Punctul de intersecție al unei drepte cu planul de coordonate xoz. Intersecția unei drepte cu un plan. Determinarea vizibilității liniei. Aflarea coordonatelor punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan

Dacă o dreaptă nu se află într-un plan și nu este paralelă cu acesta, ea intersectează planul.
Sarcina de a determina punctul de intersecție al unei drepte cu un plan se reduce la următoarele:
1) desenarea unui plan auxiliar ( Se recomandă să alegeți planul auxiliar care va oferi cea mai simplă soluție grafică problemei) prin această linie;
2) aflarea dreptei de intersecție a planului auxiliar cu planul dat;
3) determinarea punctului de intersecție al unei drepte date cu linia de intersecție a planelor și deci cu un plan dat.

Exemplul 1. În (Fig. 250, a) sunt date planul δ (δ 1 ) şi dreapta AB (A 1 B 1 şi A 2 B 2 ); este necesar să se determine punctul de intersecție a acestora.

În acest caz, nu este nevoie să recurgeți la un plan auxiliar, deoarece acest plan δ este orizontal - proiectant. Conform proprietății planurilor de proiectare, proiecția orizontală a punctului de intersecție, situat în planul δ, se îmbină cu proiecția orizontală δ 1.
Prin urmare, punctul K 1 de intersecție a proiecției orizontale A 1 B 1 a dreptei AB cu proiecția orizontală δ 1 este proiecția orizontală a punctului de intersecție K; proiecția frontală K 2 se determină prin trasarea unei linii de comunicație verticală până când se intersectează cu proiecția frontală A 2 B 2.
Exemplul 2. Figura 250b prezintă un exemplu de intersecție a dreptei AB cu planul δ proiectat frontal.

Exemplul 1. Date: un plan în poziţia generală a şi o dreaptă în poziţia generală AB (A 1 B 1 A 2 B 2); trebuie să găsiți punctul de intersecție a acestora (Fig. 251, a).
Desenăm un plan auxiliar prin dreapta AB, de exemplu orizontal – proiectant planul δ (δ 1 ), așa cum este prezentat în (Fig. 251, b); va intersecta planul a de-a lungul dreptei NM (N 1 M 1, N 2 M 2), care, la rândul ei, va intersecta dreapta AB (A 1 B 1 A 2 B 2) în punctul C (C 1 C 2) , care poate fi văzut pe (Fig. 251, c). Punctul C este punctul de intersecție al dreptei AB cu planul a.

Exemplul 2. (Fig. 252) prezintă un exemplu de găsire a proiecțiilor punctului de intersecție al dreptei AB cu un plan general folosind linia orizontală h.
Exemplul 3. Dați: triunghiul ABC și dreapta NM; este necesar să se determine punctul de intersecție a acestora (Fig. 253, a).
Să luăm ca plan auxiliar planul de proiecție orizontal δ, apoi proiecția orizontală og se va îmbina cu proiecția orizontală N 1 M 1 a dreptei NM și va intersecta proiecțiile laturilor triunghiului în punctele E 1 și F 1 (Fig. 253, b). Segmentul E 1 F 1 va fi proiecția orizontală a liniei de intersecție. Găsim apoi proiecția frontală a dreptei de intersecție: folosind linii de comunicație verticale, obținem punctele E 2 și F 2, trasăm o dreaptă E 2 F 2 prin ele, care va fi proiecția frontală a dreptei de intersecție.
Linia E 2 F 2 intersectează linia N 2 M 2 în punctul K 2. Punctul K 2 va fi proiecția frontală a punctului de intersecție a dreptei MN cu dreapta EF; proiecția orizontală K 1 a acestui punct se determină folosind o linie de comunicație verticală.
Punctul K (K 1, K 2) va fi punctul de intersecție al acestei drepte MN cu acest triunghi ABC, întrucât le aparține în același timp, deoarece dreapta MN se intersectează în ea cu dreapta EF situată în planul triunghiului. ABC.

Exercițiul 1
Construi desen complex triunghiul ABC dat fiind coordonatele vârfurilor. Găsiți dimensiunea reală a laturilor triunghiului și construiți-l în dimensiune completă. Folosind aceleași coordonate, construiți o imagine vizuală
Exercițiul 2
Pe baza datelor din proiecția frontală a poligonului și proiecțiile orizontale ale celor două laturi adiacente ale acestuia, completați proiecția orizontală a poligonului.
Construiți proiecțiile unui triunghi arbitrar în planul poligonului. Construiți un punct în afara poligonului, dar situat în același plan cu acesta (

Construirea punctului de intersecție a unei drepte cu un plan proeminent se rezumă la a construi o a doua proiecție a unui punct pe o diagramă, deoarece o proiecție a unui punct se află întotdeauna pe urma planului de proiectare, deoarece tot ceea ce este în planul de proiectare este proiectat pe una dintre urmele planului. În fig. 224,a arată construcția punctului de intersecție a dreptei EF cu planul proiectat frontal triunghiul ABC(perpendicular pe planul V) Pe planul V, triunghiul ABC este proiectat pe segmentul a"c" al unei drepte, iar punctul k" va fi de asemenea situat pe această dreaptă și va fi situat în punctul de intersecție al lui e"f" cu a"c". O proiecție orizontală este construită folosind linii de legătură de proiecție Vizibilitatea dreptei în raport cu planul triunghiului ABC este determinată de poziție relativă proiecțiile triunghiului ABC și dreptei EF pe planul V. Direcția de vedere din Fig. 224 și indicat printr-o săgeată. Acea secțiune a liniei drepte, a cărei proiecție frontală este deasupra proiecției triunghiului, va fi vizibilă. La stânga punctului k" proiecția dreptei este deasupra proiecției triunghiului, prin urmare, pe planul H această secțiune este vizibilă.

În fig. 224, b dreapta EF intersectează planul orizontal P. Proiecția frontală k" a punctului K - punctul de intersecție al dreptei EF cu planul P - va fi situată în punctul de intersecție al proiecției e"f" cu urma planului Pv, deoarece planul orizontal este un plan proiectat în față Proiecția orizontală k a punctului K se găsește folosind linia de legătură de proiecție.

Construirea dreptei de intersecție a două plane se rezumă la găsirea a două puncte comune acestor două planuri. Pentru a construi o linie de intersecție, acest lucru este suficient, deoarece linia de intersecție este o linie dreaptă, iar o linie dreaptă este definită de două puncte. Când un plan proiectant intersectează un plan generic, una dintre proiecțiile dreptei de intersecție coincide cu urma planului situat în planul de proiecție pe care planul de proiecție este perpendicular. În fig. 225, iar proiecția frontală m"n" a dreptei de intersecție MN coincide cu urma Pv a planului P proiectat frontal, iar în Fig. 225, b, proiecția orizontală kl coincide cu traseul planului proiectat orizontal R. Alte proiecții ale liniei de intersecție se construiesc folosind linii de legătură de proiecție.

Construirea punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan poziţia generală (Fig. 226, a) se realizează cu ajutorul unui plan auxiliar de proiecţie R, care este trasat prin această dreaptă EF. Se construiește linia de intersecție 12 a planului auxiliar R cu planul dat al triunghiului ABC, se obțin două drepte în planul R: EF - dreapta dată și 12 - linia de intersecție construită, care se intersectează în punctul K.

Găsirea proiecțiilor punctului K este prezentată în Fig. 226, b. Construcțiile sunt realizate în următoarea secvență.

Un plan auxiliar proiectat orizontal R este trasat prin linia dreaptă EF. Urma sa R H coincide cu proiecția orizontală ef a dreptei EF.

O proiecție frontală 1"2" a liniei de intersecție 12 a planului R cu planul dat al triunghiului ABC este construită folosind linii de comunicare de proiecție, deoarece proiecția orizontală a liniei de intersecție este cunoscută. Coincide cu urma orizontală R H a planului R.

Se determină proiecția frontală k" a punctului dorit K, care se află la intersecția proiecției frontale a acestei drepte cu proiecția 1"2" a liniei de intersecție. Proiecția orizontală a punctului se construiește folosind o proiecție. linia de conectare.

Vizibilitatea unei linii în raport cu planul triunghiului ABC este determinată de metoda punctelor concurente. Pentru a determina vizibilitatea unei linii drepte pe planul frontal al proiecțiilor (Fig. 226, b), comparăm coordonatele Y ale punctelor 3 și 4, ale căror proiecții frontale coincid. Coordonata Y a punctului 3, situată pe linia BC, este mai mică decât coordonata Y a punctului 4, situată pe dreapta EF. În consecință, punctul 4 este mai aproape de observator (direcția de vedere este indicată de săgeată) și proiecția dreptei este reprezentată pe planul V vizibil. Linia dreaptă trece prin fața triunghiului. La stânga punctului K" linia dreaptă este închisă de planul triunghiului ABC.

Vizibilitatea pe planul orizontal de proiecție este afișată prin compararea coordonaților Z ale punctelor 1 și 5. Deoarece Z 1 > Z 5, punctul 1 este vizibil. În consecință, în dreapta punctului 1 (până la punctul K) linia dreaptă EF este invizibilă.

Pentru a construi linia de intersecție a două plane generale, se folosesc planuri de tăiere auxiliare. Acest lucru este prezentat în Fig. 227, a. Un plan este definit de triunghiul ABC, celălalt de drepte paralele EF și MN. Planurile date (Fig. 227, a) sunt intersectate de al treilea plan auxiliar. Pentru ușurința construcției, planurile orizontale sau frontale sunt luate ca planuri auxiliare. În acest caz, planul auxiliar R este planul orizontal. El intersectează planurile date de-a lungul liniilor drepte 12 și 34, care la intersecție dau un punct K, aparținând tuturor celor trei planuri și, prin urmare, celor două date, adică situate pe linia de intersecție a planurilor date. Al doilea punct se găsește folosind al doilea plan auxiliar Q. Cele două puncte K și L găsite determină linia de intersecție a celor două plane.

În fig. 227,b planul auxiliar R este specificat de traseul frontal. Proiecțiile frontale ale liniilor de intersecție 1"2" și 3"4 ale planului R cu planuri date coincid cu traseul frontal Rv a planului R, deoarece planul R este perpendicular pe planul V și tot ceea ce este în el. (inclusiv liniile de intersecție) este proiectată pe traseul său frontal Rv. Proiecțiile orizontale ale acestor linii sunt construite folosind linii de legătură de proiecție trase din proiecțiile frontale ale punctelor 1", 2", 3", 4" până la intersecția cu proiecțiile orizontale. a dreptelor corespunzătoare în punctele 1, 2, 3, 4. Construite proiecțiile orizontale ale liniilor de intersecție se prelungesc până se intersectează între ele în punctul k, care este proiecția orizontală a punctului K aparținând dreptei de intersecție a lui. cele două planuri Proiecţia frontală a acestui punct este pe urma Rv.

Pentru a construi al doilea punct aparținând dreptei de intersecție, desenați un al doilea plan auxiliar Q. Pentru comoditatea construcției, planul Q este trasat prin punctul C paralel cu planul R. Apoi, pentru a construi proiecții orizontale ale liniilor de intersecție a planului Q cu planul triunghiului ABC și cu planul definit de drepte paralele, este suficient să găsiți două puncte: c și 5 și să trasați prin ele drepte paralele cu proiecțiile construite anterior ale dreptelor de intersecție 12 și 34. , întrucât planul Q ║ R. Continuând aceste drepte până se intersectează între ele, obținem o proiecție orizontală l a punctului L aparținând dreptei de intersecție a planurilor date. Proiecția frontală l" a punctului L se află pe traseul Q v și se construiește folosind linia de legătură a proiecției. Prin legarea proiecțiilor cu același nume ale punctelor K și L se obțin proiecțiile dreptei de intersecție dorite.

Dacă luăm o dreaptă într-unul dintre planurile care se intersectează și construim punctul de intersecție al acestei drepte cu un alt plan, atunci acest punct va aparține dreptei de intersecție a acestor plane, deoarece aparține ambelor plane date. Să construim al doilea punct în același mod, putem găsi linia de intersecție a două plane, deoarece două puncte sunt suficiente pentru a construi o dreaptă. În fig. 228 prezintă o astfel de construcție a dreptei de intersecție a două plane definite prin triunghiuri.

Pentru această construcție, luați una dintre laturile triunghiului și construiți punctul de intersecție al acestei laturi cu planul celuilalt triunghi. Dacă acest lucru nu reușește, luați cealaltă parte a aceluiași triunghi, apoi a treia. Dacă acest lucru nu duce la găsirea punctului dorit, construiți punctele de intersecție a laturilor celui de-al doilea triunghi cu primul.

În fig. 228 se construiește punctul de intersecție al dreptei EF cu planul triunghiului ABC. Pentru a face acest lucru, un plan auxiliar care se proiectează orizontal S este trasat prin linia dreaptă EF și se construiește o proiecție frontală de 1" până la 2" din linia de intersecție a acestui plan cu planul triunghiului ABC. Proiecția frontală 1"2" a dreptei de intersecție, care se intersectează cu proiecția frontală e"f" a dreptei EF, dă proiecția frontală m" a punctului de intersecție M. Proiecția orizontală m a punctului M se găsește folosind linia de legătură de proiecție. Al doilea punct aparținând dreptei de intersecție a planurilor triunghiurilor date , - punctul N - punctul de intersecție al dreptei BC cu planul triunghiului DEF Se trasează un plan frontal R prin dreapta BC, iar pe planul H intersecția proiecțiilor orizontale ale dreptei BC și dreapta de intersecție 34 dă punctul n - proiecția orizontală a punctului dorit Se construiește proiecția frontală Secțiunile vizibile ale triunghiurilor date sunt determinate folosind punctele concurente pentru fiecare plan de proiecție separat proiectii ale acestor puncte prin compararea coordonatelor lor.

De exemplu, punctele 5 și 6 sunt punctele de intersecție ale proiecțiilor orizontale bc și de. Pe planul frontal al proiecțiilor, proiecțiile acestor puncte nu coincid. Comparând coordonatele lor Z, ei descoperă că punctul 5 acoperă punctul 6, deoarece coordonata Z 5 este mai mare decât coordonata Z 6. Prin urmare, la stânga punctului 5 partea DE este invizibilă.

Determin vizibilitatea pe planul frontal al proiecțiilor folosind punctele concurente 4 și 7, aparţinând unor segmente DE și BC, comparând coordonatele lor Y 4 și Y 7 Deoarece Y 4 >Y 7, latura DE pe planul V este vizibilă.

Trebuie remarcat faptul că atunci când se construiește punctul de intersecție al unei linii drepte cu planul unui triunghi, punctul de intersecție poate fi în afara planului triunghiului. În acest caz, conectând punctele rezultate aparținând dreptei de intersecție, se conturează doar acea secțiune a acesteia care aparține ambelor triunghiuri.

ÎNTREBĂRI DE REVIZUIRE

1. Ce coordonate ale unui punct determină poziția sa în planul V?

2. Ce determină coordonatele Y și coordonatele Z ale unui punct?

3. Cum sunt situate pe diagramă proiecțiile unui segment perpendicular pe planul de proiecție H? Perpendicular pe planul de proiecție V?

4. Cum sunt situate proiecțiile orizontale și frontale pe diagramă?

5. Formulați teza de bază despre dacă un punct aparține unei drepte.

6. Cum să distingem liniile care se intersectează de liniile care se intersectează pe o diagramă?

7. Ce puncte se numesc concurente?

8. Cum să determinăm care dintre două puncte este vizibil dacă proiecțiile lor pe planul frontal al proiecțiilor coincid?

9. Formulați propoziția de bază despre paralelismul unei drepte și al unui plan.

10. Care este procedura de construire a punctului de intersecție al unei drepte cu un plan general?

11. Care este procedura de construire a dreptei de intersecție a două plane generale?

Acest capitol vorbește despre cum să găsiți coordonatele punctului de intersecție al unei drepte cu un plan având în vedere ecuațiile care definesc acest plan. Se va lua în considerare conceptul punctului de intersecție al unei drepte cu un plan și două moduri de a găsi coordonatele punctului de intersecție al unei drepte cu un plan.

Pentru un studiu aprofundat al teoriei, este necesar să începem analiza cu conceptul de punct, linie dreaptă, plan. Conceptul de punct și linie dreaptă este considerat atât în plan, cât și în spațiu. Pentru o analiză detaliată, este necesar să ne întoarcem la subiectul liniilor drepte și a planurilor în spațiu.

Există mai multe variații în locația liniei în raport cu planul și spațiul:

o linie dreaptă se află într-un plan;
o linie dreaptă este paralelă cu un plan;
o linie dreaptă intersectează un plan.

Dacă luăm în considerare al treilea caz, putem vedea clar că o linie dreaptă cu un plan la intersectare formează punct comun, care se numește punctul de intersecție a unei drepte și a unui plan. Să ne uităm la acest caz folosind un exemplu.

Aflarea coordonatelor punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan

A fost introdus un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z spatiu tridimensional. Fiecare linie dreaptă are propria sa ecuație și fiecare plan îi corespunde propriei ecuații date, fiecare punct are un anumit număr numere reale– coordonate.

Pentru a înțelege în detaliu subiectul coordonatelor de intersecție, trebuie să cunoașteți toate tipurile de ecuații de linie dreaptă în ecuații spațiale și plane. în acest caz, vor fi utile cunoștințele despre trecerea de la un tip de ecuație la altul.

Luați în considerare o problemă care se bazează pe o intersecție dată a unei drepte și a unui plan. se rezumă la găsirea coordonatelor intersecțiilor.

Exemplul 1

Calculați dacă punctul M 0 cu coordonatele - 2, 3, - 5 poate fi punctul de intersecție al dreptei x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 cu planul x - 2 y - z + 3 = 0.

Soluţie

Când un punct aparține unei anumite drepte, coordonatele punctului de intersecție sunt soluția ambelor ecuații. Din definiție avem că la intersecție se formează un punct comun. Pentru a rezolva problema, trebuie să înlocuiți coordonatele punctului M 0 în ambele ecuații și să calculați. Dacă este punctul de intersecție, atunci ambele ecuații vor corespunde.

Să ne imaginăm coordonatele punctului - 2, 3, - 5 și obținem:

2 + 3 - 1 = 3 - 3 = - 5 + 2 3 ⇔ - 1 = - 1 = - 1 - 2 - 2 3 - (- 5) + 3 = 0 ⇔ 0 = 0

Deoarece obținem egalitățile corecte, concluzionăm că punctul M 0 este punctul de intersecție al dreptei date cu planul.

Răspuns: punctul dat cu coordonate este punctul de intersecție.

Dacă coordonatele punctului de intersecție sunt soluții ale ambelor ecuații, atunci ele se intersectează.

Prima metodă este de a găsi coordonatele intersecției unei drepte și a unui plan.

Când o dreaptă a este specificată cu un plan α al unui sistem de coordonate dreptunghiular, se știe că acestea se intersectează în punctul M 0. Mai întâi, să căutăm coordonatele unui punct de intersecție dat la ecuația dată plan având forma A x + B y + C z + D = 0 cu o dreaptă a, care este intersecția planelor A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 și A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Această metodă de definire a unei linii în spațiu este discutată în articolul ecuații ale unei linii și ecuații ale două plane care se intersectează.

Coordonatele dreptei a și ale planului α de care avem nevoie trebuie să satisfacă ambele ecuații. Astfel sistemul este setat ecuații liniare, având forma

A x + B y + C z + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Rezolvarea sistemului presupune transformarea fiecărei identități într-o adevărată egalitate. De remarcat că cu această soluție determinăm coordonatele intersecției a 3 plane de forma A x + B y + C z + D = 0, A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Pentru a consolida materialul, vom lua în considerare rezolvarea acestor probleme.

Exemplul 2

Linia dreaptă este definită de ecuația a două plane care se intersectează x - y + 3 = 0 5 x + 2 z + 8 = 0 și intersectează un altul 3 x - z + 7 = 0. Este necesar să găsiți coordonatele punctului de intersecție.

Soluţie

Obținem coordonatele necesare compilând și rezolvând un sistem care are forma x - y + 3 = 0 5 x + 2 z + 8 = 0 3 x - z + 7 = 0.

Ar trebui să acordați atenție subiectului rezolvării sistemelor de ecuații liniare.

Să luăm un sistem de ecuații de forma x - y = - 3 5 x + 2 z = - 8 3 x - z = - 7 și să efectuăm calcule folosind determinantul matricei principale a sistemului. Înțelegem asta

∆ = 1 - 1 0 5 0 2 3 0 - 1 = 1 0 (- 1) + (- 1) 2 3 + 0 5 0 - 0 0 3 - 1 2 0 - (- 1) · 5 · (- 1 ) = - 11

Deoarece determinantul matricei nu este egal cu zero, sistemul are o singură soluție. Pentru a face acest lucru, vom folosi metoda lui Cramer. Este considerat foarte convenabil și potrivit pentru această ocazie.

∆ x = - 3 - 1 0 - 8 0 2 - 7 0 - 1 = (- 3) 0 (- 1) + (- 1) 2 (- 7) + 0 (- 8) 0 - - 0 0 (- 7) - (- 3) 2 0 - (- 1) (- 8) (- 1) = 22 ⇒ x = ∆ x ∆ = 22 - 11 = - 2 ∆ y = 1 - 3 0 5 - 8 2 3 - 7 - 1 = 1 · (- 8) · (- 1) + (- 3) · 2 · 3 + 0 · 5 · (- 7) - - 0 · ( - 8) 3 - 1 2 (- 7) - (- 3) 5 (- 1) = - 11 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 11 - 11 = 1 ∆ z = 1 - 1 - 3 5 0 - 8 3 0 - 7 = 1 0 (- 7) + ( - 1) (- 8) 3 + (- 3) 5 0 - - (- 3) 0 3 - 1 · (- 8) · 0 - (- 1) · 5 · (- 7) = - 11 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 11 - 11 = 1

Rezultă că coordonatele punctului de intersecție ale unei linii și unui plan dat au valoarea (- 2, 1, 1).

Răspuns: (- 2 , 1 , 1) .

Un sistem de ecuații de forma A x + B y + C z + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 are o singură soluție. Când linia a este definită prin ecuații precum A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, iar planul α este dat de A x + B y + C z + D = 0, atunci se intersectează. Când o dreaptă se află într-un plan, sistemul produce un număr infinit de soluții. Dacă sunt paralele, ecuația nu are soluții, deoarece nu există puncte de intersecție comune.

Exemplul 3

Aflați punctul de intersecție al dreptei z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 și al planului 2 x - y - 3 z + 1 = 0.

Soluţie

Ecuațiile date trebuie convertite în sistemul z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 2 x - y - 3 z + 1 = 0. Când are o soluție unică, vom obține coordonatele de intersecție necesare în punct. Cu condiția ca, dacă nu există soluții, atunci acestea sunt paralele sau linia dreaptă se află în același plan.

Obținem că matricea principală a sistemului este A = 0 0 1 2 - 1 0 2 - 1 - 3, matricea extinsă este T = 0 0 1 1 2 - 1 0 2 2 - 1 - 3 - 1. Trebuie să determinăm rangul matricei A și T folosind metoda Gaussiană:

1 = 1 ≠ 0 , 0 1 - 1 0 = 1 ≠ 0 , 0 0 1 2 - 1 0 2 - 1 - 3 = 0 , 0 1 1 - 1 0 2 - 1 - 3 - 1 = 0

Apoi aflăm că rangul matricei principale este egal cu rangul celei extinse. Să aplicăm teorema Kronecker-Capelli, care arată că sistemul are un număr infinit de soluții. Obținem că dreapta z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 aparține planului 2 x - y - 3 z + 1 = 0, ceea ce indică imposibilitatea intersecției lor și prezența unui punct comun.

Răspuns: nu există coordonatele punctului de intersecție.

Exemplul 4

Având în vedere intersecția dreptei x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 și a planului x + 4 y - 7 z + 2 = 0, găsiți coordonatele punctului de intersecție.

Soluţie

Este necesar să se asambleze ecuațiile date într-un sistem de forma x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 x + 4 y - 7 z + 2 = 0. Pentru a rezolva, folosim metoda Gauss. Cu ajutorul lui vom determina toate soluțiile disponibile într-un mod scurt. Pentru a face asta, hai să scriem

x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 x + 4 y - 7 z + 2 = 0 ⇔ x + z = - 1 2 x + y = 4 x + 4 y - 7 z = - 2 ⇔ ⇔ x + z = - 1 y - 2 z = 6 4 y - 8 z = - 1 ⇔ x + z = - 1 y - 2 z = 6 0 = - 25

După aplicarea metodei Gauss, a devenit clar că egalitatea este incorectă, deoarece sistemul de ecuații nu are soluții.

Concluzionăm că dreapta x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 cu planul x + 4 y - 7 z + 2 = 0 nu are intersecții. Rezultă că este imposibil să găsiți coordonatele punctului, deoarece acestea nu se intersectează.

Răspuns: nu există puncte de intersecție, deoarece linia este paralelă cu planul.

Când o dreaptă este dată de o ecuație parametrică sau canonică, atunci de aici puteți găsi ecuația planelor de intersectare care definesc dreapta a și apoi căutați coordonatele necesare ale punctului de intersecție. Există o altă metodă care este folosită pentru a găsi coordonatele punctului de intersecție a unei linii și a unui plan.

A doua metodă de găsire a unui punct începe cu specificarea unei drepte a care intersectează planul α în punctul M 0. Este necesar să se găsească coordonatele unui punct de intersecție dat pentru o ecuație plană dată A x + B y + C z + D = 0. Definim linia dreaptă a prin ecuații parametrice de forma x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ, λ ∈ R.

Când înlocuirea se face în ecuația A x + B y + C z + D = 0 x = x 1 + a x · λ , y = y 1 + a y · λ , z = z 1 + a z · λ , expresia ia forma unei ecuații cu un λ necunoscut. Este necesar să o rezolvăm față de λ, atunci obținem λ = λ 0, care corespunde coordonatele punctului în care se intersectează. Coordonatele punctului se calculează din x = x 1 + a x · λ 0 y = y 1 + a y · λ 0 z = z 1 + a z · λ 0 .

Această metodă va fi discutată mai detaliat folosind exemplele de mai jos.

Exemplul 5

Aflați coordonatele punctului de intersecție al dreptei x = - 1 + 4 · λ y = 7 - 7 · λ z = 2 - 3 · λ, λ ∈ R cu planul x + 4 y + z - 2 = 0 .

Soluţie

Pentru a rezolva sistemul, este necesar să se facă o înlocuire. Atunci obținem asta

1 + 4 λ + 4 7 - 7 λ + 2 - 3 λ - 2 = 0 ⇔ - 27 λ + 27 = 0 ⇔ λ = 1

Să găsim coordonatele punctului de intersecție al planului cu dreapta folosind ecuații parametrice cu valoarea λ = 1.

x = - 1 + 4 1 y = 7 - 7 1 z = 2 - 3 1 ⇔ x = 3 y = 0 z = - 1

Răspuns: (3 , 0 , - 1) .

Când o dreaptă de forma x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ, λ ∈ R aparține planului A x + B y + C z + D = 0 , atunci este necesar să înlocuim acolo ecuația planului de expresie x = x 1 + a x · λ, y = y 1 + a y · λ, z = z 1 + a z · λ, atunci obținem o identitate de această formă 0 ≡ 0. Dacă planul și dreapta sunt paralele, obținem o egalitate incorectă, deoarece nu există puncte de intersecție.

Dacă o dreaptă este dată de o ecuație canonică, având forma x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z , atunci este necesar să se treacă de la canonic la parametric atunci când se caută coordonatele punctului de intersecția dreptei cu planul A x + B y + C z + D = 0, adică obținem x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ și Vom aplica metoda necesară pentru a găsi coordonatele punctului de intersecție a unei drepte date și a unui plan în spațiu.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Se știe că o dreaptă intersectează un plan dacă nu aparține acestui plan și nu este paralelă cu acesta. Urmând algoritmul de mai jos găsim punctul de intersecție al dreptei o cu un plan generic α definit de urmele h 0α , f 0α .

Algoritm

Prin direct o desenăm un plan auxiliar proiectat frontal γ. Figura arată urmele sale h 0γ, f 0γ.
Construim proiecții ale dreptei AB de-a lungul căreia planele α și γ se intersectează. În această problemă, punctul B" = h 0α ∩ h 0γ, A"" = f 0α ∩ f 0γ. Punctele A" și B"" se află pe axa x, poziția lor este determinată de liniile de comunicație.
Direct oși AB se intersectează în punctul dorit K. Proiecția sa orizontală K" = a" ∩ A"B". Proiecția frontală K"" se află pe linia dreaptă a"".

Algoritmul de soluție va rămâne același dacă pl. α va fi dat de linii paralele, încrucișate, o secțiune a unei figuri sau alte mijloace posibile.

Vizibilitatea dreptei a în raport cu planul α. Metoda punctelor concurente

Să marchem punctele frontal-concurente A și C în desen (fig. de mai jos). Vom presupune că punctul A aparține zonei. α, iar C se află pe dreapta a. Proiecțiile frontale A"" și C"" coincid, dar în același timp punctele A și C sunt îndepărtate din planul proiecțiilor P 2 la distanțe diferite.
Să găsim proiecțiile orizontale A" și C". După cum se poate observa în figură, punctul C" este îndepărtat din planul P2 la o distanță mai mare decât punctul A", care aparține pătratului. α. În consecință, o secțiune de linie dreaptă a"", situată în stânga punctului K"", va fi vizibilă. Secțiunea a"" din dreapta lui K"" este invizibilă. O marcam cu o linie întreruptă.
Să marchem orizontal punctele concurente D și E în desen. Vom presupune că punctul D aparține pătratului. α, iar E se află pe dreapta a. Proiecțiile orizontale D" și E" coincid, dar în același timp punctele D și E sunt îndepărtate din planul P 1 la distanțe diferite.
Să determinăm poziția proiecțiilor frontale D"" și E"". După cum se poate observa în figură, punctul D"", situat în pl. α, este îndepărtat din planul P 1 la o distanţă mai mare decât punctul E "", aparţinând dreptei a. În consecință, secțiunea a" situată în dreapta punctului K" va fi invizibilă. O marcam cu o linie întreruptă. Secțiunea a" din stânga lui K" este vizibilă.

Dată o dreaptă: (1) și un plan: Ax + By + Cz + D = 0 (2).

Să găsim coordonatele punctului de intersecție al dreptei și al planului. Dacă linia dreaptă (1) și planul (2) se intersectează, atunci coordonatele punctului de intersecție satisfac ecuațiile (1) și (2):

, .

Înlocuind valoarea găsită a lui t în (1), obținem coordonatele punctului de intersecție.

1) Dacă Am + Bn + Cp = 0, iar Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D ≠ 0, atunci t nu există, adică. o linie dreaptă și un plan nu au un singur punct comun. Sunt paralele.

2) Am + Bn + Cp = 0 și Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0. În acest caz, t poate lua orice valoare și , adică. linia dreaptă este paralelă cu planul și are un punct comun cu acesta, adică. se află într-un avion.

Exemplul 1. Aflați punctul de intersecție al unei drepte cu plan 3x – 3y + 2z – 5 = 0.

3(2t – 1) – 3(4t + 3) + 2 3t – 5 = 0 => -17=0, ceea ce este imposibil pentru orice t, i.e. o linie dreaptă și un plan nu se intersectează.

Exemplul 2. Aflați punctul de intersecție al unei drepte și plane: x + 2y – 4z + 1 = 0.

8t + 13 + 2(2t + 1) – 4(3t + 4) + 1 = 0, 0 + 0 = 0. Acest lucru este valabil pentru orice valoare a lui t, i.e. linia dreaptă se află în plan.

Exemplul 3. Aflați punctul de intersecție al unei drepte iar planul 3x – y + 2z – 5 = 0.

3(5t + 7) – t – 4 + 2(4t + 5) – 5 = 0, 22t + 22 = 0, t = -1, x = 5(-1) + 7 = 2, y = -1 + 4 = 3, z = 4(-1) + 5 = 1, M(2, 3, 1) – punctul de intersecție al dreptei și al planului.

Unghiul dintre o linie dreaptă și un plan. Condiții de paralelism și perpendicularitate a unei drepte și a unui plan.

Unghiul dintre o linie dreaptă și un plan se numește unghi ascuțit q între o dreaptă și proiecția acesteia pe un plan.

Să fie date o dreaptă și un plan:

Și .

Lasă linia dreaptă să intersecteze planul și să formeze un unghi μ () cu acesta. Atunci b = 90 0 – c sau b = 90 0 + c este unghiul dintre vector normal planul și vectorul de direcție al dreptei. Dar . Mijloace

(3).

a) Dacă L P, atunci - condiţia de perpendicularitate a unei drepte şi a unui plan.

b) Dacă L||P, atunci este condiția de paralelism a dreptei și a planului.

c) Dacă dreapta este L||P și în același timp punctul M0(x0, y0, z0) P, atunci dreapta se află în acest plan. Analitic:

- condiţii de apartenenţă la o dreaptă şi un plan.

Exemplu. Dată o linie dreaptă și punctul M 0 (1, 0, –2). Prin punctul M 0 se trasează un plan perpendicular pe această dreaptă. Căutăm ecuația planului dorit sub forma: A(x – 1) + B(y – 0) + C(z + 2) = 0. B în acest caz, , ,

5(x – 1) – 5y + 5(z + 2) = 0, - x – y + z + 3 = 0.

O grămadă de avioane.

Un fascicul de plane este ansamblul tuturor planurilor care trec printr-o linie dreaptă dată - axa fasciculului.

Pentru a defini un pachet de planuri, este suficient să specificați axa acestuia. Fie dată ecuația acestei drepte în formă generală:

A compune o ecuație a fasciculului înseamnă a compune o ecuație din care, cu o condiție suplimentară, se poate obține ecuația oricărui plan al fasciculului, cu excepția b.m. unul. Să înmulțim ecuația II cu l și să o adăugăm la ecuația I:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + l(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0 (1) sau

(A1 + lA2)x + (B1 + lB2)y + (C1 + lC2)z + (D1 + lD2) = 0 (2).

l – parametru – un număr care poate lua valori reale. Pentru orice valoare aleasă a lui l, ecuațiile (1) și (2) sunt liniare, adică. acestea sunt ecuațiile unui anumit plan.

1. Să arătăm că acest plan trece prin axa fasciculului L. Luați un punct arbitrar M 0 (x 0, y 0, z 0) L. În consecință, M 0 P 1 și M 0 P 2. Mijloace:

3x – y + 2z + 9 + 17x + 17z – 51 = 0; 20x – y + 19z – 42 = 0.

Exemplul 3 (E). Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-o dreaptă perpendicular pe planul x – 2y + z + 5 = 0. ; 3x – 2y + z – 3 + l(x – 2z) = 0; (3 + l)x – 2y + (1 – 2 l)z – 3 = 0; ; ; l = 8; 11x – 2y – 15z – 3 = 0.