Mõistete graafiline esitus Euleri ringide abil. Loogikaülesanded ja Euleri ringid. Ühilduvad ja kokkusobimatud mõisted

Leonhard Euler - suurim matemaatik kirjutas üle 850 teadusliku artikli.Ühes neist tekkisid need ringid.

Teadlane kirjutas selle"Need sobivad meie peegelduste hõlbustamiseks väga hästi."

Euleri ringid on geomeetriline diagramm, mis aitab nähtuste ja mõistete vahel loogilisi seoseid leida ja/või selgemaks teha. Samuti aitab see kujutada komplekti ja selle osa vahelist suhet.

Probleem 1

Reisile suunduvast 90 turistist räägib saksa keelt 30, inglise keelt 28, prantsuse keelt 42 inimest.Inglise ja saksa keelt räägib korraga 8 inimest, inglise ja prantsuse keelt 10 inimest, saksa ja prantsuse keelt 5 inimest, kõiki kolme keelt 3 inimest. Kui palju turiste ei räägi ühtegi keelt?

Lahendus:

Näitame ülesande seisukorda graafiliselt – kasutades kolme ringi

Vastus: 10 inimest.

Probleem 2

Paljud meie klassi lapsed armastavad jalgpalli, korvpalli ja võrkpalli. Ja mõnel on isegi kaks või kolm sellist spordiala. Teatavasti mängib klassist 6 inimest ainult võrkpalli, 2 - ainult jalgpalli, 5 - ainult korvpalli. Võrk- ja jalgpalli saavad mängida ainult 3 inimest, jalgpalli ja korvpalli mängida saavad 2 inimest, võrk- ja korvpalli saab mängida üks inimene, 7 ei saa mängida ühtegi mängu. Vaja leida:

Mitu inimest on klassis?

Kui palju inimesi saab jalgpalli mängida?

Kui palju inimesi saab võrkpalli mängida?

Probleem 3

Lastelaagris oli 70 last. Neist 20 on seotud draamaklubiga, 32 laulab kooris, 22 armastab sporti. Draamaklubis on 10 koorilast, kooris 6 sportlast, draamaklubis 8 sportlast ning nii draamaringis kui ka kooris käib 3 sportlast. Kui paljud lapsed ei laula kooris, ei tunne huvi spordi vastu ega tegele draamaklubiga? Kui paljud mehed tegelevad ainult spordiga?

Probleem 4

Ettevõtte töötajatest külastas Prantsusmaad 16, Itaaliat 10, Inglismaad 6. Inglismaal ja Itaalias - viis, Inglismaal ja Prantsusmaal - 6, kõigis kolmes riigis - 5 töötajat. Kui palju inimesi on käinud nii Itaalias kui ka Prantsusmaal, kui ettevõttes töötab kokku 19 inimest ja igaüks neist on külastanud vähemalt ühte neist riikidest?

Probleem 5

Kuuenda klassi õpilased täitsid küsimustiku, milles küsiti oma lemmikmultikate kohta. Selgus, et enamikule neist meeldisid “Lumivalgeke ja seitse pöialpoissi”, “Käsva-Kalle” ja “Hunt ja vasikas”. Klassis on 38 õpilast. 21 õpilasele meeldivad Lumivalgeke ja seitse pöialpoissi. Veelgi enam, kolmele neist meeldivad ka “Hunt ja vasikas”, kuuele “Käsva-Kalle” ja ühele lapsele meeldivad võrdselt kõik kolm koomiksit. “Hundil ja vasikal” on 13 fänni, kellest viis nimetasid ankeedis kahte multifilmi. Peame kindlaks tegema, kui paljudele kuuenda klassi õpilastele Paavo meeldib.

Ülesanded õpilastele lahendada

1. Klassis on 35 õpilast. Kõik nad on kooli- ja rajooniraamatukogude lugejad. Neist 25 laenutab raamatuid kooli raamatukogust, 20 rajooni raamatukogust. Kui palju neist:

a) ei ole kooli raamatukogu lugejad;

b) ei ole piirkonnaraamatukogu lugejad;

c) on ainult kooli raamatukogu lugejad;

d) on ainult piirkonnaraamatukogu lugejad;

e) kas on mõlema raamatukogu lugejad?

2.Klassis õpib iga õpilane inglise või saksa keelt või mõlemat. Inglise keelt õpib 25, saksa keelt 27 ja mõlemat 18 inimest. Mitu õpilast on klassis?

3. Joonistage paberilehele ring pindalaga 78 cm2 ja ruut, mille pindala on 55 cm2. Ringi ja ruudu ristumisala on 30 cm2. Lehe selle osa, mis ei ole hõivatud ringi ja ruuduga, pindala on 150 cm2. Leidke lehe pindala.

4. Turistide grupis on 25 inimest. Nende hulgas on alla 30-aastaseid 20 ja üle 20-aastaseid 15 inimest. Kas see võib tõsi olla? Kui jah, siis millisel juhul?

5. Lasteaias käib 52 last. Igaüks neist armastab kooki või jäätist või mõlemat. Pooltele lastest maitseb kook ning 20 inimesele kook ja jäätis. Kui paljud lapsed armastavad jäätist?

6. Klassis on 36 inimest. Selle klassi õpilased käivad matemaatika-, füüsika- ja keemiaringides, kus matemaatikaringis käib 18 inimest, füüsikaringis 14 inimest, keemiaklassis 10 inimest. Lisaks on teada, et kõigis kolmes klubis käib 2 inimest, 8 inimest - nii matemaatika kui ka füüsikaringis. 5 - nii matemaatilised kui ka keemilised, 3 - nii füüsikalised kui ka keemilised ringid. Kui palju õpilasi klassis ei käi üheski klubis?

7. Pärast puhkust küsis klassijuhataja, kes lastest läks teatrisse, kinno või tsirkusesse. Selgus, et 36 õpilasest kaks polnud kunagi kinos, teatris ega tsirkuses käinud. Kinos käis 25 inimest; teatris - 11; tsirkuses - 17; nii kinos kui teatris - 6; nii kinos kui tsirkuses - 10; nii teatris kui tsirkuses - 4. Mitu inimest külastas korraga teatrit, kino ja tsirkust?

Ühtse riigieksami ülesannete lahendamine Euleri ringide abil

Probleem 1

Otsingumootori päringukeeles kasutatakse sümbolit "|" loogilise "OR"-operatsiooni tähistamiseks ja sümbolit "&" kasutatakse loogilise "AND"-operatsiooni tähistamiseks.

Ristleja ja lahingulaev? Eeldatakse, et kõik küsimused täidetakse peaaegu üheaegselt, nii et kõiki otsitavaid sõnu sisaldav lehekülgede hulk päringute täitmise ajal ei muutu.

Taotlus	Leitud lehti (tuhandetes)
Cruiser \| Lahingulaev	7000
Ristleja	4800
Lahingulaev	4500

Lahendus:

Euleri ringide abil kujutame ülesande tingimusi. Sel juhul kasutame saadud alade tähistamiseks numbreid 1, 2 ja 3.

Ülesande tingimustest lähtudes loome võrrandid:

Cruiser | Lahingulaev: 1 + 2 + 3 = 7000
Ristleja: 1 + 2 = 4800
Lahingulaev: 2 + 3 = 4500

Leidma Ristleja ja lahingulaev(joonisel tähistatud kui ala 2), asenda võrrand (2) võrrandiga (1) ja saate teada, et:

4800 + 3 = 7000, millest saame 3 = 2200.

Nüüd saame asendada selle tulemuse võrrandiga (3) ja teada saada, et:

2 + 2200 = 4500, millest 2 = 2300.

Vastus: 2300 - päringu alusel leitud lehekülgede arvRistleja ja lahingulaev.

Probleem 2

Otsingumootori päringukeeles tähistamiseks

Tabel näitab päringuid ja leitud lehekülgede arvu teatud Interneti-segmendi kohta.

Taotlus	Leitud lehti (tuhandetes)
Koogid \| Pirukad	12000
Koogid ja pirukad	6500
Pirukad	7700

Mitu lehekülge (tuhandetes) päringuga leitakse? Koogid?

Lahendus

Ülesande lahendamiseks kuvame Kookide ja Pirukate komplektid Euleri ringidena.

A B C).

Probleemi avaldusest järeldub:

Koogid │ Pirukad = A + B + C = 12 000

Koogid ja pirukad = B = 6500

Pirukad = B + C = 7700

Kookide arvu leidmiseks (koogid = A + B ), peame leidma sektori A koogid│pirukad ) lahutada pirukate hulk.

Koogid│pirukad – pirukad = A + B + C -(B + C) = A = 1200–7700 = 4300

Sektor A võrdub seega 4300-ga

Koogid = A + B = 4300+6500 = 10800

Probleem 3

|", ja loogilise operatsiooni "AND" puhul - sümbol "&".

Tabel näitab päringuid ja leitud lehekülgede arvu teatud Interneti-segmendi kohta.

Taotlus	Leitud lehti (tuhandetes)
Koogid ja küpsetamine	5100
Kook	9700
Kook \| Pagariäri	14200

Mitu lehekülge (tuhandetes) päringuga leitakse? Pagariäri?

Arvatakse, et kõik päringud täideti peaaegu samaaegselt, nii et kõiki otsitavaid sõnu sisaldav lehekülgede komplekt päringute täitmise ajal ei muutunud.

Lahendus

Probleemi lahendamiseks kuvame komplektid Koogid ja küpsetamine Euleri ringide kujul.

Tähistame iga sektorit eraldi tähega ( A B C).

Probleemi avaldusest järeldub:

Koogid ja kondiitritooted = B = 5100

Kook = A + B = 9700

Kook │ Saiakesed = A + B + C = 14200

Küpsetamise koguse leidmiseks (Küpsetamine = B + C ), peame leidma sektori IN , selleks üldkomplektist ( Kook │ Küpsetamine) lahutage komplekt Kook.

Kook │ Küpsetamine – kook = A + B + C -(A + B) = C = 14200–9700 = 4500

Sektor B on võrdne 4500-ga, seega Küpsetamine = B + C = 4500 + 5100 = 9600

Probleem 4
laskuv
Et näidataLoogiline operatsioon "OR" kasutab sümbolit "|", ja loogilise operatsiooni "AND" puhul - sümbol "&".
Lahendus

Kujutagem ette lambakoerte, terjerite ja spanjelite komplekte Euleri ringide kujul, mis tähistavad sektoreid tähtedega ( A B C D).

Koos paniels │ (terjerid ja lambakoerad) = G + B

Koos paniel│lambakoerad= G + B + C

spanjelid│terjerid│lambakoerad= A + B + C + D

terjerid ja lambakoerad = B

Järjestame päringu numbrid lehtede arvu kahanevas järjekorras:3 2 1 4

Probleem 5

Tabelis kuvatakse päringud otsinguserverile. Pange päringu numbrid järjekorda suureneb lehekülgede arv, mille otsingumootor iga päringu jaoks leiab.
Et näidataLoogiline operatsioon "OR" kasutab sümbolit "|", ja loogilise operatsiooni "AND" puhul - sümbol "&".

1	barokk \| klassitsism \| impeeriumi stiil
2	barokk \| (klassitsism ja impeeriumi stiil)
3	klassitsism ja ampiirstiil
4	barokk \| klassitsism

Lahendus

Kujutagem ette klassitsismi, impeeriumi stiili ja klassitsismi komplekte Euleri ringide kujul, mis tähistavad sektoreid tähtedega ( A B C D).

Teisendame probleemitingimuse sektorite summa kujul:

barokk│ klassitsism│impeerium = A + B + C + D
Barokk │ (klassitsism ja impeerium) = G + B
klassitsism ja ampiirstiil = B
barokk│klassitsism = G + B + A

Sektorite summadest näeme, milline päring tootis rohkem lehti.

Järjestame päringu numbrid lehtede arvu järgi kasvavas järjekorras:3 2 4 1

Probleem 6
Tabelis kuvatakse päringud otsinguserverile. Pange päringu numbrid järjekorda suureneb lehekülgede arv, mille otsingumootor iga päringu jaoks leiab.
Et näidataLoogiline operatsioon "OR" kasutab sümbolit "|", ja loogilise operatsiooni "AND" puhul - sümbol "&".

1	kanaarilind \| kuldnokad \| sisu
2	kanaarilind ja sisu
3	kanaarilinnud ja kuldnokad ja sisu
4	aretus ja pidamine ning kanaarilindude ja kuldvintide kasvatamine ja pidamine

Lahendus

Probleemi lahendamiseks kujutame ette päringuid Euleri ringide kujul.

K - kanaarilind,

Ш – kuldnokad,

R – aretus.

kanaarilind \| terjerid \| sisu	kanaarilind ja sisu	kanaarilinnud ja kuldnokad ja sisu	aretus ja pidamine ning kanaarilindude ja kuldvintide kasvatamine ja pidamine

Esimesel päringul on suurim varjutatud sektorite ala, siis teisel, siis kolmandal ja neljandal päringul on kõige väiksem ala.

Lehekülgede arvu järgi kasvavas järjekorras esitatakse taotlused järgmises järjekorras: 4 3 2 1

Pange tähele, et esimese päringu puhul sisaldavad Euleri ringide täidetud sektorid teise päringu täidetud sektoreid ja teise päringu täidetud sektorid kolmanda päringu täidetud sektoreid ning kolmanda päringu täidetud sektorid neljanda päringu täidetud sektor.

Ainult sellistel tingimustel saame olla kindlad, et oleme probleemi õigesti lahendanud.

Ülesanne 7 (2013. aasta ühtne riigieksam)

Otsingumootori päringukeeles kasutatakse sümbolit "|" loogilise "OR"-operatsiooni tähistamiseks ja sümbolit "&" kasutatakse loogilise "AND"-operatsiooni tähistamiseks.

Tabelis on näidatud teatud Interneti-segmendi päringud ja leitud lehtede arv.

Taotlus	Lehed leitud (tuhandetes)
Fregatt \| Hävitaja	3400
Fregatt ja hävitaja	900
Fregatt	2100

Mitu lehekülge (tuhandetes) päringuga leitakse? Hävitaja?
Arvatakse, et kõik päringud täideti peaaegu üheaegselt, nii et lehtede komplekt, mis sisaldas kõiki otsitavaid sõnu, päringute täitmise ajal ei muutunud.

Euleri ringid- üks lihtsamaid teemasid, mida vajate vastuvõtt 5. klassi füüsika-matemaatika lütseumidesse. Tegelikult, Euleri ringid pole midagi muud kui komplektide graafiline esitus. Sees asuvad kindla omadusega objektid Euleri-Venni ring need, kellel ei ole, on väljas. Loomulikult ei sisalda diagramm tavaliselt ühte ringi, vaid mitut, millest igaüks ühendab objektid mingi omadusega. Kõik selle ploki ülesanded taanduvad asjaolule, et mis tahes piirkonnas on vaja loendada elementide arv. Vaatame näiteid selle kohta, mida tuleb teha:

Ülesanded paljudele inimestele

Klassis on õpilased. õppida inglise, saksa ja prantsuse keelt. Inimesed ei oska ühtegi keelt. Samuti on teada, et kõigist lastest õpib ainult üks poiss keeli: inglise ja prantsuse keelt. Kui palju inimesi õpib keelt?

Ülesande lahendamiseks tähistame nõutavate õpilaste arvu kui (keelt õppijad). Erinevat arvu keeli õppivate õpilaste arvu saab väljendada probleemi tingimuste ja tingimuste kaudu. Euleri-Venni diagramm sel juhul näeb see välja selline: Näiteks poisid, kes oskavad ainult inglise keelt, on märgitud punasega ja nende number on .

Pange tähele, et me ei ole õpilaste koguarvu mingil viisil kasutanud - see tingimus genereerib võrrandi, millega probleem lahendatakse:

Selgub, et inimesed õpivad kõiki keeli (nüüd, teades , saate iseseisvalt rekonstrueerida, kui palju õpilasi klassis oli, ja kontrollida vastust)

Jagatavusprobleemid (keeruline jagatavus)

Need on keerukamad ülesanded. Soovitame esmalt teemaga tutvuda. Kohustuslik lugemine ainult neile, kes plaanivad auhindu võita.

Kui mitme arvu ja vahel on tõene järgmine väide: arv jagub arvuga või ei jagu?

Selline kohutav ja arusaamatu seisund muutub lihtsaks, kui kasutate Euleri ringid. On selge, et selles ülesandes käsitleme numbreid, mis - meid huvitavad vastavas ringis olevad. On ka numbreid, mis vdots 12 - meid huvitavad numbrid, mis on väljaspool. Aga kuidas on lood numbritega, mis kuuluvad mõlemasse komplekti? Esiteks, mis ühisvara neil on ja teiseks, kas need pakuvad meile huvi?

Vastame kõigepealt esimesele küsimusele. Selgub, et kui arv jagub samaaegselt kahe teise arvuga, siis jagub see arvuga Kõige vähem levinud mitu need kaks arvu, st minimaalse arvuga, mis jagub ilma jäägita mõlemaga. Arvude ja LCM-i jaoks pole midagi muud kui arv , kuna ja , ning selliste omadustega pole väiksemat arvu. Kokku on meie komplektide ristumiskohas arvud, mis .

Järgmisena tuleb märkida, et seda sõna kasutatakse tingimuses "VÕI". See tähendab, et vajalike arvude puhul peab VÄHEMALT ÜKS pakutud väidetest olema tõene (võimalik, et mõlemad). See tähendab, et meile sobivad nii numbrid, mis on arvuringi sees, mis on, kui ka kõik numbrid, mis on väljaspool ringi.

Niisiis, Euleri-Venni diagramm näeb välja selline: Varjutus näitab numbreid, mis tuleb leida. Nüüd, ma loodan, on ilmselge, et peame leidma, mitu numbrit on vaadeldavas ülesandes, lahutage sellest kogusest arvude arv ja lisage arvude arv, mis .

Nii et alustame:

Selgub, et vajalikud numbrid

Niisiis, teeme kokkuvõtte. Kui lähete astuda füüsika-matemaatika lütseumi 5. klassi, siis üldised teadmised Euleri-Venni ringid Sa vajad seda. Peamine rakendusvaldkond on probleemid, kus on teatud omadustega objektide komplektid ja on vaja leida objektide arv, millel on (või ei ole) määratud omaduste komplekt.

Sektsioonid: Arvutiteadus

1. Sissejuhatus

Põhikooli ja vanema kooli informaatika ja IKT kursusel käsitletakse selliseid olulisi teemasid nagu “Loogika alused” ja “Internetist info otsimine”. Teatud tüüpi ülesannete lahendamisel on mugav kasutada Euleri ringe (Euler-Venni diagrammid).

Matemaatiline viide. Euleri-Venni diagramme kasutatakse peamiselt hulgateoorias mitme hulga kõigi võimalike lõikumispunktide skemaatilise esitusena. Üldiselt esindavad nad kõiki 2 n kombinatsiooni n omadusest. Näiteks kui n=3 on Euleri-Venni diagramm tavaliselt kujutatud kolme ringina, mille keskpunktid on võrdkülgse kolmnurga tippudes ja sama raadiusega, mis on ligikaudu võrdne kolmnurga külje pikkusega.

2. Loogiliste konnektiivide kujutamine otsingupäringutes

Teema "Internetist teabe otsimine" uurimisel vaadeldakse näiteid otsingupäringutest, mis kasutavad loogilisi sidemeid, mille tähendus on sarnane vene keele sidesõnadega "ja", "või". Loogiliste konnektiivide tähendus saab selgemaks, kui illustreerida neid graafilise diagrammi abil - Euleri ringid (Euleri-Venni diagrammid).

Loogiline ühendus	Näidistaotlus	Selgitus	Euleri ringid
& - "JA"	Pariis & ülikool	Valitakse kõik lehed, mis mainivad mõlemat sõna: Pariis ja ülikool	Joonis 1
\| - "VÕI"	Pariis \| ülikool	Valituks osutuvad kõik lehed, kus on mainitud sõnu Pariis ja/või ülikool	Joonis 2

3. Loogikatehete seos hulgateooriaga

Loogikatehete ja hulgateooria vahelise seose visualiseerimiseks saab kasutada Euleri-Venni diagramme. Demonstreerimiseks saate kasutada slaide Lisa 1.

Loogikatehteid täpsustavad nende tõesuse tabelid. IN 2. lisaÜksikasjalikult käsitletakse loogiliste operatsioonide graafilisi illustratsioone koos nende tõesuse tabelitega. Selgitame diagrammi koostamise põhimõtet üldjuhul. Diagrammil A nimega ringi pindala näitab väite A tõesust (hulgateoorias on ring A kõigi antud hulka kuuluvate elementide tähistus). Sellest lähtuvalt näitab ringist väljaspool olev ala vastava väite "vale" väärtust. Et mõista, milline diagrammi piirkond loogilist toimingut kuvab, peate varjutama ainult need alad, mille loogilise toimingu väärtused komplektides A ja B on võrdsed väärtusega "tõene".

Näiteks on implikatsiooni väärtus tõene kolmel juhul (00, 01 ja 11). Varjutame järjestikku: 1) kahest ristuvast ringist väljapoole jäävat ala, mis vastab väärtustele A=0, B=0; 2) ainult ringiga B (poolkuu) seotud ala, mis vastab väärtustele A=0, B=1; 3) nii ringiga A kui ka ringiga B seotud ala (ristmik) - vastab väärtustele A=1, B=1. Nende kolme ala kombinatsioon on implikatsiooni loogilise operatsiooni graafiline esitus.

4. Euleri ringide kasutamine loogiliste võrduste (seaduste) tõestamisel

Loogiliste võrduste tõestamiseks võite kasutada Euleri-Venni diagrammi meetodit. Tõestame järgmist võrdsust ¬(АvВ) = ¬А&¬В (de Morgani seadus).

Võrdsuse vasaku külje visuaalseks kujutamiseks teeme seda järjestikku: varjutage mõlemad ringid (rakendage disjunktsiooni) halli värviga, seejärel varjutage inversiooni kuvamiseks ringidest väljapoole jääv ala musta värviga:

Joonis 3 Joonis 4

Võrdsuse parema külje visuaalseks kujutamiseks teeme seda järjestikku: varjutame inversiooni (¬A) kuvamise ala halliks ja sarnaselt ala ¬B samuti halliks; siis sidesõna kuvamiseks peate võtma nende hallide alade ristumiskoha (ülekatte tulemus on esitatud mustana):

Joonis 5 Joonis 6 Joonis 7

Näeme, et vasaku ja parema osa kuvamise alad on võrdsed. Q.E.D.

5. Probleemid riigieksami ja ühtse riigieksami vormingus teemal: “Internetist teabe otsimine”

Probleem nr 18 GIA 2013 demoversioonist.

Tabelis kuvatakse päringud otsinguserverile. Iga päringu puhul on märgitud selle kood – vastav täht A-st G-ni. Järjesta päringu koodid vasakult paremale laskuv lehekülgede arv, mille otsingumootor iga päringu jaoks leiab.

Kood	Taotlus
A	(Fly & Money) \| Samovar
B	Fly & Money & Bazaar & Samovar
IN	Lennata \| Raha \| Samovar
G	Fly & Money & Samovar

Iga päringu jaoks koostame Euleri-Venni diagrammi:

Taotlus A

Taotlus B

Taotlus G

Vastus: VAGB.

Ülesanne B12 ühtse riigieksami 2013 demoversioonist.

Tabel näitab päringuid ja leitud lehekülgede arvu teatud Interneti-segmendi kohta.

Taotlus	Leitud lehti (tuhandetes)
Fregatt \| Hävitaja	3400
Fregatt ja hävitaja	900
Fregatt	2100

Mitu lehekülge (tuhandetes) päringuga leitakse? Hävitaja?

Arvatakse, et kõik päringud täideti peaaegu samaaegselt, nii et kõiki otsitavaid sõnu sisaldav lehekülgede komplekt päringute täitmise ajal ei muutunud.

Ф – lehekülgede arv (tuhandetes) nõudmisel Fregatt;

E – lehekülgede arv (tuhandetes) nõudmisel Hävitaja;

X – lehekülgede arv (tuhandetes) päringule, mis mainib Fregatt Ja Mitte mainitud Hävitaja;

Y – lehekülgede arv (tuhandetes) päringule, mis mainib Hävitaja Ja Mitte mainitud Fregatt.

Koostame iga päringu jaoks Euleri-Venni diagrammid:

Taotlus	Euleri-Venni diagramm	Lehtede arv
Fregatt \| Hävitaja	Joonis 12	3400
Fregatt ja hävitaja	Joonis 13	900
Fregatt	Joonis 14	2100
Hävitaja	Joonis 15	?

Vastavalt diagrammidele on meil:

X + 900 + Y = F + Y = 2100 + Y = 3400. Siit leiame Y = 3400-2100 = 1300.
E = 900 + U = 900 + 1300 = 2200.

Vastus: 2200.

6. Loogiliste tähenduslike ülesannete lahendamine Euleri-Venni diagrammi meetodil

Klassis on 36 inimest. Selle klassi õpilased käivad matemaatika-, füüsika- ja keemiaringis, matemaatikaringis 18 inimest, füüsikaringis 10 inimest. Lisaks on teada, et kõigis kolmes ringis käib 2 inimest, 8 inimest käia nii matemaatikas kui füüsikas, 5 ja matemaatikas ja keemias, 3 - nii füüsikas kui ka keemilises.

Kui palju õpilasi klassis ei käi üheski klubis?

Selle probleemi lahendamiseks on väga mugav ja intuitiivne kasutada Euleri ringe.

Suurim ring on klassi kõigi õpilaste kogum. Ringi sees on kolm lõikuvat hulka: matemaatilise ( M), füüsiline ( F), keemiline ( X) ringid.

Lase MFC- palju poisse, kellest igaüks käib kõigis kolmes klubis. MF¬X- palju lapsi, kellest igaüks käib matemaatika- ja füüsikaringides ning Mitte külastab keemiat. ¬M¬FH- palju poisse, kellest igaüks käib keemiaklubis ja ei käi füüsika- ja matemaatikaringis.

Samamoodi tutvustame komplekte: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.

Teatavasti osaleb kõigis kolmes ringis 2 inimest, seega piirkonnas MFC Sisestame numbri 2. Sest 8 inimest käib nii matemaatika kui ka füüsika ringis ja nende hulgas juba 2 inimest kõigis kolmes ringis, siis piirkonnas MF¬X sisestame 6 inimest (8-2). Määrame samamoodi õpilaste arvu ülejäänud komplektides:

Võtame kokku inimeste arvu kõigis piirkondades: 7+6+3+2+4+1+5=28. Järelikult käib klubides 28 inimest klassist.

See tähendab, et 36-28 = 8 õpilast ei käi klubides.

Pärast talvevaheaega küsis klassijuhataja, kes lastest läks teatrisse, kinno või tsirkusesse. Selgus, et klassi 36 õpilasest kaks polnud kunagi kinos käinud. ei teatris ega tsirkuses. 25 inimest käis kinos, 11 teatris, 17 tsirkuses; nii kinos kui teatris - 6; nii kinos kui tsirkuses - 10; ning teatris ja tsirkuses - 4.

Kui palju inimesi on käinud kinos, teatris ja tsirkuses?

Olgu x kinos, teatris ja tsirkuses käinud laste arv.

Seejärel saate koostada järgmise diagrammi ja lugeda igas piirkonnas meeste arvu:

Kinos ja teatris käis 6 inimest, mis tähendab, et kinos ja teatris käis vaid 6 inimest.

Samamoodi ainult kinos ja tsirkuses (10.) inimesed.

Ainult teatris ja tsirkuses (4) inimest.

Kinos käis 25 inimest, mis tähendab, et 25 neist käisid ainult kinos - (10s) - (6s) - x = (9+x).

Samamoodi oli ainult teatris (1+x) inimest.

Ainult tsirkuses oli (3+x) inimest.

Pole käinud teatris, kinos ega tsirkuses – 2 inimest.

Niisiis, 36-2=34 inimest. üritustel osalenud.

Teisest küljest saame kokku võtta teatris, kinos ja tsirkuses viibinute arvu:

(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10)+(6)+(4)+x = 34

Sellest järeldub, et kõigil kolmel üritusel osales ainult üks inimene.

Seega leiavad Euleri ringid (Euleri-Venni diagrammid) praktilist rakendust ülesannete lahendamisel ühtse riigieksami ja riigieksami formaadis ning mõtestatud loogikaülesannete lahendamisel.

Kirjandus

V.Yu. Lyskova, E.A. Rakitina. Loogika arvutiteaduses. M.: Informaatika ja Haridus, 2006. 155 lk.
L.L. Bosova. Arvutite aritmeetilised ja loogilised alused. M.: Informaatika ja Haridus, 2000. 207 lk.
L.L. Bosova, A. Yu. Bosova. Õpik. Arvutiteadus ja IKT 8. klassile: BINOM. Teadmiste labor, 2012. 220 lk.
L.L. Bosova, A. Yu. Bosova. Õpik. Arvutiteadus ja IKT 9. klassile: BINOM. Teadmiste labor, 2012. 244 lk.
FIPI veebisait: http://www.fipi.ru/

Igal objektil või nähtusel on teatud omadused (märgid).

Selgub, et eseme kohta mõiste kujundamine tähendab ennekõike oskust eristada seda teistest temaga sarnastest objektidest.

Võime öelda, et mõiste on sõna vaimne sisu.

Kontseptsioon - see on mõttevorm, mis kuvab objekte nende kõige üldisemates ja olulisemates omadustes.

Mõiste on mõttevorm, mitte sõna vorm, kuna sõna on ainult silt, millega me seda või teist mõtet tähistame.

Sõnad võivad olla erinevad, kuid tähendavad siiski sama mõistet. Vene keeles - "pliiats", inglise keeles - "pliiats", saksa keeles - bleistift. Samal mõttel on erinevates keeltes erinevad verbaalsed väljendused.

MÕISTETE VAHELISED SUHTED. EULERI RINGID.

Mõisteid, mille sisus on ühiseid jooni, nimetatakse VÕRDLAVAD("advokaat" ja "asetäitja"; "õpilane" ja "sportlane").

Vastasel juhul peetakse mõisteid arvesse VÕRRELMATU("krokodill" ja "märkmik"; "mees" ja "aurulaev").

Kui mõistetel on lisaks üldtunnustele ka ühiseid mahuelemente, siis neid nimetatakse ÜHTILAB.

Võrreldavate mõistete vahel on kuut tüüpi seoseid. Mõistete mahtude vahelisi seoseid on mugav tähistada Euleri ringide abil (ringdiagrammid, kus iga ring tähistab mõiste mahtu).

MÕISTETE VAHELINE SUHE	PILT EULERI RINGIDE KASUTAMISEGA
VÕRDVÄÄRSUS (IDENTITEET) Mõistete ulatused langevad täielikult kokku. Need. Need on mõisted, mis sisult erinevad, kuid neis mõeldakse samadele mahuelementidele.	1) A – Aristoteles B – loogika rajaja 2) A – ruut B – võrdkülgne ristkülik
ALLUMINE (SUBORDINATSIOON) Ühe mõiste ulatus on täielikult hõlmatud teise mõistega, kuid ei ammenda seda.	1) A - inimene B - õpilane 2) A - loom B - elevant
RISTIK (RIISTUMINE) Kahe mõiste mahud langevad osaliselt kokku. See tähendab, et mõisted sisaldavad ühiseid elemente, kuid hõlmavad ka elemente, mis kuuluvad ainult ühte neist.	1) A - jurist B - asetäitja 2) A - üliõpilane B - sportlane
KOORDINEERIMINE (KOORDINEERIMINE) Mõisted, millel pole ühiseid elemente, kuuluvad täielikult kolmanda, laiema mõiste ulatusse.	1) A - loom B - kass; C - koer; D - hiir 2) A - väärismetall B - kuld; C - hõbe; D - plaatina
VASTASED (KONTRAPARAARSUS) Mõisted A ja B ei kuulu lihtsalt kolmanda mõiste ulatusse, vaid näivad olevat selle vastandpoolustel. See tähendab, et kontseptsioonil A on oma sisus selline tunnus, mis mõistes B on asendatud vastupidise tunnusega.	1) A - valge kass; B - punane kass (kassid on nii mustad kui hallid) 2) A - kuum tee; jäätee (tee võib olla ka soe) st. mõisted A ja B ei ammenda kogu mõiste ulatust, millesse nad kuuluvad.
KONTRADITSIOON (KONTRADITSIOONIVSUS) Suhe mõistete vahel, millest üks väljendab mõne tunnuse olemasolu ja teine - nende puudumist, see tähendab, et see lihtsalt eitab neid omadusi, asendamata neid ühegi teisega.	1) A - kõrge maja B - madal maja 2) A - võidupilet B - mittevõidupilet S.t. mõisted A ja mitte-A ammendavad kogu selle mõiste ulatuse, millesse nad kuuluvad, kuna nende vahele ei saa paigutada täiendavaid mõisteid.