Taandusvalemid trigonomeetria ülesannetes. Taandusvalemid, mnemoonireegel, tõestus, näited. Reduktsioonivalemite mnemooniline reegel või kuidas neid meeles pidada

Definitsioon. Taandusvalemid on valemid, mis võimaldavad liikuda vormi trigonomeetrilistelt funktsioonidelt argumendi funktsioonidele. Nende abiga saab suvalise nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi taandada nurga siinus-, koosinus-, puutuja- ja kotangensiks vahemikust 0 kuni 90 kraadi (0-st radiaanini). Seega võimaldavad redutseerimisvalemid liikuda edasi 90-kraadise nurga all töötamise juurde, mis on kahtlemata väga mugav.

Vähendamise valemid:

Reduktsioonivalemite kasutamisel on kaks reeglit.

1. Kui nurka saab esitada kui (π/2 ±a) või (3*π/2 ±a), siis funktsiooni nimi muutub sin to cos, cos to sin, tg to ctg, ctg to tg. Kui nurka saab esitada kujul (π ±a) või (2*π ±a), siis Funktsiooni nimi jääb muutumatuks.

Vaadake allolevat pilti, seal on skemaatiliselt näha, millal märki vahetada ja millal mitte

2. Funktsiooni vähenemise märk jääb samaks. Kui algsel funktsioonil oli plussmärk, siis ka vähendatud funktsioonil on plussmärk. Kui algsel funktsioonil oli miinusmärk, siis vähendatud funktsioonil on ka miinusmärk.

Alloleval joonisel on näidatud põhiliste trigonomeetriliste funktsioonide märgid sõltuvalt kvartalist.

Näide:

Arvutama

Kasutame redutseerimisvalemeid:

Sin(150˚) on teises veerandis. Jooniselt näeme, et patumärk selles kvartalis on võrdne “+”. See tähendab, et antud funktsioonil on ka “+” märk. Rakendasime teist reeglit.

Nüüd 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ on π/2. See tähendab, et tegemist on juhtumiga π/2+60, seetõttu muudame esimese reegli järgi funktsiooni sin asemel cos. Selle tulemusena saame Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Reduktsioonivalemite kasutamisel on kaks reeglit.

Vaadake allolevat pilti, see näitab skemaatiliselt, millal peaksite märki muutma ja millal mitte.

2. Reegel "nagu sa olid, selliseks sa jääd."

Vähendatud funktsiooni märk jääb samaks. Kui algsel funktsioonil oli plussmärk, siis ka vähendatud funktsioonil on plussmärk. Kui algsel funktsioonil oli miinusmärk, siis vähendatud funktsioonil on ka miinusmärk.

Alloleval joonisel on näidatud põhiliste trigonomeetriliste funktsioonide märgid sõltuvalt kvartalist.

Arvuta Sin (150˚)

Kasutame redutseerimisvalemeid:

Sin(150˚) on teises veerandis. Jooniselt näeme, et patu märk selles kvartalis on võrdne +. See tähendab, et antud funktsioonil on ka plussmärk. Rakendasime teist reeglit.

Soovi korral saab kõik redutseerimisvalemid koondada ühte tabelisse. Kuid siiski on lihtsam neid kahte reeglit meeles pidada ja neid kasutada.

Kas vajate õpingutega abi?

Eelmine teema:

Ja veel üks punkt: redutseerimisvalemeid on arvuliselt üsna palju ja me hoiatame teid kohe, et ärge õppige neid kõiki pähe. Selleks pole absoluutselt mingit vajadust – on üks, mis võimaldab reduktsioonivalemeid lihtsalt rakendada.

Niisiis, paneme kõik redutseerimisvalemid tabeli kujul kirja.

Neid valemeid saab kraadide ja radiaanide abil ümber kirjutada. Selleks pidage meeles kraadide ja radiaanide suhet ning asendage π kõikjal 180 kraadiga.

Näited redutseerimisvalemite kasutamisest

Selle lõigu eesmärk on näidata, kuidas taandarengu valemeid praktikas näidete lahendamiseks kasutatakse.

Alustuseks tasub öelda, et trigonomeetriliste funktsioonide märgi all oleva nurga esitamiseks vormis ja kujul on lõpmatu arv viise. . See on tingitud asjaolust, et nurk võib võtta mis tahes väärtuse. Näitame seda näitega.

Näiteks võtame nurga trigonomeetrilise funktsiooni märgi all, mis on võrdne . Seda nurka saab kujutada kui , või kuidas , või kuidas või mitmel muul viisil.

Nüüd vaatame, milliseid redutseerimisvalemeid peame kasutama sõltuvalt nurga esitusest. Võtame .

Kui kujutame nurka kui , siis vastab see esitus vormi taandamisvalemile, millest saame . Siin saame näidata trigonomeetrilise funktsiooni väärtuse: .

Esitluseks kasutame juba vormi valemit , mis viib meid järgmise tulemuseni: .

Lõpuks, kuna vastaval redutseerimisvalemil on vorm .

Selle arutelu lõpetuseks väärib eriti märkimist, et nurgaesituste kasutamisel on teatud mugavused, mille puhul nurga väärtus on 0 kuni 90 kraadi (0 kuni pi poolradiaanides).

Vaatame veel ühte näidet redutseerimisvalemite kasutamisest.

Näide.

Reduktsioonivalemeid kasutades esitage läbi siinuse ja ka teravnurga koosinuse.

Lahendus.

Reduktsioonivalemite rakendamiseks peame esitama 197-kraadise nurga kujul või , ja vastavalt ülesande tingimustele peab nurk olema terav. Seda saab teha kahel viisil: või . Seega või .

Pöördudes vastavate valemite poole ja vähendamiseks, saame ja .

Vastus:

Ja .

Mnemooniline reegel

Nagu eespool mainisime, pole redutseerimisvalemeid vaja pähe õppida. Kui vaatate neid hoolikalt, saate tuvastada mustrid, mille põhjal saate reegli, mis võimaldab teil saada mis tahes redutseerimisvalemi. Teda kutsutakse mnemooniline reegel(mnemoonika on meeldejätmise kunst).

Mnemooniline reegel koosneb kolmest etapist:

Tasub kohe öelda, et mnemoonilise reegli rakendamiseks pead väga hästi oskama siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi märke neljandike järgi tuvastada, kuna seda tuleb teha pidevalt.

Vaatame mnemoonilise reegli rakendamist näidete abil.

Näide.

Mnemoonilise reegli abil kirjutage üles redutseerimisvalemid Ja , pidades nurka esimese kvartali nurgaks.

Lahendus.

Me ei pea tegema reegli esimest sammu, kuna trigonomeetriliste funktsioonide märkide all olevad nurgad on juba vajalikul kujul kirjutatud.

Määrame funktsioonide märgi Ja . Tingimusel, et - esimese kvartali nurk, nurk on ka esimese kvartali nurk ja nurk - teise kvartali nurk. Esimese veerandi koosinus on plussmärgiga ja teise veerandi puutuja miinusmärk. Selles etapis on nõutavatel valemitel vorm ja . Nüüd, kui oleme märgid välja mõelnud, saame liikuda mnemoonilise reegli viimase sammu juurde.

Kuna koosinusfunktsiooni argumendil on vorm , siis tuleb funktsiooni nimeks muuta kaasfunktsioon ehk siinus. Ja puutuja argumendil on vorm , seetõttu tuleks funktsiooni nimi jätta samaks.

Selle tulemusena oleme Ja . Saadud tulemuste õigsuses veendumiseks võite vaadata redutseerimisvalemite tabelit.

Vastus:

Ja .

Materjali konsolideerimiseks kaaluge konkreetsete nurkadega näite lahendamist.

Näide.

Mnemoonilise reegli abil redutseerige teravnurga trigonomeetrilisteks funktsioonideks.

Lahendus.

Esiteks kujutame ette 777-kraadist nurka mnemoonilise reegli rakendamiseks vajalikul kujul. Seda saab teha kahel viisil: või.

Algne nurk on esimene veerandnurk, selle nurga siinus on plussmärgiga.

Selle esitamiseks tuleb siinuse nimi jätta samaks, kuid tüübi esindamiseks tuleb siinus muuta koosinusseks.

Selle tulemusena on meil ja .

Vastus:

Ja .

Selle punkti lõpetuseks vaatleme näidet, mis illustreerib trigonomeetriliste funktsioonide märgi all oleva nurga õige esituse tähtsust mnemoonilise reegli rakendamisel: nurk peab terav olema!!!

Arvutame nurga puutuja. Põhimõtteliselt saame siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi artikliväärtuste materjalile viidates kohe vastata probleemi küsimusele: .

Kui kujutame nurka kujul või kujul , siis saame kasutada mnemoreeglit: Ja , mis viib meid sama tulemuseni.

Kuid see võib juhtuda, kui kujutate nurka, näiteks vormi. Sel juhul viib mnemooniline reegel meid selle tulemuseni. See tulemus on vale ja see on seletatav asjaoluga, et esituse jaoks ei olnud meil õigust rakendada mnemoreeglit, kuna nurk ei ole terav.

Redutseerimisvalemite tõendamine

Reduktsioonivalemid kajastavad perioodilisust, sümmeetriat ja nihkeomadusi nurkade ja . Märgime kohe, et kõiki redutseerimisvalemeid saab tõestada, jättes argumentides termini kõrvale, kuna see tähendab nurga muutmist täisarvu täispöörete võrra ja see ei muuda trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi. See termin peegeldab perioodilisust.

Esimene 16 redutseerimisvalemist koosnev plokk tuleneb otseselt siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi omadustest. Nendel ei tasu isegi pikemalt peatuda.

Liigume edasi järgmise valemiploki juurde. Kõigepealt tõestame neist kahte esimest. Ülejäänud tulenevad neist. Niisiis, tõestame vormi redutseerimisvalemeid Ja .

Mõelge ühikuringile. Laske algpunktil A pärast nurga võrra pööramist minna punkti A 1 (x, y) ja pärast nurga võrra pööramist punkti A 2. Joonistame A 1 H 1 ja A 2 H 2 – risti sirgjoonega Ox.

On lihtne näha, et täisnurksed kolmnurgad OA 1 H 1 ja OA 2 H 2 on hüpotenuusis ja kahes külgnevas nurgas võrdsed. Kolmnurkade võrdsusest ja punktide A 1 ja A 2 paiknemisest ühikringjoonel selgub, et kui punktil A 1 on koordinaadid x ja y, siis punktil A 2 on koordinaadid −y ja x. Siis võimaldavad siinuse ja koosinuse definitsioonid kirjutada võrdusi ja , millest järeldub, et Ja . See tõestab vaadeldavaid redutseerimisvalemeid mis tahes nurga puhul.

Võttes arvesse, et Ja (vajadusel vaadake artiklit trigonomeetrilised põhiidentiteedid), samuti äsja tõestatud valemeid, saame ja . Seega tõestasime kahte järgmist redutseerimisvalemit.

Taandusvalemite tõestamiseks argumendiga piisab, kui esitada see kujul , ja seejärel kasutada vastupidiste argumentidega trigonomeetriliste funktsioonide tõestatud valemeid ja omadusi. Näiteks, .

Kõik muud redutseerimisvalemid on tõestatud sarnasel viisil nende põhjal, mis on juba tõestatud kahekordse rakendamisega. Näiteks ilmub see kujul , aga . Ja ja - nagu ja vastavalt.

Bibliograafia.

Algebra:Õpik 9. klassi jaoks. keskm. kool/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Haridus, 1990. - 272 lk. - ISBN 5-09-002727-7
Bashmakov M. I. Algebra ja analüüsi algus: Õpik. 10-11 klassile. keskm. kool - 3. väljaanne - M.: Haridus, 1993. - 351 lk.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 klassile. Üldharidus institutsioonid / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn jt; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. väljaanne - M.: Haridus, 2004. - 384 lk. - ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemaatika (juhend tehnikutesse astujatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.

Tund ja ettekanne teemal: "Taandusvalemite rakendamine ülesannete lahendamisel"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove. Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.

Õppevahendid ja simulaatorid Integrali veebipoes 10. klassile
1C: Kool. Interaktiivsed ehitusülesanded 7.-10. klassile
1C: Kool. Lahendame ülesandeid geomeetrias. Interaktiivsed ülesanded ruumi ehitamisest 10.–11. klassile

Mida me uurime:
1. Kordame natuke.
2. Taandusvalemite reeglid.
3. Taandusvalemite teisendustabel.
4. Näited.

Trigonomeetriliste funktsioonide ülevaade

Poisid, olete juba kohanud kummitusvormeleid, kuid te pole neid veel nii nimetanud. Mida arvate: kus?

Vaadake meie jooniseid. Õigesti, kui võeti kasutusele trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonid.

Redutseerimisvalemite reegel

Tutvustame põhireeglit: Kui trigonomeetrilise funktsiooni märgi all on arv kujul π×n/2 + t, kus n on suvaline täisarv, siis saab meie trigonomeetrilise funktsiooni taandada lihtsamale kujule, mis sisaldab ainult argument t. Selliseid valemeid nimetatakse kummitusvormeliteks.

Meenutagem mõnda valemit:

sin(t + 2π*k) = sin(t)
cos(t + 2π*k) = cos(t)
sin(t + π) = -sin(t)
cos(t + π) = -cos(t)
sin(t + π/2) = cos(t)
cos(t + π/2) = -sin(t)
tan(t + π*k) = tan(x)
ctg(t + π*k) = ctg(x)

kummitusvalemeid on palju, teeme reegli, mille järgi määrame kasutamisel oma trigonomeetrilised funktsioonid kummitusvormelid:

Kui trigonomeetrilise funktsiooni märk sisaldab numbreid kujul: π + t, π - t, 2π + t ja 2π - t, siis funktsioon ei muutu, see tähendab, et näiteks siinus jääb siinuseks, kotangent jääb kotangendiks.
Kui trigonomeetrilise funktsiooni märk sisaldab numbreid kujul: π/2 + t, π/2 - t,
3π/2 + t ja 3π/2 - t, siis funktsioon muutub seotuks ehk siinusest saab koosinus, kotangensist puutuja.
Enne saadud funktsiooni peate panema märgi, mis teisendatud funktsioonil oleks tingimuse 0 alla

Need reeglid kehtivad ka siis, kui funktsiooni argument on antud kraadides!

Samuti saame luua trigonomeetriliste funktsioonide teisenduste tabeli:

Näited redutseerimisvalemite kasutamisest

1. Teisenda cos(π + t). Funktsiooni nimi jääb alles, st. saame cos(t). Oletame veel, et π/2

2. Teisenda sin(π/2 + t). Funktsiooni nimi muutub, st. saame cos(t). Järgmiseks oletame, et 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. Teisenda tg(π + t). Funktsiooni nimi jääb alles, st. saame tan(t). Oletame veel, et 0

4. Teisenda ctg(270 0 + t). Funktsiooni nimi muutub ehk saame tg(t). Oletame veel, et 0

Iseseisva lahenduse redutseerimisvalemite ülesanded

Poisid, teisendage see meie reeglite järgi ise:

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) võrevoodi (π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) cotg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) sin(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 - t),
9) sin(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).

Redutseerimisvalemid on seosed, mis võimaldavad teil minna siinus-, koosinus-, puutuja- ja kotangensilt nurkadega \frac (\pi)2 \pm \alpha, \pi \pm \alpha, \frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` samadele funktsioonidele nurga `\alpha`, mis asub ühikringi esimeses veerandis. Seega "viivad redutseerimisvalemid" meid töötama nurkadega vahemikus 0 kuni 90 kraadi, mis on väga mugav.

Kokku on 32 redutseerimisvalemit. Need tulevad kahtlemata kasuks ühtse riigieksami, eksamite ja testide ajal. Kuid hoiatame kohe, et neid pole vaja pähe õppida! Peate kulutama veidi aega ja mõistma nende rakendamise algoritmi, siis ei ole teil keeruline õigel ajal vajaliku võrdsuse tuletamine.

Kõigepealt kirjutame üles kõik redutseerimisvalemid:

Nurga (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) või (`90^\circ \pm \alpha`) puhul:

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha
`cos(\frac (\pi)2 — \alpha)=sin \ \alpha;` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha

Nurga (`\pi \pm \alpha`) või (`180^\circ \pm \alpha`) jaoks:

`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Nurga (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) või (`270^\circ \pm \alpha`) puhul:

`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha

Nurga (`2\pi \pm \alpha`) või (`360^\circ \pm \alpha`) puhul:

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha

Reduktsioonivalemeid leiate sageli tabeli kujul, kus nurgad on kirjutatud radiaanides:

Selle kasutamiseks peame valima vajaliku funktsiooniga rea ja soovitud argumendiga veeru. Näiteks selleks, et tabeli abil teada saada, millega ` sin(\pi + \alpha)` võrdub, piisab, kui leida vastuse rea ` sin \beta` ja veeru ` \pi + ristumiskohast. \alfa`. Saame ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

Ja teine, sarnane tabel, kus nurgad on kirjutatud kraadides:

Reduktsioonivalemite mnemooniline reegel või kuidas neid meeles pidada

Nagu me juba mainisime, pole vaja kõiki ülaltoodud suhteid pähe õppida. Kui vaatasite neid hoolikalt, märkasite ilmselt mõningaid mustreid. Need võimaldavad sõnastada mnemoonilise reegli (mnemooniline – pidage meeles), mille abil saame hõlpsasti kätte mis tahes redutseerimisvalemi.

Märgime kohe ära, et selle reegli rakendamiseks pead oskama hästi tuvastada (või meeles pidada) trigonomeetriliste funktsioonide märke ühikringi erinevates kvartalites.
Vaktsiin ise koosneb kolmest etapist:

1. Funktsiooni argument peab olema esitatud kujul \frac (\pi)2 \pm \alpha, \pi \pm \alpha, \frac (3\pi)2 \pm \alpha, 2\pi \ pm \alpha ja \alfa on tingimata teravnurk (0 kuni 90 kraadi).
2. Argumentide \frac (\pi)2 \pm \alpha, \frac (3\pi)2 \pm \alpha puhul muutub teisendatud avaldise trigonomeetriline funktsioon kaasfunktsiooniks, st vastupidiseks (siinus koosinus, puutuja kootangensiga ja vastupidi). Argumentide \pi \pm \alpha, 2\pi \pm \alpha funktsioon ei muutu.
3. Määratakse algfunktsiooni märk. Paremal küljel oleval funktsioonil on sama märk.

Et näha, kuidas seda reeglit praktikas rakendada, teisendame mitut väljendit:

1. "cos(\pi + \alpha)".

Funktsiooni ei pöörata ümber. Nurk `\pi + \alpha` on kolmandas veerandis, selle veerandi koosinusel on märk “-”, seega on teisendatud funktsioonil ka “-” märk.

Vastus: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)'.

Mnemoonilise reegli kohaselt pööratakse funktsioon ümber. Nurk `\frac (3\pi)2 - \alpha` on kolmandas veerandis, siinusel on märk “-”, seega on tulemusel ka “-” märk.

Vastus: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha

3. "cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)".

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alpha))". Esitagem "3\pi" kui "2\pi+\pi". "2\pi" on funktsiooni periood.

Tähtis. Funktsioonide "cos \alpha" ja "sin \alpha" periood on "2\pi" või "360^\circ", nende väärtused ei muutu, kui argumenti nende väärtuste võrra suurendatakse või vähendatakse.

Sellest lähtuvalt saab meie avaldise kirjutada järgmiselt: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Rakendades mnemoreeglit kaks korda, saame: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

Vastus: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha.

Hobuse reegel

Eespool kirjeldatud mnemoonilise reegli teist punkti nimetatakse ka redutseerimisvalemite hobusereegliks. Huvitav, miks just hobused?

Seega on meil funktsioonid argumentidega \frac (\pi)2 \pm \alpha, \pi \pm \alpha, \frac (3\pi)2 \pm \alpha, 2\pi \ pm \alpha, punktid \frac (\pi)2, \pi, \frac (3\pi)2, 2\pi on võtmed, need asuvad koordinaatide telgedel. "\pi" ja "2\pi" on horisontaalsel x-teljel ning "\frac (\pi)2" ja "\frac (3\pi)2" on vertikaalsel ordinaat.

Esitame endale küsimuse: "Kas funktsioon muutub kaasfunktsiooniks?" Sellele küsimusele vastamiseks peate liigutama oma pead mööda telge, millel võtmepunkt asub.

See tähendab, et argumentide puhul, mille põhipunktid asuvad horisontaalteljel, vastame “ei”, raputades pead külgedele. Ja nurkade puhul, mille põhipunktid asuvad vertikaalteljel, vastame "jah", noogutades pead ülalt alla, nagu hobune :)

Soovitame vaadata videoõpetust, milles autor selgitab üksikasjalikult, kuidas reduktsioonivalemeid meelde jätta ilma neid meelde jätmata.

Praktilised näited redutseerimisvalemite kasutamisest

Taandusvalemite kasutamine algab 9. ja 10. klassist. Nende kasutamisel esitati ühtsele riigieksamile palju probleeme. Siin on mõned probleemid, mille puhul peate neid valemeid rakendama:

ülesanded täisnurkse kolmnurga lahendamiseks;
numbriliste ja tähestikuliste trigonomeetriliste avaldiste teisendamine, nende väärtuste arvutamine;
stereomeetrilised ülesanded.

Näide 1. Arvutage taandamisvalemite a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.

Lahendus: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3;

c) "cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2";

d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.

Näide 2. Olles väljendanud koosinust läbi siinuse taandamisvalemite abil, võrrelge numbreid: 1) "sin \frac (9\pi)8" ja "cos \frac (9\pi)8"; 2) "sin \frac (\pi)8" ja "cos \frac (3\pi)10".

Lahendus: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8

`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8

`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8.

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5) = sin \frac (\pi)5

`sin \frac (\pi)8

Tõestame esmalt kaks valemit argumendi \frac (\pi)2 + \alpha siinuse ja koosinuse jaoks: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` ja ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. Ülejäänud on neist tuletatud.

Võtame ühikringi ja asetame sellele punkti A koordinaatidega (1,0). Lase pärast poole pöördumist nurk "\alpha" läheb see punkti "A_1(x, y)" ja pärast nurga "\frac (\pi)2 + \alpha" pööramist punkti "A_2(-y, x)". Kui langetada ristid nendest punktidest sirgele OX, näeme, et kolmnurgad OA_1H_1 ja OA_2H_2 on võrdsed, kuna nende hüpotenuusid ja külgnevad nurgad on võrdsed. Seejärel saame siinuse ja koosinuse definitsioonide põhjal kirjutada `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Kuhu saame kirjutada, et ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` ja ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, mis tõestab redutseerimist siinus- ja koosinusnurkade valemid `\frac (\pi)2 + \alpha.

Tulenevalt puutuja ja kotangensi definitsioonist saame ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha ja ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\) frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, mis tõestab nurga `\frac (\pi)2 + \alpha' puutuja ja kotangensi redutseerimisvalemid.

Valemite tõestamiseks argumendiga \frac (\pi)2 - \alpha, piisab, kui esitada see kujul \frac (\pi)2 + (-\alpha) ja järgida sama teed nagu ülal. Näiteks „cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)”.

Nurki \pi + \alpha ja \pi - \alpha saab esitada kui \frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha) ja \frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` vastavalt.

Ja "\frac (3\pi)2 + \alpha" ja "\frac (3\pi)2 - \alpha" kui "\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)" ja "\pi" +(\frac (\pi)2-\alpha)`.