Lahendan eksami trigonomeetrilisi võrrandeid. Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine ja meetodid juurte valimiseks etteantud intervallil. Valik eelmiste aastate ülesandeid

27. Valige antud segmendi juured

28. 10. Lahenda võrrand 2sin2x =4cos x –sinx+1 Leia selle juured vahemikus [/2; 3/2]

29. Valige ringi abil juured

a) Lahendage võrrand 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.

b) \left[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \right].

Lahendus

a) Avades sulud ja nihutades kõik liikmed vasakule, saame võrrandi 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Arvestades, et \cos x \neq 0, saab termini 2 \sin x asendada 2 tg x \cos x, saame võrrandi 1+2 tan x \cos x-2 \cos x-tg x=0, mida rühmitades saab taandada kujule (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.

1) 1-tgx=0, tanx=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

2) 1-2 \cos x=0, \cosx=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.

b) Arvringi abil valime intervalli kuuluvad juured \left[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \right].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

Vastus

a) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;

b) \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3, \frac(9\pi )4.

Seisund

a) Lahenda võrrand (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.

b) Märkige selle võrrandi juured, mis kuuluvad intervalli \left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ;

Lahendus

a) ODZ: \begin(cases) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(cases)

ODZ algne võrrand on samaväärne võrrandite komplektiga

\left[\!\!\begin(massiivi)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(massiivi)\right.

Lahendame esimese võrrandi. Selleks asendame \cos 4x=t, t \in [-1; üks]. Seejärel \sin^24x=1-t^2. Saame:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0,

t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; üks].

\cos4x=\frac12,

4x=\pm \frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.

Lahendame teise võrrandi.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

Ühikringi kasutades leiame lahendused, mis rahuldavad ODZ-d.

Märk "+" tähistab 1. ja 3. veerandit, milles tg x>0.

Saame: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

b) Leiame intervalli kuuluvad juured \left(0;\,\frac(3\pi )2\right].

x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12).

Vastus

a) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

b) \pi; \frac\pi(12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12); \frac(17\pi )(12).

Allikas: "Matemaatika. Eksamiks valmistumine-2017. profiili tase. Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Seisund

a) Lahendage võrrand: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

b) Määrake kõik intervalli kuuluvad juured \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\right].

Lahendus

a) Sest \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, siis \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, seega on antud võrrand võrdne võrrandiga \cos^2x=\cos ^22x, mis omakorda on samaväärne võrrandiga \cos^2x-\cos ^2 2x=0.

Aga \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x) ja

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, seega võrrand muutub

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Seejärel kas 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0 või 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

Lahendades esimese võrrandi \cos x ruutvõrrandina, saame:

(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4. Seetõttu kas \cos x=1 või \cosx=-\frac12. Kui \cos x=1, siis x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Kui \cosx=-\frac12, siis x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z.

Samamoodi, lahendades teist võrrandit, saame kas \cos x=-1 või \cosx=\frac12. Kui \cos x=-1, siis juured x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Kui a \cosx=\frac12, siis x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

Kombineerime saadud lahendused:

x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

b) Valime arvuringi abil juured, mis jäävad antud intervalli.

Saame: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi , x_3 =\frac(13\pi )3.

Vastus

a) m\pi, m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

b) \frac(11\pi )3, 4\pi , \frac(13\pi )3.

Allikas: "Matemaatika. Eksamiks valmistumine-2017. profiili tase. Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Seisund

a) Lahenda võrrand 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).

b) Märkige selle võrrandi juured, mis kuuluvad intervalli \left(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\right).

Lahendus

a) 1. Vastavalt redutseerimisvalemile ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) =tgx. Võrrandi domeeniks on x väärtused, nii et \cos x \neq 0 ja tg x \neq -1. Teisendame võrrandi topeltnurga koosinusvalemi abil 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Saame võrrandi: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx).

Märka seda \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx), seega võrrand muutub: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx). Siit \cosx=\frac(\dfrac65)(1+tgx), \cosx+\sinx=\frac65.

2. Teisendage \sin x+\cos x, kasutades redutseerimisvalemit ja koosinuste summa valemit: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.

Siit \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5. Tähendab, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

või x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

Sellepärast x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

või x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

Leitud x väärtused kuuluvad määratluse valdkonda.

b) Kõigepealt selgitame välja, kuhu langevad võrrandi juured k=0 ja t=0. Need on vastavalt numbrid a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5 ja b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.

1. Tõestame täiendavat ebavõrdsust:

\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.

Tõesti, \frac(\sqrt 2) (2)=\frac(5\sqrt 2) (10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

Pange tähele ka seda \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, tähendab \frac(3\sqrt 2)5<1.

2. Ebavõrdsusest (1) arkosiini omaduse järgi saame:

arccos 1

0

Siit \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

0

Samamoodi -\frac\pi 4

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< \frac\pi 4<\frac\pi 2,

0

K=-1 ja t=-1 korral saame võrrandi a-2\pi ja b-2\pi juured.

\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg). Kus -2\pi

2\pi Nii et need juured kuuluvad antud intervalli \left(-2\pi , -\frac(3\pi )2\right).

Muude k ja t väärtuste korral ei kuulu võrrandi juured antud intervalli.

Tõepoolest, kui k\geqslant 1 ja t\geqslant 1, siis on juured suuremad kui 2\pi. Kui k\leqslant -2 ja t\leqslant -2, siis on juured vähem -\frac(7\pi )2.

Vastus

a) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

b) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5.

Allikas: "Matemaatika. Eksamiks valmistumine-2017. profiili tase. Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Seisund

a) Lahenda võrrand \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

b) Leia kõik selle võrrandi juured, mis kuuluvad intervalli ;

Lahendus

a) Teisendame võrrandi:

\cosx=-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2\sin x)=0,

\cosx=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z;

1+2\sinx=0,

\sinx=-\frac12,

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

b) Lõigu kuuluvad juured leiame ühikringi abil.

Määratud intervall sisaldab ühte numbrit \frac\pi 2.

Vastus

a) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

b) \frac\pi 2.

Allikas: "Matemaatika. Eksamiks valmistumine-2017. profiili tase. Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Seisund

Tähendab, \sin x \neq 1.

Jagage võrrandi mõlemad pooled teguriga (\sinx-1), nullist erinev. Saame võrrandi \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)), või võrrand 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x). Rakendades vasakpoolset redutseerimisvalemit ja paremal küljel olevat redutseerimisvalemit, saame võrrandi 2 \cos ^2 x=1-\cos x. See on asendust kasutav võrrand \cosx=t, kus -1 \leqslant t \leqslant 1 vähenda ruutu: 2t^2+t-1=0, kelle juured t_1=-1 ja t_2=\frac12. Tulles tagasi muutuja x juurde, saame \cos x = \frac12 või \cosx=-1, kus x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

b) Lahenda ebavõrdsused

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, n, k \in \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m \leqslant -\frac56 , -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12).

\left [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\right].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12).

Intervallile ei kuulu ühtegi täisarvu \left[-\frac7(12) ; -\frac1(12)\right].

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Seda võrratust rahuldab k=-1, siis x=-\pi.

Vastus

a) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, m, n, k \in \mathbb Z;

b) -\pi .

a) Lahenda võrrand: .

b) Leia kõik selle võrrandi juured, mis kuuluvad segmenti.

Probleemi lahendus

Selles õppetükis käsitletakse trigonomeetrilise võrrandi lahendamise näidet, mida saab kasutada näitena C1-tüüpi ülesannete lahendamisel matemaatikaeksamiks valmistumisel.

Esiteks määratakse funktsiooni ulatus - kõik argumendi kehtivad väärtused. Seejärel teostatakse lahenduse käigus siinuse trigonomeetrilise funktsiooni teisendamine koosinusteks redutseerimisvalemi abil. Edasi kantakse kõik võrrandi liikmed selle vasakule küljele, kus ühistegur võetakse sulgudest välja. Iga tegur on võrdsustatud nulliga, mis võimaldab teil määrata võrrandi juured. Seejärel määratakse pöörete meetodil antud segmenti kuuluvad juured. Selleks märgitakse konstrueeritud ühikuringile mähis antud segmendi vasakpoolsest piirist paremale. Lisaks ühendatakse ühikuringil leitud juured segmentide abil selle keskpunktiga ja määratakse punktid, kus need segmendid ristuvad mähisega. Need ristumispunktid on soovitud vastus ülesande teisele osale.

Tunni eesmärk:

a) kinnistada oskust lahendada lihtsaid trigonomeetrilisi võrrandeid;

b) õpetada, kuidas valida trigonomeetriliste võrrandite juuri antud intervallist

Tundide ajal.

a) Kodutööde kontrollimine: klassile antakse enne tähtaega kodutöö - võrrandi lahendamiseks ja võimaluse leidmiseks etteantud intervallist juurte valimiseks.

1) cos x= -0,5, kus xI [-]. Vastus:.

2) patt x= , kus хI . Vastus: ; .

3) cos 2 x= -, kus xI. Vastus:

Õpilased kirjutavad lahenduse tahvlile, kes graafiku, osa valikumeetodi abil.

Sel ajal klass töötab suuliselt.

Leidke avaldise väärtus:

a) tg - sin + cos + sin. Vastus: 1.

b) 2 kaaret 0 + 3 kaaret 1. Vastus: ?

c) arcsin + arcsin. Vastus:.

d) 5 arctg (-) - arccos (-). Vastus:-.

Vaatame kodutööd üle, avame kodutöödega vihikud.

Mõned teist on leidnud lahenduse sobitamise ja mõned graafiku abil.

2. Järeldus nende ülesannete lahendamise kohta ja probleemipüstitus, st tunni teema ja eesmärgi sõnum.

– a) Valiku abil on raske lahendada, kui on antud suur intervall.

– b) Graafiline meetod ei anna täpseid tulemusi, nõuab kontrollimist ja võtab palju aega.

- Seetõttu peab olema veel vähemalt üks viis, kõige universaalsem - proovime seda leida. Mida me siis täna tunnis teeme? (Õppige valima trigonomeetrilise võrrandi juuri antud intervallil.)

- Näide 1. (Õpilane läheb tahvli juurde)

cos x= -0,5, kus xI [-].

Küsimus: Mis määrab selle ülesande vastuse? (Võrrandi üldlahendist. Kirjutame lahendi üldkujul). Lahendus on kirjutatud tahvlile.

x = + 2?k, kus k R.

Kirjutame selle lahenduse komplektina:

- Mis te arvate, millise lahenduse tähise all on intervallile mugav valida juuri? (teisest sissekandest). Aga see on jällegi valik. Mida peame teadma õige vastuse saamiseks? (Peame teadma k väärtusi).

(Teeme k leidmiseks matemaatilise mudeli).

Järeldus: Antud intervalli juurte valimiseks trigonomeetrilise võrrandi lahendamisel peate:

1. vormi võrrandi lahendamiseks sin x = a, cos x = a võrrandi juured on mugavam kirjutada kahe juurte reana.
2. vormi võrrandite lahendamiseks tan x = a, ctg x = a kirjuta üles juurte üldvalem.
3. koosta iga lahenduse jaoks matemaatiline mudel topeltvõrratuse kujul ja leia parameetri k või n täisarv.
4. asendage need väärtused juurvalemis ja arvutage need.

Saadud algoritmi abil lahenda kodutööst näited nr 2 ja nr 3. Samal ajal töötavad tahvli juures kaks õpilast, millele järgneb tööde kontrollimine.

Selles artiklis püüan selgitada 2 võimalust juurutades trigonomeetrilises võrrandis: võrratuste ja trigonomeetrilise ringi kasutamine. Liigume edasi selge näite juurde ja me mõistame seda edasi.

A) Lahendage võrrand sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
b) Leia kõik selle võrrandi juured, mis kuuluvad intervalli [-7Pi/2; -2Pi]

Lahendame a.

Siinuse sin(Pi/2+x) = cos(x) jaoks kasutame redutseerimisvalemit

Sqrt(2)cos^2x = cosx

Sqrt(2)cos^2x – cosx = 0

Cosx(sqrt(2)cosx - 1) = 0

X1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z

Sqrt(2)cos – 1 = 0

cox = 1/sqrt(2)

Cox = ruut(2)/2

X2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2pin, n ∈ Z

X2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

Lahendame punkti b.

1) Juurte valimine võrratuste abil

Siin tehakse kõik lihtsalt, asendame saadud juured meile antud intervalliga [-7Pi / 2; -2Pi], leidke n jaoks täisarvud.

7Pi/2 on väiksem või võrdne Pi/2 + Pin on väiksem või võrdne -2Pi

Jagage kõik kohe Pi-ga

7/2 väiksem või võrdne 1/2 + n väiksem või võrdne -2

7/2 - 1/2 väiksem või võrdne n -2 - 1/2 või sellega võrdne

4 n väiksem või võrdne -5/2 või sellega võrdne

Täisarvud n selles tühimikus on -4 ja -3. Nii et sellesse intervalli kuuluvad juured on Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

Samamoodi teeme veel kaks ebavõrdsust

7Pi/2 on väiksem või võrdne Pi/4 + 2Pin on väiksem või võrdne -2Pi
-15/8 väiksem või võrdne n kui -9/8 või sellega võrdne

Selles intervallis pole täisarve n

7Pi/2 väiksem või võrdne -Pi/4 + 2Pin väiksem või võrdne -2Pi
-13/8 väiksem või võrdne n kui -7/8 või sellega võrdne

Üks täisarv n selles tühimikus on -1. Seega on sellel intervallil valitud juur -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Nii et vastus punktis b: -7Pi / 2, -5Pi / 2, -9Pi / 4

2) Juurte valik trigonomeetrilise ringi abil

Selle meetodi kasutamiseks peate mõistma, kuidas see ring töötab. Püüan lihtsate sõnadega selgitada, kuidas ma sellest aru saan. Ma arvan, et koolides algebratundides selgitati seda teemat korduvalt õpetaja nutikate sõnadega, õpikutes on keerulised sõnastused. Isiklikult mõistan seda ringina, mida saab lõpmatu arv kordi ümber käia, see on seletatav sellega, et siinus- ja koosinusfunktsioonid on perioodilised.

Käime ringi vastupäeva

Liikuge 2 korda vastupäeva

Liikuge 1 kord päripäeva (väärtused on negatiivsed)

Tuleme tagasi oma küsimuse juurde, peame valima juured intervallil [-7Pi/2; -2Pi]

Numbriteni -7Pi / 2 ja -2Pi jõudmiseks peate kaks korda vastupäeva ringi käima. Sellel intervallil võrrandi juurte leidmiseks on vaja hinnata ja asendada.

Vaatleme x = Pi/2 + Pin. Mis on n ligikaudne väärtus, kui x asub kuskil selles vahemikus? Asendame, ütleme -2, saame Pi / 2 - 2Pi = -3Pi / 2, ilmselgelt see meie vahemikku ei kuulu, seega võtame vähem kui -3, Pi / 2 - 3Pi = -5Pi / 2, see sobib, proovime veel -4 , Pi/2 - 4Pi = -7Pi/2, sobib ka.

Sarnaselt Pi/4 + 2Pin ja -Pi/4 + 2Pin vastu vaieldes leiame veel ühe juure -9Pi/4.

Kahe meetodi võrdlus.

Esimene meetod (kasutades ebavõrdsust) on palju usaldusväärsem ja palju lihtsamini mõistetav, kuid kui mõistate tõsiselt trigonomeetrilist ringi ja teist valikumeetodit, on juurvalik palju kiirem, saate eksamil säästa umbes 15 minutit.