Operații cu fracții zecimale. Fracții zecimale. Conceptul de zecimale Scrierea zecimale

O fracție zecimală diferă de o fracție obișnuită prin faptul că numitorul ei este valoarea locului.

De exemplu:

Fracțiile zecimale sunt separate de fracțiile obișnuite într-o formă separată, ceea ce a condus la propriile reguli de comparare, adunare, scădere, înmulțire și împărțire a acestor fracții. În principiu, puteți lucra cu fracții zecimale folosind regulile fracțiilor obișnuite. Regulile proprii pentru conversia fracțiilor zecimale simplifică calculele, iar regulile pentru conversia fracțiilor obișnuite în zecimale și invers, servesc ca o legătură între aceste tipuri de fracții.

Scrierea și citirea fracțiilor zecimale vă permite să le scrieți, să le comparați și să efectuați operații asupra lor conform unor reguli foarte asemănătoare cu regulile pentru operațiile cu numere naturale.

Sistemul de fracții zecimale și operații asupra acestora a fost conturat pentru prima dată în secolul al XV-lea. Matematicianul și astronomul din Samarkand Dzhemshid ibn-Masudal-Kashi în cartea „Cheia artei numărării”.

Întreaga parte a fracției zecimale este separată de partea fracțională printr-o virgulă în unele țări (SUA) pun punct; Dacă o fracție zecimală nu are o parte întreagă, atunci numărul 0 este plasat înaintea virgulei zecimale.

Puteți adăuga orice număr de zerouri la partea fracțională a zecimalei din dreapta, aceasta nu schimbă valoarea fracției. Partea fracțională a unei zecimale se citește la ultima cifră semnificativă.

De exemplu:
0,3 - trei zecimi
0,75 - șaptezeci și cinci sutimi
0,000005 - cinci milionimi.

Citirea întregii părți a unei zecimale este la fel cu citirea numerelor naturale.

De exemplu:
27,5 - douăzeci și șapte...;
1,57 - unu...

După întreaga parte a fracției zecimale se pronunță cuvântul „întreg”.

De exemplu:
10,7 - zece virgulă șapte

0,67 - zero virgulă șaizeci și șapte sutimi.

Locurile zecimale sunt cifrele părții fracționale. Partea fracțională nu este citită de cifre (spre deosebire de numerele naturale), ci ca întreg, de aceea partea fracțională a unei fracții zecimale este determinată de ultima cifră semnificativă din dreapta. Sistemul de valori de loc al părții fracționale a zecimalei este oarecum diferit de cel al numerelor naturale.

Prima cifră după ocupat - cifra zecimii
A 2-a zecimală - locul sutimilor
A treia zecimală - locul miilor
A 4-a zecimală - locul zece-miile
A cincea zecimală - locul sutei de miimi
A 6-a zecimală - milionul de loc
A 7-a zecimală este locul zece milioane
Cea de-a 8-a zecimală este locul sută de milion

Primele trei cifre sunt cel mai des folosite în calcule. Capacitatea de cifre mari a părții fracționale a zecimalelor este utilizată numai în ramuri specifice ale cunoașterii în care se calculează cantități infinitezimale.

Transformarea unei zecimale într-o fracție mixtă constă din următoarele: numărul de dinaintea virgulei zecimale este scris ca o parte întreagă a fracției mixte; numărul de după virgulă este numărătorul părții sale fracționale, iar în numitorul părții fracționale scrieți o unitate cu atâtea zerouri câte cifre sunt după virgulă.

În acest tutorial vom analiza fiecare dintre aceste operații separat.

Conținutul lecției

Adăugarea de zecimale

După cum știm, o fracție zecimală are un număr întreg și o parte fracțională. Când adăugați zecimale, părțile întregi și fracționale sunt adăugate separat.

De exemplu, să adăugăm fracțiile zecimale 3,2 și 5,3. Este mai convenabil să adăugați fracții zecimale într-o coloană.

Să scriem mai întâi aceste două fracții într-o coloană, părțile întregi fiind neapărat sub numere întregi, iar fracțiile sub fracții. La școală se numește această cerință "virgula sub virgula".

Să scriem fracțiile într-o coloană, astfel încât virgula să fie sub virgulă:

Începem să adunăm părțile fracționale: 2 + 3 = 5. Scriem cele cinci în partea fracțională a răspunsului nostru:

Acum adunăm părțile întregi: 3 + 5 = 8. Scriem un opt în întreaga parte a răspunsului nostru:

Acum separăm întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, respectăm din nou regula "virgula sub virgula":

Am primit un răspuns de 8,5. Deci expresia 3,2 + 5,3 este egală cu 8,5

De fapt, nu totul este atât de simplu pe cât pare la prima vedere. Există și capcane aici, despre care vom vorbi acum.

Locurile în zecimale

Fracțiile zecimale, ca și numerele obișnuite, au propriile cifre. Acestea sunt locuri de zecimi, locuri de sutimi, locuri de miimi. În acest caz, cifrele încep după virgulă zecimală.

Prima cifră după virgulă zecimală este responsabilă pentru locul zecimii, a doua cifră după virgulă zecimală pentru locul sutimilor și a treia cifră după virgulă zecimală pentru locul miilor.

zecimalele conțin câteva informații utile. Mai exact, vă spun câte zecimi, sutimi și miimi există într-o zecimală.

De exemplu, luați în considerare fracția zecimală 0,345

Poziția în care se află cei trei se numește locul zece

Poziția în care se află cei patru se numește locul sutimilor

Poziția în care se află cei cinci se numește locul al miilea

Să ne uităm la acest desen. Vedem că există un trei pe locul zecimii. Aceasta înseamnă că există trei zecimi în fracția zecimală 0,345.

Dacă adunăm fracțiile, obținem fracția zecimală inițială 0,345

Se poate observa că la început am primit răspunsul, dar l-am convertit într-o fracție zecimală și am obținut 0,345.

Când se adună fracții zecimale, se respectă aceleași principii și reguli ca atunci când se adună numere obișnuite. Adunarea fracțiilor zecimale are loc în cifre: zecimi se adaugă la zecimi, sutimi la sutimi, miimi la miimi.

Prin urmare, atunci când adăugați fracții zecimale, trebuie să urmați regula "virgula sub virgula". Virgula de sub virgulă oferă ordinea în care zecimile sunt adăugate la zecimi, sutimi la sutimi, miimi la miimi.

Exemplul 1. Aflați valoarea expresiei 1,5 + 3,4

În primul rând, adunăm părțile fracționale 5 + 4 = 9. Scriem nouă în partea fracțională a răspunsului nostru:

Acum adăugăm părțile întregi 1 + 3 = 4. Scriem cele patru în partea întreagă a răspunsului nostru:

Acum separăm întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, respectăm din nou regula „virgulă sub virgulă”:

Am primit un răspuns de 4,9. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 1,5 + 3,4 este 4,9

Exemplul 2. Aflați valoarea expresiei: 3,51 + 1,22

Scriem această expresie într-o coloană, respectând regula „virgulă sub virgulă”.

În primul rând, adunăm partea fracțională, și anume sutimile din 1+2=3. Scriem un triplu în a suta parte a răspunsului nostru:

Acum adăugați zecimile 5+2=7. Scriem un șapte în a zecea parte a răspunsului nostru:

Acum adăugăm toate părțile 3+1=4. Le scriem pe cele patru în întreaga parte a răspunsului nostru:

Separăm întreaga parte de partea fracționară cu o virgulă, respectând regula „virgulă sub virgulă”:

Răspunsul pe care l-am primit a fost 4,73. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 3,51 + 1,22 este egală cu 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Ca și în cazul numerelor obișnuite, atunci când se adună zecimale, . În acest caz, o cifră este scrisă în răspuns, iar restul sunt transferate la următoarea cifră.

Exemplul 3. Aflați valoarea expresiei 2,65 + 3,27

Scriem această expresie în coloană:

Adăugați părțile sutimiilor 5+7=12. Numărul 12 nu se va încadra în a suta parte a răspunsului nostru. Prin urmare, în a suta parte scriem numărul 2 și mutam unitatea la următoarea cifră:

Acum adăugăm zecimile de 6+2=8 plus unitatea pe care am obținut-o din operația anterioară, obținem 9. Scriem numărul 9 în zecimea răspunsului nostru:

Acum adăugăm toate părțile 2+3=5. Scriem numărul 5 în partea întreagă a răspunsului nostru:

Răspunsul pe care l-am primit a fost 5,92. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 2,65 + 3,27 este egală cu 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Exemplul 4. Aflați valoarea expresiei 9,5 + 2,8

Scriem această expresie în coloană

Adăugăm părțile fracționale 5 + 8 = 13. Numărul 13 nu se va potrivi în partea fracțională a răspunsului nostru, așa că mai întâi notăm numărul 3 și mutam unitatea la următoarea cifră sau, mai degrabă, o transferăm în parte întreagă:

Acum adăugăm părțile întregi 9+2=11 plus unitatea pe care am obținut-o din operația anterioară, obținem 12. Scriem numărul 12 în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă:

Am primit răspunsul 12.3. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 9,5 + 2,8 este 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Când se adună zecimale, numărul de cifre după virgulă în ambele fracții trebuie să fie același. Dacă nu există suficiente numere, atunci aceste locuri din partea fracționară sunt umplute cu zerouri.

Exemplul 5. Aflați valoarea expresiei: 12,725 + 1,7

Înainte de a scrie această expresie într-o coloană, să facem același număr de cifre după punctul zecimal din ambele fracții. Fracția zecimală 12,725 are trei cifre după virgulă, dar fracția 1,7 are doar una. Aceasta înseamnă că în fracția 1,7 trebuie să adăugați două zerouri la sfârșit. Apoi obținem fracția 1.700. Acum puteți scrie această expresie într-o coloană și puteți începe să calculați:

Adăugați părțile miimilor 5+0=5. Scriem numărul 5 în a miilea parte a răspunsului nostru:

Adăugați părțile sutimiilor 2+0=2. Scriem numărul 2 în a suta parte a răspunsului nostru:

Adaugă zecimile 7+7=14. Numărul 14 nu se va încadra într-o zecime din răspunsul nostru. Prin urmare, notăm mai întâi numărul 4 și mutam unitatea la următoarea cifră:

Acum adăugăm părțile întregi 12+1=13 plus unitatea pe care am obținut-o din operația anterioară, obținem 14. Scriem numărul 14 în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă:

Am primit un răspuns de 14.425. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 12,725+1,700 este 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Scăderea zecimalelor

Când scădeți fracții zecimale, trebuie să urmați aceleași reguli ca atunci când adăugați: „virgulă sub virgulă zecimală” și „număr egal de cifre după virgulă zecimală”.

Exemplul 1. Aflați valoarea expresiei 2.5 − 2.2

Scriem această expresie într-o coloană, respectând regula „virgulă sub virgulă”:

Se calculează partea fracționară 5−2=3. Scriem numărul 3 în a zecea parte a răspunsului nostru:

Se calculează partea întreagă 2−2=0. Scriem zero în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă:

Am primit un răspuns de 0,3. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 2,5 − 2,2 este egală cu 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Exemplul 2. Aflați valoarea expresiei 7,353 - 3,1

Această expresie are un număr diferit de cifre după virgulă. Fracția 7.353 are trei cifre după virgulă, dar fracția 3.1 are doar una. Aceasta înseamnă că în fracția 3.1 trebuie să adăugați două zerouri la sfârșit pentru a face ca numărul de cifre din ambele fracții să fie același. Apoi obținem 3.100.

Acum puteți scrie această expresie într-o coloană și o puteți calcula:

Am primit un răspuns de 4.253. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 7,353 − 3,1 este egală cu 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Ca și în cazul numerelor obișnuite, uneori va trebui să împrumutați unul dintr-o cifră adiacentă dacă scăderea devine imposibilă.

Exemplul 3. Aflați valoarea expresiei 3,46 − 2,39

Scădeți sutimile din 6−9. Nu puteți scădea numărul 9 din numărul 6. Prin urmare, trebuie să împrumutați unul din cifra alăturată. Prin împrumut una din cifra alăturată, numărul 6 se transformă în numărul 16. Acum puteți calcula sutimile din 16−9=7. Scriem un șapte în a suta parte a răspunsului nostru:

Acum scadem zecimi. Deoarece am luat o unitate pe locul zecimii, cifra care se afla acolo a scăzut cu o unitate. Cu alte cuvinte, pe locul zecimilor nu se află acum numărul 4, ci numărul 3. Să calculăm zecimile din 3−3=0. Scriem zero în a zecea parte a răspunsului nostru:

Acum scădem toate părțile 3−2=1. Scriem unul în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă:

Am primit un răspuns de 1.07. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 3,46−2,39 este egală cu 1,07

3,46−2,39=1,07

Exemplul 4. Aflați valoarea expresiei 3−1.2

Acest exemplu scade o zecimală dintr-un număr întreg. Să scriem această expresie într-o coloană, astfel încât întreaga parte a fracției zecimale 1,23 să fie sub numărul 3

Acum să facem același număr de cifre după virgulă zecimală. Pentru a face acest lucru, după numărul 3 punem o virgulă și adăugăm un zero:

Acum scadem zecimi: 0−2. Nu puteți scădea numărul 2 din zero. Prin urmare, trebuie să împrumutați unul din cifra alăturată. După ce a împrumutat una din cifra vecină, 0 se transformă în numărul 10. Acum puteți calcula zecimile din 10−2=8. Scriem un opt în a zecea parte a răspunsului nostru:

Acum scadem toate părțile. Anterior, numărul 3 era situat în ansamblu, dar am luat o unitate din el. Ca urmare, s-a transformat în numărul 2. Prin urmare, din 2 scadem 1. 2−1=1. Scriem unul în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă:

Răspunsul pe care l-am primit a fost 1,8. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 3−1,2 este 1,8

Înmulțirea zecimalelor

Înmulțirea zecimalelor este simplă și chiar distractivă. Pentru a înmulți zecimale, le înmulți ca niște numere obișnuite, ignorând virgulele.

După ce ați primit răspunsul, trebuie să separați întreaga parte de partea fracționată cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din ambele fracții, apoi să numărați același număr de cifre din dreapta în răspuns și să puneți o virgulă.

Exemplul 1. Aflați valoarea expresiei 2,5 × 1,5

Să înmulțim aceste fracții zecimale ca numere obișnuite, ignorând virgulele. Pentru a ignora virgulele, vă puteți imagina temporar că lipsesc cu totul:

Avem 375. În acest număr, trebuie să separați partea întreagă de partea fracționară cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fracțiile 2,5 și 1,5. Prima fracție are o cifră după virgulă, iar a doua fracție are și una. În total două numere.

Ne întoarcem la numărul 375 și începem să ne mișcăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm două cifre la dreapta și să punem o virgulă:

Am primit un răspuns de 3,75. Deci valoarea expresiei 2,5 × 1,5 este 3,75

2,5 × 1,5 = 3,75

Exemplul 2. Aflați valoarea expresiei 12,85 × 2,7

Să înmulțim aceste fracții zecimale, ignorând virgulele:

Avem 34695. În acest număr trebuie să separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fracțiile 12,85 și 2,7. Fracția 12,85 are două cifre după virgulă, iar fracția 2,7 are o cifră - un total de trei cifre.

Ne întoarcem la numărul 34695 și începem să ne mișcăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm trei cifre din dreapta și să punem o virgulă:

Am primit un răspuns de 34.695. Deci valoarea expresiei 12,85 × 2,7 este 34,695

12,85 × 2,7 = 34,695

Înmulțirea unei zecimale cu un număr obișnuit

Uneori apar situații când trebuie să înmulți o fracție zecimală cu un număr obișnuit.

Pentru a înmulți o zecimală și un număr, le înmulți fără să fii atent la virgulă din zecimală. După ce ați primit răspunsul, trebuie să separați întreaga parte de partea fracționată cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fracția zecimală, apoi să numărați același număr de cifre din dreapta în răspuns și să puneți o virgulă.

De exemplu, înmulțiți 2,54 cu 2

Înmulțiți fracția zecimală 2,54 cu numărul obișnuit 2, ignorând virgula:

Avem numărul 508. În acest număr trebuie să separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fracția 2,54. Fracția 2,54 are două cifre după virgulă.

Ne întoarcem la numărul 508 și începem să ne mișcăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm două cifre la dreapta și să punem o virgulă:

Am primit un răspuns de 5.08. Deci valoarea expresiei 2,54 × 2 este 5,08

2,54 × 2 = 5,08

Înmulțirea zecimalelor cu 10, 100, 1000

Înmulțirea zecimalelor cu 10, 100 sau 1000 se face în același mod ca și înmulțirea zecimalelor cu numere obișnuite. Trebuie să efectuați înmulțirea, fără să acordați atenție virgulei din fracția zecimală, apoi, în răspuns, separați întreaga parte de partea fracțională, numărând din dreapta același număr de cifre ca și după virgulă zecimală.

De exemplu, înmulțiți 2,88 cu 10

Înmulțiți fracția zecimală 2,88 cu 10, ignorând virgula din fracția zecimală:

Avem 2880. În acest număr trebuie să separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fracția 2,88. Vedem că fracția 2,88 are două cifre după virgulă.

Ne întoarcem la numărul 2880 și începem să ne mișcăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm două cifre la dreapta și să punem o virgulă:

Am primit un răspuns de 28,80. Să aruncăm ultimul zero și să obținem 28,8. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 2,88×10 este 28,8

2,88 × 10 = 28,8

Există o a doua modalitate de a înmulți fracțiile zecimale cu 10, 100, 1000. Această metodă este mult mai simplă și mai convenabilă. Constă în mutarea punctului zecimal la dreapta cu atâtea cifre câte zerouri sunt în factor.

De exemplu, să rezolvăm exemplul anterior 2,88×10 în acest fel. Fără a da niciun calcul, ne uităm imediat la factorul 10. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că există un zero în el. Acum, în fracția 2,88, mutăm punctul zecimal la dreapta o cifră, obținem 28,8.

2,88 × 10 = 28,8

Să încercăm să înmulțim 2,88 cu 100. Ne uităm imediat la factorul 100. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că există două zerouri în el. Acum, în fracția 2,88, mutăm punctul zecimal la dreapta două cifre, obținem 288

2,88 × 100 = 288

Să încercăm să înmulțim 2,88 cu 1000. Ne uităm imediat la factorul 1000. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că există trei zerouri în el. Acum, în fracția 2,88, mutăm punctul zecimal la dreapta cu trei cifre. Nu există a treia cifră acolo, așa că adăugăm un alt zero. Ca rezultat, obținem 2880.

2,88 × 1000 = 2880

Înmulțirea zecimalelor cu 0,1 0,01 și 0,001

Înmulțirea zecimalelor cu 0,1, 0,01 și 0,001 funcționează în același mod ca și înmulțirea unei zecimale cu o zecimală. Este necesar să înmulțiți fracțiile ca numerele obișnuite și să puneți o virgulă în răspuns, numărând atâtea cifre la dreapta câte cifre sunt după virgulă în ambele fracții.

De exemplu, înmulțiți 3,25 cu 0,1

Înmulțim aceste fracții ca numere obișnuite, ignorând virgulele:

Avem 325. În acest număr trebuie să separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fracțiile 3,25 și 0,1. Fracția 3,25 are două cifre după virgulă, iar fracția 0,1 are o cifră. Total trei numere.

Ne întoarcem la numărul 325 și începem să ne mișcăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm trei cifre din dreapta și să punem o virgulă. După numărătoarea inversă a trei cifre, constatăm că numerele s-au epuizat. În acest caz, trebuie să adăugați un zero și să adăugați o virgulă:

Am primit un răspuns de 0,325. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 3,25 × 0,1 este 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Există o a doua modalitate de a înmulți zecimale cu 0,1, 0,01 și 0,001. Această metodă este mult mai simplă și mai convenabilă. Constă în deplasarea punctului zecimal la stânga cu atâtea cifre câte zerouri sunt în factor.

De exemplu, să rezolvăm exemplul anterior 3,25 × 0,1 în acest fel. Fără să facem niciun calcul, ne uităm imediat la multiplicatorul de 0,1. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că există un zero în el. Acum, în fracția 3,25, mutăm punctul zecimal la stânga cu o cifră. Mutând virgula cu o cifră la stânga, vedem că nu mai există cifre înaintea celor trei. În acest caz, adăugați un zero și puneți o virgulă. Rezultatul este 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Să încercăm să înmulțim 3,25 cu 0,01. Ne uităm imediat la multiplicatorul de 0,01. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că există două zerouri în el. Acum, în fracția 3,25, mutăm punctul zecimal la stânga două cifre, obținem 0,0325

3,25 × 0,01 = 0,0325

Să încercăm să înmulțim 3,25 cu 0,001. Ne uităm imediat la multiplicatorul de 0,001. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că există trei zerouri în el. Acum, în fracția 3,25, mutam punctul zecimal la stânga cu trei cifre, obținem 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Nu confundați înmulțirea zecimalelor cu 0,1, 0,001 și 0,001 cu înmulțirea cu 10, 100, 1000. O greșeală tipică pentru majoritatea oamenilor.

Când înmulțiți cu 10, 100, 1000, punctul zecimal este mutat la dreapta cu același număr de cifre ca și zerouri în multiplicator.

Și atunci când înmulțiți cu 0,1, 0,01 și 0,001, punctul zecimal este mutat la stânga cu același număr de cifre ca și zerouri în multiplicator.

Dacă la început este greu de reținut, puteți folosi prima metodă, în care înmulțirea se face ca în cazul numerelor obișnuite. În răspuns, va trebui să separați întreaga parte de partea fracțională numărând același număr de cifre în partea dreaptă, deoarece există cifre după virgulă zecimală în ambele fracții.

Împărțirea unui număr mai mic la un număr mai mare. Nivel avansat.

Într-una din lecțiile anterioare, am spus că la împărțirea unui număr mai mic la un număr mai mare se obține o fracție, al cărei numărător este dividendul, iar numitorul este divizorul.

De exemplu, pentru a împărți un măr între doi, trebuie să scrieți 1 (un măr) la numărător și 2 (doi prieteni) la numitor. Ca rezultat, obținem fracția . Aceasta înseamnă că fiecare prieten va primi un măr. Cu alte cuvinte, o jumătate de măr. Fracția este răspunsul la problemă „Cum să împarți un măr în două”

Se pare că puteți rezolva această problemă în continuare dacă împărțiți 1 la 2. La urma urmei, linia fracțională din orice fracție înseamnă divizare și, prin urmare, această împărțire este permisă în fracție. Dar cum? Suntem obișnuiți cu faptul că dividendul este întotdeauna mai mare decât divizorul. Dar aici, dimpotrivă, dividendul este mai mic decât divizorul.

Totul va deveni clar dacă ne amintim că o fracție înseamnă zdrobire, împărțire, împărțire. Aceasta înseamnă că unitatea poate fi împărțită în câte părți se dorește, și nu doar în două părți.

Când împărțiți un număr mai mic la un număr mai mare, obțineți o fracție zecimală în care partea întreagă este 0 (zero). Partea fracționată poate fi orice.

Deci, să împărțim 1 la 2. Să rezolvăm acest exemplu cu un colț:

Unul nu poate fi împărțit complet în două. Dacă pui o întrebare „câți doi sunt într-unul” , atunci răspunsul va fi 0. Prin urmare, în coeficient scriem 0 și punem virgulă:

Acum, ca de obicei, înmulțim câtul cu divizorul pentru a obține restul:

A venit momentul în care unitatea poate fi împărțită în două părți. Pentru a face acest lucru, adăugați un alt zero la dreapta celui rezultat:

Am primit 10. Împărțim 10 la 2, obținem 5. Scriem cele cinci în partea fracționară a răspunsului nostru:

Acum scoatem ultimul rest pentru a finaliza calculul. Înmulțiți 5 cu 2 pentru a obține 10

Am primit un răspuns de 0,5. Deci fracția este 0,5

Jumătate de măr poate fi scris și folosind fracția zecimală 0,5. Dacă adăugăm aceste două jumătăți (0,5 și 0,5), obținem din nou un măr întreg original:

Acest punct poate fi înțeles și dacă vă imaginați cum 1 cm este împărțit în două părți. Dacă împărțiți 1 centimetru în 2 părți, obțineți 0,5 cm

Exemplul 2. Găsiți valoarea expresiei 4:5

Câte cinci sunt într-un patru? Deloc. Scriem 0 în coeficient și punem virgulă:

Înmulțim 0 cu 5, obținem 0. Scriem un zero sub patru. Scădeți imediat acest zero din dividend:

Acum să începem să împărțim (împărțim) cele patru în 5 părți. Pentru a face acest lucru, adăugați un zero la dreapta lui 4 și împărțiți 40 la 5, obținem 8. Scriem opt în coeficient.

Terminăm exemplul înmulțind 8 cu 5 pentru a obține 40:

Am primit un răspuns de 0,8. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 4:5 este 0,8

Exemplul 3. Aflați valoarea expresiei 5: 125

Câte numere sunt 125 din cinci? Deloc. Scriem 0 în coeficient și punem virgulă:

Înmulțim 0 cu 5, obținem 0. Scriem 0 sub cinci. Scădeți imediat 0 din cinci

Acum să începem să împărțim (împărțim) cele cinci în 125 de părți. Pentru a face acest lucru, scriem un zero la dreapta acestor cinci:

Împărțiți 50 la 125. Câte numere sunt 125 în numărul 50? Deloc. Deci în coeficient scriem din nou 0

Înmulțind 0 cu 125, obținem 0. Scrieți acest zero sub 50. Scădeți imediat 0 din 50

Acum împărțiți numărul 50 în 125 de părți. Pentru a face acest lucru, scriem un alt zero la dreapta lui 50:

Împărțiți 500 la 125. Câte numere sunt 125 în numărul 500 Există patru numere 125 în numărul 500. Scrieți cele patru în cât:

Terminăm exemplul înmulțind 4 cu 125 pentru a obține 500

Am primit un răspuns de 0,04. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 5: 125 este 0,04

Împărțirea numerelor fără rest

Deci, să punem o virgulă după unitatea din coeficient, indicând astfel că împărțirea părților întregi s-a încheiat și trecem la partea fracțională:

Să adăugăm zero la restul de 4

Acum împărțim 40 la 5, obținem 8. Scriem opt în coeficient:

40−40=0. Mai avem 0. Aceasta înseamnă că împărțirea este complet finalizată. Împărțirea 9 la 5 dă fracția zecimală 1,8:

9: 5 = 1,8

Exemplul 2. Împărțiți 84 la 5 fără rest

Mai întâi, împarte 84 la 5, ca de obicei, cu un rest:

Avem 16 în privat și încă 4 au mai rămas. Acum să împărțim acest rest la 5. Puneți o virgulă în coeficient și adăugați 0 la restul 4

Acum împărțim 40 la 5, obținem 8. Scriem opt în coeficient după virgulă:

și completați exemplul verificând dacă mai există un rest:

Împărțirea unei zecimale la un număr obișnuit

O fracție zecimală, după cum știm, constă dintr-un număr întreg și o parte fracțională. Când împărțiți o fracție zecimală la un număr obișnuit, mai întâi trebuie să:

împărțiți întreaga parte a fracției zecimale la acest număr;
după ce întreaga parte este împărțită, trebuie să puneți imediat o virgulă în coeficient și să continuați calculul, ca în diviziunea normală.

De exemplu, împărțiți 4,8 la 2

Să scriem acest exemplu într-un colț:

Acum să împărțim întreaga parte la 2. Patru împărțit la doi este egal cu doi. Scriem două în coeficient și punem imediat virgulă:

Acum înmulțim câtul cu divizorul și vedem dacă există un rest din împărțire:

4−4=0. Restul este zero. Nu notăm încă zero, deoarece soluția nu este finalizată. În continuare, continuăm să calculăm ca în diviziunea obișnuită. Luați 8 și împărțiți-l la 2

8: 2 = 4. Scriem cele patru în cât și îl înmulțim imediat cu divizorul:

Am primit un răspuns de 2,4. Valoarea expresiei 4,8:2 este 2,4

Exemplul 2. Aflați valoarea expresiei 8.43: 3

Împărțiți 8 la 3, obținem 2. Puneți imediat o virgulă după 2:

Acum înmulțim câtul cu divizorul 2 × 3 = 6. Scriem șase sub opt și aflăm restul:

Împărțim 24 la 3, obținem 8. Scriem opt în coeficient. Înmulțiți-l imediat cu divizorul pentru a găsi restul diviziunii:

24−24=0. Restul este zero. Încă nu notăm zero. Luăm ultimele trei din dividend și împărțim la 3, obținem 1. Înmulțim imediat 1 cu 3 pentru a completa acest exemplu:

Răspunsul pe care l-am primit a fost 2,81. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 8,43: 3 este 2,81

Împărțirea unei zecimale la o zecimală

Pentru a împărți o fracție zecimală la o fracție zecimală, trebuie să mutați punctul zecimal în dividend și divizor la dreapta cu același număr de cifre ca și după punctul zecimal în divizor, apoi împărțiți la numărul obișnuit.

De exemplu, împărțiți 5,95 la 1,7

Să scriem această expresie cu un colț

Acum, în dividend și în divizor, mutăm virgula la dreapta cu același număr de cifre ca și după punctul zecimal din divizor. Împărțitorul are o cifră după virgulă. Aceasta înseamnă că în dividend și divizor trebuie să mutăm punctul zecimal la dreapta cu o cifră. Transferam:

După mutarea punctului zecimal la dreapta cu o cifră, fracția zecimală 5,95 a devenit fracția 59,5. Iar fracția zecimală 1,7, după ce a mutat punctul zecimal la dreapta cu o cifră, s-a transformat în numărul obișnuit 17. Și știm deja cum să împărțim o fracție zecimală la un număr obișnuit. Calculul suplimentar nu este dificil:

Virgula este mutată spre dreapta pentru a face împărțirea mai ușoară. Acest lucru este permis deoarece atunci când înmulțiți sau împărțiți dividendul și divizorul cu același număr, coeficientul nu se modifică. Ce înseamnă?

Aceasta este una dintre caracteristicile interesante ale diviziunii. Se numește proprietatea coeficientului. Luați în considerare expresia 9: 3 = 3. Dacă în această expresie dividendul și divizorul sunt înmulțite sau împărțite cu același număr, atunci coeficientul 3 nu se va modifica.

Să înmulțim dividendul și divizorul cu 2 și să vedem ce rezultă din el:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

După cum se poate vedea din exemplu, coeficientul nu s-a schimbat.

Același lucru se întâmplă atunci când mutăm virgula în dividend și în divizor. În exemplul anterior, în care am împărțit 5,91 la 1,7, am mutat virgula în dividend și divizor cu o cifră la dreapta. După mutarea punctului zecimal, fracția 5,91 a fost transformată în fracția 59,1, iar fracția 1,7 a fost transformată în numărul obișnuit 17.

De fapt, în cadrul acestui proces a existat o înmulțire cu 10. Iată cum arăta:

5,91 × 10 = 59,1

Prin urmare, numărul de cifre după punctul zecimal din divizor determină cu ce vor fi înmulțite dividendul și divizorul. Cu alte cuvinte, numărul de cifre după punctul zecimal din divizor va determina câte cifre din dividend, iar în divizor punctul zecimal va fi mutat la dreapta.

Împărțirea unei zecimale la 10, 100, 1000

Împărțirea unei zecimale la 10, 100 sau 1000 se face în același mod ca . De exemplu, împărțiți 2,1 la 10. Rezolvați acest exemplu folosind un colț:

Dar există o a doua cale. E mai usoara. Esența acestei metode este că virgula din dividend este mutată la stânga cu atâtea cifre câte zerouri există în divizor.

Să rezolvăm exemplul anterior în acest fel. 2.1: 10. Ne uităm la divizor. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că există un zero. Aceasta înseamnă că în dividendul de 2,1 trebuie să mutați punctul zecimal la stânga cu o cifră. Mutăm virgula la stânga cu o cifră și vedem că nu mai sunt cifre. În acest caz, adăugați încă un zero înaintea numărului. Ca rezultat, obținem 0,21

Să încercăm să împărțim 2,1 la 100. Există două zerouri în 100. Aceasta înseamnă că în dividendul 2.1 trebuie să mutăm virgula la stânga cu două cifre:

2,1: 100 = 0,021

Să încercăm să împărțim 2,1 la 1000. Există trei zerouri în 1000. Aceasta înseamnă că în dividendul 2.1 trebuie să mutați virgula la stânga cu trei cifre:

2,1: 1000 = 0,0021

Împărțirea unei zecimale la 0,1, 0,01 și 0,001

Împărțirea unei fracții zecimale la 0,1, 0,01 și 0,001 se face în același mod ca . În dividend și în divizor, trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta cu atâtea cifre câte sunt după punctul zecimal din divizor.

De exemplu, să împărțim 6,3 la 0,1. Mai întâi de toate, să mutăm virgulele din dividend și divizor la dreapta cu același număr de cifre ca și după punctul zecimal din divizor. Împărțitorul are o cifră după virgulă. Aceasta înseamnă că mutăm virgulele din dividend și divizor la dreapta cu o cifră.

După mutarea punctului zecimal la o cifră din dreapta, fracția zecimală 6,3 devine numărul obișnuit 63, iar fracția zecimală 0,1 după mutarea punctului zecimal la o cifră din dreapta se transformă într-una. Și împărțirea a 63 la 1 este foarte simplă:

Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 6,3: 0,1 este 63

Dar există o a doua cale. E mai usoara. Esența acestei metode este că virgula din dividend este mutată la dreapta cu atâtea cifre câte zerouri sunt în divizor.

Să rezolvăm exemplul anterior în acest fel. 6,3: 0,1. Să ne uităm la divizor. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că există un zero. Aceasta înseamnă că în dividendul de 6,3 trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta cu o cifră. Mutați virgula la o cifră din dreapta și obțineți 63

Să încercăm să împărțim 6,3 la 0,01. Divizorul lui 0,01 are două zerouri. Aceasta înseamnă că în dividendul 6.3 trebuie să mutăm punctul zecimal la dreapta cu două cifre. Dar în dividend există doar o cifră după virgulă. În acest caz, trebuie să adăugați un alt zero la sfârșit. Ca rezultat, obținem 630

Să încercăm să împărțim 6,3 la 0,001. Divizorul lui 0,001 are trei zerouri. Aceasta înseamnă că în dividendul 6.3 trebuie să mutăm punctul zecimal la dreapta cu trei cifre:

6,3: 0,001 = 6300

Sarcini pentru soluție independentă

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului nostru grup VKontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții

§ 102. Precizări preliminare.

În partea anterioară, ne-am uitat la fracții cu tot felul de numitori și le-am numit fracții obișnuite. Ne-a interesat orice fracție apărută în procesul de măsurare sau împărțire, indiferent de ce numitor am ajuns.

Acum, din întregul set de fracții, vom evidenția fracțiile cu numitori: 10, 100, 1.000, 10.000 etc., adică astfel de fracții ai căror numitori sunt doar numere reprezentate de unul (1) urmate de zerouri (unul sau mai multe). ). Astfel de fracții se numesc zecimal.

Iată exemple de fracții zecimale:

Am mai întâlnit fracții zecimale, dar nu am indicat proprietăți speciale inerente acestora. Vom arăta acum că au câteva proprietăți remarcabile care fac toate calculele cu fracții mai simple.

§ 103. Imaginea unei fracții zecimale fără numitor.

Fracțiile zecimale sunt de obicei scrise nu în același mod ca fracțiile obișnuite, ci după regulile prin care sunt scrise numerele întregi.

Pentru a înțelege cum să scrieți o fracție zecimală fără numitor, trebuie să vă amintiți cum este scris orice număr întreg în sistemul zecimal. Dacă, de exemplu, scriem un număr din trei cifre folosind doar numărul 2, adică numărul 222, atunci fiecare dintre aceste două cifre va avea o semnificație specială în funcție de locul pe care îl ocupă în număr. Primele două din dreapta reprezintă unități, a doua pentru zeci și a treia pentru sute. Astfel, orice cifră din stânga oricărei alte cifre denotă unități de zece ori mai mari decât cele notate de cifra anterioară. Dacă lipsește vreo cifră, atunci se scrie un zero în locul ei.

Deci, într-un număr întreg, unitățile sunt pe primul loc în dreapta, zecile sunt pe locul doi etc.

Acum să punem întrebarea ce cifră de unități vom obține dacă, de exemplu, suntem în numărul 222 s corect Să mai adăugăm un număr în lateral. Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să țineți cont de faptul că ultimele două (primul din dreapta) le reprezintă.

Prin urmare, dacă după cele două, care denotă unități, noi, făcând un pas înapoi, scriem un alt număr, de exemplu 3, atunci va indica unități, de zece ori mai mici decât precedentele, cu alte cuvinte, va însemna zecimi unități; rezultatul este un număr care conține 222 de unități întregi și 3 zecimi de unitate.

Este obișnuit să puneți o virgulă între părțile întregi și fracționale ale numărului, adică scrieți astfel:

Dacă adăugăm un alt număr la acest număr după cele trei, de exemplu 4, atunci va însemna 4 sutimi fracții de unitate; numărul va arăta astfel:

si se pronunta: doua sute douazeci si doua virgula treizeci si patru sutimi.

O nouă cifră, de exemplu 5, atunci când este atribuită acestui număr, ne oferă miimii: 222,345 (două sute douăzeci și două virgulă trei sute patruzeci și cinci de miimi).

Pentru o mai mare claritate, aranjarea numărului de cifre întregi și fracționale poate fi prezentată sub forma unui tabel:

Astfel, am explicat cum sunt scrise fracțiile zecimale fără numitor. Să scriem câteva dintre aceste fracții.

Pentru a scrie fracția 5/10 fără numitor, trebuie să țineți cont de faptul că nu are numere întregi și, prin urmare, locul numerelor întregi trebuie să fie ocupat de zero, adică 5/10 = 0,5.

Fracția 2 9 / 100 fără numitor se va scrie astfel: 2,09, adică în locul zecimilor trebuie să puneți zero. Dacă am fi omis acest 0, am fi primit o cu totul altă fracție, și anume 2,9, adică două întregi și nouă zecimi.

Aceasta înseamnă că atunci când scrieți fracții zecimale, trebuie să notați cifrele întregi și fracționale lipsă cu zero:

0,325 - fără numere întregi,
0,012 - fără numere întregi și fără zecimi,
1.208 - fără sutimi,
0,20406 - fără numere întregi, fără sutimi și fără zece miimi.

Numerele din dreapta punctului zecimal se numesc zecimale.

Pentru a evita greșelile atunci când scrieți fracții zecimale, trebuie să rețineți că după punctul zecimal din imaginea unei fracții zecimale ar trebui să existe tot atâtea numere câte ar fi zerouri la numitor dacă am scrie această fracție cu un numitor, adică.

0,1 = 1/10 (există un zero în numitor și o cifră după virgulă);

§ 104. Atașarea zerourilor la fracțiile zecimale.

Paragraful anterior a descris cum sunt reprezentate fracțiile zecimale fără numitori. Zero este important atunci când scrieți zecimale. Fiecare fracție zecimală adecvată are un zero în locul numerelor întregi pentru a indica faptul că fracția nu are numere întregi. Vom scrie acum mai multe fracții zecimale diferite folosind numerele: 0, 3 și 5.

0,35 - 0 întreg, 35 sutimi,
0,035 - 0 întreg, 35 de miimi,
0,305 - 0 întreg, 305 miimi,
0,0035 - 0 întreg, 35 zece miimi.

Să aflăm acum ce semnificație au zerourile plasate la sfârșitul fracției zecimale, adică în dreapta.

Dacă luăm un număr întreg, de exemplu 5, punem o virgulă după el și apoi scriem un zero după virgulă, atunci acest zero va însemna zero zecimi. În consecință, acest zero atribuit la dreapta nu va afecta valoarea numărului, adică.

Acum să luăm numărul 6,1 și să adăugăm un zero în dreapta lui, obținem 6,10, adică aveam 1/10 după virgulă, dar a devenit 10/100, dar 10/100 este egal cu 1/10. Aceasta înseamnă că dimensiunea numărului nu s-a schimbat, iar de la adăugarea unui zero la dreapta s-au schimbat doar aspectul numărului și pronunția (6,1 - șase virgulă o zecime; 6,10 - șase virgulă unu zece sutimi).

Cu un raționament similar, ne putem asigura că adăugarea de zerouri la dreapta unei fracții zecimale nu îi schimbă valoarea. Prin urmare, putem scrie următoarele egalități:

1 = 1,0,
2,3 = 2,300,
6,7 = 6,70000 etc.

Dacă adăugăm zerouri la stânga fracției zecimale, atunci acestea nu vor avea nicio semnificație. De fapt, dacă scriem zero în stânga numărului 4,6, atunci numărul va lua forma 04,6. Unde este zero? Sta în locul zecilor, adică arată că nu există zeci în acest număr, dar acest lucru este clar chiar și fără zero.

Cu toate acestea, trebuie amintit că uneori se adaugă zerouri la dreapta fracțiilor zecimale. De exemplu, există patru fracții: 0,32; 2,5; 13,1023; 5.238. Atribuim zerouri în dreapta acelor fracții care au mai puține zecimale după virgulă: 0,3200; 2,5000; 13,1023; 5,2380.

De ce se face asta? Adăugând zerouri la dreapta, am obținut patru cifre după virgulă pentru fiecare număr, ceea ce înseamnă că fiecare fracție va avea un numitor de 10.000, iar înainte de a adăuga zerouri, numitorul primei fracții a fost 100, a doua a fost 10, a treia a fost 10.000, iar a patra a fost 1.000. Astfel, prin adăugarea de zerouri, am egalat numărul de zecimale ale fracțiilor noastre, adică le-am adus la un numitor comun. Prin urmare, aducerea fracțiilor zecimale la un numitor comun se face prin adăugarea de zerouri la aceste fracții.

Pe de altă parte, dacă orice fracție zecimală are zerouri în dreapta, atunci le putem renunța fără a-i schimba valoarea, de exemplu: 2,60 = 2,6; 3,150 = 3,15; 4.200 = 4,2.

Cum ar trebui să înțelegem această scădere a zerourilor la dreapta fracției zecimale? Este echivalent cu reducerea sa, iar acest lucru se vede dacă scriem aceste fracții zecimale cu numitor:

§ 105. Compararea fracțiilor zecimale după mărime.

Când folosiți fracții zecimale, este foarte important să puteți compara fracții între ele și să răspundeți la întrebarea care sunt egale, care sunt mai mari și care sunt mai mici. Compararea zecimalelor funcționează diferit față de compararea numerelor întregi. De exemplu, un număr întreg de două cifre este întotdeauna mai mare decât un număr de o cifră, indiferent de câte unități există în numărul de o cifră; Un număr din trei cifre este mai mare decât un număr din două cifre și cu atât mai mult decât un număr dintr-o singură cifră. Dar atunci când comparăm zecimale, ar fi o greșeală să numărăm toate semnele în care sunt scrise fracțiile.

Să luăm două fracții: 3,5 și 2,5 și să le comparăm ca mărime. Au aceleași zecimale, dar prima fracție are 3 numere întregi, iar a doua are 2. Prima fracție este mai mare decât a doua, adică.

Să luăm alte fracții: 0,4 și 0,38. Pentru a compara aceste fracții, este util să adăugați un zero la dreapta primei fracții. Apoi vom compara fracțiile 0,40 și 0,38. Fiecare dintre ele are două cifre după virgulă: aceasta înseamnă că aceste fracții au același numitor 100.

Trebuie doar să le comparăm numărătorii, dar numărătorul lui 40 este mai mare decât 38. Aceasta înseamnă că prima fracție este mai mare decât a doua, adică.

Prima fracție are mai multe zecimi decât a doua, deși a doua fracție are cu 8 sutimi mai multe, dar sunt mai puțin de o zecime, deoarece 1/10 = 10/100.

Să comparăm acum următoarele fracții: 1,347 și 1,35. Să adăugăm un zero la dreapta celei de-a doua fracții și să comparăm fracțiile zecimale: 1,347 și 1,350. Părțile lor întregi sunt aceleași, ceea ce înseamnă că trebuie comparate doar părțile fracționale: 0,347 și 0,350. Aceste fracții au un numitor comun, dar numărătorul celei de-a doua fracții este mai mare decât numărătorul primei, ceea ce înseamnă că a doua fracție este mai mare decât prima, adică 1,35 > 1,347.

În cele din urmă, să comparăm încă două fracții: 0,625 și 0,62473. Să adăugăm două zerouri la prima fracție pentru a egaliza cifrele și să comparăm fracțiile rezultate: 0,62500 și 0,62473. Numitorii lor sunt aceiași, dar numărătorul primei fracții 62.500 este mai mare decât numărătorul celei de-a doua fracții 62.473. Prin urmare, prima fracție este mai mare decât a doua, adică 0,625 > 0,62473.

Pe baza celor de mai sus, putem trage următoarea concluzie: dintre două fracții zecimale, cea cu numărul mai mare de numere întregi este mai mare; când numerele întregi sunt egale, fracția care are cel mai mare număr de zecimi este mai mare; dacă numerele întregi și zecimi sunt egale, fracția cu numărul mai mare de sutimi este mai mare etc.

§ 106. Creșterea și descreșterea unei fracții zecimale de 10, 100, 1.000 etc. ori.

Știm deja că adăugarea de zerouri la o zecimală nu afectează valoarea acesteia. Când am studiat numerele întregi, am văzut că fiecare zero adăugat la dreapta crește numărul de 10 ori. Nu este greu de înțeles de ce s-a întâmplat asta. Dacă luăm un număr întreg, de exemplu 25, și adăugăm un zero în dreapta lui, atunci numărul va crește de 10 ori, numărul 250 este de 10 ori mai mare decât 25. Când în dreapta a apărut un zero, numărul 5, care anterior unități notate, acum au început să desemneze zeci, iar numărul 2, care înainte reprezenta zeci, a ajuns acum să fie sute. Aceasta înseamnă că, datorită apariției lui zero, cifrele anterioare au fost înlocuite cu altele noi, au devenit mai mari, s-au mutat cu un loc spre stânga. Când trebuie să creștem o fracție zecimală, de exemplu, de 10 ori, trebuie să mutăm și cifrele cu un loc la stânga, dar o astfel de mișcare nu poate fi realizată folosind zero. O fracție zecimală constă dintr-un număr întreg și o parte fracțională, iar granița dintre ele este o virgulă. La stânga punctului zecimal este cea mai mică cifră întreagă, la dreapta este cea mai mare cifră fracțională. Luați în considerare fracția:

Cum putem muta cifrele din el, cel puțin un loc, adică, cu alte cuvinte, cum îl putem crește de 10 ori? Dacă mutam virgula cu un loc la dreapta, atunci în primul rând acest lucru va afecta soarta celor cinci: se mută din regiunea numerelor fracționale în regiunea numerelor întregi. Numărul va arăta astfel: 12345.678. Schimbarea a avut loc cu toate celelalte numere, nu doar cu cinci. Toate numerele incluse în număr au început să joace un nou rol, s-a întâmplat următoarele (vezi tabelul):

Toate gradele și-au schimbat numele și toate unitățile de rang, ca să spunem așa, s-au mutat cu un loc în sus. Din aceasta, întregul număr a crescut de 10 ori. Astfel, mutarea zecimalei cu un loc la dreapta crește numărul de 10 ori.

Să vedem mai multe exemple:

1) Luați fracția 0,5 și mutați virgulă zecimală cu un loc la dreapta; obținem numărul 5, care este de 10 ori mai mare decât 0,5, pentru că anterior cinci desemnau zecimi de unitate, dar acum denotă unități întregi.

2) Mutați punctul zecimal din numărul 1.234 cu două locuri la dreapta; numărul va deveni 123,4. Acest număr este de 100 de ori mai mare decât cel precedent, deoarece în el numărul 3 a început să desemneze unități, numărul 2 - zeci, iar numărul 1 - sute.

Astfel, pentru a crește o fracție zecimală de 10 ori, trebuie să mutați zecimala cu un loc la dreapta; pentru a o mări de 100 de ori, trebuie să mutați virgula zecimală de două locuri la dreapta; să crească de 1.000 de ori - trei cifre la dreapta etc.

Dacă numărul nu are suficiente semne, atunci i se adaugă zerouri în partea dreaptă. De exemplu, să creștem fracția de 1,5 cu 100 de ori, mutând punctul zecimal la două locuri; obținem 150. Să creștem fracția 0,6 de 1.000 de ori; primim 600.

Înapoi dacă este necesar scădere fracție zecimală de 10, 100, 1.000, etc. ori, apoi trebuie să mutați punctul zecimal la stânga cu una, două, trei, etc. Să fie dată fracția 20,5; Să o reducem de 10 ori; Pentru a face acest lucru, mutați virgulă zecimală cu un loc la stânga, fracția va lua forma 2,05. Să reducem fracția 0,015 de 100 de ori; obținem 0,00015. Să reducem numărul 334 de 10 ori; obținem 33,4.

Decimalul este folosit atunci când trebuie să efectuați operații cu numere care nu sunt întregi. Acest lucru poate părea irațional. Dar acest tip de numere simplifică foarte mult operațiile matematice care trebuie efectuate cu ele. Această înțelegere vine în timp, când scrierea lor devine familiară, iar citirea lor nu provoacă dificultăți, iar regulile fracțiilor zecimale au fost stăpânite. Mai mult, toate acțiunile repetă pe cele deja cunoscute, care au fost învățate cu numere naturale. Trebuie doar să vă amintiți câteva caracteristici.

Definiție zecimală

O zecimală este o reprezentare specială a unui număr non-întreg cu un numitor care este divizibil cu 10, dând răspunsul ca unu și eventual zerouri. Cu alte cuvinte, dacă numitorul este 10, 100, 1000 și așa mai departe, atunci este mai convenabil să rescrieți numărul folosind o virgulă. Apoi întreaga parte va fi amplasată înaintea acesteia, iar apoi partea fracțională. Mai mult, înregistrarea celei de-a doua jumătăți a numărului va depinde de numitor. Numărul de cifre care se află în partea fracțională trebuie să fie egal cu cifra numitorului.

Cele de mai sus pot fi ilustrate cu aceste numere:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Motive pentru utilizarea zecimale

Matematicienii aveau nevoie de zecimale din mai multe motive:

Simplificarea inregistrarii. O astfel de fracție este situată de-a lungul unei linii fără o liniuță între numitor și numărător, în timp ce claritatea nu are de suferit.

Simplitate în comparație. Este suficient să corelați pur și simplu numerele care se află în aceleași poziții, în timp ce cu fracțiile obișnuite ar trebui să le reduceți la un numitor comun.

Simplificați calculele.

Calculatoarele nu sunt concepute pentru a accepta fracții; ele folosesc notația zecimală pentru toate operațiunile.

Cum să citești corect astfel de numere?

Răspunsul este simplu: la fel ca un număr mixt obișnuit cu un numitor care este un multiplu de 10. Singura excepție sunt fracțiile fără o valoare întreagă, apoi atunci când citiți trebuie să pronunți „număr întregi”.

De exemplu, 45/1000 ar trebui să fie pronunțat ca patruzeci şi cinci de miimi, în același timp 0,045 va suna ca zero virgulă patruzeci și cinci de miimi.

Un număr mixt cu o parte întreagă de 7 și o fracțiune de 17/100, care ar fi scris ca 7,17, ar fi citit în ambele cazuri ca șapte virgulă șaptesprezece.

Rolul cifrelor în scrierea fracțiilor

Marcarea corectă a rangului este ceea ce cere matematica. Decimale și semnificația lor se pot schimba semnificativ dacă scrieți cifra în locul greșit. Cu toate acestea, acest lucru era adevărat înainte.

Pentru a citi cifrele întregii părți a unei fracții zecimale, trebuie pur și simplu să utilizați regulile cunoscute pentru numerele naturale. Și în partea dreaptă sunt oglindite și citite diferit. Dacă întreaga parte a sunat „zeci”, atunci după virgulă zecimală va fi „zecimi”.

Acest lucru poate fi văzut clar în acest tabel.

Tabel cu zecimale

Clasă	mii			unitati			,	parte fracționată
deversare	celulă	dec.	unitati	celulă	dec.	unitati	,	al zecelea	sutime	miime	zecemiimea

Cum se scrie corect un număr mixt ca zecimală?

Dacă numitorul conține un număr egal cu 10 sau 100 și altele, atunci întrebarea cum să convertești o fracție într-o zecimală nu este dificilă. Pentru a face acest lucru, este suficient să rescrieți toate componentele în mod diferit. Următoarele puncte vă vor ajuta în acest sens:

scrieți puțin în lateral numărătorul fracției, în acest moment punctul zecimal este situat în dreapta, după ultima cifră;

mutați virgula la stânga, cel mai important lucru aici este să numărați corect numerele - trebuie să o mutați cu atâtea poziții câte zerouri sunt în numitor;

dacă nu sunt suficiente, atunci ar trebui să existe zerouri în pozițiile goale;

zerourile care erau la sfârșitul numărătorului nu sunt acum necesare și pot fi tăiate;

Înainte de virgulă, adăugați întreaga parte dacă nu era acolo, atunci va fi și zero.

Atenţie. Nu puteți tăia zerouri care sunt înconjurate de alte numere.

Puteți citi mai jos despre cum să faceți față unei situații în care numitorul conține mai mult decât unu și zerouri și cum să convertiți o fracție într-o zecimală. Acestea sunt informații importante pe care cu siguranță ar trebui să le citiți.

Cum se transformă o fracție într-o zecimală dacă numitorul este un număr arbitrar?

Există două opțiuni aici:

Când numitorul poate fi reprezentat ca un număr care este egal cu zece la orice putere.

Dacă o astfel de operaţie nu poate fi efectuată.

Cum pot verifica asta? Trebuie să factorizați numitorul. Dacă în produs sunt prezente doar 2 și 5, atunci totul este în regulă, iar fracția este ușor convertită într-o zecimală finală. În caz contrar, dacă apar 3, 7 și alte numere prime, rezultatul va fi infinit. Se obișnuiește să rotunjiți o astfel de fracție zecimală pentru ușurința utilizării în operațiunile matematice. Acest lucru va fi discutat puțin mai jos.

Explorează modul în care se fac zecimale, clasa a V-a. Exemplele de aici vor fi de mare ajutor.

Fie ca numitorii să conțină numerele: 40, 24 și 75. Descompunerea lor în factori primi va fi următoarea:

40=2·2·2·5;
24=2·2·2·3;
75=5·5·3.

În aceste exemple, doar prima fracție poate fi reprezentată ca fracție finală.

Algoritm pentru conversia unei fracții comune într-o zecimală finală

Verificați factorizarea numitorului în factori primi și asigurați-vă că va consta din 2 și 5.

Adaugă cât mai multe 2 și 5 la aceste numere, astfel încât să existe un număr egal. Ei vor da valoarea multiplicatorului suplimentar.

Înmulțiți numitorul și numărătorul cu acest număr. Rezultatul va fi o fracție obișnuită, sub linia căreia există 10 într-o anumită măsură.

Dacă în problemă aceste acțiuni sunt efectuate cu un număr mixt, atunci trebuie mai întâi reprezentat ca o fracție improprie. Și abia apoi acționați conform scenariului descris.

Reprezentarea unei fracții ca zecimală rotunjită

Această metodă de conversie a unei fracții într-o zecimală poate părea chiar mai ușoară pentru unii. Pentru că nu are multă acțiune. Trebuie doar să împărțiți numărătorul la numitor.

Orice număr cu o parte zecimală la dreapta punctului zecimal i se poate atribui un număr infinit de zerouri. Această proprietate este ceea ce trebuie să profitați.

În primul rând, notați întreaga parte și puneți o virgulă după ea. Dacă fracția este corectă, scrieți zero.

Apoi, trebuie să împărțiți numărătorul la numitor. Astfel încât să aibă același număr de cifre. Adică, adăugați numărul necesar de zerouri la dreapta numărătorului.

Efectuați împărțirea lungă până când este atins numărul necesar de cifre. De exemplu, dacă trebuie să rotunjiți la sutimi, atunci răspunsul ar trebui să fie 3. În general, ar trebui să existe un număr mai mult decât trebuie să obțineți în final.

Notează răspunsul intermediar după virgulă și rotunjește după reguli. Dacă ultima cifră este de la 0 la 4, atunci trebuie doar să o aruncați. Și când este egal cu 5-9, atunci cel din fața lui trebuie mărit cu unul, aruncându-l pe ultimul.

Revenirea de la zecimală la fracția comună

În matematică, există probleme când este mai convenabil să reprezinte fracții zecimale sub formă de fracții obișnuite, în care există un numărător cu numitor. Poți răsufla ușurat: această operație este întotdeauna posibilă.

Pentru această procedură trebuie să faceți următoarele:

notați întreaga parte, dacă este egală cu zero, atunci nu este nevoie să scrieți nimic;

trageți o linie de fracție;

deasupra ei, notează numerele din partea dreaptă, dacă zerourile apar mai întâi, atunci acestea trebuie tăiate;

sub linie scrieți unul cu atâtea zerouri câte cifre sunt după punctul zecimal în fracția originală.

Asta este tot ce trebuie să faci pentru a converti o zecimală într-o fracție.

Ce poți face cu zecimale?

La matematică, acestea vor fi anumite operații cu zecimale care au fost efectuate anterior pentru alte numere.

Sunt:

comparaţie;

adunarea și scăderea;

înmulțirea și împărțirea.

Prima acțiune, comparația, este similară cu modul în care a fost făcută pentru numerele naturale. Pentru a determina care este mai mare, trebuie să comparați cifrele întregii părți. Dacă se dovedesc a fi egale, atunci se trece la fracționar și, de asemenea, le compară prin cifre. Numărul cu cea mai mare cifră în cifra cea mai semnificativă va fi răspunsul.

Adunarea și scăderea zecimalelor

Aceștia sunt poate cei mai simpli pași. Deoarece se desfășoară după regulile pentru numerele naturale.

Deci, pentru a adăuga fracții zecimale, acestea trebuie scrise una sub alta, punând virgule într-o coloană. Cu această notație, părți întregi apar în stânga virgulelor, iar părțile fracționale la dreapta. Și acum trebuie să adăugați numerele bit cu bit, așa cum se face cu numerele naturale, mutând virgula în jos. Trebuie să începeți să adăugați de la cea mai mică cifră a părții fracționale a numărului. Dacă nu sunt suficiente numere în jumătatea dreaptă, atunci se adaugă zerouri.

Același lucru este valabil și pentru scădere. Și aici există o regulă care descrie posibilitatea de a lua o unitate de la cel mai înalt rang. Dacă fracția care este redusă are mai puține cifre după virgulă zecimală decât fracția care este scăzută, atunci se adaugă pur și simplu zerouri.

Situația este puțin mai complicată cu sarcinile în care trebuie să înmulțiți și să împărțiți fracții zecimale.

Cum se înmulțește o fracție zecimală în diferite exemple?

Regula de înmulțire a fracțiilor zecimale cu un număr natural este:

notează-le într-o coloană, ignorând virgula;

se inmultesc de parca ar fi naturale;

Separați cu virgulă atâtea cifre câte erau în partea fracționară a numărului original.

Un caz special este exemplul în care un număr natural este egal cu 10 la orice putere. Apoi, pentru a obține răspunsul, trebuie doar să mutați punctul zecimal la dreapta cu atâtea poziții câte zerouri există în celălalt factor. Cu alte cuvinte, atunci când este înmulțit cu 10, punctul zecimal se mișcă cu o cifră, cu 100 - vor fi două dintre ele și așa mai departe. Dacă nu există suficiente numere în partea fracționară, atunci trebuie să scrieți zerouri în pozițiile goale.

Regula care este folosită atunci când o sarcină necesită înmulțirea fracțiilor zecimale cu un alt același număr:

notează-le unul după altul, fără a fi atent la virgule;

înmulțiți de parcă ar fi naturale;

Separați prin virgulă atâtea cifre câte au existat în părțile fracționale ale ambelor fracții originale împreună.

Un caz special sunt exemplele în care unul dintre multiplicatori este egal cu 0,1 sau 0,01 și așa mai departe. În ele, trebuie să mutați punctul zecimal la stânga cu numărul de cifre din factorii prezentați. Adică, dacă este înmulțit cu 0,1, atunci punctul zecimal este deplasat cu o poziție.

Cum se împarte o fracție zecimală în diferite sarcini?

Împărțirea fracțiilor zecimale la un număr natural se face după următoarea regulă:

notează-le pentru împărțire într-o coloană ca și cum ar fi naturale;

împărțiți după regula obișnuită până se termină toată partea;

pune virgulă în răspuns;

continuă împărțirea componentei fracționale până când restul este zero;

dacă este necesar, puteți adăuga numărul necesar de zerouri.

Dacă partea întreagă este egală cu zero, atunci nu va fi nici în răspuns.

Separat, există împărțirea în numere egale cu zece, sută și așa mai departe. În astfel de probleme, trebuie să mutați punctul zecimal la stânga cu numărul de zerouri din divizor. Se întâmplă că nu există suficiente numere într-o parte întreagă, apoi se folosesc zerouri. Puteți vedea că această operație este similară cu înmulțirea cu 0,1 și numere similare.

Pentru a împărți zecimale, trebuie să utilizați această regulă:

transformați divizorul într-un număr natural și, pentru a face acest lucru, mutați virgula din el la dreapta până la sfârșit;

mutați punctul zecimal din dividend cu același număr de cifre;

acționează conform scenariului anterior.

Se evidențiază împărțirea cu 0,1; 0,01 și alte numere similare. În astfel de exemple, punctul zecimal este deplasat la dreapta cu numărul de cifre din partea fracțională. Dacă se epuizează, atunci trebuie să adăugați numărul de zerouri lipsă. Este de remarcat faptul că această acțiune repetă împărțirea cu 10 și numere similare.

Concluzie: totul ține de practică

Nimic în învățare nu vine ușor sau fără efort. Stăpânirea fiabilă a noilor materiale necesită timp și practică. Matematica nu face excepție.

Pentru a vă asigura că subiectul despre fracțiile zecimale nu provoacă dificultăți, trebuie să rezolvați cât mai multe exemple cu ele. La urma urmei, a existat o perioadă în care adăugarea numerelor naturale era o fundătură. Și acum totul este bine.

Prin urmare, pentru a parafraza o frază binecunoscută: decide, decide și decide din nou. Apoi sarcinile cu astfel de numere vor fi finalizate ușor și natural, ca un alt puzzle.

Apropo, puzzle-urile sunt greu de rezolvat la început, iar apoi trebuie să faci mișcările obișnuite. La fel este și în exemplele matematice: după ce ai mers pe aceeași cale de mai multe ori, atunci nu te vei mai gândi unde să te întorci.

În acest articol vom înțelege ce este o fracție zecimală, ce caracteristici și proprietăți are. Să mergem! 🙂

O fracție zecimală este un caz special de fracții obișnuite (unde numitorul este un multiplu al lui 10).

Definiţie

Decimalele sunt fracții ai căror numitori sunt numere formate din unu și un număr de zerouri care le urmează. Adică, acestea sunt fracții cu numitorul 10, 100, 1000 etc. În caz contrar, o fracție zecimală poate fi caracterizată ca o fracție cu numitorul lui 10 sau una dintre puterile lui zece.

Exemple de fracții:

, ,

Fracțiile zecimale sunt scrise diferit de fracțiile obișnuite. Operațiile cu aceste fracții sunt, de asemenea, diferite de operațiile cu cele obișnuite. Regulile pentru operațiunile cu ele sunt în mare măsură similare cu regulile pentru operațiunile cu numere întregi. Acest lucru, în special, explică cererea lor de a rezolva probleme practice.

Reprezentarea fracțiilor în notație zecimală

Fracția zecimală nu are numitor; afișează numărul numărătorului. În general, o fracție zecimală se scrie după următoarea schemă:

unde X este partea întreagă a fracției, Y este partea sa fracțională, „,” este punctul zecimal.

Pentru a reprezenta corect o fracție ca zecimală, este nevoie să fie o fracție obișnuită, adică cu partea întreagă evidențiată (dacă este posibil) și un numărător care este mai mic decât numitorul. Apoi, în notație zecimală, partea întreagă este scrisă înainte de virgulă zecimală (X), iar numărătorul fracției comune este scris după virgulă zecimală (Y).

Dacă numărătorul conține un număr cu mai puține cifre decât numărul de zerouri din numitor, atunci în partea Y numărul de cifre lipsă din notația zecimală este completat cu zerouri înaintea cifrelor numărătorului.

Exemplu:

Dacă o fracție obișnuită este mai mică de 1, i.e. nu are o parte întreagă, atunci pentru X în formă zecimală scrieți 0.

În partea fracționară (Y), după ultima cifră semnificativă (diferită de zero), se poate introduce un număr arbitrar de zerouri. Acest lucru nu afectează valoarea fracției. În schimb, toate zerourile de la sfârșitul părții fracționale a zecimalei pot fi omise.

Citirea zecimale

Partea X este, în general, citită după cum urmează: „X numere întregi”.

Partea Y se citește în funcție de numărul din numitor. Pentru numitorul 10 ar trebui să citiți: „Y zecimi”, pentru numitorul 100: „Y sutimi”, pentru numitorul 1000: „Y zecimi” și așa mai departe... 😉

O altă abordare a citirii, bazată pe numărarea numărului de cifre ale părții fracționale, este considerată mai corectă. Pentru a face acest lucru, trebuie să înțelegeți că cifrele fracționale sunt situate într-o imagine în oglindă în raport cu cifrele întregii părți a fracției.

Numele pentru citirea corectă sunt date în tabel:

Pe baza acestui fapt, citirea ar trebui să se bazeze pe respectarea numelui cifrei ultimei cifre a părții fracționale.

3.5 spune „trei virgulă cinci”
0,016 spune „zero virgulă șaisprezece miimi”

Conversia unei fracții arbitrare într-o zecimală

Dacă numitorul unei fracții comune este 10 sau o putere a lui zece, atunci fracția este convertită așa cum este descris mai sus. În alte situații, sunt necesare transformări suplimentare.

Există 2 metode de traducere.

Prima metodă de transfer

Numătorul și numitorul trebuie înmulțite cu un astfel de număr întreg încât numitorul să producă numărul 10 sau una dintre puterile lui zece. Și apoi fracția este reprezentată în notație zecimală.

Această metodă este aplicabilă pentru fracțiile al căror numitor poate fi extins doar în 2 și 5. Deci, în exemplul anterior . Dacă expansiunea conține alți factori primi (de exemplu, ), atunci va trebui să recurgeți la metoda a 2-a.

A doua metodă de traducere

A doua metodă este de a împărți numărătorul la numitor într-o coloană sau pe un calculator. Întreaga parte, dacă există, nu participă la transformare.

Regula pentru împărțirea lungă care are ca rezultat o fracție zecimală este descrisă mai jos (vezi Împărțirea zecimalelor).

Transformarea unei fracții zecimale într-o fracție comună

Pentru a face acest lucru, ar trebui să scrieți partea sa fracțională (în dreapta punctului zecimal) ca numărător, iar rezultatul citirii părții fracționale ca număr corespunzător în numitor. Apoi, dacă este posibil, trebuie să reduceți fracția rezultată.

Fracție zecimală finită și infinită

O fracție zecimală se numește fracție finală, a cărei parte fracțională este formată dintr-un număr finit de cifre.

Toate exemplele de mai sus conțin fracții zecimale finale. Cu toate acestea, nu orice fracție obișnuită poate fi reprezentată ca o zecimală finală. Dacă prima metodă de conversie nu este aplicabilă pentru o anumită fracție, iar cea de-a doua metodă demonstrează că împărțirea nu poate fi finalizată, atunci se poate obține doar o fracție zecimală infinită.

Este imposibil să scrieți o fracție infinită în forma sa completă. Într-o formă incompletă, astfel de fracții pot fi reprezentate:

ca urmare a reducerii la numărul dorit de zecimale;
ca fracție periodică.

O fracție se numește periodică dacă după virgulă zecimală este posibil să se distingă o secvență de cifre care se repetă la nesfârșit.

Fracțiile rămase se numesc neperiodice. Pentru fracțiile neperiodice este permisă doar prima metodă de reprezentare (rotunjire).

Un exemplu de fracție periodică: 0,8888888... Aici există un număr 8 care se repetă, care, evident, se va repeta la infinit, întrucât nu există niciun motiv să presupunem altfel. Această cifră se numește perioada fracției.

Fracțiile periodice pot fi pure sau mixte. O fracție zecimală pură este una a cărei perioadă începe imediat după virgulă. O fracție mixtă are 1 sau mai multe cifre înainte de virgulă.

54,33333… – fracție zecimală pură periodică

2,5621212121… – fracție mixtă periodică

Exemple de scriere a fracțiilor zecimale infinite:

Al doilea exemplu arată cum să formatați corect o perioadă în scrierea unei fracții periodice.

Conversia fracțiilor zecimale periodice în fracții obișnuite

Pentru a converti o fracție periodică pură într-o perioadă obișnuită, scrieți-o la numărător și scrieți un număr format din nouă într-o sumă egală cu numărul de cifre din perioada la numitor.

Fracția zecimală periodică mixtă se traduce după cum urmează:

trebuie să formați un număr format din numărul după virgulă zecimală înainte de punct și prima perioadă;
Din numărul rezultat, scădeți numărul după punctul zecimal dinaintea punctului. Rezultatul va fi numărătorul fracției comune;
la numitor trebuie să introduceți un număr format dintr-un număr de nouă egal cu numărul de cifre ale perioadei, urmat de zerouri, al căror număr este egal cu numărul de cifre ale numărului după virgulă zecimală înainte de prima perioadă.

Comparația zecimale

Fracțiile zecimale sunt comparate inițial după părțile lor întregi. Fracția a cărei întreaga parte este mai mare este mai mare.

Dacă părțile întregi sunt aceleași, atunci comparați cifrele cifrelor corespunzătoare ale părții fracționale, începând de la prima (de la zecimi). Același principiu se aplică și aici: fracția mai mare este cea cu mai multe zecimi; dacă cifrele zecimiilor sunt egale, cifrele zecimii sunt comparate și așa mai departe.

Deoarece

, deoarece cu părți întregi egale și zecimi egale în partea fracțională, a 2-a fracție are o sutimă mai mare.

Adunarea și scăderea zecimalelor

Decimalele se adună și se scad în același mod ca și numerele întregi prin scrierea cifrelor corespunzătoare una sub alta. Pentru a face acest lucru, trebuie să aveți puncte zecimale una sub alta. Apoi unitățile (zecile etc.) ale părții întregi, precum și zecimile (sutimele etc.) ale părții fracționale, vor fi în concordanță. Cifrele lipsă ale părții fracționale sunt umplute cu zerouri. Direct Procesul de adunare și scădere se efectuează în același mod ca pentru numerele întregi.

Înmulțirea zecimalelor

Pentru a înmulți zecimale, trebuie să le scrieți una sub alta, aliniate cu ultima cifră și fără să acordați atenție locației punctelor zecimale. Apoi, trebuie să înmulți numerele în același mod ca atunci când înmulți numerele întregi. După primirea rezultatului, ar trebui să recalculați numărul de cifre după virgulă în ambele fracții și să separați numărul total de cifre fracționale din numărul rezultat cu o virgulă. Dacă nu sunt suficiente cifre, acestea sunt înlocuite cu zerouri.

Înmulțirea și împărțirea zecimalelor cu 10n

Aceste acțiuni sunt simple și se reduc la mutarea punctului zecimal. P La înmulțire, punctul zecimal este mutat la dreapta (fracția este mărită) cu un număr de cifre egal cu numărul de zerouri din 10n, unde n este o putere întreagă arbitrară. Adică, un anumit număr de cifre sunt transferate din partea fracțională în întreaga parte. La împărțire, în consecință, virgula este mutată la stânga (numărul scade), iar unele dintre cifre sunt transferate din partea întreagă în partea fracțională. Dacă nu sunt suficiente numere de transferat, atunci biții lipsă sunt umpluți cu zerouri.

Împărțirea unei zecimale și a unui număr întreg la un număr întreg și o zecimală

Împărțirea unei zecimale la un întreg este similară cu împărțirea a două numere întregi. În plus, trebuie să țineți cont doar de poziția punctului zecimal: atunci când eliminați cifra unui loc urmată de o virgulă, trebuie să plasați o virgulă după cifra curentă a răspunsului generat. Apoi, trebuie să continuați împărțirea până când obțineți zero. Dacă nu există suficiente semne în dividend pentru împărțirea completă, zerouri ar trebui să fie folosite ca acestea.

În mod similar, 2 numere întregi sunt împărțite într-o coloană dacă toate cifrele dividendului sunt eliminate și diviziunea completă nu este încă finalizată. În acest caz, după eliminarea ultimei cifre a dividendului, un punct zecimal este plasat în răspunsul rezultat și zerouri sunt folosite ca cifre eliminate. Aceste. dividendul aici este reprezentat în esență ca o fracție zecimală cu o parte fracțională zero.

Pentru a împărți o fracție zecimală (sau un număr întreg) cu un număr zecimal, trebuie să înmulțiți dividendul și divizorul cu numărul 10 n, în care numărul de zerouri este egal cu numărul de cifre după virgulă zecimală din divizor. În acest fel, scapi de punctul zecimal din fracția cu care vrei să o împarți. În plus, procesul de împărțire coincide cu cel descris mai sus.

Reprezentarea grafică a fracțiilor zecimale

Fracțiile zecimale sunt reprezentate grafic folosind o linie de coordonate. Pentru a face acest lucru, segmentele individuale sunt împărțite în continuare în 10 părți egale, la fel cum centimetrii și milimetrii sunt marcați simultan pe o riglă. Acest lucru asigură că zecimale sunt afișate cu acuratețe și pot fi comparate în mod obiectiv.

Pentru ca diviziunile pe segmente individuale să fie identice, ar trebui să luați în considerare cu atenție lungimea singurului segment în sine. Ar trebui să fie astfel încât să poată fi asigurată comoditatea divizării suplimentare.