Значения косинуса и синуса на окружности. Как запомнить точки на единичной окружности. Косинус и синус основных точек числовой окружности

Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».

Теперь попробуй на основе вышеизложенного найти синус и косинус углов: и

Можно схитрить: в частности для угла в градусов. Так как если один угол прямоугольного треугольника равен градусам, то второй - градусам. Теперь вступают в силу знакомые тебе формулы:

Тогда так как, то и. Так как, то и. C градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен градусам, то и другой тоже равен градусам, а значит такой треугольник равнобедренный.

Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус.

Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в градусов и градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!

У тебя должно было получиться:

Тангенс и котангенс ты можешь отыскать самостоятельно по формулам:

Обрати внимание, что на ноль делить нельзя!!

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:

Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти . Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса градусов. Это неспроста!

В частности:

Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:

Угол лежит в пределах от до градусов
Угол больше градусов

Вообще говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим в другой статье. Вначале остановимся на первом случае.

Если угол лежит в 1 четверти - то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали.

Теперь же пусть наш угол больше градусов и не больше чем. Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти.

Как мы поступаем? Да точно так же!

Давай рассмотрим вместо вот такого случая...

...вот такой:

То есть рассмотрим угол, лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него?

У точки, которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты и.

Причем первая координата отрицательная, а вторая - положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус - положителен!

Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.

Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника. Кстати, подумай, у каких углов косинус равен? А у каких равен синус?

Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!).

Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой.

Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.

Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:

Давай мы с тобой немного потренируемся. Совсем простые задачки:

Выяснить, какой знак имеют следующие величины:

Проверим?

градусов - это угол, больший и меньший, а значит лежит в 3 четверти. Нарисуй любой угол в 3 четверти и посмотри, какой у него игрек. Он окажется отрицательным. Тогда.
градусов - угол 2 четверти. Синус там положительный, а косинус - отрицательный. Плюс делить на минус - будет минус. Значит.
градусов - угол, больший и меньший. Значит, он лежит в 4 четверти. У любого угла четвертой четверти «икс» будет положительным, значит
C радианами работаем аналогично: это угол второй четверти (так как и. Синус второй четверти положительный.
.
, это угол четвертой четверти. Там косинус положительный.
- угол снова четвертой четверти. Там косинус положительный, а синус - отрицательный. Тогда тангенс будет меньше нуля:

Быть может, тебе сложно определять четверти по радианам. В таком случае, ты всегда можешь перейти к градусам. Ответ, разумеется, будет точно таким же.

Теперь я хотел бы очень кратко остановиться вот еще на каком моменте. Давай снова вспомним основное тригонометрическое тождество.

Как я уже говорил, из него мы можем выразить синус через косинус или наоборот:

На выбор знака же будет влиять только та четверть, в которой находится наш угол альфа. На последние две формулы существует масса задач в ЕГЭ, например, вот таких:

Задача

Найдите, если и.

На самом деле, это задача на четверть! Смотри, как она решается:

Решение

Так как, то подставим сюда значение, тогда. Теперь дело за малым: разобраться со знаком. Что нам для этого нужно? Знать, в какой четверти находится наш угол. По условию задачи: . Какая это четверть? Четвертая. Каков знак косинуса в четвертой четверти? Косинус в четвертой четверти положительный. Тогда и нам остается выбрать знак «плюс» перед. , тогда.

Я не буду сейчас подробно останавливаться на таких задачах, их подробный разбор ты можешь найти в статье « ». Я лишь хотел указать тебе на важность того, какой знак принимает та или иная тригонометрическая функция в зависимости от четверти.

Углы больше градусов

Последнее, что я бы хотел отметить в этой статье - это как быть с углами, большими чем градусов?

Что это такое и с чем это можно есть, чтобы не подавиться? Возьму, я скажем, угол в градусов (радиан) и пойду от него против часовой стрелки…

На рисунке я нарисовал спираль, но ты-то понимаешь, что на самом деле у нас нет никакой спирали: у нас есть только окружность.

Так куда же мы попадем, если стартуем от определенного угла и пройдем полностью весь круг (градусов или радиан)?

Куда мы придем? А придем мы в тот же самый угол!

Это же, конечно, справедливо и для любого другого угла:

Взяв произвольный угол и пройдя полностью всю окружность, мы вернемся в тот же самый угол.

Что же нам это даст? А вот что: если, то

Откуда окончательно получим:

Для любого целого. Это значит, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом .

Таким образом, нет никакой проблемы в том, чтобы найти знак теперь уже произвольного угла: нам достаточно отбросить все «целые круги», которые умещаются в нашем угле и выяснить, в какой четверти лежит оставшийся угол.

Например, найти знак:

Проверяем:

В градусов умещается раза по градусов (градусов):
осталось градусов. Это угол 4 четверти. Там синус отрицательный, значит
. градусов. Это угол 3 четверти. Там косинус отрицательный. Тогда
. . Так как, то - угол первой четверти. Там косинус положителен. Тогда cos
. . Так как, то наш угол лежит во второй четверти, где синус положительный.

Аналогичным образом мы можем поступать для тангенса и котангенса. Однако на самом деле с ними еще проще: они также являются периодическими функциями, только вот период у них в 2 раза меньше:

Итак, ты понял что такое тригонометрическая окружность и для чего она нужна.

Но у нас осталось еще очень много вопросов:

А что такое отрицательные углы?
Как вычислять значения тригонометрических функций в этих углах
Как по известным значениям тригонометрических функций 1 четверти искать значения функций в других четвертях (неужто надо зубрить таблицу?!)
Как с помощью круга упрощать решения тригонометрических уравнений?

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Ну что же, в этой статье мы с тобой продолжим изучение тригонометрической окружности и обсудим следующие моменты:

Что такое отрицательные углы?
Как вычислять значения тригонометрических функций в этих углах?
Как по известным значениям тригонометрических функций 1 четверти искать значения функций в других четвертях?
Что такое ось тангенсов и ось котангенсов?

Никаких дополнительных знаний, кроме как базовых навыков работы с единичной окружностью (предыдущая статья) нам не понадобится. Ну что же, давай приступим к первому вопросу: что такое отрицательные углы?

Отрицательные углы

Отрицательные углы в тригонометрии откладываются на тригонометрическом круге вниз от начала, по направлению движения часовой стрелки:

Давай вспомним, как мы до этого откладывали углы на тригонометрической окружности: Мы шли от положительного направления оси против часовой стрелки :

Тогда на нашем рисунке построен угол, равный. Аналогичным образом мы строили все углы.

Однако ничего нам не запрещает идти от положительного направления оси по часовой стрелке .

Мы будем тоже получать различные углы, но они будут уже отрицательными :

На следующей картинке изображено два угла, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку:

В целом правило можно сформулировать вот так:

Идем против часовой стрелки - получаем положительные углы
Идем по часовой стрелке - получаем отрицательные углы

Схематично правило изображено вот на этом рисунке:

Ты мог бы задать мне вполне резонный вопрос: ну углы нам нужны для того, чтобы измерять у них значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Так есть ли разница, когда у нас угол положительный, а когда - отрицательный? Я отвечу тебе: как правило есть.

Однако ты всегда можешь свести вычисление тригонометрической функции от отрицательного угла к вычислению функции в угле положительном .

Посмотри на следующую картинку:

Я построил два угла, они равны по абсолютному значению, но имеют противоположный знак. Отметим для каждого из углов его синус и косинус на осях.

Что мы с тобой видим? А вот что:

Синусы у углов и противоположны по знаку! Тогда если
Косинусы у углов и совпадают! Тогда если
Так как, то:
Так как, то:

Таким образом, мы всегда можем избавиться от отрицательного знака внутри любой тригонометрической функции: либо просто уничтожив его, как у косинуса, либо поставив его перед функцией, как у синуса, тангенса и котангенса.

Кстати, вспомни-ка, как называется функция, у которой для любого допустимого выполняется: ?

Такая функция называется нечетной .

А если же для любого допустимого выполняется: ? То в таком случае функция называется четной .

Таким образом, мы с тобой только что показали, что:

Синус, тангенс и котангенс - нечетные функции, а косинус - четная.

Таким образом, как ты понимаешь, нет никакой разницы, ищем ли мы синус от положительного угла или отрицательного: справиться с минусом очень просто. Так что нам не нужны таблицы отдельно для отрицательных углов.

С другой стороны, согласись, было бы очень удобно зная только тригонометрические функции углов первой четверти, уметь вычислять аналогичные функции и для остальных четвертей. Можно ли это сделать? Конечно, можно! У тебя есть по крайней мере 2 пути: первый - строить треугольник и применять теорему Пифагора (так мы с тобой и отыскали значения тригонометрических функций для основных углов первой четверти), а второй - запомнив значения функций для углов в первой четверти и некое несложное правило, уметь вычислять тригонометрические функции для всех остальных четвертей. Второй способ избавит тебя от долгой возни с треугольниками и с Пифагором, поэтому мне он видится более перспективным:

Итак, данный способ (или правило) называется - формулы приведения.

Формулы приведения

Грубо говоря, эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу (она между прочим содержит 98 чисел!) :

если ты помнишь вот эту (всего на 20 чисел):

То есть ты сможешь не забивать себе голову совершенно ненужными 78 числами! Пусть, например, нам нужно вычислить. Ясно, что в маленькой таблице такого нет. Что же нам делать? А вот что:

Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

Синус и косинус имеют период (градусов), то есть
Тангенс (котангенс) имеют период (градусов)

Любое целое число
Синус и тангенс - функции нечетные, а косинус - четная:

Первое утверждение мы уже доказали с тобой, а справедливость второго установили совсем недавно.

Непосредственно правило приведения выглядит вот так:

Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла - делаем его положительным при помощи группы формул (2). Например:
Отбрасываем для синуса и косинуса его периоды: (по градусов), а для тангенса - (градусов). Например:
Если оставшийся «уголок» меньше градусов, то задача решена: ищем его в «малой таблице».
Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол: это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!
Представляем угол в одной из следующих форм:
(если во второй четверти)
(если во второй четверти)
(если в третьей четверти)
(если в третьей четверти)

(если в четвертой четверти)

так, чтобы оставшийся угол был больше нуля и меньше градусов. Например:

В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.
Теперь смотрим, что у нас получилось: если ты выбрал запись через или градусов плюс минус что-либо, то знак функции меняться не будет: ты просто убираешь или и записываешь синус, косинус или тангенс оставшегося угла. Если же ты выбрал запись через или градусов, то синус меняем на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс - на тангенс.
Ставим перед получившимся выражением знак из пункта 4.

Давай продемонстрируем все вышесказанное на примерах:

Вычислить
Вычислить
Най-ди-те зна-че-ние вы-ра-же-ния:

Начнем по порядку:

Действуем согласно нашему алгоритму. Выделяем целое число кругов для:
В общем, делаем вывод, что в угол помещается целиком 5 раз по, а сколько осталось? Осталось. Тогда

Ну вот, лишнее мы отбросили. Теперь разбираемся со знаком. лежит в 4 четверти. Синус четвертой четверти имеет знак «минус», его я и не должен забыть поставить в ответе. Далее, представляем согласно одной из двух формул пункта 5 правил приведения. Я выберу:

Теперь смотрим, что получилось: у нас случай с градусами, тогда отбрасываем и синус меняем на косинус. И ставим перед ним знак «минус»!

градусов - угол в первой четверти. Мы знаем (ты мне обещал выучить малую таблицу!!) его значение:

Тогда получим окончательный ответ:

Ответ:
все то же самое, но вместо градусов - радианы. Ничего страшного. Главное помнить, что
Но можно и не заменять радианы на градусы. Это вопрос твоего вкуса. Я не буду ничего менять. Начну опять-таки с отбрасывания целых кругов:

Отбрасываем - это два целых круга. Осталось вычислить. Данный угол находится в третьей четверти. Косинус третьей четверти отрицательный. Не забудем поставить знак «минус» в ответе. можно представить как. Снова вспоминаем правило: у нас случай «целого» числа (или), тогда функция не меняется:

Тогда.
Ответ: .
. Нужно проделать все то же самое, но уже с двумя функциями. Я буду несколько более краток: и градусов - углы второй четверти. Косинус второй четверти имеет знак «минус», а синус - «плюс». можно представить как: , а как, тогда
Оба случая - «половинки от целого ». Тогда синус меняется на косинус, а косинус - на синус. Причем перед косинусом стоит знак «минус»:

Ответ: .

Теперь потренируйся самостоятельно на следующих примерах:

А вот и решения:

Вначале избавимся от минуса, вынеся его перед синусом (поскольку синус - функция нечетная!!!). Затем рассмотрим углы:
Отбрасываем целое количество кругов - то есть три круга ().
Остается вычислить: .
Так же поступаем и со вторым углом:

Удаляем целое число кругов - 3 круга () тогда:

Теперь думаем: в какой четверти лежит оставшийся угол? Он «не дотягивает» до всего. Тогда какая это четверть? Четвертая. Каков знак косинуса четвертой четверти? Положительный. Теперь представим. Так как вычитаем мы из целого количества, то знак косинуса не меняем:

Подставляем все полученные данные в формулу:

Ответ: .
Стандартно: убираем минус из косинуса, пользуясь тем, что.
Осталось сосчитать косинус градусов. Уберем целые круги: . Тогда
Тогда.
Ответ: .
Действуем, как в предыдущем примере.
Поскольку ты помнишь, что период у тангенса - (или) в отличие от косинуса или синуса, у которых он в 2 раза больше, то удалим целое количество.

градусов - угол во второй четверти. Тангенс второй четверти отрицательный, тогда не забудем в конце о «минусе»! можно записать как. Тангенс меняется на котангенс. Окончательно получим:

Тогда.
Ответ: .

Ну что же, осталось совсем немного!

Ось тангенсов и ось котангенсов

Последнее, на чем бы мне хотелось здесь остановиться - это на двух дополнительных осях. Как мы уже обсуждали, у нас есть две оси:

Ось - ось косинусов
Ось - ось синусов

На самом деле, координатные оси у нас закончились, не так ли? Но а как же быть с тангенсами и котангенсами?

Неужели, для них нет никакой графической интерпретации?

На самом деле, она есть, ее ты можешь увидеть на вот этой картинке:

В частности, по этим картинкам можно сказать вот что:

Тангенс и котангенс имеют одинаковые знаки по четвертям
Они положительны в 1 и 3 четверти
Они отрицательны во 2 и 4 четверти
Тангенс не определен в углах
Котангенс не определен в углах

Для чего еще нужны эти картинки? Узнаешь на продвинутом уровне, где я расскажу, как с помощью тригонометрического круга можно упрощать решения тригонометрических уравнений!

ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

В этой статье я опишу, как единичная окружность (тригонометрическая окружность) может пригодиться при решении тригонометрических уравнений.

Я могу выделить два случая, когда она может оказаться полезной:

В ответе у нас не получается «красивый» угол, но тем не менее надо производить отбор корней
В ответе получается уж слишком много серий корней

Никаких специфических знаний тебе не требуется, кроме знания темы:

Тему «тригонометрические уравнения» я старался писать, не прибегая к окружности. Многие бы меня за такой подход не похвалили.

Но мне милее формулы, уж что тут поделать. Однако в некоторых случаях формул оказывается мало. Написать эту статью меня мотивировал следующий пример:

Решите уравнение:

Ну что же. Решить само уравнение несложно.

Обратная замена:

Отсюда наше исходное уравнение равносильно аж четырем простейшим уравнениям! Неужели нам нужно будет записывать 4 серии корней:

В принципе, на этом можно было бы и остановиться. Но только не читателям данной статьи, претендующей на некую «усложненность»!

Вначале рассмотрим первую серию корней. Итак, берется единичная окружность, теперь давай нанесем эти корни на окружность (отдельно для и для):

Обрати внимание: какой угол получился между углами и? Это угол. Теперь проделаем то же самое и для серии: .

Между корнями уравнения снова получился угол в. А теперь совместим эти две картинки:

Что же мы видим? А то, все углы между нашими корнями равны. А что это значит?

Если мы стартуем от угла и будем брать углы, равные (для любого целого), то мы всегда попадем в одну из четырех точек на верхней окружности! Таким образом, 2 серии корней:

Можно объединить в одну:

Увы, для серий корней:

Данные рассуждения уже не будут справедливы. Сделай чертеж и пойми, почему это так. Однако, их можно объединить следующим образом:

Тогда исходное уравнение имеет корни:

Что является довольно кратким и лаконичным ответом. А о чем говорит краткость и лаконичность? Об уровне твоей математической грамоты.

Это был первый пример, в котором использование тригонометрической окружности дало полезные плоды.

Второй пример - уравнения, которые имеют «некрасивые корни».

Например:

Решите уравнение.
Найдите его корни, принадлежащие промежутку.

Первая часть не представляет из себя ничего сложного.

Поскольку ты уже знаком с темой , то я позволю себе быть кратким в моих выкладках.

тогда или

Так мы нашли корни нашего уравнения. Ничего сложного.

Сложнее решить вторую часть задания, не зная, чему в точности равен арккосинус от минус одной четверти (это не табличное значение).

Однако мы можем изобразить найденные серии корней на единичной окружности:

Что мы видим? Во-первых, рисунок дал нам понять, в каких пределах лежит арккосинус:

Эта визуальная интерпретация поможет нам найти корни, принадлежащие отрезку: .

Во-первых, в него попадает само число, затем (см. рис).

также принадлежит отрезку.

Таким образом, единичная окружность помогает определить, в какие пределы попадают «некрасивые» углы.

У тебя должен был остаться по крайней мере еще один вопрос: а как нам быть с тангенсами и котангенсами?

На самом деле, для них тоже есть свои оси, правда они имеют немного специфический вид:

В остальном же способ обращения с ними будет такой же, как с синусом и косинусом.

Пример

Дано уравнение.

Решите данное уравнение.
Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку.

Решение:

Рисуем единичную окружность и отмечаем на ней наши решения:

Из рисунка можно понять, что:

Или даже более того: так как, то

Тогда найдем корни, принадлежащие отрезку.

, (так как)

Предоставляю тебе самостоятельно убедиться, что других корней, принадлежащих промежутку, наше уравнение не имеет.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Главный инструмент тригонометрии - это тригонометрическая окружность, она позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.

Есть два способа измерять углы.

Через градусы
Через радианы

И наоборот: от радиан к градусам:

Чтобы найти синус и косинус угла нужно:

Провести единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла.
Найти точку пересечения этого угла с окружностью.
Её «иксовая» координата - это косинус искомого угла.
Её «игрековая» координата - это синус искомого угла.

Формулы приведения

Это формулы, позволяющие упростить сложные выражения тригонометрической функции.

Эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу:

Подведение итогов

Ты научился делать универсальную шпору по тригонометрии.

Ты научился решать задачи намного легче и быстрее и, самое главное, без ошибок.

Ты понял, что тебе не надо зубрить никакие таблицы и вообще мало что нужно зубрить!

Теперь я хочу услышать тебя!

Удалось ли тебе разобраться с этой сложной темой?

Что тебе понравилось? Что не понравилось?

Может быть ты нашел ошибку?

Пиши в комментариях!

И удачи на экзамене!

Тип урока: систематизации знаний и промежуточного контроля.

Оборудование: тригонометрический круг, тесты, карточки с заданиями.

Цели урока: систематизировать изученный теоретический материал по определениям синуса, косинуса, тангенса угла; проверить степень усвоения знаний по данной теме и применение на практике.

Задачи:

Обобщить и закрепить понятия синуса, косинуса и тангенса угла.
Формировать комплексное представление о тригонометрических функциях.
Способствовать выработке у учащихся желания и потребности изучения тригонометрического материала; воспитывать культуру общения, умение работать в группах и потребности в самообразовании.

«Кто смолоду делает и думает сам, тот
становится потом, надёжнее, крепче, умнее.

(В.Шукшин)

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Класс представлен тремя группами. В каждой группе консультант.
Учитель сообщает тему, цели и задачи урока.

II. Актуализация знаний (фронтальная работа с классом)

1) Работа в группах по заданиям:

1. Сформулировать определение sin угла.

– Какие знаки имеет sin α в каждой координатной четверти?
– При каких значениях имеет смысл, выражение sin α, и какие значения оно может принимать?

2. Вторая группа те – же вопросы для cos α.

3. Третья группа ответы готовит по тем же вопросам tg α и ctg α.

В это время трое учащихся самостоятельно работают у доски по карточкам (представители разных групп).

Карточка № 1.

Практическая работа.
С помощью единичной окружности вычислить для угла 50 , 210 и – 210 значения sin α, cos α и tg α.

Карточка № 2.

Определить знак выражения: tg 275; cos 370; sin 790; tg 4,1 и sin 2.

Карточка № 3.

1) Вычислить:
2) Сравнить: cos 60 и cos 2 30 – sin 2 30

2) Устно:

а) Предложен ряд чисел: 1; 1,2; 3; , 0, , – 1. Среди них есть лишние. Какое свойство sin α или cos α могут выражать эти числа (Может ли sin α или cos α принимать эти значения).
б) Имеет ли смысл выражение: cos (–); sin 2; tg 3: ctg (– 5); ; ctg0;
ctg (– π). Почему?
в) Существует ли наименьшее и наибольшее значение sin или cos, tg, ctg.
г) Верно ли?
1) α = 1000 является углом II четверти;
2) α = – 330 является углом IV четверти.
д) Числам соответствует одна и та же точка на единичной окружности.

3) Работа у доски

№ 567 (2; 4) – Найти значение выражения
№ 583 (1-3) Определить знак выражения

Домашнее задание: таблица в тетради. № 567(1, 3) № 578

III. Усвоение дополнительных знаний. Тригонометрия в ладони

Учитель: Оказывается, значения синусов и косинусов углов «находятся» на вашей ладони. Протяните руку (любую) и разведите как можно сильнее пальцы (как на плакате). Приглашается один ученик. Мы измеряем углы между нашими пальцами.
Берется треугольник, где есть угол в 30, 45 и 60 90 и прикладываем вершину угла к бугру Луны на ладони. Бугор Луны находится на пересечении продолжений мизинца и большого пальца. Одну сторону совмещаем с мизинцем, а другую сторону – с одним из остальных пальцев.
Оказывается между мизинцем и большим пальцем угол 90, между мизинцем и безымянным – 30, между мизинцем и средним – 45, между мизинцем и указательным – 60. И это у всех людей без исключения

мизинец № 0 – соответствует 0,
безымянный № 1 – соответствует 30,
средний № 2 – соответствует 45,
указательный № 3 – соответствует 60,
большой № 4 – соответствует 90.

Таким образом, у нас на руке 4 пальца и запомним формулу:

№ пальца	Угол	Значение

Это просто мнемическое правило. Вообще значение sin α или cos α надо знать наизусть, но иногда это правило поможет в трудную минуту.
Придумайте правило для cos (углы без изменения, а отсчета от большого пальца). Физическая пауза, связанная со знаками sin α или cos α.

IV. Проверка усвоений ЗУН

Самостоятельная работа с обратной связью

Каждый ученик получает тест (4 варианта) и лист с ответами для всех одинаковый.

Тест

Вариант 1

1) При каком угле поворота радиус займет то же положение, что и при повороте на угол 50.
2) Найдите значение выражения: 4cos 60 – 3sin 90.
3) Какое из чисел меньше нуля: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.

Вариант 2

1) При каком угле поворота радиус займет тоже положении, что и при повороте на угол 10.
2) Найти значение выражения: 4cos 90 – 6sin 30.
3) Какое из чисел больше нуля: sin 340, cos 340, sin 240, tg (– 240).

Вариант 3

1) Найдите значение выражения: 2ctg 45 – 3cos 90.
2) Какое из чисел меньше нуля: sin 40, cos (– 10), tg 210, sin 140.
3) Углом какой четверти является угол α, если sin α > 0, cos α < 0.

Вариант 4

1) Найдите значение выражения: tg 60 – 6ctg 90.
2) Какое из чисел меньше нуля: sin(– 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) Углом какой четверти является угол α, если ctg α< 0, cos α> 0.

А 0	Б Sin50	В 1	Г – 350	Д – 1	Е Cos (– 140)
Ж 3	З 310	И Cos 140		Л 350	М 2
Н Cos 340	О – 3	П Cos 250	Р	С Sin 140	Т – 310
У – 2	Ф 2	Х Tg 50	Ш Tg 250	Ю Sin 340	Я 4

(слово – тригонометрия ключевое)

V. Сведения из истории тригонометрии

Учитель: Тригонометрия – это достаточно важный раздел математики для жизни человека. Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик 18 столетия Леонард Эйлер – швейцарец по происхождению долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской академии наук. Он ввел известные определения тригонометрических функций сформулировал и доказал известные формулы, мы их учить будем позже. Жизнь Эйлера очень интересна и я советую познакомиться с ней по книге Яковлева «Леонард Эйлер».

(Сообщение ребят по данной теме)

VI. Подведение итогов урока

Игра «Крестики – нолики»

Участвуют двое учащихся самых активных. Их поддерживают группы. Решение заданий записывается в тетрадь.

Задания

1) Найти ошибку

а) sin 225 = – 1,1 в) sin 115 < О
б) cos 1000 = 2 г) cos (– 115) > 0

2) Выразите в градусах угол
3) Выразите в радианах угол 300
4) Какое наибольшее и наименьшее значение может иметь выражение: 1+ sin α;
5) Определите знак выражения: sin 260, cos 300.
6) В какой четверти числовой окружности расположена точка
7) Определите знаки выражения: cos 0,3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) Вычислите:
9) Сравнить: sin 2 и sin 350

VII. Рефлексия урока

Учитель: Где мы можем встретиться с тригонометрией?
На каких уроках в 9 классе, да и сейчас вы применяете понятия sin α, cos α; tg α; ctg α и с какой целью?

Пример 1.

Найти радианную меру угла равного а) 40° , б)120° , в)105°

а) 40° = 40·π / 180 = 2π/9

б) 120° = 120·π/180 = 2π/3

в) 105° = 105·π/180 = 7π/12

Пример 2.

Найти градусную меру угла выраженного в радианах а) π/6 , б) π/9, в) 2·π/3

а) π/6 = 180°/6 = 30°

б) π/9 = 180°/9 = 20°

в) 2π/3 = 2·180°/6 = 120°

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Синус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе (рис.1):

Косинус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе (рис.1):

Эти определения относятся к прямоугольному треугольнику и являются частными случаями тех определений, которые представлены в данном разделе.

Поместим тот же прямоугольный треугольник в числовую окружность (рис.2).

Мы видим, что катет b равен определенной величине y на оси Y (оси ординат), катет а равен определенной величине x на оси X (оси абсцисс). А гипотенуза с равна радиусу окружности (R).

Таким образом, наши формулы обретают иной вид.

Так как b = y , a = x , c = R, то:

y x
sin t = -- , cos t = --.
R R

Кстати, тогда иной вид обретают, естественно, и формулы тангенса и котангенса.

Так как tg t = b/a, ctg t = a/b, то, верны и другие уравнения:

tg t = y /x ,

ctg = x /y .

Но вернемся к синусу и косинусу. Мы имеем дело с числовой окружностью, в которой радиус равен 1. Значит, получается:

y
sin t = -- = y ,
1

x
cos t = -- = x .
1

Так мы приходим к третьему, более простому виду тригонометрических формул.

Эти формулы применимы не только к острому, но и к любому другому углу (тупому или развернутому).

Определения и формулы cos t, sin t, tg t, ctg t.

Из формул тангенса и котангенса следует еще одна формула:

Уравнения числовой окружности.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в четвертях окружности:

	1-я четверть	2-я четверть	3-я четверть	4-я четверть
cos t	+	–	–	+
sin t	+	+	–	–
tg t, ctg t	+	–	+	–

Косинус и синус основных точек числовой окружности:

Как запомнить значения косинусов и синусов основных точек числовой окружности.

Прежде всего надо знать, что в каждой паре чисел значения косинуса стоят первыми, значения синуса – вторыми.

1) Обратите внимание: при всем множестве точек числовой окружности мы имеем дело лишь с пятью числами (в модуле):

1 √2 √3
0; -; --; --; 1.
2 2 2

Сделайте для себя это «открытие» - и вы снимете психологический страх перед обилием чисел: их на самом деле всего-то пять.

2) Начнем с целых чисел 0 и 1. Они находятся только на осях координат.

Не надо учить наизусть, где, к примеру, косинус в модуле имеет единицу, а где 0.

На концах оси косинусов (оси х ), разумеется, косинусы равны модулю 1 , а синусы равны 0.

На концах оси синусов (оси у ) синусы равны модулю 1 , а косинусы равны 0.

Теперь о знаках. Ноль знака не имеет. Что касается 1 – тут просто надо вспомнить самую простую вещь: из курса 7 класса вы знаете, что на оси х справа от центра координатной плоскости – положительные числа, слева – отрицательные; на оси у вверх от центра идут положительные числа, вниз – отрицательные. И тогда вы не ошибетесь со знаком 1.

3) Теперь перейдем к дробным значениям.

Во всех знаменателях дробей – одно и то же число 2. Уже не ошибемся, что писать в знаменателе.

В серединах четвертей косинус и синус имеют абсолютно одинаковое значение по модулю: √2/2. В каком случае они со знаком плюс или минус – см.таблицу выше. Но вряд ли вам нужна такая таблица: вы знаете это из того же курса 7 класса.

Все ближайшие к оси х точки имеют абсолютно одинаковые по модулю значения косинуса и синуса: (√3/2; 1/2).

Значения всех ближайших к оси у точек тоже абсолютно идентичны по модулю – причем в них те же числа, только они «поменялись» местами: (1/2; √3/2).

Теперь о знаках – тут свое интересное чередование (хотя со знаками, полагаем, вы должны легко разобраться и так).

Если в первой четверти значения и косинуса, и синуса со знаком плюс, то в диаметрально противоположной (третьей) они со знаком минус.

Если во второй четверти со знаком минус только косинусы, то в диаметрально противоположной (четвертой) – только синусы.

Осталось только напомнить, что в каждом сочетании значений косинуса и синуса первое число – это значение косинуса, второе число – значение синуса.

Обратите внимание еще на одну закономерность: синус и косинус всех диаметрально противоположных точек окружности абсолютно равны по модулю. Возьмем, к примеру, противоположные точки π/3 и 4π/3:

cos π/3 = 1/2, sin π/3 = √3/2
cos 4π/3 = -1/2, sin 4π/3 = -√3/2

Различаются значения косинусов и синусов двух противоположных точек только по знаку. Но и здесь есть своя закономерность: синусы и косинусы диаметрально противоположных точек всегда имеют противоположные знаки.

Важно знать :

Значения косинусов и синусов точек числовой окружности последовательно возрастают или убывают в строго определенном порядке: от самого малого значения до самого большого и наоборот (см. раздел «Возрастание и убывание тригонометрических функций» - впрочем, в этом легко убедиться, лишь просто посмотрев на числовую окружность выше).

В порядке убывания получается такое чередование значений:

√3 √2 1 1 √2 √3
1; --; --; -; 0; – -; – --; – --; –1
2 2 2 2 2 2

Возрастают они строго в обратном порядке.

Поняв эту простую закономерность, вы научитесь довольно легко определять значения синуса и косинуса.

Разнообразны. Некоторые из них - о том, в каких четвертях косинус положительный и отрицательный, в каких четвертях синус положительный и отрицательный. Все оказывается просто, если знаешь, как вычислить значение данных функций в разных углах и знаком с принципом построения функций на графике.

Какие значения косинуса

Если рассматривать то мы имеем следующее соотношение сторон, которое его определяет: косинусом угла а является отношение прилегающего катета ВС к гипотенузе АВ (рис. 1): cos a = ВС/АВ.

С помощью этого же треугольника можно найти синус угла, тангенс и котангенс. Синусом будет соотношение противоположного к углу катета АС к гипотенузе АВ. Тангенс угла находится, если синус искомого угла разделить на косинус того же угла; подставив соответственные формулы нахождения синуса и косинуса, получим, что tg a = АС/ВС. Котангенс, как обратная к тангенсу функция, будет находиться так: ctg a = ВС/АС.

То есть, при одинаковых значениях угла обнаружилось, что в прямоугольном треугольнике соотношение сторон всегда одинаковое. Казалось бы, стало ясно, откуда эти значения, но почему получаются отрицательные числа?

Для этого нужно рассматривать треугольник в декартовой системе координат, где присутствуют как положительные, так и отрицательные значения.

Наглядно про четверти, где какая

Что такое декартовые координаты? Если говорить о двумерном пространстве, мы имеем две направленные прямые, которые пересекаются в точке О - это ось абсцисс (Ох) и ось ординат (Оу). От точки О в направлении прямой располагаются положительные числа, а в обратную сторону - отрицательные. От этого, в конечном итоге, напрямую зависит, в каких четвертях косинус положительный, а в каких, соответственно, отрицательный.

Первая четверть

Если разместить прямоугольный треугольник в первой четверти (от 0 о до 90 о), где ось х и у имеют положительные значения (отрезки АО и ВО лежат на осях там, где значения имеют знак "+"), то что синус, что косинус тоже будут иметь положительные значения, и им присвоено значение со знаком «плюс». Но что происходит, если переместить треугольник во вторую четверть (от 90 о до 180 о)?

Вторая четверть

Видим, что по оси у катет АО получил отрицательное значение. Косинус угла a теперь имеет в соотношении эту сторону с минусом, потому и итоговое его значение становится отрицательным. Выходит, что то, в какой четверти косинус положительный, зависит от размещения треугольника в системе декартовых координат. И в этом случае косинус угла получает отрицательное значение. А вот для синуса ничего не изменилось, ведь для определения его знака нужна сторона ОВ, которая осталась в данном случае со знаком плюс. Подведем итог по первым двум четвертям.

Чтобы выяснить, в каких четвертях косинус положительный, а в каких отрицательный (а также синус и другие тригонометрические функции), необходимо смотреть на то, какой знак присвоен тому или иному катету. Для косинуса угла a важен катет АО, для синуса - ОВ.

Первая четверть пока что стала единственной, отвечающей на вопрос: «В каких четвертях синус и косинус положительный одновременно?». Посмотрим далее, будут ли еще совпадения по знаку этих двух функций.

Во второй четверти катет АО стал иметь отрицательное значение, а значит и косинус стал отрицательным. Для синуса сохранено положительное значение.

Третья четверть

Теперь оба катета АО и ОВ стали отрицательными. Вспомним соотношения для косинуса и синуса:

Cos a = АО/АВ;

Sin a = ВО/АВ.

АВ всегда имеет положительный знак в данной системе координат, так как не направлена ни в одну из двух определённых осями сторон. А вот катеты стали отрицательными, а значит и результат для обоих функций тоже отрицательный, ведь если производить операции умножения или деления с числами, среди которых одно и только одно имеет знак «минус», то результат тоже будет с этим знаком.

Итог на данном этапе:

1) В какой четверти косинус положительный? В первой из трех.

2) В какой четверти синус положительный? В первой и второй из трёх.

Четвёртая четверть (от 270 о до 360 о)

Здесь катет АО вновь приобретает знак «плюс», а значит и косинус тоже.

Для синуса дела всё еще «отрицательны», ведь катет ОВ остался ниже начальной точки О.

Выводы

Для того чтобы понимать, в каких четвертях косинус положительный, отрицательный и т.д., нужно запомнить соотношение для вычисления косинуса: прилегающий к углу катет, деленный на гипотенузу. Некоторые учителя предлагают запомнить так: к(осинус) = (к) углу. Если запомнить этот «чит», то автоматически понимаешь, что синус - это отношение противоположного к углу катета к гипотенузе.

Запомнить, в каких четвертях косинус положительный, а в каких отрицательный, довольно сложно. Тригонометрических функций много, и все они имеют свои значения. Но все же, как итог: положительные значения для синуса - 1, 2 четверти (от 0 о до 180 о); для косинуса 1, 4 четверти (от 0 о до 90 о и от 270 о до 360 о). В остальных четвертях функции имеют значения с минусом.

Возможно, кому-то будет легче запомнить, где какой знак, по изображению функции.

Для синуса видно, что от нуля до 180 о гребень находится над линией значений sin(x), значит и функция здесь положительна. Для косинуса так же: в какой четверти косинус положительный (фото 7), а в какой отрицательный видно по перемещению линии над и под осью cos(x). Как итог, мы можем запомнить два способа определения знака функций синус, косинус:

1. По мнимому кругу с радиусом равным единице (хотя, на самом деле, не важно, какой радиус у круга, но в учебниках чаще всего приводят именно такой пример; это облегчает восприятие, но в то же время, если не оговориться, что это не суть важно, дети могут запутаться).

2. По изображению зависимости функции по (х) от самого аргумента х, как на последнем рисунке.

С помощью первого способа можно ПОНЯТЬ, от чего именно зависит знак, и мы подробно разъяснили это выше. Рисунок 7, построенный по этим данным, как нельзя лучше визуализирует полученную функцию и ее знакопринадлежность.