Grafice online. Cum să reprezentați grafic o funcție Reprezentați grafic o funcție liniară

Anterior, am studiat alte funcții, de exemplu liniare, să ne amintim forma sa standard:

de aici diferența fundamentală evidentă – în funcția liniară X se află în gradul I, iar în noua funcție pe care începem să studiem, X stă la a doua putere.

Reamintim că graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă, iar graficul unei funcții, așa cum vom vedea, este o curbă numită parabolă.

Să începem prin a afla de unde a venit formula. Explicația este următoarea: dacă ni se dă un pătrat cu latura O, atunci îi putem calcula aria astfel:

Dacă modificăm lungimea laturii unui pătrat, atunci aria lui se va schimba.

Deci, acesta este unul dintre motivele pentru care funcția este studiată

Amintiți-vă că variabila X- aceasta este o variabilă independentă, sau argument într-o interpretare fizică, poate fi, de exemplu, timpul; Distanța este, dimpotrivă, o variabilă dependentă, depinde de timp. Variabila sau funcția dependentă este o variabilă la.

Aceasta este legea corespondenței, conform căreia fiecare valoare X se atribuie o singură valoare la.

Orice lege de corespondență trebuie să satisfacă cerința unicității de la argument la funcție. Într-o interpretare fizică, acest lucru pare destul de clar pe baza exemplului dependenței distanței de timp: în fiecare moment de timp ne aflăm la o anumită distanță de punctul de plecare și este imposibil, în același timp, la momentul t să fim atât la 10 cât şi la 20 de kilometri de la începutul călătoriei.

În același timp, fiecare valoare a funcției poate fi atinsă cu mai multe valori de argument.

Deci, trebuie să construim un grafic al funcției, pentru aceasta trebuie să facem un tabel. Apoi studiați funcția și proprietățile ei folosind graficul. Dar chiar înainte de a construi un grafic pe baza tipului de funcție, putem spune ceva despre proprietățile acesteia: este evident că la nu poate lua valori negative, deoarece

Deci, să facem un tabel:

Orez. 1

Din grafic este ușor de observat următoarele proprietăți:

Axă la- aceasta este axa de simetrie a graficului;

Vârful parabolei este punctul (0; 0);

Vedem că funcția acceptă doar valori nenegative;

În intervalul în care funcția scade, iar pe intervalul în care funcția crește;

Funcția capătă cea mai mică valoare la vârf, ;

Nu există cea mai mare valoare a unei funcții;

Exemplul 1

Stare:

Soluţie:

Din moment ce X prin schimbarea condiției pe un anumit interval, putem spune despre funcție că aceasta crește și se modifică pe intervalul . Funcția are o valoare minimă și o valoare maximă pe acest interval

Orez. 2. Graficul funcției y = x 2 , x ∈

Exemplul 2

Stare: Găsiți cel mai mare și cea mai mică valoare Caracteristici:

Soluţie:

X se modifică pe interval, ceea ce înseamnă la scade pe intervalul while si creste pe intervalul while .

Deci, limitele schimbării X, și limitele schimbării la, și, prin urmare, pe un interval dat există atât o valoare minimă a funcției, cât și o valoare maximă

Orez. 3. Graficul funcției y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

Să ilustrăm faptul că aceeași valoare a funcției poate fi obținută cu mai multe valori de argument.

Să alegem un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan și să trasăm valorile argumentului pe axa absciselor X, iar pe ordonată - valorile funcției y = f(x).

Graficul funcției y = f(x) este mulțimea tuturor punctelor ale căror abscise aparțin domeniului de definire a funcției, iar ordonatele sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției.

Cu alte cuvinte, graficul funcției y = f (x) este mulțimea tuturor punctelor planului, coordonatele X, la care satisfac relatia y = f(x).

În fig. 45 și 46 prezintă grafice ale funcțiilor y = 2x + 1Şi y = x 2 - 2x.

Strict vorbind, ar trebui să distingem între graficul unei funcții (exact definiție matematică care a fost dat mai sus) și o curbă desenată, care oferă întotdeauna doar o schiță mai mult sau mai puțin precisă a graficului (și chiar și atunci, de regulă, nu întregul grafic, ci doar o parte a acestuia, situată în partea finită a avion). În cele ce urmează, totuși, vom spune în general „grafic” mai degrabă decât „schiță grafică”.

Folosind un grafic, puteți găsi valoarea unei funcții într-un punct. Și anume, dacă punctul x = a aparține domeniului de definire a funcției y = f(x), apoi pentru a găsi numărul fa)(adică valorile funcției la punctul x = a) ar trebui să faci asta. Este necesar prin punctul de abscisă x = a trageți o linie dreaptă paralelă cu axa ordonatelor; această linie va intersecta graficul funcției y = f(x) la un moment dat; ordonata acestui punct va fi, în virtutea definiţiei graficului, egală cu fa)(Fig. 47).

De exemplu, pentru funcție f(x) = x 2 - 2x folosind graficul (Fig. 46) găsim f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 etc.

Un grafic al funcției ilustrează clar comportamentul și proprietățile unei funcții. De exemplu, luând în considerare fig. 46 este clar că funcţia y = x 2 - 2x ia valori pozitive când X< 0 iar la x > 2, negativ - la 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x acceptă la x = 1.

Pentru a reprezenta grafic o funcție f(x) trebuie să găsiți toate punctele avionului, coordonatele X,la care satisfac ecuația y = f(x). În cele mai multe cazuri, acest lucru este imposibil de făcut, deoarece există un număr infinit de astfel de puncte. Prin urmare, graficul funcției este reprezentat aproximativ - cu o precizie mai mare sau mai mică. Cea mai simplă este metoda de a reprezenta un grafic folosind mai multe puncte. Constă în faptul că argumentul X dați un număr finit de valori - să spunem, x 1, x 2, x 3,..., x k și creați un tabel care include valorile funcției selectate.

Tabelul arată astfel:

După ce am compilat un astfel de tabel, putem contura mai multe puncte pe graficul funcției y = f(x). Apoi, conectând aceste puncte cu o linie netedă, obținem o vedere aproximativă a graficului funcției y = f(x).

Trebuie remarcat, totuși, că metoda de reprezentare în mai multe puncte este foarte nesigură. De fapt, comportamentul graficului dintre punctele dorite și comportamentul acestuia în afara segmentului dintre punctele extreme luate rămâne necunoscut.

Exemplul 1. Pentru a reprezenta grafic o funcție y = f(x) cineva a compilat un tabel de valori ale argumentelor și ale funcției:

Cele cinci puncte corespunzătoare sunt prezentate în Fig. 48.

Pe baza locației acestor puncte, a concluzionat că graficul funcției este o linie dreaptă (prezentată în Fig. 48 cu o linie punctată). Această concluzie poate fi considerată de încredere? Cu excepția cazului în care există considerații suplimentare care să susțină această concluzie, cu greu poate fi considerată de încredere. de încredere.

Pentru a fundamenta afirmația noastră, luați în considerare funcția

Calculele arată că valorile acestei funcții la punctele -2, -1, 0, 1, 2 sunt descrise exact de tabelul de mai sus. Cu toate acestea, graficul acestei funcții nu este deloc o linie dreaptă (este prezentat în Fig. 49). Un alt exemplu ar fi funcția y = x + l + sinπx; semnificațiile sale sunt descrise și în tabelul de mai sus.

Aceste exemple arată că, în forma sa „pură”, metoda de a reprezenta un grafic folosind mai multe puncte este nesigură. Prin urmare, pentru a reprezenta graficul unei funcții date, de regulă, procedați după cum urmează. În primul rând, studiem proprietățile acestei funcții, cu ajutorul căreia putem construi o schiță a graficului. Apoi, calculând valorile funcției în mai multe puncte (ale căror alegere depinde de proprietățile stabilite ale funcției), se găsesc punctele corespunzătoare ale graficului. Și în final, o curbă este trasată prin punctele construite folosind proprietățile acestei funcții.

Ne vom uita la unele (cele mai simple și mai frecvent utilizate) proprietăți ale funcțiilor folosite pentru a găsi o schiță grafică mai târziu, dar acum ne vom uita la câteva metode utilizate în mod obișnuit pentru construirea de grafice.

Graficul funcției y = |f(x)|.

Adesea este necesar să reprezentați o funcție y = |f(x)|, unde f(x) - funcţie dată. Să vă reamintim cum se face acest lucru. Prin definirea valorii absolute a unui număr, putem scrie

Aceasta înseamnă că graficul funcției y =|f(x)| poate fi obținută din grafic, funcție y = f(x) astfel: toate punctele de pe graficul funcţiei y = f(x), ale căror ordonate sunt nenegative, trebuie lăsate neschimbate; mai departe, în locul punctelor graficului funcției y = f(x) având coordonate negative, ar trebui să construiți punctele corespunzătoare pe graficul funcției y = -f(x)(adică o parte a graficului funcției
y = f(x), care se află sub axă X, ar trebui să fie reflectată simetric în jurul axei X).

Exemplul 2. Reprezentați grafic funcția y = |x|.

Să luăm graficul funcției y = x(Fig. 50, a) și o parte a acestui grafic la X< 0 (întins sub ax X) reflectată simetric în raport cu axa X. Ca rezultat, obținem un grafic al funcției y = |x|(Fig. 50, b).

Exemplul 3. Reprezentați grafic funcția y = |x 2 - 2x|.

În primul rând, să diagramăm funcția y = x 2 - 2x. Graficul acestei funcții este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, vârful parabolei are coordonatele (1; -1), graficul său intersectează axa x în punctele 0 și 2. În intervalul (0; 2) funcția ia valori negative, prin urmare această parte a graficului reflectată simetric față de axa absciselor. Figura 51 prezintă graficul funcției y = |x 2 -2x|, pe baza graficului funcției y = x 2 - 2x

Graficul funcției y = f(x) + g(x)

Luați în considerare problema construirii unui grafic al unei funcții y = f(x) + g(x). dacă sunt date grafice de funcții y = f(x)Şi y = g(x).

Rețineți că domeniul de definiție al funcției y = |f(x) + g(x)| este mulțimea tuturor acelor valori ale lui x pentru care sunt definite ambele funcții y = f(x) și y = g(x), adică acest domeniu de definiție este intersecția domeniilor de definiție, funcțiile f(x) și g(x).

Lasă punctele (x 0 , y 1) Și (x 0, y 2) aparțin respectiv graficelor de funcții y = f(x)Şi y = g(x), adică y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Atunci punctul (x0;. y1 + y2) aparține graficului funcției y = f(x) + g(x)(pentru f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. și orice punct din graficul funcției y = f(x) + g(x) poate fi obtinut in acest fel. Prin urmare, graficul funcției y = f(x) + g(x) pot fi obținute din graficele de funcții y = f(x). Şi y = g(x)înlocuind fiecare punct ( x n, y 1) grafică funcțională y = f(x) punct (x n, y 1 + y 2), Unde y 2 = g(x n), adică prin deplasarea fiecărui punct ( x n, y 1) graficul funcției y = f(x) de-a lungul axei la prin suma y 1 = g(x n). În acest caz, sunt luate în considerare numai astfel de puncte X n pentru care sunt definite ambele funcții y = f(x)Şi y = g(x).

Această metodă de reprezentare a unei funcții y = f(x) + g(x) se numește adunare de grafice de funcții y = f(x)Şi y = g(x)

Exemplul 4. În figură, un grafic al funcției a fost construit folosind metoda de adunare a graficelor
y = x + sinx.

La trasarea unei funcții y = x + sinx am crezut că f(x) = x, O g(x) = sinx. Pentru a reprezenta graficul funcției, selectăm puncte cu abscise -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Valori f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Să calculăm la punctele selectate și să plasăm rezultatele în tabel.

Funcția de construire

Oferim atentiei dumneavoastra un serviciu de realizare online a graficelor de functii, toate drepturile la care apartin companiei Desmos. Utilizați coloana din stânga pentru a introduce funcții. Puteți introduce manual sau folosind tastatura virtuală din partea de jos a ferestrei. Pentru a mări fereastra cu graficul, puteți ascunde atât coloana din stânga, cât și tastatura virtuală.

Beneficiile graficelor online

Afișarea vizuală a funcțiilor introduse
Construirea de grafice foarte complexe
Construcția graficelor specificate implicit (de exemplu, elipsa x^2/9+y^2/16=1)
Posibilitatea de a salva diagrame și de a primi un link către ele, care devine disponibil pentru toată lumea pe Internet
Controlul scalei, culoarea liniei
Posibilitatea de a trasa grafice pe puncte, folosind constante
Trasarea mai multor grafice de funcții simultan
Trasarea în coordonate polare (utilizați r și θ(\theta))

Cu noi este ușor să construiți grafice de complexitate variată online. Construcția se face instantaneu. Serviciul este solicitat pentru găsirea punctelor de intersecție ale funcțiilor, pentru reprezentarea graficelor pentru a le muta în continuare într-un document Word ca ilustrații atunci când rezolvați probleme și pentru analiza caracteristicilor comportamentale ale graficelor de funcții. Browserul optim pentru lucrul cu diagrame de pe această pagină a site-ului este Google Chrome. Funcționarea corectă nu este garantată atunci când utilizați alte browsere.