o puteți deriva. Nu este atât de dificil pe cât pare. Vedeți singuri vizionand videoclipul.

În această lecție ne vom uita funcții trigonometrice de bază, proprietățile și graficele acestora, și, de asemenea, lista tipuri de bază de ecuații și sisteme trigonometrice. În plus, indicăm soluții generale ale celor mai simple ecuații trigonometrice și cazurile lor speciale.

Această lecție vă va ajuta să vă pregătiți pentru unul dintre tipurile de sarcini B5 și C1.

Pregătirea pentru examenul unificat de stat la matematică

Experiment

Lecția 10. Funcții trigonometrice. Ecuații trigonometrice și sistemele lor.

Teorie

Rezumatul lecției

Am folosit deja termenul „funcție trigonometrică” de multe ori. Înapoi în prima lecție a acestui subiect, le-am identificat folosind triunghi dreptunghicși cercul trigonometric unitar. Folosind aceste metode de specificare a funcțiilor trigonometrice, putem deja concluziona că pentru ele o valoare a argumentului (sau unghiului) corespunde exact unei valori a funcției, adică. avem dreptul să numim funcții sinus, cosinus, tangentă și cotangentă.

În această lecție, este timpul să încercăm să faceți abstracție de la metodele discutate anterior de calculare a valorilor funcțiilor trigonometrice. Astăzi vom trece la abordarea algebrică obișnuită a lucrului cu funcții, ne vom uita la proprietățile lor și vom prezenta grafice.

În ceea ce privește proprietățile funcțiilor trigonometrice, o atenție deosebită trebuie acordată:

Domeniul definiţiei şi domeniul valorilor, deoarece pentru sinus și cosinus există restricții asupra domeniului de valori, iar pentru tangentă și cotangentă există restricții asupra domeniului de definiție;

Periodicitatea tuturor funcțiilor trigonometrice, deoarece Am observat deja prezența celui mai mic argument diferit de zero, a cărui adăugare nu modifică valoarea funcției. Acest argument se numește perioada funcției și este notat cu litera . Pentru sinus/cosinus și tangentă/cotangentă aceste perioade sunt diferite.

Luați în considerare funcția:

1) Domeniul de aplicare;

2) Interval de valori ;

3) Funcția este impară ;

Să construim un grafic al funcției. În acest caz, este convenabil să începeți construcția cu o imagine a zonei care limitează graficul de sus cu numărul 1 și de jos cu numărul , care este asociat cu intervalul de valori al funcției. În plus, pentru construcție, este util să vă amintiți valorile sinusurilor mai multor unghiuri principale ale tabelului, de exemplu, că acest lucru vă va permite să construiți primul „val” complet al graficului și apoi să îl redesenați la dreapta și stânga, profitând de faptul că poza se va repeta cu un decalaj cu un punct, i.e. pe .

Acum să ne uităm la funcția:

Principalele proprietăți ale acestei funcții:

1) Domeniul de aplicare;

2) Interval de valori ;

3) Funcție uniformă Aceasta implică faptul că graficul funcției este simetric față de ordonată;

4) Funcția nu este monotonă în întregul ei domeniu de definiție;

Să construim un grafic al funcției. La fel ca atunci când construiți un sinus, este convenabil să începeți cu o imagine a zonei care limitează graficul în partea de sus cu numărul 1 și în partea de jos cu numărul , care este asociat cu intervalul de valori al funcției. De asemenea, vom reprezenta coordonatele mai multor puncte pe grafic, pentru care trebuie să ne amintim valorile cosinusurilor mai multor unghiuri principale ale tabelului, de exemplu, că cu ajutorul acestor puncte putem construi primul „undă” complet ” a graficului și apoi redesenați-l la dreapta și la stânga, profitând de faptul că imaginea se va repeta cu o schimbare de punct, i.e. pe .

Să trecem la funcția:

Principalele proprietăți ale acestei funcții:

1) Domeniu cu excepția , unde . Am indicat deja în lecțiile anterioare, care nu există. Această afirmație poate fi generalizată luând în considerare perioada tangentei;

2) Gama de valori, de ex. valorile tangentei nu sunt limitate;

3) Funcția este impară ;

4) Funcția crește monoton în cadrul așa-numitelor sale ramuri tangente, pe care le vom vedea acum în figură;

5) Funcția este periodică cu punct

Să construim un grafic al funcției. În acest caz, este convenabil să începeți construcția prin reprezentarea asimptotelor verticale ale graficului în puncte care nu sunt incluse în domeniul de definiție, i.e. etc. În continuare, înfățișăm ramurile tangentei în interiorul fiecăreia dintre benzile formate de asimptote, apăsându-le spre asimptota stângă și pe cea dreaptă. În același timp, nu uitați că fiecare ramură crește monoton. Înfățișăm toate ramurile la fel, pentru că funcția are o perioadă egală cu . Acest lucru se poate observa din faptul că fiecare ramură se obține prin deplasarea celei vecine de-a lungul axei absciselor.

Și terminăm cu o privire asupra funcției:

Principalele proprietăți ale acestei funcții:

1) Domeniu cu excepția , unde . Din tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice, știm deja că nu există. Această afirmație poate fi generalizată luând în considerare perioada cotangentă;

2) Gama de valori, de ex. valorile cotangente nu sunt limitate;

3) Funcția este impară ;

4) Funcția scade monoton în cadrul ramurilor sale, care sunt similare cu ramurile tangente;

5) Funcția este periodică cu punct

Să construim un grafic al funcției. În acest caz, în ceea ce privește tangenta, este convenabil să începeți construcția prin reprezentarea asimptotelor verticale ale graficului în puncte care nu sunt incluse în zona de definiție, i.e. etc. În continuare, înfățișăm ramurile cotangentei în interiorul fiecăreia dintre dungile formate de asimptote, apăsându-le spre asimptota stângă și pe cea dreaptă. În acest caz, ținem cont că fiecare ramură scade monoton. Înfățișăm toate ramurile în mod similar cu tangentei în același mod, deoarece funcția are o perioadă egală cu .

Separat, trebuie remarcat faptul că funcțiile trigonometrice cu argumente complexe pot avea o perioadă nestandard. Vorbim despre funcții de forma:

Perioada lor este egală. Și despre funcții:

Perioada lor este egală.

După cum puteți vedea, pentru a calcula o nouă perioadă, perioada standard este pur și simplu împărțită la factorul din argument. Nu depinde de alte modificări ale funcției.

Puteți înțelege mai detaliat și de unde provin aceste formule în lecția despre construirea și transformarea graficelor de funcții.

Am ajuns la una dintre cele mai importante părți ale subiectului „Trigonometrie”, pe care o vom dedica rezolvării ecuațiilor trigonometrice. Capacitatea de a rezolva astfel de ecuații este importantă, de exemplu, atunci când descriem procesele oscilatorii din fizică. Să ne imaginăm că ai condus câteva ture într-un kart într-o mașină sport, rezolvarea unei ecuații trigonometrice te va ajuta să stabilești cât timp ai alergat în funcție de poziția mașinii pe pistă.

Să scriem cea mai simplă ecuație trigonometrică:

Soluția unei astfel de ecuații sunt argumentele al căror sinus este egal cu . Dar știm deja că, datorită periodicității sinusului, există un număr infinit de astfel de argumente. Astfel, soluția acestei ecuații va fi etc. Același lucru este valabil și pentru rezolvarea oricărei alte ecuații trigonometrice simple, va exista un număr infinit de ele.

Ecuațiile trigonometrice sunt împărțite în mai multe tipuri principale. Separat, ar trebui să ne oprim asupra celor mai simple, pentru că totul se reduce la ei. Există patru astfel de ecuații (în funcție de numărul de funcții trigonometrice de bază). Soluțiile generale sunt cunoscute pentru ei;

Cele mai simple ecuații trigonometrice și soluțiile lor generale arata asa:

Vă rugăm să rețineți că valorile sinusului și cosinusului trebuie să țină cont de limitările cunoscute de noi. Dacă, de exemplu, ecuația nu are soluții și formula specificată nu trebuie aplicată.

În plus, formulele rădăcină specificate conțin un parametru sub forma unui număr întreg arbitrar. ÎN programa școlară Acesta este singurul caz în care soluția unei ecuații fără parametru conține un parametru. Acest număr întreg arbitrar arată că este posibil să scrieți un număr infinit de rădăcini ale oricăreia dintre ecuațiile de mai sus pur și simplu înlocuind toate numerele întregi pe rând.

Vă puteți familiariza cu derivarea detaliată a acestor formule prin repetarea capitolului „Ecuații trigonometrice” din programul de algebră de clasa a X-a.

Separat, este necesar să se acorde atenție rezolvării cazurilor speciale ale celor mai simple ecuații cu sinus și cosinus. Aceste ecuații arată astfel:

Formulele pentru găsirea soluțiilor generale nu trebuie aplicate acestora. Astfel de ecuații sunt rezolvate cel mai convenabil folosind cercul trigonometric, care dă un rezultat mai simplu decât formulele generale de soluție.

De exemplu, soluția ecuației este . Încercați să obțineți singur acest răspuns și rezolvați ecuațiile rămase indicate.

Pe lângă cel mai comun tip de ecuații trigonometrice indicate, există mai multe altele standard. Le enumerăm ținând cont de cele pe care le-am indicat deja:

1) Protozoare, De exemplu, ;

2) Cazuri speciale ale celor mai simple ecuații, De exemplu, ;

3) Ecuații cu argument complex, De exemplu, ;

4) Ecuații reduse la cele mai simple prin eliminarea unui factor comun, De exemplu, ;

5) Ecuații reduse la cele mai simple prin transformarea funcțiilor trigonometrice, De exemplu, ;

6) Ecuații reduse la cele mai simple prin substituție, De exemplu, ;

7) Ecuații omogene , De exemplu, ;

8) Ecuații care pot fi rezolvate folosind proprietățile funcțiilor, De exemplu, . Nu vă alarmați de faptul că există două variabile în această ecuație;

Precum și ecuații care se rezolvă folosind diverse metode.

Pe lângă rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, trebuie să fiți capabil să rezolvați sistemele acestora.

Cele mai comune tipuri de sisteme sunt:

1) În care una dintre ecuații este puterea, De exemplu, ;

2) Sisteme de ecuații trigonometrice simple, De exemplu, .

În lecția de astăzi ne-am uitat la funcțiile trigonometrice de bază, proprietățile și graficele lor. Ne-am întâlnit și noi formule generale soluții ale celor mai simple ecuații trigonometrice, au indicat principalele tipuri de astfel de ecuații și sistemele lor.

În partea practică a lecției, vom examina metodele de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice și sistemele acestora.

Caseta 1.Rezolvarea cazurilor speciale ale celor mai simple ecuații trigonometrice.

După cum am spus deja în partea principală a lecției, cazuri speciale de ecuații trigonometrice cu sinus și cosinus de forma:

au soluții mai simple decât cele date de formulele generale ale soluției.

Pentru aceasta este folosit un cerc trigonometric. Să analizăm metoda de rezolvare a acestora folosind exemplul ecuației.

Să descriem pe cercul trigonometric punctul în care valoarea cosinusului este zero, care este și coordonata de-a lungul axei absciselor. După cum puteți vedea, există două astfel de puncte. Sarcina noastră este să indicăm ce egal cu unghiul, care corespunde acestor puncte de pe cerc.

Începem să numărăm din direcția pozitivă a axei absciselor (axa cosinusului) și la stabilirea unghiului ajungem la primul punct reprezentat, adică. o soluție ar fi această valoare a unghiului. Dar suntem totuși mulțumiți de unghiul care corespunde celui de-al doilea punct. Cum să intri în ea?

Sarcina nr. 1

Logica este simplă: vom proceda așa cum am făcut înainte, indiferent de faptul că acum funcțiile trigonometrice au devenit mai multe argument complex!

Dacă ar fi să rezolvăm o ecuație de forma:

Apoi vom scrie următorul răspuns:

Sau (din moment ce)

Dar acum rolul nostru este jucat de această expresie:

Apoi putem scrie:

Scopul nostru cu tine este să ne asigurăm că partea stângă stă simplu, fără „impurități”!

Să scăpăm treptat de ele!

În primul rând, să eliminăm numitorul de la: pentru a face acest lucru, înmulțiți egalitatea noastră cu:

Acum să scăpăm de el împărțind ambele părți:

Acum să scăpăm de cele opt:

Expresia rezultată poate fi scrisă ca 2 serii de soluții (prin analogie cu o ecuație pătratică, în care fie adunăm, fie scădem discriminantul)

Trebuie să găsim cea mai mare rădăcină negativă! Este clar că trebuie să rezolvăm.

Să ne uităm mai întâi la primul episod:

Este clar că dacă luăm, vom ajunge cu cifre pozitive, dar nu ne interesează.

Deci trebuie să o luați negativ. Lăsați-l să fie.

Când rădăcina va fi mai îngustă:

Și trebuie să găsim cel mai mare negativ!! Deci du-te la latura negativă nu mai are sens aici. Și cea mai mare rădăcină negativă pentru această serie va fi egală cu.

Acum să ne uităm la a doua serie:

Și din nou înlocuim: , apoi:

Nu mă interesează!

Atunci nu mai are sens să crești! Să o reducem! Lasă atunci:

Se potrivește!

Lăsați-l să fie. Apoi

Apoi - cea mai mare rădăcină negativă!

Răspuns:

Sarcina nr. 2

Rezolvăm din nou, indiferent de argumentul cosinus complex:

Acum exprimăm din nou în stânga:

Înmulțiți ambele părți cu

Împărțiți ambele părți

Rămâne doar să îl mutați spre dreapta, schimbându-i semnul din minus în plus.

Obținem din nou 2 serii de rădăcini, una cu și alta cu.

Trebuie să găsim cea mai mare rădăcină negativă. Să ne uităm la primul episod:

Este clar că vom obține prima rădăcină negativă la, va fi egală cu și va fi cea mai mare rădăcină negativă din 1 serie.

Pentru a doua serie

Prima rădăcină negativă se va obține și la și va fi egală cu. Deoarece, atunci este cea mai mare rădăcină negativă a ecuației.

Răspuns: .

Sarcina nr. 3

Rezolvăm, indiferent de argumentul tangentei complexe.

Acum, nu pare complicat, nu?

Ca și înainte, exprimăm în partea stângă:

Ei bine, este grozav, există o singură serie de rădăcini aici! Să găsim din nou cel mai mare negativ.

Este clar că se dovedește dacă îl lași jos. Și această rădăcină este egală.

Răspuns:

Acum încercați să rezolvați singur următoarele probleme.

Teme pentru acasă sau 3 sarcini de rezolvat independent.

1. Rezolvați ecuația.
   
2. Rezolvați ecuația.
   În rădăcină re-p-shi-th-the-mai mică-posibilă.
3. Rezolvați ecuația.
   În rădăcină re-p-shi-th-the-mai mică-posibilă.

Gata? Să verificăm. Nu voi descrie în detaliu întregul algoritm de soluție mi se pare că a primit deja suficientă atenție mai sus.

Ei bine, este totul în regulă? Oh, sinusurile alea urâte, întotdeauna există un fel de probleme cu ele!

Ei bine, acum poți rezolva ecuații trigonometrice simple!

Consultați soluțiile și răspunsurile:

Sarcina nr. 1

Să ne exprimăm

Cel mai puţin rădăcină pozitivă se va dovedi dacă punem, de atunci

Răspuns:

Sarcina nr. 2

Cea mai mică rădăcină pozitivă se obține la.

Va fi egal.

Răspuns: .

Sarcina nr. 3

Când primim, când avem.

Răspuns: .

Aceste cunoștințe te vor ajuta să rezolvi multe probleme pe care le vei întâlni la examen.

Dacă aplicați pentru o evaluare „5”, atunci trebuie doar să continuați să citiți articolul pentru nivel mediu, care va fi dedicat rezolvării ecuaţiilor trigonometrice mai complexe (sarcina C1).

NIVEL MEDIU

În acest articol voi descrie rezolvarea unor ecuații trigonometrice mai complexeși cum să le aleagă rădăcinile. Aici mă voi baza pe următoarele subiecte:

1. Ecuații trigonometrice pentru nivel începător (vezi mai sus).

Ecuațiile trigonometrice mai complexe stau la baza problemelor complexitate crescută. Ele necesită atât rezolvarea ecuației în sine în formă generală, cât și găsirea rădăcinilor acestei ecuații aparținând unora. interval dat.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice se reduce la două subsarcini:

1. Rezolvarea ecuației
2. Selectarea rădăcinilor

Trebuie remarcat că al doilea nu este întotdeauna necesar, dar în majoritatea exemplelor selecția este încă necesară. Dar dacă nu este necesar, atunci vă putem simpatiza - aceasta înseamnă că ecuația este destul de complexă în sine.

Experiența mea în analiza problemelor C1 arată că acestea sunt de obicei împărțite în următoarele categorii.

Patru categorii de sarcini de complexitate crescută (fostul C1)

1. Ecuații care se reduc la factorizare.
2. Ecuații reduse la formă.
3. Ecuații rezolvate prin schimbarea unei variabile.
4. Ecuații care necesită o selecție suplimentară de rădăcini din cauza iraționalității sau numitorului.

Pentru a spune simplu: dacă ești prins una dintre ecuaţiile primelor trei tipuri, atunci consideră-te norocos. Pentru ei, de regulă, trebuie să selectați suplimentar rădăcinile care aparțin unui anumit interval.

Dacă întâlniți o ecuație de tip 4, atunci ești mai puțin norocos: trebuie să o faci mai mult și mai atent, dar destul de des nu necesită o selecție suplimentară de rădăcini. Cu toate acestea, voi analiza acest tip de ecuații în articolul următor, iar acesta îl voi dedica rezolvării ecuațiilor din primele trei tipuri.

Ecuații care se reduc la factorizare

Cel mai important lucru pe care trebuie să-l amintești pentru a rezolva acest tip de ecuație este

După cum arată practica, de regulă, aceste cunoștințe sunt suficiente. Să ne uităm la câteva exemple:

Exemplul 1. Ecuația redusă la factorizare folosind formulele de reducere și sinus cu unghi dublu

• Rezolvați ecuația
• Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care se află deasupra tăieturii

Iată, așa cum am promis, formulele de reducere funcționează:

Atunci ecuația mea va arăta astfel:

Atunci ecuația mea va lua următoarea formă:

Un student miop ar putea spune: acum voi reduce ambele părți, voi obține cea mai simplă ecuație și mă voi bucura de viață! Și se va înșela amarnic!

REȚINEȚI: NU POȚI REDUCE NICIODATĂ AMBELE FEȚE ALE ECUATIEI TRIGONOMETRICE CU O FUNCȚIE CARE CONȚINE UN NECUNOSCUT! Așa că îți pierzi rădăcinile!

Deci ce să faci? Da, este simplu, mutați totul într-o parte și eliminați factorul comun:

Ei bine, am luat-o în calcul în factori, hai! Acum să decidem:

Prima ecuație are rădăcini:

Si al doilea:

Aceasta completează prima parte a problemei. Acum trebuie să selectați rădăcinile:

Decalajul este astfel:

Sau poate fi scris și așa:

Ei bine, haideți să luăm rădăcinile:

În primul rând, să lucrăm cu primul episod (și este mai simplu, ca să spunem cel puțin!)

Deoarece intervalul nostru este în întregime negativ, nu este nevoie să luăm cele nenegative, ele vor da în continuare rădăcini nenegative.

Să o luăm, atunci - e prea mult, nu lovește.

Lasă să fie, atunci - nu l-am lovit din nou.

Încă o încercare - apoi - da, am înțeles! Prima rădăcină a fost găsită!

Trag iar: apoi lovesc iar!

Ei bine, încă o dată: : - acesta este deja un zbor.

Deci din prima serie sunt 2 rădăcini aparținând intervalului: .

Lucrăm cu a doua serie (construim la puterea conform regulii):

Undershoot!

Mi-a lipsit din nou!

Mi-a lipsit din nou!

Am înţeles!

Zbor!

Astfel, intervalul meu are următoarele rădăcini:

Acesta este algoritmul pe care îl vom folosi pentru a rezolva toate celelalte exemple. Să exersăm împreună cu încă un exemplu.

Exemplul 2. Ecuația redusă la factorizare folosind formule de reducere

• Rezolvați ecuația

Soluţie:

Din nou notoriile formule de reducere:

Nu încercați să reduceți din nou!

Prima ecuație are rădăcini:

Si al doilea:

Acum din nou căutarea rădăcinilor.

Voi începe cu al doilea episod, știu deja totul despre el din exemplul anterior! Priviți și asigurați-vă că rădăcinile aparținând intervalului sunt după cum urmează:

Acum primul episod și e mai simplu:

Dacă - potrivit

Dacă și asta e bine

Dacă este deja un zbor.

Apoi rădăcinile vor fi după cum urmează:

Munca independentă. 3 ecuații.

Ei bine, tehnica este clară pentru tine? Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice nu mai pare atât de dificilă? Apoi rezolvați rapid următoarele probleme și apoi vom rezolva alte exemple:

1. Rezolvați ecuația
   Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care se află deasupra intervalului.
2. Rezolvați ecuația
   Indicați rădăcinile ecuației care se află deasupra tăieturii
3. Rezolvați ecuația
   Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care se află între ele.

Ecuația 1.

Și din nou formula de reducere:

Prima serie de rădăcini:

A doua serie de rădăcini:

Începem selecția pentru decalaj

Răspuns: , .

Ecuația 2. Verificarea muncii independente.

O grupare destul de complicată în factori (voi folosi formula sinusului cu unghi dublu):

apoi sau

Acest solutie generala. Acum trebuie să selectăm rădăcinile. Problema este că nu putem spune valoarea exactă a unui unghi al cărui cosinus este egal cu un sfert. Prin urmare, nu pot să scap pur și simplu de arc cosinus - atât de păcat!

Ce pot face este să-mi dau seama că așa, așa, atunci.

Să creăm un tabel: interval:

Ei bine, prin căutări dureroase am ajuns la concluzia dezamăgitoare că ecuația noastră are o singură rădăcină în intervalul indicat: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

Ecuația 3: Test de lucru independent.

O ecuație înspăimântătoare. Cu toate acestea, poate fi rezolvată destul de simplu prin aplicarea formulei sinusului cu unghi dublu:

Să o reducem cu 2:

Să grupăm primul termen cu al doilea și al treilea cu al patrulea și să scoatem factorii comuni:

Este clar că prima ecuație nu are rădăcini, iar acum să luăm în considerare a doua:

În general, aveam să mă opresc asupra rezolvării unor astfel de ecuații puțin mai târziu, dar din moment ce a apărut, nu am nimic de făcut, trebuie să o rezolv...

Ecuații de forma:

Această ecuație se rezolvă prin împărțirea ambelor părți la:

Astfel, ecuația noastră are o singură serie de rădăcini:

Trebuie să le găsim pe cele care aparțin intervalului: .

Să construim din nou un tabel, așa cum am făcut mai devreme:

Raspuns: .

Ecuații reduse la forma:

Ei bine, acum este momentul să trec la a doua porțiune de ecuații, mai ales că am vărsat deja boabele în ce constă soluția la ecuații trigonometrice de un nou tip. Dar merită repetat că ecuația este de formă

Rezolvat prin împărțirea ambelor părți la cosinus:

1. Rezolvați ecuația
   Indicați rădăcinile ecuației care se află deasupra tăieturii.
2. Rezolvați ecuația
   Indicați rădăcinile ecuației care se află între ele.

Exemplul 1.

Primul este destul de simplu. Deplasați-vă la dreapta și aplicați formula cosinusului cu unghi dublu:

Da! Ecuația de formă: . Împărțim ambele părți la

Facem screening rădăcină:

Decalaj:

Răspuns:

Exemplul 2.

Totul este, de asemenea, destul de banal: să deschidem parantezele din dreapta:

Identitatea trigonometrică de bază:

Sinusul unghiului dublu:

În sfârșit obținem:

Screening rădăcină: interval.

Raspuns: .

Ei bine, cum vă place tehnica, nu este prea complicată? Sper că nu. Putem face imediat o rezervă: în forma lor pură, ecuațiile care se reduc imediat la o ecuație pentru tangentă sunt destul de rare. De obicei, această tranziție (diviziunea prin cosinus) este doar o parte a unei probleme mai complexe. Iată un exemplu pe care să îl exersați:

• Rezolvați ecuația
• Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care se află deasupra tăieturii.

Să verificăm:

Ecuația poate fi rezolvată imediat este suficient să împărțiți ambele părți la:

Screening rădăcină:

Raspuns: .

Într-un fel sau altul, încă nu am întâlnit ecuații de tipul pe care tocmai l-am examinat. Cu toate acestea, este prea devreme să numim asta: a mai rămas încă un „strat” de ecuații pe care nu l-am rezolvat. Aşa:

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice prin schimbarea variabilelor

Totul este transparent aici: ne uităm atent la ecuație, o simplificăm pe cât posibil, facem o înlocuire, o rezolvăm, facem o înlocuire inversă! În cuvinte, totul este foarte ușor. Să vedem în acțiune:

Exemplu.

• Rezolvați ecuația: .
• Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care se află deasupra tăieturii.

Ei bine, aici înlocuitorul în sine ni se sugerează!

Atunci ecuația noastră se va transforma în asta:

Prima ecuație are rădăcini:

Iar al doilea este cam asa:

Acum să găsim rădăcinile aparținând intervalului

Raspuns: .

Să ne uităm împreună la un exemplu puțin mai complex:

• Rezolvați ecuația
• Indicați rădăcinile ecuației date, situate deasupra, între ele.

Aici înlocuirea nu este imediat vizibilă, în plus, nu este foarte evidentă. Să ne gândim mai întâi: ce putem face?

Ne putem, de exemplu, să ne imaginăm

Și în același timp

Atunci ecuația mea va lua forma:

Și acum atenție, concentrează-te:

Să împărțim ambele părți ale ecuației la:

Deodată, tu și cu mine am ajuns ecuație pătratică relativ! Să facem o înlocuire, apoi obținem:

Ecuația are următoarele rădăcini:

A doua serie neplăcută de rădăcini, dar nu se poate face nimic! Selectăm rădăcini în interval.

Trebuie să luăm în considerare și asta

De când și, atunci

Răspuns:

Pentru a consolida acest lucru înainte de a rezolva singur problemele, iată un alt exercițiu pentru tine:

• Rezolvați ecuația
• Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care se află între ele.

Aici trebuie să ții ochii deschiși: acum avem numitori care pot fi zero! Prin urmare, trebuie să fii deosebit de atent la rădăcini!

În primul rând, trebuie să rearanjez ecuația astfel încât să pot face o înlocuire adecvată. Nu mă pot gândi la nimic mai bun acum decât să rescriu tangenta în termeni de sinus și cosinus:

Acum voi trece de la cosinus la sinus folosind identitatea trigonometrică de bază:

Și, în sfârșit, voi aduce totul la un numitor comun:

Acum pot trece la ecuația:

Dar la (adică la).

Acum totul este gata pentru înlocuire:

Apoi sau

Cu toate acestea, rețineți că dacă, atunci în același timp!

Cine suferă de asta? Problema cu tangentei este că nu este definită când cosinusul este egal cu zero (se produce împărțirea la zero).

Astfel, rădăcinile ecuației sunt:

Acum cernem rădăcinile în interval:

	- se potriveste
	- exagerat

Astfel, ecuația noastră are o singură rădăcină pe interval și este egală.

Vezi tu: apariția unui numitor (la fel ca și tangenta, duce la anumite dificultăți cu rădăcinile! Aici trebuie să fii mai atent!).

Ei bine, tu și cu mine aproape am terminat de analizat ecuațiile trigonometrice, mai rămâne foarte puțin - să rezolvi singur două probleme. Aici sunt.

1. Rezolvați ecuația
   Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care se află deasupra tăieturii.
2. Rezolvați ecuația
   Indicați rădăcinile acestei ecuații, situate deasupra tăieturii.

Hotărât? Nu este foarte greu? Să verificăm:

1. Lucrăm după formulele de reducere:

   Înlocuiți în ecuație:

   Să rescriem totul prin cosinus pentru a face mai ușor înlocuirea:

   Acum este ușor să faci o înlocuire:

   Este clar că este o rădăcină străină, deoarece ecuația nu are soluții. Apoi:

   Căutăm rădăcinile de care avem nevoie în interval

   Raspuns: .

2. 
   Aici înlocuitorul este imediat vizibil:

   Apoi sau

   	- se potrivește!	- se potrivește!
   	- se potrivește!	- se potrivește!
   	- multe!	- de asemenea, multe!

   Răspuns:

Ei bine, asta este acum! Dar rezolvarea ecuațiilor trigonometrice nu se termină aici, rămânem în urmă cu cele mai dificile cazuri: când ecuațiile conțin iraționalitate sau diferite tipuri de „numitori complecși”. Vom analiza cum să rezolvăm astfel de sarcini într-un articol pentru un nivel avansat.

NIVEL AVANSAT

Pe lângă ecuațiile trigonometrice discutate în cele două articole precedente, vom lua în considerare o altă clasă de ecuații care necesită o analiză și mai atentă. Date exemple trigonometrice conţin fie iraţionalitate, fie un numitor, ceea ce face analiza lor mai dificilă. Cu toate acestea, este posibil să întâlniți aceste ecuații în partea C a lucrării de examen. Cu toate acestea, fiecare nor are o căptușeală de argint: pentru astfel de ecuații, de regulă, întrebarea care dintre rădăcinile sale aparține unui anumit interval nu se mai pune. Să nu ocolim tufișul, dar să trecem direct la exemple trigonometrice.

Exemplul 1.

Rezolvați ecuația și găsiți rădăcinile care aparțin segmentului.

Soluţie:

Avem un numitor care nu trebuie să fie egal cu zero! Atunci decide ecuația dată- este ca și cum ai rezolva un sistem

Să rezolvăm fiecare dintre ecuații:

Și acum al doilea:

Acum să ne uităm la serie:

Este clar că această opțiune nu ne convine, deoarece în acest caz numitorul nostru este resetat la zero (vezi formula pentru rădăcinile celei de-a doua ecuații)

Dacă, atunci totul este în ordine, iar numitorul nu este zero! Atunci rădăcinile ecuației sunt următoarele: , .

Acum selectăm rădăcinile aparținând intervalului.

	- nu este potrivit	- se potriveste
	- se potriveste	- se potriveste
	exagerat	exagerat

Apoi rădăcinile sunt după cum urmează:

Vedeți, chiar și apariția unei mici perturbări sub forma numitorului a afectat semnificativ soluția ecuației: am aruncat o serie de rădăcini care au anulat numitorul. Lucrurile se pot complica și mai mult dacă dai peste exemple trigonometrice care sunt iraționale.

Exemplul 2.

Rezolvați ecuația:

Soluţie:

Ei bine, cel puțin nu trebuie să luați rădăcinile și asta e bine! Să rezolvăm mai întâi ecuația, indiferent de iraționalitate:

Deci, asta e tot? Nu, vai, ar fi prea ușor! Trebuie să ne amintim doar asta numere nenegative. Apoi:

Soluția acestei inegalități este:

Acum rămâne să aflăm dacă o parte din rădăcinile primei ecuații a ajuns din greșeală acolo unde inegalitatea nu este valabilă.

Pentru a face acest lucru, puteți utiliza din nou tabelul:

	: , Dar	Nu!
		Da!
		Da!

Astfel, una dintre rădăcinile mele „a căzut”! Se dovedește că dacă îl lași jos. Apoi răspunsul poate fi scris după cum urmează:

Răspuns:

Vedeți, rădăcina necesită și mai multă atenție! Să facem totul mai complicat: acum să am o funcție trigonometrică sub rădăcina mea.

Exemplul 3.

Ca și înainte: mai întâi le vom rezolva pe fiecare separat, apoi ne vom gândi la ce am făcut.

Acum a doua ecuație:

Acum, cel mai dificil lucru este să aflăm dacă se obțin valori negative sub rădăcina aritmetică dacă înlocuim acolo rădăcinile din prima ecuație:

Numărul trebuie înțeles ca radiani. Deoarece un radian este de aproximativ grade, atunci radianii sunt de ordinul gradelor. Acesta este colțul celui de-al doilea trimestru. Care este semnul cosinusului celui de-al doilea sfert? Minus. Ce zici de sine? Plus. Deci, ce putem spune despre expresia:

Este mai puțin de zero!

Aceasta înseamnă că nu este rădăcina ecuației.

Acum este timpul.

Să comparăm acest număr cu zero.

Cotangenta este o funcție care descrește într-un sfert (cu cât argumentul este mai mic, cu atât cotangenta este mai mare). Radianii sunt aproximativ grade. În același timp

de când, atunci și deci
,

Raspuns: .

Ar putea deveni mai complicat? Vă rog! Va fi mai dificil dacă rădăcina este încă o funcție trigonometrică, iar a doua parte a ecuației este din nou o funcție trigonometrică.

Cu cât mai multe exemple trigonometrice, cu atât mai bine, vezi mai jos:

Exemplul 4.

Rădăcina nu este potrivită din cauza cosinusului limitat

Acum al doilea:

În același timp, prin definiția unei rădăcini:

Trebuie să ne amintim cercul unitar: și anume acele sferturi în care sinusul este mai mic decât zero. Ce sunt aceste sferturi? Al treilea și al patrulea. Atunci ne vor interesa acele soluții ale primei ecuații care se află în al treilea sau al patrulea trimestru.

Prima serie oferă rădăcini situate la intersecția celui de-al treilea și al patrulea sferturi. A doua serie - diametral opusă acesteia - dă naștere la rădăcini situate la granița primului și al doilea sferturi. Prin urmare, această serie nu este potrivită pentru noi.

Raspuns: ,

Și din nou exemple trigonometrice cu „iraționalitate dificilă”. Nu numai că avem din nou funcția trigonometrică sub rădăcină, dar acum este și în numitor!

Exemplul 5.

Ei bine, nu se poate face nimic - facem ca înainte.

Acum lucrăm cu numitorul:

Nu vreau să mă hotărăsc inegalitatea trigonometrică, și, prin urmare, voi acționa cu viclenie: voi lua și voi înlocui seria mea de rădăcini în inegalitate:

Dacă - este par, atunci avem:

deoarece toate unghiurile de vedere se află în al patrulea sfert. Și din nou întrebarea sacră: care este semnul sinusului în al patrulea trimestru? Negativ. Apoi inegalitatea

Dacă -impar, atunci:

În ce sfert se află unghiul? Acesta este colțul celui de-al doilea trimestru. Apoi, toate colțurile sunt din nou colțurile celui de-al doilea sfert. Sinusul de acolo este pozitiv. Exact ce ai nevoie! Deci seria:

Se potrivește!

Ne ocupăm de a doua serie de rădăcini în același mod:

Inlocuim in inegalitatea noastra:

Dacă - chiar, atunci

Colțuri din primul sfert. Sinusul de acolo este pozitiv, ceea ce înseamnă că seria este potrivită. Acum, dacă - impar, atunci:

se potriveste si!

Ei bine, acum scriem răspunsul!

Răspuns:

Ei bine, acesta a fost poate cel mai intensiv caz de muncă. Acum iti propun probleme de rezolvat singur.

Antrenamentul

1. Rezolvați și găsiți toate rădăcinile ecuației care aparțin segmentului.

Solutii:

1. 
   Prima ecuație:
   sau
   ODZ al rădăcinii:

   A doua ecuație:

   Selectarea rădăcinilor care aparțin intervalului

   Răspuns:

Sau
sau
Dar

Să luăm în considerare: . Dacă - chiar, atunci
- nu se potriveste!
Dacă - ciudat, : - potrivit!
Aceasta înseamnă că ecuația noastră are următoarea serie de rădăcini:
sau
Selectarea rădăcinilor în interval:

	- nu este potrivit	- se potriveste
	- se potriveste	- mult
	- se potriveste	multe

Răspuns: , .

Sau
Din moment ce, atunci tangenta nu este definită. Aruncăm imediat această serie de rădăcini!

A doua parte:

Totodată, potrivit DZ se cere ca

Verificăm rădăcinile găsite în prima ecuație:

Dacă semnul:

Unghiurile primului sfert în care tangenta este pozitivă. Nu se potrivește!
Dacă semnul:

Colțul al patrulea sfert. Acolo tangenta este negativă. Se potrivește. Scriem răspunsul:

Răspuns: , .

Am analizat împreună exemple trigonometrice complexe în acest articol, dar ar trebui să rezolvați singur ecuațiile.

REZUMAT ȘI FORMULE DE BAZĂ

O ecuație trigonometrică este o ecuație în care necunoscutul se află strict sub semnul funcției trigonometrice.

Există două moduri de a rezolva ecuații trigonometrice:

Prima modalitate este utilizarea formulelor.

A doua cale este prin cercul trigonometric.

Vă permite să măsurați unghiuri, să găsiți sinusurile, cosinusurile, etc.