Exemple de funcții pare. Funcții pare și impare. Perioada funcției. Extreme ale unei funcții. Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții dintr-un interval

Înapoi Înainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiective:

formează conceptul de paritate și ciudat al unei funcții, învață capacitatea de a determina și de a utiliza aceste proprietăți când cercetarea funcţiei, complot;
dezvoltarea activității creative a elevilor, gândire logică, capacitatea de a compara, de a generaliza;
cultivați munca grea și cultura matematică; dezvolta abilitati de comunicare .

Echipament: instalare multimedia, tablă interactivă, fișe.

Forme de lucru: frontal şi grup cu elemente de căutare şi activităţi de cercetare.

Surse de informare:

1. Algebră clasa a IX-a A.G. Mordkovich. Manual.
2. Algebră clasa a IX-a A.G. Mordkovich. Cartea cu probleme.
3. Algebră clasa a IX-a. Sarcini pentru învățarea și dezvoltarea elevilor. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

PROGRESUL LECȚIEI

1. Moment organizatoric

Stabilirea scopurilor și obiectivelor pentru lecție.

2. Verificarea temelor

Nr. 10.17 (caietul cu probleme de clasa a IX-a. A.G. Mordkovich).

O) la = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 la X ~ 0,4
4. f(X) >0 la X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funcția crește atunci când X € [– 2; + ∞)
6. Funcția este limitată de jos.
7. la naim = – 3, la naib nu există
8. Funcția este continuă.

(Ați folosit un algoritm de explorare a funcțiilor?) Slide.

2. Să verificăm tabelul care a fost întrebat din diapozitiv.

Completați tabelul
	Domeniul definiției	Zerourile funcției	Intervale de constanță a semnelor		Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu Oy
	Domeniul definiției	Zerourile funcției			Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu Oy
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Actualizarea cunoștințelor

– Sunt date funcții.
– Specificați domeniul de aplicare a definiției pentru fiecare funcție.
– Comparați valoarea fiecărei funcții pentru fiecare pereche de valori de argument: 1 și – 1; 2 și – 2.
– Pentru care dintre aceste funcții din domeniul definiției sunt valabile egalitățile f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (introduceți datele obținute în tabel) Slide

		f(1) și f(– 1)	f(2) și f(– 2)	grafică	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = \| X \|
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		și nedefinită

4. Material nou

– Efectuarea această lucrare, băieți, am identificat încă o proprietate a funcției, necunoscută pentru dvs., dar nu mai puțin importantă decât celelalte - aceasta este uniformitatea și ciudatenia funcției. Notați subiectul lecției: „Funcții pare și impare”, sarcina noastră este să învățăm să determinăm uniformitatea și neobișnuirea unei funcții, să aflăm semnificația acestei proprietăți în studiul funcțiilor și trasarea graficelor.
Deci, să găsim definițiile în manual și să citim (p. 110) . Slide

Def. 1 Funcţie la = f (X), definită pe mulțimea X este numită chiar, dacă pentru orice valoare XЄ X este executat egalitate f(–x)= f(x). Dați exemple.

Def. 2 Funcţie y = f(x), definit pe setul X este numit ciudat, dacă pentru orice valoare XЄ X egalitatea f(–х)= –f(х) este valabilă. Dați exemple.

Unde am întâlnit termenii „par” și „impar”?
Care dintre aceste funcții vor fi egale, crezi? De ce? Care sunt ciudate? De ce?
Pentru orice functie a formei la= x n, Unde n– un număr întreg, se poate argumenta că funcția este impară când n– impar și funcția este par când n– chiar și.
– Vizualizați funcțiile la= și la = 2X– 3 nu sunt nici pare, nici impar, pentru că egalitățile nu sunt satisfăcute f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Studiul dacă o funcție este pară sau impară se numește studiul unei funcții pentru paritate. Slide

În definițiile 1 și 2 vorbeam despre valorile funcției la x și – x, prin urmare se presupune că funcția este definită și la valoarea X, și la - X.

Def 3. Dacă o mulțime numerică, împreună cu fiecare dintre elementele sale x, conține și elementul opus –x, atunci mulțimea X numită mulţime simetrică.

Exemple:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sunt mulțimi simetrice, iar , [–5;4] sunt asimetrice.

– U chiar și funcții domeniul definiției este o mulțime simetrică? Cele ciudate?
– Dacă D( f) este o mulțime asimetrică, atunci care este funcția?
– Astfel, dacă funcția la = f(X) – par sau impar, atunci domeniul său de definiție este D( f) este o mulțime simetrică. Este adevărată afirmația inversă: dacă domeniul de definire al unei funcții este o mulțime simetrică, atunci este par sau impar?
– Aceasta înseamnă că prezența unei mulțimi simetrice a domeniului de definiție este o condiție necesară, dar nu suficientă.
– Deci, cum examinezi o funcție pentru paritate? Să încercăm să creăm un algoritm.

Slide

Algoritm pentru studierea unei funcții pentru paritate

1. Stabiliți dacă domeniul de definire al funcției este simetric. Dacă nu, atunci funcția nu este nici pară, nici impară. Dacă da, atunci treceți la pasul 2 al algoritmului.

2. Scrie o expresie pentru f(–X).

3. Comparați f(–X).Şi f(X):

Dacă f(–X).= f(X), atunci funcția este pară;
Dacă f(–X).= – f(X), atunci funcția este impară;
Dacă f(–X) ≠ f(X) Și f(–X) ≠ –f(X), atunci funcția nu este nici pară, nici impară.

Exemple:

Examinați funcția a) pentru paritate la= x 5 +; b) la= ; V) la= .

Soluţie.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), mulţime simetrică.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => funcție h(x)= x 5 + impar.

b) y =,

la = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), o mulțime asimetrică, ceea ce înseamnă că funcția nu este nici pară, nici impară.

V) f(X) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opțiunea 2

1. Mulțimea dată este simetrică: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

O); b) y = x (5 – x 2). 2. Examinați funcția pentru paritate:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. În Fig. a fost construit un grafic la = f(X), pentru toată lumea X, îndeplinind condiția X? 0.
Reprezentați grafic funcția la = f(X), Dacă la = f(X) este o funcție uniformă.

3. În Fig. a fost construit un grafic la = f(X), pentru toate x care îndeplinesc condiția x? 0.
Reprezentați grafic funcția la = f(X), Dacă la = f(X) este o funcție impară.

Verificare reciprocă diapozitiv.

6. Tema pentru acasă: №11.11, 11.21,11.22;

Dovada semnificației geometrice a proprietății de paritate.

***(Atribuirea opțiunii de examinare unificată de stat).

1. Funcție ciudată y = f(x) este definit pe întreaga linie numerică. Pentru orice valoare nenegativă a variabilei x, valoarea acestei funcții coincide cu valoarea funcției g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Aflați valoarea funcției h( X) = la X = 3.

7. Rezumând

Uniformitatea și ciudățenia unei funcții sunt una dintre principalele sale proprietăți, iar paritatea ocupă o parte impresionantă curs şcolarîn matematică. Determină în mare măsură comportamentul funcției și facilitează foarte mult construcția graficului corespunzător.

Să determinăm paritatea funcției. În general, funcția studiată este considerată chiar dacă pentru valori opuse ale variabilei independente (x) situate în domeniul său de definire, valorile corespunzătoare ale lui y (funcție) se dovedesc a fi egale.

Să dăm o definiție mai strictă. Luați în considerare o funcție f (x), care este definită în domeniul D. Va fi chiar dacă pentru orice punct x situat în domeniul definiției:

-x (punctul opus) se află și el în acest domeniu,

f(-x) = f(x).

Din definiția de mai sus rezultă condiția necesară domeniului de definire a unei astfel de funcții și anume simetria față de punctul O, care este originea coordonatelor, întrucât dacă un punct b este conținut în domeniul de definire al unui par funcția, atunci punctul corespunzător b se află și el în acest domeniu. Din cele de mai sus rezultă deci concluzia: funcția pare are o formă simetrică față de axa ordonatelor (Oy).

Cum se determină paritatea unei funcții în practică?

Fie specificat folosind formula h(x)=11^x+11^(-x). Urmând algoritmul care decurge direct din definiție, examinăm mai întâi domeniul său de definiție. Evident, este definit pentru toate valorile argumentului, adică prima condiție este îndeplinită.

Următorul pas este să înlocuiți argumentul (x) cu acesta sens opus(-x).
Primim:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Deoarece adunarea satisface legea comutativă (comutativă), este evident că h(-x) = h(x) și data dependenta functionala- chiar.

Să verificăm paritatea funcției h(x)=11^x-11^(-x). Urmând același algoritm, obținem că h(-x) = 11^(-x) -11^x. Scotând minusul, până la urmă avem
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Prin urmare, h(x) este impar.

Apropo, trebuie amintit că există funcții care nu pot fi clasificate după aceste criterii nu se numesc nici pare, nici impare;

Chiar și funcțiile au o serie de proprietăți interesante:

ca urmare a adăugării de funcții similare, ele obțin una par;
ca urmare a scăderii unor astfel de funcții, se obține una par;
chiar, de asemenea chiar;
ca urmare a înmulțirii a două astfel de funcții se obține una par;
ca urmare a înmulțirii funcțiilor pare și impare, se obține una impar;
ca urmare a împărțirii funcțiilor pare și impare se obține una impar;
derivata unei astfel de funcții este impară;
Dacă pătrați o funcție impară, obțineți una par.

Paritatea unei funcții poate fi folosită pentru a rezolva ecuații.

Pentru a rezolva o ecuație ca g(x) = 0, unde partea stângă a ecuației este o funcție pară, va fi suficient să-i găsiți soluțiile pentru valorile nenegative ale variabilei. Rădăcinile rezultate ale ecuației trebuie combinate cu numerele opuse. Una dintre ele este supusă verificării.

Acesta este, de asemenea, utilizat cu succes pentru a rezolva probleme non-standard cu un parametru.

De exemplu, există vreo valoare a parametrului a pentru care ecuația 2x^6-x^4-ax^2=1 va avea trei rădăcini?

Dacă luăm în considerare că variabila intră în ecuație în puteri pare, atunci este clar că înlocuirea x cu - x nu va schimba ecuația dată. Rezultă că, dacă un anumit număr este rădăcina lui, atunci numărul opus este și rădăcina. Concluzia este evidentă: rădăcinile unei ecuații care sunt diferite de zero sunt incluse în mulțimea soluțiilor sale în „perechi”.

Este clar că numărul în sine nu este 0, adică numărul de rădăcini ale unei astfel de ecuații poate fi doar par și, firește, pentru orice valoare a parametrului nu poate avea trei rădăcini.

Dar numărul de rădăcini ale ecuației 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 poate fi impar și pentru orice valoare a parametrului. Într-adevăr, este ușor să verificați dacă setul de rădăcini ecuația dată conţine soluţii în perechi. Să verificăm dacă 0 este o rădăcină. Când o înlocuim în ecuație, obținem 2=2. Astfel, pe lângă cele „pereche”, 0 este și rădăcină, ceea ce dovedește numărul lor impar.

Înapoi Înainte

Obiective:

formulați conceptul de funcții pare și impare, învățați capacitatea de a determina și utiliza aceste proprietăți atunci când studiați funcții și construiți grafice;
dezvoltarea activității creative a elevilor, gândirea logică, capacitatea de a compara și generaliza;
cultivați munca grea și cultura matematică; dezvolta abilitati de comunicare .

Echipament: instalare multimedia, tablă interactivă, fișe.

Forme de lucru: frontal şi grup cu elemente de căutare şi activităţi de cercetare.

PROGRESUL LECȚIEI

1. Moment organizatoric

Stabilirea scopurilor și obiectivelor pentru lecție.

2. Verificarea temelor

Nr. 10.17 (caietul cu probleme de clasa a IX-a. A.G. Mordkovich).

O) la = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

(Ați folosit un algoritm de explorare a funcțiilor?) Slide.

2. Să verificăm tabelul care a fost întrebat din diapozitiv.

Completați tabelul
	Domeniul definiției	Zerourile funcției	Intervale de constanță a semnelor		Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu Oy
	Domeniul definiției	Zerourile funcției			Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu Oy
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Actualizarea cunoștințelor

		f(1) și f(– 1)	f(2) și f(– 2)	grafică	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = \| X \|
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		și nedefinită

4. Material nou

– În timp ce făceam această muncă, băieți, am identificat o altă proprietate a funcției, necunoscută pentru dvs., dar nu mai puțin importantă decât celelalte - aceasta este uniformitatea și ciudatenia funcției. Notați subiectul lecției: „Funcții pare și impare”, sarcina noastră este să învățăm să determinăm uniformitatea și neobișnuirea unei funcții, să aflăm semnificația acestei proprietăți în studiul funcțiilor și trasarea graficelor.
Deci, să găsim definițiile în manual și să citim (p. 110) . Slide

Def. 1 Funcţie la = f (X), definită pe mulțimea X este numită chiar, dacă pentru orice valoare XЄ X este executat egalitate f(–x)= f(x). Dați exemple.

Def. 2 Funcţie y = f(x), definit pe setul X este numit ciudat, dacă pentru orice valoare XЄ X egalitatea f(–х)= –f(х) este valabilă. Dați exemple.

Studiul dacă o funcție este pară sau impară se numește studiul unei funcții pentru paritate. Slide

În definițiile 1 și 2 vorbeam despre valorile funcției la x și – x, prin urmare se presupune că funcția este definită și la valoarea X, și la - X.

Def 3. Dacă o mulțime numerică, împreună cu fiecare dintre elementele sale x, conține și elementul opus –x, atunci mulțimea X numită mulţime simetrică.

Exemple:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sunt mulțimi simetrice, iar , [–5;4] sunt asimetrice.

– Chiar și funcțiile au un domeniu de definiție care este o mulțime simetrică? Cele ciudate?
– Dacă D( f) este o mulțime asimetrică, atunci care este funcția?
– Astfel, dacă funcția la = f(X) – par sau impar, atunci domeniul său de definiție este D( f) este o mulțime simetrică. Este adevărată afirmația inversă: dacă domeniul de definire al unei funcții este o mulțime simetrică, atunci este par sau impar?
– Aceasta înseamnă că prezența unei mulțimi simetrice a domeniului de definiție este o condiție necesară, dar nu suficientă.
– Deci, cum examinezi o funcție pentru paritate? Să încercăm să creăm un algoritm.

Slide

Algoritm pentru studierea unei funcții pentru paritate

1. Stabiliți dacă domeniul de definire al funcției este simetric. Dacă nu, atunci funcția nu este nici pară, nici impară. Dacă da, atunci treceți la pasul 2 al algoritmului.

2. Scrie o expresie pentru f(–X).

3. Comparați f(–X).Şi f(X):

Dacă f(–X).= f(X), atunci funcția este pară;
Dacă f(–X).= – f(X), atunci funcția este impară;
Dacă f(–X) ≠ f(X) Și f(–X) ≠ –f(X), atunci funcția nu este nici pară, nici impară.

Exemple:

Examinați funcția a) pentru paritate la= x 5 +; b) la= ; V) la= .

Soluţie.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), mulţime simetrică.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => funcție h(x)= x 5 + impar.

b) y =,

la = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), o mulțime asimetrică, ceea ce înseamnă că funcția nu este nici pară, nici impară.

V) f(X) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opțiunea 2

1. Mulțimea dată este simetrică: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

O); b) y = x (5 – x 2). 2. Examinați funcția pentru paritate:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. În Fig. a fost construit un grafic la = f(X), pentru toată lumea X, îndeplinind condiția X? 0.
Reprezentați grafic funcția la = f(X), Dacă la = f(X) este o funcție uniformă.

3. În Fig. a fost construit un grafic la = f(X), pentru toate x care îndeplinesc condiția x? 0.
Reprezentați grafic funcția la = f(X), Dacă la = f(X) este o funcție impară.

Verificare reciprocă diapozitiv.

6. Tema pentru acasă: №11.11, 11.21,11.22;

Dovada semnificației geometrice a proprietății de paritate.

***(Atribuirea opțiunii de examinare unificată de stat).

1. Funcția impară y = f(x) este definită pe întreaga dreaptă numerică. Pentru orice valoare nenegativă a variabilei x, valoarea acestei funcții coincide cu valoarea funcției g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Aflați valoarea funcției h( X) = la X = 3.

7. Rezumând

Zerourile funcției
Zero al unei funcții este valoarea X, la care funcția se transformă în 0, adică f(x)=0.

Zerourile sunt punctele de intersecție ale graficului funcției cu axa Oh.

Paritatea funcției
O funcție este apelată chiar dacă pentru oricare X din domeniul definiției este valabilă egalitatea f(-x) = f(x).

O funcție pară este simetrică față de axă Oh

Funcția de paritate impară
O funcție se numește impar dacă pentru oricare X din domeniul definiției se respectă egalitatea f(-x) = -f(x).

O funcție impară este simetrică față de origine.
O funcție care nu este nici pară, nici impară se numește funcție generală.

Funcția de creștere
Se spune că o funcție f(x) este în creștere dacă o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției, i.e. x 2 >x 1 → f(x 2)>f(x 1)

Funcția descendentă
O funcție f(x) se numește descrescătoare dacă o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției, i.e. x 2 >x 1 → f(x 2)
Sunt numite intervale peste care funcția fie doar scade, fie doar crește intervale de monotonie. Funcția f(x) are 3 intervale de monotonitate:
(-∞ x 1), (x 1 , x 2), (x 3 ; +∞)

Găsiți intervale de monotonitate folosind serviciul Intervalele funcției crescătoare și descrescătoare

Maxim local
Punct x 0 se numește punct maxim local dacă există X din vecinătatea unui punct x 0 inegalitatea este valabilă: f(x 0) > f(x)

Minimum local
Punct x 0 se numește un punct minim local dacă există X din vecinătatea unui punct x 0 inegalitatea este valabilă: f(x 0)< f(x).

Punctele maxime locale și punctele minime locale sunt numite puncte extreme locale.

x 1 , x 2 - puncte extreme locale.

Frecvența funcției
Funcția f(x) se numește periodică, cu o perioadă T, dacă pentru vreunul X egalitatea f(x+T) = f(x) este valabilă.

Intervale de constanță a semnelor
Intervalele în care funcția este fie numai pozitivă, fie numai negativă se numesc intervale de semn constant.

f(x)>0 pentru x∈(x 1 , x 2)∪(x 2 , +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

Continuitatea funcției
O funcție f(x) se numește continuă într-un punct x 0 dacă limita funcției ca x → x 0 este egală cu valoarea funcției în acest punct, adică. .

Puncte de pauză
Punctele în care condiția de continuitate este încălcată se numesc puncte de întrerupere a funcției.

x 0- punctul de pauză.

Schema generală de reprezentare a funcțiilor

1. Aflați domeniul de definire al funcției D(y).
2. Aflați punctele de intersecție ale graficului funcțiilor cu axele de coordonate.
3. Examinați funcția par sau impar.
4. Examinați funcția pentru periodicitate.
5. Găsiți intervalele de monotonitate și punctele extreme ale funcției.
6. Aflați intervalele de convexitate și punctele de inflexiune ale funcției.
7. Găsiți asimptotele funcției.
8. Pe baza rezultatelor cercetării, construiți un grafic.

Exemplu: Explorează funcția și trasează-o: y = x 3 – 3x
8) Pe baza rezultatelor studiului, vom reprezenta grafic funcția: