Grafice de funcții. Funcția y=sinx, principalele sale proprietăți și graficul Grafic al funcției y sin x

În această lecție vom arunca o privire detaliată asupra funcției y = sin x, proprietățile sale de bază și graficul. La începutul lecției, vom da definiția funcției trigonometrice y = sin t pe cercul de coordonate și vom considera graficul funcției pe cerc și dreaptă. Să arătăm periodicitatea acestei funcții pe grafic și să luăm în considerare principalele proprietăți ale funcției. La sfârșitul lecției, vom rezolva câteva probleme simple folosind graficul unei funcții și proprietățile acesteia.

Tema: Funcții trigonometrice

Lecția: Funcția y=sinx, proprietățile ei de bază și graficul

Când luăm în considerare o funcție, este important să asociați fiecare valoare de argument cu o singură valoare a funcției. Acest legea corespondențeiși se numește funcție.

Să definim legea corespondenței pentru .

Orice număr real corespunde unui singur punct de pe cercul unității. Un punct are o singură ordonată, care se numește sinusul numărului (Fig. 1).

Fiecare valoare de argument este asociată cu o singură valoare a funcției.

Proprietăți evidente rezultă din definiția sinusului.

Figura arată că deoarece este ordonata unui punct de pe cercul unitar.

Luați în considerare graficul funcției. Să ne amintim interpretarea geometrică a argumentului. Argumentul este unghiul central, măsurat în radiani. De-a lungul axei vom reprezenta numere reale sau unghiuri în radiani, de-a lungul axei valorile corespunzătoare ale funcției.

De exemplu, un unghi pe cercul unității corespunde unui punct de pe grafic (Fig. 2)

Am obținut un grafic al funcției din zonă. Dar cunoscând perioada sinusului, putem reprezenta graficul funcției pe întregul domeniu de definiție (Fig. 3).

Perioada principală a funcției este. Aceasta înseamnă că graficul poate fi obținut pe un segment și apoi continuat pe întregul domeniu de definiție.

Luați în considerare proprietățile funcției:

1) Domeniul de aplicare al definiției:

2) Interval de valori:

3) Funcția impară:

4) Cea mai mică perioadă pozitivă:

5) Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu axa absciselor:

6) Coordonatele punctului de intersecție a graficului cu axa ordonatelor:

7) Intervale la care funcția ia valori pozitive:

8) Intervale la care funcția ia valori negative:

9) Creșterea intervalelor:

10) Intervale descrescătoare:

11) Puncte minime:

12) Funcții minime:

13) Puncte maxime:

14) Funcții maxime:

Ne-am uitat la proprietățile funcției și graficul acesteia. Proprietățile vor fi folosite în mod repetat la rezolvarea problemelor.

Referințe

1. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Manual pentru instituțiile de învățământ general (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebră și analiză matematică pentru clasa a 10-a (manual pentru elevii școlilor și claselor cu studiu aprofundat al matematicii - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Studiu aprofundat al algebrei și analizei matematice.-M.: Educație, 1997.

5. Culegere de probleme de matematică pentru solicitanţii la instituţiile de învăţământ superior (editate M.I. Skanavi - M.: Şcoala superioară, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulator algebric.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleme de algebră și principii de analiză (manual pentru elevii din clasele 10-11 din instituțiile de învățământ general - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Culegere de probleme de algebră și principii de analiză: manual. indemnizatie pentru 10-11 clase. cu profunzime studiat Matematică.-M.: Educaţie, 2006.

Teme pentru acasă

Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed.

A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Resurse web suplimentare

3. Portal educațional pentru pregătirea examenelor ().

Lecția video „Funcția y = sinx, proprietăți ee și grafic” prezintă material vizual pe această temă, precum și comentarii la acesta. În timpul demonstrației, sunt luate în considerare tipul funcției, proprietățile acesteia, comportamentul pe diferite segmente ale planului de coordonate, caracteristicile graficului sunt descrise în detaliu și este descris un exemplu de soluție grafică a ecuațiilor trigonometrice care conțin un sinus. Cu ajutorul unei lecții video, este mai ușor pentru un profesor să formuleze înțelegerea de către elev a acestei funcții și să-i învețe să rezolve problemele grafic.

Lecția video folosește instrumente pentru a facilita memorarea și înțelegerea informațiilor educaționale. În prezentarea graficelor și în descrierea soluționării problemelor se folosesc efecte de animație care ajută la înțelegerea comportamentului funcției și la prezentarea succesivă a progresului soluției. De asemenea, exprimarea materialului îl completează cu comentarii importante care înlocuiesc explicația profesorului. Astfel, acest material poate fi folosit și ca ajutor vizual. Și ca parte independentă a lecției în loc de explicația profesorului pe un subiect nou.

Demonstrația începe prin introducerea subiectului lecției. Este prezentată funcția sinus, a cărei descriere este evidențiată într-o casetă pentru memorare - s=sint, în care argumentul t poate fi orice număr real. Descrierea proprietăților acestei funcții începe cu domeniul definiției. Se observă că domeniul de definire al funcției este întreaga axă numerică a numerelor reale, adică D(f)=(- ∞;+∞). A doua proprietate este ciudățenia funcției sinus. Elevilor li se reamintește că această proprietate a fost studiată în clasa a IX-a, când s-a remarcat că pentru o funcție impară este valabilă egalitatea f(-x)=-f(x). Pentru sinus, confirmarea ciudățeniei funcției este demonstrată pe cercul unitar, împărțit în sferturi. Cunoscând ce semn ia funcția în diferite sferturi ale planului de coordonate, se observă că pentru argumentele cu semne opuse, folosind exemplul punctelor L(t) și N(-t), condiția de ciudățenie este îndeplinită pentru sinus. Prin urmare s=sint este o funcție impară. Aceasta înseamnă că graficul funcției este simetric față de origine.

A treia proprietate a sinusului demonstrează intervalele funcțiilor crescătoare și descrescătoare. Se notează că această funcție crește pe segment și scade pe segment [π/2;π]. Proprietatea este demonstrată în figură, care arată un cerc unitar și la deplasarea din punctul A în sens invers acelor de ceasornic, ordonata crește, adică valoarea funcției crește la π/2. La trecerea din punctul B la C, adică atunci când unghiul se schimbă de la π/2 la π, valoarea ordonatei scade. În al treilea sfert de cerc, la trecerea din punctul C în punctul D, ordonata scade de la 0 la -1, adică valoarea sinusului scade. În ultimul trimestru, la trecerea din punctul D în punctul A, valoarea ordonatei crește de la -1 la 0. Astfel, putem trage o concluzie generală despre comportamentul funcției. Ecranul afișează ieșirea pe care sint crește pe segmentul [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], scade pe intervalul [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] pentru orice întreg k.

A patra proprietate a sinusului ia în considerare mărginirea funcției. Se observă că funcția sint este mărginită atât deasupra cât și dedesubt. Elevilor li se reamintesc informațiile din algebra de clasa a IX-a când au fost introduși în conceptul de mărginire a unei funcții. Pe ecran este afișată condiția unei funcții mărginite de sus, pentru care există un anumit număr pentru care inegalitatea f(x)>=M este valabilă în orice punct al funcției. De asemenea, ne amintim de condiția unei funcții mărginite mai jos, pentru care există un număr m mai mic decât fiecare punct al funcției. Pentru sint condiția -1 este îndeplinită<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

A cincea proprietate ia în considerare cele mai mici și mai mari valori ale funcției. Se notează realizarea celei mai mici valori -1 în fiecare punct t=-(π/2)+2πk, iar cea mai mare în punctele t=(π/2)+2πk.

Pe baza proprietăților considerate, pe segment este construit un grafic al funcției sint. Pentru a construi funcția, se folosesc valori tabelare ale sinusului în punctele corespunzătoare. Coordonatele punctelor π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π sunt marcate pe planul de coordonate. Prin marcarea valorilor de tabel ale funcției în aceste puncte și conectându-le cu o linie netedă, construim un grafic.

Pentru a reprezenta un grafic al funcției sint pe segmentul [-π;π], se folosește proprietatea de simetrie a funcției față de origine. Figura arată cum linia obținută ca rezultat al construcției este transferată fără probleme simetric față de originea coordonatelor la segmentul [-π;0].

Folosind proprietatea funcției sint, exprimată în formula de reducere sin(x+2π) = sin x, se observă că la fiecare 2π graficul sinus se repetă. Astfel, pe intervalul [π; 3π] graficul va fi același ca pe [-π;π]. Astfel, graficul acestei funcții reprezintă fragmente care se repetă [-π;π] de-a lungul întregului domeniu de definiție. Se observă separat că un astfel de grafic al unei funcții se numește sinusoid. Este introdus și conceptul de undă sinusoidală - un fragment de grafic construit pe segmentul [-π;π] și un arc sinusoid construit pe segmentul . Aceste fragmente sunt afișate din nou pentru memorare.

Se observă că funcția sint este o funcție continuă pe întregul domeniu de definiție și, de asemenea, că intervalul de valori al funcției se află în setul de valori al segmentului [-1;1].

La sfârșitul lecției video, este luată în considerare o soluție grafică a ecuației sin x=x+π. În mod evident, soluția grafică a ecuației va fi intersecția graficului funcției date de expresia din stânga și funcția dată de expresia din dreapta. Pentru a rezolva problema, se construiește un plan de coordonate, pe care se conturează sinusoida corespunzătoare y=sin x și se construiește o dreaptă corespunzătoare graficului funcției y=x+π. Graficele construite se intersectează într-un singur punct B(-π;0). Prin urmare, x=-π va fi soluția ecuației.

Lecția video „Funcția y = sinx, ee properties and graph” va ajuta la creșterea eficienței unei lecții tradiționale de matematică la școală. De asemenea, puteți utiliza material vizual atunci când efectuați învățământ la distanță. Manualul poate ajuta elevii să stăpânească subiectul care au nevoie de cursuri suplimentare pentru a obține o înțelegere mai profundă a materialului.

DECODIFICAREA TEXTULUI:

Subiectul lecției noastre este „Funcția y = sin x, proprietățile și graficul acesteia”.

Anterior, ne-am familiarizat deja cu funcția s = sin t, unde tϵR (es este egal cu sine te, unde te aparține mulțimii numerelor reale). Să studiem proprietățile acestei funcții:

PROPRIETĂȚI 1. Domeniul de definiție este mulțimea numerelor reale R (er), adică D(f) = (- ; +) (de din ef reprezintă intervalul de la minus infinit la plus infinit).

PROPRIETATE 2. Functia s = sin t este impara.

La lecțiile de clasa a IX-a, am învățat că funcția y = f (x), x ϵX (y este egal cu eff lui x, unde x aparține mulțimii x este mare) se numește impară dacă pentru orice valoare x din mulțime X egalitatea

f (- x) = - f (x) (eff din minus x este egal cu minus ef din x).

Și deoarece ordonatele punctelor L și N care sunt simetrice față de axa absciselor sunt opuse, atunci sin(- t) = -sint.

Adică s = sin t este o funcție impară și graficul funcției s = sin t este simetric față de originea în sistemul de coordonate dreptunghiular tos(te o es).

Să considerăm PROPRIETATEA 3. Pe intervalul [ 0; ] (de la zero la pi cu doi) funcția s = sin t crește și scade pe segmentul [; ](de la pi cu doi la pi).

Acest lucru este clar vizibil în figuri: atunci când un punct se mișcă de-a lungul cercului numeric de la zero la pi cu doi (de la punctul A la B), ordonata crește treptat de la 0 la 1 și când se deplasează de la pi cu doi la pi (de la punctul B la C), ordonata scade treptat de la 1 la 0.

Când un punct se deplasează de-a lungul celui de-al treilea sfert (de la punctul C la punctul D), ordonata punctului în mișcare scade de la zero la minus unu, iar când se deplasează de-a lungul celui de-al patrulea trimestru, ordonata crește de la minus unu la zero. Prin urmare, putem trage o concluzie generală: funcția s = sin t crește pe interval

(de la minus pi cu doi plus doi pi ka la pi cu doi plus doi pi ka), și scade pe segmentul [; (de la pi cu doi plus doi pi ka la trei pi cu doi plus doi pi ka), unde

(ka aparține mulțimii numerelor întregi).

PROPRIETATE 4. Funcția s = sint este mărginită deasupra și dedesubt.

De la cursul de clasa a IX-a, amintiți-vă definiția mărginirii: o funcție y = f (x) se numește mărginită mai jos dacă toate valorile funcției nu sunt mai mici decât un anumit număr m m astfel încât pentru orice valoare x din domeniul de definire al funcției inegalitatea f (x) ≥ m(ef din x este mai mare sau egal cu em). Se spune că o funcție y = f (x) este mărginită mai sus dacă toate valorile funcției nu sunt mai mari decât un anumit număr M, asta înseamnă că există un număr M astfel încât pentru orice valoare x din domeniul de definire al funcției inegalitatea f (x) ≤ M(eff din x este mai mic sau egal cu em). O funcție se numește mărginită dacă este mărginită atât dedesubt, cât și de deasupra.

Să revenim la funcția noastră: mărginirea rezultă din faptul că pentru orice te inegalitatea este adevărată - 1 ≤ sint≤ 1. (sinusul lui te este mai mare sau egal cu minus unu, dar mai mic sau egal cu unu).

PROPRIETATE 5. Cea mai mică valoare a unei funcții este egală cu minus unu și funcția atinge această valoare în orice punct de forma t = (te este egală cu minus pi cu două plus două vârfuri, iar cea mai mare valoare a funcției este egală la unu și se realizează prin funcția în orice punct de forma t = (te este egal cu pi ori doi plus doi pi ka).

Cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției s = sin t indică s cel mai mult. și s max. .

Folosind proprietățile obținute, vom construi un grafic al funcției y = sin x (y = sinus x), deoarece suntem mai obișnuiți să scriem y = f (x) decât s = f (t).

Pentru început, să alegem o scară: de-a lungul axei ordonatelor, să luăm două celule ca segment unitar, iar de-a lungul axei absciselor, două celule sunt pi cu trei (deoarece ≈ 1). Mai întâi, să construim un grafic al funcției y = sin x pe segment. Avem nevoie de un tabel de valori ale funcției pe acest segment pentru a-l construi, vom folosi tabelul de valori pentru unghiurile cosinus și sinus corespunzătoare:

Astfel, pentru a construi un tabel cu valori de argument și funcție, trebuie să vă amintiți asta X(x) acest număr este egal în mod corespunzător cu unghiul din intervalul de la zero la pi și la(greacă) valoarea sinusului acestui unghi.

Să marchem aceste puncte pe planul de coordonate. Conform PROPRIETATEI 3 ​​pe segment

[ 0; ] (de la zero la pi cu doi) funcția y = sin x crește și scade pe segmentul [; ](de la pi cu doi la pi) și conectând punctele rezultate cu o linie netedă, obținem o parte a graficului (Fig. 1).

Folosind simetria graficului unei funcții impare față de origine, obținem un grafic al funcției y = sin x deja pe segment

[-π; π ] (de la minus pi la pi (Fig. 2)).

Amintiți-vă că sin(x + 2π)= sinx

(sinusul lui x plus doi pi este egal cu sinusul lui x). Aceasta înseamnă că în punctul x + 2π funcția y = sin x ia aceeași valoare ca în punctul x. Și întrucât (x + 2π)ϵ [π; 3π ](x plus doi pi aparține segmentului de la pi la trei pi), dacă xϵ[-π; π ], apoi pe segmentul [π; 3π ] graficul funcției arată exact la fel ca pe segmentul [-π; π]. În mod similar, pe segmentele , , [-3π; -π ] și așa mai departe, graficul funcției y = sin x arată la fel ca pe segment

[-π; π].(Fig.3)

Linia care este graficul funcției y = sin x se numește undă sinusoidală. Porțiunea de undă sinusoidală prezentată în figura 2 este numită undă sinusoidală, în timp ce în figura 1 este numită undă sinusoidală sau jumătate de undă.

Folosind graficul construit, notăm câteva proprietăți suplimentare ale acestei funcții.

PROPRIETATE 6. Functia y = sin x este o functie continua. Aceasta înseamnă că graficul funcției este continuu, adică nu are sărituri sau înțepături.

PROPRIETATE 7. Domeniul de valori al funcției y = sin x este segmentul [-1; 1] (din minus unu la unu) sau se poate scrie astfel: (e din ef este egal cu segmentul din minus unu la unu).

Să ne uităm la un EXEMPLU. Rezolvați grafic ecuația sin x = x + π (sinus x este egal cu x plus pi).

Soluţie. Să construim grafice de funcții y = păcat XŞi y = x + π.

Graficul funcției y = sin x este o sinusoidă.

y = x + π este o funcție liniară, al cărei grafic este o dreaptă care trece prin punctele cu coordonatele (0; π) și (- π ; 0).

Graficele construite au un punct de intersecție - punctul B(- π;0) (fie cu coordonatele minus pi, zero). Aceasta înseamnă că această ecuație are o singură rădăcină - abscisa punctului B - -π. Răspuns: X = - π.

Lecție și prezentare pe tema: "Funcția y=sin(x). Definiții și proprietăți"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Manuale si simulatoare in magazinul online Integral pentru nota 10 din 1C
Rezolvăm probleme de geometrie. Sarcini de construcție interactive pentru clasele 7-10
Mediul software „1C: Mathematical Constructor 6.1”

Ce vom studia:

• Proprietățile funcției Y=sin(X).
• Graficul funcției.
• Cum se construiește un grafic și scara acestuia.
• Exemple.

Proprietățile sinusului. Y=sin(X)

Băieți, ne-am familiarizat deja cu funcțiile trigonometrice ale unui argument numeric. Îți amintești de ei?

Să aruncăm o privire mai atentă la funcția Y=sin(X)

Să notăm câteva proprietăți ale acestei funcții:
1) Domeniul de definiție este mulțimea numerelor reale.
2) Funcția este impară. Să ne amintim definiția unei funcții impare. O funcție se numește impară dacă egalitatea este valabilă: y(-x)=-y(x). După cum ne amintim din formulele fantomă: sin(-x)=-sin(x). Definiția este îndeplinită, ceea ce înseamnă că Y=sin(X) este o funcție impară.
3) Funcția Y=sin(X) crește pe segment și scade pe segment [π/2; π]. Când ne deplasăm de-a lungul primului sfert (în sens invers acelor de ceasornic), ordonata crește, iar când ne deplasăm prin al doilea sfert, aceasta scade.

4) Funcția Y=sin(X) este limitată de jos și de sus. Această proprietate rezultă din faptul că
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Cea mai mică valoare a funcției este -1 (la x = - π/2+ πk). Cea mai mare valoare a funcției este 1 (la x = π/2+ πk).

Să folosim proprietățile 1-5 pentru a reprezenta grafic funcția Y=sin(X). Ne vom construi graficul secvenţial, aplicând proprietăţile noastre. Să începem să construim un grafic pe segment.

O atenție deosebită trebuie acordată scalei. Pe axa ordonatelor este mai convenabil să luați un segment unitar egal cu 2 celule, iar pe axa absciselor este mai convenabil să luați un segment unitar (două celule) egal cu π/3 (vezi figura).

Trasarea funcției sinus x, y=sin(x)

Să calculăm valorile funcției pe segmentul nostru:

Să construim un grafic folosind punctele noastre, ținând cont de a treia proprietate.

Tabel de conversie pentru formule fantomă

Să folosim a doua proprietate, care spune că funcția noastră este impară, ceea ce înseamnă că poate fi reflectată simetric față de origine:

Știm că sin(x+ 2π) = sin(x). Aceasta înseamnă că pe segmentul [- π; π] graficul arată la fel ca pe segmentul [π; 3π] sau sau [-3π; - π] și așa mai departe. Tot ce trebuie să facem este să redesenăm cu atenție graficul din figura anterioară de-a lungul întregii axe x.

Graficul funcției Y=sin(X) se numește sinusoid.

Să mai scriem câteva proprietăți conform graficului construit:
6) Funcția Y=sin(X) crește pe orice segment de forma: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k este un număr întreg și scade pe orice segment de forma: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – întreg.
7) Funcția Y=sin(X) este o funcție continuă. Să ne uităm la graficul funcției și să ne asigurăm că funcția noastră nu are pauze, asta înseamnă continuitate.
8) Interval de valori: segment [- 1; 1]. Acest lucru este, de asemenea, clar vizibil din graficul funcției.
9) Funcția Y=sin(X) - funcție periodică. Să ne uităm din nou la grafic și să vedem că funcția ia aceleași valori la anumite intervale.

Exemple de probleme cu sine

1. Rezolvați ecuația sin(x)= x-π

Rezolvare: Să construim 2 grafice ale funcției: y=sin(x) și y=x-π (vezi figura).
Graficele noastre se intersectează într-un punct A(π;0), acesta este răspunsul: x = π

2. Reprezentați grafic funcția y=sin(π/6+x)-1

Rezolvare: Graficul dorit se va obține prin mutarea graficului funcției y=sin(x) π/6 unități la stânga și 1 unitate în jos.

Rezolvare: Să reprezentăm grafic funcția și să considerăm segmentul nostru [π/2; 5π/4].
Graficul funcției arată că cele mai mari și cele mai mici valori sunt obținute la capetele segmentului, în punctele π/2 și, respectiv, 5π/4.
Răspuns: sin(π/2) = 1 – cea mai mare valoare, sin(5π/4) = cea mai mică valoare.

Probleme sinus pentru soluție independentă

• Rezolvați ecuația: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Reprezentați grafic funcția y=sin(π/3+x)-2
• Reprezentați grafic funcția y=sin(-2π/3+x)+1
• Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției y=sin(x) pe segment
• Aflați cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției y=sin(x) pe intervalul [- π/3; 5π/6]

>>Matematică: Funcțiile y = sin x, y = cos x, proprietățile și graficele lor

Funcțiile y = sin x, y = cos x, proprietățile și graficele lor

În această secțiune vom discuta câteva proprietăți ale funcțiilor y = sin x, y = cos x și vom construi graficele acestora.

1. Funcția y = sin X.

Mai sus, în § 20, am formulat o regulă care permite fiecărui număr t să fie asociat cu numărul cos t, adică. a caracterizat funcţia y = sin t. Să notăm câteva dintre proprietățile sale.

Proprietățile funcției u = sin t.

Domeniul de definiție este mulțimea K de numere reale.
Aceasta rezultă din faptul că oricărui număr 2 corespunde unui punct M(1) de pe cercul numeric, care are o ordonată bine definită; această ordonată este cos t.

u = sin t este o funcție impară.

Aceasta rezultă din faptul că, după cum sa dovedit în § 19, pentru orice t egalitatea
Aceasta înseamnă că graficul funcției u = sin t, ca și graficul oricărei funcții impare, este simetric față de originea în sistemul de coordonate dreptunghiular tOi.

Funcția u = sin t crește pe interval
Aceasta rezultă din faptul că atunci când un punct se mișcă de-a lungul primului sfert al cercului numeric, ordonata crește treptat (de la 0 la 1 - vezi Fig. 115), iar când punctul se deplasează de-a lungul celui de-al doilea sfert al cercului numeric, ordonata scade treptat (de la 1 la 0 - vezi Fig. 116).

Funcția u = sint este mărginită atât dedesubt, cât și de sus. Aceasta rezultă din faptul că, după cum am văzut în § 19, pentru orice t inegalitatea

(funcția atinge această valoare în orice punct al formularului (funcția atinge această valoare în orice punct al formularului
Folosind proprietățile obținute, vom construi un grafic al funcției care ne interesează. Dar (atentie!) in loc de u - sin t vom scrie y = sin x (la urma urmei, suntem mai obisnuiti sa scriem y = f(x), si nu u = f(t)). Aceasta înseamnă că vom construi un grafic în sistemul obișnuit de coordonate xOy (și nu tOy).

Să facem un tabel cu valorile funcției y - sin x:

Comentariu.

Să dăm una dintre versiunile originii termenului „sinus”. În latină, sinus înseamnă îndoire (coarda arcului).

Graficul construit justifică într-o oarecare măsură această terminologie.

Linia care servește ca grafic al funcției y = sin x se numește undă sinusoidală. Acea parte a sinusoidei care este prezentată în fig. 118 sau 119 se numește undă sinusoidală, iar acea parte a undei sinusoidale care este prezentată în fig. 117 se numește semiundă sau arc de undă sinusoidală.

2. Funcția y = cos x.

Studiul funcției y = cos x ar putea fi efectuat aproximativ după aceeași schemă folosită mai sus pentru funcția y = sin x. Dar vom alege mai repede calea care duce la obiectiv. În primul rând, vom demonstra două formule care sunt importante în sine (veți vedea asta la liceu), dar deocamdată au doar o semnificație auxiliară pentru scopurile noastre.

Pentru orice valoare a lui t sunt valabile următoarele egalități:

Dovada. Fie numărul t să corespundă punctului M al cercului numeric n, iar numărul * + - punctul P (Fig. 124; de dragul simplității, am luat punctul M în primul trimestru). Arcele AM ​​și BP sunt egale, iar triunghiurile dreptunghiulare OKM și OLBP sunt egale în mod corespunzător. Aceasta înseamnă O K = Ob, MK = Pb. Din aceste egalități și din locația triunghiurilor OCM și OBP în sistemul de coordonate, tragem două concluzii:

1) ordonata punctului P atât ca mărime, cât și ca semn coincide cu abscisa punctului M; asta înseamnă că

2) abscisa punctului P este egală în valoare absolută cu ordonata punctului M, dar diferă ca semn de aceasta; asta înseamnă că

Aproximativ același raționament se efectuează în cazurile în care punctul M nu aparține primului trimestru.
Să folosim formula (aceasta este formula dovedită mai sus, doar că în locul variabilei t folosim variabila x). Ce ne oferă această formulă? Ne permite să afirmăm că funcțiile

sunt identice, ceea ce înseamnă că graficele lor coincid.
Să diagramăm funcția Pentru a face acest lucru, să trecem la un sistem de coordonate auxiliar cu originea într-un punct (linia punctată este trasată în Fig. 125). Să asociem funcția y = sin x noului sistem de coordonate - acesta va fi graficul funcției (Fig. 125), i.e. graficul funcției y - cos x. Ea, ca și graficul funcției y = sin x, se numește undă sinusoidală (ceea ce este destul de natural).

Proprietățile funcției y = cos x.

y = cos x este o funcție pară.

Etapele construcției sunt prezentate în Fig. 126:

1) construiți un grafic al funcției y = cos x (mai precis, o jumătate de undă);
2) prin întinderea graficului construit de pe axa x cu un factor de 0,5, obținem o jumătate de undă din graficul necesar;
3) folosind semiunda rezultată, construim întregul grafic al funcției y = 0,5 cos x.

Conținutul lecției notele de lecție sprijinirea metodelor de accelerare a prezentării lecției cadru tehnologii interactive Practica sarcini și exerciții ateliere de autotestare, instruiri, cazuri, întrebări teme pentru acasă întrebări de discuție întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini, grafice, tabele, diagrame, umor, anecdote, glume, benzi desenate, pilde, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole trucuri pentru pătuțurile curioși manuale dicționar de bază și suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment dintr-un manual, elemente de inovație în lecție, înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte planul calendaristic pentru anul; recomandări metodologice; Lecții integrate

Cum se grafică funcția y=sin x? Mai întâi, să ne uităm la graficul sinus al intervalului.

Luăm un singur segment de 2 celule lungime în caiet. Pe axa Oy marcam unul.

Pentru comoditate, rotunjim numărul π/2 la 1,5 (și nu la 1,6, așa cum este cerut de regulile de rotunjire). În acest caz, un segment de lungime π/2 corespunde la 3 celule.

Pe axa Ox nu marchem segmente individuale, ci segmente de lungime π/2 (la fiecare 3 celule). În consecință, un segment de lungime π corespunde la 6 celule, iar un segment de lungime π/6 corespunde unei celule.

Cu această alegere a unui segment unitar, graficul reprezentat pe o foaie de caiet într-o cutie corespunde pe cât posibil graficului funcției y=sin x.

Să facem un tabel cu valorile sinusului pe interval:

Marcam punctele rezultate pe planul de coordonate:

Deoarece y=sin x este o funcție impară, graficul sinus este simetric față de origine - punctul O(0;0). Ținând cont de acest fapt, să continuăm trasarea graficului la stânga, apoi punctele -π:

Funcția y=sin x este periodică cu perioada T=2π. Prin urmare, graficul unei funcții luate pe intervalul [-π;π] se repetă de un număr infinit de ori la dreapta și la stânga.