Rotirea unui corp în jurul unei axe fixe. Mișcarea de rotație a unui corp rigid Mișcarea de rotație a unui corp

Rotațional ei numesc o astfel de mișcare în care două puncte asociate corpului, prin urmare, linia dreaptă care trece prin aceste puncte, rămân nemișcate în timpul mișcării (Fig. 2.16). Linie dreaptă fixă A B numit axa de rotatie.

Orez. 2,1 V. Spre o definitie mișcare de rotație corp

Poziția corpului în timpul mișcării de rotație determină unghiul de rotație φ, rad (vezi Fig. 2.16). La mișcare, unghiul de rotație se modifică în timp, adică. legea mișcării de rotație a unui corp este definită ca legea schimbării în timp a valorii unghiului diedric Ф = Ф(/) între un semiplan fix SĂ () , trecând prin axa de rotație și mobilă n 1 un semiplan legat de corp și care trece tot prin axa de rotație.

Traiectoriile tuturor punctelor corpului în timpul mișcării de rotație sunt cercuri concentrice situate în plane paralele cu centrele pe axa de rotaţie.

Caracteristicile cinematice ale mișcării de rotație a corpului. În același mod în care au fost introduse caracteristicile cinematice pentru un punct, se introduce un concept cinematic care caracterizează viteza de schimbare a funcției φ(c), care determină poziția corpului în timpul mișcării de rotație, adică. viteza unghiulara co = f = s/f/s//, dimensiunea vitezei unghiulare [co] = rad /Cu.

În calculele tehnice, se folosește adesea expresia vitezei unghiulare cu o dimensiune diferită - în ceea ce privește numărul de rotații pe minut: [i] = rpm și relația dintre n iar co poate fi reprezentat ca: co = 27w/60 = 7w/30.

În general viteza unghiulara se schimba in timp. Măsura vitezei de modificare a vitezei unghiulare este accelerația unghiulară e = c/co/c//= co = f, dimensiunea accelerație unghiulară[e] = rad/s 2.

Caracteristicile cinematice unghiulare introduse sunt complet determinate prin specificarea unei funcții - unghiul de rotație în funcție de timp.

Caracteristicile cinematice ale punctelor corpului în timpul mișcării de rotație. Luați în considerare ideea M corp situat la distanta p de axa de rotatie. Acest punct se deplasează de-a lungul unui cerc cu raza p (Fig. 2.17).

Orez. 2.17.

puncte ale corpului în timpul rotației sale

Lungimea arcului M Q M cerc cu raza p este definit ca s= ptp, unde f este unghiul de rotație, rad. Dacă legea mișcării unui corp este dată ca φ = φ(g), atunci legea mișcării unui punct M de-a lungul traiectoriei este determinată de formula S= рф(7).

Folosind expresiile caracteristicilor cinematice cu metoda naturală de precizare a mișcării unui punct, obținem caracteristici cinematice pentru punctele unui corp în rotație: viteza după formula (2.6)

V= 5 = rf = rso; (2,22)

accelerația tangențială conform expresiei (2.12)

i t = K = sor = er; (2,23)

accelerație normală conform formulei (2.13)

a„ =Și 2 /р = с 2 р 2 /р = ogr; (2,24)

accelerația totală folosind expresia (2.15)

O = -]O + a] = px/e 2 + co 4. (2,25)

Caracteristica direcției de accelerație totală se consideră p - unghiul de abatere al vectorului de accelerație totală față de raza cercului descris de punctul (Fig. 2.18).

Din fig. 2.18 obținem

tgjLi = aja n=re/pco 2 =g/(o 2. (2.26)

Orez. 2.18.

Rețineți că toate caracteristicile cinematice ale punctelor unui corp în rotație sunt proporționale cu distanța față de axa de rotație. Ve-

Identitățile lor sunt determinate prin derivatele aceleiași funcție - unghiul de rotație.

Expresii vectoriale pentru caracteristicile cinematice unghiulare și liniare. Pentru o descriere analitică a caracteristicilor cinematice unghiulare ale unui corp în rotație, împreună cu axa de rotație, conceptul vector unghi de rotație(Fig. 2.19): φ = φ(/)A:, unde La- mananca

vectorul axei de rotație

1; La=sop51 .

Vectorul f este îndreptat de-a lungul acestei axe, astfel încât să poată fi văzut de la „sfârșit”

rotație care are loc în sens invers acelor de ceasornic.

Orez. 2.19.

caracteristici în formă vectorială

Dacă vectorul φ(/) este cunoscut, atunci toate celelalte caracteristici unghiulare ale mișcării de rotație pot fi reprezentate sub formă vectorială:

• vector viteză unghiulară co = f = f La. Direcția vectorului viteză unghiulară determină semnul derivatei unghiului de rotație;
• vector accelerație unghiulară є = сo = f La. Direcția acestui vector determină semnul derivatei vitezei unghiulare.

Vectorii introduși с și є ne permit să obținem expresii vectoriale pentru caracteristicile cinematice ale punctelor (vezi Fig. 2.19).

Rețineți că modulul vectorului viteză al punctului coincide cu modulul produs vectorial vector viteză unghiulară și vector rază: |sokh G= sogvіpa = gunoi. Ținând cont de direcțiile vectorilor с și r și de regula pentru direcția produsului vectorial, putem scrie o expresie pentru vectorul viteză:

V= co xg.

În mod similar, este ușor să arăți asta

• ? X
• - exBіpa= єр = un tŞi

Sosor = co p = i.

(În plus, vectorii acestor caracteristici cinematice coincid în direcție cu produsele vectoriale corespunzătoare.

Prin urmare, vectorii tangenți și accelerație normală pot fi reprezentate ca produse vectoriale:

• (2.28)
• (2.29)

a x = g X G

O= co x V.

Rotirea unui corp rigid în jurul unei axe fixe este o astfel de mișcare în care două puncte ale corpului rămân nemișcate pe toată durata mișcării. În acest caz, toate punctele corpului situate pe o linie dreaptă care trece prin punctele sale fixe rămân, de asemenea, nemișcate. Această linie se numește axa de rotație a corpului .

Fie punctele A și B staționare. Să direcționăm axa de-a lungul axei de rotație. Prin axa de rotație desenăm un plan staționar și unul mobil, atașat unui corp rotativ (la ).

Poziția planului și a corpului însuși este determinată de unghiul diedric dintre planuri și . Să o notăm. Unghiul este numit unghiul de rotație al corpului .

Poziția corpului în raport cu sistemul de referință ales este determinată în mod unic în orice moment dacă este dată ecuația, unde este orice funcție de timp diferențiabilă de două ori. Această ecuație se numește ecuația de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe .

Un corp care se rotește în jurul unei axe fixe are un grad de libertate, deoarece poziția sa este determinată prin specificarea unui singur parametru - unghi.

Un unghi este considerat pozitiv dacă este așezat în sens invers acelor de ceasornic și negativ în direcția opusă. Traiectoriile punctelor unui corp în timpul rotației sale în jurul unei axe fixe sunt cercuri situate în planuri perpendiculare pe axa de rotație.

Pentru a caracteriza mișcarea de rotație solidîn jurul unei axe fixe, introducem conceptele de viteză unghiulară și accelerație unghiulară.

Viteza unghiulară algebrică a unui corp în orice moment în timp se numește prima derivată în raport cu timpul a unghiului de rotație în acest moment, adică.

Viteza unghiulară este pozitivă când corpul se rotește în sens invers acelor de ceasornic, deoarece unghiul de rotație crește cu timpul, și negativă când corpul se rotește în sensul acelor de ceasornic, deoarece unghiul de rotație scade.

Dimensiunea vitezei unghiulare prin definiție:

În inginerie, viteza unghiulară este viteza de rotație exprimată în rotații pe minut. Într-un minut, corpul se va roti printr-un unghi , unde n este numărul de rotații pe minut. Împărțind acest unghi la numărul de secunde dintr-un minut, obținem

Accelerația unghiulară algebrică a corpului se numește prima derivată în raport cu timpul vitezei unghiulare, adică a doua derivată a unghiului de rotație, adică.

Dimensiunea accelerației unghiulare prin definiție:

Să introducem conceptele de vectori de viteză unghiulară și accelerație unghiulară a unui corp.

Și , unde este vectorul unitar al axei de rotație. Vectori și pot fi reprezentați în orice punct pe axa de rotație sunt vectori de alunecare.

Viteza unghiulară algebrică este proiecția vectorului viteză unghiulară pe axa de rotație. Accelerația unghiulară algebrică este proiecția vectorului de accelerație unghiulară al vitezei pe axa de rotație.

Dacă la , atunci viteza unghiulară algebrică crește cu timpul și, prin urmare, corpul se rotește accelerat la momentul considerat în timp în latura pozitiva. Direcțiile vectorilor și coincid, ambele sunt direcționate în direcția pozitivă a axei de rotație.

Când și corpul se rotește rapid în direcția negativă. Direcțiile vectorilor și coincid, ambele sunt direcționate în direcția negativă a axei de rotație.

DEFINIŢIE: Mișcarea de rotație a unui corp rigid vom numi o astfel de mișcare în care toate punctele corpului se mișcă în cercuri, ai căror centre se află pe aceeași linie dreaptă, numită axa de rotație.

Pentru a studia dinamica rotației, adăugăm la mărimile cinematice cunoscute două cantități: moment de forta(M) și moment de inerție(J).

1. Se știe din experiență: accelerația mișcării de rotație depinde nu numai de mărimea forței care acționează asupra corpului, ci și de distanța de la axa de rotație la linia de-a lungul căreia acționează forța. Pentru a caracteriza această împrejurare, vă prezentăm mărime fizică numit moment de forta.

Să luăm în considerare cel mai simplu caz.

DEFINIȚIE: Momentul unei forțe în jurul unui anumit punct „O” este o mărime vectorială definită prin expresia , unde este vectorul rază trasat de la punctul „O” până la punctul de aplicare al forței.

Din definiție rezultă că este un vector axial. Direcția sa este aleasă astfel încât rotația vectorului în jurul punctului „O” în direcția forței și a vectorului să formeze un sistem de dreapta. Modulul momentului de forță este egal cu , unde a este unghiul dintre direcțiile vectorilor și , și l= r păcat a este lungimea perpendicularei coborâte din punctul „O” la linia dreaptă de-a lungul căreia acționează forța (numită umărul puterii faţă de punctul „O”) (Fig. 4.2).

2. Datele experimentale indică faptul că mărimea accelerației unghiulare este influențată nu numai de masa corpului în rotație, ci și de distribuția masei în raport cu axa de rotație. Se numește cantitatea care ia în considerare această circumstanță moment de inerție faţă de axa de rotaţie.

DEFINIȚIE: strict vorbind, moment de inerție corp raportat la o anumită axă de rotație se numește valoare J, egală cu suma produselor maselor elementare prin pătratele distanțelor lor față de o axă dată.

Însumarea se efectuează pe toate masele elementare în care a fost împărțit corpul. Trebuie avut în vedere că această mărime (J) există indiferent de rotație (deși conceptul de moment de inerție a fost introdus atunci când se ia în considerare rotația unui corp rigid).

Fiecare corp, indiferent dacă este în repaus sau în rotație, are un anumit moment de inerție față de orice axă, la fel cum un corp are masă indiferent dacă se mișcă sau în repaus.

Având în vedere că , momentul de inerție poate fi reprezentat ca: . Această relație este aproximativă și cu cât volumele elementare și elementele de masă corespunzătoare sunt mai mici, cu atât va fi mai precisă. În consecință, sarcina de a găsi momente de inerție se rezumă la integrare: . Aici integrarea se realizează pe întregul volum al corpului.

Să notăm momentele de inerție ale unor corpuri folosind forma corectă formă geometrică.

1. Tija lungă uniformă.
Orez. 4.3	Momentul de inerție în jurul axei perpendiculare pe tijă și care trece prin mijlocul acesteia este egal cu
2. Cilindru solid sau disc.
Orez. 4.4	Momentul de inerție în jurul axei care coincide cu axa geometrică este egal cu .
3. Cilindru cu pereți subțiri cu raza R.
Orez. 4.5
4. Momentul de inerție al unei bile cu raza R față de o axă care trece prin centrul ei
Orez. 4.6
5. Momentul de inerție al unui disc subțire (grosime b<
Orez. 4.7
6. Momentul de inerție al blocului
Orez. 4.8
7. Momentul de inerție al inelului
Orez. 4.9

Calculul momentului de inerție aici este destul de simplu, deoarece Se presupune că corpul este omogen și simetric, iar momentul de inerție este determinat în raport cu axa de simetrie.

Pentru a determina momentul de inerție al unui corp față de orice axă, este necesar să folosim teorema lui Steiner.

DEFINIŢIE: Momentul de inerție J față de o axă arbitrară este egală cu suma momentului de inerție J c față de o axă paralelă cu cea dată și care trece prin centrul de inerție al corpului și produsul masei corporale cu pătratul distanței dintre axe (Fig. 4.10).

Rotirea unui corp rigid în jurul unei axe fixe (axa de rotație) Se numește o astfel de mișcare în care punctele corpului aflate pe axa de rotație rămân nemișcate pe toată durata mișcării.

Fie axa de rotație axa, care poate avea orice direcție în spațiu. O direcție a axei este considerată pozitivă (Fig. 28).

Prin axa de rotație desenăm un plan fix și un plan mobil conectat la corpul rotativ. Fie ca la momentul inițial de timp ambele planuri coincid. Apoi, la momentul de timp, poziția planului în mișcare și a corpului în rotație însuși poate fi determinată de unghiul diedric dintre plane și unghiul liniar corespunzător dintre drepte situate în aceste plane și perpendiculare pe axa de rotație. Unghiul este numit unghiul de rotație al corpului.

Poziția corpului față de sistemul de referință selectat este complet determinată în orice moment dacă este dată ecuația

unde este orice funcție de două ori diferențiabilă a timpului. Această ecuație se numește ecuația de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe.

Un corp care se rotește în jurul unei axe fixe are un grad de libertate, deoarece poziția sa este determinată prin specificarea unui singur parametru - unghiul.

Un unghi este considerat pozitiv dacă este reprezentat în sens invers acelor de ceasornic și negativ în direcția opusă când este privit din direcția pozitivă a axei. Traiectoriile punctelor unui corp în timpul rotației sale în jurul unei axe fixe sunt cercuri situate în planuri perpendiculare pe axa de rotație.

Pentru a caracteriza mișcarea de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe, introducem conceptele de viteză unghiulară și accelerație unghiulară. Viteza unghiulară algebrică a corpuluiîn orice moment în timp se numește prima derivată în raport cu timpul a unghiului de rotație în acest moment, i.e. . Este o mărime pozitivă când corpul se rotește în sens invers acelor de ceasornic, deoarece unghiul de rotație crește cu timpul, și negativă când corpul se rotește în sensul acelor de ceasornic, deoarece unghiul de rotație scade.

Modulul vitezei unghiulare este notat cu . Apoi

Accelerația unghiulară algebrică a corpului se numește derivată întâi în raport cu timpul a vitezei algebrice, adică. derivata a doua a unghiului de rotație. Notăm modulul de accelerație unghiulară cu , atunci

Dacă la , atunci viteza unghiulară algebrică crește cu timpul și, prin urmare, corpul se rotește accelerat în momentul de față în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic). La și , corpul se rotește rapid în direcția negativă. Dacă la , atunci avem o rotație lentă în direcția pozitivă. Când și rotația lentă are loc în direcția negativă.

Mișcarea de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe este o astfel de mișcare în care orice două puncte aparținând corpului (sau asociate invariabil cu acesta) rămân nemișcate pe tot parcursul mișcării.(Fig. 2.2) .

Figura 2.2

Trecerea prin puncte fixe OŞi ÎN linia dreaptă se numește axa de rotatie. Deoarece distanța dintre punctele unui corp rigid trebuie să rămână neschimbată, este evident că în timpul mișcării de rotație toate punctele aparținând axei vor fi nemișcate, iar toate celelalte vor descrie cercuri, ale căror planuri sunt perpendiculare pe axa de rotație, iar centrele se află pe această axă. Pentru a determina poziția unui corp în rotație, desenăm prin axa de rotație de-a lungul căreia este îndreptată axa Az, semiplan І – fix și semiplan ІІ încorporat în corpul însuși și rotindu-se odată cu acesta. Atunci poziția corpului în orice moment de timp este determinată în mod unic de unghiul luat cu semnul corespunzător φ între aceste planuri, pe care le numim unghiul de rotație al corpului. Vom lua în considerare unghiul φ pozitiv dacă este întârziat dintr-un plan fix în sens invers acelor de ceasornic (pentru un observator care privește de la capătul pozitiv al axei Az), și negativ dacă este în sensul acelor de ceasornic. Măsurați unghiul φ Vom fi în radiani. Pentru a cunoaște poziția unui corp în orice moment, trebuie să cunoașteți dependența unghiului φ din când în când t, adică

.

Această ecuație exprimă legea mișcării de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe.

Principalele caracteristici cinematice ale mișcării de rotație a unui corp rigid sunt viteza sa unghiulară ω și accelerația unghiulară ε.

9.2.1. Viteza unghiulară și accelerația unghiulară a unui corp

Mărimea care caracterizează viteza de modificare a unghiului de rotație φ în timp se numește viteză unghiulară.

Dacă într-o perioadă de timp
corpul se rotește printr-un unghi
, atunci viteza unghiulară medie numeric a corpului în această perioadă de timp va fi
. În limita la
primim

Astfel, valoarea numerică a vitezei unghiulare a unui corp la un moment dat este egală cu prima derivată a unghiului de rotație în raport cu timpul.

Regula semnului: Când rotirea are loc în sens invers acelor de ceasornic, ω> 0, iar când în sensul acelor de ceasornic, atunci ω< 0.

sau, deoarece radianul este o mărime adimensională,
.

În calculele teoretice este mai convenabil să se utilizeze vectorul viteză unghiulară , al cărui modul este egal cu și care este îndreptată de-a lungul axei de rotație a corpului în direcția din care rotația este vizibilă în sens invers acelor de ceasornic. Acest vector determină imediat mărimea vitezei unghiulare, axa de rotație și direcția de rotație în jurul acestei axe.

Mărimea care caracterizează viteza de schimbare a vitezei unghiulare în timp se numește accelerație unghiulară a corpului.

Dacă într-o perioadă de timp
incrementul vitezei unghiulare este egal cu
, apoi relația
, adică determină valoarea acceleraţiei medii a unui corp în rotaţie în timp
.

Când te străduiești
obţinem mărimea acceleraţiei unghiulare în momentul de faţă t:

Astfel, valoarea numerică a accelerației unghiulare a unui corp la un moment dat este egală cu prima derivată a vitezei unghiulare sau cu derivata a doua a unghiului de rotație al corpului în timp.

De obicei se folosește unitatea de măsură sau, care este, de asemenea,
.

Dacă modulul vitezei unghiulare crește cu timpul, se numește rotația corpului accelerat, iar dacă scade, - lent Când valorile ω Şi ε au aceleași semne, atunci rotația va fi accelerată, când sunt diferite, va fi încetinită. Prin analogie cu viteza unghiulară, accelerația unghiulară poate fi reprezentată și ca vector , îndreptată de-a lungul axei de rotație. În același timp

.

Dacă un corp se rotește într-o direcție accelerată coincide cu , și opus cu rotație lentă.

Dacă viteza unghiulară a unui corp rămâne constantă în timpul mișcării ( ω= const), atunci se numește rotația corpului uniformă.

Din
avem
. Prin urmare, având în vedere că la momentul inițial de timp
colţ
, și luând integralele la stânga lui la , iar în dreapta de la 0 la t, în sfârșit vom obține

.

Cu rotire uniformă, când =0,
Şi
.

Viteza de rotație uniformă este adesea determinată de numărul de rotații pe minut, notând această valoare cu n rpm Să găsim relația dintre n rpm și ω 1/s. Cu o rotație corpul se va roti cu 2π și cu n rpm la 2π n; această tură se face în 1 minut, adică t= 1 min=60s. De aici rezultă că

.

Dacă accelerația unghiulară a unui corp rămâne constantă pe tot parcursul mișcării sale (ε = const), atunci rotația se numește la fel de variabilă.

În momentul inițial de timp t=0 unghi
, și viteza unghiulară
(- viteza unghiulara initiala).
;
=ε
. Integrarea părții stângi a la , iar cea dreaptă de la 0 la t, vom găsi

Viteza unghiulară ω a acestei rotații
. Dacă ω și ε au aceleași semne, rotația va fi uniform accelerat, și dacă este diferit - la fel de lent.