Kuidas leida kolme vektori segakorrutist. Vektorite ristkorrutis. Vektorite segakorrutis. Tüüpiliste ülesannete analüüs

Vektorite segakorrutis on arv, mis on võrdne vektori skalaarkorrutise ja vektori vektorkorrutisega. Näidatud on segatoode.

1. Mittetasapinnaliste vektorite segakorrutise moodul on võrdne nendele vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga. Korrutis on positiivne, kui vektorite kolmik on paremakäeline, ja negatiivne, kui kolmik on vasakukäeline, ja vastupidi.

2. Segatud korrutis on null siis ja ainult siis, kui vektorid on tasapinnalised:

vektorid on tasapinnalised.

Tõestame esimest omadust. Leiame definitsiooni järgi segakorrutise: , kus on nurk vektorite ja vahel. Vektorkorrutise moodul (geomeetrilise omaduse 1 järgi) on võrdne vektoritele ehitatud rööpküliku pindalaga: . Sellepärast. Vektori vektori poolt määratud teljele projektsiooni pikkuse algebraline väärtus on absoluutväärtuses võrdne vektoritele ehitatud rööptahuka kõrgusega (joon. 1.47). Seetõttu on segatud toote moodul võrdne selle rööptahuka mahuga:

Segatoote märk määratakse nurga koosinuse märgiga. Kui kolmik on õige, siis on segatoode positiivne. Kui see on kolmekordne, on segatoode negatiivne.

Tõestame teist omadust. Võrdsus on võimalik kolmel juhul: kas (st) või (st vektor kuulub vektortasandile). Igal juhul on vektorid koplanaarsed (vt jaotis 1.1).

Kolme vektori segakorrutis on arv, mis on võrdne kahe esimese vektori vektorkorrutisega, mis on korrutatud skalaarväärtuse vektoriga. Vektorites saab seda esitada nii

Kuna praktikas määratakse vektorid koordinaatide kujul, on nende segakorrutis võrdne nende koordinaatidele ehitatud determinandiga Kuna vektorkorrutis on antikommutatiivne ja skalaarkorrutis on kommutatiivne, ei muuda vektorite tsükliline ümberpaigutamine segakorrutis selle väärtust. Kahe kõrvuti asetseva vektori ümberpaigutamine muudab märgi vastupidiseks

Vektorite segakorrutis on positiivne, kui nad moodustavad parempoolse kolmiku, ja negatiivne, kui nad moodustavad vasaku kolmiku.

Segatoote geomeetrilised omadused 1. Vektoritele ehitatud rööptahuka ruumala on võrdne nende sajandite segakorrutise mooduliga torov.2. Nelinurkse püramiidi ruumala on võrdne kolmandikuga segaprodukti moodulist 3. Kolmnurkse püramiidi ruumala on võrdne ühe kuuendikuga segatud korrutise moodulist 4. Tasapinnalised vektorid siis ja ainult siis Koordinaatides tähendab koplanaarsuse tingimus, et determinant on võrdne nulliga Praktilise mõistmise huvides vaatame näiteid. Näide 1.

Määrake, milline kolmik (parem või vasak) on vektorid

Lahendus.

Leiame vektorite segakorrutise ja selgitame märgi järgi välja, millise vektorite kolmiku need moodustavad

Vektorid moodustavad paremakäelise kolmiku Vektorid moodustavad parema kolmikuVektorid moodustavad vasakpoolse kolme Need vektorid on lineaarselt sõltuvad Kolme vektori segakorrutis. Kolme vektori segakorrutis on arv

Segatoote geomeetrilised omadused:

Teoreem 10.1. Vektoritele ehitatud rööptahuka ruumala on võrdne nende vektorite segakorrutise mooduliga

või vektoritele ehitatud tetraeedri (püramiidi) ruumala on võrdne ühe kuuendikuga segakorrutise moodulist

Tõestus. Elementaargeomeetriast on teada, et rööptahuka ruumala on võrdne aluse kõrguse ja pindala korrutisega

Rööptahuka aluse pindala S võrdne vektoritele ehitatud rööpküliku pindalaga (vt joonis 1). Kasutades

Riis. 1. Teoreemi 1. vektorite vektorkorrutise geomeetrilise tähenduse tõestamiseks saame, et

Siit saame: Kui vektorite kolmik on vasakukäeline, siis vektor ja vektor on suunatud vastassuunas, siis või Seega on samaaegselt tõestatud, et segakorrutise märk määrab vektorite kolmiku orientatsiooni (kolmik on paremakäeline ja kolmik vasakukäeline). Tõestame nüüd teoreemi teist osa. Jooniselt fig. 2 on ilmne, et kolmele vektorile ehitatud kolmnurkse prisma ruumala on võrdne poolega nendele vektoritele ehitatud rööptahuka ruumala, st
Riis. 2. Teoreemi 1 tõestuse poole.

Kuid prisma koosneb kolmest võrdse mahuga püramiidist OABC, ABCD Ja ACDE. Tõepoolest, püramiidide mahud ABCD Ja ACDE on võrdsed, kuna neil on võrdsed aluspinnad BCD Ja CDE ja sama kõrgus langes tipust A. Sama kehtib ka OABC ja ACDE püramiidide kõrguste ja aluste kohta. Siit

Sellise teema üksikasjalikuks käsitlemiseks on vaja läbida veel mitu jaotist. Teema on otseselt seotud selliste terminitega nagu punktkorrutis ja vektorkorrutis. Selles artiklis püüdsime anda täpse määratluse, näidata valemit, mis aitab vektorite koordinaatide abil korrutist määrata. Lisaks sisaldab artikkel jaotisi, kus loetletakse toote omadused ning antakse üksikasjalik analüüs tüüpilistest võrdsustest ja probleemidest.

Tähtaeg

Selle termini määramiseks peate võtma kolm vektorit.

Definitsioon 1

Segatööd a → , b → ja d → on väärtus, mis võrdub a → × b → ja d → skalaarkorrutisega, kus a → × b → on a → ja b → korrutis. Korrutustehe a →, b → ja d → on sageli tähistatud a → · b → · d →. Valemit saab teisendada järgmiselt: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) .

Korrutamine koordinaatsüsteemis

Vektoreid saame korrutada, kui need on määratud koordinaattasandil.

Võtame i → , j → , k →

Vektorite korrutis on sel konkreetsel juhul järgmine: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y) + a y · b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k →

2. definitsioon

Punkttoote tegemiseks koordinaatsüsteemis on vaja liita koordinaatide korrutamisel saadud tulemused.

Seetõttu:

a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z · j → + a x a · y b x b x

Samuti saame määratleda vektorite segakorrutise, kui antud koordinaatsüsteem määrab korrutatavate vektorite koordinaadid.

a → × b → = (a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → , d x · i → + d y · j → + d z · k →) = = a y a z b y b - a z a x a · d d z = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Seega võime järeldada, et:

a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

3. määratlus

Segatud tootega võib võrrelda maatriksi determinandile, mille read on vektorkoordinaadid. Visuaalselt näeb see välja järgmine: a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Vektorite tehte omadused Skalaar- või vektorkorrutises silma paistvate tunnuste põhjal saame tuletada segakorrutist iseloomustavad tunnused. Allpool tutvustame peamisi omadusi.

(λ a →) b → d → = a → (λ b →) d → = a → b → (λ d →) = λ a → b → d → λ ∈ R ;
a → · b → · d → = d → · a → · b → = b → · d → · a → ; a → · d → · b → = b → · a → · d → = d → · b → · a → ;
(a (1) → + a (2) →) · b → · d → = a (1) → · b → · d → + a (2) → · b → · d → a → · (b (1) ) → + b (2) →) d → = a → b (1) → d → + a → b (2) → d → a → b → (d (1) → + d (2) →) = a → b → d (2) → + a → b → d (2) →

Lisaks ülaltoodud omadustele tuleks selgitada, et kui kordaja on null, siis on ka korrutamise tulemus null.

Korrutamise tulemus on samuti null, kui kaks või enam tegurit on võrdsed.

Tõepoolest, kui a → = b →, siis vektorkorrutise [ a → × b → ] = a → · b → · sin 0 = 0 definitsiooni järgi on segakorrutis võrdne nulliga, kuna ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .

Kui a → = b → või b → = d →, siis vektorite [a → × b →] ja d → vaheline nurk on võrdne π 2-ga. Vektorite skalaarkorrutise definitsiooni järgi ([ a → × b → ], d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .

Korrutustehte omadusi nõutakse kõige sagedamini ülesannete lahendamisel.
Selle teema üksikasjalikuks analüüsimiseks võtame mõned näited ja kirjeldame neid üksikasjalikult.

Näide 1

Tõesta võrdsus ([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →), kus λ on mingi reaalarv.

Sellele võrdsusele lahenduse leidmiseks tuleb selle vasak pool teisendada. Selleks peate kasutama segatoote kolmandat omadust, mis ütleb:

([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →)
Oleme näinud, et (([ a → × b → ] , b →) = 0. Sellest järeldub, et
([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →) = = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + 0 = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ] , λ a →)

Esimese omaduse järgi ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ · a →) = λ · ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →) ja ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →) = 0. Seega ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ · a →) . Sellepärast,
([ a ⇀ × b ⇀ ], d → + λ a → + b →) = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ a →) = = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + 0 = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →)

Võrdsus on tõestatud.

Näide 2

On vaja tõestada, et kolme vektori segakorrutise moodul ei ole suurem kui nende pikkuste korrutis.

Lahendus

Tingimusest lähtuvalt saame näite esitada võrratuse a → × b → , d → ≤ a → · b → · d → kujul.

Definitsiooni järgi teisendame võrratuse a → × b → , d → = a → × b → · d → · cos (a → × b → ^ , d →) = = a → · b → · sin (a → , b → ^) · d → · cos ([ a → × b → ^ ] , d)

Elementaarfunktsioone kasutades saame järeldada, et 0 ≤ sin (a → , b → ^) ≤ 1, 0 ≤ cos ([ a → × b → ^ ], d →) ≤ 1.

Sellest võime järeldada, et
(a → × b → , d →) = a → · b → · sin (a → , b →) ^ · d → · cos (a → × b → ^ , d →) ≤ ≤ a → · b → · 1 d → 1 = a → b → d →

Ebavõrdsus on tõestatud.

Tüüpiliste ülesannete analüüs

Selleks, et määrata, mis on vektorite korrutis, peate teadma korrutatavate vektorite koordinaate. Tehte jaoks saab kasutada järgmist valemit a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Näide 3

Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on 3 vektorit järgmiste koordinaatidega: a → = (1, - 2, 3), b → (- 2, 2, 1), d → = (3, - 2, 5). Tuleb kindlaks teha, millega võrdub näidatud vektorite korrutis a → · b → · d →.

Lähtudes ülaltoodud teooriast, saame kasutada reeglit, et segaprodukti saab arvutada läbi maatriksi determinandi. See näeb välja selline: a → b → d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 - 2 3 - 2 2 1 3 - 2 5 = = 1 2 5 + (- 1 ) 1 3 + 3 (- 2) (- 2) - 3 2 3 - (- 1) (- 2) 5 - 1 1 (- 2) = - 7

Näide 4

Tuleb leida vektorite i → + j → , i → + j → - k → , i → + j → + 2 · k → korrutis, kus i → , j → , k → on vektorite ühikvektorid. ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem.

Lähtudes tingimusest, mis väidab, et vektorid asuvad antud koordinaatsüsteemis, saab tuletada nende koordinaadid: i → + j → = (1, 1, 0) i → + j → - k → = (1, 1, - 1) i → + j → + 2 k → = (1, 1, 2)

Kasutame ülaltoodud valemit
i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 1 1 0 1 1 - 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 0

Segaprodukti on võimalik määrata ka juba teadaoleva vektori pikkuse ja nendevahelise nurga abil. Vaatame seda teesi näitega.

Näide 5

Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on kolm vektorit a →, b → ja d →, mis on üksteisega risti. Need on paremakäelised kolmikud ja nende pikkused on 4, 2 ja 3. On vaja vektoreid korrutada.

Tähistame c → = a → × b → .

Reegli järgi on skalaarvektorite korrutamise tulemuseks arv, mis võrdub kasutatavate vektorite pikkuste korrutamise tulemusega nendevahelise nurga koosinusega. Järeldame, et a → · b → · d → = ([ a → × b → ], d →) = c → , d → = c → · d → · cos (c → , d → ^) .

Kasutame näitetingimuses määratud vektori d → pikkust: a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = 3 c → cos (c → , d → ^) . On vaja määrata c → ja c → , d → ^ . Tingimuste järgi a →, b → ^ = π 2, a → = 4, b → = 2. Vektor c → leitakse valemiga: c → = [ a → × b → ] = a → · b → · sin a → , b → ^ = 4 · 2 · sin π 2 = 8
Võime järeldada, et c → on risti a → ja b → . Vektorid a → , b → , c → on parempoolsed kolmikud, seega kasutatakse Descartes'i koordinaatsüsteemi. Vektorid c → ja d → on ühesuunalised, st c → , d → ^ = 0 . Tuletatud tulemusi kasutades lahendame näite a → · b → · d → = 3 · c → · cos (c → , d → ^) = 3 · 8 · cos 0 = 24 .

a → · b → · d → = 24 .

Kasutame tegureid a → , b → ja d → .

Vektorid a → , b → ja d → pärinevad samast punktist. Kasutame neid figuuri ehitamisel külgedena.

Tähistame, et c → = [a → × b →]. Sel juhul saame vektorite korrutise defineerida kui a → · b → · d → = c → · d → · cos (c → , d → ^) = c → · n p c → d → , kus n p c → d → on vektori d → arvprojektsioon vektori c suunas → = [ a → × b → ] .

Absoluutväärtus n p c → d → on võrdne arvuga, mis on võrdne ka selle kujundi kõrgusega, mille külgedeks on kasutatud vektoreid a → , b → ja d →. Sellest lähtuvalt tuleks selgitada, et c → = [ a → × b → ] on vektori korrutamise definitsiooni järgi risti a →-ga nii vektor kui vektor. Väärtus c → = a → x b → on võrdne vektoritele a → ja b → ehitatud rööptahuka pindalaga.

Järeldame, et korrutise a → · b → · d → = c → · n p c → d → moodul on võrdne aluse pindala korrutamise tulemusega joonise kõrgusega, mis on üles ehitatud joonisele. vektorid a → , b → ja d → .

4. määratlus

Ristkorrutise absoluutväärtus on rööptahuka ruumala: V par l l e l e p i p i d a = a → · b → · d → .

See valem on geomeetriline tähendus.

Definitsioon 5

Tetraeedri ruumala, mis on üles ehitatud a →, b → ja d →, võrdub 1/6 rööptahuka mahust Saame, V t e t r a e d a = 1 6 · V par l l e l e p i d a = 1 6 · a → · b → · d → .

Teadmiste kinnistamiseks vaatame mõnda tüüpilist näidet.

Näide 6

Vaja on leida rööptahuka ruumala, mille küljed on A B → = (3, 6, 3), A C → = (1, 3, - 2), A A 1 → = (2, 2, 2) , määratud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis . Rööptahuka ruumala saab leida absoluutväärtuse valemi abil. Sellest järeldub: A B → · A C → · A A 1 → = 3 6 3 1 3 - 2 2 2 2 = 3 · 3 · 2 + 6 · (- 2) · 2 + 3 · 1 · 2 - 3 · 3 · 2 - 6 1 2 - 3 (- 2) 2 = - 18

Siis V par l e l e p e d a = - 18 = 18 .

V p a r l e l e p i p i d a = 18

Näide 7

Koordinaadisüsteem sisaldab punkte A (0, 1, 0), B (3, - 1, 5), C (1, 0, 3), D (- 2, 3, 1). On vaja määrata nendes punktides paikneva tetraeedri ruumala.

Kasutame valemit V t e t r a e d r a = 1 6 · A B → · A C → · A D → . Vektorite koordinaadid saame määrata punktide koordinaatide järgi: A B → = (3 - 0, - 1 - 1, 5 - 0) = (3, - 2, 5) A C → = (1 - 0, 0 - 1 , 3 - 0 ) = (1 , - 1 , 3) A D → = (- 2 - 0, 3 - 1, 1 - 0) = (- 2, 2, 1)

Järgmisena määrame vektorkoordinaatide järgi segakorrutise A B → A C → A D →: A B → A C → A D → = 3 - 2 5 1 - 1 3 - 2 2 1 = 3 (- 1) 1 + (- 2 ) · 3 · (- 2) + 5 · 1 · 2 - 5 · (- 1) · (- 2) - (- 2) · 1 · 1 - 3 · 3 · 2 = - 7 Köide V t et r a e d r a = 1 6 · - 7 = 7 6 .

V t e t r a e d r a = 7 6 .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Segatud (või vektor-skalaar) korrutis kolme vektorit a, b, c (võetuna näidatud järjekorras) nimetatakse vektori a ja vektorkorrutise b x c skalaarkorrutiseks, st arvuks a(b x c) või, mis on sama, (b x c)a.
Nimetus: abc.

Eesmärk. Veebikalkulaator on loodud vektorite segakorrutise arvutamiseks. Saadud lahendus salvestatakse Wordi faili. Lisaks luuakse Excelis lahendusmall.

Vektorite koplanaarsuse märgid

Kolme vektorit (või suuremat arvu) nimetatakse koplanaarseteks, kui need, olles taandatud ühisele algpunktile, asuvad samal tasapinnal.
Kui vähemalt üks kolmest vektorist on null, loetakse kolm vektorit ka tasapinnalisteks.

Ühisplanaarsuse märk. Kui süsteem a, b, c on paremakäeline, siis abc>0 ; kui jäetakse, siis abc Segatoote geomeetriline tähendus. Kolme mittetasapinnalise vektori a, b, c segakorrutis abc on võrdne vektoritele a, b, c ehitatud rööptahuka ruumalaga, mis on võetud plussmärgiga, kui süsteem a, b, c on paremkäeline , ja miinusmärgiga, kui see süsteem on vasakukäeline.

Segatoote omadused

Kui tegurid on ümber paigutatud ringikujuliselt, siis kahe teguri ümberpaigutamisel segakorrutis ei muutu, on märk vastupidine: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
See tuleneb geomeetrilisest tähendusest.
(a+b)cd=acd+bcd (jaotav omadus). Laieneb suvalise arvu terminitega.
Tuleneb segatoote definitsioonist.
(ma)bc=m(abc) (kombinatiivne omadus skalaarteguri suhtes).
Tuleneb segatoote definitsioonist. Need omadused võimaldavad rakendada segakorrutistele teisendusi, mis erinevad tavalistest algebralistest ainult selle poolest, et tegurite järjekorda saab muuta ainult korrutise märki arvestades.
Segatoode, millel on vähemalt kaks võrdset tegurit, on võrdne nulliga: aab=0.

Näide nr 1. Leidke segatoode. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Näide nr 2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca . Kõik terminid, välja arvatud kaks äärmist, on võrdsed nulliga. Samuti bca=abc . Seetõttu (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Näide nr 3. Arvutage kolme vektori a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k segakorrutis.
Lahendus. Vektorite segakorrutise arvutamiseks on vaja leida vektori koordinaatidest koosneva süsteemi determinant. Kirjutame süsteemi vormile.

8.1. Segatoote mõisted, selle geomeetriline tähendus

Vaatleme vektorite a korrutist, b ja c, koosnevad järgmiselt: (a xb) c. Siin korrutatakse kaks esimest vektorit vektoraalselt ja nende tulemus skalaarselt korrutatakse kolmanda vektoriga. Sellist korrutist nimetatakse vektor-skalaar- ehk kolme vektori segakorrutiseks. Segatoode tähistab arvu.

Selgitame välja avaldise (a xb)*c geomeetrilise tähenduse. Ehitame rööptahuka, mille servadeks on vektorid a, b, c ja vektor d = a x b(vt joonis 22).

Meil on: (a x b) c = d c = |d | jne d koos, |d |=|a x b | =S, kus S on vektoritele a ja b ehitatud rööpküliku pindala, pr d koos= Н Parempoolse vektorite kolmiku jaoks jne. d koos= - H vasakule, kus H on rööptahuka kõrgus. Saame: ( axb)*c =S*(±H), st ( axb)*c =±V, kus V on vektorite a moodustatud rööptahuka ruumala, b ja s.

Seega on kolme vektori segakorrutis võrdne nendele vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga, mis on võetud plussmärgiga, kui need vektorid moodustavad parempoolse kolmiku, ja miinusmärgiga, kui nad moodustavad vasakpoolse kolmiku.

8.2. Segatoote omadused

1. Segaprodukt ei muutu, kui selle tegurid on tsükliliselt ümber paigutatud, st (a x b) c =( b x c) a = (c x a) b.

Tõepoolest, sel juhul ei muutu rööptahuka maht ega selle servade orientatsioon

2. Segakorrutis ei muutu, kui vektori ja skalaarkorrutise märke vahetatakse, st (a xb) c =a *( b x Koos ).

Tõepoolest, (a xb) c = ± V ja a (b xc) = (b xc) a = ± V. Nende võrrandite paremalt küljelt võtame sama märgi, kuna vektorite a, b, c ja b, c, a kolmikud on sama orientatsiooniga.

Seetõttu (a xb) c =a (b xc). See võimaldab kirjutada vektorite segakorrutise (a x b)c kujul abc ilma vektori- ja skalaarkorrutusmärkideta.

3. Segakorrutis muudab suvalise kahe faktorivektori koha muutmisel oma märki, st abc = -acb, abc = -bac, abc = -cba.

Tõepoolest, selline ümberpaigutamine on samaväärne vektorkorrutise tegurite ümberkorraldamisega, muutes korrutise märgi.

4. Nullist erineva vektorite a, b ja c segakorrutis on võrdne nulliga alati ja ainult siis, kui need on tasapinnalised.

Kui abc =0, siis a, b ja c on tasapinnalised.

Oletame, et see pole nii. Võimalik oleks ehitada rööptahukas mahuga V ¹ 0. Aga kuna abc =±V , siis saame selle abc ¹ 0 . See on vastuolus tingimusega: abc =0 .

Ja vastupidi, olgu vektorid a, b, c tasapinnalised. Siis vektor d =a x b on risti tasapinnaga, millel asuvad vektorid a, b, c ja seega d ^ c. Seetõttu d c =0, st abc =0.

8.3. Segakorrutise väljendamine koordinaatidega

Olgu vektorid a =a x i +a y antud j+a z k, b = b x i+b a j+b z k, с =c x i+c y j+c z k. Leiame nende segakorrutise vektori ja skalaarkorrutise koordinaatide avaldiste abil:

Saadud valemi saab kirjutada lühidalt:

kuna võrdsuse (8.1) parem pool tähistab kolmandat järku determinandi laiendamist kolmanda rea elementideks.

Seega on vektorite segakorrutis võrdne kolmandat järku determinandiga, mis koosneb korrutatud vektorite koordinaatidest.

8.4. Mõned segatoodete rakendused

Vektorite suhtelise orientatsiooni määramine ruumis

Vektorite a suhtelise orientatsiooni määramine, b ja c põhineb järgmistel kaalutlustel. Kui abc > 0, siis a, b, c on parempoolne kolmik; kui abc<0 , то а , b , с - левая тройка.

Vektorite koplanaarsuse tuvastamine

vektorid a, b ja c on tasapinnalised siis ja ainult siis, kui nende segakorrutis on võrdne nulliga

Rööptahuka ja kolmnurkpüramiidi ruumalade määramine

Lihtne on näidata, et vektoritele a ehitatud rööptahuka ruumala, b ja c arvutatakse V =|abc | ning samadele vektoritele ehitatud kolmnurkpüramiidi ruumala on võrdne V =1/6*|abc |.

Näide 6.3.

Püramiidi tipud on punktid A(1; 2; 3), B(0; -1; 1), C(2; 5; 2) ja D (3; 0; -2). Leidke püramiidi ruumala.

Lahendus: Leiame vektorid a, b on:

a=AB =(-1;-3;-2), b =AC=(1;3;-1), c=AD =(2; -2; -5).

Leiame b ja koos:

=-1 (-17)+3 (-3)-2 (-8)=17-9+16=24.

Seega V =1/6*24=4

See veebikalkulaator arvutab vektorite segakorrutise. Esitatakse üksikasjalik lahendus. Vektorite segakorrutise arvutamiseks valige vektorite esitamise meetod (koordinaatide või kahe punkti järgi), sisestage andmed lahtritesse ja klõpsake nuppu "Arvuta".

Hoiatus

Kas kustutada kõik lahtrid?

Sule Kustuta

Andmete sisestamise juhised. Arvud sisestatakse täisarvudena (näited: 487, 5, -7623 jne), kümnendkohtadena (nt 67., 102,54 jne) või murdudena. Murd tuleb sisestada kujul a/b, kus a ja b (b>0) on täis- või kümnendarvud. Näited 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 jne.

Vektorite segakorrutis (teooria)

Segatud tükk kolm vektorit on arv, mis saadakse kahe esimese vektori ja kolmanda vektori vektorkorrutise skalaarkorrutisega. Teisisõnu, kui on antud kolm vektorit a, b Ja c, siis nende vektorite segakorrutise saamiseks kõigepealt kaks esimest vektorit ja saadud vektor [ ab] korrutatakse skalaarselt vektoriga c.

Kolme vektori segakorrutis a, b Ja c tähistatakse järgmiselt: abc või nii ( a,b,c). Siis saame kirjutada:

abc=([ab],c)

Enne segakorrutise geomeetrilist tähendust esindava teoreemi sõnastamist tutvuge mõistetega parem kolmik, vasak kolmik, parempoolne koordinaatsüsteem, vasakpoolne koordinaatsüsteem (definitsioonid 2, 2" ja 3 veebis vektorite vektorkorrutis).

Kindluse mõttes vaatleme edaspidi ainult parempoolseid koordinaatsüsteeme.

1. teoreem. Vektorite segakorrutis ([ab],c) on võrdne ühise alguspunktiga taandatud vektoritele konstrueeritud rööptahuka ruumalaga a, b, c, võetud plussmärgiga, kui kolm a, b, c paremale ja miinusmärgiga, kui kolm a, b, c vasakule Kui vektorid a, b, c on tasapinnalised, siis ([ ab],c) on võrdne nulliga.

Järeldus 1. Kehtib järgmine võrdsus:

Seetõttu piisab, kui me seda tõestame

([ab],c)=([eKr],a)

(3)

Avaldisest (3) on selge, et vasak ja parem osa on võrdsed rööpjalgse ruumalaga. Kuid parema ja vasaku külje märgid langevad kokku, kuna vektorite kolmikud abc Ja bca on sama orientatsiooniga.

Tõestatud võrdsus (1) võimaldab meil kirjutada kolme vektori segakorrutise a, b, c just vormis abc, täpsustamata, millised kaks vektorit korrutatakse vektoraalselt kahe esimese või kahe viimasega.

Järeldus 2. Kolme vektori koplanaarsuse vajalik ja piisav tingimus on, et nende segakorrutis on võrdne nulliga.

Tõestus tuleneb teoreemist 1. Tõepoolest, kui vektorid on tasapinnalised, siis on nende vektorite segakorrutis võrdne nulliga. Vastupidiselt, kui segakorrutis on võrdne nulliga, siis nende vektorite kaplanaarsus tuleneb teoreemist 1 (kuna ühise algpunkti taandatud vektoritele ehitatud rööptaeva ruumala on võrdne nulliga).

Järeldus 3. Kolme vektori, millest kaks langevad kokku, segakorrutis on võrdne nulliga.

Tõesti. Kui kaks vektorit kolmest langevad kokku, on need samatasapinnalised. Seetõttu on nende vektorite segakorrutis võrdne nulliga.

Descartes'i koordinaatide vektorite segakorrutis

Teoreem 2. Olgu kolm vektorit a, b Ja c määratletud nende Descartes'i ristkülikukujuliste koordinaatidega

Tõestus. Segatud tükk abc võrdne vektorite skalaarkorrutisega [ ab] Ja c. Vektorite ristkorrutis [ ab] Descartes'i koordinaatides arvutatakse valemiga ():

Viimase avaldise saab kirjutada teist järku determinantide abil:

on vajalik ja piisav, et determinant oleks võrdne nulliga, mille read on täidetud nende vektorite koordinaatidega, st:

(7)

Järelduse tõestamiseks piisab, kui arvestada valemiga (4) ja järeldusega 2.

Vektorite segakorrutis näidetega

Näide 1. Leidke vektorite segakorrutis abс, Kus

Vektorite segakorrutis a, b, c võrdne maatriksi determinandiga L. Arvutame maatriksi determinandi L, laiendades determinanti mööda rida 1:

Vektori lõpp-punkt a.