Distsipliini loengute kursus

"Maatriksi analüüs"

2. kursuse õpilastele

Matemaatikateaduskonna eriala

"Majandusküberneetika"

(õppejõud Dmitruk Maria Aleksandrovna)

Peatükk 3. Maatriksite funktsioonid.

1. Funktsiooni definitsioon.

Df. Lase – skalaarargumendi funktsioon. Tuleb kindlaks teha, mida mõeldakse f(A) all, s.t. peate laiendama funktsiooni f(x) argumendi maatriksväärtusele.

Selle ülesande lahendus on teada, kui f(x) on polünoom: , siis .

F(A) definitsioon üldjuhul.

Olgu m(x) minimaalne polünoom A ja sellel on järgmine kanooniline laiend: , on A omaväärtused. Olgu polünoomidel g(x) ja h(x) samad väärtused.

Olgu g(A)=h(A) (1), siis polünoom d(x)=g(x)-h(x) on A tühistav polünoom, kuna d(A)=0, seega d(x) ) jagatakse lineaarse polünoomiga, s.o. d(x)=m(x)*q(x) (2).

Siis, s.t. (3), , , .

Leppigem kokku, et kutsume funktsiooni f(x) väärtused maatriksi A spektris f(x) jaoks m numbrit ja nende väärtuste komplekti tähistatakse .

Kui f(x) jaoks on defineeritud hulk f(Sp A), siis on funktsioon defineeritud maatriksi A spektris.

(3) järeldub, et polünoomidel h(x) ja g(x) on maatriksi A spektris samad väärtused.

Meie arutluskäik on pöörduv, s.t. (3) Þ (3) Þ (1). Seega, kui maatriks A on antud, siis on polünoomi f(x) väärtus täielikult määratud selle polünoomi väärtustega maatriksi A spektris, s.o. kõigil polünoomidel g i (x), mis võtavad maatriksi spektris samad väärtused, on samad maatriksi väärtused g i (A). Nõuame, et f(A) väärtuse määramine üldjuhul järgiks sama põhimõtet.

Funktsiooni f(x) väärtused maatriksi A spektris peavad täielikult määrama f(A), st. funktsioonidel, millel on samad väärtused spektris, peab olema sama maatriksi väärtus f(A). Ilmselt piisab f(A) määramiseks üldjuhul polünoomi g(x) leidmisest, mis võtaks spektris A samad väärtused kui funktsioonil f(A)=g(A).

Df. Kui f(x) on defineeritud maatriksi A spektris, siis f(A)=g(A), kus g(A) on polünoom, mis võtab spektris samad väärtused kui f(A),

Df. Funktsiooni väärtus maatriksist A on polünoomi väärtus sellest maatriksist at .

C[x] polünoomide hulgas, võttes maatriksi A spektris samad väärtused kui f(x), ei ole aste kõrgem kui (m-1), võttes spektris samad väärtused A kui f(x) - see on jagamise jääk mis tahes polünoomil g(x), millel on maatriksi A spektris samad väärtused kui f(x), minimaalse polünoomini m(x)=g( x)=m(x)*g(x)+r(x) ​​.

Seda polünoomi r(x) nimetatakse interpolatsiooni polünoom Lagrange-Sylvester funktsiooni f(x) jaoks maatriksi A spektris.

Kommenteeri. Kui maatriksi A minimaalsel polünoomil m(x) pole mitut juurt, s.o. , siis funktsiooni väärtus spektris.

Leidke r(x) suvalise f(x) jaoks, kui maatriks

. Konstrueerime f(H 1). Leiame minimaalse polünoomi H 1 - viimase muutumatu teguri:

d n-1 = x 2; d n-1 = 1;

m x =f n (x)=d n (x)/d n-1 (x)=x n Þ 0 – m(x) n-kordne juur, s.o. H 1 n-kordsed omaväärtused.

R(0)=f(0), r’(0)=f’(0),…,r (n-1) (0)=f (n-1) (0) Þ .

Kolm on mängu lahendus<=>, millal on mängu lahendus, kus a on suvaline reaalarv, k>0 PEATÜKK 2. Nullsummamängud puhastes strateegiates 2.1 Optimaalsete strateegiate arvutamine ülesannete lahendamise näitel Kasutades minimaksi teoreemi, saame väita, et iga nullsummamängul on optimaalsed strateegiad. Teoreem: olgu A maatriksmäng ja antud ridad...

Sellele mittevastavad pildid võivad korporatsiooni ulatusest välja arvata. 5. Ettevõtte strateegia väljatöötamine Eelnev analüüs on loonud aluse strateegiliste sammude väljatöötamiseks mitmekesise ettevõtte tulemuslikkuse parandamiseks. Peamine järeldus selle kohta, mida teha, sõltub järeldustest kogu ettevõtte tegevuste komplekti kohta ...

Võimaldab määrata õppekavas sisalduvate õppeainete õppimise optimaalse järjestuse. Igal õppekava ainel on oma number.

Olgu õppekavas 19 ainet. Ehitame ruutmaatriksi, mille alus on võrdne õppekava ainete arvuga (19).

Kogenud õpetajad määravad eksperthinnangu meetodil välja kõige olulisemad seosed õppeainete vahel. Maatriksi veerge peetakse tarbijateks ja ridu teabekandjateks. Näiteks veeru 10 jaoks on olulised teabekandjad read 7, 9, 11, st teadmised nende numbritega ainetes. Neid jooni veerus peegeldavad ühed (1), ühenduse puudumist tähistatakse nullidega (0). Analüüsi tulemusena moodustati üheksateistkümnendat järku maatriks Maatriksanalüüs koosneb veergude ja ridade järjestikusest eemaldamisest. Nullidega täidetud veerud ei saa infot teistelt uuritavatelt, s.t nende uurimine ei põhine loogilisel seosel teiste ainetega, kuigi nad võivad omakorda olla esmase informatsiooni kandjad. See tähendab, et esmalt saab õppida aineid, millel on nende veergude numbrid. Nullidega täidetud ridu ei peeta infokandjateks ja need ei ole aluseks teiste ainete õppimisel, mis tähendab, et neid saab õppida viimasena.

Kõigepealt kriipsutatakse läbi veerud 7, 8, 9, 18 ja neile vastavad read. Saame viieteistkümnendat järku esimese vähendatud maatriksi, millel on omakorda null veerud 4, 16, 17. Olles neist lahti saanud, saame teise vähendatud maatriksi. Olles niiviisi läbi viinud kõik järgnevad taandamised, saame maatriksi, milles ei ole ühtegi veergu ilma üheta, kuid on nulli rida, mis on samuti koos vastavate veergudega läbi kriipsutatud. Olles järjepidevalt sarnaseid toiminguid sooritanud, jõuame diagrammil näidatud vormiga maatriksini.

Saadud maatriks vastab joonisel 3.2 näidatud graafikule. See graafik sisaldab kolme suletud topeltkontuuri (13-15), (5-6), (11-10). Teatud ligikaudselt võime eeldada, et nendesse kontuuridesse kaasatud aineid tuleks õppida paralleelselt ning kõigepealt õpitakse aineid numbritega 13 ja 15 ning alles seejärel aineid 5, 6, 10, 11.

Maatriksanalüüsi tulemusena saab võimalikuks õppekavas õppeainete õppe skemaatilise (plokk)mudeli loomine:

Diagramm näitab kombineeritud süsteemi õppeesemete ühendamiseks. Lahtrid sisaldavad paralleeluuringuga subjektide arvu. Moodustunud ühendussüsteemi ei tohiks mõista kui kohustuslikku jada, mille käigus ühendatakse üks õppeainete rühm alles pärast eelmise lõpetamist, vaid ainult vajadusena oma õppetöös edasi liikuda. See näitab ainult üldist tendentsi objektide ühendamisel.

Programmi maatriksanalüüs

Võimaldab hinnata paigutuse loogilist järjestust õppematerjalõppeaine piires ja seda vastavalt täiustama.

Olgu õppeaines 6 teemat. Maatriks A! koostatud selle õppeaine teemaplaani järgi. Arvud, mida maatriksi koostamisel muude teemade uurimisel kasutamise mõttes arvesse võetakse, paiknevad vertikaalselt, horisontaalselt paiknevad numbrid vastavad käsitletavatele teemadele teistest teemadest pärineva infokasutuse poolest.

Suletud kontuuride tuvastamiseks, mille olemasolu näitab, et üksikute teemade läbimise järjestust ei ole võimalik kindlaks teha, teostame maatriksi Au teisendusi (lühenemist). Kustutame nullidest koosneva rea ​​5 ja sellele vastava veeru, samuti nulli veeru 3 koos vastava reaga. Moodustub maatriks A2.

Maatriksil A2 puuduvad read ja veerud, mis koosnevad ainult nullidest. Suletud kontuuride loomiseks esitame maatriksile A2 vastava graafiku (vt joonis 3.3, a).

Graafiku uurimise põhjal järeldub, et suletud kontuuride olemasolu põhjustab teemade 1 ja 6, samuti teemade 4 ja 6 õppematerjali sisu seos. Märgitud seose põhjuseks on õppematerjali sisu ebaõnnestunud ümberjagamine nende teemade vahel. Vaadates nende teemade sisu, saab võimalikuks olemasolevad graafiku suletud ahelad. Nii moodustub uus graafik (joon. 3.3, b) ja vastav maatriks A3.

Selle maatriksi vähendamine annab uue maatriksi A4.

Peale kaare (6, 4), (6, 1) ja (1, 6) eemaldamist saame uue algmaatriksi B1, mille graafikul pole suletud kontuure.

Nüüd, kui suletud ringid on katki, hakkame teemade järjekorda kohandama. Selleks kustutame järjestikku nullidest ja samanimelistest ridadest koosnevad veerud. Nendele veergudele vastavate teemade uurimisel ei kasutata teiste teemade teavet ja seetõttu saab neid kõigepealt uurida.

Maatriksis! veerud 1 ja 3 on null Seega võib teemaplaneeringus koha sisse võtta 1. teema. Uurides põhjuseid, miks 3. teema asetatakse enne 2. teemat, selgub, et osa 2. teema infost esineb teemas 3. Loogilisem ja kasulikum on aga jätta see teemasse 3.

Peale õppematerjali ümberpaigutamist saame kaare (3, 2) asemel kaare (2, 3); eemalda veerg 1 – saame maatriksi B2.

Teemale 2 omistame endise numbri 2. Kustuta veerg 2, rida 2. Saame maatriksi B3.

Teemad 3 ja 4 jäävad samade numbritega. Kustutame veerud 3, 4 koos vastavate ridadega; saame maatriksi B4

Teemale 6 omistatakse number 5 ja teemale 5 on number 6.

Koostame maatriksi C1 vastavalt uuele teemajaotusele.

Teisendame maatriksi, eemaldades järjestikku nulli samanimelised read ja veerud. Nihutame neile vastavad teemad rea lõppu, sest nendest teemadest saadud infot teiste teemade õppimisel ei kasutata. Teemale 5 on määratud number 6.

Kustuta rida ja veerg 6. Määra teemale 6 number 5.

Kustutame read 4 ja 3 ning omistame neile vastavatele teemadele endised numbrid 4 ja 3.

Teemad 1 ja 2 jäävad temaatiliselt samaks. Maatrikstöötluse tulemusena saadakse aine struktuuris järgmine teemade lõplik paigutus:

Ülaltoodud järjestusest on selge, et pärast struktuuri maatrikstöötlust teemaplaneering 5. ja 6. teemad vahetati välja. Lisaks tekkis vajadus viia 5. teema õppematerjal 1. teemasse, samuti 2. teemast 3. teemasse.

Nagu ülaltoodud näitest näha, võimaldab õppematerjali struktuuri maatriksanalüüs seda teatud määral korrastada ja täiustada. vastastikune kokkulepeõppekava teemad.

Tuleb arvestada, et õppekavade ja programmide maatriksanalüüs nõuab palju praktiline kogemus ja sügavad teadmised koolituse sisust. Eelkõige puudutab see algmaatriksi koostamist, täpsemalt akadeemiliste ainete vaheliste seoste määramist või haridusteemadel eseme sees. Selliste suurte elementide nagu saateteemade vahel on palju seoseid, kuid maatriksanalüüsi läbiviijad peavad oskama “ridade vahelt lugeda” (leidma varjatud, kuid reaalselt olemasolevaid seoseid), määrama olulisuse. erinevaid ühendusi seoses maatriksanalüüsi eesmärkidega ja mõnikord olla kriitiline õppeainete teemade sisu suhtes.

UDC 681.51.011

MAATRIKSANALÜÜS ETTEVÕTETE JUHTIMISSÜSTEEMIS

© 2006 A.V. Volgin1, G.E. Belaševski 2

LLC "Samara - AviaGaz"

Samara osariigi lennundusülikool

Töös analüüsitakse erinevaid maatriksite kasutamise viise ettevõtte juhtimises. Kahe või enama hulga elementide vahelist seost (seost) saab esitada maatrikskujul. Seoste koostis võimaldab lihtsustada hulkade elementide vaheliste seoste analüüsi. Toodud on näide prioriteetmaatriksite kasutamisest ettevõtte juhtimissüsteemis.

Maatriksit kui analüüsivahendit on ettevõtte juhtimissüsteemides kasutatud pikka aega. Piisab, kui kvaliteedifunktsiooni juurutamises nimetada selliseid kvaliteeditööriistu nagu maatriksdiagrammid, prioriteetmaatriksid, maatriksanalüüs.

1. Maatriksite kasutamine juhtimises on tingitud asjaolust, et peaaegu iga ettevõtet iseloomustab suur hulk objekte (erinevad seadmed, osakonnad, tarnijad, tarbijad) ning nendevahelisi seoseid on raske kirjeldada sõltuvustega nagu y = f (x). Tegelikud ühendused on mitmemõõtmelised ja kaudsed. Maatriksid võimaldavad selliseid seoseid üsna selgel kujul tuvastada ja neid analüüsida. Ettevõtte tootmisstruktuuri kujundamise ülesandes saab kasutada osade rühmade vaheliste seoste maatriksit B = ], kus ^ on

1. ja ]-nda osa töötlemisel kasutatavatest üldseadmetest kasutatakse turundusuuringutes tehnilise taseme maatriksit ja = \u^], kus

ja y - ]-nda turu 1. ettevõtte tehniline tase ja hinnamaatriks.

Matemaatilisest vaatenurgast võib maatriksi täpsustamist tõlgendada kui kahe hulga objektide vahelise seose (seose) täpsustamist. Maatrikselement võib sel juhul tähendada nii seost objektide vahel (näiteks "jah" või "ei") kui ka ühenduse tugevust, väljendatuna numbrina. Kolme või enama hulga puhul on võimalik ehitada mitmemõõtmelisi seoseid ja vastavalt sellele ka mitmemõõtmelisi maatrikseid. See lähenemine kaotab aga selguse ja tõlgendamise lihtsuse. Mitme muutujaga seoste analüüsimise keerukus

sioonidest saab üle relatsioonikompositsiooni abil.

2. Oletame, et ettevõttel on tarnijad Pn P2,...P5, kes tarnivad materjale (osad, komplektid, komponendid) Mі, M2, M3. Nendest materjalidest toodab ettevõte tooteid Ib I2,...I, klientidele (tarbijatele) Zi, Z2,...Z5. Nende komplektide jaoks on võimalik luua ühendusmaatrikse. Luua näiteks sidemed tarnijate ja nende tarnitavate materjalide (tabel 1), toodete ja vajalike materjalide (tabel 2), klientide ja toodete vahel (tabel 3). Märk “x” tähistab kahe hulga objektide seost.

Tabel 1. Tarnijate vaheliste seoste maatriks

ja tarnitud materjalid (P M)

PM Pi P2 Pz P4 P5

Tabel 2. Toodete ja materjalide vaheliste ühenduste maatriks (IM)

IM Mi M2 Mz

Tabel 3. Klientide ja toodete vaheliste seoste maatriks (ZI)

ZI II I2 Alates Alates

Kasutades maatriksitega PM, IM ja ZI määratud seoste koostist, ei ole keeruline konstrueerida seostest PP maatriksit. PP-maatriks (tabel 4) näitab ettevõtte loodud seoseid tarnijate P ja klientide Z^ vahel. Nii näiteks toimub kliendi Z3 interaktsioon ettevõttega tootel I3, mis nõuab materjale M! ja M3, tarnivad Pp P3 ja P5.

Tabel 4. Tarnija-vaheliste ühenduste maatriks

Tehnoloogiliste protsesside (tootesarjade) üksikasjalik kirjeldus seosmaatriksite abil lihtsustab kliendile lisandväärtuse, ettevõtte kasumi ja kahjumi määramist.

3. Ettevõtte kvaliteedijuhtimissüsteemi ülesehitamine on seotud protsesside võrgustiku tuvastamisega. Protsesside jaotamine ettevõtte allüksuste vahel, standardi nõuete täitmine, näiteks ISO 9001 -2000, saab läbi viia maatriksite abil. Oletame, et esile tõstetakse järgmisi protsesse: lepingute sõlmimine, QMS dokumentatsiooni haldamine, siseaudit, hanked, tootmine, klientide rahulolu jälgimine ja ettevõttel on divisjonid: turundusosakond, ostuosakond, peadisaineri osakond, peatehnoloogi osakond, tootmine, garantiitoe osakond . Osakondade esindajatega peetud arutelu tulemuste põhjal saab koostada PP maatriksi (tabel 5). Teisest küljest peavad spetsiaalsed protsessid katma standardi nõudeid, näiteks ISO 9001-2000. Protsesside ühendamine standardiga ISO 9001-2000 viib TP maatriksini (tabel 6).

Seoste koostist kasutades saame ISO maatriksi (tabel 7).

meie ja kliendid (PZ)

PZ Zi 32 Zz 34 35

Tabel 5. Protsesside ja osakondade vaheliste seoste maatriks (PP)

PP maatriks Turundusosakond Ostuosakond Peadisaineri osakond Peatehnoloogi osakond Tootmise Garantii tugiosakond

Lepingute sõlmimine X X

Siseaudit X

Ostsid X

X tegemine

Tabel 6. Protsesside seos standardiga ISO 9001-2000

TP Matrix Kvaliteedijuhtimissüsteemid Juhtimiskohustused Ressursihaldus Protsessid eluring Toote mõõtmine, analüüs ja täiustamine

Lepingute sõlmimine X

QMS dokumendihaldus X X

Siseaudit X X

Ostsid X

Tootmine X X X

Kliendirahulolu jälgimine X

ISO Matrix turundusosakond ostuosakond Ch. Disainerosakond Ch. tehnoloog Tootmisgarantii tugiosakond

Kvaliteedijuhtimissüsteemid X X

Juhtimiskohustused X X X

Ressursihaldus X

Toote elutsükli protsessid X X X

Mõõtmine, analüüs ja täiustamine X X

Ilmselgelt võib sellise ISO nõuete jaotuse korral oodata ebakõlasid jaotises 5 “Juhatuse vastutus”, kuna kvaliteedipoliitika eest vastutab tippjuhtkond.

4. Kommunikatsioonimaatriksi iga elemendi laiendamine, näiteks “Juhtimisvastutus – turundusosakond”, võib kasutada prioriteetide maatriksit, mis on hierarhiaanalüüsi meetodi aluseks. ISO 9000-2000 seeria standardite nõuded kehtestavad ettevõtte kvaliteedijuhtimissüsteemi toimimiseks vajaliku regulatiivse ja tehnilise dokumentatsiooni ulatuse ja sügavuse. Ettevõtte kvaliteedijuhtimise üks kohustuslik dokument on kvaliteedipoliitika ja eesmärgid. Ettevõtte eesmärgid on sõnastatud erinevates valdkondades: rahandus, turg, konkurents

(benchmarking), klientide rahulolu, toote ja protsessi jõudluse parandamine. Kogu organisatsiooni eesmärgid tuleb projitseerida (laiendada, dekomponeerida) selle allüksustele, et töötajad oleksid teadlikud oma kaasatusest ja vastutusest kogu organisatsiooni konkreetse eesmärgi saavutamise eest.

Planeerimine, eesmärkide valimine, käitumise optimeerimine konkurentsikeskkonnas nõuavad alati teatud etapis otsuste tegemist. On muutunud peaaegu ilmseks, et sotsiaalsed protsessid, eriti juhtimisprotsessid, on klassikalise matemaatika raames halvasti formaliseeritud.

teemasid. Sel juhul võib i-r arhiate analüüsimeetod osutuda üsna tõhusaks.

Hierarhia analüüsi meetod põhineb nn prioriteetmaatriksil. Oletame, et ülesandeks on võrrelda valitud objekti mõjutavaid tegureid. Mõjutegurite hulk on reeglina üsna suur, täpsed sõltuvused on teadmata ning ülesande matemaatilist vormistamist on peaaegu võimatu teostada. Eksperdil on raskusi ka tegurite mõju hindamisel objektile. Üllatuslikult laheneb probleem lihtsamini, kui paarikaupa võrrelda tegurite mõju objektile. (Asi on selles, et küsimusele, kui palju A kaalub, on raske vastata; palju lihtsam on otsustada, kumb on raskem: A või B)

Ettevõtte arendamise analüütiliseks planeerimiseks on vaja kirjeldada algseisundit ("nagu on" asend), sihtseisundit (eesmärke) ja vahendeid nende olekute ühendamiseks. Allpool on toodud näide hierarhiaanalüüsi meetodi rakendamisest, objektiks on valitud eesmärk „Ettevõtte kasumi jätkusuutlik kasv“ ning välja toodud mõned eesmärki mõjutavad tegurid (tabel 8).

Ettevõtte spetsialistid ja eksperdid koostasid valitud kriteeriumite järgi prioriteetsed maatriksid (näide on toodud tabelis 9).

Juhtimine Materjal ja tehniline varustamine

Planeerimine, ostmine,

Investeeringud, suhted tarnijatega,

Reklaam, sissepääsukontroll,

Müügihinnad, ressursikontroll.

Turundusstrateegia. Personal ja areng

Tootja kvalifikatsioon,

Tähtaegadest kinnipidamine, töötajate koolitamine,

Tehnoloogia, töötajate motivatsioon,

Kvaliteet, loominguline potentsiaal,

Tootmise korraldus, kulude kontroll. uute arenduste planeerimine

Tabel 9. Maatriksi “Tootmine” näide

Tootmine Toodete tarnetähtaegadest kinnipidamine Tehnoloogia Kvaliteet Tootmise korraldus Kulude kontroll

Toodete tarnetähtaegadest kinnipidamine 1 5 1 3 3

Tehnoloogia 1/5 1 3 1 3

Kvaliteet 1 1/3 1 3 1

Tootmise korraldus 1/3 1 1/3 1 1

Kulude kontroll 1/3 1/3 1 1 1

Seoseskaala ja tabelite täitmine 1 - tegurite samaväärsus, 3 - ühe teguri domineerimine teise teguri suhtes,

5 - ühe teguri tugev domineerimine teise teguri üle, 2,4 - võimalikud vaheväärtused.

Maatriksite matemaatiline töötlemine seisnes prioriteetse vektori leidmises maksimaalsele omaväärtusele vastava omavektorina. Näitena on allpool toodud eksperdi N hinnangute töötlemise tulemused (tabel 10). Veerud näitavad erinevate tegurite prioriteetse vektori komponente, näiteks vastavalt kriteeriumile "Juhtimine"

prioriteet on investeeringud.

Joonisel fig. 1. Esitatakse ekspertide prioriteetide arvutamise tulemused vastavalt ülaltoodud kriteeriumidele. Eesmärgi saavutamine on seotud investeeringute, kvaliteediga,

uute arenduste planeerimine ja ressursside kontrollimine.

Tabel 10. Ekspertide N hinnangute töötlemise tulemused

Eesmärk – ettevõtte kasumi jätkusuutlik kasv

Juhtimine Tootmismatt - tehniline varustus Personal ja arendus

0,1084 0,3268 0,3072 0,1625

0,4198 0,1280 0,2059 0,0773

0,1084 0,2829 0,1552 0,1007

0,2356 0,1002 0,3316 0,2080

0,1279 0,1621 0,4516

Juhtimine

Tootmine

S & I ^ TO o i_ CO

Personal ja areng

Riis. 1. Ekspertide prioriteediarvutuste tulemused

Teadmised prioriteetide jaotusest valitud kriteeriumide järgi võimaldavad ettevõtte tippjuhtkonnal järgida kindlat poliitikat seatud eesmärgi saavutamiseks.

Bibliograafia

1. Gludkin O.P., Gorbunov N.M., Gurov A.I., Zorin Yu.V. Täielik kvaliteedijuhtimine. - M.: Raadio ja side, 1999.

2. Kuzin B., Jurjev V., Šahdinarov G. Ettevõtte juhtimise meetodid ja mudelid. -SPb: Peeter, 2001.

3. Faure R., Kofman A., Denis-Papin M. Kaasaegne matemaatika. - M.: Mir, 1966.

4. Saati T. Otsustamine. Hierarhia analüüsi meetod. / per. inglise keelest - M.: Raadio ja side, 1993.

MAATRIKS-ANALÜÜS ETTEVÕTETE JUHTSÜSTEEMIS

© 2006 A.V. Volgin1, G.E. Belachewskij2

\cSamara – Aviagas"

Samara osariigi lennundusülikool

Töös analüüsitakse erinevaid maatriksite kasutamise viise äritegevuses. Kahe ja enama hulga elementide vahelise seose (seotuse) saab esitada maatriksvormis. Seoste koostis võimaldab lihtsustada hulkade elementide vaheliste seoste analüüsi. Tulemuseks on näide prioriteetmaatriksite kasutamisest ettevõtte juhtimissüsteemis.

Petri võrkude analüüsi teine ​​lähenemine põhineb Petri võrkude maatriksesitlusel. Alternatiiv Petri võrgu defineerimisele kujul (P, T, I, O) on määratleda kaks maatriksit D - ja D +, mis esindavad sisend- ja väljundfunktsioone. Igal maatriksil on m rida (üks ülemineku kohta) ja n veergu (üks positsiooni kohta). Defineerime D - = #(p i , I(t j)) ja D + = #(p i , O(t j)). D - määrab üleminekute sisendid, D + - väljundid.

Maatriksi vorm Petri võrgu definitsioonid (P, T, D - , D +) on samaväärsed meie kasutatava standardvormiga, kuid võimaldavad definitsioone vektorite ja maatriksitena. Olgu e[j] m-vektor, mis sisaldab nulle kõikjal, välja arvatud j-ndad komponendid, võrdne ühega. Üleminek t j on kujutatud m-rea vektoriga e[j].

Nüüd on üleminek t j märgistuses µ lubatud, kui µ > e[j] D - , ja ülemineku t j käivitamise tulemus märgistuses µ kirjutatakse järgmiselt:

δ(t j) = µ - e[j] D - + e[j] D + = µ + e[j] D

kus D = D + - D - on muutuste liitmaatriks.

Siis on meil ülemineku käivitusjärjestuse σ = t j 1, t j 2, … , t jk jaoks:

δ(σ) = µ + e D + e D + … + e D =

= µ + (e + e + … + e)D = µ + f(σ) D

Vektorit f(σ) = e + e + ... + e nimetatakse jada alguste vektoriks σ = t j ​​​​1 , t j 2 , ... , t jk , f(σ) j p on ülemineku arv algab t p jadas t j 1 , t j 2 , … , t jk . Alguste f(σ) vektor on seega mittenegatiivsete täisarvu komponentidega vektor. (Vektor f(σ) on jada σ = t j 1, t j 2, …, t jk Parikhi kaardistus).

Et näidata selle maatriks-lähenemise kasulikkust Petri võrkude puhul, mõelge näiteks kaitseprobleemile: kas antud märgistatud Petri võrgu kaitse on? Säilivuse näitamiseks on vaja leida (mitte-null) kaaluvektor, mille puhul kaalutud summa kõikidele ligipääsetavatele siltidele on konstantne.

Olgu w = (w 1 ,w 2 , … , w n) veeruvektor. Siis, kui µ on esialgne märgistus ja µ" on suvaline saavutatav märgistus, st µ" kuulub R(C,µ), on vajalik, et µ w = µ" w. Kuna nüüd on µ" saavutatav, on jooksuüleminekute jada σ = t j ​​1 , t j 2 , … , t jk , mis kannab võrgu üle µ-lt µ-le".

µ" = µ + f(σ) D

Seega

µ w = µ" w = (µ + f(σ) D) w = µ w + f(σ) D w, seega f(σ) D w = 0.

Kuna see peab kehtima kõigi f(σ) puhul, on meil D w = 0.

Seega säilib Petri võrk siis ja ainult siis, kui on olemas positiivne vektor w, mille puhul D w = 0.

See annab lihtsa säilivuse kontrollimise algoritmi ja võimaldab saada ka kaaluvektori w.

Väljatöötatud Petri võrkude maatriksiteooria on tööriist ligipääsetavuse probleemi lahendamiseks. Oletame, et tähis µ" on märgistuselt µ kättesaadav. Siis on jada (võib-olla tühi) üleminekualgustest σ, mis viib µ-st µ". See tähendab, et f(σ) on järgmise x maatriksvõrrandi mittenegatiivne täisarvlahend:

µ" = µ + x D

Seega, kui µ" on µ-st kättesaadav, siis antud võrrand on lahendus mittenegatiivsetes täisarvudes; kui antud võrrandil pole lahendust, siis µ" on µ-st kättesaamatu.

Vaatleme näiteks joonisel 1 näidatud märgistatud Petri võrku:

Riis. 1. Petri võrk, mis illustreerib maatriksvõrranditel põhinevat analüüsimeetodit

Maatriksid D - ja D + on kujul:

t 1 t 2 t 3 t 1 t 2 t 3

p 1 1 0 0 p 1 1 0 0

D - = p 2 1 0 0 D + = p 2 0 2 0

p 3 1 0 1 p 3 0 1 0

p 4 0 1 0 p 4 0 0 1

ja maatriks D:

Algse märgistuse µ = (1, 0, 1, 0) korral on t 3 üleminek lubatud ja tulemuseks on märgistus µ" = (1, 0, 0,1).

µ" = µ + e D = (1, 0, 1, 0) + (0, 0, 1) D =

= (1, 0, 1, 0) + (0, 0, -1, 1) = (1, 0, 0, 1).

Jada σ = t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 1 on esitatud stardivektoriga f(σ) = (1, 2, 2) ja on märgistatud µ":

µ" = (1, 0, 1, 0) + (1, 2, 2) D = (1, 0, 1, 0) + (0, 3, -1, 0) = (1, 3, 0, 0)

Et teha kindlaks, kas märgistus (1, 8, 0, 1) on märgistuse (1,0, 1, 0) kaudu kättesaadav, on meil võrrand:

(1, 8, 0, 1) = (1, 0, 1,0)+ x D

millel on lahendus x =(0, 4, 5). See vastab jadale σ = t 3, t 2, t 3, t 2, t 3, t 2, t 3, t 2, t 3

(1, 7,0, 1)=(1, 0, 1, 0) + x D

pole lahendust.

Petri võrkude analüüsi maatrikskäsitlus on väga paljutõotav, kuid sellel on ka mõningaid raskusi. Pange tähele kõigepealt maatriksit D iseenesest ei kajasta täielikult Petri võrgu struktuuri. Üleminekud, millel on nii sisendid kui ka väljundid samast positsioonist (silmused), on esindatud vastavate maatriksielementidega D+ ja D - , kuid siis tühistavad üksteist maatriksis D = D + - D - . See kajastub eelmises näites asendis p 4 ja üleminekus t 3.

Teine probleem on järjestusteabe puudumine käivitusvektoris. Vaatleme Petri võrku joonisel fig. 2. Oletame, et tahame kindlaks teha, kas märgistus (0, 0, 0, 0, 1) on kättesaadav punktist (1, 0, 0, 0, 0). Siis on meil võrrand

(1, 0, 0, 0, 0)=(0, 0, 0, 0, 1) + x D

Riis. 2. Teine Petri võrk, mida kasutatakse maatriksanalüüsi illustreerimiseks

Sellel võrrandil pole ainulaadset lahendit, kuid seda saab taandada paljudeks lahendusteks (a\f(o) =(1, x 2, x 6 - 1, 2x 6, x e - 1, x 6)). See määratleb üleminekupäästikute vahelise suhte. Kui paneme x 6= 1 ja x 2= 1, siis /(o) = (1, 1, 0, 2, 0, 1), kuid see käivitav vektor vastab nii jadale 44444 kui ka jadale 44444. Järelikult, kuigi siirdepäästikute arv on teada, on nende tellimuse käivitamine teadmata.

Teine raskus on see, et võrrandi lahendamine on kättesaadavuse jaoks vajalik, kuid mitte piisav. Vaatleme lihtsat Petri võrku, mis on näidatud joonisel fig. 3. Kui tahame kindlaks teha, kas (0, 0, 0, 1) on saavutatav väärtusest (1, 0, 0, 0), peame lahendama võrrandi

Riis. 3. Petri võrk, mis näitab, et maatriksvõrrandi lahendamine on kättesaadavuse probleemi lahendamiseks vajalik, kuid mitte piisav tingimus

Sellel võrrandil on lahendus /(a) = (1, 1), mis vastab kahele jadale: titt 2 ja /3/t. Kuid kumbki neist kahest üleminekujadast pole võimalik, kuna (1,0, 0, 0) mitte kumbki t seda kumbki 4 pole lubatud. Seega võrrandi lahendamisest ei piisa ligipääsetavuse tõestamiseks.

Kontrollküsimused ja ülesanded

1. Koostage Petri võrgu graafik järgmise Petri võrgu jaoks:

P=(p1,p2,p3,p4),T=(t1,t2,t3,t4,t5),

I(t 1)=(), O(t 1)=(p 1),

I (t 2) = (p 1), O (t 2) = (p 2),

I (t 3) = (p 2, p 2, p 4), O (t 3) = (p 1, p 3),

I(t 4)=(), O(t 4)=(p 3),

I (t 5) = (p 3), O (t 5) = (p 4, p 4).

2. Koostage Petri võrgu graafik järgmise Petri võrgu jaoks:

P=(p1,p2,p3,p4), T=(t1,t2,t3,t4),

I(t 1)=(), O(t 1)=(p 1, p 1, p 1, p 1, p 2),

I(t 2)=(p 2 ), O(t 2)=( p 1 , p 1 p 1 , p 1 , p 1 , p 1 , p 3 ),

I(t 3)=(p 1,p 1,p 1,p 1,p 1,p 1), O(t 3)=(p 2,p 2 p 2,p 2 p 4,p 4),

I(t 4)=( p 2, p 3 p 4, p 4 ), O(t 4)= (p 3 ).

3. Harjutuse 1 Petri võrgu puhul m=(5,4,0,0) märgistamiseks märkige lubatud üleminekud.

4. Harjutuse 2 Petri võrgu puhul m=(7,12,2,1) märgistamiseks märkige lubatud üleminekud.

5. Näidake, et ÈR(C,m)=N n , kus mÎN n .

6. Tõesta, et kui m‘О R(C,m), siis R(C,m‘)О R(C,m).

7. Tõesta, et m‘О R(C,m) siis ja ainult siis, kui R(C,m‘)О R(C,m).

8. Koostage harjutusest 1 Petri võrgule ligipääsetavuse komplekt.

9. Koostage Petri võrgule ligipääsetavuse komplekt harjutusest 2.

10. Petri võrgud oma žetoonide ja väljalaskereeglitega meenutavad paljuski mänge, millel on mänguväli: kabe, backgammon, nim, go jne. Võite välja mõelda ühe kuni nelja inimese mängu, mis koosneb mängust. põld (väljana kasutatakse Petri võrku) ja kiipide komplekt. Kiibid jaotatakse Petri võrgu positsioonide vahel ning mängijad valivad kordamööda lubatud üleminekud ja käivitavad need. Määrake mängureeglid, mis hõlmavad järgmist:

a Kuidas määratakse kiipide esialgne asukoht? (Näiteks iga mängija alustab mängu ühe nupuga majas või saab iga mängija vastavalt soovile tervele väljale n nuppe jne).

b Mis on mängu eesmärk? (Püüdke oma vastase žetoone; hankige kõige rohkem žetoone; vabanege oma žetoonidest nii kiiresti kui võimalik jne).

c Kas nuppe ei tohiks erinevate mängijate jaoks värvida? (Defineerige vastavalt üleminekute käivitamise reeglid).

d Kas me ei peaks määrama punkte erinevatele üleminekutele? (Siis määratakse mängija punktid tema käivitatud üleminekute summaga).

Selle põhjal kirjeldage mängu, tooge mängu näide.

11. Töötage välja programm, mis realiseerib harjutuse 10 mängu, kus teie vastaseks on antud Petri võrgu arvuti.

12. Ehitage Petri võrgu teostamiseks simulatsioonisüsteem. Lubatud üleminekute käivitamise määrab simulatsioonisüsteemi kasutaja.

13. Targad istuvad suure juures ümarlaud, kus on palju Hiina roogasid. Naabrite vahel on üks söögipulk. Hiina toidu söömiseks on aga vaja kahte pulka, seetõttu peaks iga tark võtma pulgad paremalt ja vasakult. Probleem on selles, et kui kõik targad võtavad vasakpoolsed pulgad ja siis ootavad, kuni paremal olevad pulgad vabanevad, siis nad ootavad igavesti ja surevad nälga (ummikuseisund). Vaja on ehitada Petri võrk, mis paneb paika lõunasöögi strateegia ja millel pole tupikteid.

14.Ehitage Petri võrk, mis esindab lõplikku masinat, mis arvutab kahendarvu kahe täiendi.

15.Ehitage lõplikku masinat kujutav Petri võrk, et määrata sisendkainarvu paarsus.

16.Ehitage Petri võrk, mis esindab lõplikku masinat, mis määrab loendussisendiga päästiku.

17.Ehitage Petri võrk, mis esindab lõplikku masinat, mis määratleb trigeri eraldi sisenditega.

18. Töötada välja algoritm plokkskeemide modelleerimiseks Petri võrgu abil.

19.PERT diagramm on graafiline esitus projekti erinevate etappide vahelistest suhetest. Projekt on kollektsioon suur number tööd ja töö tuleb lõpetada enne, kui teised alustavad. Lisaks nõuab iga töö tegemine teatud aja. Töid kujutatakse graafiliselt tippude abil ja nendevaheliste põhjus-tagajärg seoste näitamiseks kasutatakse kaarte. PETR-diagramm on kaalutud kaarega suunatud graafik. Ülesandeks on määrata minimaalne aeg projekti valmimiseks. Töötada välja algoritm PERT diagrammide modelleerimiseks Petri võrkude abil.

20. Töötada välja Petri võrkudel põhinev mudel keemiliste reaktsioonide simuleerimiseks.

21. Kaaluge mitte puu, vaid kättesaadavuse graafiku koostamist. Kui tipp x genereerib mõne mittepiirava tipu y jaoks järgmise tipu z m[z]=m[y], võetakse kasutusele sobivalt märgistatud kaar punktist x kuni y. Kirjeldage ligipääsetavuse graafiku koostamise algoritmi.

22.Näidake, et ligipääsetavuse graafiku koostamise algoritm läheneb, ja uurige selle omadusi, võrreldes seda ligipääsetavuse puu koostamise algoritmiga.

23. Kättesaadavuse puud ei saa kasutada ligipääsetavuse probleemi lahendamiseks, sest teave läheb kaduma sümboli w mõiste kasutuselevõtu tõttu. See võetakse kasutusele siis, kui jõuame märgistuseni m’ ja rajal juurest m’ on selline tähis m, et m’>m. Sel juhul saad kõik vormi m+n(m‘-m) märgised. Uurige võimalust kasutada komponentide väärtuste esitamiseks w asemel avaldist a+bn i. Kui on võimalik defineerida ligipääsetavuspuu, milles kõik märgistusvektorid on esindatud avaldistega, siis leitakse ligipääsetavuse probleemi lahendus lihtsalt võrrandisüsteemi lahendamisega.

24.Üldistage kaitse mõiste, lubades negatiivseid kaalusid. Mida peetakse negatiivse kaalu mõistlikuks tõlgenduseks? Kas Petri võrgu säilivuse määramise probleem on lahendatav, kui lubada negatiivseid kaalusid?

25. Kasutades analüüsi maatriks-lähenemist, töötage välja Petri võrgu piirituse määramise algoritm.

26. Töötada välja algoritm kahe Petri võrgu võrdsuse ülesande lahendamiseks. Petri võrk C 1 =(P 1 , T 1 , I 1 , O 1) märgistatud m 1 võrdub Petri võrguga C 2 =(P 2 , T 2 ,I 2 ,O 2) märgistatud m 2 kui R(C 1 ,m1)= R(C2,m2).

27. Töötada välja kahe Petri võrgu alamhulga ülesande lahendamise algoritm. Petri võrk C 1 =(P 2,T 2,I 2,O 2) märgistatud m 2 on Petri võrgu C 1 =(P 1,T 1,I 1,O 1) alamhulk, mis on märgistatud m 1, kui R( C 1,m1)ÍR(C2,m2).

28. Töötada välja algoritm ligipääsetavuse probleemi lahendamiseks. Petri võrgus C=(P,T,I,O) tähisega m, on tähis m' saavutatav m-st, kui m'ÎR(C,m).

29. Töötage välja alamsildistamise ligipääsetavuse probleemi algoritm. Kas alamhulga P' Í P ja sildi m' korral eksisteerib m''ÎR(C,m) nii, et m''(p i)=m'(p i) kõigi p i ÎP'? jaoks.

30. Töötage välja nulljuurdetavuse probleemi algoritm. Kas m'ÎR(C,m), kus m'(p i) = 0 kõigi p i ÎP korral?

31. Töötada välja algoritm ühes asendis nulli jõudmise ülesande jaoks. Kas antud positsiooni p i ОP korral eksisteerib m’ОR(C,m), kui m’(p i)=0?

32. Töötada välja algoritm Petri võrguaktiivsuse ülesande lahendamiseks. Kas kõik üleminekud t j ОT on aktiivsed?

33. Töötada välja algoritm ühe ülemineku aktiivsuse ülesande lahendamiseks. Kas see üleminek t j ОT on aktiivne?

34. Petri võrku nimetatakse pöörduvaks, kui iga ülemineku t j ОT jaoks on olemas üleminek t k ОT,

#(p i ,I(t j))=#(p i ,O(t k)), #(p i ,O(t j))=#(p i ,I(t k)),

need. iga ülemineku jaoks on teine ​​üleminek vastupidiste sisendite ja väljunditega. Töötada välja algoritm pöörduvuse probleemi lahendamiseks pööratavate Petri võrkude jaoks.

35. Töötada välja võrdsusülesande lahendamise algoritm pööratavate Petri võrkude jaoks.

36. Probleem suitsetajatega. Kõik kolm suitsetajat teevad pidevalt sigareti ja suitsetavad seda. Sigareti valmistamiseks on vaja tubakat, paberit ja tikke. Ühel suitsetajal on alati paber, teisel tikud ja kolmandal tubakas. Agendil on lõputult palju paberit, tikke ja tubakat. Agent asetab kaks komponenti lauale. Suitsetaja, kellel on kolmas puuduv koostisosa, saab valmistada ja süüdata sigareti, andes sellest agendile märku. Seejärel lisab agent kolmest koostisosast ülejäänud kaks ja tsükkel kordub. Pakkuge välja aktiivne Petri võrk, mis modelleerib suitsetajate probleemi.

37. Automaadi Petri võrk on Petri võrk, milles igal üleminekul võib olla täpselt üks väljund ja üks sisend, s.t. kõigi t j ОT ½I(t j)½ = 1 ja ½O(t j)½ = 1 korral. Töötada välja algoritm lõpliku automaati konstrueerimiseks, mis on ekvivalentne antud automaati Petri võrguga.

38. Märgitud graaf on Petri võrk, milles iga positsioon on täpselt ühe ülemineku sisendiks ja täpselt ühe ülemineku väljundiks, s.t. iga ülemineku jaoks p i ОP ½I(p i)½=1 ja ½O(p i)½=1. Töötage välja algoritm märgistatud graafikute juurdepääsetavuse probleemi lahendamiseks.

39. Vaatleme Petri võrkude klassi, mis on nii märgistatud graafikud kui ka automaatsed Petri võrgud.

40.Koostage Petri võrk, mis modelleerib lisas 8 kirjeldatud süsteeme. Kirjeldage süsteemis toimuvaid sündmusi ja süsteemi kirjeldavaid tingimusi. Koostage ehitatud Petri võrgu jaoks ligipääsetavuspuu. Kirjeldage olekuid, milles süsteem võib olla.

Maatriksanalüüs ehk maatriksmeetod on leidnud laialdast kasutust erinevate majandussüsteemide (ettevõtted, ettevõtete üksikud allüksused jne) võrdleval hindamisel. Maatriksmeetod võimaldab mitme näitaja põhjal määrata iga ettevõtte tervikliku hinnangu. Seda hinnangut nimetatakse ettevõtte reitinguks. Vaatame rakendust maatriks meetod samm-sammult, kasutades konkreetset näidet.

1. Hindamisnäitajate valik ja lähteandmete maatriksi moodustamine a ij, ehk tabelid, kus read kajastavad süsteemide (ettevõtete) numbreid, veerud aga näitajate numbreid (i=1,2....n) - süsteemid; (j=1,2…..n) - näitajad. Valitud indikaatorid peavad olema sama fookusega (mida rohkem, seda parem).

2. Standardiseeritud koefitsientide maatriksi koostamine. Igas veerus määratakse maksimaalne element ja seejärel jagatakse kõik selle veeru elemendid maksimaalse elemendiga. Arvutustulemuste põhjal koostatakse standardiseeritud koefitsientide maatriks.

Valige igas veerus maksimaalne element.