Derivat al unei rădăcini compuse. Derivate complexe. Derivată logaritmică. Derivată a unei funcții putere-exponențială. Exemple mai complexe

Și teorema asupra derivatei unei funcții complexe, a cărei formulare este următoarea:

Fie 1) funcția $u=\varphi (x)$ să aibă la un moment dat $x_0$ derivata $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) funcția $y=f(u)$ au la corespunzătoare în punctul $u_0=\varphi (x_0)$ derivata $y_(u)"=f"(u)$. Apoi functie complexa$y=f\left(\varphi (x) \right)$ la punctul menționat va avea și o derivată egală cu produsul derivatelor funcțiilor $f(u)$ și $\varphi (x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

sau, într-o notație mai scurtă: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

În exemplele din această secțiune, toate funcțiile au forma $y=f(x)$ (adică, considerăm doar funcțiile unei variabile $x$). În consecință, în toate exemplele derivata $y"$ este luată în raport cu variabila $x$. Pentru a sublinia faptul că derivata este luată față de variabila $x$, $y"_x$ este adesea scris în loc de $y „$.

Exemplele nr. 1, nr. 2 și nr. 3 conturează proces detaliat găsirea derivatei funcţiilor complexe. Exemplul nr. 4 este destinat pentru o înțelegere mai completă a tabelului de derivate și are sens să vă familiarizați cu acesta.

Este recomandabil, după studierea materialului din exemplele nr. 1-3, să se treacă la rezolvarea independentă a exemplelor nr. 5, nr. 6 și nr. 7. Exemplele #5, #6 și #7 conțin o soluție scurtă, astfel încât cititorul să poată verifica corectitudinea rezultatului său.

Exemplul nr. 1

Aflați derivata funcției $y=e^(\cos x)$.

Trebuie să găsim derivata unei funcții complexe $y"$. Deoarece $y=e^(\cos x)$, atunci $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. Pentru găsiți derivata $ \left(e^(\cos x)\right)"$ folosim formula nr. 6 din tabelul derivatelor. Pentru a folosi formula nr. 6, trebuie să luăm în considerare că în cazul nostru $u=\cos x$. Soluția ulterioară constă în simpla înlocuire a expresiei $\cos x$ în loc de $u$ în formula nr. 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Acum trebuie să găsim valoarea expresiei $(\cos x)"$. Ne întoarcem din nou la tabelul derivatelor, alegând din el formula nr. 10. Înlocuind $u=x$ în formula nr. 10, avem : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ Acum continuăm egalitatea (1.1), completând-o cu rezultatul găsit:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Deoarece $x"=1$, continuăm egalitatea (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Deci, din egalitatea (1.3) avem: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Desigur, explicațiile și egalitățile intermediare sunt de obicei sărite, notând constatarea derivatei pe o singură linie, ca și în egalitatea ( 1.3) Deci, derivata funcției complexe a fost găsită, nu rămâne decât să scrieți răspunsul.

Răspuns: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Exemplul nr. 2

Aflați derivata funcției $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Trebuie să calculăm derivata $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Pentru început, observăm că constanta (adică numărul 9) poate fi scoasă din semnul derivat:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Acum să ne întoarcem la expresia $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Pentru a facilita selectarea formulei dorite din tabelul de derivate, voi prezenta expresia în cauză sub această formă: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Acum este clar că este necesar să se folosească formula nr. 2, adică. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Să substituim $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ și $\alpha=12$ în această formulă:

Suplimentând egalitatea (2.1) cu rezultatul obținut, avem:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

În această situație, se face adesea o greșeală atunci când rezolvatorul de la primul pas alege formula $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ în loc de formula $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Ideea este că derivata funcției externe trebuie să vină pe primul loc. Pentru a înțelege ce funcție va fi externă expresiei $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, imaginați-vă că calculați valoarea expresiei $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ la o anumită valoare $x$. Mai întâi vei calcula valoarea de $5^x$, apoi vei înmulți rezultatul cu 4, obținând $4\cdot 5^x$. Acum luăm arctangenta din acest rezultat, obținând $\arctg(4\cdot 5^x)$. Apoi ridicăm numărul rezultat la a douăsprezecea putere, obținând $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Ultima acțiune, adică ridicarea la puterea lui 12 va fi o funcție externă. Și de aici trebuie să începem să găsim derivata, care a fost făcută în egalitate (2.2).

Acum trebuie să găsim $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Folosim formula nr. 19 din tabelul derivatelor, înlocuind $u=4\cdot \ln x$ în ea:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Să simplificăm puțin expresia rezultată, ținând cont de $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Egalitatea (2.2) va deveni acum:

Rămâne să găsim $(4\cdot \ln x)"$. Să luăm constanta (adică 4) din semnul derivat: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $ Pentru a găsi $(\ln x)"$ folosim formula nr. 8, substituind $u=x$ în ea: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x. „$. Deoarece $x"=1$, atunci $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Inlocuind rezultatul obtinut in formula (2.3), obtinem:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).

Permiteți-mi să vă reamintesc că derivata unei funcții complexe se găsește cel mai adesea într-o singură linie, așa cum este scrisă în ultima egalitate. Prin urmare, la pregătirea calculelor standard sau teste Nu este deloc necesar să descriem soluția atât de detaliat.

Răspuns: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Exemplul nr. 3

Găsiți $y"$ a funcției $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Mai întâi, să transformăm ușor funcția $y$, exprimând radicalul (rădăcină) ca o putere: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Acum să începem să găsim derivata. Deoarece $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, atunci:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Să folosim formula nr. 2 din tabelul derivatelor, înlocuind $u=\sin(5\cdot 9^x)$ și $\alpha=\frac(3)(7)$ în ea:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Să continuăm egalitatea (3.1) folosind rezultatul obținut:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Acum trebuie să găsim $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Pentru aceasta folosim formula nr. 9 din tabelul de derivate, înlocuind $u=5\cdot 9^x$ în ea:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Suplimentând egalitatea (3.2) cu rezultatul obținut, avem:

Rămâne să găsim $(5\cdot 9^x)"$. Mai întâi, să luăm constanta (numărul $5$) în afara semnului derivatului, adică $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Pentru a găsi derivata $(9^x)"$, aplicați formula nr. 5 din tabelul de derivate, înlocuind $a=9$ și $u=x$ în ea: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Deoarece $x"=1$, atunci $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Acum putem continua egalitatea (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Ne putem întoarce din nou de la puteri la radicali (adică, rădăcini), scriind $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ sub forma $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$. Apoi derivata va fi scrisă sub această formă:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).

Răspuns: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

Exemplul nr. 4

Arătați că formulele nr. 3 și nr. 4 din tabelul derivatelor sunt caz special formulele nr.2 din acest tabel.

Formula nr. 2 din tabelul de derivate conține derivata funcției $u^\alpha$. Înlocuind $\alpha=-1$ în formula nr. 2, obținem:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Deoarece $u^(-1)=\frac(1)(u)$ și $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, atunci egalitatea (4.1) poate fi rescrisă după cum urmează: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Aceasta este formula nr. 3 din tabelul derivatelor.

Să ne întoarcem din nou la formula nr. 2 din tabelul derivatelor. Să substituim $\alpha=\frac(1)(2)$ în el:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Deoarece $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ și $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, atunci egalitatea (4.2) poate fi rescrisă după cum urmează:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Egalitatea rezultată $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ este formula nr. 4 din tabelul derivatelor. După cum puteți vedea, formulele nr. 3 și nr. 4 din tabelul derivatelor sunt obținute din formula nr. 2 prin înlocuirea valorii $\alpha$ corespunzătoare.

După pregătirea preliminară a artileriei, exemplele cu 3-4-5 cuibări de funcții vor fi mai puțin înfricoșătoare. Următoarele două exemple pot părea complicate pentru unii, dar dacă le înțelegeți (cineva va avea de suferit), atunci aproape orice altceva din calculul diferențial va părea o glumă de copil.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

După cum sa menționat deja, atunci când găsiți derivata unei funcții complexe, în primul rând, este necesar CorectÎNȚELEGEȚI investițiile dvs. În cazurile în care există îndoieli, vă reamintesc de o tehnică utilă: luăm valoarea experimentală a lui „x”, de exemplu, și încercăm (mental sau într-o schiță) să substituim această valoare în „expresia groaznică”.

1) Mai întâi trebuie să calculăm expresia, ceea ce înseamnă că suma este cea mai adâncă încorporare.

2) Apoi trebuie să calculați logaritmul:

4) Apoi cubează cosinusul:

5) La al cincilea pas diferența:

6) Și în sfârșit, funcția cea mai exterioară este rădăcina pătrată:

Formula pentru diferențierea unei funcții complexe va fi folosit în ordine inversă, de la funcția cea mai exterioară până la cea mai interioară. Noi decidem:

Pare fara erori:

1) Luați derivata lui rădăcină pătrată.

2) Luați derivata diferenței folosind regula

3) Derivata unui triplu este zero. În al doilea termen luăm derivata gradului (cubul).

4) Luați derivata cosinusului.

6) Și, în sfârșit, luăm derivata celei mai profunde încorporare.

Poate părea prea dificil, dar acesta nu este cel mai brutal exemplu. Luați, de exemplu, colecția lui Kuznetsov și veți aprecia toată frumusețea și simplitatea derivatului analizat. Am observat că le place să dea un lucru similar la un examen pentru a verifica dacă un student înțelege cum să găsească derivata unei funcții complexe sau nu înțelege.

Următorul exemplu este pentru decizie independentă.

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Sugestie: Mai întâi aplicăm regulile de liniaritate și regula de diferențiere a produsului

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Este timpul să trecem la ceva mai mic și mai frumos.
Nu este neobișnuit ca un exemplu să arate produsul nu a două, ci a trei funcții. Cum să găsiți derivata produsului a trei factori?

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

Mai întâi ne uităm, este posibil să transformăm produsul a trei funcții în produsul a două funcții? De exemplu, dacă am avea două polinoame în produs, am putea deschide parantezele. Dar în exemplul luat în considerare, toate funcțiile sunt diferite: grad, exponent și logaritm.

În astfel de cazuri este necesar secvenţial aplica regula de diferentiere a produselor de două ori

Trucul este că prin „y” notăm produsul a două funcții: , iar cu „ve” notăm logaritmul: . De ce se poate face asta? Este cu adevărat - acesta nu este un produs al doi factori și regula nu funcționează?! Nu este nimic complicat:

Acum rămâne să aplici regula a doua oară la paranteză:

Poți să fii pervertit și să scoți ceva din paranteze, dar în în acest caz, Este mai bine să lăsați răspunsul în acest formular - va fi mai ușor de verificat.

Exemplul luat în considerare poate fi rezolvat în al doilea mod:

Ambele soluții sunt absolut echivalente.

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă în probă se rezolvă folosind prima metodă.

Să ne uităm la exemple similare cu fracții.

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Există mai multe moduri prin care puteți merge aici:

Sau cam asa:

Dar soluția se va scrie mai compact dacă folosim mai întâi regula de diferențiere a coeficientului , luând pentru întregul numărător:

Să reducem expresia numărătorului la un numitor comun și să scăpăm de structura cu trei etaje a fracției:

Dezavantajul simplificărilor suplimentare este că există riscul de a greși nu la găsirea derivatei, ci în timpul transformărilor școlare banale. Pe de altă parte, profesorii resping adesea sarcina și cer să „aducă în minte” derivatul.

Un exemplu mai simplu de rezolvat singur:

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Continuăm să stăpânim metodele de găsire a derivatei și acum vom lua în considerare un caz tipic în care se propune un logaritm „teribil” pentru diferențiere

Funcții tip complex nu se potrivesc întotdeauna cu definiția unei funcții complexe. Dacă există o funcție de forma y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, atunci nu poate fi considerată complexă, spre deosebire de y = sin 2 x.

Acest articol va arăta conceptul de funcție complexă și identificarea acesteia. Să lucrăm cu formule pentru găsirea derivatei cu exemple de soluții în concluzie. Utilizarea tabelului de derivate și a regulilor de diferențiere reduce semnificativ timpul pentru găsirea derivatei.

Definiții de bază

Definiția 1

O funcție complexă este una al cărei argument este și o funcție.

Se notează astfel: f (g (x)). Avem că funcția g (x) este considerată un argument f (g (x)).

Definiția 2

Dacă există o funcție f și este o funcție cotangentă, atunci g(x) = ln x este funcția logaritmul natural. Constatăm că funcția complexă f (g (x)) va fi scrisă ca arctg(lnx). Sau o funcție f, care este o funcție ridicată la puterea a 4-a, unde g (x) = x 2 + 2 x - 3 este considerată o funcție rațională întreagă, obținem că f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Evident, g(x) poate fi complex. Din exemplul y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 este clar că valoarea lui g are rădăcina cubă a fracției. Această expresie permis să fie notat ca y = f (f 1 (f 2 (x))) . De unde avem că f este o funcție sinus, iar f 1 este o funcție situată sub rădăcina pătrată, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 este o funcție rațională fracțională.

Definiția 3

Gradul de cuibărit este determinat de oricare număr naturalși se scrie ca y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) .

Definiția 4

Conceptul de compoziție a funcției se referă la numărul de funcții imbricate în funcție de condițiile problemei. Pentru a rezolva, utilizați formula pentru găsirea derivatei unei funcții complexe de forma

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Exemple

Exemplul 1

Aflați derivata unei funcții complexe de forma y = (2 x + 1) 2.

Soluţie

Condiția arată că f este o funcție la pătrat, iar g(x) = 2 x + 1 este considerată o funcție liniară.

Să aplicăm formula derivată pentru o funcție complexă și să scriem:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Este necesar să găsiți derivata cu o formă originală simplificată a funcției. Primim:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

De aici avem asta

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Rezultatele au fost aceleași.

Când rezolvați probleme de acest tip, este important să înțelegeți unde va fi localizată funcția formei f și g (x).

Exemplul 2

Ar trebui să găsiți derivatele funcțiilor complexe de forma y = sin 2 x și y = sin x 2.

Soluţie

Prima notație a funcției spune că f este funcția de pătrat și g(x) este funcția sinus. Atunci obținem asta

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

A doua intrare arată că f este o funcție sinus, iar g(x) = x 2 denotă o funcție de putere. Rezultă că scriem produsul unei funcții complexe ca

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Formula pentru derivata y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . . (f n (x))))) se va scrie ca y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . ( f n (x)))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (. . . (f n (x)) )) )) · . . . fn "(x)

Exemplul 3

Aflați derivata funcției y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Soluţie

Acest exemplu arată dificultatea de a scrie și de a determina locația funcțiilor. Atunci y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) indică unde f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) este funcția sinus, funcția de ridicare la 3 grade, funcție cu logaritm și baza e, funcție arctangentă și liniară.

Din formula pentru definirea unei funcții complexe avem că

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Primim ceea ce trebuie să găsim

f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ca derivată a sinusului conform tabelului de derivate, apoi f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) ca derivată a unei funcții de putere, atunci f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
f 2 " (f 3 (f 4 (x))) ca derivată logaritmică, apoi f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
f 3 " (f 4 (x)) ca derivată a arctangentei, apoi f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
Când găsiți derivata f 4 (x) = 2 x, scoateți 2 din semnul derivatei folosind formula pentru derivata unei funcții de putere cu exponent egal cu 1, apoi f 4 " (x) = (2 x) ) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Combinăm rezultatele intermediare și obținem asta

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analiza unor astfel de funcții amintește de păpușile de cuib. Regulile de diferențiere nu pot fi întotdeauna aplicate explicit folosind un tabel derivat. Adesea trebuie să utilizați o formulă pentru a găsi derivate ale funcțiilor complexe.

Există unele diferențe între aspectul complex și funcțiile complexe. Cu o capacitate clară de a distinge acest lucru, găsirea derivatelor va fi deosebit de ușoară.

Exemplul 4

Este necesar să luați în considerare oferirea unui astfel de exemplu. Dacă există o funcție de forma y = t g 2 x + 3 t g x + 1, atunci poate fi considerată ca o funcție complexă de forma g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Este evident că este necesar să folosiți formula pentru un derivat complex:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

O funcție de forma y = t g x 2 + 3 t g x + 1 nu este considerată complexă, deoarece are suma t g x 2, 3 t g x și 1. Totuși, t g x 2 este considerată o funcție complexă, atunci obținem o funcție de putere de forma g (x) = x 2 și f, care este o funcție tangentă. Pentru a face acest lucru, diferențiați în funcție de cantitate. Înțelegem asta

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Să trecem la găsirea derivatei unei funcții complexe (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Obținem că y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funcțiile de tip complex pot fi incluse în funcții complexe, iar funcțiile complexe însele pot fi componente ale funcțiilor de tip complex.

Exemplul 5

De exemplu, să considerăm o funcție complexă de forma y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Această funcție poate fi reprezentată ca y = f (g (x)), unde valoarea lui f este o funcție a logaritmului de bază 3, iar g (x) este considerată suma a două funcții de forma h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 și k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Evident, y = f (h (x) + k (x)).

Se consideră funcția h(x). Acesta este raportul l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 la m (x) = e x 2 + 3 3

Avem că l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) este suma a două funcții n (x) = x 2 + 7 și p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , unde p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) este o funcție complexă cu coeficient numeric 3, iar p 1 este o funcție cub, p 2 printr-o funcție cosinus, p 3 (x) = 2 x + 1 printr-o funcție liniară.

Am constatat că m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) este suma a două funcții q (x) = e x 2 și r (x) = 3 3, unde q (x) = q 1 (q 2 (x)) - funcție complexă, q 1 - funcție cu exponent, q 2 (x) = x 2 - functie de putere.

Aceasta arată că h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Când trecem la o expresie de forma k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), este clar că funcția este prezentată sub forma unui complex s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) cu un întreg rațional t (x) = x 2 + 1, unde s 1 este o funcție de pătrat și s 2 (x) = ln x este logaritmică cu baza e.

Rezultă că expresia va lua forma k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Atunci obținem asta

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Pe baza structurilor funcției, a devenit clar cum și ce formule trebuie utilizate pentru a simplifica expresia atunci când o diferențiază. Pentru a vă familiariza cu astfel de probleme și pentru conceptul de soluție a acestora, este necesar să trecem la punctul diferențierii unei funcții, adică găsirea derivatei acesteia.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Nu este în întregime corect să numiți funcții de tip complex termenul „funcție complexă”. De exemplu, pare foarte impresionant, dar această funcție nu este complicată, spre deosebire de.

În acest articol vom înțelege conceptul de funcție complexă, vom afla cum să o identificăm ca parte a acesteia functii elementare, vom oferi o formulă pentru găsirea derivatei sale și vom considera în detaliu soluția exemplelor tipice.

Când rezolvăm exemple, vom folosi constant tabelul de derivate și regulile de diferențiere, așa că păstrați-le în fața ochilor.

Funcție complexă este o funcție al cărei argument este și o funcție.

Din punctul nostru de vedere, această definiție este cea mai de înțeles. În mod convențional, poate fi notat ca f(g(x)). Adică, g(x) este ca un argument al funcției f(g(x)) .

De exemplu, fie f funcția arctangentă și g(x) = lnx funcția logaritmului natural, atunci funcția complexă f(g(x)) este arctan(lnx) . Un alt exemplu: f este funcția de ridicare la puterea a patra și este o întreagă funcție rațională (vezi ), atunci .

La rândul său, g(x) poate fi și o funcție complexă. De exemplu, . În mod convențional, o astfel de expresie poate fi desemnată ca . Aici f este funcția sinus, este funcția rădăcină pătrată, - funcţie raţională fracţională. Este logic să presupunem că gradul de imbricare al funcțiilor poate fi orice număr natural finit.

Puteți auzi adesea o funcție complexă numită alcatuirea functiilor.

Formula pentru găsirea derivatei unei funcții complexe.

Exemplu.

Aflați derivata unei funcții complexe.

Soluţie.

ÎN în acest exemplu f este funcția de pătrat și g(x) = 2x+1 – funcţie liniară.

Aici solutie detaliata folosind formula pentru derivata unei funcții complexe:

Să găsim această derivată simplificând mai întâi forma funcției originale.

Prin urmare,

După cum puteți vedea, rezultatele sunt aceleași.

Încercați să nu confundați care funcție este f și care este g(x) .

Să ilustrăm acest lucru cu un exemplu pentru a vă arăta atenția.

Exemplu.

Găsiți derivate ale funcțiilor complexe și .

Soluţie.

În primul caz, f este funcția de pătrat și g(x) este funcția sinus, deci
.

În al doilea caz, f este o funcție sinus și este o funcție de putere. Prin urmare, prin formula pentru produsul unei funcții complexe avem

Formula derivată pentru o funcție are forma

Exemplu.

Funcția de diferențiere .

Soluţie.

În acest exemplu, funcția complexă poate fi scrisă în mod convențional ca , unde este funcția sinus, a treia funcție de putere, funcția de bază e logaritm, funcția arctangentă și, respectiv, funcția liniară.

Conform formulei pentru derivata unei funcții complexe

Acum găsim

Să adunăm rezultatele intermediare obținute:

Nu este nimic înfricoșător, analizează funcții complexe precum păpușile de cuib.

Acesta ar putea fi sfârșitul articolului, dacă nu pentru un singur lucru...

Este recomandabil să înțelegeți clar când să aplicați regulile de diferențiere și tabelul derivatelor și când să aplicați formula pentru derivata unei funcții complexe.

FIȚI EXTREM DE ATENȚIE ACUM. Vom vorbi despre diferența dintre funcțiile complexe și funcțiile complexe. Succesul dvs. în găsirea derivatelor va depinde de cât de mult vedeți această diferență.

Să începem cu exemple simple. Funcţie poate fi considerat complex: g(x) = tanx , . Prin urmare, puteți aplica imediat formula pentru derivata unei funcții complexe

Și aici este funcția Nu mai poate fi numit complex.

Această funcție este suma a trei funcții, 3tgx și 1. Deși - este o funcție complexă: - o funcție de putere (parabolă pătratică), iar f este o funcție tangentă. Prin urmare, mai întâi aplicăm formula de diferențiere a sumei:

Rămâne de găsit derivata funcției complexe:

De aceea .

Sperăm că înțelegeți esențialul.

Dacă privim mai larg, se poate argumenta că funcțiile de tip complex pot face parte din funcții complexe, iar funcțiile complexe pot fi componente ale funcțiilor de tip complex.

De exemplu, să analizăm funcția în părțile sale componente .

În primul rând, aceasta este o funcție complexă care poate fi reprezentată ca , unde f este funcția logaritmică de bază 3 și g(x) este suma a două funcții Şi . adica .

În al doilea rând, să ne ocupăm de funcția h(x) . Reprezintă o relație cu .

Aceasta este suma a două funcții și , Unde - o funcție complexă cu un coeficient numeric de 3. - funcţie cub, - funcţie cosinus, - funcţie liniară.

Aceasta este suma a două funcții și , unde - funcţie complexă, - funcţie exponenţială, - funcţie de putere.

Astfel, .

În al treilea rând, mergeți la , care este produsul unei funcții complexe și întreaga funcție rațională

Funcția de pătrat este funcția de logaritm la baza e.

Prin urmare, .

Să rezumăm:

Acum structura funcției este clară și a devenit clar ce formule și în ce secvență să se aplice la diferențierea acesteia.

În secțiunea despre diferențierea unei funcții (găsirea derivatei) vă puteți familiariza cu soluția la probleme similare.

Derivate complexe. Derivată logaritmică.
Derivată a unei funcții putere-exponențială

Continuăm să ne îmbunătățim tehnica de diferențiere. În această lecție, vom consolida materialul pe care l-am abordat, vom analiza derivate mai complexe și, de asemenea, ne vom familiariza cu noi tehnici și trucuri pentru găsirea unei derivate, în special, cu derivata logaritmică.

Acelor cititori care au nivel scăzut pregătire, ar trebui să consultați articolul Cum să găsesc derivatul? Exemple de soluții, care vă va permite să vă ridicați abilitățile aproape de la zero. În continuare, trebuie să studiați cu atenție pagina Derivată a unei funcții complexe, înțelegeți și rezolvați Toate exemplele pe care le-am dat. Această lecție este în mod logic a treia la rând, iar după ce o stăpânești vei diferenția cu încredere funcții destul de complexe. Nu este de dorit să luăm poziția „Unde altundeva? Este suficient!”, deoarece toate exemplele și soluțiile sunt preluate din teste reale și sunt adesea întâlnite în practică.

Să începem cu repetarea. În clasă Derivată a unei funcții complexe Am analizat o serie de exemple cu comentarii detaliate. În timpul studiului calculului diferenţial şi a altor secţiuni analiză matematică– va trebui să diferențiezi foarte des și nu este întotdeauna convenabil (și nu întotdeauna necesar) să descrii exemple în detaliu. Prin urmare, vom exersa găsirea derivatelor pe cale orală. Cei mai potriviți „candidați” pentru aceasta sunt derivate ale celei mai simple funcții complexe, de exemplu:

Conform regulii de diferenţiere a funcţiilor complexe :

Când studiați alte subiecte matan în viitor, o înregistrare atât de detaliată nu este de cele mai multe ori necesară, se presupune că studentul știe să găsească astfel de derivate pe pilotul automat. Să ne imaginăm că la ora 3 dimineața a sunat telefonul și o voce plăcută a întrebat: „Care este derivata tangentei a doi X?” Aceasta ar trebui să fie urmată de un răspuns aproape instantaneu și politicos: .

Primul exemplu va fi destinat imediat unei soluții independente.

Exemplul 1

Găsiți oral următoarele derivate, într-o singură acțiune, de exemplu: . Pentru a finaliza sarcina trebuie doar să utilizați tabel de derivate ale funcțiilor elementare(dacă nu ți-ai amintit încă). Dacă aveți dificultăți, vă recomand să recitiți lecția Derivată a unei funcții complexe.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

Răspunsuri la sfârșitul lecției

Derivate complexe

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

1) Mai întâi trebuie să calculăm expresia, ceea ce înseamnă că suma este cea mai adâncă încorporare.

2) Apoi trebuie să calculați logaritmul:

4) Apoi cubează cosinusul:

5) La al cincilea pas diferența:

6) Și în sfârșit, funcția cea mai exterioară este rădăcina pătrată:

Formula pentru diferențierea unei funcții complexe sunt aplicate în ordine inversă, de la funcția cea mai exterioară la cea mai interioară. Noi decidem:

Se pare că nu există erori...

(1) Luați derivata rădăcinii pătrate.

(2) Luăm derivata diferenței folosind regula

(3) Derivata tripluului este zero. În al doilea termen luăm derivata gradului (cubul).

(4) Luați derivata cosinusului.

(5) Luați derivata logaritmului.

(6) Și, în sfârșit, luăm derivata celei mai profunde încorporare.

Următorul exemplu este pe care îl puteți rezolva singur.

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Sugestie: Mai întâi aplicăm regulile de liniaritate și regula de diferențiere a produsului

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Este timpul să trecem la ceva mai mic și mai frumos.
Nu este neobișnuit ca un exemplu să arate produsul nu a două, ci a trei funcții. Cum să găsiți derivata produsului a trei factori?

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

În astfel de cazuri este necesar secvenţial aplica regula de diferentiere a produselor de două ori

Trucul este că prin „y” notăm produsul a două funcții: , iar cu „ve” notăm logaritmul: . De ce se poate face asta? Este cu adevărat – acesta nu este un produs al doi factori și regula nu funcționează?! Nu este nimic complicat:

Acum rămâne să aplici regula a doua oară la paranteză:

De asemenea, puteți să vă răsuciți și să scoateți ceva din paranteze, dar în acest caz este mai bine să lăsați răspunsul exact în această formă - va fi mai ușor de verificat.

Exemplul luat în considerare poate fi rezolvat în al doilea mod:

Ambele soluții sunt absolut echivalente.

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă în probă se rezolvă folosind prima metodă.

Să ne uităm la exemple similare cu fracții.

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Există mai multe moduri prin care puteți merge aici:

Sau cam asa:

Dar soluția se va scrie mai compact dacă folosim mai întâi regula de diferențiere a coeficientului , luând pentru întregul numărător:

În principiu, exemplul este rezolvat, iar dacă este lăsat așa, nu va fi o eroare. Dar dacă aveți timp, este întotdeauna indicat să verificați o ciornă pentru a vedea dacă răspunsul poate fi simplificat? Să reducem expresia numărătorului la un numitor comun și să scăpăm de fracția cu trei etaje:

Un exemplu mai simplu de rezolvat singur:

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Continuăm să stăpânim metodele de găsire a derivatei și acum vom lua în considerare un caz tipic în care se propune un logaritm „teribil” pentru diferențiere

Exemplul 8

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți merge pe calea lungă, folosind regula pentru diferențierea unei funcții complexe:

Dar chiar primul pas te cufundă imediat în deznădejde - trebuie să iei derivatul neplăcut dintr-o putere fracțională și apoi și dintr-o fracțiune.

De aceea înainte cum să luăm derivata unui logaritm „sofisticat”, aceasta este mai întâi simplificată folosind proprietățile școlii bine-cunoscute:

! Dacă aveți la îndemână un caiet de practică, copiați aceste formule direct acolo. Dacă nu aveți un caiet, copiați-le pe o foaie de hârtie, deoarece exemplele rămase ale lecției se vor învârti în jurul acestor formule.

Soluția în sine poate fi scrisă cam așa:

Să transformăm funcția:

Găsirea derivatei:

Pre-conversia funcției în sine a simplificat foarte mult soluția. Astfel, atunci când se propune un logaritm similar pentru diferențiere, este întotdeauna recomandabil să-l „defalci”.

Și acum câteva exemple simple pe care să le rezolvați singur:

Exemplul 9

Aflați derivata unei funcții

Exemplul 10

Aflați derivata unei funcții

Toate transformările și răspunsurile sunt la sfârșitul lecției.

Derivată logaritmică

Dacă derivatul logaritmilor este o muzică atât de dulce, atunci se pune întrebarea: este posibil în unele cazuri să se organizeze logaritmul în mod artificial? Poate! Și chiar necesar.

Exemplul 11

Aflați derivata unei funcții

Am analizat recent exemple similare. Ce să fac? Puteți aplica succesiv regula de diferențiere a coeficientului, iar apoi regula de diferențiere a produsului. Dezavantajul acestei metode este că ajungeți cu o fracție uriașă de trei etaje, cu care nu doriți să vă ocupați deloc.

Dar în teorie și practică există un lucru atât de minunat precum derivata logaritmică. Logaritmii pot fi organizați artificial prin „atârnând” pe ambele părți:

Nota : pentru că o funcție poate lua valori negative, atunci, în general, trebuie să utilizați module: , care va dispărea ca urmare a diferențierii. Cu toate acestea, designul actual este de asemenea acceptabil, unde implicit este luat în considerare complex sensuri. Dar dacă cu toată rigoarea, atunci în ambele cazuri ar trebui făcută o rezervă că.

Acum trebuie să „despărțiți” cât mai mult posibil logaritmul din partea dreaptă (formulele din fața ochilor?). Voi descrie acest proces în detaliu:

Să începem cu diferențierea.
Să completăm ambele părți:

Derivatul din partea dreaptă este destul de simplu, nu îl voi comenta, pentru că dacă citiți acest text, ar trebui să îl puteți gestiona cu încredere.

Dar partea stângă?

Pe partea stângă avem functie complexa. Prevăd întrebarea: „De ce, există o literă „Y” sub logaritm?”

Faptul este că acest „joc cu o literă” - ESTE ÎNȘI O FUNCȚIE(dacă nu este foarte clar, consultați articolul Derivată a unei funcții specificată implicit). Prin urmare, logaritmul este o funcție externă, iar „y” este o funcție internă. Și folosim regula pentru diferențierea unei funcții complexe :

În partea stângă, ca prin farmec, avem un derivat. Apoi, conform regulii proporției, transferăm „y” de la numitorul părții stângi în partea de sus a părții drepte:

Și acum să ne amintim despre ce fel de funcție „jucător” am vorbit în timpul diferențierii? Să ne uităm la starea:

Raspuns final:

Exemplul 12

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Un exemplu de proiect al unui exemplu de acest tip se află la sfârșitul lecției.

Folosind derivata logaritmică a fost posibil să se rezolve oricare dintre exemplele nr. 4-7, un alt lucru este că funcțiile de acolo sunt mai simple, și poate că utilizarea derivatei logaritmice nu este foarte justificată.

Derivată a unei funcții putere-exponențială

Nu am luat în considerare această funcție încă. O funcție exponențială putere este o funcție pentru care atât gradul cât și baza depind de „x”. Un exemplu clasic care vă va fi dat în orice manual sau prelegere:

Cum se găsește derivata unei funcții putere-exponențială?

Este necesar să se folosească tehnica tocmai discutată - derivata logaritmică. Agățăm logaritmi pe ambele părți:

De regulă, în partea dreaptă, gradul este scos de sub logaritm:

Ca urmare, în partea dreaptă avem produsul a două funcții, care vor fi diferențiate conform formulei standard .

Găsim derivata pentru a face acest lucru, închidem ambele părți sub linii:

Alte acțiuni sunt simple:

In sfarsit:

Dacă orice conversie nu este complet clară, vă rugăm să recitiți cu atenție explicațiile din Exemplul nr. 11.

În sarcinile practice, funcția putere-exponențială va fi întotdeauna mai complicată decât exemplul de prelegere considerat.

Exemplul 13

Aflați derivata unei funcții

Folosim derivata logaritmică.

În partea dreaptă avem o constantă și produsul a doi factori - „x” și „logaritmul logaritmului x” (un alt logaritm este imbricat sub logaritm). Când diferențiem, așa cum ne amintim, este mai bine să mutați imediat constanta din semnul derivat, astfel încât să nu împiedice; și, bineînțeles, aplicăm regula familiară :