Предел функции по коши примеры. Универсальное определение предела функции по гейне и по коши. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Приводятся определения предела функции по Гейне (через последовательности) и по Коши (через эпсилон и дельта окрестности). Определения даются в универсальном виде, применимом как для двусторонних, так и односторонних пределов в конечных и бесконечно удаленных точках. Рассмотрено определение, что точка a не является пределом функции. Доказательство эквивалентности определений по Гейне и по Коши.

Содержание

См. также: Окрестность точки
Определение предела функции в конечной точке
Определение предела функции на бесконечности

Первое определение предела функции (по Гейне)

(x) в точке x 0 :
,
если
1) существует такая проколотая окрестность точки x 0
2) для любой последовательности { x n } , сходящейся к x 0 :
, элементы которой принадлежат окрестности ,
последовательность { f(x n )} сходится к a :
.

Здесь x 0 и a могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. Окрестность может быть как двусторонней, так и односторонней.

.

Второе определение предела функции (по Коши)

Число a называется пределом функции f(x) в точке x 0 :
,
если
1) существует такая проколотая окрестность точки x 0 , на которой функция определена;
2) для любого положительного числа ε > 0 существует такое число δ ε > 0 , зависящее от ε , что для всех x , принадлежащих проколотой δ ε - окрестности точки x 0 :
,
значения функции f(x) принадлежат ε - окрестности точки a :
.

Точки x 0 и a могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. Окрестность также может быть как двусторонней, так и односторонней.

Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
.

В этом определении используются окрестности с равноудаленными концами. Можно дать и эквивалентное определение, используя произвольные окрестности точек.

Определение с использованием произвольных окрестностей
Число a называется пределом функции f(x) в точке x 0 :
,
если
1) существует такая проколотая окрестность точки x 0 , на которой функция определена;
2) для любой окрестности U(a) точки a существует такая проколотая окрестность точки x 0 , что для всех x , принадлежащих проколотой окрестности точки x 0 :
,
значения функции f(x) принадлежат окрестности U(a) точки a :
.

С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать так:
.

Односторонние и двусторонние пределы

Приведенные выше определения универсальны в том смысле, что их можно использовать для любых типов окрестностей. Если, в качестве мы используем левостороннюю проколотую окрестность конечной точки, то получим определение левостороннего предела . Если в качестве окрестности использовать окрестность бесконечно удаленной точки, то получим определение предела на бесконечности.

Для определения предела по Гейне это сводится к тому, что на произвольную, сходящуюся к , последовательность накладывается дополнительное ограничение - ее элементы должны принадлежать соответствующей проколотой окрестности точки .

Для определения предела по Коши нужно в каждом случае преобразовать выражения и в неравенства, используя соответствующие определения окрестности точки.
См. «Окрестность точки ».

Определение, что точка a не является пределом функции

Часто возникает необходимость использовать условие, что точка a не является пределом функции при . Построим отрицания к изложенным выше определениям. В них мы предполагаем, что функция f(x) определена на некоторой проколотой окрестности точки x 0 . Точки a и x 0 могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными. Все сформулированное ниже относится как к двусторонним, так и к односторонним пределам.

По Гейне .
Число a не является пределом функции f(x) в точке x 0 : ,
если существует такая последовательность { x n } , сходящаяся к x 0 :
,
элементы которой принадлежат окрестности ,
что последовательность { f(x n )} не сходится к a :
.
.

По Коши .
Число a не является пределом функции f(x) в точке x 0 :
,
если существует такое положительное число ε > 0 , так что для любого положительного числа δ > 0 , существует такое x , принадлежащее проколотой δ - окрестности точки x 0 :
,
что значение функции f(x) не принадлежит ε - окрестности точки a :
.
.

Разумеется, если точка a не является пределом функции при , то это не означает, что у нее не может быть предела. Возможно, существует предел , но он не равен a . Также возможен случай, когда функция определена в проколотой окрестности точки , но не имеет предела при .

Функция f(x) = sin(1/x) не имеет предела при x → 0.

Например, функция определена при , но предела не существует. Для доказательства возьмем последовательность . Она сходится к точке 0 : . Поскольку , то .
Возьмем последовательность . Она также сходится к точке 0 : . Но поскольку , то .
Тогда предел не может равняться никакому числу a . Действительно, при , существует последовательность , с которой . Поэтому любое отличное от нуля число не является пределом. Но также не является пределом, поскольку существует последовательность , с которой .

Эквивалентность определений предела по Гейне и по Коши

Теорема
Определения предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны.

Доказательство

При доказательстве мы предполагаем, что функция определена в некоторой проколотой окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). Точка a также может быть конечной или бесконечно удаленной.

Доказательство Гейне ⇒ Коши

Пусть функция имеет в точке предел a согласно первому определению (по Гейне). То есть для любой последовательности , принадлежащей проколотой окрестности точки и имеющей предел
(1) ,
предел последовательности равен a :
(2) .

Покажем, что функция имеет предел в точке по Коши. То есть для любого существует , что для всех .

Допустим противное. Пусть условия (1) и (2) выполнены, но функция не имеет предела по Коши. То есть существует такое , что для любого существует , так что
.

Возьмем , где n - натуральное число. Тогда существует , причем
.
Таким образом мы построили последовательность , сходящуюся к , но предел последовательности не равен a . Это противоречит условию теоремы.

Первая часть доказана.

Доказательство Коши ⇒ Гейне

Пусть функция имеет в точке предел a согласно второму определению (по Коши). То есть для любого существует , что
(3) для всех .

Покажем, что функция имеет предел a в точке по Гейне.
Возьмем произвольное число . Согласно определению Коши, существует число , так что выполняется (3).

Возьмем произвольную последовательность , принадлежащую проколотой окрестности и сходящуюся к . По определению сходящейся последовательности, для любого существует , что
при .
Тогда из (3) следует, что
при .
Поскольку это выполняется для любого , то
.

Теорема доказана.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

См. также:

Пусть функция у=ƒ (х) определена в некоторой окрестности точки х о, кроме, быть может, самой точки х о.

Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.

Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне).

Число А называется пределом функции у=ƒ(х) в топке x 0 (или при х® х о), если для любой последовательности допустимых значений аргумента x n , n є N (x n ¹ x 0), сходящейся к х о последовательность соответствующих значений функции ƒ(х n), n є N, сходится к числу А

В этом случае пишут
или ƒ(х)->А при х→х о. Геометрический смысл предела функции: означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке х о, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

Определение 2 (на «языке ε», или по Коши).

Число А называется пределом функции в точке х о (или при х→х о), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для все х¹ х о, удовлетворяющих неравенству |х-х о |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

Геометрический смысл предела функции:

если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки х о, что для всех х¹ хо из етой δ-окрестность соответствующие значения функции ƒ(х) лежат в ε-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у=ƒ(х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ ε , у=А-ε (см. рис. 110). Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ=δ(ε).

<< Пример 16.1

Доказать, что

Решение: Возьмем произвольное ε>0, найдем δ=δ(ε)>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х-3| < δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.

Взяв δ=ε/2, видим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.

<< Пример 16.2

16.2. Односторонние пределы

В определении предела функции считается, что х стремится к x 0 любым способом: оставаясь меньшим, чем x 0 (слева от х 0), большим, чем х о (справа от х о), или колеблясь около точки x 0 .

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х о существенно влияет на значение придела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Число А 1 называется пределом функции у=ƒ(х) слева в точке х о, если для любого число ε>0 существует число δ=δ(ε)> 0 такое, что при х є (х 0 -δ;x o), выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>х 0 -0 или коротко: ƒ(х о- 0)=А 1 (обозначение Дирихле) (см. рис. 111).

Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:

Коротко предел справа обозначают ƒ(х о +0)=А.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем А=А 1 =А 2 .

Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела ƒ(х 0 -0) и ƒ(х 0 +0) и они равны, то существует предел и А=ƒ(х 0 -0).

Если же А 1 ¹ А 2 , то етот придел не существует.

16.3. Предел функции при х ® ∞

Пусть функция у=ƒ(х) определена в промежутке (-∞;∞). Число А называется пределом функции ƒ(х) при х→∞ , если для любого положительного числа ε существует такое число М=М()>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|>М выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε. Коротко это определение можно записать так:

Геометрический смысл этого определения таков: для " ε>0 $ М>0, что при х є(-∞; -М) или х є(М; +∞) соответствующие значения функции ƒ(х) попадают в ε-окрестность точки А, т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ε и у=А-ε (см. рис. 112).

16.4. Бесконечно большая функция (б.б.ф.)

Функция у=ƒ(х) называется бесконечно большой при х→х 0 , если для любого числа М>0 существует число δ=δ(М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М.

Например, функция у=1/(х-2) есть б.б.ф. при х->2.

Если ƒ(х) стремится к бесконечности при х→х о и принимает лишь положительные значения, то пишут

если лишь отрицательные значения, то

Функция у=ƒ(х), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при х→∞, если для любого числа М>0 найдется такое число N=N(M)>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|>N, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М. Коротко:

Например, у=2х есть б.б.ф. при х→∞.

Отметим, что если аргумент х, стремясь к бесконечности, принимает лишь натуральные значения, т. е. хєN, то соответствующая б.б.ф. становится бесконечно большой последовательностью. Например, последовательность v n =n 2 +1, n є N, является бесконечно большой последовательностью. Очевидно, всякая б.б.ф. в окрестности точки х о является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может и не быть б.б.ф. (Например, у=хsinх.)

Однако, если limƒ(х)=А при х→x 0 , где А - конечное число, то функция ƒ(х) ограничена в окрестности точки х о.

Действительно, из определения предела функции следует, что при х→ х 0 выполняется условие |ƒ(х)-А|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.

Приводятся формулировки основных теорем и свойств предела функции. Даны определения конечных и бесконечных пределов в конечных точках и на бесконечности (двусторонних и односторонних) по Коши и Гейне. Рассмотрены арифметические свойства; теоремы, связанные с неравенствами; критерий сходимости Коши; предел сложной функции; свойства бесконечно малых, бесконечно больших и монотонных функций. Дано определение функции.

Содержание

Второе определение по Коши

Предел функции (по Коши) при ее аргументе x , стремящемся к x 0 - это такое конечное число или бесконечно удаленная точка a , для которой выполняются следующие условия:
1) существует такая проколотая окрестность точки x 0 , на которой функция f(x) определена;
2) для любой окрестности точки a , принадлежащей , существует такая проколотая окрестность точки x 0 , на которой значения функции принадлежат выбранной окрестности точки a :
при .

Здесь a и x 0 также могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать следующим образом:
.

Если в качестве множества взять левую или правую окрестность конечной точки, то получим определение предела по Коши слева или справа.

Теорема
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Доказательство

Применяемые окрестности точек

Тогда, фактически, определение по Коши означает следующее.
Для любых положительных чисел , существуют числа , так что для всех x, принадлежащих проколотой окрестности точки : , значения функции принадлежат окрестности точки a: ,
где , .

С таким определением не совсем удобно работать, поскольку окрестности определяются с помощью четырех чисел . Но его можно упростить, если ввести окрестности с равноудаленными концами. То есть можно положить , . Тогда мы получим определение, которое проще использовать при доказательстве теорем. При этом оно является эквивалентным определению, в котором используются произвольные окрестности. Доказательство этого факта приводится в разделе «Эквивалентность определений предела функции по Коши» .

Тогда можно дать единое определение предела функции в конечных и бесконечно удаленных точках:
.
Здесь для конечных точек
; ;
.
Любые окрестности бесконечно удаленных точек являются проколотыми:
; ; .

Конечные пределы функции в конечных точках

Число a называется пределом функции f(x) в точке x 0 , если
1) функция определена на некоторой проколотой окрестности конечной точки ;
2) для любого существует такое , зависящее от , что для всех x , для которых , выполняется неравенство
.

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
.

Односторонние пределы.
Левый предел в точке (левосторонний предел):
.
Правый предел в точке (правосторонний предел):
.
Пределы слева и справа часто обозначают так:
; .

Конечные пределы функции в бесконечно удаленных точках

Аналогичным образом определяются пределы в бесконечно удаленных точках.
.
.
.

Бесконечные пределы функции

Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.

Свойства и теоремы предела функции

Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей проколотой окрестности точки , которая является конечным числом или одним из символов: . Также может быть точкой одностороннего предела, то есть иметь вид или . Окрестность является двусторонней для двустороннего предела и односторонней для одностороннего.

Основные свойства

Если значения функции f(x) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x 1 , x 2 , x 3 , ... x n , то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x 0 .

Если существует конечный предел , то существует такая проколотая окрестность точки x 0 , на которой функция f(x) ограничена:
.

Пусть функция имеет в точке x 0 конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c из интервала , существует такая проколотая окрестность точки x 0 , что для ,
, если ;
, если .

Если, на некоторой проколотой окрестности точки , - постоянная, то .

Если существуют конечные пределы и и на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
то .

Если , и на некоторой окрестности точки
,
то .
В частности, если на некоторой окрестности точки
,
то если , то и ;
если , то и .

Если на некоторой проколотой окрестности точки x 0 :
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
, то
.

Доказательства основных свойств приведены на странице
«Основные свойства предела функции ».

Пусть функции и определены в некоторой проколотой окрестности точки . И пусть существуют конечные пределы:
и .
И пусть C - постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
, если .

Если , то .

Доказательства арифметических свойств приведены на странице
«Арифметические свойства предела функции ».

Критерий Коши существования предела функции

Теорема
Для того, чтобы функция , определенная на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки x 0 , имела в этой точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовала такая проколотая окрестность точки x 0 , что для любых точек и из этой окрестности, выполнялось неравенство:
.

Предел сложной функции

Теорема о пределе сложной функции
Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки . Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел .
Здесь - конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции и он равен :
.

Теорема о пределе сложной функции применяется в том случае, когда функция не определена в точке или имеет значение, отличное от предельного . Для применения этой теоремы, должна существовать проколотая окрестность точки , на которой множество значений функции не содержит точку :
.

Если функция непрерывна в точке , то знак предела можно применять к аргументу непрерывной функции:
.
Далее приводится теорема, соответствующая этому случаю.

Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции g(x) при x → x 0 , и он равен t 0 :
.
Здесь точка x 0 может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция f(t) непрерывна в точке t 0 .
Тогда существует предел сложной функции f(g(x)) , и он равен f(t 0) :
.

Доказательства теорем приведены на странице
«Предел и непрерывность сложной функции ».

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Бесконечно малые функции

Определение
Функция называется бесконечно малой при , если
.

Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при .

Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки , на бесконечно малую при является бесконечно малой функцией при .

Для того, чтобы функция имела конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы
,
где - бесконечно малая функция при .

«Свойства бесконечно малых функций ».

Бесконечно большие функции

Определение
Функция называется бесконечно большой при , если
.

Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки , и бесконечно большой функции при является бесконечно большой функцией при .

Если функция является бесконечно большой при , а функция - ограничена, на некоторой проколотой окрестности точки , то
.

Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , удовлетворяет неравенству:
,
а функция является бесконечно малой при :
, и (на некоторой проколотой окрестности точки ), то
.

Доказательства свойств изложены в разделе
«Свойства бесконечно больших функций ».

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями

Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

Если функция являются бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .

Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .

Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
, .

Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при , то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки , то этот факт можно выразить так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при , то пишут:
.

Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
, ,
, .

Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства ».

Пределы монотонных функций

Определение
Функция , определенная на некотором множестве действительных чисел X называется строго возрастающей , если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Соответственно, для строго убывающей функции выполняется неравенство:
.
Для неубывающей :
.
Для невозрастающей :
.

Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.

Функция называется монотонной , если она неубывающая или невозрастающая.

Теорема
Пусть функция не убывает на интервале , где .
Если она ограничена сверху числом M : , то существует конечный предел . Если не ограничена сверху, то .
Если ограничена снизу числом m : , то существует конечный предел . Если не ограничена снизу, то .

Если точки a и b являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.

Пусть функция не убывает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы в точках a и b :
;
.

Аналогичная теорема для невозрастающей функции.

Пусть функция не возрастает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы:
;
.

Доказательство теоремы изложено на странице
«Пределы монотонных функций ».

Определение функции

Функцией y = f(x) называется закон (правило), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y .

Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной .
Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной .

Множество X называется областью определения функции .
Множество элементов y ∈ Y , которые имеют прообразы в множестве X , называется областью или множеством значений функции .

Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу) , если существует такое число M , что для всех выполняется неравенство:
.
Числовая функция называется ограниченной , если существует такое число M , что для всех :
.

Верхней гранью или точной верхней границей действительной функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′ : .
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.

Соответственно нижней гранью или точной нижней границей действительной функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′ : .
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

См. также:

Определение пределов последовательности и функции, свойства пределов, первый и второй замечательные пределы, примеры.

Постоянное число а называется пределом последовательности {x n}, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству

Записывают это следующим образом: или x n → a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

a - ε < x n < a + ε которое означает, что точки x n , начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-ε , a+ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся , в противном случае - расходящейся .

Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n .

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a . Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а , соответствующие им последовательности {f(x n)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей ”.

Определение 2 . Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→a, если, задав произвольное, как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x , лежащих в ε-окрестности числа а , т.е. для x , удовлетворяющих неравенству
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε - δ "

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x → a имеет предел , равный А, это записывается в виде

В том случае, если последовательность {f(x n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а , то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной .

Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1 . Если существует каждый предел

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Замечание . Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2.

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности,

Теорема 3.

(6.11)

где e » 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предело и второй замечательный предел.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

в частности предел,

Eсли x → a и при этом x > a, то пишут x →a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→a и при этом x и называются соответственно предел справа и предел слева функции f(x) в точке а . Чтобы существовал предел функции f(x) при x→ a необходимо и достаточно, чтобы . Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если предел

(6.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R , кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o)= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o , если предел

и непрерывной слева в точке x o, если предел

Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o , например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если предел существует и не равен f(x o), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок .

2. Если предел равен +∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода .

Например, функция y = ctg x при x → +0 имеет предел, равный +∞ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной в . Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана , дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 ×1,5 = 150, а еще через полгода - в 150× 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (ден. ед.),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (ден. ед.),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел

Пример 3.1 . Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство |x n -1| < ε

Возьмем любое ε > 0. Так как x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n<ε. Отсюда n>1/ε и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ε N = E(1/ε). Мы тем самым доказали, что предел .

Пример 3.2. Найти предел последовательности, заданной общим членом .

Решение. Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n → ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x n , разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2 , а второго на n . Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:

Пример 3.3 . . Найти .

Решение.

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 3.4 . Найти ().

Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞-∞. Преобразуем формулу общего члена:

Пример 3.5 . Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел Выберем теперь в качестве x n последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю. Поэтому предел не существует.

Пример 3.6 . Доказать, что предел не существует.

Решение. Пусть x 1 , x 2 ,..., x n ,... - последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность {f(x n)} = {sin x n } при различных x n → ∞

Если x n = p n, то sin x n = sin (p n) = 0 при всех n и предел Если же
x n =2 p n+ p /2, то sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 для всех n и следовательно предел . Таким образом, не существует.

Рассмотрим функцию %%f(x)%%, определенную, по крайней мере, в некоторой проколотой окрестности %%\stackrel{\circ}{\text{U}}(a)%% точки %%a \in \overline{\mathbb{R}}%% расширенной числовой прямой.

Понятие предела по Коши

Число %%A \in \mathbb{R}%% называют пределом функции %%f(x)%% в точке %%a \in \mathbb{R}%% (или при %%x%%, стремящемся к %%a \in \mathbb{R}%%), если, каково бы ни было положительное число %%\varepsilon%%, найдется положительное число %%\delta%%, такое, что для всех точек проколотой %%\delta%%-окрестности точки %%a%% значения функции принадлежат %%\varepsilon%%-окрестности точки %%A%%, или

$$ A = \lim\limits_{x \to a}{f(x)} \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel{\circ}{\text{U}}_\delta(a) \Rightarrow f(x) \in \text{U}_\varepsilon (A) \big) $$

Это определение называется определением на языке %%\varepsilon%% и %%\delta%%, предложено французским математиком Огюстеном Коши и используется с начала XIX века по настоящее время, поскольку обладает необходимой математической строгостью и точностью.

Комбинируя различные окрестности точки %%a%% вида %%\stackrel{\circ}{\text{U}}_\delta(a), \text{U}_\delta (\infty), \text{U}_\delta (-\infty), \text{U}_\delta (+\infty), \text{U}_\delta^+ (a), \text{U}_\delta^- (a)%% с окрестностями %%\text{U}_\varepsilon (A), \text{U}_\varepsilon (\infty), \text{U}_\varepsilon (+\infty), \text{U}_\varepsilon (-\infty)%%, получим 24 определения предела по Коши.

Геометрический смысл

Геометрический смысл предела функции

Выясним, в чем заключается геометрический смысл предела функции в точке. Построим график функции %%y = f(x)%% и отметим на нем точки %%x = a%% и %%y = A%%.

Предел функции %%y = f(x)%% в точке %%x \to a%% существует и равен A, если для любой %%\varepsilon%%-окрестности точки %%A%% можно указать такую %%\delta%%-окрестность точки %%a%%, что для любого %%x%% из этой %%\delta%%-окрестности значение %%f(x)%% будет находиться в %%\varepsilon%%-окрестности точки %%A%%.

Отметим, что по определению предела функции по Коши для существования предела при %%x \to a%% не важно, какое значение принимает функция в самой точке %%a%%. Можно привести примеры, когда функция не определена при %%x = a%% или принимает значение, отличное от %%A%%. Тем не менее предел может быть равен %%A%%.

Определение предела по Гейне

Элемент %%A \in \overline{\mathbb{R}}%% называется пределом функции %%f(x)%% при %% x \to a, a \in \overline{\mathbb{R}}%%, если для любой последовательности %%\{x_n\} \to a%% из области определения, последовательность соответствующих значений %%\big\{f(x_n)\big\}%% стремится к %%A%%.

Определение предела по Гейне удобно использовать, когда возникают сомнения в существовании предела функции в данной точке. Если можно построить хотя бы одну последовательность %%\{x_n\}%% с пределом в точке %%a%% такую, что последовательность %%\big\{f(x_n)\big\}%% не имеет предела, то можно сделать вывод о том, что функция %%f(x)%% не имеет предела в этой точке. Если для двух различных последовательностей %%\{x"_n\}%% и %%\{x""_n\}%%, имеющих одинаковый предел %%a%%, последовательности %%\big\{f(x"_n)\big\}%% и %%\big\{f(x""_n)\big\}%% имеют различные пределы, то в этом случае также не существует предел функции %%f(x)%%.

Пример

Пусть %%f(x) = \sin(1/x)%%. Проверим, существует ли предел данной функции в точке %%a = 0%%.

Выберем сначала сходящуюся к этой точке последовательность $$ \{x_n\} = \left\{\frac{(-1)^n}{n\pi}\right\}. $$

Ясно, что %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb{N}%% и %%\lim {x_n} = 0%%. Тогда %%f(x_n) = \sin{\left((-1)^n n\pi\right)} \equiv 0%% и %%\lim\big\{f(x_n)\big\} = 0%%.

Затем возьмем сходящуюся к той же точке последовательность $$ x"_n = \left\{ \frac{2}{(4n + 1)\pi} \right\}, $$

для которой %%\lim{x"_n} = +0%%, %%f(x"_n) = \sin{\big((4n + 1)\pi/2\big)} \equiv 1%% и %%\lim\big\{f(x"_n)\big\} = 1%%. Аналогично для последовательности $$ x""_n = \left\{-\frac{2}{(4n + 1)\pi} \right\}, $$

также сходящейся к точке %%x = 0%%, %%\lim\big\{f(x""_n)\big\} = -1%%.

Все три последовательности дали разные результаты, что противоречит условию определения по Гейне, т.е. данная функция не имеет предела в точке %%x = 0%%.

Теорема

Определение предела по Коши и по Гейне эквивалентны.