Demonstrați testul bisectoarei. Elementele unui triunghi. Bisectoare. Proprietatea principală a bisectoarei unghiului

În această lecție, vom analiza în detaliu proprietățile punctelor situate pe bisectoarea unui unghi și punctele care se află pe bisectoarea perpendiculară pe un segment.

Subiect: Cercul

Lecția: Proprietățile bisectoarei unui unghi și bisectoarei perpendiculare a unui segment

Să luăm în considerare proprietățile unui punct situat pe bisectoarea unui unghi (vezi Fig. 1).

Orez. 1

Unghiul este dat, bisectoarea sa este AL, punctul M se află pe bisectoare.

Teorema:

Dacă punctul M se află pe bisectoarea unghiului, atunci este echidistant de laturile unghiului, adică distanțele de la punctul M la AC și la BC ale laturilor unghiului sunt egale.

Dovada:

Luați în considerare triunghiuri și . Acestea sunt triunghiuri dreptunghiulare și sunt egale pentru că... au o ipotenuză comună AM, iar unghiurile sunt egale, deoarece AL este bisectoarea unghiului. Astfel, triunghiurile dreptunghiulare sunt egale în ipotenuză și unghi ascuțit, rezultă că , care este ceea ce trebuia demonstrat. Astfel, un punct de pe bisectoarea unui unghi este echidistant de laturile acelui unghi.

Teorema inversă este adevărată.

Dacă un punct este echidistant de laturile unui unghi nedezvoltat, atunci se află pe bisectoarea sa.

Orez. 2

Este dat un unghi nedezvoltat, punctul M, astfel încât distanța de la acesta până la laturile unghiului să fie aceeași (vezi Fig. 2).

Demonstrați că punctul M se află pe bisectoarea unghiului.

Dovada:

Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei. Din punctul M trasăm perpendicularele MK pe latura AB și MR pe latura AC.

Luați în considerare triunghiuri și . Acestea sunt triunghiuri dreptunghiulare și sunt egale pentru că... au o ipotenuză comună AM, catetele MK și MR sunt egale prin condiție. Astfel, triunghiurile dreptunghiulare sunt egale în ipotenuză și catete. Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea elementelor corespunzătoare se află laturile egale unghiuri egale, Astfel, Prin urmare, punctul M se află pe bisectoarea unghiului dat.

Direct și inversul teoremei pot fi combinate.

Teorema

Bisectoarea unui unghi nedezvoltat este locul punctelor echidistante de laturile unui unghi dat.

Teorema

Bisectoarele AA 1, BB 1, СС 1 ale triunghiului se intersectează într-un punct O (vezi Fig. 3).

Orez. 3

Dovada:

Să considerăm mai întâi două bisectoare BB 1 și CC 1. Se intersectează, punctul de intersecție O există. Pentru a demonstra acest lucru, să presupunem contrariul - chiar dacă aceste bisectoare nu se intersectează, caz în care sunt paralele. Atunci linia dreaptă BC este o secantă, iar suma unghiurilor , aceasta contrazice faptul că în întregul triunghi suma unghiurilor este .

Deci, punctul O al intersecției a două bisectoare există. Să luăm în considerare proprietățile sale:

Punctul O se află pe bisectoarea unghiului, ceea ce înseamnă că este echidistant de laturile sale BA și BC. Dacă OK este perpendicular pe BC, OL este perpendicular pe BA, atunci lungimile acestor perpendiculare sunt egale - . De asemenea, punctul O se află pe bisectoarea unghiului și este echidistant de laturile sale CB și CA, perpendicularele OM și OK sunt egale.

Am obținut următoarele egalități:

, adică toate cele trei perpendiculare căzute din punctul O către laturile triunghiului sunt egale între ele.

Ne interesează egalitatea perpendicularelor OL și OM. Această egalitate spune că punctul O este echidistant de laturile unghiului, rezultă că se află pe bisectoarea sa AA 1.

Astfel, am demonstrat că toate cele trei bisectoare ale unui triunghi se intersectează într-un punct.

Să trecem la considerarea segmentului, bisectoarei sale perpendiculare și proprietăților punctului care se află pe bisectoarea perpendiculară.

Este dat un segment AB, p este bisectoarea perpendiculară. Aceasta înseamnă că dreapta p trece prin mijlocul segmentului AB și este perpendiculară pe acesta.

Teorema

Orez. 4

Orice punct situat pe bisectoarea perpendiculară este echidistant de capetele segmentului (vezi Fig. 4).

Demonstrează asta

Dovada:

Luați în considerare triunghiuri și . Sunt dreptunghiulare și egale, pentru că. au o latură comună OM, iar laturile AO și OB sunt egale prin condiție, deci avem două triunghi dreptunghic, egal pe două picioare. Rezultă că ipotenuzele triunghiurilor sunt și ele egale, adică ceea ce s-a cerut să fie demonstrat.

Rețineți că segmentul AB este o coardă comună pentru multe cercuri.

De exemplu, primul cerc cu un centru în punctul M și raza MA și MB; al doilea cerc cu centrul în punctul N, raza NA și NB.

Astfel, am demonstrat că, dacă un punct se află pe bisectoarea perpendiculară a unui segment, acesta este echidistant de capetele segmentului (vezi Fig. 5).

Orez. 5

Teorema inversă este adevărată.

Teorema

Dacă un anumit punct M este echidistant de capetele unui segment, atunci el se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment.

Având în vedere un segment AB, o bisectoare perpendiculară pe acesta p, un punct M echidistant de capetele segmentului (vezi Fig. 6).

Demonstrați că punctul M se află pe bisectoarea perpendiculară a segmentului.

Orez. 6

Dovada:

Luați în considerare un triunghi. Este isoscel, conform condiției. Luați în considerare mediana unui triunghi: punctul O este mijlocul bazei AB, OM este mediana. După proprietate triunghi isoscel, mediana trasată la baza sa este atât înălțimea, cât și bisectoarea. Rezultă că . Dar linia p este și perpendiculară pe AB. Știm că în punctul O se poate trasa o singură perpendiculară pe segmentul AB, ceea ce înseamnă că dreptele OM și p coincid, rezultă că punctul M aparține dreptei p, ceea ce trebuia să dovedim.

Teoremele directe și inverse pot fi generalizate.

Teorema

Bisectoarea perpendiculară a unui segment este locul punctelor echidistante de capetele sale.

Un triunghi, după cum știți, este format din trei segmente, ceea ce înseamnă că în el pot fi desenate trei bisectoare perpendiculare. Se dovedește că se intersectează la un moment dat.

Bisectoarele perpendiculare ale unui triunghi se intersectează într-un punct.

Se dă un triunghi. Perpendiculare pe laturile sale: P 1 pe latura BC, P 2 pe latura AC, P 3 pe latura AB (vezi Fig. 7).

Demonstrați că perpendicularele P 1 , P 2 și P 3 se intersectează în punctul O.

Știți care este punctul de mijloc al unui segment? Bineînțeles că faci. Dar centrul cercului? Aceleaşi.

Care este mijlocul unui unghi?

Puteți spune că acest lucru nu se întâmplă. Dar de ce un segment poate fi împărțit în jumătate, dar un unghi nu? Este foarte posibil - doar nu un punct, dar... linia.

Îți amintești gluma: o bisectoare este un șobolan care aleargă în jurul colțurilor și împarte colțul în jumătate. Deci, definiția reală a bisectoarei este foarte asemănătoare cu această glumă:

Bisectoarea unui triunghi- acesta este segmentul bisectoare al unui unghi al unui triunghi care leagă vârful acestui unghi cu un punct de pe latura opusă.

Cândva, astronomii și matematicienii antici au descoperit multe proprietăți interesante ale bisectoarei. Aceste cunoștințe au simplificat foarte mult viața oamenilor.

Primele cunoștințe care vă vor ajuta în acest sens sunt...

Apropo, vă amintiți toți acești termeni? Îți amintești cum diferă unul de celălalt? Nu? Nu înfricoșător. Să ne dăm seama acum.

Baza unui triunghi isoscel- aceasta este partea care nu este egală cu oricare alta. Uită-te la poză, de ce parte crezi că este? Așa este - aceasta este partea.
Mediana este o linie trasă de la vârful unui triunghi și care se împarte partea opusă(asta din nou) în jumătate. Observați că nu spunem „Media unui triunghi isoscel”. Știi de ce? Deoarece o mediană trasă dintr-un vârf al unui triunghi bisectează latura opusă în ORICE triunghi.
Înălțimea este o linie trasată de sus și perpendiculară pe bază. ai observat? Vorbim din nou despre orice triunghi, nu doar unul isoscel. Înălțimea în ORICE triunghi este întotdeauna perpendiculară pe bază.

Deci, ți-ai dat seama? Ei bine, aproape.

Pentru a înțelege și mai bine și pentru a vă aminti pentru totdeauna ce sunt bisectoarea, mediana și înălțimea, aveți nevoie de ele comparați unul cu altulși înțelegeți cum se aseamănă și cum diferă unul de celălalt.

În același timp, pentru a vă aminti mai bine, este mai bine să descrieți totul în „limbaj uman”.

Apoi veți opera cu ușurință în limbajul matematicii, dar la început nu înțelegeți acest limbaj și trebuie să înțelegeți totul în limba ta.

Deci, cum sunt ele asemănătoare?

Bisectoarea, mediana și altitudinea - toate „ieșesc” din vârful triunghiului și se odihnesc pe partea opusă și „fac ceva” fie cu unghiul din care ies, fie cu latura opusă.

Cred că e simplu, nu?

Cum sunt ele diferite?

Bisectoarea împarte unghiul din care iese în jumătate.
Mediana împarte partea opusă în jumătate.
Înălțimea este întotdeauna perpendiculară pe partea opusă.

Acum asta e tot. Este ușor de înțeles. Și odată ce înțelegi, îți poți aminti.

Acum următoarea întrebare.

De ce, în cazul unui triunghi isoscel, bisectoarea este atât mediana, cât și altitudinea?

Puteți să vă uitați pur și simplu la figură și să vă asigurați că mediana se împarte în două triunghiuri absolut egale.

Asta este! Dar matematicienilor nu le place să-și creadă ochilor. Ei trebuie să demonstreze totul.

Cuvânt înfricoșător?

Nimic de genul asta - este simplu! Uite: ambele au laturi egale și, în general, au o latură comună și. (- bisectoare!) Și astfel se dovedește că două triunghiuri au două laturi egaleși unghiul dintre ele.

Amintim primul semn de egalitate al triunghiurilor (dacă nu vă amintiți, uitați-vă în subiect) și concluzionam că și, prin urmare, = și.

Acest lucru este deja bun - înseamnă că s-a dovedit a fi mediana.

Dar ce este?

Să ne uităm la imagine - . Și am prins-o. Asa si! În sfârșit, ura! Şi.

Ți s-a părut puțin grea această dovadă? Privește imaginea - două triunghiuri identice vorbesc de la sine.

În orice caz, amintiți-vă cu fermitate:

Acum este mai dificil: vom număra unghi între bisectoare în orice triunghi! Nu-ți fie teamă, nu este așa de complicat. Uită-te la poză:

Să-l numărăm. Îți amintești asta suma unghiurilor unui triunghi este?

Să aplicăm acest fapt uimitor.

Pe de o parte, de la:

Adică.

Acum să ne uităm la:

Dar bisectoare, bisectoare!

Să ne amintim despre:

Acum prin scrisori

Nu este surprinzător?

S-a dovedit că unghiul dintre bisectoarele a două unghiuri depinde doar de al treilea unghi!

Ei bine, ne-am uitat la două bisectoare. Dacă sunt trei?!! Se vor intersecta toate la un moment dat?

Sau va fi asa?

Cum crezi? Deci matematicienii au gândit, au gândit și au demonstrat:

Nu este grozav?

Vrei să știi de ce se întâmplă asta?

Treceți la nivelul următor - sunteți gata să cuceriți noi culmi ale cunoștințelor despre bisectoare!

BIZECTORĂ. NIVEL MEDIU

Îți amintești ce este bisectoarea?

Bisectoarea este o linie care bisectează un unghi.

Ați întâlnit o bisectoare în problemă? Încercați să aplicați una (sau uneori mai multe) dintre următoarele proprietăți uimitoare.

1. Bisectoare într-un triunghi isoscel.

Nu ți-e frică de cuvântul „teoremă”? Dacă ți-e frică, atunci este în zadar. Matematicienii sunt obișnuiți să numească o teoremă orice enunț care poate fi dedus cumva din alte enunțuri, mai simple.

Deci, atenție, teoremă!

Să demonstrăm această teoremă, adică să înțelegem de ce se întâmplă asta? Uită-te la isoscel.

Să le privim cu atenție. Și atunci vom vedea asta

- general.

Și asta înseamnă (amintește-ți repede primul semn de egalitate a triunghiurilor!) că.

Şi ce dacă? Vrei să spui asta? Și adevărul este că încă nu ne-am uitat la a treia latură și la unghiurile rămase ale acestor triunghiuri.

Acum să vedem. O dată, apoi absolut, și chiar în plus, .

Deci s-a dovedit că

a împărțit partea în jumătate, adică s-a dovedit a fi mediana
, ceea ce înseamnă că sunt amândoi ca (uită-te din nou la poză).

Deci s-a dovedit a fi o bisectoare și de asemenea o înălțime!

Ura! Am demonstrat teorema. Dar ghici ce, asta nu e tot. De asemenea credincios teorema inversă:

Dovada? Chiar te intereseaza? Citiți următorul nivel de teorie!

Și dacă nu ești interesat, atunci amintește-ți cu fermitate:

De ce să-ți amintești asta cu fermitate? Cum poate ajuta acest lucru? Dar imaginați-vă că aveți o sarcină:

Dat: .

Găsi: .

Îți dai seama imediat, bisectoare și, iată, ea a împărțit latura în jumătate! (dupa conditie...). Dacă vă amintiți cu fermitate că acest lucru se întâmplă numaiîntr-un triunghi isoscel, apoi trageți o concluzie, ceea ce înseamnă că scrieți răspunsul: . Grozav, nu? Desigur, nu toate sarcinile vor fi atât de ușoare, dar cunoștințele vă vor ajuta cu siguranță!

Și acum următoarea proprietate. Gata?

2. Bisectoarea unui unghi este locul punctelor echidistante de laturile unghiului.

Speriat? Chiar nu e mare lucru. Matematicienii leneși au ascuns patru în două rânduri. Deci, ce înseamnă, „Bisector - locul punctelor"? Aceasta înseamnă că sunt executate imediat douăafirmatii:

Dacă un punct se află pe o bisectoare, atunci distanțele dintre el și laturile unghiului sunt egale.
Dacă la un moment dat distanțele față de laturile unghiului sunt egale, atunci acest punct Neapărat se află pe bisectoare.

Vedeți diferența dintre afirmațiile 1 și 2? Dacă nu, atunci amintiți-vă de Pălărierul din „Alice în Țara Minunilor”: „Deci ce altceva veți spune, de parcă „văd ce mănânc” și „mănânc ce văd” ar fi același lucru!”

Deci trebuie să demonstrăm afirmațiile 1 și 2 și apoi afirmația: „o bisectoare este locul punctelor echidistante de laturile unui unghi” se va dovedi!

De ce este 1 adevărat?

Să luăm orice punct de pe bisectoare și să-l numim .

Să lăsăm perpendiculare din acest punct către laturile unghiului.

Și acum... pregătește-te să-ți amintești semnele de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare! Dacă le-ați uitat, atunci aruncați o privire la secțiune.

Deci...două triunghiuri dreptunghiulare: și. Au:

Ipotenuza generala.
(pentru că este bisectoare!)

Aceasta înseamnă - prin unghi și ipotenuză. Prin urmare, catetele corespunzătoare acestor triunghiuri sunt egale! Adică.

Am demonstrat că punctul este la fel (sau egal) distanță de laturile unghiului. Punctul 1 este tratat. Acum să trecem la punctul 2.

De ce 2 este adevărat?

Și hai să conectăm punctele și.

Asta înseamnă că se află pe bisectoare!

Asta este!

Cum pot fi aplicate toate acestea la rezolvarea problemelor? De exemplu, în probleme există adesea următoarea frază: „Un cerc atinge laturile unui unghi...”. Ei bine, trebuie să găsești ceva.

Atunci iti dai seama repede de asta

Și poți folosi egalitatea.

3. Trei bisectoare dintr-un triunghi se intersectează într-un punct

Din proprietatea unei bisectoare de a fi locul punctelor echidistante de laturile unui unghi, urmează următoarea afirmație:

Cum iese mai exact? Dar uite: două bisectoare se vor intersecta cu siguranță, nu?

Și a treia bisectoare ar putea merge așa:

Dar, în realitate, totul este mult mai bine!

Să ne uităm la punctul de intersecție a două bisectoare. Să-i spunem.

Ce am folosit aici de ambele ori? Da punctul 1, desigur! Dacă un punct se află pe o bisectoare, atunci este la fel de îndepărtat de laturile unghiului.

Și așa s-a întâmplat.

Dar priviți cu atenție aceste două egalități! La urma urmei, din ele rezultă că și, prin urmare, .

Și acum va intra în joc punctul 2: dacă distanțele la laturile unui unghi sunt egale, atunci punctul se află pe bisectoare... ce unghi? Privește din nou poza:

și sunt distanțele față de laturile unghiului și sunt egale, ceea ce înseamnă că punctul se află pe bisectoarea unghiului. A treia bisectoare a trecut prin același punct! Toate cele trei bisectoare se intersectează la un moment dat! Și ca un cadou suplimentar -

Razele înscris cercuri.

(Pentru a fi sigur, uită-te la un alt subiect).

Ei bine, acum nu vei uita niciodată:

Punctul de intersecție al bisectoarelor unui triunghi este centrul cercului înscris în el.

Să trecem la următoarea proprietate... Wow, bisectoarea are multe proprietăți, nu? Și acest lucru este grozav, deoarece cu cât mai multe proprietăți, cu atât mai multe instrumente pentru rezolvarea problemelor bisectoarelor.

4. Bisectoare și paralelism, bisectoare ale unghiurilor adiacente

Faptul că bisectoarea împarte unghiul la jumătate duce în unele cazuri la rezultate complet neașteptate. Aici, de exemplu,

Cazul 1

Grozav, nu? Să înțelegem de ce este așa.

Pe de o parte, desenăm o bisectoare!

Dar, pe de altă parte, există unghiuri care se află în cruce (amintiți-vă tema).

Și acum se dovedește că; arunca pe mijloc: ! - isoscel!

Cazul 2

Imaginați-vă un triunghi (sau uitați-vă la imagine)

Să continuăm partea dincolo de punct. Acum avem două unghiuri:

- colt interior
- colțul exterior este afară, nu?

Deci, acum cineva a vrut să deseneze nu una, ci două bisectoare deodată: și pentru și pentru. Ce se va întâmpla?

Va merge? dreptunghiular!

În mod surprinzător, acesta este exact cazul.

Să ne dăm seama.

Care crezi că este suma?

Desigur, - la urma urmei, toți împreună fac un astfel de unghi încât se dovedește a fi o linie dreaptă.

Acum amintiți-vă că și sunt bisectoare și vedeți că în interiorul unghiului există exact jumătate din suma tuturor celor patru unghiuri: și - - adică exact. O poți scrie și sub formă de ecuație:

Deci, incredibil, dar adevărat:

Unghiul dintre bisectoarele unghiurilor interne și externe ale unui triunghi este egal.

Cazul 3

Vedeți că aici totul este la fel ca și pentru colțurile interne și externe?

Sau să ne gândim din nou de ce se întâmplă asta?

Din nou, în ceea ce privește colțurile adiacente,

(așa cum corespunde cu bazele paralele).

Și din nou, se compensează exact jumatate din suma

Concluzie: Dacă problema conține bisectoare adiacent unghiuri sau bisectoare relevante unghiurile unui paralelogram sau trapez, atunci în această problemă cu siguranţă este implicat un triunghi dreptunghic, sau poate chiar un dreptunghi întreg.

5. Bisectoare și latura opusă

Se pare că bisectoarea unui unghi al unui triunghi împarte latura opusă nu doar într-un fel, ci într-un mod special și foarte interesant:

Adică:

Un fapt uimitor, nu-i așa?

Acum vom demonstra acest fapt, dar pregătiți-vă: va fi puțin mai dificil decât înainte.

Din nou - ieșire în „spațiu” - formație suplimentară!

Să mergem drept.

Pentru ce? Vom vedea acum.

Să continuăm bisectoarea până când se intersectează cu linia.

Este aceasta o imagine familiară? Da, da, da, exact la fel ca la punctul 4, cazul 1 - se dovedește că (- bisectoare)

Întins în cruce

Deci, și asta.

Acum să ne uităm la triunghiuri și.

Ce poți spune despre ei?

Sunt... asemănătoare. Ei bine, da, unghiurile lor sunt egale cu cele verticale. Deci, în două colțuri.

Acum avem dreptul să scriem relațiile părților relevante.

Și acum pe scurt:

Oh! Îmi amintește de ceva, nu? Nu asta am vrut să dovedim? Da, da, exact asta!

Vedeți cât de grozavă s-a dovedit a fi „umblarea în spațiu” - construcția unei linii drepte suplimentare - fără ea nimic nu s-ar fi întâmplat! Și așa am dovedit asta

Acum îl poți folosi în siguranță! Să ne uităm la încă o proprietate a bisectoarelor unghiurilor unui triunghi - nu vă alarmați, acum partea cea mai grea s-a terminat - va fi mai ușor.

Înțelegem asta

Teorema 1:

Teorema 2:

Teorema 3:

Teorema 4:

Teorema 5:

Teorema 6:

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru succes promovarea examenului de stat unificat, pentru admiterea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit buna educatie, câștigă mult mai mult decât cei care nu l-au primit. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ PRIN REZOLVAREA PROBLEMELOR PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neaparat cu solutii, analiza detaliatași decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol -
Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - Cumpărați un manual - 899 RUR

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și acces pentru toate sarcinile și pentru toată lumea texte ascunse pot fi deschise imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

Si in concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!

În această lecție, vom aminti conceptul de bisectoare, vom formula și demonstra teoreme directe și inverse despre proprietățile unei bisectoare și le vom generaliza. Să rezolvăm o problemă în care, pe lângă faptele despre bisectoare, aplicăm și alte fapte geometrice.

Subiect: Cercul

Lecția: Proprietățile unei bisectoare. Sarcini

Triunghiul este figura centrală a întregii geometrii și se spune în glumă că este inepuizabil, ca un atom. Proprietățile sale sunt numeroase, interesante, distractive. Ne uităm la unele dintre aceste proprietăți.

Orice triunghi este, în primul rând, trei unghiuri și trei segmente (vezi Fig. 1).

Orez. 1

Se consideră un unghi cu vârful A și laturile B și unghiul C.

În orice unghi, inclusiv unghiul unui triunghi, puteți desena o bisectoare - adică o linie dreaptă care împarte unghiul la jumătate (vezi Fig. 2).

Orez. 2

Să luăm în considerare proprietățile unui punct situat pe bisectoarea unui unghi (vezi Fig. 3).

Luați în considerare punctul M situat pe bisectoarea unghiului.

Amintiți-vă că distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei trasate de la acest punct la linie.

Orez. 3

Evident, dacă luăm un punct care nu se află pe bisectoare, atunci distanțele de la acest punct la laturile unghiului vor fi diferite. Distanța de la punctul M la laturile unghiului este aceeași.

Teorema

Fiecare punct al bisectoarei unui unghi nedezvoltat este echidistant de laturile unghiului, adică distanțele de la punctul M la AC și la BC ale laturilor unghiului sunt egale.

Unghiul este dat, bisectoarea sa este AL, punctul M se află pe bisectoare (vezi Fig. 4).

Demonstrează că.

Orez. 4

Dovada:

Luați în considerare triunghiuri și . Acestea sunt triunghiuri dreptunghiulare și sunt egale, deoarece au o ipotenuză comună AM, iar unghiurile sunt egale, deoarece AL este bisectoarea unghiului. Astfel, triunghiurile dreptunghiulare sunt egale în ipotenuză și unghi ascuțit, rezultă că , care este ceea ce trebuia demonstrat. Astfel, un punct de pe bisectoarea unui unghi este echidistant de laturile acelui unghi.

Teorema inversă este adevărată.

Teorema

Dacă un punct este echidistant de laturile unui unghi nedezvoltat, atunci se află pe bisectoarea sa.

Se dă un unghi nedezvoltat, punctul M, astfel încât distanța de la acesta până la laturile unghiului să fie aceeași.

Demonstrați că punctul M se află pe bisectoarea unghiului (vezi Fig. 5).

Orez. 5

Dovada:

Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei. Din punctul M trasăm perpendicularele MK pe latura AB și MR pe latura AC.

Luați în considerare triunghiuri și . Acestea sunt triunghiuri dreptunghiulare, și sunt egale, deoarece au o ipotenuză comună AM, catetele MK și MR sunt egale prin condiție. Astfel, triunghiurile dreptunghiulare sunt egale în ipotenuză și catete. Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea elementelor corespunzătoare, unghiurile egale sunt opuse laturi egale; Prin urmare, punctul M se află pe bisectoarea unghiului dat.

Uneori, teoremele directe și inverse sunt combinate după cum urmează:

Teorema

Un punct este echidistant de laturile unui unghi dacă și numai dacă se află pe bisectoarea acestui unghi.

Echidistanța punctelor bisectoare față de laturile unui unghi este utilizată pe scară largă în diverse probleme.

Problema nr. 674 din manualul lui Atanasyan, geometrie, clasele 7-9:

Din punctul M al bisectoarei unui unghi nedezvoltat, pe laturile acestui unghi sunt trasate perpendicularele MA și MB (vezi Fig. 6). Demonstrează că.

Dați: unghiul, bisectoarea OM, perpendicularele MA și MB pe laturile unghiului.

Orez. 6

Demonstrați că:

Dovada:

Conform teoremei directe, punctul M este echidistant de laturile unghiului, deoarece prin condiție se află pe bisectoarea sa. .

Luați în considerare triunghiuri dreptunghiulare și (vezi Fig. 7). Au o ipotenuză comună OM, catetele MA și MB sunt egale, așa cum am demonstrat mai devreme. Astfel, două dreptunghiulare

Orez. 7

triunghiurile sunt egale în catete și ipotenuză. Din egalitatea triunghiurilor decurge egalitatea elementelor lor corespondente, de unde egalitatea unghiurilor și egalitatea celorlalte picioare.

Din egalitatea catetelor OA și OB rezultă că triunghiul este isoscel, iar AB este baza lui. Linia dreaptă OM este bisectoarea unui triunghi. Conform proprietății unui triunghi isoscel, această bisectoare este și o altitudine, ceea ce înseamnă că liniile OM și AB se intersectează în unghi drept, ceea ce trebuia demonstrat.

Deci, am examinat teoremele directe și inverse despre proprietatea unui punct situat pe bisectoarea unui unghi, le-am generalizat și am rezolvat problema folosind diverse fapte geometrice, inclusiv această teoremă.

Referințe

Alexandrov A.D. si altele Geometrie, clasa a VIII-a. - M.: Educație, 2006.
Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometrie, clasa a VIII-a. - M.: Educație, 2011.
Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrie, clasa a VIII-a. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

Bymath.net().
Oldskola1.narod.ru ().

Teme pentru acasă

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. şi altele Geometrie, 7-9, Nr. 676-678, art. 180.

Bisectoarea unui triunghi – un segment al bisectoarei unui unghi al unui triunghi, închis între vârful triunghiului și latura opusă acestuia.

Proprietățile bisectoarei

1. Bisectoarea unui triunghi bisectează unghiul.

2. Bisectoarea unui unghi al unui triunghi împarte latura opusă într-un raport egal cu raportul celor două laturi adiacente ()

3. Punctele bisectoare ale unui unghi al unui triunghi sunt echidistante de laturile acelui unghi.

4. Bisectoarele unghiurilor interioare ale unui triunghi se intersectează într-un punct - centrul cercului înscris în acest triunghi.

Câteva formule legate de bisectoarea unui triunghi

(dovada formulei – )
, Unde
- lungimea bisectoarei trasă în lateral,
- laturile triunghiului sunt opuse vârfurilor, respectiv,
- lungimile segmentelor în care bisectoarea împarte latura,

Vă invit să urmăriți tutorial video, care demonstrează aplicarea tuturor proprietăților de mai sus ale bisectoarei.

Sarcinile acoperite în videoclip:
1. În triunghiul ABC cu laturile AB = 2 cm, BC = 3 cm, AC = 3 cm, se trasează o bisectoare VM. Aflați lungimile segmentelor AM și MC
2. Bisectoarea unghiului intern la vârful A și bisectoarea unghiului extern la vârful C triunghiul ABC se intersectează în punctul M. Găsiți unghiul BMC dacă unghiul B este de 40 de grade, unghiul C este de 80 de grade
3. Aflați raza unui cerc înscris într-un triunghi, considerând laturile celulelor pătrate egale cu 1

S-ar putea să fiți interesat și de un scurt tutorial video în care se aplică una dintre proprietățile bisectoarei

Astăzi va fi o lecție foarte ușoară. Vom lua în considerare un singur obiect - bisectoarea unghiului - și vom demonstra cea mai importantă proprietate a acestuia, care ne va fi foarte utilă în viitor.

Doar nu vă relaxați: uneori studenți care doresc să obțină scor mare la același OGE sau Unified State Exam, în prima lecție nu pot formula nici măcar cu exactitate definiția bisectoarei.

Și în loc să facem sarcini cu adevărat interesante, pierdem timpul cu lucruri atât de simple. Așa că citește, urmărește și adoptă-l.

Pentru început, o întrebare puțin ciudată: ce este un unghi? Așa este: un unghi sunt pur și simplu două raze care emană din același punct. De exemplu:

Exemple de unghiuri: acute, obtuz și drept

După cum puteți vedea din imagine, unghiurile pot fi acute, obtuze, drepte - nu contează acum. Adesea, pentru comoditate, pe fiecare rază este marcat un punct suplimentar și se spune că în fața noastră este unghiul $AOB$ (scris ca $\angle AOB$).

Căpitanul Obviousness pare să sugereze că, pe lângă razele $OA$ și $OB$, este întotdeauna posibil să se deseneze o grămadă de mai multe raze din punctul $O$. Dar printre ei va fi unul special - se numește bisectoare.

Definiţie. Bisectoarea unui unghi este raza care provine de la vârful acelui unghi și bisectează unghiul.

Pentru unghiurile de mai sus, bisectoarele vor arăta astfel:

Exemple de bisectoare pentru unghiuri acute, obtuze și drepte

Deoarece în desenele reale nu este întotdeauna evident că o anumită rază (în cazul nostru este raza $OM$) împarte unghiul original în două egale, în geometrie se obișnuiește să se marcheze unghiuri egale cu același număr de arce ( în desenul nostru, acesta este 1 arc pentru un unghi ascuțit, doi pentru obtuz, trei pentru drept).

Bine, am rezolvat definiția. Acum trebuie să înțelegeți ce proprietăți are bisectoarea.

Proprietatea principală a bisectoarei unghiului

De fapt, bisectoarea are o mulțime de proprietăți. Și cu siguranță ne vom uita la ele în lecția următoare. Dar există un truc pe care trebuie să-l înțelegi chiar acum:

Teorema. Bisectoarea unui unghi este locul punctelor echidistante de laturile unui unghi dat.

Tradus din matematică în rusă, aceasta înseamnă două fapte simultan:

Orice punct situat pe bisectoarea unui anumit unghi se află la aceeași distanță de laturile acestui unghi.
Și invers: dacă un punct se află la aceeași distanță de laturile unui unghi dat, atunci este garantat să se afle pe bisectoarea acestui unghi.

Înainte de a demonstra aceste afirmații, să clarificăm un punct: cum se numește, mai exact, distanța de la un punct la latura unui unghi? Aici vechea determinare bună a distanței de la un punct la o linie ne va ajuta:

Definiţie. Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei trasate de la un punct dat la această dreaptă.

De exemplu, luați în considerare o linie $l$ și un punct $A$ care nu se află pe această dreaptă. Să desenăm o perpendiculară pe $AH$, unde $H\în l$. Atunci lungimea acestei perpendiculare va fi distanța de la punctul $A$ la linia dreaptă $l$.

Reprezentarea grafică a distanței de la un punct la o dreaptă

Deoarece un unghi este doar două raze și fiecare rază este o bucată de linie dreaptă, este ușor să determinați distanța de la un punct la laturile unui unghi. Acestea sunt doar două perpendiculare:

Determinați distanța de la punct la laturile unghiului

Asta este! Acum știm ce este o distanță și ce este o bisectoare. Prin urmare, putem demonstra proprietatea principală.

După cum am promis, vom împărți dovada în două părți:

1. Distanțele de la punctul de pe bisectoare până la laturile unghiului sunt aceleași

Luați în considerare un unghi arbitrar cu vârf $O$ și bisectoare $OM$:

Să demonstrăm că același punct $M$ se află la aceeași distanță de laturile unghiului.

Dovada. Să desenăm perpendiculare din punctul $M$ la laturile unghiului. Să le numim $M((H)_(1))$ și $M((H)_(2))$:
Desenați perpendiculare pe laturile unghiului
Am obținut două triunghiuri dreptunghiulare: $\vartriangle OM((H)_(1))$ și $\vartriangle OM((H)_(2))$. Au o ipotenuză comună $OM$ și unghiuri egale:

$\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ după condiție (deoarece $OM$ este bisectoare);

$\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ prin construcție;

$\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$, deoarece sumă colțuri ascuțite a unui triunghi dreptunghic este întotdeauna de 90 de grade.

În consecință, triunghiurile sunt egale în latură și două unghiuri adiacente (vezi semnele de egalitate a triunghiurilor). Prin urmare, în special, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, adică. distantele de la punctul $O$ la laturile unghiului sunt intr-adevar egale. Q.E.D.:)

2. Dacă distanțele sunt egale, atunci punctul se află pe bisectoare

Acum situația este inversată. Să fie dat un unghi $O$ și un punct $M$ echidistant de laturile acestui unghi:

Să demonstrăm că raza $OM$ este o bisectoare, i.e. $\unghi MO((H)_(1))=\unghi MO((H)_(2))$.

Dovada. Mai întâi, să desenăm chiar această rază $OM$, altfel nu va fi nimic de demonstrat:
Grinda condusă $OM$ în interiorul colțului
Din nou obținem două triunghiuri dreptunghiulare: $\vartriangle OM((H)_(1))$ și $\vartriangle OM((H)_(2))$. Evident, sunt egali pentru că:

Hipotenuza $OM$ - general;

Picioare $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ după condiție (la urma urmei, punctul $M$ este echidistant de laturile unghiului);

Picioarele rămase sunt și ele egale, deoarece prin teorema lui Pitagora $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Prin urmare, triunghiurile $\vartriangle OM((H)_(1))$ și $\vartriangle OM((H)_(2))$ pe trei laturi. În special, unghiurile lor sunt egale: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. Și asta înseamnă doar că $OM$ este o bisectoare.

Pentru a încheia demonstrația, marchem unghiurile egale rezultate cu arce roșii:
Bisectoarea împarte unghiul $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ în două egale

După cum puteți vedea, nimic complicat. Am demonstrat că bisectoarea unui unghi este locul punctelor echidistante față de laturile acestui unghi.

Acum că ne-am hotărât mai mult sau mai puțin cu privire la terminologie, este timpul să trecem la următorul nivel. În lecția următoare ne vom uita la proprietățile mai complexe ale bisectoarei și vom învăța cum să le aplicăm pentru a rezolva probleme reale.