Kuidas leida ebavõrdsuse süsteemile terviklikke lahendusi. Täis- ja murdarvuliste ratsionaalsete võrratuste lahendamine. Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil
Näiteks ebavõrdsus on avaldis \(x>5\).
Ebavõrdsuse tüübid:
Kui \(a\) ja \(b\) on arvud või , siis nimetatakse võrratust numbriline. See on tegelikult lihtsalt kahe numbri võrdlemine. Sellised ebavõrdsused jagunevad ustav Ja truudusetu.
Näiteks:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);
\(17+3\geq 115\) on vale numbriline võrratus, kuna \(17+3=20\) ja \(20\) on väiksem kui \(115\) (ja mitte suurem või võrdne sellega) .
Kui \(a\) ja \(b\) on muutujat sisaldavad avaldised, siis meil on ebavõrdsus muutujaga. Sellised ebavõrdsused jagunevad olenevalt sisust tüüpideks:
|
\(2x+1\geq4(5-x)\) |
Muutuv ainult esimese astmeni |
|||
|
\(3x^2-x+5>0\) |
Teises astmes (ruut) on muutuja, kuid kõrgemaid astmeid (kolmas, neljas jne) pole. |
|||
|
\(\log_(4)((x+1))<3\) |
||||
|
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\) |
Mis on ebavõrdsuse lahendus?
Kui asendate ebavõrdsusega muutuja asemel arvu, muutub see numbriliseks.
Kui x-i antud väärtus muudab algse võrratuse tõeliseks numbriliseks, siis seda nimetatakse lahendus ebavõrdsusele. Kui ei, siis see väärtus ei ole lahendus. Ja selleks lahendada ebavõrdsus– peate leidma kõik selle lahendused (või näitama, et neid pole).
Näiteks, kui asendame arvu \(7\) lineaarvõrratusega \(x+6>10\), saame õige arvulise võrratuse: \(13>10\). Ja kui asendame \(2\), tekib vale numbriline ebavõrdsus \(8>10\). See tähendab, et \(7\) on algse ebavõrdsuse lahendus, kuid \(2\) mitte.
Võrratusel \(x+6>10\) on aga ka teisi lahendusi. Tõepoolest, \(5\), ja \(12\) ja \(138\) asendamisel saame õiged arvulised võrratused... Ja kuidas leida kõik võimalikud lahendused? Selleks kasutavad nad meie puhul:
\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)
See tähendab, et meile sobib iga number, mis on suurem kui neli. Nüüd peate vastuse üles kirjutama. Võrratuste lahendused kirjutatakse tavaliselt numbriliselt, märkides need täiendavalt arvuteljele varjutusega. Meie juhtumi jaoks on meil:
Vastus:
\(x\in(4;+\infty)\)
Millal muutub ebavõrdsuse märk?
Ebavõrdsuses on üks suur lõks, millesse õpilastele väga meeldib langeda:
Võrratuse korrutamisel (või jagamisel) negatiivse arvuga pööratakse see ümber (“rohkem” väärtusega “vähem”, “rohkem või võrdne” arvuga “vähem või võrdne” jne).
Miks see juhtub? Selle mõistmiseks vaatame arvulise võrratuse \(3>1\) teisendusi. See on õige, kolm on tõepoolest suurem kui üks. Esiteks proovime seda korrutada mis tahes positiivse arvuga, näiteks kahega:
\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)
Nagu näeme, jääb pärast korrutamist ebavõrdsus tõeseks. Ja ükskõik millise positiivse arvuga me korrutame, saame alati õige ebavõrdsuse. Proovime nüüd korrutada negatiivse arvuga, näiteks miinus kolm:
\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)
Tulemuseks on vale ebavõrdsus, sest miinus üheksa on väiksem kui miinus kolm! See tähendab, et ebavõrdsuse tõeseks muutumiseks (ja seetõttu oli negatiivsega korrutamise teisendamine "seaduslik"), peate võrdlusmärgi ümber pöörama järgmiselt: \(−9<− 3\).
Jagamisel toimib see samamoodi, saate seda ise kontrollida.
Eespool kirjutatud reegel kehtib igat tüüpi ebavõrdsuse kohta, mitte ainult numbrilise ebavõrdsuse kohta.
Näide: Lahendage võrratus \(2(x+1)-1<7+8x\)Lahendus:
|
\(2x+2-1<7+8x\) |
Liigume \(8x\) vasakule ja \(2\) ja \(-1\) paremale, unustamata märke muuta |
|
\(2x-8x<7-2+1\) |
|
|
\(-6x<6\) \(|:(-6)\) |
Jagame ebavõrdsuse mõlemad pooled arvuga \(-6\), unustamata muuta "vähem" asemel "rohkem" |
|
Märgime teljele numbrilise intervalli. Ebavõrdsus, seetõttu "torgame välja" väärtuse \(-1\) enda ja ei võta seda vastusena |
|
|
Kirjutame vastuse intervallina |
Vastus: \(x\in(-1;\infty)\)
Ebavõrdsus ja puue
Võrratustel, nagu ka võrranditel, võivad olla piirangud , see tähendab x väärtustele. Sellest lähtuvalt tuleks need väärtused, mis on DZ järgi vastuvõetamatud, lahenduste hulgast välja jätta.
Näide: Lahendage võrratus \(\sqrt(x+1)<3\)
Lahendus: On selge, et selleks, et vasak pool oleks väiksem kui \(3\), peab radikaalavaldis olema väiksem kui \(9\) (lõppude lõpuks, alates \(9\) lihtsalt \(3\)). Saame:
\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)
Kõik? Kas meile sobib mis tahes x väärtus, mis on väiksem kui \(8\)? Ei! Sest kui me võtame näiteks väärtuse \(-5\), mis näib vastavat nõuet, ei ole see algse ebavõrdsuse lahendus, kuna see viib meid negatiivse arvu juure arvutamiseni.
\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)
Seetõttu peame arvestama ka X väärtuse piirangutega - see ei saa olla selline, et juure all on negatiivne arv. Seega on meil x jaoks teine nõue:
\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)
Ja selleks, et x oleks lõpplahendus, peab see täitma korraga mõlemad nõuded: see peab olema väiksem kui \(8\) (et oleks lahendus) ja suurem kui \(-1\) (et oleks põhimõtteliselt vastuvõetav). Joonistades selle arvujoonele, saame lõpliku vastuse:
Vastus: \(\left[-1;8\right)\)
Pärast esialgse teabe saamist muutujatega ebavõrdsuste kohta liigume edasi nende lahendamise küsimuse juurde. Analüüsime ühe muutujaga lineaarsete võrratuste lahendamist ja kõiki nende lahendamise meetodeid koos algoritmide ja näidetega. Arvesse võetakse ainult ühe muutujaga lineaarvõrrandeid.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Mis on lineaarne ebavõrdsus?
Esiteks peate määratlema lineaarvõrrandi ja välja selgitama selle standardvormi ja selle, kuidas see teistest erineb. Koolikursusest saame teada, et ebavõrdsusel pole põhimõttelist erinevust, seega on vaja kasutada mitut definitsiooni.
Definitsioon 1
Lineaarne võrratus ühe muutujaga x on võrratus kujul a · x + b > 0, kui > asemel kasutatakse mis tahes ebavõrdsusmärki< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .
2. definitsioon
Ebavõrdsused a x< c или a · x >c, kus x on muutuja ning a ja c on mõned arvud, kutsutakse lineaarsed võrratused ühe muutujaga.
Kuna midagi ei öelda selle kohta, kas koefitsient võib olla võrdne 0-ga, siis range ebavõrdsus kujul 0 x > c ja 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.
Nende erinevused on järgmised:
- tähistusvorm a · x + b > 0 esimeses ja a · x > c – teises;
- koefitsiendi a lubatavus on võrdne nulliga, a ≠ 0 - esimeses ja a = 0 - teises.
Arvatakse, et võrratused a · x + b > 0 ja a · x > c on ekvivalentsed, kuna need saadakse liikme ülekandmisel ühest osast teise. Võrratuse 0 x + 5 > 0 lahendamine viib selleni, et see tuleb lahendada ja juhtum a = 0 ei tööta.
3. definitsioon
Arvatakse, et lineaarsed võrratused ühes muutujas x on vormi ebavõrdsused a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0 Ja a x + b ≥ 0, kus a ja b on reaalarvud. X asemel võib olla tavaline arv.
Reegli põhjal saame, et 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 nimetatakse lineaarseks taandatavateks.
Kuidas lahendada lineaarset ebavõrdsust
Peamine viis selliste võrratuste lahendamiseks on kasutada ekvivalentteisendusi, et leida elementaarvõrratused x< p (≤ , >, ≥) , p mis on teatud arv, kui a ≠ 0 ja kujul a< p (≤ , >, ≥), kui a = 0.
Ühe muutuja võrratuste lahendamiseks saab kasutada intervallmeetodit või esitada seda graafiliselt. Ükskõik millist neist saab kasutada eraldi.
Kasutades samaväärseid teisendusi
Lineaarvõrratuse lahendamiseks kujul a x + b< 0 (≤ , >, ≥), on vaja rakendada ekvivalentseid võrratuseteisendusi. Koefitsient võib olla null või mitte. Vaatleme mõlemat juhtumit. Selle väljaselgitamiseks peate järgima skeemi, mis koosneb kolmest punktist: protsessi olemus, algoritm ja lahendus ise.
4. definitsioon
Algoritm lineaarse ebavõrdsuse lahendamiseks a x + b< 0 (≤ , >, ≥) kui ≠ 0
- arv b nihutatakse vastupidise märgiga võrratuse paremale poole, mis võimaldab meil jõuda ekvivalendi a x< − b (≤ , > , ≥) ;
- Ebavõrdsuse mõlemad pooled jagatakse arvuga, mis ei ole 0. Veelgi enam, kui a on positiivne, jääb märk alles, kui a on negatiivne, muutub see vastupidiseks.
Vaatleme selle algoritmi rakendamist näidete lahendamiseks.
Näide 1
Lahendage vormi 3 x + 12 ≤ 0 võrratus.
Lahendus
Sellel lineaarsel võrratusel on a = 3 ja b = 12. See tähendab, et x koefitsient a ei ole võrdne nulliga. Rakendame ülaltoodud algoritme ja lahendame selle.
On vaja nihutada liige 12 teise võrratuse ossa ja muuta selle ees olevat märki. Siis saame võrratuse kujul 3 x ≤ − 12. Mõlemad osad tuleb jagada 3-ga. Märk ei muutu, kuna 3 on positiivne arv. Saame, et (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, mis annab tulemuseks x ≤ − 4.
Võrratus kujul x ≤ − 4 on ekvivalentne. See tähendab, et 3 x + 12 ≤ 0 lahendus on mis tahes reaalarv, mis on väiksem kui 4 või sellega võrdne. Vastus kirjutatakse ebavõrdsusena x ≤ − 4 või vormi (− ∞, − 4] arvvahemikuna).
Kogu ülalkirjeldatud algoritm on kirjutatud järgmiselt:
3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ – 12; x ≤ – 4 .
Vastus: x ≤ − 4 või (− ∞ , − 4 ] .
Näide 2
Märkige ebavõrdsuse − 2, 7 · z > 0 kõik saadaolevad lahendid.
Lahendus
Tingimusest näeme, et koefitsient a z jaoks on võrdne -2,7 ja b selgelt puudub või on võrdne nulliga. Te ei saa kasutada algoritmi esimest sammu, vaid liikuda kohe teise juurde.
Jagame võrrandi mõlemad pooled arvuga - 2, 7. Kuna arv on negatiivne, on vaja ebavõrdsuse märk ümber pöörata. See tähendab, et saame, et (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .
Kirjutame kogu algoritmi lühidalt:
− 2, 7 z > 0; z< 0 .
Vastus: z< 0 или (− ∞ , 0) .
Näide 3
Lahendage võrratus - 5 x - 15 22 ≤ 0.
Lahendus
Tingimuse järgi näeme, et on vaja lahendada ebavõrdsus koefitsiendiga a muutuja x jaoks, mis on võrdne - 5, koefitsiendiga b, mis vastab murdarvule - 15 22. Ebavõrdsus tuleb lahendada algoritmi järgides, see tähendab: liigutage - 15 22 teisele vastupidise märgiga osale, jagage mõlemad osad -5-ga, muutke ebavõrdsuse märki:
5 x ≤ 15 22; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22
Viimase parema külje ülemineku ajal kasutatakse arvu jagamise reeglit erinevate märkidega 15 22: - 5 = - 15 22: 5, mille järel jagame hariliku murdosa naturaalarvuga - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .
Vastus: x ≥ - 3 22 ja [ - 3 22 + ∞) .
Vaatleme juhtumit, kui a = 0. Vormi a x + b lineaaravaldis< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.
Kõik põhineb ebavõrdsuse lahenduse leidmisel. Mis tahes x väärtuse korral saame arvulise ebavõrdsuse kujul b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.
Vaatleme kõiki otsuseid lineaarsete võrratuste 0 x + b lahendamise algoritmi kujul< 0 (≤ , > , ≥) :
Definitsioon 5
Vormi arvuline ebavõrdsus b< 0 (≤ , >, ≥) on tõene, siis on algsel võrratusel mis tahes väärtuse lahendus ja see on väär, kui algsel võrratusel pole lahendeid.
Näide 4
Lahendage võrratus 0 x + 7 > 0.
Lahendus
See lineaarne võrratus 0 x + 7 > 0 võib võtta mis tahes väärtuse x. Siis saame võrratuse kujul 7 > 0. Viimast ebavõrdsust peetakse tõeseks, mis tähendab, et selle lahenduseks võib olla mis tahes arv.
Vastus: intervall (− ∞ , + ∞) .
Näide 5
Leidke lahend ebavõrdsusele 0 x − 12, 7 ≥ 0.
Lahendus
Mis tahes arvu muutuja x asendamisel saame, et ebavõrdsus on kujul − 12, 7 ≥ 0. See on vale. See tähendab, et 0 x − 12, 7 ≥ 0 ei sisalda lahendusi.
Vastus: lahendusi pole.
Vaatleme lineaarsete võrratuste lahendamist, kus mõlemad koefitsiendid on võrdsed nulliga.
Näide 6
Määrake lahendamatu võrratus väärtustest 0 x + 0 > 0 ja 0 x + 0 ≥ 0.
Lahendus
Asendades x asemel suvalise arvu, saame kaks võrratust kujul 0 > 0 ja 0 ≥ 0. Esimene on vale. See tähendab, et 0 x + 0 > 0-l pole lahendeid ja 0 x + 0 ≥ 0-l on lõpmatu arv lahendeid, see tähendab suvaline arv.
Vastus: võrratusel 0 x + 0 > 0 pole lahendeid, aga 0 x + 0 ≥ 0-l on lahendid.
Seda meetodit käsitletakse kooli matemaatika kursuses. Intervallmeetod on võimeline lahendama erinevat tüüpi ebavõrdsust, sealhulgas lineaarseid.
Intervallmeetodit kasutatakse lineaarsete võrratuste korral, kui koefitsiendi x väärtus ei ole 0. Vastasel juhul peate arvutama teistsugust meetodit kasutades.
Definitsioon 6
Intervalli meetod on:
- funktsiooni y = a · x + b tutvustamine;
- nullide otsimine, et jagada definitsioonipiirkond intervallideks;
- märkide määratlemine nende mõistete jaoks intervallidel.
Koostame algoritmi lineaarvõrrandite a x + b lahendamiseks< 0 (≤ , >, ≥) ≠ 0 puhul, kasutades intervallmeetodit:
- funktsiooni y = a · x + b nullpunktide leidmine võrrandi kujul a · x + b = 0 lahendamiseks. Kui a ≠ 0, on lahenduseks üks juur, mis võtab tähise x 0;
- koordinaatjoone konstrueerimine punkti kujutisega, mille koordinaat on 0, range ebavõrdsuse korral tähistatakse punkt punktiga;
- funktsiooni y = a · x + b märkide määramine intervallidel, selleks on vaja leida funktsiooni väärtused intervalli punktides;
- ebavõrdsuse lahendamine koordinaatjoonel märkidega > või ≥, lisades positiivsele intervallile varjutuse,< или ≤ над отрицательным промежутком.
Vaatame mitmeid näiteid lineaarsete võrratuste lahendamisest intervallmeetodil.
Näide 6
Lahendage võrratus − 3 x + 12 > 0.
Lahendus
Algoritmist järeldub, et kõigepealt tuleb leida võrrandi juur − 3 x + 12 = 0. Saame, et − 3 · x = − 12 , x = 4 . On vaja tõmmata koordinaatjoon, kuhu märgime punkti 4. See torgatakse, sest ebavõrdsus on range. Mõelge allolevale joonisele.
Märgid on vaja kindlaks määrata intervallidega. Selle määramiseks intervallil (− ∞, 4) on vaja arvutada funktsioon y = − 3 x + 12, kui x = 3. Siit saame, et − 3 3 + 12 = 3 > 0. Intervalli märk on positiivne.
Määrame märgi intervallist (4, + ∞), seejärel asendame väärtusega x = 5. Meil on, et − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.
Lahendame ebavõrdsuse märgiga > ja varjutamine toimub positiivse intervalli ulatuses. Mõelge allolevale joonisele.
Jooniselt on selgelt näha, et soovitud lahendus on kujul (− ∞ , 4) või x< 4 .
Vastus: (− ∞ , 4) või x< 4 .
Graafilise kujutamise mõistmiseks on vaja võtta näitena 4 lineaarset ebavõrdsust: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 ja 0, 5 x − 1 ≥ 0. Nende lahendused on x väärtused< 2 , x ≤ 2 , x >2 ja x ≥ 2. Selleks joonistame allpool näidatud lineaarfunktsiooni y = 0, 5 x − 1.
Selge see
Definitsioon 7
- võrratuse 0, 5 x − 1 lahendamine< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
- lahendit 0, 5 x − 1 ≤ 0 loetakse vahemikuks, kus funktsioon y = 0, 5 x − 1 on väiksem kui O x või langeb kokku;
- lahendit 0, 5 · x − 1 > 0 loetakse intervalliks, funktsioon asub O x kohal;
- lahendit 0, 5 · x − 1 ≥ 0 loetakse intervalliks, kus O x või kohal olev graafik langeb kokku.
Võrratuste graafilise lahendamise mõte on leida intervallid, mida on vaja graafikul kujutada. Sel juhul leiame, et vasakul küljel on y = a · x + b ja paremal küljel on y = 0 ning see langeb kokku O x-ga.
Definitsioon 8Joonistatakse funktsiooni y = a x + b graafik:
- lahendades võrratuse a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
- võrratuse a · x + b ≤ 0 lahendamisel määratakse intervall, kus graafik on kujutatud O x telje all või langeb kokku;
- võrratuse a · x + b > 0 lahendamisel määratakse intervall, kus graafik on kujutatud O x kohal;
- Võrratuse a · x + b ≥ 0 lahendamisel määratakse intervall, kus graafik asub O x kohal või langeb kokku.
Näide 7
Lahendage võrratus - 5 · x - 3 > 0 graafiku abil.
Lahendus
On vaja koostada lineaarfunktsiooni graafik - 5 · x - 3 > 0. See joon väheneb, kuna x koefitsient on negatiivne. Selle ja O x - 5 · x - 3 > 0 lõikepunkti koordinaatide määramiseks saame väärtuse - 3 5. Kujutame seda graafiliselt.
Lahendades võrratuse märgiga >, siis tuleb tähelepanu pöörata O x kohal olevale intervallile. Tõstkem punasega esile lennuki vajalik osa ja saame selle
Vajalik vahe on osa O x punane. See tähendab, et avatud arvukiir - ∞ , - 3 5 on ebavõrdsuse lahendus. Kui tingimuse järgi oleks meil mitterange ebavõrdsus, siis oleks ka punkti väärtus 3 5 ebavõrdsuse lahendus. Ja see langeks kokku O x-ga.
Vastus: - ∞ , - 3 5 või x< - 3 5 .
Graafilist lahendust kasutatakse juhul, kui vasak pool vastab funktsioonile y = 0 x + b, st y = b. Siis on sirge paralleelne O x-ga või langeb kokku punktiga b = 0. Need juhtumid näitavad, et ebavõrdsusel ei pruugi olla lahendeid või lahendus võib olla suvaline arv.
Näide 8
Määrake võrratuste 0 x + 7 põhjal< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.
Lahendus
y = 0 x + 7 esitus on y = 7, siis antakse koordinaattasand sirgega, mis on paralleelne O x -ga ja asub O x kohal. Seega 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.
Funktsiooni y = 0 x + 0 graafik loetakse y = 0, see tähendab, et sirge langeb kokku O x-ga. See tähendab, et võrratusel 0 x + 0 ≥ 0 on palju lahendeid.
Vastus: Teisel võrratusel on lahendus mis tahes x väärtuse jaoks.
Lineaarseks taanduvad ebavõrdsused
Võrratuste lahendi saab taandada lineaarvõrrandi lahendiks, mida nimetatakse lineaarseks taanduvateks võrratusteks.
Neid ebavõrdsusi käsitleti koolikursuses, kuna tegemist oli ebavõrdsuse lahendamise erijuhtumiga, mis tõi kaasa sulgude avamise ja sarnaste mõistete vähendamise. Näiteks arvestage, et 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.
Eespool toodud ebavõrdsused taandatakse alati lineaarvõrrandi kujule. Pärast seda avatakse sulud ja antakse sarnased terminid, mis on erinevatest osadest üle kantud, muutes märgi vastupidiseks.
Võrratuse 5 − 2 x > 0 taandamisel lineaarseks esitame selle nii, et see on kujul − 2 x + 5 > 0 ja teise taandamiseks saame, et 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Vaja on avada sulud, tuua sarnased terminid, nihutada kõik terminid vasakule ja tuua sarnased terminid. See näeb välja selline:
7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ 5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0
See viib lahenduse lineaarse ebavõrdsuseni.
Neid ebavõrdsusi peetakse lineaarseteks, kuna neil on sama lahenduspõhimõte, mille järel on võimalik need taandada elementaarvõrratusteks.
Seda tüüpi ebavõrdsuse lahendamiseks on vaja see taandada lineaarseks. Seda tuleks teha järgmiselt:
Definitsioon 9
- avatud sulud;
- koguda vasakule muutujaid ja paremale numbreid;
- anna sarnaseid termineid;
- jaga mõlemad pooled koefitsiendiga x.
Näide 9
Lahendage võrratus 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.
Lahendus
Avame sulud, siis saame ebavõrdsuse kujul 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. Pärast sarnaste liikmete vähendamist saame 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Pärast terminite liigutamist vasakult paremale leiame, et 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Seega on 0 x + 32 ≤ 0 arvutamisel saadud ebavõrdsus kujul 32 ≤ 0. On näha, et ebavõrdsus on väär, mis tähendab, et tingimusega antud võrratusel pole lahendeid.
Vastus: lahendusi pole.
Väärib märkimist, et on palju muid ebavõrdsuse tüüpe, mida saab taandada ülaltoodud tüüpi lineaarseteks või ebavõrdsusteks. Näiteks 5 2 x − 1 ≥ 1 on eksponentsiaalvõrrand, mis taandub lahendiks lineaarkujul 2 x − 1 ≥ 0. Neid juhtumeid võetakse seda tüüpi ebavõrdsuse lahendamisel arvesse.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Jätkame süvenemist teemasse "Ebavõrdsuse lahendamine ühe muutujaga". Lineaarsed ja ruutvõrratused on meile juba tuttavad. Need on erijuhtumid ratsionaalsed ebavõrdsused, mida me nüüd uurime. Alustuseks selgitame välja, millist tüüpi ebavõrdsust nimetatakse ratsionaalseks. Järgmisena vaatleme nende jagunemist terveteks ratsionaalseteks ja osalisteks ratsionaalseteks ebavõrdsusteks. Ja pärast seda uurime, kuidas lahendada ratsionaalseid ebavõrdsusi ühe muutujaga, kirjutame üles vastavad algoritmid ja kaalume lahendusi tüüpnäidetele koos üksikasjalike selgitustega.
Leheküljel navigeerimine.
Mis on ratsionaalne ebavõrdsus?
Kooli algebratundides kohtame kohe, kui algab vestlus ebavõrdsuse lahendamisest, ratsionaalse ebavõrdsusega. Esialgu neid aga nimepidi ei kutsuta, kuna praeguses etapis ei paku ebavõrdsuse tüübid suurt huvi ning põhieesmärk on omandada esmased oskused ebavõrdsusega töötamiseks. Mõistet “ratsionaalne ebavõrdsus” tutvustatakse hiljem 9. klassis, kui alustatakse seda tüüpi ebavõrdsuse üksikasjalikku uurimist.
Uurime välja, mis on ratsionaalne ebavõrdsus. Siin on määratlus:
Väljatoodud definitsioon ei ütle midagi muutujate arvu kohta, mis tähendab, et neid on lubatud suvaline arv. Sõltuvalt sellest eristatakse ratsionaalseid ebavõrdsusi ühe, kahe jne. muutujad. Muide, õpik annab sarnase definitsiooni, kuid ühe muutujaga ratsionaalsetele ebavõrdsustele. See on arusaadav, kuna kool keskendub ühe muutujaga ebavõrdsuste lahendamisele (allpool räägime ka ainult ratsionaalsete ebavõrdsuste lahendamisest ühe muutujaga). Kahe muutujaga ebavõrdsused peetakse väheks ja kolme või enama muutujaga ebavõrdsusele ei pöörata praktiliselt mingit tähelepanu.
Seega saab ratsionaalse ebavõrdsuse ära tunda selle märgistuse järgi, vaadake lihtsalt selle vasakul ja paremal küljel olevaid väljendeid ja veenduge, et need on ratsionaalsed avaldised. Need kaalutlused võimaldavad meil tuua näiteid ratsionaalse ebavõrdsuse kohta. Näiteks x>4 , x 3 +2 y≤5 (y-1) (x 2 +1), on ratsionaalne ebavõrdsus. Ja ebavõrdsus 
ei ole ratsionaalne, kuna selle vasak pool sisaldab muutujat juurmärgi all ja seetõttu ei ole see ratsionaalne avaldis. Ebavõrdsus pole ka ratsionaalne, kuna selle mõlemad osad ei ole ratsionaalsed väljendid.
Edasise kirjeldamise hõlbustamiseks tutvustame ratsionaalsete võrratuste jagamist täis- ja murdosadeks.
Definitsioon.
Nimetame ratsionaalset ebavõrdsust terve, kui selle mõlemad osad on terved ratsionaalsed avaldised.
Definitsioon.
Fraktsionaalne ratsionaalne ebavõrdsus on ratsionaalne ebavõrdsus, millest vähemalt üks osa on murdavaldis.
Seega 0,5 x≤3 (2–5 aastat), 
on täisarvude võrratused ja 1:x+3>0 ja 
- murdosaliselt ratsionaalne.
Nüüd on meil selge arusaam sellest, mis on ratsionaalne ebavõrdsus, ja saame rahulikult hakata mõistma ühe muutujaga täisarvu ja murdarvulise ratsionaalse ebavõrdsuse lahendamise põhimõtteid.
Kogu ebavõrdsuse lahendamine
Teeme endale ülesande: oletame, et peame lahendama terve ratsionaalse ebavõrdsuse ühe muutujaga x kujul r(x)
Liigutame avaldise paremalt küljelt vasakule, mis viib meid ekvivalentse võrratuseni kujul r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) nulliga paremal. Ilmselgelt on ka vasakul pool moodustatud avaldis r(x)−s(x) täisarv ja on teada, et iga . Pärast avaldise r(x)−s(x) teisendamist identselt võrdseks polünoomiks h(x) (siinkohal märgime, et avaldistel r(x)−s(x) ja h(x) on sama muutuja x ), liigume edasi samaväärse võrratuse h(x) juurde<0 (≤, >, ≥).
Lihtsamal juhul piisab soovitud lahenduse saamiseks sooritatud teisendustest, kuna need viivad meid kogu algsest ratsionaalsest ebavõrdsusest ebavõrdsuseni, mida me teame lahendada, näiteks lineaarse või ruutkeskmise võrratuseni. Vaatame näiteid.
Näide.
Leia lahendus tervele ratsionaalsele võrrandile x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1.
Lahendus.
Kõigepealt liigutame avaldise paremalt küljelt vasakule: x·(x+3)+2·x−(x+1) 2 −1≤0. Olles lõpetanud kõik vasakul pool, jõuame lineaarse võrratuseni 3 x−2≤0, mis on võrdne algse täisarvu võrratusega. Lahendus pole keeruline:
3 x ≤ 2,
x≤2/3.
Vastus:
x≤2/3.
Näide.
Lahendage ebavõrdsus (x 2 +1) 2 -3 x 2 > (x 2 -x) (x 2 +x).
Lahendus.
Alustame nagu tavaliselt, avaldise ülekandmisega paremalt küljelt ja seejärel teostame vasakpoolsed teisendused, kasutades:
(x 2 +1) 2 -3 x 2 - (x 2 -x) (x 2 +x)>0,
x 4 +2 x 2 +1−3 x 2 −x 4 +x 2 >0,
1>0
.
Seega, sooritades ekvivalentteisendusi, jõudsime võrratuseni 1>0, mis kehtib muutuja x mis tahes väärtuse korral. See tähendab, et algse täisarvu ebavõrdsuse lahendus on mis tahes reaalarv.
Vastus:
x - mis tahes.
Näide.
Lahendage ebavõrdsus x+6+2 x 3 −2 x (x 2 +x−5)>0.
Lahendus.
Paremal küljel on null, seega pole vaja sealt midagi liigutada. Teisendame kogu vasakpoolse avaldise polünoomiks:
x+6+2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 +10 x>0,
−2 x 2 +11 x+6>0 .
Saime ruutvõrratuse, mis on samaväärne algse võrratusega. Lahendame selle mistahes meile teadaoleva meetodiga. Lahendame ruutvõrratuse graafiliselt.
Leidke ruuttrinoomi −2 x 2 +11 x+6 juured: 
Teeme skemaatilise joonise, millele märgime leitud nullid, ja võtame arvesse, et parabooli harud on suunatud allapoole, kuna juhtiv koefitsient on negatiivne: 
Kuna me lahendame võrratuse > märgiga, siis huvitab meid intervallid, milles parabool asub x-telje kohal. See toimub intervallil (-0,5, 6), mis on soovitud lahendus.
Vastus:
(−0,5, 6) .
Keerulisematel juhtudel saadud võrratuse h(x) vasakul küljel<0 (≤, >, ≥) on kolmanda või kõrgema astme polünoom. Selliste võrratuste lahendamiseks sobib intervallmeetod, mille esimeses etapis tuleb leida kõik polünoomi h(x) juured, mida sageli tehakse läbi .
Näide.
Leia lahendus tervele ratsionaalsele ebavõrdsusele (x 2 +2)·(x+4)<14−9·x .
Lahendus.
Liigutame kõik vasakule poole, mille järel on:
(x 2 +2)·(x+4)−14+9·x<0
,
x 3 +4 x 2 +2 x+8−14+9 x<0
,
x 3 +4 x 2 +11 x−6<0
.
Tehtud manipulatsioonid viivad meid ebavõrdsuseni, mis on samaväärne algse ebavõrdsusega. Selle vasakul küljel on kolmanda astme polünoom. Seda saab lahendada intervallmeetodi abil. Selleks tuleb kõigepealt leida polünoomi juured, mis toetub x 3 +4 x 2 +11 x−6=0. Uurime, kas sellel on ratsionaalsed juured, mis võivad olla ainult vaba liikme jagajate hulgas, see tähendab arvude ±1, ±2, ±3, ±6 hulgas. Asendades need arvud kordamööda muutuja x asemel võrrandisse x 3 +4 x 2 +11 x−6=0, saame teada, et võrrandi juurteks on arvud 1, 2 ja 3. See võimaldab esitada polünoomi x 3 +4 x 2 +11 x−6 korrutisena (x−1) (x−2) (x−3) ja ebavõrdsust x 3 +4 x 2 +11 x− 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.
Ja siis jääb üle teha ainult intervallmeetodi standardsammud: märkida numbrireale punktid koordinaatidega 1, 2 ja 3, mis jagavad selle rea neljaks intervalliks, määrata ja paigutada märgid, joonistada varjutus. intervallid miinusmärgiga (kuna lahendame miinusmärgiga ebavõrdsust<) и записать ответ.
Kust meil on (−∞, 1)∪(2, 3) .
Vastus:
(−∞, 1)∪(2, 3) .
Tuleb märkida, et mõnikord ei sobi see võrratusest r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) minge võrratusse h(x)<0 (≤, >, ≥), kus h(x) on polünoom, mille aste on suurem kui kaks. See kehtib juhtude kohta, kus polünoomi h(x) faktorieerimine on keerulisem kui avaldise r(x)−s(x) esitamine lineaarsete binoomide ja ruuttrinoomide korrutisena, näiteks ühistegurit välja arvutades. . Selgitame seda näitega.
Näide.
Lahendage ebavõrdsus (x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)≥2·x·(x 2 −2·x−1).
Lahendus.
See on täielik ebavõrdsus. Kui liigutada avaldist selle paremalt küljelt vasakule, seejärel avada sulud ja lisada sarnased terminid, saame ebavõrdsuse x 4 −4 x 3 −16 x 2 +40 x+19≥0. Selle lahendamine on väga keeruline, kuna see hõlmab neljanda astme polünoomi juurte leidmist. On lihtne kontrollida, et sellel pole ratsionaalseid juuri (need võivad olla numbrid 1, −1, 19 või −19), kuid selle teisi juuri on problemaatiline otsida. Seetõttu on see tee tupiktee.
Otsime teisi võimalikke lahendusi. On lihtne näha, et pärast avaldise ülekandmist algse täisarvu võrratuse paremalt küljelt vasakule saame sulgudest välja võtta ühisteguri x 2 −2 x−1:
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)−2·x·(x 2 −2·x−1)≥0,
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −2·x−19)≥0.
Teostatud teisendus on samaväärne, seetõttu on saadud ebavõrdsuse lahendus ka algse võrratuse lahendus.
Ja nüüd leiame avaldise nullid, mis asuvad saadud võrratuse vasakul küljel, selleks on vaja x 2 −2·x−1=0 ja x 2 −2·x−19=0. Nende juured on arvud 
. See võimaldab meil minna ekvivalentsele ebavõrdsusele ja saame selle lahendada intervallmeetodi abil: 
Vastuse kirjutame üles vastavalt joonisele.
Vastus:
Selle punkti lõpetuseks tahaksin vaid lisada, et alati pole võimalik leida kõiki polünoomi h(x) juuri ja selle tulemusena laiendada seda lineaarsete binoomide ja ruuttrinoomide korrutiseks. Nendel juhtudel ei ole võimalik ebavõrdsust h(x) lahendada<0 (≤, >, ≥), mis tähendab, et algsele täisarvulisele ratsionaalsele võrrandile ei ole võimalik lahendust leida.
Murdratsionaalvõrratuste lahendamine
Nüüd lahendame järgmise ülesande: oletame, et peame lahendama murdarvulise ratsionaalse võrratuse ühe muutujaga x kujul r(x)
Murdratsionaalvõrratuste lahendamise algoritmühe muutujaga r(x)
- Kõigepealt peate leidma algse ebavõrdsuse muutuja x aktsepteeritavate väärtuste vahemiku (APV).
- Järgmiseks tuleb avaldis nihutada võrratuse paremalt küljelt vasakule ja teisendada seal moodustatud avaldis r(x)−s(x) murruks p(x)/q(x) , kus p(x) ja q(x) on täisarvud, mis on lineaarsete binoomide, lagunematute ruuttrinoomide ja nende naturaalastendajate astmete korrutised.
- Järgmiseks peame lahendama saadud ebavõrdsuse intervallmeetodi abil.
- Lõpuks tuleb eelmises etapis saadud lahendusest välja jätta punktid, mis ei sisaldu muutuja x ODZ-s esimeses etapis leitud algse võrratuse jaoks.
Nii saadakse soovitud lahendus murdosa ratsionaalsele ebavõrdsusele.
Algoritmi teine samm nõuab selgitust. Avaldise ülekandmine võrratuse paremalt küljelt vasakule annab ebavõrdsuse r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), mis on samaväärne originaaliga. Siin on kõik selge. Kuid küsimusi tekitab selle edasine teisendamine kujule p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥).
Esimene küsimus on: "Kas seda on alati võimalik teostada"? Teoreetiliselt jah. Teame, et kõik on võimalik. Ratsionaalmurru lugeja ja nimetaja sisaldavad polünoome. Ja algebra põhiteoreemist ja Bezouti teoreemist järeldub, et iga ühe muutujaga n-astme polünoomi saab esitada lineaarsete binoomide korrutisena. See seletab selle teisenduse teostamise võimalust.
Praktikas on polünoomide faktorite tegemine üsna keeruline ja kui nende aste on suurem kui neli, siis pole see alati võimalik. Kui faktoriseerimine on võimatu, siis esialgsele ebavõrdsusele lahendust ei leia, kuid koolis selliseid juhtumeid tavaliselt ei esine.
Teine küsimus: "Kas ebavõrdsus p(x)/q(x)<0
(≤, >, ≥) on samaväärne ebavõrdsusega r(x)−s(x)<0
(≤, >, ≥) ja seega originaalile”? See võib olla samaväärne või ebavõrdne. See on samaväärne, kui avaldise p(x)/q(x) ODZ langeb kokku avaldise r(x)−s(x) ODZ-ga. Sel juhul on algoritmi viimane samm üleliigne. Kuid avaldise p(x)/q(x) ODZ võib olla laiem kui avaldise r(x)−s(x) ODZ. ODZ laienemine võib toimuda fraktsioonide vähendamisel, näiteks liikumisel 
. Samuti saab ODZ laienemist hõlbustada sarnaste terminite toomisega, nagu näiteks kolimisel 
. Selle juhtumi jaoks on mõeldud algoritmi viimane samm, mille puhul ODZ laienemisest tulenevad kõrvalised otsused on välistatud. Järgime seda, kui vaatame allolevate näidete lahendusi.
Ebavõrdsus on avaldis, mille väärtus on, ≤ või ≥. Näiteks 3x - 5 ebavõrdsuse lahendamine tähendab muutujate kõigi väärtuste leidmist, mille puhul ebavõrdsus on tõene. Kõik need arvud on ebavõrdsuse lahendus ja kõigi selliste lahenduste hulk on tema palju lahendusi. Nimetatakse võrratusi, millel on sama lahendite hulk samaväärsed ebavõrdsused.
Lineaarsed ebavõrdsused
Võrratuste lahendamise põhimõtted on sarnased võrrandite lahendamise põhimõtetega.Ebavõrdsuse lahendamise põhimõtted
Mis tahes reaalarvude a, b ja c korral:
Võrratuste liitmise põhimõte: Kui a Ebavõrdsuse korrutamise põhimõte: Kui 0 on tõene, siis ac Kui bc on samuti tõene.
Sarnased väited kehtivad ka a ≤ b kohta.
Kui võrratuse mõlemad pooled korrutatakse negatiivse arvuga, tuleb võrratuse märk ümber pöörata.
Esimese tasandi ebavõrdsusi, nagu näites 1 (allpool), nimetatakse lineaarsed ebavõrdsused.
Näide 1 Lahendage kõik järgmised võrratused. Seejärel joonistage lahenduste komplekt.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Lahendus
Lahenduseks on mis tahes arv, mis on väiksem kui 11/5.
Lahenduste hulk on (x|x
Kontrollimiseks saame joonistada graafiku y 1 = 3x - 5 ja y 2 = 6 - 2x. Siis on selge, et x jaoks 
Lahendushulk on (x|x ≤ 1) või (-∞, 1] Lahendushulga graafik on näidatud allpool. 
Kahekordne ebavõrdsus
Kui kaks ebavõrdsust on ühendatud sõnaga Ja, või, siis see moodustub kahekordne ebavõrdsus. Topelt ebavõrdsus meeldib
-3
Ja 2x + 5 ≤ 7
helistas ühendatud, sest see kasutab Ja. Kirje -3 Topeltvõrratusi saab lahendada võrratuste liitmise ja korrutamise põhimõtete abil.
Näide 2 Lahenda -3 Lahendus Meil on
Lahenduste hulk (x|x ≤ -1 või x > 3). Lahenduse saame kirjutada ka kasutades intervallmärki ja sümbolit for ühendused või sisaldab mõlemat hulka: (-∞ -1] (3, ∞). Lahendushulga graafik on näidatud allpool. 
Kontrollimiseks joonistagem y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 ja y 3 = 1. Pange tähele, et (x|x ≤ -1 jaoks või x > 3), y 1 ≤ y 2 või y 1 > y 3 . 
Ebavõrdsused absoluutväärtusega (moodul)
Ebavõrdsused sisaldavad mõnikord mooduleid. Nende lahendamiseks kasutatakse järgmisi omadusi.
Kui väärtus on > 0 ja algebraline avaldis x:
|x| |x| > a on samaväärne x või x > a.
Sarnased väited |x| jaoks ≤ a ja |x| ≥ a.
Näiteks,
|x| |y| ≥ 1 on samaväärne y ≤ -1-ga või y ≥ 1;
ja |2x + 3| ≤ 4 võrdub -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.
Näide 4 Lahendage kõik järgmised võrratused. Joonistage lahenduste hulk.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1
Lahendus
a) |3x + 2|
b) |5 - 2x| ≥ 1
Lahenduste hulk on (x|x ≤ 2 või x ≥ 3) või (-∞, 2] )
