Proprietatea combinativă a adăugării. Numerele. Adunarea numerelor naturale. Proprietățile adunării numerelor naturale Ce este adunarea combinațională
Adunarea are două proprietăți: comutativă și asociativă.
Proprietatea comutativă a adunării
Dacă termenii sunt schimbați, suma nu se va modifica. Într-adevăr, la rearanjarea termenilor, numărul de unități conținute în fiecare dintre aceștia nu se va modifica și, prin urmare, nu se va modifica nici numărul de unități conținute în sumă. Acest lucru poate fi ușor verificat luând în considerare următorul exemplu.
Să calculăm suma a două numere 3 și 4 în două moduri. Putem mai întâi să luăm numărul 3 și să îi adăugăm numărul 4, rezultând numărul 7:
Sau luați mai întâi numărul 4 și adăugați-i numărul 3, totalul va fi din nou numărul 7:
Astfel, putem pune un semn egal între expresiile 3 + 4 și 4 + 3, deoarece sunt egale cu aceeași valoare:
proprietate comutativă a adunării:
Rearanjarea termenilor nu schimbă suma.
legea comutativă a adunării.
În general, folosind litere, proprietatea comutativă a adunării poate fi scrisă după cum urmează:
o + b = b + o
Unde oŞi b
Proprietatea combinativă a adăugării
Rezultatul adunării a trei sau mai multe numere nu depinde de succesiunea acțiunilor. Aceasta înseamnă că termenii pot fi grupați în orice mod pentru a ușura calculul. Acest lucru poate fi ușor verificat luând în considerare următorul exemplu.
Să calculăm suma a trei termeni 1, 3 și 4 în două moduri:
Pentru a calcula valoarea unei expresii, putem mai întâi să adunăm numerele 1 și 3 și să adăugăm numărul 4 la rezultatul rezultat Pentru claritate, suma numerelor 1 și 3 poate fi inclusă în paranteze pentru a indica faptul că această sumă va fi. calculat mai întâi:
1 + 3 + 4 = (1 + 3) + 4 = 4 + 4 = 8
Sau mai întâi adăugați numerele 3 și 4 și adăugați rezultatul rezultat la numărul 1:
1 + 3 + 4 = 1 + (3 + 4) = 1 + 7 = 8
Astfel, putem pune un semn egal între expresiile (1 + 3) + 4 și 1 + (3 + 4), deoarece acestea sunt egale cu aceeași valoare:
(1 + 3) + 4 = 1 + (3 + 4)
Același lucru se va întâmpla dacă luăm ca termeni orice alte numere naturale.
Exemplul luat în considerare ne permite să formulăm proprietate asociativă plus:
Suma a trei sau mai mulți termeni nu depinde de succesiunea acțiunilor.
Această proprietate este numită și legea asociativă a adunării.
În general, folosind litere, proprietatea asociativă a adunării poate fi scrisă după cum urmează:
o + (b + c) = (o + b) + c
Unde o, bŞi c- numere naturale arbitrare.
| Nou pe site | | | contact@site |
| 2018 − 2020 | site-ul web |
Pe baza adăugării lui 2 numere naturale. Adăugarea a 3 sau mai multe numere arată ca o adunare secvențială a 2 numere. Mai mult, din cauza comutativși , numerele care sunt adăugate pot fi schimbate și oricare 2 dintre numerele adăugate pot fi înlocuite cu suma lor.
Proprietatea combinativă a adăugării demonstrează că rezultatul adunării a 3 numere a, bŞi c nu depinde de plasarea parantezelor. Astfel, sumele a+(b+c)Şi (a+b)+c poate fi scris ca a+b+c. Această expresie se numește cantitate, și numerele a, bŞi c - termeni.
La fel, din cauza proprietăţile asociative ale adunării, sunt egale cu sumele (a+b)+(c+d), (a+(b+c))+d, ((a+b)+c)+d, a+(b+(c+d))Şi a+((b+c)+d). Adică rezultatul adunării a 4 numere naturale a, b, cŞi d nu depinde de locația suporturilor. În acest caz, suma este scrisă astfel: a+b+c+d.
Dacă nu există paranteze în expresie, dar constă din mai mult de doi termeni, puteți aranja parantezele după cum doriți și adăugați secvențial câte 2 numere la un moment dat pentru a obține răspunsul. Adică, procesul de adunare a 3 sau mai multe numere se reduce la înlocuirea succesivă a 2 termeni adiacenți cu suma lor.
De exemplu, să calculăm suma 1+3+2+1+5 . Să luăm în considerare 2 metode dintr-un număr mare de metode existente.
Prima cale. La fiecare pas înlocuim primii 2 termeni cu suma.
Deoarece suma de numere 1 Şi 3 egal cu 4 , Înseamnă:
1+3+2+1+5=4+2+1+5 (am înlocuit suma 1+3 cu numărul 4).
Deoarece suma 4 + 2 este 6, atunci:
4+2+1+5=6+1+5.
Deoarece suma numerelor 6 și 1 este 7, atunci:
6+1+5=7+5
Și ultimul pas, 7+5=12 . Că.:
1+3+2+1+5=12
Am efectuat adăugarea prin aranjarea parantezelor după cum urmează: (((1+3)+2)+1)+5.
A doua cale. Să aranjam parantezele astfel: ((1+3)+(2+1))+5 .
Deoarece 1+3=4 , A 2+1=3 , că:
((1+3)+(2+1))+5=(4+3)+5
Suma 4 și 3 este 7, ceea ce înseamnă:
(4+3)+5=7+5.
Și ultimul pas: 7+5=12.
Rezultatul adunării a 2, 3, 4 etc. numerele nu sunt afectate nu numai de așezarea parantezelor, ci și de ordinea în care sunt scrierea termenilor. Astfel, la însumarea numerelor naturale, puteți schimba locurile termenilor. Uneori, acest lucru are ca rezultat un proces de decizie mai rațional.
Proprietăți de adunare a numerelor naturale.
- Pentru a obține un număr care urmează unui număr natural, trebuie să adăugați unul la acesta.
De exemplu: 3 + 1 = 4; 39 + 1 = 40.
- La rearanjarea locurilor termenilor, suma nu se modifică:
3 + 4 = 4 + 3 = 7 .
Această proprietate de adăugare se numește legea călătoriilor.
- Suma a 3 sau mai mulți termeni nu se va modifica în funcție de ordinea în care sunt adăugate numerele.
De exemplu: 3 + (7 + 2) = (3 + 7) + 2 = 12 ;
Mijloace: a + (b + c) = (a + b) + c.
Prin urmare, în loc de 3 + (7 + 2) scrie 3 + 7 + 2 și adăugați numerele în ordine, de la stânga la dreapta.
Această proprietate de adăugare se numește legea asociativă a adunării.
- Când adăugați 0 la un număr, suma este egală cu numărul însuși.
3 + 0 = 3 .
În schimb, atunci când un număr este adăugat la zero, suma este egală cu numărul.
0 + 3 = 3;
Mijloace: a + 0 = a ; 0 + a = a .
- Dacă punctul Cîmparte un segment AB, apoi suma lungimilor segmentelor A.C.Şi C.B. egală cu lungimea segmentului AB.
AB = AC + CB.
Dacă AC = 2 cm O CB = 3 cm,
Că AB = 2 + 3 = 5 cm.
Proprietățile adunării sunt primul pas pentru accelerarea numărării. Un student care cunoaște toate tehnicile de adăugare rapidă are mai mult timp pentru probleme complexe și pentru a-și verifica soluțiile. Prin urmare, este logic să luăm în considerare din nou proprietățile adăugării pentru a le aplica corect în practică.
Ce este adăugarea?
În primul rând, să ne amintim ce este adăugarea, oricum? Adunarea este una dintre primele operații care se studiază la școală și uneori chiar și în grădiniţă. De regulă, adăugarea este explicată folosind fructe ca exemplu.
Dacă iei 3 pere și 2 mere și le pui într-un coș, atunci perele sunt primul termen, merele sunt al doilea, iar numărul total de fructe din coș este suma. Această definiție nu este incorectă, dar elevii cresc, la fel ca și numerele folosite. Este greu de imaginat să stivuim sute de mii de fructe.
Prin urmare, în matematică ei folosesc o altă definiție, care afirmă că adunarea înseamnă mutarea unui punct de pe dreapta numerică la dreapta.
Multe cunoștințe devin mai complexe în timp. Deci, dacă în scoala elementara elevilor li se spune că un rezultat negativ de adunare este o eroare, apoi în clasa a V-a toată lumea știe deja că un astfel de răspuns este posibil. Așa este și cu definiția proprietăților adunării. Fructele obișnuite pur și simplu nu sunt suficiente pentru a le imagina numere mari. De aceea, în liceu se apelează la definiții teoretice.
Proprietățile adăugării
Există proprietăți comutative și asociative. Proprietatea comutativă ne spune că schimbarea locurilor termenilor nu schimbă suma.
Proprietatea de combinare afirmă că, în exemplele în care există doi sau mai mulți factori, adăugarea poate fi făcută în orice ordine. Principalul lucru în acest caz este să grupați corect termenii pentru a accelera calculele și pentru a nu le complica și mai mult. Cea mai simplă opțiune este să te uiți la numărul de unități dintr-un număr. În primul rând, trebuie să adăugați acele numere ale căror unități însumează până la 10, de exemplu 29 și 31 adună până la 60.
După aceea, se adaugă zeci întregi și abia apoi toate celelalte. Aceasta este cea mai simplă și rapidă modalitate de a rezolva exemple de adăugare.
De fapt, nici măcar fiecare profesor nu va fi capabil să distingă utilizarea unei proprietăți coordinative de una comutativă. Sunt extrem de asemănătoare, unii matematicieni cred chiar că proprietatea asociativă este o continuare a proprietății comutative. Din același motiv, profesorii cer rareori să distingă utilizarea unei proprietăți de alta într-o problemă. Trebuie doar să le poți folosi pe ambele.
Exemplu
Exemple de proprietate asociativă a adunării nu sunt greu de găsit. Aproape fiecare exemplu utilizează această proprietate.
15*3+5-13-17-2-16-2 - mai întâi, să facem înmulțirea.
45+5-13-17-2-16-2 - acum să grupăm termenii astfel încât să calculăm rezultatul cât mai repede posibil. Pentru a face acest lucru, trebuie să vă amintiți că diferența poate fi reprezentată ca sumă de numere negative. În cazul nostru, pur și simplu mutăm semnul minus în afara parantezei.
45+5-13-17-2-16-2=(45+5)-(13+17)-(2+2+16) - acum să facem calculele între paranteze și să găsim rezultatul final
45+5-13-17-2-16-2=(45+5)-(13+17)-(2+2+16)=50-30-0=0
Acesta este răspunsul pentru un exemplu destul de mare. Nu vă lăsați intimidați de răspunsuri simple precum 0 sau 1. Uneori, autorii de exemplu confundă studenții în acest fel.
Ce am învățat?
Am vorbit despre adunare, am evidențiat proprietățile asociative și comutative ale adunării. Am vorbit despre diferențele dintre aceste proprietăți, precum și despre utilizarea corectă a proprietății asociative a adunării. Am decis asupra unui mic exemplu pentru a arăta utilizarea proprietății de combinare în practică.
Test pe tema
Evaluarea articolului
Evaluare medie: 4.6. Evaluări totale primite: 111.
În această problemă trebuie să înțelegeți proprietățile de bază ale adăugării.
Plus
Adăugarea reprezintă operație aritmetică. Combinarea mai multor numere într-unul care este egal cu toate combinate.
Proprietățile comutative și asociative ale adunării
- Proprietate comutativă. Concluzia: rearanjarea locurilor termenilor nu modifică suma.
- Notație matematică: a + b = b + a.
- Exemple: 1/4 + 1 = 1 + 1/4; 2 + 3 = 3 + 2; 0,34 + 0,45 = 0,45 + 0,34.
- Proprietate combinativă. Linia de jos: pentru a adăuga un al treilea număr la suma a două numere anumite, puteți adăuga suma celui de al doilea și al treilea număr la primul număr.
- Notație matematică: (a + b) + c= a + (b + c).
- Exemple: (1 + 1/4) + 2 = 1 + (1/4 + 2); (3 + 2) + 1 = 3 + (2 + 1); (0,34 + 0,45) + 0,2 = 0,34 + (0,45 + 0,2).
Proprietatea lui zero
Când adăugați un număr și zero, obțineți același număr.
Proprietatea de a scădea o sumă dintr-un număr. Proprietatea de a scădea un număr dintr-o sumă
Pentru a scădea o sumă dintr-un număr, trebuie să scădeți un termen din acesta și apoi să scădeți un alt termen din rezultat. Notație matematică: a - (b + c) = a - b - c. Aceasta poate fi numită și paranteze de deschidere. Exemplu: 5 - (2 + 1) = 5 - 2 - 1.
Pentru a scădea un număr dintr-o sumă, trebuie să-l scădeți dintr-un termen și să adăugați termenul rămas la rezultat.
Subiect.„Proprietatea combinată a adăugării. Paranteze.”
Goluri. Introduceți proprietatea asociativă a adunării, cu un nou semn matematic - paranteze; îmbunătățirea abilităților de calcul orale și scrise în adunarea și scăderea tabelară a numerelor cu o singură cifră în 20 cu trecerea prin valoarea locului.
Material educativ. Manual „Matematică. clasa a II-a” (autor N.B. Istomina); caiete tipărite: „Caiet de matematică 1”, „Învățarea rezolvării problemelor combinatorii”; carduri individuale pe frunze de arțar; 15 benzi cu expresii pentru lucru în grup; jocul „Unravel the Tangle”; diagrame suport; Ecrane de scriere individuale.
PROGRESUL LECȚIEI
I. Moment organizatoric
Profesor. Ridicați-vă mâinile aceia dintre voi cărora le place să călătorească. Astăzi vom pleca într-o călătorie matematică prin pădurea de toamnă, care este plină de mistere și minuni. Iar călătorii sunt pionieri. Astăzi vei încerca să faci singur o descoperire. Motto-ul nostru: „Abordați fiecare sarcină cu pricepere.”
II. Actualizarea cunoștințelor
U. Să mergem pe poteca forestieră pentru a nu deranja locuitorii pădurii - îi vom urmări doar din lateral.
Jocul „Unravel the Tangle”
Egalitățile sunt scrise pe tablă, în care unele numere sunt acoperite cu figuri geometrice:
La comanda profesorului, copiii notează numărul lipsă pe ecrane individuale și dau o explicație pentru acțiunile lor.
U. Unde vom începe să deslușim încurcătura? De ce?
Copii. Să începem cu expresia 15 – 8, deoarece se cunosc două numere.
U. Atenţie! Scrieți diferența dintre 15 și 8 pe ecrane.
Copiii au scris 7 și toți și-au ridicat ecranele în același timp..
– Acum la ce fel de egalitate ar trebui să fim atenți?
D. Primele lucruri mai întâi. Acolo, pe lângă numărul 12, este reprezentat același triunghi, ceea ce înseamnă că ar trebui să existe un număr 7.
U. Corect. Reduceți 12 cu 7.
Copiii au scris numărul 5 pe ecrane.
D. Să ne uităm la a patra egalitate, deoarece pe lângă numărul 9 este reprezentat același pătrat ca în prima egalitate. Aceasta înseamnă că numărul 5 ar trebui să fie scris pe el.
U. Corect. Aflați valoarea sumei numerelor 5 și 9.
Copiii au scris numărul 14 pe ecrane.
D. Să luăm a doua egalitate, deoarece în plus față de numărul 8 există același cerc ca și în a patra egalitate. Aceasta înseamnă că numărul 14 ar trebui să fie scris pe el.
U. Corect. Găsiți diferența dintre 14 și 8.
Copiii au scris numărul 6 pe ecrane.
D. Să luăm a cincea egalitate, deoarece în plus față de numărul 40 există același dreptunghi ca și în a doua egalitate. Aceasta înseamnă că trebuie să fie scris numărul 6 pe el.
U. Corect. Găsiți diferența dintre numerele 40 și 6.
Copiii au scris numărul 34 pe ecrane.
III. Cunoașterea materialului nou
U. Poteca de pădure ne ducea către o poiană. Să ne uităm în jur. Lângă copaci este un covor de frunze colorate. Fiecare dintre voi are frunze de arțar cu o sarcină pe masă. Doi elevi vor lucra la temele de pe spatele tablei.
Ghiciți ce regulă este folosită pentru a scrie egalități în stânga și în dreapta și introduceți numerele în „casete”.
Elevii îndeplinesc sarcina în mod independent.
|
– Să vedem cum au terminat sarcina băieții care lucrează la consiliu. Ce puteți spune despre conținutul temelor?
D. Toată lumea are aceleași sarcini.
U. Cum le-au realizat?
D. Diferit.
U. De ce sa întâmplat asta?
D. Nu toată lumea și-a dat seama de regulă: unul știe mai multe, iar celălalt mai puțin. Este prima dată când îndeplinim o astfel de sarcină.
IV. Formularea temei lecției
U. Să analizăm ecuațiile și să aflăm cine a finalizat sarcina corect. Să comparăm părțile stângi ale egalităților primei și celei de-a doua coloane.
D. Sunt la fel. Adaugă trei numere.
U. Să comparăm părțile drepte ale egalităților primei și celei de-a doua coloane.
D.
– În a doua coloană, însumați mai întâi al doilea și al treilea număr și adăugați rezultatul la primul număr.
U. Ce numere ar trebui să introducem în „ferestre”?
D. 8 + 2 + 5 = 10 + 5
9 + 1 + 7 = 10 + 7
8 + 2 + 5 = 8 + 7
9 + 1 + 7 = 9 + 8
U. Cine a ghicit și poate formula tema lecției?
D. Vom adăuga trei numere în moduri diferite.
U. Vom introduce încă o proprietate de adăugare. Repetă cum ai adăugat trei numere?
D.În prima coloană, am adăugat mai întâi primele două numere, apoi am adăugat al treilea.
– În a doua coloană s-au adăugat mai întâi al doilea și al treilea număr, iar rezultatul a fost adăugat la primul număr.
U. Cum pot fi scrise toate acestea? Poate ar trebui să existe un fel de semn?
D. Acestea sunt paranteze.
U. Ce arată parantezele?
D. Ce acțiune ar trebui efectuată mai întâi?
Se deschide o notă pe tablă.
|
U. Ce altceva ai observat?
D. Trei numere au fost adăugate diferit, dar valoarea sumei a fost aceeași. Nu depinde de ordinea în care sunt efectuate acțiunile.
U. Să verificăm dacă ai dreptate. Deschide manualul de la p. 47, citiți regula. Ați descoperit acum proprietatea asociativă a adunării.
V. Minutul de educație fizică
VI. Consolidarea primară a materialului
U. Citiți sarcina 127 la p. 48.
D." Folosiți parantezele pentru a arăta ce doi termeni veți înlocui cu valoarea sumei și găsiți sensul fiecărei expresii.”
U. Explicați de ce în unele expresii au găsit mai întâi suma primului și celui de-al doilea număr și au adăugat al treilea, în timp ce în altele au adăugat suma celui de-al doilea și al treilea număr la primul număr. Ridică-ți mâna cei care au vrut să îndeplinească ei înșiși această sarcină. Veți lucra prin opțiuni. Prima coloană este pentru studenții primei opțiuni, a doua coloană este pentru a 2-a opțiune, iar a treia coloană este suplimentară pentru cei care finalizează rapid sarcina.
Doi elevi scriu pe tablă. Copiii termină sarcina. Toate exemplele sunt verificate.
– Citiți expresia, al cărei sens este „număr rotund”.
D. 30 + (4 + 6) = 40
60 + (24 + 6) = 90
40 + (37 + 3) = 80
U. Citiți expresia a cărei valoare este cu 7 mai mică decât cel mai mare număr din două cifre.
D.(20 + 70) + 2 = 92
U. Citiți expresia a cărei valoare este un număr format din același număr de zeci și unități.
D.(30 + 40) + 7 = 77
U. Citiți expresia a cărei valoare este numărul înainte de 50.
D. 40 + (6 + 3) = 49
U. Cei mai atenți vor numi expresii ale căror semnificații nu le-am verificat încă. Explicați de ce în unele expresii am găsit mai întâi suma primului și celui de-al doilea număr și am adăugat al treilea, iar în altele am adăugat suma celui de-al doilea și al treilea număr la primul număr.
D. Este mai convenabil pentru noi să adăugăm numere, a căror adăugare are ca rezultat un număr „rotund” - acest lucru face calculele mai rapide.
U. Pentru a vă aminti o nouă proprietate de adăugare și a o aminti rapid dacă o uitați, trebuie să alegeți o schemă constând din litere sau semne. Aceste diagrame sunt pe pereții sălii de clasă. Privește-le, alege unul și explică alegerea ta.
(* + *) + * = * + (* + *) |
D. Toate diagramele sunt potrivite. La matematică se folosesc litere latine, așa că vom alege schema ( O + V) +Cu = O + (V + Cu).
VII. Munca independentăîn grupuri
Elevii sunt împărțiți în grupuri și li se dau sarcini pe benzi de diferite culori. Este necesar să găsiți și să scrieți semnificațiile acestor expresii folosind proprietatea asociativă a adunării, apoi atașați o bandă cu expresia pe tabla magnetică sub formula corespunzătoare:
U. Bravo tuturor! Continuăm pe poteca forestieră. Ghiciți ghicitoarea despre animalul pădurii:
Nu o pasăre, ci zboară din copac în copac.
D. Aceasta este o veveriță.
U. Corect. Ajută-i pe veveriță să-și pună proviziile de iarnă în trei goluri. Lucrăm în caiete tipărite „Învățați să rezolvați probleme combinatorii”. Terminăm sarcina 20 de la p. 20 pe cont propriu.
Examinare:
– Citiți sarcina 21 la p. 20.
D." Aranjați literele O , n , Cu în celule în mod diferit.”
U. Finalizați singur această sarcină.
Copii scrisori de grup.
- Ce-ai făcut?
D. Au fost șase opțiuni.
U.Încercuiește opțiunile care conțin cuvinte care au sens.
D. Acest visŞi nas.
U. Numiți animalele care hibernează în timpul iernii.
D. Ursule, arici, deja.
U. Ce pasăre care ierna se numește „medicul pădurii”?
D. Ciocănitoare. Cu ciocul, scoate insectele de sub scoarța copacilor, salvându-le astfel de dăunători.
VIII. Rezumatul lecției
U. Călătoria noastră prin pădurea de toamnă s-a încheiat. Ce descoperire ai făcut astăzi în clasă?
D. Pentru a adăuga un al treilea număr la suma a două numere, puteți adăuga suma celui de-al doilea și al treilea număr la primul număr. Aceasta este proprietatea asociativă a adunării.
U. Dacă ți-a plăcut călătoria, aplauză-i.
Copiii aplaudă.
IX. Teme pentru acasă
În „Caiet de matematică 1” – p. 33, nr. 81.
Articolul a fost publicat cu sprijinul companiei Eurocontract, unul dintre principalii producători de blocuri de spumă, blocuri de pereți, plăci de pavaj, plăci cu limbă, borduri și alte materiale de construcție moderne. În prezent, unul dintre primele locuri în popularitate în rândul materialelor de construcție este ferm înrădăcinat în betonul spumos. Și, trebuie să spun, este bine meritat. Într-un număr de țări, blocurile de beton spumos sunt chiar numite „bioblocuri”, deoarece constau numai din componente naturale și sunt un material de construcție ecologic, sigur pentru oameni și mediu. În plus, betonul spumos, în comparație cu betonul convențional, cântărește semnificativ mai puțin și, prin urmare, este mult mai ușor de transportat, iar dimensiunile sale mari și forma corecta blocurile de beton spumos simplifică semnificativ așezarea lor. Informații despre multe alte avantaje ale blocurilor de beton spumat și prețurile acestora pot fi găsite în detaliu pe site-ul evrocontract.ru.
