Kooli õppekava teemade läbivaatamine videotundide abil on mugav viis materjali õppimiseks ja valdamiseks. Video aitab koondada õpilaste tähelepanu peamistele teoreetilistele kontseptsioonidele ja mitte jätta tähelepanuta olulisi detaile. Vajadusel saavad õpilased videotundi alati uuesti kuulata või mitu teemat tagasi minna.

See videotund 8. klassile aitab õpilastel õppida uut geomeetria teemat.

Eelmises teemas uurisime Pythagorase teoreemi ja analüüsisime selle tõestust.

On ka teoreem, mida tuntakse Pythagorase pöördteoreemina. Vaatame seda lähemalt.

Teoreem. Kolmnurk on täisnurkne, kui sellel on järgmine võrdsus: kolmnurga ühe külje väärtus ruudus on sama, mis ülejäänud kahe külje ruudu summa.

Tõestus. Oletame, et meile on antud kolmnurk ABC, milles kehtib võrdus AB 2 = CA 2 + CB 2. On vaja tõestada, et nurk C on 90 kraadi. Vaatleme kolmnurka A 1 B 1 C 1, mille nurk C 1 võrdub 90 kraadi, külg C 1 A 1 on võrdne CA ja külg B 1 C 1 on võrdne BC.

Rakendades Pythagorase teoreemi, kirjutame kolmnurga külgede suhte A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2. Asendades avaldise võrdsete külgedega, saame A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2 .

Teoreemi tingimustest teame, et AB 2 = CA 2 + CB 2. Siis saame kirjutada A 1 B 1 2 = AB 2, millest järeldub, et A 1 B 1 = AB.

Leidsime, et kolmnurkade ABC ja A 1 B 1 C 1 kolm külge on võrdsed: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Seega on need kolmnurgad võrdsed. Kolmnurkade võrdsusest järeldub, et nurk C on võrdne nurgaga C 1 ja vastavalt 90 kraadi. Oleme kindlaks teinud, et kolmnurk ABC on täisnurkne ja selle nurk C on 90 kraadi. Oleme selle teoreemi tõestanud.

Järgmisena toob autor näite. Oletame, et meile antakse suvaline kolmnurk. Selle külgede suurused on teada: 5, 4 ja 3 ühikut. Kontrollime väidet lausest, mis on pöördvõrdeline Pythagorase teoreemile: 5 2 = 3 2 + 4 2. Väide on tõene, mis tähendab, et see kolmnurk on täisnurkne.

Järgmistes näidetes on kolmnurgad ka täisnurksed kolmnurgad, kui nende küljed on võrdsed:

5, 12, 13 ühikut; võrdus 13 2 = 5 2 + 12 2 on tõene;

8, 15, 17 ühikut; võrdus 17 2 = 8 2 + 15 2 on tõene;

7, 24, 25 ühikut; võrdus 25 2 = 7 2 + 24 2 on tõene.

Pythagorase kolmnurga mõiste on tuntud. See on täisnurkne kolmnurk, mille küljed on võrdsed täisarvudega. Kui Pythagorase kolmnurga jalad on tähistatud a ja c-ga ning hüpotenuus b-ga, saab selle kolmnurga külgede väärtused kirjutada järgmiste valemite abil:

b = k x (m 2 - n 2)

c = k x (m 2 + n 2)

kus m, n, k on naturaalarvud ja m väärtus on suurem kui n.

Huvitav fakt: kolmnurka, mille küljed on 5, 4 ja 3, nimetatakse ka Egiptuse kolmnurgaks.

Selles videotunnis õppisime teoreemi vastupidiselt Pythagorase teoreemile. Uurisime tõendeid üksikasjalikult. Samuti said õpilased teada, milliseid kolmnurki nimetatakse Pythagorase kolmnurkadeks.

Õpilased saavad selle videotunni abil hõlpsasti iseseisvalt tutvuda teemaga "Pythagorase pöördteoreem".

Pythagorase teoreem ütleb:

Täisnurkses kolmnurgas on jalgade ruutude summa võrdne hüpotenuusi ruuduga:

a 2 + b 2 = c 2,

• a Ja b– täisnurga moodustavad jalad.
• Koos- kolmnurga hüpotenuus.

Pythagorase teoreemi valemid

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Pythagorase teoreemi tõestus

Täisnurkse kolmnurga pindala arvutatakse järgmise valemiga:

S = \frac(1)(2) ab

Suvalise kolmnurga pindala arvutamiseks on pindala valem järgmine:

• lk- poolperimeeter. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
• r– sisse kirjutatud ringi raadius. Ristküliku jaoks r=\frac(1)(2)(a+b-c).

Seejärel võrdsustame kolmnurga pindala jaoks mõlema valemi paremad küljed:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \parem)

2 ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Pythagorase vastupidine teoreem:

Kui kolmnurga ühe külje ruut on võrdne kahe teise külje ruutude summaga, siis on kolmnurk täisnurkne. See tähendab mis tahes positiivsete arvude kolmiku korral a, b Ja c, selline, et

a 2 + b 2 = c 2,

on täisnurkne kolmnurk jalgadega a Ja b ja hüpotenuus c.

Pythagorase teoreem- üks eukleidilise geomeetria põhiteoreeme, mis loob seose täisnurkse kolmnurga külgede vahel. Seda tõestas õppinud matemaatik ja filosoof Pythagoras.

Teoreemi tähendus Asi on selles, et seda saab kasutada teiste teoreemide tõestamiseks ja probleemide lahendamiseks.

Lisamaterjal:

On tähelepanuväärne, et Pythagorase teoreemis määratletud omadus on täisnurkse kolmnurga iseloomulik omadus. See tuleneb Pythagorase teoreemile vastupidisest teoreemist.

Teoreem: Kui kolmnurga ühe külje ruut on võrdne kahe teise külje ruutude summaga, siis on kolmnurk täisnurkne.

Heroni valem

Tuletagem valem, mis väljendab kolmnurga tasandit selle külgede pikkuste järgi. See valem on seotud Aleksandria Heroni nimega – Vana-Kreeka matemaatiku ja mehaanikuga, kes elas arvatavasti 1. sajandil pKr. Heron pööras palju tähelepanu geomeetria praktilistele rakendustele.

Teoreem. Kolmnurga pindala S, mille küljed on võrdsed a, b, c, arvutatakse valemiga S=, kus p on kolmnurga poolperimeeter.

Tõestus.

Antud on: ?ABC, AB= c, BC= a, AC= b Nurgad A ja B on teravad. CH - kõrgus.

Tõesta:

Tõestus:

Vaatleme kolmnurka ABC, milles AB=c, BC=a, AC=b. Igal kolmnurgal on vähemalt kaks teravnurka. Olgu A ja B kolmnurga ABC teravnurgad. Siis asub kolmnurga kõrguse CH alus H küljel AB. Tutvustame järgmist tähistust: CH = h, AH=y, HB=x. Pythagorase teoreemi järgi a 2 - x 2 = h 2 =b 2 -y 2, kust

Y 2 - x 2 = b 2 - a 2 või (y - x) (y + x) = b 2 - a 2 ja kuna y + x = c, siis y- x = (b2 - a2).

Lisades kaks viimast võrdsust, saame:

2y = +c, kust

y= ja seetõttu h 2 = b 2 -y 2 =(b - y)(b+y)=

Tunni eesmärgid:

Hariduslik: sõnastada ja tõestada Pythagorase teoreem ja Pythagorase teoreemi pöördteoreem. Näidake nende ajaloolist ja praktilist tähtsust.

Arendav: arendab õpilaste tähelepanu, mälu, loogilist mõtlemist, arutlus-, võrdlemis- ja järelduste tegemise oskust.

Hariv: kasvatada huvi ja armastust aine vastu, täpsust, oskust kuulata kaaslasi ja õpetajaid.

Varustus: Pythagorase portree, plakatid kinnistamisülesannetega, õpik “Geomeetria” 7.–9. klassile (I.F. Sharygin).

Tunniplaan:

I. Korraldusmoment – ​​1 min.

II. Kodutööde kontrollimine – 7 min.

III. Õpetaja sissejuhatav kõne, ajalooline taust – 4-5 min.

IV. Pythagorase teoreemi sõnastamine ja tõestamine – 7 min.

V. Pythagorase teoreemi vastupidise teoreemi formuleerimine ja tõestamine – 5 min.

Uue materjali konsolideerimine:

a) suuline – 5-6 minutit.
b) kirjalik – 7-10 minutit.

VII. Kodutöö – 1 min.

VIII. Tunni kokkuvõte – 3 min.

Tundide ajal

I. Organisatsioonimoment.

II. Kodutööde kontrollimine.

p 7.1, nr 3 (tahvli juures vastavalt valmis joonisele).

Seisukord: Täisnurkse kolmnurga kõrgus jagab hüpotenuusi segmentideks pikkusega 1 ja 2. Leidke selle kolmnurga jalad.

BC = a; CA = b; BA = c; BD = a1; DA = b1; CD = hC

Lisaküsimus: kirjuta suhtarvud täisnurksesse kolmnurka.

Jaotis 7.1, nr 5. Lõika täisnurkne kolmnurk kolmeks sarnaseks kolmnurgaks.

Seletama.

ASN ~ ABC ~ SVN

(juhib õpilaste tähelepanu sarnaste kolmnurkade vastavate tippude kirjutamise õigsusele)

III. Õpetaja sissejuhatav kõne, ajalooline taust.

Tõde jääb igaveseks niipea, kui nõrk inimene selle ära tunneb!

Ja nüüd on Pythagorase teoreem tõsi, nagu tema kaugel ajastul.

Pole juhus, et alustasin oma õppetundi saksa romaanikirjaniku Chamisso sõnadega. Meie tänane õppetund käsitleb Pythagorase teoreemi. Paneme tunni teema kirja.

Teie ees on suure Pythagorase portree. Sündis 576 eKr. Olles elanud 80 aastat, suri ta aastal 496 eKr. Tuntud Vana-Kreeka filosoofi ja õpetajana. Ta oli kaupmees Mnesarchuse poeg, kes võttis teda sageli reisidele kaasa, tänu millele tekkis poisil uudishimu ja soov uusi asju õppida. Pythagoras on hüüdnimi, mis on talle antud tema kõneosavuse tõttu ("Pythagoras" tähendab "kõnega veenev"). Ise ta midagi ei kirjutanud. Kõik tema mõtted salvestasid tema õpilased. Esimese loengu tulemusena omandas Pythagoras 2000 õpilast, kes moodustasid koos oma naiste ja lastega hiiglasliku kooli ning lõid riigi nimega “Suur-Kreeka”, mis põhines Pythagorase seadustel ja reeglitel. jumalike käskudena. Ta oli esimene, kes nimetas oma mõttekäike elu mõtte kohta filosoofiaks (filosoofia). Ta oli altid müstifikatsioonile ja demonstratiivsele käitumisele. Ühel päeval peitis Pythagoras end maa alla ja sai oma emalt teada kõigest, mis toimus. Siis, närbunud nagu luustik, teatas ta avalikul koosolekul, et on Hadeses käinud ja näitas hämmastavaid teadmisi maiste sündmuste kohta. Selle eest tunnistasid puudutatud elanikud ta jumalaks. Pythagoras ei nutnud kunagi ning oli üldiselt kirgede ja põnevuse jaoks kättesaamatu. Ta uskus, et on pärit seemnest, mis on parem kui inimene. Kogu Pythagorase elu on legend, mis on jõudnud meie ajani ja rääkis meile iidse maailma andekaimast mehest.

IV. Pythagorase teoreemi sõnastamine ja tõestamine.

Sa tead Pythagorase teoreemi sõnastust oma algebra kursusest. Pidagem teda meeles.

Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusi ruut võrdne jalgade ruutude summaga.

Seda teoreemi teati aga palju aastaid enne Pythagorast. 1500 aastat enne Pythagorast teadsid iidsed egiptlased, et kolmnurk, mille küljed on 3, 4 ja 5, on ristkülikukujuline ja kasutasid seda kinnistut kruntide planeerimisel ja hoonete ehitamisel täisnurkade ehitamiseks. Hiina vanimas matemaatilises ja astronoomilises teoses, mis on meieni jõudnud, "Zhiu-bi", mis on kirjutatud 600 aastat enne Pythagorast, sisaldab muude täisnurkse kolmnurgaga seotud ettepanekute hulgas ka Pythagorase teoreem. Juba varem oli see teoreem hindudele teada. Seega ei avastanud Pythagoras seda täisnurkse kolmnurga omadust esimesena, kes selle üldistas ja tõestas, praktikavaldkonnast teaduse valdkonda üle kandis.

Alates iidsetest aegadest on matemaatikud leidnud Pythagorase teoreemile üha rohkem tõestusi. Neid on teada üle pooleteisesaja. Meenutagem meile algebra kursusest tuntud Pythagorase teoreemi algebralist tõestust. (“Matemaatika. Algebra. Funktsioonid. Andmeanalüüs” G.V. Dorofejev, M., “Drofa”, 2000).

Paluge õpilastel meelde jätta joonise tõestus ja kirjutada see tahvlile.

(a + b) 2 = 4 1/2 a * b + c 2 b a

a 2 + 2a * b + b 2 = 2a * b + c 2

a 2 + b 2 = c 2 a a b

Muistsed hindud, kellele see arutluskäik kuulub, ei kirjutanud seda tavaliselt üles, vaid saatsid joonistust ainult ühe sõnaga: "Vaata."

Vaatleme nüüdisaegses esitluses üht Pythagorasele kuuluvat tõestust. Tunni alguses meenus teoreem suhete kohta täisnurkses kolmnurgas:

h 2 = a 1 * b 1 a 2 = a 1 * c b 2 = b 1 * c

Lisame kaks viimast võrdsust termini kaupa:

b 2 + a 2 = b 1 * c + a 1 * c = (b 1 + a 1) * c 1 = c * c = c 2 ; a 2 + b 2 = c 2

Vaatamata selle tõestuse näilisele lihtsusele pole see kaugeltki kõige lihtsam. Lõppude lõpuks oli selleks vaja joonistada kõrgus täisnurksesse kolmnurka ja arvestada sarnaste kolmnurkadega. Palun kirjutage need tõendid oma märkmikusse.

V. Teoreemi formuleerimine ja tõestamine on vastupidine Pythagorase teoreemile.

Millist teoreemi nimetatakse selle teoreemi vastupidiseks? (...kui tingimus ja järeldus on vastupidised.)

Proovime nüüd sõnastada teoreemi vastupidiselt Pythagorase teoreemile.

Kui kolmnurgas külgedega a, b ja c kehtib võrdus c 2 = a 2 + b 2, siis see kolmnurk on täisnurkne ja täisnurk on külje c vastas.

(Pöördteoreemi tõestus plakatil)

ABC, BC = a,

AC = b, BA = c.

a 2 + b 2 = c 2

Tõesta:

ABC - ristkülikukujuline,

Tõestus:

Vaatleme täisnurkset kolmnurka A 1 B 1 C 1,

kus C 1 = 90°, A 1 C 1 = a, A 1 C 1 = b.

Siis Pythagorase teoreemi järgi B 1 A 1 2 = a 2 + b 2 = c 2.

See tähendab, et B 1 A 1 = c A 1 B 1 C 1 = ABC kolmest küljest ABC on ristkülikukujuline

C = 90°, mida oli vaja tõestada.

VI. Õpitava materjali kinnistamine (suuline).

1. Plakati põhjal valmis joonistega.

Joonis 1: leidke AD, kui ВD = 8, ВDA = 30°.

Joonis 2: leidke CD, kui BE = 5, BAE = 45°.

Joonis 3: leidke BD, kui BC = 17, AD = 16.

2. Kas kolmnurk on ristkülikukujuline, kui selle külgi väljendatakse numbritega:

5 2 + 6 2 ? 7 2 (ei)	9 2 + 12 2 = 15 2 (jah)	15 2 + 20 2 = 25 2 (jah)

Kuidas nimetatakse arvukolmikuid kahel viimasel juhul? (Pythagorase).

VI. Probleemide lahendamine (kirjalikult).

Nr 9. Võrdkülgse kolmnurga külg on võrdne a-ga. Leidke selle kolmnurga kõrgus, piiritletud ringi raadius ja sissekirjutatud ringi raadius.

Nr 14. Tõesta, et täisnurkses kolmnurgas on piiratud ringjoone raadius võrdne hüpotenuusile tõmmatud mediaaniga ja võrdne poolega hüpotenuusist.

VII. Kodutöö.

Lõige 7.1, lk 175–177, uurige teoreemi 7.4 (üldistatud Pythagorase teoreem), nr 1 (suuline), nr 2, nr 4.

VIII. Tunni kokkuvõte.

Mida uut sa täna tunnis õppisid? …………

Pythagoras oli ennekõike filosoof. Nüüd tahan teile lugeda mõnda tema ütlust, mis on teie ja minu jaoks meie ajal endiselt aktuaalsed.

• Ära tõsta eluteele tolmu.
• Tehke ainult seda, mis teid hiljem ei häiri ega sunni meelt parandama.
• Ärge kunagi tehke seda, mida te ei tea, vaid õppige kõike, mida peate teadma, ja siis elate vaikset elu.
• Ärge sulgege silmi, kui soovite magada, ilma et oleksite kõik oma eelmise päeva toimingud selgeks teinud.
• Õppige elama lihtsalt ja ilma luksuseta.

Van der Waerdeni järgi on väga tõenäoline, et suhe üldkujul oli Babüloonias teada umbes 18. sajandil eKr. e.

Umbes 400 eKr. eKr, Proklose sõnul andis Platon meetodi Pythagorase kolmikute leidmiseks, ühendades algebra ja geomeetria. Umbes 300 eKr. e. Pythagorase teoreemi vanim aksiomaatiline tõestus ilmus Eukleidese elementides.

Preparaadid

Põhikoostis sisaldab algebralisi tehteid - täisnurkses kolmnurgas, mille jalgade pikkused on võrdsed a (\displaystyle a) Ja b (\displaystyle b), ja hüpotenuusi pikkus on c (\displaystyle c), on täidetud järgmine seos:

.

Võimalik on ka samaväärne geomeetriline formuleering, kasutades kujundi pindala mõistet: täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusile ehitatud ruudu pindala võrdne joonisele ehitatud ruutude pindalade summaga. jalad. Teoreem on sellisel kujul sõnastatud Eukleidese elementides.

Pöörd Pythagorase teoreem- väide mis tahes kolmnurga ristkülikukujulisuse kohta, mille külgede pikkused on seotud seosega a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Selle tulemusena iga positiivse arvu kolmiku kohta a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) Ja c (\displaystyle c), selline, et a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), on täisnurkne jalgadega kolmnurk a (\displaystyle a) Ja b (\displaystyle b) ja hüpotenuus c (\displaystyle c).

Tõestus

Teaduskirjanduses on kirjas vähemalt 400 Pythagorase teoreemi tõestust, mis on seletatav nii selle fundamentaalse tähtsusega geomeetriale kui ka tulemuse elementaarsusega. Tõestuste põhisuunad on: kolmnurga elementide vaheliste seoste algebraline kasutamine (näiteks populaarne sarnasusmeetod), alade meetod, on ka erinevaid eksootilisi tõestusi (näiteks diferentsiaalvõrrandite kasutamine).

Läbi sarnaste kolmnurkade

Eukleidese klassikaline tõestus on suunatud alade võrdsuse kindlaksmääramisele ristkülikute vahel, mis on moodustatud hüpotenuusi kohal oleva ruudu tükeldamisel jalgade kohal olevate ruutudega täisnurga kõrgusel.

Tõestuseks kasutatav konstruktsioon on järgmine: täisnurgaga täisnurkse kolmnurga jaoks C (\displaystyle C), ruudud üle jalgade ja ja ruudud üle hüpotenuusi A B I K (\displaystyle ABIK) kõrgust ehitatakse CH ja kiir, mis seda jätkab s (\displaystyle s), jagades hüpotenuusi kohal oleva ruudu kaheks ristkülikuks ja . Tõestuse eesmärk on tuvastada ristküliku pindalade võrdsus A H J K (\displaystyle AHJK) ruuduga üle jala A C (\displaystyle AC); hüpotenuusi kohal asuva ruudu moodustava teise ristküliku ja teise jala kohal oleva ristküliku pindalade võrdsus määratakse sarnasel viisil.

Ristküliku pindalade võrdsus A H J K (\displaystyle AHJK) Ja A C E D (\displaystyle ACED) määratakse kolmnurkade kongruentsi kaudu △ A C K ​​(\kuvastiil \kolmnurk ACK) Ja △ A B D (\kuvastiil \kolmnurk ABD), millest igaühe pindala on võrdne poolega ruutude pindalast A H J K (\displaystyle AHJK) Ja A C E D (\displaystyle ACED) vastavalt seoses järgmise omadusega: kolmnurga pindala on võrdne poolega ristküliku pindalast, kui kujunditel on ühine külg ja kolmnurga kõrgus ühise külje suhtes on kolmnurga teine ​​külg. ristkülik. Kolmnurkade kongruentsus tuleneb kahe külje (ruudu küljed) ja nendevahelise nurga (koosneb täisnurgast ja nurgast A (\displaystyle A).

Seega kinnitab tõend, et ruudu pindala hüpotenuusi kohal, mis koosneb ristkülikutest A H J K (\displaystyle AHJK) Ja B H J I (\displaystyle BHJI), võrdub jalgade ruutude pindalade summaga.

Leonardo da Vinci tõend

Pindala meetod sisaldab ka Leonardo da Vinci leitud tõendit. Olgu antud täisnurkne kolmnurk △ A B C (\kuvastiil \kolmnurk ABC) täisnurgaga C (\displaystyle C) ja ruudud A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG) Ja A B H J (\displaystyle ABHJ)(vt pilti). Selles tõendis küljel HJ (\displaystyle HJ) viimase välisküljele on konstrueeritud kongruentne kolmnurk △ A B C (\kuvastiil \kolmnurk ABC) Pealegi peegeldub see nii hüpotenuusi kui ka selle kõrguse suhtes (st J I = B C (\displaystyle JI=BC) Ja H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Otse C I (\displaystyle CI) jagab hüpotenuusile ehitatud ruudu kaheks võrdseks osaks, kuna kolmnurgad △ A B C (\kuvastiil \kolmnurk ABC) Ja △ J H I (\kuvastiil \kolmnurk JHI) ehituselt võrdne. Tõestus määrab nelinurkade kongruentsi C A J I (\displaystyle CAJI) Ja D A B G (\displaystyle DABG), mille kummagi pindala on ühelt poolt võrdne poole jalgade ruutude pindala ja algse kolmnurga pindala summaga, teiselt poolt poolega hüpotenuusi ruudu pindala pluss algse kolmnurga pindala. Kokku on pool jalgade ruutude pindalade summast võrdne poole hüpotenuusi kohal asuva ruudu pindalaga, mis on samaväärne Pythagorase teoreemi geomeetrilise sõnastusega.

Tõestus lõpmatu väikese meetodiga

Diferentsiaalvõrrandite tehnikat kasutades on mitmeid tõestusi. Eelkõige omistatakse Hardyle tõestus, mis kasutas jalgade lõpmatuid juurdekasvu a (\displaystyle a) Ja b (\displaystyle b) ja hüpotenuus c (\displaystyle c), ja säilitades sarnasuse algse ristkülikuga, st tagades järgmiste diferentsiaalseoste täitmise:

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

Kasutades muutujate eraldamise meetodit, tuletatakse neist diferentsiaalvõrrand c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), mille integreerimine annab seose c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Algtingimuste rakendamine a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) defineerib konstandi kui 0, mille tulemuseks on teoreemi väide.

Ruutsõltuvus lõplikus valemis ilmneb kolmnurga külgede ja juurdekasvu vahelise lineaarse proportsionaalsuse tõttu, samas kui summa on seotud erinevate jalgade juurdekasvu sõltumatute panustega.

Variatsioonid ja üldistused

Sarnased geomeetrilised kujundid kolmel küljel

Pythagorase teoreemi olulise geomeetrilise üldistuse andis Eukleides elementides, liikudes külgedel olevate ruutude pindaladelt suvaliste sarnaste geomeetriliste kujundite aladele: selliste jalgadele ehitatud kujundite pindalade summa on võrdne hüpotenuusile ehitatud sarnase kujundi pindala.

Selle üldistuse põhiidee seisneb selles, et sellise geomeetrilise kujundi pindala on võrdeline selle mis tahes lineaarse mõõtme ruuduga ja eriti mis tahes külje pikkuse ruuduga. Seetõttu pindaladega sarnaste näitajate puhul A (\displaystyle A), B (\displaystyle B) Ja C (\displaystyle C), ehitatud jalgadele pikkustega a (\displaystyle a) Ja b (\displaystyle b) ja hüpotenuus c (\displaystyle c) Sellest lähtuvalt kehtib järgmine seos:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Paremnool \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

Kuna Pythagorase teoreemi järgi a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), siis tehtud.

Lisaks, kui Pythagorase teoreemi kasutamata on võimalik tõestada, et kolme sarnase geomeetrilise kujundi pindalad täisnurkse kolmnurga külgedel vastavad seosele A + B = C (\kuvastiil A+B=C), siis kasutades Eukleidese üldistuse tõestuse pöördkülge, saab tuletada Pythagorase teoreemi tõestuse. Näiteks kui hüpotenuusil konstrueerime täisnurkse kolmnurga, mis on ühtlane algse kolmnurga pindalaga C (\displaystyle C), ja külgedel - kaks sarnast täisnurkset kolmnurka pindaladega A (\displaystyle A) Ja B (\displaystyle B), siis selgub, et külgedel olevad kolmnurgad tekivad esialgse kolmnurga jagamisel selle kõrgusega, see tähendab, et kolmnurkade kahe väiksema pindala summa on võrdne kolmanda pindalaga, seega A + B = C (\kuvastiil A+B=C) ja rakendades seost sarnaste kujundite jaoks, tuletatakse Pythagorase teoreem.

Koosinusteoreem

Pythagorase teoreem on üldisema koosinusteoreemi erijuhtum, mis seob suvalise kolmnurga külgede pikkused:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

kus on külgede vaheline nurk a (\displaystyle a) Ja b (\displaystyle b). Kui nurk on 90°, siis cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), ja valem lihtsustub tavalise Pythagorase teoreemiga.

Tasuta kolmnurk

Pythagorase teoreem on üldistatud suvaliseks kolmnurgaks, mis põhineb ainult külgede pikkuste suhtel, arvatakse, et selle kehtestas esmakordselt Saabia astronoom Thabit ibn Qurra. Sellesse sobib suvalise külgedega kolmnurga jaoks võrdhaarne kolmnurk, mille küljel on alus c (\displaystyle c), tipp, mis langeb kokku algse kolmnurga tipuga, mis asub külje vastas c (\displaystyle c) ja nurgad aluses on võrdsed nurgaga θ (\displaystyle \theta ), vastaspool c (\displaystyle c). Selle tulemusel moodustuvad kaks kolmnurka, mis on sarnased algse kolmnurgaga: esimene - külgedega a (\displaystyle a), sellest kõige kaugemal olev sissekirjutatud võrdhaarse kolmnurga külg ja r (\displaystyle r)- külgmised osad c (\displaystyle c); teine ​​- selle suhtes sümmeetriliselt küljelt b (\displaystyle b) küljega s (\displaystyle s)- külje vastav osa c (\displaystyle c). Selle tulemusena on täidetud järgmine seos:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

degenereerudes Pythagorase teoreemiks at θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Seos on moodustunud kolmnurkade sarnasuse tagajärg:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Paremnool \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Pappuse teoreem pindalade kohta

Mitteeukleidiline geomeetria

Pythagorase teoreem on tuletatud Eukleidilise geomeetria aksioomidest ja ei kehti mitteeukleidilise geomeetria puhul – Pythagorase teoreemi täitumine on samaväärne eukleidilise paralleelsuse postulaadiga.

Mitte-eukleidilises geomeetrias on täisnurkse kolmnurga külgede vaheline seos paratamatult Pythagorase teoreemist erineval kujul. Näiteks sfäärilises geomeetrias on täisnurkse kolmnurga kõik kolm külge, mis seovad ühikulise sfääri oktandi, pikkusega π / 2 (\displaystyle \pi /2), mis on vastuolus Pythagorase teoreemiga.

Veelgi enam, Pythagorase teoreem kehtib hüperboolse ja elliptilise geomeetria puhul, kui kolmnurga ristkülikukujulisuse nõue asendatakse tingimusega, et kolmnurga kahe nurga summa peab olema võrdne kolmandaga.

Sfääriline geomeetria

Mis tahes täisnurkse kolmnurga jaoks raadiusega sfääril R (\displaystyle R)(näiteks kui nurk kolmnurgas on täisnurkne) külgedega a , b , c (\displaystyle a,b,c) poolte vaheline suhe on järgmine:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).

Seda võrdsust saab tuletada sfäärilise koosinusteoreemi erijuhuna, mis kehtib kõigi sfääriliste kolmnurkade puhul:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac () c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operaatorinimi (ch) c=\operaatorinimi (ch) a\cdot \operaatorinimi (ch) b),

Kus ch (\displaystyle \operaatorinimi (ch) )- hüperboolkosinus. See valem on hüperboolse koosinusteoreemi erijuhtum, mis kehtib kõigi kolmnurkade puhul:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operaatorinimi (ch) c=\operaatorinimi (ch) a\cdot \operaatorinimi (ch) b-\operaatorinimi (sh) a\cdot \operaatorinimi (sh) b\cdot \cos \gamma ),

Kus γ (\displaystyle \gamma)- nurk, mille tipp on külje vastas c (\displaystyle c).

Taylori seeria kasutamine hüperboolse koosinuse jaoks ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2/2 (\kuvastiil \operaatorinimi (ch) x\umbes 1+x^(2)/2)) saab näidata, et kui hüperboolne kolmnurk väheneb (st millal a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) Ja c (\displaystyle c) kipuvad nulli), siis lähenevad täisnurkse kolmnurga hüperboolsed seosed klassikalise Pythagorase teoreemi seosele.

Rakendus

Kaugus kahemõõtmelistes ristkülikukujulistes süsteemides

Pythagorase teoreemi kõige olulisem rakendus on kahe punkti vahelise kauguse määramine ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis: kaugus s (\displaystyle s) koordinaatidega punktide vahel (a, b) (\kuvastiil (a,b)) Ja (c , d) (\displaystyle (c,d)) võrdub:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

Kompleksarvude jaoks annab Pythagorase teoreem loomuliku valemi kompleksarvu mooduli leidmiseks - z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) see on võrdne pikkusega