Общие теоремы динамики системы тел. Теоремы о движении центра масс, об изменении количества движения, об изменении главного момента количества движения, об изменении кинетической энергии. Принципы Даламбера, и возможных перемещений. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа.

Содержание

Работа, которую совершает сила , равна скалярному произведению векторов силы и бесконечно малому перемещению точки ее приложения :
,
то есть произведению модулей векторов F и ds на косинус угла между ними.

Работа, которую совершает момент сил , равна скалярному произведению векторов момента и бесконечно малого угла поворота :
.

Принцип Даламбера

Суть принципа Даламбера состоит в том, чтобы задачи динамики свести к задачам статики. Для этого предполагают (или это заранее известно), что тела системы имеют определенные (угловые) ускорения. Далее вводят силы инерции и (или) моменты сил инерции, которые равны по величине и обратные по направлению силам и моментам сил, которые по законам механики создавали бы заданные ускорения или угловые ускорения

Рассмотрим пример. Путь тело совершает поступательное движение и на него действуют внешние силы . Далее мы предполагаем, что эти силы создают ускорение центра масс системы . По теореме о движении центра масс, центр масс тела имел бы такое же ускорение, если бы на тело действовала сила . Далее мы вводим силу инерции:
.
После этого задача динамики:
.
;
.

Для вращательного движения поступают аналогичным образом. Пусть тело вращается вокруг оси z и на него действуют внешние моменты сил M e zk . Мы предполагаем, что эти моменты создают угловое ускорение ε z . Далее мы вводим момент сил инерции M И = - J z ε z . После этого задача динамики:
.
Превращается в задачу статики:
;
.

Принцип возможных перемещений

Принцип возможных перемещений применяется для решений задач статики. В некоторых задачах, он дает более короткое решение, чем составление уравнений равновесия. Особенно это касается систем со связями (например, системы тел, соединенные нитями и блоками), состоящих из множества тел

Принцип возможных перемещений .
Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю.

Возможное перемещение системы - это малое перемещение, при котором не нарушаются связи, наложенные на систему.

Идеальные связи - это связи, которые не совершают работы при перемещении системы. Точнее, сумма работ, совершаемая самими связями при перемещении системы равна нулю.

Общее уравнение динамики (принцип Даламбера - Лагранжа)

Принцип Даламбера - Лагранжа - это объединение принцип Даламбера с принципом возможных перемещений. То есть, при решении задачи динамики, мы вводим силы инерции и сводим задачу к задаче статики, которую решаем с помощью принципа возможных перемещений.

Принцип Даламбера - Лагранжа .
При движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю:
.
Это уравнение называют общим уравнением динамики .

Уравнения Лагранжа

Обобщенные координаты q 1 , q 2 , ..., q n - это совокупность n величин, которые однозначно определяют положение системы.

Число обобщенных координат n совпадает с числом степеней свободы системы.

Обобщенные скорости - это производные от обобщенных координат по времени t .

Обобщенные силы Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Рассмотрим возможное перемещение системы, при котором координата q k получит перемещение δq k . Остальные координаты остаются неизменными. Пусть δA k - это работа, совершаемая внешними силами при таком перемещении. Тогда
δA k = Q k δq k , или
.

Если, при возможном перемещении системы, изменяются все координаты, то работа, совершаемая внешними силами при таком перемещении, имеет вид:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n .
Тогда обобщенные силы являются частными производными от работы по перемещениям:
.

Для потенциальных сил с потенциалом Π ,
.

Уравнения Лагранжа - это уравнения движения механической системы в обобщенных координатах:

Здесь T - кинетическая энергия. Она является функцией от обобщенных координат, скоростей и, возможно, времени. Поэтому ее частная производная также является функцией от обобщенных координат, скоростей и времени. Далее нужно учесть, что координаты и скорости являются функциями от времени. Поэтому для нахождения полной производной по времени нужно применить правило дифференцирования сложной функции:
.

Использованная литература:
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.

Аналогично тому, как для одной материальной точки, выведем теорему об изменении количества движения для системы в различных формах.

Преобразуем уравнение (теорема о движении цента масс механической системы)

следующим образом:

;

;

Полученное уравнение выражает теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме: производная от количества движения механической системы по времени равна главному вектору внешних сил, действующих на систему .

В проекциях на декартовы оси координат:

; ; .

Беря интегралы от обеих частей последних уравнений по времени, получим теорему об изменении количества движения механической системы в интегральной форме: изменение количества движения механической системы равно импульсу главного вектора внешних сил, действующих на систему .

.

Или в проекциях на декартовы оси координат:

; ; .

Следствия из теоремы (законы сохранения количества движения)

Закон сохранения количества движения получаются как частные случаи теоремы об изменении количества движения для системы в зависимости от особенностей системы внешних сил. Внутренние силы могут быть любыми, так как они не влияют на изменения количества движения.

Возможны два случая:

1. Если векторная сумма всех внешних сил, приложенных к системе, равна нулю , то количество движения системы постоянно по величине и направлению

2. Если равна нулю проекция главного вектора внешних сил на какую либо координатную ось и/или и/или , то проекция количества движения на эти же оси является величиной постоянной, т.е. и/или и/или соответственно.

Аналогичные записи можно сделать и для материальной точки и для материальной точки.

Условие задачи . Из орудия, масса которого М , вылетает в горизонтальном направлении снаряд массы m со скоростью v . Найти скорость V орудия после выстрела.

Решение . Все внешние силы, действующие на механическую систему орудие-снаряд, вертикальны. Значит, на основании следствия из теоремы об изменении количества движения системы, имеем: .

Количество движения механической системы до выстрела:

Количество движения механической системы после выстрела:

.

Приравнивая правые части выражений, получим, что

.

Знак «-» в полученной формуле указывает на то, что после выстрела орудие откатится в направлении, противоположном оси Ox .

ПРИМЕР 2. Струя жидкости плотностью вытекает со скоростью V из трубы с площадью поперечного сечения F и ударяется под углом о вертикальную стенку. Определить давление жидкости на стену.

РЕШЕНИЕ. Применим теорему об изменении количества движения в интегральной форме к объему жидкости массой m ударяющемуся о стену за некоторый промежуток времени t .

УРАВНЕНИЕ МЕЩЕРСКОГО

(основное уравнение динамики тела переменной массы)

В современной технике возникают случаи, когда масса точки и системы не остается постоянной в процессе движения, а изменяется. Так, например, при полете космических ракет, вследствие выбрасывания продуктов сгорания и отдельных ненужных частей ракет, изменение массы достигает 90-95% общей начальной величины. Но не только космическая техника может быть примером динамики движения переменной массы. В текстильной промышленности происходит значительное изменения массы различных веретен, шпуль, рулонов при современных скоростях работы станков и машин.

Рассмотрим главные особенности, связанные с изменением массы, на примере поступательного движения тела переменной массы. К телу переменной массы нельзя непосредственно применить основной закон динамики. Поэтому получим дифференциальные уравнения движения точки переменной массы, применяя теорему об изменении количества движения системы.

Пусть точка массой m+dm движется со скоростью . Затем происходит отрыв от точки некоторой частицы массой dm движущейся со скоростью .

Количество движения тела до отрыва частицы:

Количество движения системы, состоящей из тела и оторвавшейся частицы, после ее отрыва:

Тогда изменение количества движения:

Исходя из теоремы об изменении количества движения системы:

Обозначим величину - относительная скорость частицы:

Обозначим

Величину R называют реактивной силой. Реактивная сила является тягой двигателя, обусловленная выбросом газа из сопла.

Окончательно получим

-

Данная формула выражает основное уравнение динамики тела переменной массы (формула Мещерского). Из последней формулы следует, что дифференциальные уравнения движения точки переменной массы имеют такой же вид, как и для точки постоянной массы, кроме приложенных к точке дополнительно реактивной силы, обусловленной изменением массы.

Основное уравнение динамики тела переменной массы свидетельствует о том, что ускорение этого тела формируется не только за счет внешних сил, но и за счет реактивной силы.

Реактивная сила – это сила, родственная той, которую ощущает стреляющий человек - при стрельбе из пистолета она ощущается кистью руки; при стрельбе из винтовки воспринимается плечом.

Первая формула Циолковского (для одноступенчатой ракеты)

Пусть точка переменной массы или ракета движется прямолинейно под действием только одной реактивной силы. Так как для многих современных реактивных двигателей , где - максимально допускаемая конструкцией двигателя реактивная сила (тяга двигателя); - сила тяжести, действующая на двигатель, находящийся на земной поверхности. Т.е. изложенное позволяет составляющей в уравнении Мещерского пренебречь и к дальнейшему анализу принять это уравнение в форме: ,

Обозначим:

Запас топлива (при жидкостных реактивных двигателях - сухая масса ракеты (остающаяся её масса после выгорания всего топлива);

Масса отделившихся от ракеты частиц; рассматривается как переменная величина, изменяющаяся от до .

Запишем уравнение прямолинейного движения точки переменной массы в следующем виде вид

Так как формула для определения переменной массы ракеты

Следовательно, уравнения движения точки Беря интегралы от обеих частей получим

где - характеристическая скорость – это скорость, которую приобретает ракета под действием тяги после извержения из ракеты всех частиц (при жидкостных реактивных двигателях – после выгорания всего топлива).

Вынесенная за знак интеграла (что можно делать на основании известной из высшей математики теоремы о среднем) - это средняя скорость извергаемых из ракеты частиц.

Количеством движения материальной точки называется векторная величина mV, равная произведению массы точки на вектор ее скорости. Вектор mV приложен к движущейся точке.

Количеством движения системы называют векторную величину Q , равную геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек системы:

Вектор Q является свободным вектором. В системе единиц СИ модуль количества движения измеряется в кг м/с или Н с.

Как правило, скорости всех точек системы различны (см., например, распределение скоростей точек катящегося колеса, показанное на рис. 6.21), и поэтому непосредственное суммирование векторов в правой части равенства (17.2) является затруднительным. Найдем формулу, с помощью которой величина Q вычисляется значительно легче. Из равенства (16.4) следует, что

Взяв от обеих частей производную по времени, получим Отсюда, учитывая равенство (17.2), находим, что

т. е. количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс.

Заметим, что вектор Q, подобно главному вектору сил в статике, является некоторой обобщенной векторной характеристикой движения всей механической системы. В общем случае движения системы ее количество движения Q можно рассматривать как характеристику поступательной части движения системы вместе с ее центром масс. Если при движении системы (тела) центр масс неподвижен, то количество движения системы будет равно нулю. Таково, например, количество движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс.

Пример. Определить количество движения механической системы (рис. 17.1, а), состоящей из груза А массой т А - 2 кг, однородного блока В массой 1 кг и колеса D массой m D - 4 кг. Груз А движется со скоростью V A - 2 м/с, колесо D катится без скольжения, нить нерастяжима и невесома. Решение. Количество движения системы тел

Тело А движется поступательно и Q A =m A V A (численно Q A = 4 кг м/с, направление вектора Q A совпадает с направлением V A). Блок В совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс; следовательно, Q B - 0. Колесо D совершает плоскопараллельное

движение; его мгновенный центр скоростей находится в точке К , поэтому скорость его центра масс (точки Е) равна V E = V A /2= 1 м/с. Количество движения колеса Q D - m D V E - 4 кг м/с; вектор Q D направлен горизонтально влево.

Изобразив векторы Q A и Q D на рис. 17.1, б , находим количество движения Q системы по формуле (а). Учитывая направления и числовые значения величин, получим Q ~^Q A +Q E =4л/2~ кг м/с, направление вектора Q показано на рис. 17.1, б.

Учитывая, что a -dV/dt, уравнение (13.4) основного закона динамики можно представить в виде

Уравнение (17.4) выражает теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: в каждый момент времени производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе. (По существу это другая формулировка основного закона динамики, близкая к той, которую дал Ньютон.) Если на точку действует несколько сил, то в правой части равенства (17.4) будет равнодействующая сил, приложенных к материальной точке.

Если обе части равенства умножить на dt, то получим

Векторная величина, стоящая в правой части этого равенства, характеризует действие, оказываемое на тело силой за элементарный промежуток времени dt эту величину обозначают dS и называют элементарным импульсом силы, т. е.

Импульс S силы F за конечный промежуток времени /, - / 0 определяется как предел интегральной суммы соответствующих элементарных импульсов, т. е.

В частном случае, если сила F постоянна по модулю и по направлению, то S = F(t | -/ 0) и S- F(t l - / 0). В общем случае модуль импульса силы может быть вычислен по его проекциям на координатные оси:

Теперь, интегрируя обе части равенства (17.5) при т = const, получим

Уравнение (17.9) выражает теорему об изменении количества движения точки в конечной (интегральной) форме: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно импульсу действующей на точку силы (или импульсу равнодействующей всех приложенных к ней сил) за тот же промежуток времени.

При решении задач пользуются уравнениями этой теоремы в проекциях на координатные оси

Теперь рассмотрим механическую систему, состоящую из п материальных точек. Тогда для каждой точки можно применить теорему об изменении количества движения в форме (17.4), учитывая приложенные к точкам внешние и внутренние силы:

Суммируя эти равенства и учитывая, что сумма производных равна производной от суммы, получаем

Так как по свойству внутренних сил HF k =0 и по определению количества движения ^fn k V/ c = Q , то окончательно находим

Уравнение (17.11) выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: в каждый момент времени производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Проецируя равенство (17.11) на координатные оси, получим

Умножая обе части (17.11) на dt и интегрируя, получим

где 0, Q 0 - количества движения системы в моменты времени соответственно и / 0 .

Уравнение (17.13) выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за какое-либо время равно сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему за то же время.

В проекциях на координатные оси получим

Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следующие важные следствия, которые выражают закон сохранения количества движения системы.

• 1. Если геометрическая ^умма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю (LF k =0), то из уравнения (17.11) следует, что при этом Q = const, т. е. вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и направлению.
• 2. Если внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-либо ось равна нулю (например, I e kx = 0), то из уравнений (17.12) следует, что при этом Q x = const, т. е. проекция количества движения системы на эту ось остается неизменной.

Отметим, что внутренние силы системы не участвуют в уравнении теоремы об изменении количества движения системы. Эти силы, хотя и влияют на количество движения отдельных точек системы, не могут изменить количество движения системы в целом. Учитывая это обстоятельство, при решении задач рассматриваемую систему целесообразно выбирать так, чтобы неизвестные силы (все или их часть) сделать внутренними.

Закон сохранения количества движения удобно применять в тех случаях, когда по изменению скорости одной части системы надо определить скорость другой ее части.

Задача 17.1. К тележке массой т х - 12 кг, движущейся по гладкой горизонтальной плоскости, в точке А с помощью цилиндрического шарнира прикреплен невесомый стержень AD длиной /= 0,6 м с грузом D массой т 2 - 6 кг на конце (рис. 17.2). В момент времени / 0 = 0, когда скорость тележки и {) - 0,5 м/с, стержень AD начинает вращаться вокруг оси А, перпендикулярной плоскости чертежа, по закону ф = (тг/6)(3^ 2 - 1) рад (/-в секундах). Определить: u=f.

§ 17.3. Теорема о движении центра масс

Теорему об изменении количества движения механической системы можно выразить еще в другой форме, носящей название теоремы о движении центра масс.

Подставив в уравнение (17.11) равенство Q =MV C , получим

Если масса М системы постоянна, то получим

где а с - ускорение центра масс системы.

Уравнение (17.15) и выражает теорему о движении центра масс системы: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Проецируя равенство (17.15) на координатные оси, получим

где x c , y c , z c - координаты центра масс системы.

Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат.

Обсудим полученные результаты. Предварительно напомним, что центр масс системы является геометрической точкой, расположенной подчас вне геометрических границ тела. Действующие же на механическую систему силы (внешние и внутренние) приложены ко всем материальным точкам системы. Уравнения (17.15) дают возможность определить движение центра масс системы, не определяя движения отдельных ее точек. Сопоставив уравнения (17.15) теоремы о движении центра масс и уравнения (13.5) второго закона Ньютона для материальной точки, приходим к заключению: центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы, и как будто бы к этой точке приложены все внешние силы, действующие на систему. Таким образом, решения, которые получаем, рассматривая данное тело как материальную точку, определяют закон движения центра масс этого тела.

В частности, если тело движется поступательно, то кинематические характеристики всех точек тела и его центра масс одинаковы. Поэтому поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе всего тела.

Как видно из (17.15), внутренние силы, действующие на точки системы, не оказывают влияния на движение центра масс системы. Внутренние силы могут оказать влияние на движение центра масс в тех случаях, когда под их воздействием меняются внешние силы. Примеры этого будут приведены далее.

Из теоремы о движении центра масс можно получить следующие важные следствия, которые выражают закон сохранения движения центра масс системы.

1. Если геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю (LF k =0), то из уравнения (17.15) следует,

что при этом а с = 0 или V c = const, т. е. центр масс этой системы

движется с постоянной по модулю и направлению скоростью (иначе, равномерно и прямолинейно). В частном случае, если вначале центр масс был в покое (V c =0), то он и останется в покое; откуда

следует, что его положение в пространстве не изменится, т. е. r c = const.

2. Если внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например, ось х) равна нулю (?F e kx = 0), то из уравнения (17.16) следует, что при этом х с =0 или V Cx =х с = const, т. е. проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная. В частном случае, если в начальный момент Vex = 0, то и в любой последующий момент времени это значение сохранится, а отсюда следует, что координата х с центра масс системы не изменится, т. е. х с - const.

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие закон движения центра масс.

Примеры. 1. Как было отмечено, движение центра масс зависит только от внешних сил, внутренними силами изменить положение центра масс нельзя. Но внутренние силы системы могут вызвать внешние воздействия. Так, движение человека по горизонтальной поверхности происходит под действием сил трения между подошвами его обуви и поверхностью дороги. Силой своих мышц (внутренние силы) человек ногами отталкивается от поверхности дороги, отчего в точках контакта с дорогой возникает сила трения (внешняя для человека), направленная в сторону его движения.

• 2. Аналогичным образом двигается автомобиль. Внутренние силы давления в его двигателе заставляют вращаться колеса, но так как последние имеют сцепление с дорогой, то возникающие силы трения «толкают» машину вперед (в результате колеса не вращаются, а двигаются плоскопараллельно). Если же дорога будет абсолютно гладкой, то центр масс автомобиля будет неподвижен (при нулевой начальной скорости) и колеса при отсутствии трения будут пробуксовывать, т. е. совершать вращательное движение.
• 3. Движение с помощью гребного винта, пропеллера, весел происходит за счет отбрасывания некоторой массы воздуха (или воды). Если рассматривать отбрасываемую массу и движущееся тело как одну систему, то силы взаимодействия между ними, как внутренние, не могут изменить суммарное количество движения этой системы. Однако каждая из частей этой системы будет двигаться, например, лодка вперед, а вода, которую отбрасывают весла, - назад.
• 4. В безвоздушном пространстве при движении ракеты «отбрасываемую массу» следует «брать с собой»: реактивный двигатель сообщает движение ракете за счет отброса назад продуктов горения топлива, которым заправлена ракета.
• 5. При спуске на парашюте можно управлять движением центра масс системы человек - парашют. Если мышечными усилиями человек подтягивает стропы парашюта так, что меняется форма его купола либо угол атаки воздушного потока, то это вызовет изменение и внешнего воздействия воздушного потока, а тем самым оказывается влияние на движение всей системы.

Задача 17.2. В задаче 17.1 (см. рис. 17.2) определить: 1) закон движения тележки х { = /)(/), если известно, что в начальный момент времени t 0 = О система находилась в покое и координата х 10 = 0; 2) ^акон изменения со временем суммарного значения нормальной реакции N(N = N" + N") горизонтальной плоскости, т. е. N=f 2 (t).

Решение. Здесь, как и в задаче 17.1, рассмотрим систему, состоящую из тележки и груза D, в произвольном положении под действием приложенных к ней внешних сил (см. рис. 17.2). Координатные оси Оху проведем так, чтобы ось х была горизонтальна, а ось у проходила через точку А 0 , т. е. место расположения точки А в момент времени t-t 0 - 0.

1. Определение закона движения тележки. Для определения х, = /,(0 воспользуемся теоремой о движении центра масс системы. Составим дифференциальное уравнение его движения в проекции на ось х:

Так как все внешние силы вертикальны, то T,F e kx = 0, и, следовательно,

Проинтегрировав это уравнение, найдем, что Мх с = В, т. е. проекция скорости центра масс системы на ось х есть величина постоянная. Так как в начальный момент времени

Интегрируя уравнение Мх с = 0, получим

т. е. координата х с центра масс системы постоянна.

Запишем выражение Мх с для произвольного положения системы (см. рис. 17.2), приняв во внимание, что х А - х { , x D - х 2 и х 2 - х { - I sin ф. В соответствии с формулой (16.5), определяющей координату центра масс системы, в данном случае Мх с - т { х { + т 2 х 2 ".

для произвольного момента времени

для момента времени / () = 0, х { = 0 и

В соответствии с равенством (б) координата х с центра масс всей системы остается неизменной, т. е. хД^,) = x c (t). Следовательно, приравняв выражения (в) и (г), получим зависимость координаты х, от времени.

О т в е т: Х - 0,2 м, где t - в секундах.

2. Определение реакции N. Для определения N=f 2 (t ) составим дифференциальное уравнение движения центра масс системы в проекции на вертикальную ось у (см. рис. 17.2):

Отсюда, обозначив N= N + N", получим

По формуле, определяющей ординату у с центра масс системы, Му с = т { у х + т 2 у 2 , где у, = у С1 , у 2 = y D = У а ~ 1 cos Ф» получим

Продифференцировав это равенство два раза по времени (учитывая при этом, что у С1 и у А величины постоянные и, следовательно, их производные равны нулю), найдем

Подставив это выражение в уравнение (е), определим искомую зависимость N от t.

Ответ: N- 176,4 + 1,13,

где ф = (я/6)(3/ -1), t - в секундах, N- в ньютонах.

Задача 17.3. Электрический мотор массой т х прикреплен на горизонтальной поверхности фундамента болтами (рис. 17.3). На валу мотора под прямым углом к оси вращения закреплен одним концом невесомый стержень длиной /, на другом конце стержня насажен точечный груз А массой т 2 . Вал вращается равномерно с угловой скоростью со. Найти горизонтальное давление мотора на болты. Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из мотора и точечного груза А, в произвольном положении. Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести Р х, Р 2 , реакцию фундамента в виде вертикальной силы N и горизонтальной силы R. Проведем координатную ось х горизонтально.

Чтобы определить горизонтальное давление мотора на болты (а оно будет численно равно реакции R и направлено противоположно вектору R ), составим уравнение теоремы об изменении количества движения системы в проекции на горизонтальную ось х:

Для рассматриваемой системы в ее произвольном положении, учитывая, что количество движения корпуса мотора равно нулю, получим Q x = - т 2 У А сощ. Принимая во внимание, что V A = a з/, ф = со/ (вращение мотора равномерное), получим Q x - - m 2 co/cos со/. Дифференцируя Q x по времени и подставляя в равенство (а), найдем R- m 2 co 2 /sin со/.

Заметим, что именно такие силы являются вынуждающими (см. § 14.3), при их воздействии возникают вынужденные колебания конструкций.

Упражнения для самостоятельной работы

• 1. Что называют количеством движения точки и механической системы?
• 2. Как изменяется количество движения точки, равномерно движущейся по окружности?
• 3. Что характеризует импульс силы?
• 4. Влияют ли внутренние силы системы на ее количество движения? На движение ее центра масс?
• 5. Как влияют на движение центра масс системы приложенные к ней пары сил?
• 6. При каких условиях центр масс системы находится в покое? движется равномерно и прямолинейно?

7. В неподвижной лодке при отсутствии течения воды на корме сидит взрослый человек, а на носу лодки - ребенок. В каком направлении переместится лодка, если они поменяются местами?

В каком случае модуль перемещения лодки будет большим: 1) если ребенок перейдет к взрослому на корму; 2) если взрослый перейдет к ребенку на нос лодки? Каковы будут при этих движениях перемещения центра масс системы «лодка и два человека»?

(Фрагменты математической симфонии)

Связь импульса силы с основным уравнением ньютоновской динамики выражает теорема об изменении количества движения материальной точки.

Теорема. Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно импульсу силы (), действующей на материальную точку за тот же промежуток времени. Математическое доказательство этой теоремы можно назвать фрагментом математической симфонии. Вот он.

Дифференциал количества движения материальной точки равен элементарному импульсу силы, действующей на материальную точку. Интегрируя выражение (128) дифференциала количества движения материальной точки, имеем

(129)

Теорема доказана и математики считают свою миссию законченной, а у инженеров, судьба которых - свято верить математикам, возникают вопросы при использовании доказанного уравнения (129). Но их прочно блокирует последовательность и красота математических действий (128 и 129), которые завораживают и побуждают назвать их фрагментом математической симфонии. Сколько поколений инженеров соглашались с математиками и трепетали перед таинственностью их математических символов! Но вот нашёлся инженер, несогласный с математиками, и задаёт им вопросы.

Уважаемые математики! Почему ни в одном из Ваших учебников по теоретической механике не рассматривается процесс применения Вашего симфонического результата (129) на практике, например, при описании процесса разгона автомобиля? Левая часть уравнения (129) предельно понятна. Автомобиль начинает разгон со скорости и завершает его, например, на скорости . Вполне естественно, что уравнение (129) становится таким

И сразу возникает первый вопрос: как же из уравнения (130) определить силу , под действием которой автомобиль разогнан до скорости 10м/с? Ответа на этот вопрос нет ни в одном из неисчислимых учебников по теоретической механике. Пойдём дальше. После разгона автомобиль начинает равномерное движение с достигнутой скоростью 10м/с. Какая же сила движет автомобиль????????? У меня ничего не остаётся, как краснеть вместе с математиками. Первый закон ньютоновской динамики утверждает, что при равномерном движении автомобиля на него не действуют никакие силы, а автомобиль, образно говоря, чихает на этот закон, расходует бензин и совершает работу, перемещаясь, например, на расстояние 100 км. А где же сила, совершившая работу по перемещению автомобиля на 100км? Симфоническое математическое уравнение (130) молчит, а жизнь продолжается и требует ответа. Начинаем искать его.

Поскольку автомобиль движется прямолинейно и равномерно, то сила, перемещающая его, постоянна по величине и направлению и уравнение (130) становится таким

(131)

Итак, уравнение (131) в данном случае описывает ускоренное движение тела. Чему же равна сила ? Как выразить её изменение с течением времени? Математики предпочитают обходить этот вопрос и оставляют его инженерам, полагая, что они должны искать ответ на этот вопрос. У инженеров остаётся одна возможность – учесть, что если после завершения ускоренного движения тела, наступает фаза равномерного движения, которое сопровождается под действием постоянной силы представить уравнение (131) для момента перехода от ускоренного к равномерному движению в таком виде

(132)

Стрелка в этом уравнении означает не результат интегрирования этого уравнения, а процесс перехода от его интегрального вида к упрощённому виду. Сила в этом уравнении эквивалентна усреднённой силе, изменившей количество движения тела от нуля до конечного значения . Итак, уважаемые, математики и физики-теоретики, отсутствие Вашей методики определения величины Вашего импульса вынуждает нас упрощать процедуру определения силы , а отсутствие методики определения времени действия этой силы вообще ставит нас в безвыходное положение и мы вынуждены использовать выражение для анализа процесса изменения количества движения тела. В результате получается, чем дольше будет действовать сила , тем больше её импульс . Это явно противоречит давно сложившимся представлениям о том, что импульс силы тем больше, чем меньше время его действия.

Обратим внимание на то, что изменение количества движения материальной точки (импульса силы) при ускоренном её движении происходит под действием ньютоновской силы и сил сопротивления движению, в виде сил, формируемых механическими сопротивлениями, и силой инерции. Но ньютоновская динамика в абсолютном большинстве задач игнорирует силу инерции, а Механодинамика утверждает, что изменение количества движения тела при его ускоренном движении происходит за счёт превышения величины ньютоновской силы над силами сопротивления движению, в том числе и над силой инерции.

При замедленном движении тела, например, автомобиля с выключенной передачей, ньютоновская сила отсутствует, и изменение количества движения автомобиля происходит за счёт превышения сил сопротивления движению над силой инерции, которая движет автомобиль при его замедленном движении .

Как же теперь вернуть результаты отмеченных «симфонических» математических действий (128) в русло причинно-следственных связей? Выход один – найти новое определение понятиям «импульс силы» и «ударная сила». Для этого разделим обе части уравнения (132) на время t. В результате будем иметь

. (133)

Обратим внимание на то, что выражение mV/t - скорость изменения количества движения (mV/t) материальной точки или тела. Если учесть, что V/t – ускорение, то mV/t - сила, изменяющая количество движения тела. Одинаковая размерность слева и с права знака равенства даёт нам право назвать силу F ударной силой и обозначить её символом , а импульс S - ударным импульсом и обозначить его символом . Из этого следует и новое определение ударной силы. Ударная сила , действующая на материальную точку или тело, равна отношению изменения количества движения материальной точки или тела ко времени этого изменения.

Обратим особое внимание на то, что в формировании ударного импульса (134) участвует только ньютоновская сила, которая изменила скорость автомобиля от нулевого значения до максимального - , поэтому уравнение (134) всецело принадлежит ньютоновской динамике. Поскольку величину скорости фиксировать экспериментально значительно легче, чем - ускорения, то формула (134) очень удобна для расчётов.

Из уравнения (134) следует такой необычный результат.

Обратим внимание на то, что согласно новым законам механодинамики генератором импульса силы при ускоренном движении материальной точки или тела является ньютоновская сила . Она формирует ускорение движения точки или тела, при котором автоматически возникает сила инерции, направленная противоположно ньютоновской силе и ударная ньютоновская сила должна преодолевать действие силы инерции, поэтому сила инерции должна быть представлена в балансе сил в левой части уравнения (134). Так как сила инерции равна массе точки или тела, умноженной на замедление , которое она формирует, то уравнение (134) становится таким

(136)

Уважаемые математики! Видите, какой вид приняла математическая модель, описывающая ударный импульс, который ускоряет движение ударяемого тела от нулевой скорости до максимальной V (11). Теперь проверим её работу в определении ударного импульса , который равен ударной силе , выстрелившей 2-й энергоблок СШГ (рис. 120), а Вам оставим Ваше бесполезное уравнение (132). Чтобы не усложнять изложение, мы оставим пока формулу (134) в покое и воспользуемся формулами, дающими усреднённые значения сил. Видите, в какое положение Вы ставите инженера, стремящегося решить конкретную задачу.

Начнём с динамики Ньютона. Эксперты установили, что 2-й энергоблок поднялся на высоту 14м. Поскольку он поднимался в поле силы тяжести, то на высоте h=14м его потенциальная энергия оказалась равной

а средняя кинетическая энергия была равна

Рис. 120. Фото машинного зала до катастрофы

Из равенства кинетической (138) и потенциальной (137) энергий следует средняя скорость подъёма энергоблока (рис. 121, 122)

Рис. 121. Фотон машинного зала после катастрофы

Согласно новым законам механодинамики подъём энергоблока состоял из двух фаз (рис. 123): первая фаза ОА - ускоренный подъём и вторая фаза АВ – замедленный подъём , , .

Время и расстояния их действия, примерно, равны (). Тогда кинематическое уравнение ускоренной фазы подъёма энергоблока запишется так

. (140)

Рис. 122. Вид колодца энергоблока и самого энергоблока после катастрофы

Закон изменения скорости подъёма энергоблока в первой фазе имеет вид

. (141)

Рис. 123. Закономерность изменения скорости V полёта энергоблока

Подставляя время из уравнения (140) в уравнение (141), имеем

. (142)

Время подъёма блока в первой фазе определится из формулы (140)

. (143)

Тогда общее время подъёма энергоблока на высоту 14м будет равно . Масса энергоблока и крышки равна 2580 тонн. Согласно динамике Ньютона сила , поднимавшая энергоблок, равна

Уважаемые математики! Следуем Вашим симфоническим математическим результатам и записываем Вашу формулу (129), следующую из динамики Ньютона, для определения ударного импульса, выстрелившего 2-й энергоблок

и задаём элементарный вопрос: как определить время действия ударного импульса, выстрелившего 2-й энергоблок????????????

Уважаемые!!! Вспомните, сколько мела исписали на учебных досках поколения Ваших коллег, заумно уча студентов, как определять ударный импульс и никто не пояснил, как определять время действия ударного импульса в каждом конкретном случае. Вы скажете время действия ударного импульса равно интервалу времени изменения скорости энергоблока от нуля до, будем считать, максимального значения 16,75 м/с (139). Оно в формуле (143) и равно 0,84 с. Соглашаемся пока с Вами и определяем усреднённую величину ударного импульса

Сразу возникает вопрос: а почему величина ударного импульса (146) меньше ньютоновской силы 50600тонн? Ответа, у Вас, уважаемые математики, нет . Пойдём дальше.

Согласно динамике Ньютона, главная сила, которая сопротивлялась подъёму энергоблока, - сила тяжести . Так как эта сила направлена против движения энергоблока, то она генерирует замедление, которое равно ускорению свободного падения . Тогда сила гравитации, действующая на летящий вверх энергоблок, равна

Других сил, препятствовавших действию ньютоновской силы 50600 тонн (144), динамика Ньютона не учитывает, а механодинамика утверждает, что подъёму энергоблока сопротивлялась и сила инерции, равная

Сразу возникает вопрос: как найти величину замедления движению энергоблока? Динамика Ньютона молчит, а механодинамика отвечает: в момент действия ньютоновской силы, поднимавшей энергоблок, ей сопротивлялись: сила тяжести и сила инерции, поэтому уравнение сил, действовавших на энергоблок в этот момент, записывается так .

Пусть материальная точка движется под действием силы F . Требуется определить движение этой точки по отношению к подвижной системе Oxyz (см. сложное движение материальной точки), которая движется известным образом по отношению к неподвижной системе O 1 x 1 y 1 z 1 .

Основное уравнение динамики в неподвижной системе

Запишем абсолютное ускорение точки по теореме Кориолиса

где a абс – абсолютное ускорение;

a отн – относительное ускорение;

a пер – переносное ускорение;

a кор – кориолисово ускорение.

Перепишем (25) с учетом (26)

Введем обозначения
- переносная сила инерции,
- кориолисова сила инерции. Тогда уравнение (27) приобретает вид

Основное уравнение динамики для изучения относительного движения (28) записывается как же как и для абсолютного движения, только к действующим на точку силам надо добавить переносную и кориолисову силы инерции.

Общие теоремы динамики материальной точки

При решении многих задач можно пользоваться выполненными заранее заготовками, полученными на основе второго закона Ньютона. Такие методы решения задач объединены в этом разделе.

Теорема об изменении количества движения материальной точки

Введем следующие динамические характеристики:

1. Количество движения материальной точки – векторная величина, равная произведению массы точки на вектор ее скорости

. (29)

2. Импульс силы

Элементарный импульс силы – векторная величина, равная произведению вектора силы на элементарный промежуток времени

(30).

Тогда полный импульс

. (31)

При F =const получим S =Ft .

Полный импульс за конечный промежуток времени можно вычислить только в двух случаях, когда действующая на точку сила постоянная или зависит то времени. В других случаях необходимо выразить силу как функцию времени.

Равенство размерностей импульса (29) и количества движения (30) позволяет установить между ними количественную взаимосвязь.

Рассмотрим движение материальной точки M под действием произвольной силы F по произвольной траектории.

ОУД:
. (32)

Разделяем в (32) переменные и интегрируем

. (33)

В итоге, принимая во внимание (31), получаем

. (34)

Уравнение (34) выражает следующую теорему.

Теорема : Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно импульсу силы, действующей на точку, за тот же интервал времени.

При решении задач уравнение (34) необходимо спроектировать на оси координат

Данной теоремой удобно пользоваться, когда среди заданных и неизвестных величин присутствуют масса точки, ее начальная и конечная скорость, силы и время движения.

Теорема об изменении момента количества движения материальной точки

М
омент количества движения материальной точки относительно центра равен произведению модуля количества движения точки на плечо, т.е. кратчайшее расстояние (перпендикуляр) от центра до линии, совпадающей с вектором скорости

, (36)

. (37)

Взаимосвязь между моментом силы (причиной) и моментом количества движения (следствием) устанавливает следующая теорема.

Пусть точка M заданной массы m движется под действием силы F .

,
,

, (38)

. (39)

Вычислим производную от (39)

. (40)

Объединяя (40) и (38), окончательно получим

. (41)

Уравнение (41) выражает следующую теорему.

Теорема : Производная по времени от вектора момента количества движения материальной точки относительно некоторого центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

При решении задач уравнение (41) необходимо спроектировать на оси координат

В уравнениях (42) моменты количеств движения и силы вычисляются относительно координатных осей.

Из (41) вытекает закон сохранения момента количества движения (закон Кеплера).

Если момент силы, действующей на материальную точку, относительно какого-либо центра равен нулю, то момент количества движения точки относительно этого центра сохраняет свою величину и направление.

Если
, то
.

Теорема и закон сохранения используются в задачах на криволинейное движение, в особенности при действии центральных сил.