Luați în considerare o serie de numere pozitive.
Dacă există o limită, atunci:
a) Când rând diverge. Mai mult, valoarea rezultată poate fi zero sau negativă
b) Când rând converge. În special, seria converge la .
c) Când Semnul lui Raabe nu dă un răspuns.

Tragem o limită și simplificăm cu atenție și cu grijă fracția:

Da, imaginea este, ca să spun ușor, neplăcută, dar nu mai sunt surprins astfel de limite cu ajutorul Regulile lui L'Hopital, iar primul gând, după cum sa dovedit mai târziu, s-a dovedit a fi corect. Dar la început am petrecut aproximativ o oră răsucind și rotind limita folosind metode „obișnuite”, dar incertitudinea nu a vrut să fie eliminată. Iar mersul în cerc, după cum sugerează experiența, este un semn tipic că a fost aleasă o soluție greșită.

A trebuit să apelez la înțelepciunea populară rusă: „Dacă totul nu reușește, citiți instrucțiunile”. Iar când am deschis volumul al 2-lea din Fichtenholtz, spre marea mea bucurie am descoperit un studiu dintr-o serie identică. Și apoi soluția a urmat exemplul:

Deoarece succesiune de numere este considerat un caz special al unei functii, atunci in limita vom face inlocuirea: . Dacă, atunci.

Ca urmare:

Acum am limita unei funcțiiși aplicabil Regula lui L'Hopital. În procesul de diferențiere va trebui să luăm derivata unei functii putere-exponentiala, care este convenabil din punct de vedere tehnic de găsit separat de soluția principală:

Ai răbdare, de când ai ajuns aici - a avertizat Barmaley la începutul articolului =) =)

Folosesc de două ori regula lui L'Hôpital:

diverge.

A durat mult, dar poarta mea a stat!

Doar pentru distracție, am calculat 142 de termeni ai seriei în Excel (nu aveam suficientă putere de calcul pentru mai mult) și se pare (dar nu garantat strict teoretic!) că nici măcar testul de convergență necesar nu este îndeplinit pentru această serie. Puteți vedea rezultatul epic aici >>> După asemenea nenorociri, nu am putut rezista tentației de a testa limita în același mod amator.

Folosește-l pentru sănătatea ta, soluția este legală!

Și acesta este puiul tău de elefant:

Exemplul 20

Investigați convergența seriei

Dacă ești bine inspirat de ideile acestei lecții, atunci te poți descurca cu acest exemplu! Este mult mai simplu decât precedentul ;-)

Călătoria noastră s-a încheiat cu o notă strălucitoare și sperăm că a lăsat o impresie de neuitat tuturor. Cei care doresc să continue banchetul pot merge pe pagină Sarcini gata la matematica superioarăși descărcați o arhivă cu sarcini suplimentare pe acest subiect.

iti doresc succes!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2: Soluţie: comparați această serie cu o serie convergentă. Pentru toate numerele naturale, inegalitatea este adevărată, ceea ce înseamnă că, prin comparație, seria studiată convergeîmpreună cu lângă .

Exemplul 4: Soluţie: comparați această serie cu o serie armonică divergentă. Folosim criteriul de comparare limitativ:

(produsul unui infinitezimal și unul limitat este o succesiune infinitezimală)
divergeîmpreună cu seria armonică.

Exemplul 5: Soluţie: să luăm factorul constant al termenului general în afara sumei convergența sau divergența seriei nu depinde de el:

Să comparăm această serie cu o progresie geometrică convergentă infinit descrescătoare. Sirul este limitat: , deci pentru toate numerele naturale inegalitatea . Și, prin urmare, pe baza comparației, seria în studiu convergeîmpreună cu lângă .

Exemplul 8: Soluţie: comparați această serie cu o serie divergentă (factorul constant al termenului comun nu afectează convergența sau divergența seriei). Folosim criteriul limitativ pentru comparație și limita remarcabilă:

Se obține un număr finit diferit de zero, ceea ce înseamnă că seria în studiu divergeîmpreună cu lângă .

Exemplul 13: Soluţie

Astfel, seria în studiu converge.

Exemplul 14: Soluţie: folosim semnul lui d'Alembert:

Să înlocuim infinitezimale cu unele echivalente: pentru .
Să folosim a doua limită remarcabilă: .

Prin urmare, seria în studiu diverge.
Înmulțiți și împărțiți cu expresia conjugată:

Se obține un număr finit diferit de zero, ceea ce înseamnă că seria în studiu divergeîmpreună cu lângă .

Exemplul 20: Soluţie: Să verificăm condiția necesară pentru convergența seriei. În cursul calculelor, folosind o tehnică standard, organizăm a doua limită remarcabilă:

Astfel, seria în studiu diverge.

Matematică superioară pentru studenții prin corespondență și mai multe >>>

(Mergeți la pagina principală)

6. Semnul lui Raabe

Teorema 6. Dacă există o limită:

atunci: 1) când seria (A) converge, 2) când seria diverge.

Dovada. Se demonstrează o afirmație auxiliară:

Declarația 1. (12)

Dovada. Luați în considerare expresia:

Am luat logaritmii ambelor părți ale egalității:

Revenit la limită:

Din egalitatea (11), pe baza definiției limitei unei secvențe numerice, rezultă că pentru orice mic arbitrar există astfel încât pentru inegalitate:

1) Să, atunci. Desemnată, apoi, începând cu numărul, din inegalitatea (13) rezultă că următoarea inegalitate este valabilă:

ia orice număr. Conform (12), pentru cele suficient de mari, următoarele vor fi adevărate:

De aici, conform (14), rezultă:

În dreapta este raportul a doi termeni consecutivi ai seriei Dirichlet la; după aplicarea teoremei 4, convergența seriei (A) devine evidentă.

2) Fie, deci, similar punctului (1), din (13) rezultă următoarea inegalitate:

De aici am găsit imediat:

după aplicarea teoremei 4 seriei (A) și seriei Dirichlet, divergența seriei (A) devine vizibilă.

Observație 5. Testul lui Raabe este mult mai puternic decât testul lui D'Alembert

Observația 6. Testul lui Raabe nu răspunde la întrebarea pusă.

11) Explorați seria folosind semnele D’Alembert și Raabe:

Testul lui D'Alembert nu răspunde la întrebarea convergenţei unei serii date. Seria este examinată folosind testul Raabe:

Rezultatul a fost incertitudinea de tip, așa că am aplicat prima regulă L'Hopital-Bernoulli:

Rad diverge la, converge la, dar testul lui Raabe nu răspunde la întrebarea convergenței.

12) Explorați seria folosind testul lui Raabe:

Rezultatul este incertitudinea de tip, dar înainte de aplicarea primei reguli L'Hopital-Bernoulli se găsește derivata expresiei, pentru aceasta se logaritmizează și se caută derivata logaritmului:

Acum puteți găsi derivata expresiei:

Înapoi la limită. Se aplică prima regulă L'Hopital-Bernoulli:

Se ia în considerare expresia. După aplicarea primei reguli L'Hopital-Bernoulli:

Rezultă că:

Înlocuiți această egalitate în expresia:

De aici, conform criteriului lui Raabe, rezultă că această serie diverge la și converge la, dar criteriul lui Raabe nu răspunde la întrebarea convergenței seriei.

Înțelegerea suplimentară a versatilității seriilor de numere

Luați pentru semnul Kummer în spațiul seriei diferite și a seriei armonice (3.1). Cine se va căsători? Otrimana semnului imposibilității poate fi formulată în acest mod. Teoremă (semnul Raabe). O serie, stricat, dacă găsești așa ceva...

Serii alternante

Teoremă (testul Leibniz). O serie alternantă converge dacă: Secvența valorilor absolute a termenilor seriei scade monoton, adică ; Termenul general al seriei tinde spre zero:. În acest caz, suma S a seriei satisface inegalitățile. Note...

Teorema 1 (testul lui D'Alembert). Să fie dată o serie în care totul > 0. Dacă există o limită, atunci la 0<1 ряд сходится, а при >Rândul 1 converge.

Serii alternante si alternante

Teorema 2 (testul Cauchy). Să fie dată o serie, . (1) Dacă există o limită finită, atunci 1) seria converge 2) seria diverge.

Serii alternante si alternante

Teorema 3 (test integral pentru convergență). Fie definită funcția f(x), continuă, pozitivă și nu crescătoare pe rază. Apoi: 1) seria de numere converge...

Serii alternante si alternante

Definiţie. Seria de numere a1 - a2 + a3 - … + (- 1) n - 1an + …, unde toate numerele an sunt pozitive, se numește alternante. Exemplu. Seria alternează, dar seria nu alternează...

Integrare ecuații diferențiale prin folosire serie de putere

În aplicațiile matematice, precum și în rezolvarea unor probleme din economie, statistică și alte domenii, sunt luate în considerare sume cu un număr infinit de termeni. Aici vom da o definiție a ceea ce se înțelege prin astfel de sume...

1.D.P.: Să extindem AC la AM1=OC și BD la DN1=OB. 2. Conform teoremei lui Pitagora din?M1ON1: M1N1=10. 3. Să executăm M1KN1D. MK?AK=K. 4. ?BOC=?KAM1 (după următoarele criterii: BO=KM1, OC=AM1, prin construcţie, BOC=KM1A=90, situat transversal la BN1 KM1, M1C - secant) AK=BC. 5. M1KDN1 - paralelogram, DK=M1N1 =10; MN =DK/2= (AD+BC)/2=5...

Diverse metode de rezolvare a problemelor planimetrice

1.D.P.: Să extindem AC la AM1=OC și BD la DN=OB. 2. Considerăm?OMN, NOM=90°, apoi după teorema lui Pitagora în?MON MN=10. 3. Să așteptăm: AEMN, DFMN, OKBC. 4. ?AME = ?KOC şi ?DFN=?BOK (după criteriul II) ME=KC, FN=BKMN=BC+AD=a+b=10MN=10/2=5. Raspuns: MN=5...

Rezolvarea unei probleme de valoare la limită

Să considerăm o problemă neliniară a valorii limită: (1) (2) Există o reprezentare (3) Operatorul este simetric liniar mărginit; are un spectru în interval; - este pozitivă, adică pentru orice inegalitate este valabilă...

Să se dea o serie pozitivă: , unde. (A) Teorema 5. Dacă există o limită: , (5) atunci: 1) când seria (A) converge, 2) când seria diverge. Dovada. Din egalitatea (5) pe baza definirii limitei unei secvente numerice rezulta...

Convergența seriilor pozitive

Teorema 6. Dacă există o limită: (18) atunci: 1) când seria (A) converge, 2) când - diverge. Dovada. Demonstrat folosind schema lui Kummer. Lăsați-l să fie. Luăm în considerare o serie. Compară-l cu o serie care diverge...

Stabilitatea Lyapunov

Lasă --- solutie un sistem de ecuații definit pe un anumit interval și --- o soluție la același sistem de ecuații definit pe un anumit interval. Vom spune că o soluție este o continuare a unei soluții dacă...

În testul lui Kummer, să luăm seria armonică ca o serie divergentă (12.1)

În acest caz avem

Testul de convergență rezultat poate fi formulat după cum urmează.

Teoremă (testul de convergență Raabe). Rând

converge dacă există astfel încât

Această serie diverge dacă, pornind de la unii

Forma limitativă a testului lui Raabe este următoarea:

atunci seria (12.9) converge, iar dacă

apoi diverge.

Testul de convergență al lui Raabe este semnificativ mai sensibil decât testul similar de convergență D'Alembert. Într-adevăr, unde semnul lui d'Alembert, luat în al lui forma suprema, stabilește convergența seriei (12.9):

acolo Raabe dă un semn.

În mod similar, pentru o serie a cărei divergență este indicată de testul lui D’Alembert, conform testului lui Raabe va exista

1. Luați în considerare seria

Iată deci pentru fiecare x specific

iar aplicarea testului lui d'Alembert este ineficientă aici. Raabe dă semnul

De aici rezultă clar că atunci când seria luată în considerare converge și când diverge. Să remarcăm în treacăt că atunci când seria (12.10) se transformă într-una armonică, care, după cum se știe, diverge. Faptul că criteriul lui Raabe în forma sa originală (nelimitată) stabilește divergența seriei armonice nu poate fi considerat un rezultat independent, întrucât enunțul în sine care constituie caracteristica lui Raabe se bazează tocmai pe această divergență.

Să compunem raportul dintre termenii învecinați din această serie:

Vom extinde Logaritmii din dreapta și rădăcini pătrate conform formulei puterii lui Taylor. În acest exemplu și în următoarele, vom folosi teste de limitare pentru convergență. Aceasta înseamnă că va trebui să creștem valorile variabilei fără limită Prin urmare, fiecare grad ulterior va fi, cu o creștere, infinitezimală de ordin mai mare față de cele precedente. Renunțând la toate puterile, pornind de la unele, vom face o eroare care va fi mică nu numai în mod absolut, ci și în comparație cu ultimul dintre termenii reținuți. Această eroare relativă va fi mai mică cu cât valoarea este mai mare și dispare în limită cu creștere nelimitată. În funcție de precizia necesară a raționamentului, vom păstra unul sau altul număr de termeni în formulele Taylor pentru funcțiile corespunzătoare. Mai departe, vom conecta prin semne expresii care diferă unele de altele în cantități mici în comparație cu acuratețea pe care o oferă termenii reținuți și cei scrisi.

În primul rând, ne limităm la termeni de logaritmi și rădăcini care conțin puteri nu mai mari decât primul. Vom avea

În consecință, testul de convergență al lui d’Alembert nu ne poate oferi niciun răspuns aici.

În cazurile în care testele lui d’Alembert și Cauchy nu dau rezultate, uneori semnele bazate pe comparație cu alte serii care converg sau diverg „mai lent” decât seria pot da un răspuns afirmativ progresie geometrică.

Prezentăm, fără dovezi, formulările a patru teste mai greoaie pentru convergența seriilor. Demonstrațiile acestor semne se bazează și pe teoremele de comparație 1–3 (Teoremele 2.2 și 2.3) ale seriei studiate cu unele serii a căror convergență sau divergență a fost deja stabilită. Aceste dovezi pot fi găsite, de exemplu, în manualul fundamental al lui G. M. Fikhtengolts (, vol. 2).

Teorema 2.6. semnul lui Raabe. Dacă pentru membrii unei serii de numere pozitive, pornind de la un anumit număr M, inegalitatea

(Rn £ 1), "n ³ M, (2,10)

apoi seria converge (diverge).

Semnul lui Raabe în forma sa extremă. Dacă membrii seriei de mai sus îndeplinesc condiţia

Observația 6. Dacă comparăm semnele lui D'Alembert și Raabe, putem arăta că al doilea este mult mai puternic decât primul.

Dacă există o limită pentru o serie

atunci succesiunea Raabe are o limită

Astfel, dacă testul lui d'Alembert oferă un răspuns la întrebarea privind convergența sau divergența seriei, atunci testul lui Raabe îl oferă și el, iar aceste cazuri sunt acoperite de doar două dintre valorile posibile ale lui R: +¥ și – ¥. Toate celelalte cazuri de R¹ 1 finit, când testul lui Raabe dă un răspuns afirmativ la întrebarea despre convergența sau divergența unei serii, corespund cazului D = 1, adică cazul în care testul lui D'Alembert nu dă un răspuns afirmativ. răspuns la întrebarea despre convergenţa sau divergenţa unei serii.

Teorema 2.7. semnul lui Kummer. Fie (сn) o succesiune arbitrară de numere pozitive. Dacă pentru membrii unei serii de numere pozitive, pornind de la un anumit număr M, inegalitatea

(Qn £ 0), "n ³ M, (2.11)

apoi seria converge .

Semnul lui Kummer în forma sa extremă. Dacă există o limită pentru seria de mai sus

apoi seria converge .

Prin urmare, din testul lui Kummer este ușor de obținut dovezi ale testelor lui D'Alembert, Raabe și Bertrand. Acesta din urmă se obține dacă luăm ca șirul (сn)

сn=nln n, "n О N,

pentru care seria

diverge (divergența acestei serii va fi prezentată în exemplele acestei secțiuni).

Teorema 2.8. Testul lui Bertrand în forma sa extremă. Dacă pentru termenii unei serii numerice pozitive șirul lui Bertrand

(2.12)

(Rn este secvența Raabe) are o limită

apoi seria converge (diverge).

Mai jos formulăm testul Gaussian - cel mai puternic din succesiunea testelor de convergență în serie dispuse în ordine crescătoare de aplicabilitate: D'Alembert, Raabe și Bertrand. Testul Gauss generalizează întreaga putere a semnelor anterioare și vă permite să studiați serii mult mai complexe, dar, pe de altă parte, aplicarea lui necesită studii mai subtile pentru a obține o expansiune asimptotică a raportului termenilor vecini ai seriei până la al doilea ordin de micime în raport cu valoarea .

Teorema 2.9. testul gaussian. Dacă pentru membrii unei serii de numere pozitive, pornind de la un anumit număr M, egalitatea

, "n ³ M, (2,13)

unde l și p sunt constante, iar tn este o valoare limitată.

a) pentru l > 1 sau l = 1 și p > 1, seria converge;

b) la l< 1 или l = 1 и р £ 1 ряд расходится.

2.5. testul integral Cauchy-Maclaurin,

semnul „telescopic” Cauchy și semnul Ermakov

Semnele de convergență ale seriilor considerate mai sus se bazează pe teoreme de comparație și sunt suficiente, adică dacă sunt îndeplinite condițiile semnului pentru o serie dată, se pot face anumite afirmații despre comportamentul acesteia, dar dacă sunt îndeplinite condițiile semnului pentru aceasta. nu sunt îndeplinite, atunci nu se poate afirma nimic despre convergența seriei, aceasta poate fie converge, fie diverge.

Testul integralei Cauchy–Maclaurin se deosebește de cele studiate mai sus prin conținut, fiind necesar și suficient, precum și ca formă, bazat pe compararea unei sume (serie) infinite cu o integrală infinită (improprie), și demonstrează relația firească dintre teoria seriilor și teoria integralelor. Această relație poate fi, de asemenea, urmărită cu ușurință folosind exemplul testelor de comparație, analogi ale cărora există pentru integralele necorespunzătoare și formulările lor coincid aproape cuvânt cu cuvânt cu formulările pentru serii. O analogie completă se observă, de asemenea, în formularea unor teste suficiente pentru convergența seriilor de numere arbitrare, care vor fi studiate în secțiunea următoare, și teste pentru convergența integralelor improprii - cum ar fi testele pentru convergența lui Abel și Dirichlet.

Mai jos vom prezenta și testul „telescopic” Cauchy și testul original de convergență a seriilor, obținut de matematicianul rus V.P. Ermakov; Testul lui Ermakov are aproximativ același domeniu de aplicare ca și testul integral Cauchy-Maclaurin, dar nu conține termenii și conceptele calculului integral în formularea sa.

Teorema 2.10. Testul Cauchy-Maclaurin. Fie membrii unei serii de numere pozitive, pornind de la un număr M, să satisfacă egalitatea

unde funcția f(x) este nenegativă și necrescătoare pe semi-linia (x ³ M). O serie de numere converge dacă și numai dacă integrala improprie converge

Adică seria converge dacă există o limită

, (2.15)

iar seria diverge dacă limita I = +¥.

Dovada. În virtutea Remarcii 3 (vezi § 1), este evident că fără pierderea generalității putem presupune M = 1, deoarece, eliminând (M – 1) termeni ai seriei și făcând înlocuirea k = (n – M + 1). ), ajungem să luăm în considerare seria , pentru care

, ,

și, în consecință, să ia în considerare integrala.

În continuare, observăm că o funcție nenegativă și necrescătoare f(x) pe semi-linia (x ³ 1) satisface condițiile de integrabilitate Riemann pe orice interval finit și, prin urmare, luarea în considerare a integralei improprie corespunzătoare are sens.

Să trecem la dovadă. Pe orice segment de unitate de lungime m £ x £ m + 1, datorită faptului că f(x) este necrescător, inegalitatea

Prin integrarea acestuia peste segment și folosind proprietatea corespunzătoare integrală definită, obținem inegalitatea

, . (2.16)

Însumând aceste inegalități termen cu termen de la m = 1 la m = n, obținem

Deoarece f (x) este o funcție nenegativă, atunci integrala

este o funcţie continuă nedescrescătoare a argumentului A. Atunci

, .

De aici și din inegalitate (15) rezultă că:

1) dacă eu< +¥ (т. е. несобственный интеграл сходится), то и неубывающая последовательность частичных сумм este mărginită, adică seria converge;

2) dacă I ​​= +¥ (adică integrala improprie diverge),

atunci și succesiunea nedescrescătoare a sumelor parțiale este de asemenea nemărginită, adică seria diverge.

Pe de altă parte, notând , din inegalitatea (16) obținem:

1) dacă S< +¥ (т. е. ряд сходится), то для неубывающей functie continua I(A), „A ³ 1 există un număr n astfel încât n + 1 ³ A și I(A) £ I(n + 1) £ Sn £ S și, prin urmare , adică integrala converge;

2) dacă S = +¥ (adică seria diverge), atunci pentru orice A suficient de mare există n £ A astfel încât I(A) ³ I(n) ³ Sn – f(1) ® +¥ (n ® ¥ ), adică integrala diverge. Q.E.D.

Prezentăm încă două semne interesante de convergență fără dovezi.

Teorema 2.11. Semnul Cauchy „telescopic”. O serie de numere pozitive ai cărei termeni sunt monoton descrescători converge dacă și numai dacă seria converge.

Teorema 2.12. semnul lui Ermakov. Fie termenii unei serii de numere pozitive astfel încât, pornind de la un număr M0, egalitățile să fie satisfăcute

an = ¦(n), "n ³ М0,

unde funcția ¦(x) este continuă pe bucăți, pozitivă și descrește monoton ca x ³ M0.

Atunci dacă există un număr M ³ M0 astfel încât pentru toate x ³ M inegalitatea

,

apoi seria converge (diverge).

2.6. Exemple de utilizare a criteriilor de convergență

Folosind teorema 2, este ușor să examinăm următoarele serii pentru convergență

(a > 0, b ³ 0; "a, b О R).

Dacă un £ 1, atunci criteriul necesar pentru convergență (proprietatea 2) este încălcat (vezi § 1).

,

prin urmare, seria diverge.

Dacă a > 1, atunci pentru cn există o estimare, din care, datorită convergenței seriei progresiei geometrice, urmează convergența seriei luate în considerare.

converge datorită testului de comparație 1 (Teorema 2.2), deoarece avem inegalitatea

,

iar seria converge ca o serie a unei progresii geometrice.

Să arătăm divergența mai multor serii, care rezultă din criteriul de comparare 2 (Corolarul 1 al Teoremei 2.2). Rând

diverge deoarece

.

diverge deoarece

.

diverge deoarece

.

(p>0)

diverge deoarece

.

converge după criteriul lui d'Alembert (Teorema 2.4). într-adevăr

.

converge conform testului lui d'Alembert. într-adevăr

.

.

converge după criteriul Cauchy (Teorema 2.5). într-adevăr

.

Să dăm un exemplu de aplicare a testului lui Raabe. Luați în considerare serialul

,

unde este denumirea (k)!! înseamnă produsul tuturor numerelor pare (impare) de la 2 la k (1 la k), dacă k este par (impar). Folosind testul lui d'Alembert, obținem

Astfel, criteriul lui D'Alembert nu ne permite să facem o afirmaţie certă despre convergenţa seriei. Să aplicăm criteriul lui Raabe:

prin urmare, seria converge.

Să dăm exemple de utilizare a testului integral Cauchy-Maclaurin.

Serii armonice generalizate

converge sau diverge simultan cu integrala improprie

Este evident că eu< +¥ при p >1 (integrala converge) și I = +¥ pentru p £ 1 (diverge). Astfel, seria originală converge și pentru p > 1 și diverge pentru p £ 1.

diverge simultan cu integrala improprie

astfel integrala diverge.

§ 3. Serii de numere alternante

3.1. Convergența absolută și condiționată a seriei

În această secțiune vom studia proprietățile seriilor ai căror membri sunt numere reale cu semn arbitrar.

Definiție 1. Seria numerică

se spune că este absolut convergent dacă seria converge

Definiția 2. O serie de numere (3.1) se numește convergentă condiționat sau neabsolut convergentă dacă seria (3.1) converge și seria (3.2) diverge.

Teorema 3.1. Dacă o serie converge absolut, atunci converge.

Dovada. În conformitate cu criteriul Cauchy (Teorema 1.1), convergența absolută a seriei (3.1) este echivalentă cu îndeplinirea relațiilor

" e > 0, $ M > 0 astfel încât " n > M, " p ³ 1 Þ

(3.3)

Deoarece se știe că modulul sumei mai multor numere nu depășește suma modulelor lor („inegalitatea triunghiulară”), atunci din (3.3) urmează inegalitatea (validă pentru aceleași numere ca în (3.3), e, M, n, p)

Îndeplinirea ultimei inegalități înseamnă îndeplinirea condițiilor criteriului Cauchy pentru seria (3.1), prin urmare, această serie converge.

Corolar 1. Fie seria (3.1) să convergă absolut. Din termenii pozitivi ai seriei (3.1), numerotându-i în ordine (cum apar în procesul de creștere a indicelui), compunem o serie de numere pozitive

, (UK = ). (3,4)

În mod similar, din modulele termenilor negativi ai seriei (3.1), numerotându-i în ordine, compunem următoarele serii numerice pozitive:

, (vm = ). (3,5)

Apoi seria (3.3) și (3.4) converg.

Dacă notăm sumele seriilor (3.1), (3.3), (3.4) cu literele A, U, V, atunci formula este valabilă

A = U – V. (3,6)

Dovada. Să notăm cu A* suma seriei (3.2). Prin Teorema 2.1 avem că toate sumele parțiale ale seriei (3.2) sunt limitate de numărul A*, iar sumele parțiale ale seriei (3.4) și (3.5) se obțin prin însumarea unora dintre termenii sumelor parțiale. din seria (3.2), este evident că acestea sunt mai limitate de numărul de A*. Apoi, introducând notația corespunzătoare, obținem inegalitățile

;

din care, în virtutea teoremei 2.1, rezultă convergența seriei (3.4) și (3.5).

(3.7)

Deoarece numerele k și m depind de n, este evident că pentru n ® ¥ atât k ® ¥, cât și m ® ¥. Apoi, trecând în egalitate (3.7) la limită (toate limitele există în virtutea Teoremei 3.1 și a ceea ce s-a dovedit mai sus), obținem

adică egalitatea (3.6) este dovedită.

Corolarul 2. Fie seria (3.1) convergând condiționat. Atunci seriile (3.4) și (3.5) diverg și formula (3.6) pentru seriile convergente condiționat nu este adevărată.

Dovada. Dacă luăm în considerare a n-a sumă parțială a seriei (3.1), atunci, ca și în demonstrația anterioară, se poate scrie

(3.8)

Pe de altă parte, pentru a n-a parțială suma seriei (3.2) poate fi scrisă în mod similar ca

(3.9)

Să presupunem contrariul, adică să converge cel puțin una dintre seriile (3.3) sau (3.4). Apoi din formula (3.8), având în vedere convergența seriei (3.1), rezultă că a doua a seriei (respectiv (3.5) sau (3.4)) converge ca diferență a două serii convergente. Și apoi din formula (3.9) rezultă că seria (3.2) converge, adică seria (3.1) converge absolut, ceea ce contrazice condițiile teoremei asupra convergenței sale condiționate.

Astfel, din (3.8) și (3.9) rezultă că din moment ce

Q.E.D.

Observație 1. Proprietatea combinației pentru serii. Suma unei serii infinite diferă semnificativ de suma unui număr finit de elemente prin faptul că implică trecerea la limită. Prin urmare, proprietățile obișnuite ale sumelor finite sunt adesea încălcate pentru serii sau sunt păstrate numai atunci când sunt îndeplinite anumite condiții.

Astfel, pentru sumele finite există o lege combinațională (asociativă), și anume: suma nu se modifică dacă elementele sumei sunt grupate în orice ordine.

Să considerăm o grupare arbitrară (fără rearanjare) a membrilor seriei numerice (3.1). Să notăm succesiunea crescătoare de numere

și introduceți notația

Apoi seria obținută prin metoda de mai sus poate fi scrisă sub formă

Teorema de mai jos, fără dovezi, adună câteva dintre cele mai importante afirmații legate de proprietate combinațională rânduri.

Teorema 3.2.

1. Dacă seria (3.1) converge și are suma A (convergența condiționată este suficientă), atunci o serie arbitrară de forma (3.10) converge și are aceeași sumă A. Adică o serie convergentă are proprietatea de combinare.

2. Convergența oricărei serii de forma (3.10) nu implică convergența seriei (3.1).

3. Dacă seria (3.10) se obține printr-o grupare specială, astfel încât în ​​interiorul fiecăreia dintre paranteze să fie termeni de un singur semn, atunci convergența acestei serii (3.10) implică convergența seriei (3.1).

4. Dacă seria (3.1) este pozitivă și orice serie de forma (3.10) converge pentru aceasta, atunci seria (3.1) converge.

5. Dacă succesiunea de termeni ai seriei (3.1) este infinitezimală (adică an) și numărul de termeni din fiecare grup - un membru al seriei (3.10) - este limitat la o constantă M (adică nk –nk–1 £ М, "k = 1, 2,…), apoi din convergența seriei (3.10) urmează convergența seriei (3.1).

6. Dacă seria (3.1) converge condiționat, atunci fără rearanjare este întotdeauna posibilă gruparea termenilor seriei astfel încât seria rezultată (3.10) să fie absolut convergentă.

Observație 2. Proprietate comutativă pentru serii. Pentru sumele numerice finite se aplică o lege comutativă și anume: suma nu se modifică cu nicio rearanjare a termenilor

unde (k1, k2, …, kn) este o permutare arbitrară din mulțimea numerelor naturale (1, 2,…, n).

Se dovedește că o proprietate similară este valabilă pentru seriile absolut convergente și nu este valabilă pentru seriile convergente condiționat.

Să existe o mapare unu-la-unu a mulțimii de numere naturale pe sine: N ® N, adică fiecărui număr natural k corespunde unui unic număr natural pk, iar setul reproduce întreaga serie naturală de numere fără lacune. Să notăm seria obținută din seria (3.1) folosind o permutare arbitrară corespunzătoare mapării de mai sus, după cum urmează:

Regulile de aplicare a proprietăților comutative ale seriei sunt reflectate în teoremele 3.3 și 3.4 prezentate mai jos fără dovezi.

Teorema 3.3. Dacă seria (3.1) converge absolut, atunci seria (3.11), obținută prin rearanjarea arbitrară a termenilor seriei (3.1), converge și ea absolut și are aceeași sumă ca și seria originală.

Teorema 3.4. teorema lui Riemann. Dacă seria (3.1) converge condiționat, atunci termenii acestei serii pot fi rearanjați astfel încât suma ei să fie egală cu orice număr predeterminat D (finit sau infinit: ±¥) sau să fie nedefinită.

Pe baza teoremelor 3.3 și 3.4, este ușor de stabilit că convergența condiționată a seriei se obține ca urmare a anulării reciproce. a n-a creștere sumă parțială pentru n ® ¥ prin adăugarea de termeni pozitivi sau negativi la sumă și, prin urmare, convergența condiționată a seriei depinde în mod semnificativ de ordinea termenilor seriei. Convergența absolută a seriei este rezultatul unei scăderi rapide a valorilor absolute ale termenilor seriei

și nu depinde de ordinea în care apar.

3.2. Rând alternativ. testul lui Leibniz

Dintre seriile alternante, se remarcă o clasă specială importantă de serii - seriale alternante.

Definiția 3. Fie o succesiune de numere pozitive bp > 0, "n О N. Apoi o serie de forma

se numește serie alternantă. Pentru serii de forma (3.12) este valabilă următoarea afirmație.

Teorema 5. Testul Leibniz. Dacă o secvență compusă din valorile absolute ale termenilor seriei alternative (3.8) scade monoton la zero

bn > bn+1, "n О N; (3.13)

atunci o astfel de serie alternativă (3.12) se numește serie Leibniz. Seria Leibniz converge mereu. Pentru restul seriei Leibniz

exista o evaluare

rn = (–1) nqnbn+1, (0 £ qn £ 1) „nОN. (3.14)

Dovada. Să scriem o sumă parțială arbitrară a seriei (3.12) cu un număr par de termeni sub forma

Prin condiția (3.13), fiecare dintre parantezele din partea dreaptă a acestei expresii este un număr pozitiv, prin urmare, pe măsură ce k crește, șirul crește monoton. Pe de altă parte, orice membru al secvenței B2k poate fi scris sub formă

B2k = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) –… – (b2k–2 – b2k–1) – b2k,

și întrucât prin condiția (3.13) există un număr pozitiv în fiecare dintre parantezele ultimei egalități, atunci evident că inegalitatea este valabilă.

B2k< b1, "k ³ 1.

Astfel, avem o secvență care este monoton crescătoare și mărginită de sus, iar o astfel de secvență, conform binecunoscutei teoreme din teoria limitelor, are o limită finită.

B2k–1 = B2k + b2k,

si tinand cont ca termenul general al seriei (dupa conditiile teoremei) tinde spre zero ca n ® ¥, obtinem

Astfel, se demonstrează că seria (3.12) în condiția (3.13) converge și suma ei este egală cu B.

Să demonstrăm estimarea (3.14). S-a arătat mai sus că sumele parțiale de ordin par B2k, crescând monoton, tind spre limita B - suma seriei.

Luați în considerare sume parțiale de ordin impar

B2k–1 = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) – … – (b2k–2 – b2k–1).

Din această expresie, este evident (deoarece condiția (3.13) este îndeplinită) că șirul scade și, prin urmare, conform celor dovedite mai sus, tinde spre limita sa B de sus. Astfel, inegalitatea este dovedită

0 < B2k < B < B2k–1 < b1. (3.15)

Dacă luăm acum în considerare restul seriei (3.12)

ca noua serie alternanta cu primul termen bp+1, apoi pentru aceasta serie, bazata pe inegalitatea (3.15), se poate scrie pentru indici pari, respectiv impari.

r2k = b2k+1 – b2k+2 + …, 0< r2k < b2k+1,

r2k–1 = – b2k + b2k+1 – …, r2k< 0, | r2k–1 | < b2k.

Astfel, s-a dovedit că restul seriei Leibniz are întotdeauna semnul primului său termen și este mai mic decât acesta în valoare absolută, adică estimarea (3.14) este satisfăcută pentru aceasta. Teorema a fost demonstrată.

3.3. Semne de convergență a serii de numere arbitrare

În această subsecțiune prezentăm, fără dovezi, suficiente teste de convergență pentru serii de numere cu termeni care sunt numere reale arbitrare (de orice semn în plus, aceste teste sunt potrivite și pentru serii cu termeni complexi);

2) secvența este o secvență care converge la zero (bp ® 0 pentru n ® ¥) cu modificare limitată.

Apoi seria (3.16) converge.

Teorema 3.9. Testul Dirichlet. Fie membrii seriei numerice (3.16) să îndeplinească condițiile:

succesiunea sumelor parțiale ale seriei este mărginită (inegalități (3.17));

2) secvența este o secvență monotonă care converge spre zero (bп ® 0 ca n ®¥).

Apoi seria (3.16) converge.

Teorema 3.10. Al doilea semn generalizat al lui Abel. Fie membrii seriei numerice (3.16) să îndeplinească condițiile:

1) seria converge;

2) secvența este o secvență arbitrară cu modificare limitată.

Apoi seria (3.16) converge.

Teorema 3.11. semnul lui Abel. Fie membrii seriei numerice (3.16) să îndeplinească condițiile:

1) seria converge;

2) secvența este o secvență mărginită monotonă.

Apoi seria (3.16) converge.

Teorema 3.12. teorema lui Cauchy. Dacă seria și converg în mod absolut, iar sumele lor sunt egale cu A și, respectiv, B, atunci o serie compusă din toate produsele de forma aibj (i = 1,2,…, ¥; j = 1,2,…,¥) , numerotat în orice ordine , converge și el absolut și suma sa este egală cu AB.

3.4. Exemple

Să luăm mai întâi în considerare câteva exemple de convergență absolută a seriei. Mai jos presupunem că variabila x poate fi orice număr real.

2) diverge la |x| > e după același criteriu D'Alembert;

3) diverge la |x| = e după criteriul lui d’Alembert în formă nelimitată, deoarece

datorită faptului că secvența exponențială din numitor tinde spre limită, crescând monoton,

(un ¹ 0 este un număr real)

1) converge absolut pentru |x/a|< 1, т. е. при |x| < |a|, так как в în acest caz, avem o serie compusă din termeni ai unei progresii geometrice descrescătoare cu numitorul q = x/a, sau conform testului radical Cauchy (Teorema 2.5);

2) diverge la |x/a| ³ 1, adică pentru |x| ³ |a|, deoarece în acest caz este încălcat criteriul necesar pentru convergență (proprietatea 2 (a se vedea § 1))

Folosind metode standard, dar am ajuns într-o fundătură cu un alt exemplu.

Care este dificultatea și unde ar putea fi o problemă? Să lăsăm frânghia cu săpun deoparte, să analizăm cu calm motivele și să ne familiarizăm cu soluții practice.

Primul și cel mai important: în majoritatea covârșitoare a cazurilor, pentru a studia convergența unei serii, este necesar să folosiți o metodă familiară, dar termenul general al seriei este plin de umplutură atât de complicată încât nu este deloc evident ce să faceți cu ea . Și mergi în cercuri: primul semn nu funcționează, al doilea nu funcționează, a treia, a patra, a cincea metodă nu funcționează, apoi curenții sunt aruncați deoparte și totul începe din nou. Acest lucru se datorează, de obicei, lipsei de experiență sau lipsurilor în alte secțiuni analiză matematică. În special, dacă alergi limitele secvențeiși dezasamblat superficial limitele funcției, atunci va fi dificil.

Cu alte cuvinte, o persoană pur și simplu nu vede metoda de decizie necesară din cauza lipsei de cunoștințe sau experiență.

Uneori, de vină este și „eclipsa”, atunci când, de exemplu, nu este îndeplinit criteriul necesar pentru convergența unei serii, dar din cauza ignoranței, neatenției sau neglijenței, acest lucru scapă din vedere. Și se dovedește ca în acea poveste în care un profesor de matematică a rezolvat o problemă a copiilor folosind secvențe recurente sălbatice și serii de numere =)

În cele mai bune tradiții, exemple vii imediat: rânduri și rudele lor - nu sunt de acord, deoarece a fost dovedit în teorie limitele secvenței. Cel mai probabil, în primul semestru vă vor scutura sufletul pentru o dovadă de 1-2-3 pagini, dar acum este suficient să arătați eșecul conditie necesara convergenta seriei, referindu-se la fapte cunoscute. Faimos? Dacă elevul nu știe că a n-a rădăcină este un lucru extrem de puternic, atunci, să zicem, seria îl va pune într-o fundătură. Deși soluția este de două ori două: , i.e. De din motive evidente ambele rânduri diverg. Un comentariu modest „aceste limite au fost dovedite în teorie” (sau chiar absența lui) este suficient pentru test, la urma urmei, calculele sunt destul de grele și cu siguranță nu aparțin secțiunii seriilor de numere.

Și după ce ați studiat următoarele exemple, veți fi doar surprins de concizia și transparența multor soluții:

Exemplul 1

Investigați convergența seriei

Soluţie: în primul rând, verificăm execuția criteriul necesar pentru convergenţă. Aceasta nu este o formalitate, ci o șansă excelentă de a trata exemplul cu „vărsare de sânge”.

„Inspecția locului incidentului” sugerează o serie divergentă (cazul unei serii armonice generalizate), dar din nou se pune întrebarea, cum să luăm în considerare logaritmul în numărător?

Exemple aproximative de sarcini la sfârșitul lecției.

Nu este neobișnuit când trebuie să efectuați un raționament în doi pași (sau chiar în trei pași):

Exemplul 6

Investigați convergența seriei

Soluţie: În primul rând, să ne ocupăm cu atenție de galimatia numărătorului. Secvență – limitată: . Apoi:

Să comparăm seria noastră cu seria. Datorită dublei inegalități tocmai obținute, pentru toate „en” următoarele vor fi adevărate:

Acum comparați seria cu o serie armonică divergentă.

Numitorul fracției Mai puțin numitorul fracției, prin urmare fracția în sine – Mai mult fracții (notați primii termeni dacă nu este clar). Astfel, pentru orice „ro”:

Aceasta înseamnă că, pe baza comparației, seria divergeîmpreună cu seria armonică.

Dacă modificăm ușor numitorul: , atunci prima parte a raționamentului va fi similară: . Dar pentru a demonstra divergența unei serii, nu putem aplica decât criteriul limitativ pentru comparație, deoarece inegalitatea este falsă.

Situația cu seriile convergente este „oglindită”, adică, de exemplu, pentru o serie se pot folosi ambele criterii de comparație (inegalitatea este adevărată), dar pentru o serie doar criteriul limitativ (inegalitatea este falsă).

Ne continuăm safariul faunei sălbatice, unde o turmă de antilope grațioase și luxuriante se profila la orizont:

Exemplul 7

Investigați convergența seriei

Soluţie: este îndeplinit criteriul necesar pentru convergență și ne punem din nou întrebarea clasică: ce să facem? În fața noastră este ceva care amintește de o serie convergentă, cu toate acestea, nu există o regulă clară aici - astfel de asociații sunt adesea înșelătoare.

Deseori, dar nu de data asta. Prin utilizarea criteriu limitativ de comparație Să comparăm seria noastră cu o serie convergentă. Când calculăm limita pe care o folosim limita minunata , unde ca infinitezimal standuri:

convergeîmpreună cu lângă .

În loc să se folosească tehnica artificială standard de înmulțire și împărțire cu „trei”, a fost posibil să se facă inițial o comparație cu o serie convergentă.
Dar aici este indicat să facem o rezervă că factorul constant al termenului general nu afectează convergența seriei. Și soluția pentru următorul exemplu este concepută exact în acest stil:

Exemplul 8

Investigați convergența seriei

Exemplu la sfârșitul lecției.

Exemplul 9

Investigați convergența seriei

Soluţie: în exemplele anterioare am folosit mărginirea sinusului, dar acum această proprietate este în afara jocului. Numitorul de fracție mai mare ordinea de crestere, decât numărătorul, deci, când argumentul sinusului și întregul termen comun infinitezimal. Condiția necesară pentru convergență, după cum înțelegeți, a fost îndeplinită, ceea ce nu ne permite să ne sustragem munca.

Să efectuăm recunoașterea: în conformitate cu echivalență remarcabilă , aruncați mental sinusul și obțineți seria. Ei bine, așa și așa...

Să luăm o decizie:

Să comparăm seria studiată cu o serie divergentă. Folosim criteriul de comparare limitativ:

Să înlocuim infinitezimalul cu unul echivalent: la .

Se obține un număr finit diferit de zero, ceea ce înseamnă că seria în studiu divergeîmpreună cu seria armonică.

Exemplul 10

Investigați convergența seriei

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

Pentru a planifica acțiuni suplimentare în astfel de exemple, eliminarea mentală a sinusului, arcsinusului, tangentei și arctangentei ajută foarte mult. Dar amintiți-vă, această oportunitate există doar dacă infinitezimal argument, nu de mult am dat peste o serie provocatoare:

Exemplul 11

Investigați convergența seriei
.

Soluţie: Nu are rost să folosiți limitarea arctangente aici și nici echivalența nu funcționează. Soluția este surprinzător de simplă:


Seria în studiu diverge, întrucât nu este îndeplinit criteriul necesar pentru convergența seriei.

Al doilea motiv„Problema cu sarcina” este că membrul comun este destul de sofisticat, ceea ce provoacă dificultăți de natură tehnică. În linii mari, dacă seriale discutate mai sus aparțin categoriei „cine știe”, atunci acestea se încadrează în categoria „cine știe”. De fapt, aceasta se numește complexitate în sensul „obișnuit”. Nu toată lumea poate rezolva corect mai multe factoriale, grade, rădăcini și alți locuitori ai savanei. Cele mai mari probleme sunt, desigur, factorii:

Exemplul 12

Investigați convergența seriei

Cum să ridici factorial la putere? Uşor. Conform regulii operațiunilor cu puteri, este necesar să se ridice fiecare factor al produsului la o putere:

Și, desigur, atenția și atenția din nou însuși semnul lui d’Alembert funcționează în mod tradițional:

Astfel, seria în studiu converge.

Vă reamintesc de o tehnică rațională de eliminare a incertitudinii: când este clar ordinea de crestere numărător și numitor - nu este nevoie să suferiți și să deschideți parantezele.

Exemplul 13

Investigați convergența seriei

Bestia este foarte rară, dar apare și ar fi nedrept să o ignorăm cu un obiectiv de cameră.

Ce este factorial cu semn dublu de exclamare? Factorialul „termină” produsul numerelor pare pozitive:

În mod similar, factorialul „închide” produsul numerelor impare pozitive:

Analizați care este diferența față de și

Exemplul 14

Investigați convergența seriei

Și în această sarcină, încercați să nu vă confundați cu grade, echivalențe remarcabileŞi limite minunate.

Exemple de soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Dar elevul este hrănit nu numai de tigri, ci și leoparzii vicleni își vânează prada:

Exemplul 15

Investigați convergența seriei

Soluţie: criteriul necesar pentru convergență, criteriul limitativ și testele D’Alembert și Cauchy dispar aproape instantaneu. Dar cel mai rău lucru este că semnul inegalităților care ne-a ajutat în mod repetat este neputincios. Într-adevăr, compararea cu o serie divergentă este imposibilă, deoarece inegalitatea incorect - multiplicatorul logaritmului crește doar numitorul, scăzând fracția în sine în raport cu o fracţiune. Si alta problema globala: de ce suntem inițial siguri că seria noastră trebuie neapărat să diverge și să fie comparat cu unele serii divergente? Dacă se înțelege deloc?

Caracteristica integrală? Integrală necorespunzătoare trezește o stare de jale. Acum, dacă am avea un rând ... atunci da. Stop! Așa se nasc ideile. Formulăm o soluție în doi pași:

1) Mai întâi examinăm convergența seriei . Noi folosim caracteristică integrală:

Integrand continuu pe

Astfel, serialul diverge împreună cu integrala improprie corespunzătoare.

2) Să comparăm seria noastră cu seria divergentă . Folosim criteriul de comparare limitativ:

Se obține un număr finit diferit de zero, ceea ce înseamnă că seria în studiu divergeîmpreună cu un număr .

Și nu există nimic neobișnuit sau creativ într-o astfel de decizie - așa ar trebui să fie decisă!

Vă propun să elaborați singur următoarea procedură în doi pași:

Exemplul 16

Investigați convergența seriei

Un student cu ceva experiență în majoritatea cazurilor vede imediat dacă o serie converge sau diverge, dar se întâmplă ca un prădător să se camufleze inteligent în tufișuri:

Exemplul 17

Investigați convergența seriei

Soluţie: la prima vedere, nu este deloc clar cum se comportă această serie. Și dacă în fața noastră este ceață, atunci este logic să începem cu o verificare brută a condiției necesare pentru convergența seriei. Pentru a elimina incertitudinea, folosim un nescufundabil metodă de înmulțire și împărțire prin expresia sa conjugată:

Semnul necesar de convergență nu a funcționat, dar l-a scos la lumină pe tovarășul nostru de Tambov. În urma transformărilor efectuate s-a obţinut o serie echivalentă , care la rândul său seamănă puternic cu o serie convergentă.

Scriem soluția finală:

Să comparăm această serie cu o serie convergentă. Folosim criteriul de comparare limitativ:

Înmulțiți și împărțiți cu expresia conjugată:

Se obține un număr finit diferit de zero, ceea ce înseamnă că seria în studiu convergeîmpreună cu lângă .

Unii s-ar fi întrebat, de unde au venit lupii în safariul nostru african? Nu stiu. Probabil l-au adus. Următoarea piele de trofeu vă puteți obține:

Exemplul 18

Investigați convergența seriei

Exemplu de soluție la sfârșitul lecției

Și, în sfârșit, încă un gând pe care mulți studenți îl au în disperare: Nu ar trebui să folosim un test mai rar pentru convergența seriei?? Testul lui Raabe, testul lui Abel, testul lui Gauss, testul lui Dirichlet și alte animale necunoscute. Ideea merge, dar exemple reale se realizează foarte rar. Personal, în toți anii de practică la care am apelat doar semnul lui Raabe, când nimic din arsenalul standard nu a ajutat cu adevărat. Voi reproduce pe deplin cursul căutării mele extreme:

Exemplul 19

Investigați convergența seriei

Soluţie: Fără îndoială un semn al lui d'Alembert. În timpul calculelor, folosesc în mod activ proprietățile gradelor, precum și a doua limită minunată:

Atât pentru tine. Semnul lui D'Alembert nu a dat un răspuns, deși nimic nu prefigura un asemenea rezultat.

După ce am scotocit prin cartea de referință, am găsit o limită puțin cunoscută dovedită în teorie și am aplicat testul Cauchy radical mai puternic:

Iată două pentru tine. Și, cel mai important, este complet neclar dacă seria converge sau diverge (o situație extrem de rară pentru mine). Semn necesar de comparație? Fără prea multe speranțe - chiar dacă îmi dau seama de neconceput ordinea creșterii numărătorului și numitorului, acest lucru nu garantează încă o recompensă.

Este un damembert complet, dar cel mai rău lucru este că rândul trebuie rezolvat. Trebuie. La urma urmei, aceasta va fi prima dată când renunț. Și apoi mi-am amintit că se pare că mai sunt câteva semne puternice. În fața mea nu mai era un lup, nici un leopard și nici un tigru. Era un elefant uriaș care își flutura trunchiul mare. A trebuit să iau un lansator de grenade:

semnul lui Raabe

Luați în considerare o serie de numere pozitive.
Dacă există o limită , că:
a) Când rând diverge. Mai mult, valoarea rezultată poate fi zero sau negativă
b) Când rând converge. În special, seria converge la .
c) Când Semnul lui Raabe nu dă un răspuns.

Tragem o limită și simplificăm cu atenție și cu grijă fracția:


Da, imaginea este, ca să spun ușor, neplăcută, dar nu mai sunt surprins astfel de limite cu ajutorul Regulile lui L'Hopital, iar primul gând, după cum sa dovedit mai târziu, s-a dovedit a fi corect. Dar la început am răsucit și am răsucit limita timp de aproximativ o oră folosind metode „obișnuite”, dar incertitudinea nu a vrut să fie eliminată. Iar mersul în cerc, după cum sugerează experiența, este un semn tipic că a fost aleasă o soluție greșită.

A trebuit să apelez la înțelepciunea populară rusă: „Dacă totul nu reușește, citiți instrucțiunile”. Iar când am deschis volumul al 2-lea din Fichtenholtz, spre marea mea bucurie am descoperit un studiu dintr-o serie identică. Și apoi soluția a urmat exemplul.