Valemid lihtsaimate trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks - erijuhud. Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine. Topeltnurga trigonomeetrilised funktsioonid

Liin UMK G.K. Algebra ja matemaatilise analüüsi põhimõtted (10-11) (sügav)

Liin UMK G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina. Algebra ja matemaatilise analüüsi põhimõtted (10-11) (alus)

Kuidas õpetada trigonomeetriliste võrrandite ja võrratuste lahendamist: õppemeetodid

Vene õpikute korporatsiooni matemaatikakursus, mille autoriteks on Georgi Muravina ja Olga Muravina, näeb 10. klassis ette järkjärgulist üleminekut trigonomeetriliste võrrandite ja võrratuste lahendamisele, samuti õpingute jätkamist 11. klassis. Tutvustame teie tähelepanu teemale ülemineku etapid koos väljavõtetega õpikust “Algebra ja matemaatilise analüüsi algus” (kõrgtase).

1. Mis tahes nurga siinus ja koosinus (propedeutiline trigonomeetriliste võrrandite uurimisel)

Näidisülesanne. Leidke ligikaudu nurgad, mille koosinused on 0,8.

Lahendus. Koosinus on ühikringi vastava punkti abstsiss. Kõik punktid, mille abstsissid on 0,8, kuuluvad sirgele, mis on paralleelne ordinaatteljega ja läbib punkti C(0,8; 0). See joon lõikub ühikuringiga kahes punktis: P α ° Ja P β ° , sümmeetriline abstsisstelje suhtes.

Protraktori abil leiame, et nurk α° ligikaudu 37°. Niisiis, pöördenurkade üldvaade lõpp-punktiga P α°:

α° ≈ 37° + 360° n, Kus n- mis tahes täisarv.

Tänu sümmeetriale abstsisstelje suhtes, punkt P β ° - pöörlemise lõpp-punkt –37° nurga all. See tähendab, et tema jaoks on pöördenurkade üldine vorm:

β° ≈ –37° + 360° n, Kus n- mis tahes täisarv.

Vastus: 37° + 360° n, –37° + 360° n, Kus n- mis tahes täisarv.

Näidisülesanne. Leia nurgad, mille siinused on 0,5.

Lahendus. Siinus on ühikringi vastava punkti ordinaat. Kõik punktid, mille ordinaadid on 0,5, kuuluvad abstsissteljega paralleelsele sirgele, mis läbib punkti D(0; 0,5).

See sirge lõikub ühikuringiga kahes punktis: Pφ ja Pπ–φ, sümmeetriline ordinaattelje suhtes. Täisnurkses kolmnurgas OKPφ jalg KPφ võrdub poolega hüpotenuusist OPφ , Tähendab,

Pöörlemisnurkade üldvaade koos lõpp-punktiga P φ :

Kus n- mis tahes täisarv. Pöörlemisnurkade üldvaade koos lõpp-punktiga P π–φ :

Kus n- mis tahes täisarv.

Vastus: Kus n- mis tahes täisarv.

2. Mis tahes nurga puutuja ja kotangens (propedeutika trigonomeetriliste võrrandite uurimiseks)

Näide 2.

Näidisülesanne. Leia nurkade üldkuju, mille puutuja on –1,2.

Lahendus. Märgime punkti puutujateljel C mille ordinaat on –1,2, ja tõmmake sirgjoon O.C.. Otse O.C. lõikub ühikuringiga punktides P α ° Ja Pβ° - sama läbimõõduga otsad. Nendele punktidele vastavad nurgad erinevad üksteisest poolpöörete täisarvu võrra, s.o. 180° n (n- täisarv). Protraktori abil leiame, et nurk P α° OP 0 võrdub –50°. See tähendab, et nurkade üldkuju, mille puutuja on –1,2, on järgmine: –50° + 180° n (n- täisarv)

Vastus:–50° + 180° n, n∈ Z.

Kasutades nurkade 30°, 45° ja 60° siinust ja koosinust, on lihtne leida nende puutujaid ja kotangente. Näiteks,

Loetletud nurgad on erinevates probleemides üsna tavalised, seetõttu on kasulik meeles pidada nende nurkade puutuja ja kotangensi väärtusi.

3. Lihtsamad trigonomeetrilised võrrandid

Kasutusele võetakse järgmised tähistused: arcsin α, arccos α, arctg α, arcctg α. Kombineeritud valemi kasutuselevõtuga ei ole soovitatav kiirustada. Palju mugavam on salvestada kaks juurte seeriat, eriti kui on vaja juuri valida intervallidega.

Uurides teemat "lihtsamad trigonomeetrilised võrrandid", taandatakse võrrandid enamasti ruutudeks.

4. Taandusvalemid

Vähendusvalemid on identiteedid, st need kehtivad kõigi kehtivate väärtuste puhul φ . Saadud tabelit analüüsides näete järgmist:

1) valemi paremal pool olev märk langeb kokku taandatava funktsiooni märgiga vastavas kvadrandis, kui arvestada φ teravnurk;

2) nime muudavad ainult nurkade funktsioonid ja

	φ + 2π n

5. Funktsiooni omadused ja graafik y = patt x

Lihtsamaid trigonomeetrilisi võrratusi saab lahendada kas graafikul või ringil. Ringjoonel trigonomeetrilise võrratuse lahendamisel on oluline mitte segi ajada, milline punkt märkida esimesena.

6. Funktsiooni omadused ja graafik y=cos x

Funktsiooni graafiku koostamise ülesanne y=cos x saab taandada funktsiooni graafikule y = patt x. Tõepoolest, alates funktsiooni graafik y=cos x saab funktsiooni graafikult y= patt x võrra nihutades viimast piki x-telge vasakule

7. Funktsioonide omadused ja graafikud y= tg x Ja y=ctg x

Funktsiooni domeen y= tg x sisaldab kõiki numbreid, välja arvatud numbrid kujul kus n ∈ Z. Nagu sinusoidi konstrueerimisel, proovime kõigepealt saada funktsiooni graafikut y = tg x vahel

Selle intervalli vasakus otsas on puutuja null ja paremale otsale lähenedes suurenevad puutuja väärtused piiramatult. Graafiliselt näeb see välja nagu funktsiooni graafik y = tg x surub vastu sirgjoont, minnes sellega piiramatult ülespoole.

8. Sama argumendi trigonomeetriliste funktsioonide vahelised sõltuvused

Võrdsus ja väljendavad seoseid sama argumendi φ trigonomeetriliste funktsioonide vahel. Nende abiga, teades teatud nurga siinust ja koosinust, saate leida selle puutuja ja kotangensi. Nendest võrdsustest on hästi näha, et puutuja ja kotangent on omavahel seotud järgmise võrrandiga.

tg φ · võrevoodi φ = 1

Trigonomeetriliste funktsioonide vahel on ka muid sõltuvusi.

Origopunkti keskpunktiga ühikringi võrrand x 2 + y 2= 1 ühendab selle ringi mis tahes punkti abstsissi ja ordinaati.

Põhiline trigonomeetriline identiteet

cos 2 φ + sin 2 φ = 1

9. Kahe nurga summa ja erinevuse siinus ja koosinus

Koosinussumma valem

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

Erinevuste koosinusvalem

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Siinuse erinevuse valem

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

Siinussumma valem

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

10. Kahe nurga erinevuse puutuja ja puutuja

Puutuja summa valem

Puutujate erinevuse valem

Õpik sisaldub ainet algtasemel õppiva 10.–11. klassi matemaatika õppematerjalides. Teoreetiline materjal jaguneb kohustuslikuks ja valikuliseks, ülesannete süsteem on eristatud raskusastme järgi, iga peatükk lõpeb testiküsimuste ja ülesannetega ning iga peatükk kodukontrolliga. Õpik sisaldab projektide teemasid ja linke internetiavarustele.

11. Trigonomeetrilised topeltnurga funktsioonid

Topeltnurga puutuja valem

cos2α = 1 – 2sin 2 α cos2α = 2cos 2 α – 1

Näidisülesanne. Lahenda võrrand

Lahendus.

13. Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine

Enamasti taandatakse algne võrrand lahendusprotsessi käigus lihtsateks trigonomeetrilisteks võrranditeks. Siiski pole trigonomeetriliste võrrandite jaoks ühtset lahendusmeetodit. Igal konkreetsel juhul sõltub edu trigonomeetriliste valemite tundmisest ja oskusest nende hulgast õigeid valida. Erinevate valemite rohkus teeb selle valiku aga vahel päris keeruliseks.

Võrrandid, mis taandavad ruutudeks

Näidisülesanne. Lahendage võrrand 2 cos 2 x+ 3 patt x = 0

Lahendus. Põhilist trigonomeetrilist identiteeti kasutades saab selle võrrandi taandada patu suhtes ruutvõrrandiks x:

2cos 2 x+3sin x= 0, 2 (1 – sin 2 x) + 3sin x = 0,

2-2 sin 2 x+3sin x= 0, 2sin 2 x– 3 patt x – 2 = 0

Tutvustame uut muutujat y= patt x, siis on võrrand järgmisel kujul: 2 y 2 – 3y – 2 = 0.

Selle võrrandi juured y 1 = 2, y 2 = –0,5.

Tulles tagasi muutuja juurde x ja saame lihtsaimad trigonomeetrilised võrrandid:

1) patt x= 2 – sellel võrrandil pole juuri, sest patt x < 2 при любом значении x;

2) patt x = –0,5,

Vastus:

Homogeensed trigonomeetrilised võrrandid

Näidisülesanne. Lahendage võrrand 2sin 2 x– 3 patt x cos x- 5 cos 2 x = 0.

Lahendus. Vaatleme kahte juhtumit:

1) cos x= 0 ja 2) cos x ≠ 0.

Juhtum 1. Kui cos x= 0, siis on võrrand kujul 2sin 2 x= 0, kust patt x= 0. Kuid see võrdsus ei rahulda cos tingimust x= 0, kuna mitte mingil juhul x Koosinus ja siinus ei kao korraga.

Juhtum 2. Kui cos x≠ 0, siis saame võrrandi jagada cos 2-ga x “Algebra ja matemaatilise analüüsi algus. 10. klass”, nagu paljud teised väljaanded, on saadaval LECTA platvormil. Selleks kasutage pakkumist.

#ADVERTISING_INSERT#

Kõige lihtsamad trigonomeetrilised võrrandid on võrrandid

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

Võrrand cos(x) = a

Selgitus ja põhjendus

Võrrandi cosx = a juured. Millal | a | > 1 võrrandil pole juuri, kuna | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 või kell a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Laske | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Intervallil väheneb funktsioon y = cos x 1-lt -1-le. Kuid kahanev funktsioon võtab kõik oma väärtused ainult ühes definitsioonipiirkonna punktis, seetõttu on võrrandil cos x = a sellel intervallil ainult üks juur, mis arkosiini definitsiooni järgi on võrdne: x 1 = arccos a (ja selle juure jaoks cos x = A).

Koosinus on paarisfunktsioon, seega intervallil [-n; 0] võrrand cos x = ja sellel on samuti ainult üks juur - arv, mis on vastas x 1, see on

x 2 = -arccos a.

Seega intervallil [-n; p] (pikkus 2p) võrrand cos x = a koos | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Funktsioon y = cos x on perioodiline perioodiga 2n, seetõttu erinevad kõik muud juured 2n (n € Z) leitud juurtest. Võrrandi cos x = a millal juurte jaoks saame järgmise valemi

x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.

Võrrandi cosx = a lahendamise erijuhud.

Kasulik on meeles pidada võrrandi cos x = a millal juurte erimärke

a = 0, a = -1, a = 1, mida saab hõlpsasti saada ühikringi viitena kasutades.

Kuna koosinus on võrdne ühikringi vastava punkti abstsissiga, saame, et cos x = 0 siis ja ainult siis, kui ühikringi vastav punkt on punkt A või punkt B.

Samamoodi cos x = 1 siis ja ainult siis, kui ühikringi vastav punkt on punkt C, seega

x = 2πп, k € Z.

Ka cos x = -1 siis ja ainult siis, kui ühikringi vastav punkt on punkt D, seega x = n + 2n,

Võrrand sin(x) = a

Selgitus ja põhjendus

Võrrandi sinx = a juured. Millal | a | > 1 võrrandil pole juuri, kuna | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 või kell a< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Saate tellida oma probleemile üksikasjaliku lahenduse!!!

Võrdsust, mis sisaldab tundmatut trigonomeetrilise funktsiooni märgi all (`sin x, cos x, tan x` või `ctg x`), nimetatakse trigonomeetriliseks võrrandiks ja nende valemeid käsitleme edasi.

Lihtsamad võrrandid on "sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a", kus "x" on leitav nurk, "a" on suvaline arv. Kirjutame üles igaühe juurvalemid.

1. Võrrand "sin x=a".

„|a|>1” puhul pole sellel lahendusi.

Kui `|a| \leq 1`-l on lõpmatu arv lahendusi.

Juurvalem: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Võrrand „cos x=a”.

`|a|>1` puhul - nagu siinuse puhul, pole sellel reaalarvude hulgas lahendeid.

Kui `|a| \leq 1`-l on lõpmatu arv lahendusi.

Juurvalem: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Siinuse ja koosinuse erijuhud graafikutes.

3. Võrrand „tg x=a”.

Sellel on lõpmatu arv lahendusi mis tahes "a" väärtuste jaoks.

Juurvalem: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Võrrand „ctg x=a”.

Sellel on ka lõpmatu arv lahendusi mis tahes "a" väärtuste jaoks.

Juurvalem: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Tabeli trigonomeetriliste võrrandite juurte valemid

Siinuse jaoks:
Koosinuse jaoks:
Tangensi ja kotangensi jaoks:
Valemid pöördtrigonomeetrilisi funktsioone sisaldavate võrrandite lahendamiseks:

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodid

Mis tahes trigonomeetrilise võrrandi lahendamine koosneb kahest etapist:

selle lihtsaimaks muutmise abil;
lahendage ülalpool kirjutatud juurvalemite ja tabelite abil saadud lihtsaim võrrand.

Vaatame näidete abil peamisi lahendusviise.

Algebraline meetod.

See meetod hõlmab muutuja asendamist ja selle asendamist võrdsusega.

Näide. Lahendage võrrand: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,

tehke asendus: "cos(x+\frac \pi 6)=y", siis "2y^2-3y+1=0",

leiame juured: `y_1=1, y_2=1/2`, millest järgneb kaks juhtumit:

1. „cos(x+\frac \pi 6)=1”, „x+\frac \pi 6=2\pi n”, „x_1=-\frac \pi 6+2\pi n”.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Vastus: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktoriseerimine.

Näide. Lahendage võrrand: `sin x+cos x=1`.

Lahendus. Liigutame kõik võrdsuse liikmed vasakule: `sin x+cos x-1=0`. Kasutades , teisendame ja faktoriseerime vasaku külje:

"sin x — 2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 (cos x/2-sin x/2) = 0",

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
„cos x/2-sin x/2=0”, „tg x/2=1”, „x/2=arctg 1+ \pi n”, „x/2=\pi/4+ \pi n” , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Vastus: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Taandamine homogeenseks võrrandiks

Esiteks peate selle trigonomeetrilise võrrandi taandama ühele kahest vormist:

`a sin x+b cos x=0` (esimese astme homogeenne võrrand) või `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (teise astme homogeenne võrrand).

Seejärel jagage mõlemad osad väärtusega „cos x \ne 0” (esimesel juhul) ja „cos^2 x \ne 0” teise puhul. Saame `tg x` võrrandid: `a tg x+b=0` ja `a tg^2 x + b tg x +c =0`, mis tuleb teadaolevate meetoditega lahendada.

Näide. Lahendage võrrand: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Lahendus. Kirjutame paremale poolele `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x',

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

See on teise astme homogeenne trigonomeetriline võrrand, jagame selle vasaku ja parema külje `cos^2 x \ne 0`-ga, saame:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Tutvustame asendust „tg x=t”, mille tulemuseks on „t^2 + t – 2=0”. Selle võrrandi juured on "t_1=-2" ja "t_2=1". Seejärel:

„tg x=-2”, „x_1=arctg (-2)+\pi n”, „n \in Z”
„tg x=1”, „x=arctg 1+\pi n”, „x_2=\pi/4+\pi n”, „n \in Z”.

Vastus. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z.

Poolnurgale liikumine

Näide. Lahendage võrrand: "11 sin x - 2 cos x = 10".

Lahendus. Rakendame topeltnurga valemeid, mille tulemuseks on: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

„4 tg^2 x/2 – 11 tg x/2 +6=0”.

Kasutades ülalkirjeldatud algebralist meetodit, saame:

„tg x/2=2”, „x_1=2 arctg 2+2\pi n”, „n \in Z”,
„tg x/2=3/4”, „x_2=arctg 3/4+2\pi n”, „n \in Z”.

Vastus. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Abinurga tutvustus

Trigonomeetrilises võrrandis 'a sin x + b cos x =c', kus a,b,c on koefitsiendid ja x on muutuja, jagage mõlemad pooled väärtusega "sqrt (a^2+b^2)".

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))".

Vasakpoolsetel koefitsientidel on siinuse ja koosinuse omadused, nimelt nende ruutude summa on 1 ja moodulid ei ole suuremad kui 1. Tähistame neid järgmiselt: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, siis:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Vaatame lähemalt järgmist näidet:

Näide. Lahendage võrrand: `3 sin x+4 cos x=2`.

Lahendus. Jagage võrdsuse mõlemad pooled `sqrt (3^2+4^2)-ga, saame:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".

„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5”.

Tähistame `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Kuna `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, siis võtame abinurgaks `\varphi=arcsin 4/5`. Seejärel kirjutame oma võrdsuse kujul:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Rakendades siinuse nurkade summa valemit, kirjutame oma võrdsuse järgmisel kujul:

„sin (x+\varphi)=2/5”,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z',

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `artsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z'.

Vastus. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `artsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z'.

Murdratsionaaltrigonomeetrilised võrrandid

Need on võrdsused murdudega, mille lugejad ja nimetajad sisaldavad trigonomeetrilisi funktsioone.

Näide. Lahenda võrrand. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x.

Lahendus. Korrutage ja jagage võrdsuse parem külg arvuga „(1+cos x)”. Selle tulemusena saame:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)-` \frac (sin^2 x)(1+cos x)=0

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0

Arvestades, et nimetaja ei saa olla võrdne nulliga, saame `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Võrdlustame murru lugeja nulliga: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Siis „sin x=0” või „1-sin x=0”.

„sin x=0”, „x=\pi n”, „n \in Z”.
„1-sin x=0”, „sin x=-1”, „x=\pi /2+2\pi n, n \in Z”.

Arvestades, et x \ne \pi+2\pi n, n \in Z, on lahendused `x=2\pi n, n \in Z` ja `x=\pi /2+2\pi n` , 'n \in Z'.

Vastus. "x=2\pi n", "n \in Z", "x=\pi /2+2\pi n", "n \in Z".

Trigonomeetriat ja eriti trigonomeetrilisi võrrandeid kasutatakse peaaegu kõigis geomeetria, füüsika ja tehnika valdkondades. Õppimine algab 10. klassist, ühtse riigieksami jaoks on alati ülesandeid, nii et proovige meeles pidada kõiki trigonomeetriliste võrrandite valemeid - need on teile kindlasti kasulikud!

Kuid te ei pea neid isegi pähe õppima, peamine on mõista olemust ja osata seda tuletada. See pole nii raske, kui tundub. Vaadake videot vaadates ise.

Selles õppetükis vaatleme trigonomeetrilised põhifunktsioonid, nende omadused ja graafikud ja ka loend trigonomeetriliste võrrandite ja süsteemide põhitüübid. Lisaks näitame lihtsaimate trigonomeetriliste võrrandite üldlahendused ja nende erijuhud.

See õppetund aitab teil valmistuda ühte tüüpi ülesanneteks B5 ja C1.

Ettevalmistus matemaatika ühtseks riigieksamiks

Katse

Tund 10. Trigonomeetrilised funktsioonid. Trigonomeetrilised võrrandid ja nende süsteemid.

teooria

Tunni kokkuvõte

Oleme juba mitu korda kasutanud terminit "trigonomeetriline funktsioon". Selle teema esimeses õppetunnis määratlesime need täisnurkse kolmnurga ja ühikulise trigonomeetrilise ringi abil. Kasutades neid trigonomeetriliste funktsioonide määramise meetodeid, võime juba järeldada, et nende jaoks vastab üks argumendi väärtus (või nurk) täpselt funktsiooni ühele väärtusele, s.t. meil on õigus kutsuda siinus-, koosinus-, puutuja- ja kotangensfunktsioone.

Selles õppetükis on aeg proovida abstraktsiooni võtta eelnevalt käsitletud trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste arvutamise meetoditest. Täna liigume edasi tavapärase algebralise lähenemise juurde funktsioonidega töötamisel, vaatleme nende omadusi ja kujutame graafikuid.

Seoses trigonomeetriliste funktsioonide omadustega tuleks erilist tähelepanu pöörata:

Määratluspiirkond ja väärtuste vahemik, sest siinuse ja koosinuse puhul kehtivad väärtusvahemiku piirangud ning puutuja ja kotangensi puhul definitsioonivahemiku piirangud;

Kõigi trigonomeetriliste funktsioonide perioodilisus, sest Oleme juba märkinud väikseima nullist erineva argumendi olemasolu, mille lisamine ei muuda funktsiooni väärtust. Seda argumenti nimetatakse funktsiooni perioodiks ja seda tähistatakse tähega . Siinuse/koosinuse ja puutuja/kotangensi puhul on need perioodid erinevad.

Mõelge funktsioonile:

1) määratluse ulatus;

2) Väärtuse vahemik ;

3) Funktsioon on paaritu ;

Koostame funktsiooni graafiku. Sel juhul on mugav alustada konstruktsiooni ala kujutisega, mis piirab graafikut ülalt numbriga 1 ja altpoolt numbriga , mis on seotud funktsiooni väärtuste vahemikuga. Lisaks on ehitamisel kasulik meeles pidada näiteks mitme põhitabeli nurga siinuste väärtusi, et see võimaldab teil konstrueerida graafiku esimese täieliku "laine" ja seejärel joonistada see paremale. vasakule, kasutades ära seda, et pilt kordub perioodi võrra nihkega, s.t. peal .

Vaatame nüüd funktsiooni:

Selle funktsiooni peamised omadused:

1) määratluse ulatus;

2) Väärtuse vahemik ;

3) ühtlane funktsioon See tähendab, et funktsiooni graafik on ordinaadi suhtes sümmeetriline;

4) funktsioon ei ole monotoonne kogu oma määratlusvaldkonnas;

Koostame funktsiooni graafiku. Nagu siinuse koostamisel, on mugav alustada pildiga alast, mis piirab graafikut ülaosas numbriga 1 ja allosas numbriga , mis on seotud funktsiooni väärtuste vahemikuga. Samuti joonistame graafikule mitme punkti koordinaadid, mille jaoks peame meeles pidama mitme põhitabeli nurga koosinuste väärtused, näiteks selleks, et nende punktide abil saaksime ehitada esimese täieliku "laine". ” graafikust ja seejärel joonistada see ümber paremale ja vasakule, kasutades ära asjaolu, et pilt kordub perioodinihkega, s.t. peal .

Liigume edasi funktsiooni juurde:

Selle funktsiooni peamised omadused:

1) Domeen, välja arvatud , kus . Oleme juba eelmistes õppetundides märkinud, et seda pole olemas. Seda väidet saab üldistada, võttes arvesse puutujaperioodi;

2) Väärtuste vahemik, s.o. puutuja väärtused ei ole piiratud;

3) Funktsioon on paaritu ;

4) Funktsioon suureneb monotoonselt oma nn puutujaharude piires, mida näeme nüüd joonisel;

5) Funktsioon on perioodiline ja perioodiline

Koostame funktsiooni graafiku. Sel juhul on konstrueerimist mugav alustada graafiku vertikaalsete asümptootide kujutamisest punktides, mis ei kuulu definitsioonipiirkonda, s.t. jne. Järgmisena kujutame puutuja harusid iga asümptootide moodustatud riba sees, surudes need vasakpoolsele asümptoodile ja paremale. Samal ajal ärge unustage, et iga haru suureneb monotoonselt. Kõiki oksi kujutame ühtemoodi, sest funktsiooni periood on võrdne . Seda on näha sellest, et iga haru saadakse naaberharu nihutamisel mööda abstsisstellge.

Ja lõpetame funktsiooni pilguga:

Selle funktsiooni peamised omadused:

1) Domeen, välja arvatud , kus . Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabelist teame juba, et seda pole olemas. Seda väidet saab üldistada, võttes arvesse kotangensi perioodi;

2) Väärtuste vahemik, s.o. kotangentide väärtused ei ole piiratud;

3) Funktsioon on paaritu ;

4) Funktsioon kahaneb monotoonselt oma harude piires, mis on sarnased puutujaharudega;

5) Funktsioon on perioodiline ja perioodiline

Koostame funktsiooni graafiku. Antud juhul, mis puutub puutujasse, on konstrueerimist mugav alustada graafiku vertikaalsete asümptootide kujutamisest punktides, mis ei sisaldu definitsioonipiirkonnas, s.t. jne. Järgmisena kujutame kotangensi harusid iga asümptootide moodustatud triibu sees, surudes need vasakpoolsele asümptoodile ja paremale. Sellisel juhul võtame arvesse, et iga haru väheneb monotoonselt. Kõiki harusid kujutame sarnaselt puutujale ühtemoodi, sest funktsiooni periood on võrdne .

Eraldi tuleb märkida, et keeruliste argumentidega trigonomeetrilistel funktsioonidel võib olla mittestandardne periood. Me räägime vormi funktsioonidest:

Nende periood on võrdne. Ja funktsioonide kohta:

Nende periood on võrdne.

Nagu näete, jagatakse uue perioodi arvutamiseks standardperiood lihtsalt argumendi teguriga. See ei sõltu funktsiooni muudest muudatustest.

Funktsioonide graafikute koostamise ja teisendamise õppetükis saate täpsemalt aru ja mõistate, kust need valemid pärinevad.

Oleme jõudnud teema “Trigonomeetria” ühe olulisema osani, mille pühendame trigonomeetriliste võrrandite lahendamisele. Selliste võrrandite lahendamise oskus on oluline näiteks võnkeprotsesside kirjeldamisel füüsikas. Kujutagem ette, et olete sõitnud mõne ringi kardiga sportautoga, trigonomeetrilise võrrandi lahendamine aitab teil sõltuvalt auto asukohast rajal kindlaks teha, kui kaua olete võistlusel olnud.

Kirjutame lihtsaima trigonomeetrilise võrrandi:

Sellise võrrandi lahenduseks on argumendid, mille siinus on võrdne . Kuid me juba teame, et siinuse perioodilisuse tõttu on selliseid argumente lõpmatult palju. Seega saab selle võrrandi lahenduseks jne. Sama kehtib ka mis tahes muu lihtsa trigonomeetrilise võrrandi lahendamise kohta, neid on lõpmatu arv.

Trigonomeetrilised võrrandid jagunevad mitmeks põhitüübiks. Eraldi peaksime peatuma kõige lihtsamatel, sest kõik muu taandub neile. Selliseid võrrandeid on neli (vastavalt trigonomeetriliste põhifunktsioonide arvule). Üldised lahendused on neile teada, neid tuleb meeles pidada.

Lihtsamad trigonomeetrilised võrrandid ja nende üldlahendused näeb välja selline:

Pange tähele, et siinuse ja koosinuse väärtused peavad arvestama meile teadaolevate piirangutega. Kui näiteks võrrandil pole lahendeid ja määratud valemit ei tohiks rakendada.

Lisaks sisaldavad määratud juurvalemid parameetrit suvalise täisarvu kujul. Kooli õppekavas on see ainus juhtum, kui parameetrita võrrandi lahend sisaldab parameetrit. See suvaline täisarv näitab, et ükskõik millise ülaltoodud võrrandi juurest on võimalik üles kirjutada lõpmatu arv juuri, lihtsalt asendades kõik täisarvud kordamööda.

Nende valemite detailse tuletamisega saate tutvuda 10. klassi algebraprogrammis peatükki “Trigonomeetrilised võrrandid” korrates.

Eraldi on vaja pöörata tähelepanu kõige lihtsamate siinuse ja koosinusega võrrandite erijuhtude lahendamisele. Need võrrandid näevad välja sellised:

Üldiste lahenduste leidmise valemeid ei tohiks neile rakendada. Selliseid võrrandeid on kõige mugavam lahendada trigonomeetrilise ringi abil, mis annab lihtsama tulemuse kui üldlahendusvalemid.

Näiteks võrrandi lahendus on . Proovige see vastus ise saada ja lahendage ülejäänud näidatud võrrandid.

Lisaks kõige tavalisematele näidatud trigonomeetrilistele võrranditele on veel mitu standardset võrrandit. Loetleme need, võttes arvesse neid, millele oleme juba märkinud:

1) Algloomad, Näiteks, ;

2) Lihtsamate võrrandite erijuhud, Näiteks, ;

3) Keeruka argumendiga võrrandid, Näiteks, ;

4) Võrrandid on taandatud lihtsamaks, võttes välja ühise teguri, Näiteks, ;

5) Võrrandid on trigonomeetriliste funktsioonide teisendamise teel taandatud kõige lihtsamateks, Näiteks, ;

6) Asenduse abil taandatud võrrandid lihtsaimaks, Näiteks, ;

7) Homogeensed võrrandid, Näiteks, ;

8) Võrrandid, mida saab lahendada funktsioonide omaduste abil, Näiteks, . Ärge kartke asjaolu, et selles võrrandis on kaks muutujat, see lahendab ise;

Nagu ka võrrandid, mida lahendatakse erinevate meetoditega.

Lisaks trigonomeetriliste võrrandite lahendamisele peate suutma lahendada nende süsteeme.

Kõige tavalisemad süsteemide tüübid on:

1) Milles üks võrranditest on võimsus, Näiteks, ;

2) Lihtsate trigonomeetriliste võrrandite süsteemid, Näiteks, .

Tänases tunnis vaatlesime põhilisi trigonomeetrilisi funktsioone, nende omadusi ja graafikuid. Tutvusime ka lihtsaimate trigonomeetriliste võrrandite lahendamise üldvalemitega ning tõime ära selliste võrrandite põhitüübid ja nende süsteemid.

Tunni praktilises osas uurime trigonomeetriliste võrrandite ja nende süsteemide lahendamise meetodeid.

1. kast.Lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite erijuhtude lahendamine.

Nagu me juba õppetunni põhiosas ütlesime, on siinuse ja koosinusega trigonomeetriliste võrrandite erijuhud:

neil on lihtsamad lahendused kui need, mis on antud üldlahendusvalemites.

Selleks kasutatakse trigonomeetrilist ringi. Analüüsime võrrandi näitel nende lahendamise meetodit.

Kujutame trigonomeetrilisel ringil punkti, kus koosinus on null, mis on ühtlasi ka abstsisstellje koordinaat. Nagu näete, on kaks sellist punkti. Meie ülesanne on näidata, millega võrdub nurk, mis vastab nendele ringi punktidele.

Loendamist alustame abstsisstelje positiivsest suunast (koosinustelg) ja nurga seadmisel jõuame esimese kujutatud punktini, s.o. üks lahendus oleks see nurga väärtus. Aga teisele punktile vastava nurgaga oleme endiselt rahul. Kuidas sellesse sattuda?

Ülesanne nr 1

Loogika on lihtne: teeme nii nagu varem, hoolimata sellest, et nüüd on trigonomeetrilistel funktsioonidel keerulisem argument!

Kui lahendaksime järgmise vormi võrrandi:

Seejärel paneme kirja järgmise vastuse:

Või (alates)

Kuid nüüd mängib meie rolli see väljend:

Siis saame kirjutada:

Meie eesmärk teiega on tagada, et vasak pool seisaks lihtsalt, ilma igasuguste “lisanditeta”!

Vabanegem neist tasapisi!

Kõigepealt eemaldame nimetaja: selleks korrutage meie võrdsus järgmisega:

Nüüd vabaneme sellest, jagades mõlemad osad:

Nüüd vabaneme kaheksast:

Saadud avaldise saab kirjutada kahe lahenduste seeriana (analoogiliselt ruutvõrrandiga, kus me kas liidame või lahutame diskriminandi)

Peame leidma suurima negatiivse juure! On selge, et peame hakkama saama.

Vaatame kõigepealt esimest episoodi:

Selge on see, et kui võtame, siis jõuame positiivsete arvudeni, aga need meid ei huvita.

Nii et peate selle negatiivseks võtma. Las olla.

Kui juur on kitsam:

Ja me peame leidma suurima negatiivse!! See tähendab, et negatiivses suunas minek pole siin enam mõtet. Ja selle seeria suurim negatiivne juur on võrdne.

Vaatame nüüd teist seeriat:

Ja jälle asendame: , siis:

Ei ole huvitatud!

Siis pole mõtet enam suurendada! Vähendame seda! Lase siis:

Sobib!

Las olla. Siis

Siis - suurim negatiivne juur!

Vastus:

Ülesanne nr 2

Lahendame uuesti, olenemata komplekssest koosinusargumendist:

Nüüd väljendame uuesti vasakul:

Korrutage mõlemad pooled arvuga

Jagage mõlemad pooled

Jääb vaid liigutada see paremale, muutes selle märgi miinusest plussiks.

Saame jälle 2 seeriat juuri, üks koos ja teine koos.

Peame leidma suurima negatiivse juure. Vaatame esimest episoodi:

On selge, et me saame esimese negatiivse juure at, see võrdub ja on suurim negatiivne juur ühes seerias.

Teiseks seeriaks

Esimene negatiivne juur saadakse ka juures ja see on võrdne. Kuna siis on võrrandi suurim negatiivne juur.

Vastus: .

Ülesanne nr 3

Me lahendame, olenemata kompleksse puutuja argumendist.

Nüüd ei tundu see keeruline, eks?

Nagu varemgi, väljendame vasakul küljel:

Noh, see on suurepärane, siin on ainult üks juurte seeria! Leiame taas suurima negatiivse.

Selge on see, et see selgub, kui maha paned. Ja see juur on võrdne.

Vastus:

Proovige nüüd järgmised probleemid ise lahendada.

Kodutöö või 3 ülesannet iseseisvaks lahendamiseks.

Lahendage võrrand.
Lahendage võrrand.
Pi-shi-th-väikseim-võimaliku juure vastuses.
Lahendage võrrand.
Pi-shi-th-väikseim-võimaliku juure vastuses.

Valmis? Kontrollime. Ma ei kirjelda üksikasjalikult kogu lahendusalgoritmi, mulle tundub, et see on juba eespool piisavalt tähelepanu saanud.

Noh, kas kõik on õige? Oh, need vastikud põsekoopad, nendega on alati mingi jama!

Noh, nüüd saate lahendada lihtsaid trigonomeetrilisi võrrandeid!

Vaata lahendusi ja vastuseid:

Ülesanne nr 1

Väljendame

Väikseim positiivne juur saadakse, kui paneme, kuna, siis

Vastus:

Ülesanne nr 2

Väikseim positiivne juur saadakse juures.

See saab olema võrdne.

Vastus: .

Ülesanne nr 3

Millal saame, millal saame.

Vastus: .

Need teadmised aitavad teil lahendada palju probleeme, millega eksamil kokku puutute.

Kui taotlete reitingut "5", peate lihtsalt jätkama artikli lugemist kesktase mis on pühendatud keerukamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamisele (ülesanne C1).

KESKMINE TASE

Selles artiklis kirjeldan keerulisemate trigonomeetriliste võrrandite lahendamine ja kuidas nende juuri valida. Toetun siin järgmistel teemadel:

Trigonomeetrilised võrrandid algajatele (vt ülalt).

Keerulisemad trigonomeetrilised võrrandid on keerukamate probleemide aluseks. Need nõuavad nii võrrandi enda lahendamist üldkujul kui ka selle võrrandi teatud intervallile kuuluvate juurte leidmist.

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine taandub kahele alamülesandele:

Võrrandi lahendamine
Juurte valik

Tuleb märkida, et teine ei ole alati nõutav, kuid enamiku näidete puhul on valik siiski vajalik. Kuid kui seda ei nõuta, võime teile kaastunnet tunda - see tähendab, et võrrand on iseenesest üsna keeruline.

Minu kogemus C1 probleemide analüüsimisel näitab, et need jagunevad tavaliselt järgmistesse kategooriatesse.

Neli keerukamate ülesannete kategooriat (endine C1)

Võrrandid, mis taanduvad faktoriseerimisele.
Võrrandid taandatakse vormiks.
Võrrandid lahendatakse muutuja muutmisega.
Võrrandid, mis nõuavad irratsionaalsuse või nimetaja tõttu täiendavat juurte valimist.

Lihtsamalt öeldes: kui vahele jääd üks esimese kolme tüübi võrranditest, siis peate end õnnelikuks. Nende jaoks peate reeglina lisaks valima teatud intervalli kuuluvad juured.

Kui puutute kokku 4. tüüpi võrrandiga, siis on teil vähem vedanud: peate sellega kauem ja hoolikamalt nokitsema, kuid üsna sageli ei nõua see täiendavat juurte valikut. Sellegipoolest analüüsin seda tüüpi võrrandeid järgmises artiklis ja selle pühendan esimese kolme tüüpi võrrandite lahendamisele.

Võrrandid, mis taanduvad faktoriseerimisele

Kõige olulisem asi, mida peate seda tüüpi võrrandi lahendamisel meeles pidama

Nagu praktika näitab, on reeglina need teadmised piisavad. Vaatame mõnda näidet:

Näide 1. Võrrand, mis on taandatud faktoriseerimiseks, kasutades redutseerimise ja topeltnurga siinuse valemeid

Lahendage võrrand
Leidke kõik selle võrrandi juured, mis asuvad lõike kohal

Siin, nagu ma lubasin, töötavad vähendamise valemid:

Siis näeb minu võrrand välja selline:

Siis võtab minu võrrand järgmise kuju:

Lühinägelik õpilane võib öelda: nüüd ma taandan mõlema poole võrra, võtan kõige lihtsama võrrandi ja naudin elu! Ja ta eksib kibedasti!

PIDage meeles: TE EI SAA KUNAGI VÄHENDADA TRIGONOMEETRILISE VÕRRANDI MÕLEMAT POOLT FUNKTSIOON, MIS SISALDAB TUNDMATUT! NII KAOTAD OMA JUURED!

Mida siis teha? Jah, see on lihtne, liigutage kõik ühele poole ja võtke välja ühine tegur:

Noh, me arvestasime selle tegurite hulka, hurraa! Nüüd otsustame:

Esimesel võrrandil on juured:

Ja teine:

See lõpetab probleemi esimese osa. Nüüd peate valima juured:

Vahe on selline:

Või võib selle kirjutada ka nii:

Noh, võtame juured:

Esiteks töötame esimese episoodiga (ja see on pehmelt öeldes lihtsam!)

Kuna meie intervall on täiesti negatiivne, pole vaja võtta mittenegatiivseid, need annavad ikkagi mittenegatiivsed juured.

Võtame siis - see on liiga palju, see ei taba.

Las see siis olla – ma ei tabanud seda enam.

Veel üks katse – siis – jah, sain hakkama! Esimene juur on leitud!

Lasen uuesti: siis taban uuesti!

Noh, veel kord: : - see on juba lend.

Seega on esimesest seeriast 2 intervalli kuuluvat juurt: .

Töötame teise seeriaga (ehitame võimsusele vastavalt reeglile):

Alalöögi!

Jälle jäi puudu!

Sain aru!

Lend!

Seega on minu intervallil järgmised juured:

See on algoritm, mida kasutame kõigi teiste näidete lahendamiseks. Harjutame koos veel ühe näitega.

Näide 2. Võrrand redutseerimisvalemeid kasutades taandatakse faktoriseerimiseks

Lahenda võrrand

Lahendus:

Jällegi kurikuulsad redutseerimisvalemid:

Ärge proovige uuesti kärpida!

Esimesel võrrandil on juured:

Ja teine:

Nüüd jälle juurte otsimine.

Alustan teise episoodiga, ma tean sellest juba kõike eelmisest näitest! Vaadake ja veenduge, et intervalli kuuluvad juured on järgmised:

Nüüd esimene episood ja see on lihtsam:

Kui - sobib

Kui see ka hea on

Kui see on juba lend.

Siis on juured järgmised:

Iseseisev töö. 3 võrrandit.

Noh, kas tehnika on teile selge? Kas trigonomeetriliste võrrandite lahendamine ei tundugi enam nii keeruline? Seejärel lahendage kiiresti ise järgmised probleemid ja seejärel lahendame teised näited:

Lahenda võrrand
Leidke kõik selle võrrandi juured, mis asuvad intervalli kohal.
Lahendage võrrand
Märkige võrrandi juured, mis asuvad lõike kohal
Lahendage võrrand
Leidke kõik selle võrrandi juured, mis asuvad nende vahel.

1. võrrand.

Ja jälle reduktsioonivalem:

Esimene juurte seeria:

Teine juurte seeria:

Alustame tühimiku valimist

Vastus: ,.

Võrrand 2. Iseseisva töö kontrollimine.

Üsna nutikas teguriteks rühmitamine (kasutan topeltnurga siinuse valemit):

siis või

See on üldine lahendus. Nüüd peame valima juured. Probleem on selles, et me ei saa öelda täpset väärtust nurgale, mille koosinus on võrdne veerandiga. Seetõttu ei saa ma lihtsalt kaarekoosinusest lahti - nii kahju!

Mida ma saan teha, on aru saada, et nii, nii, siis.

Loome tabeli: intervall:

Noh, läbi valusate otsingute jõudsime pettumust valmistavale järeldusele, et meie võrrandil on näidatud intervallil üks juur: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

Võrrand 3: Iseseisva töö test.

Hirmutava välimusega võrrand. Kuid see lahendatakse üsna lihtsalt topeltnurga siinuse valemi rakendamisega:

Vähendame seda 2 võrra:

Rühmitame esimese liikme teise ja kolmanda neljandaga ning võtame välja ühised tegurid:

On selge, et esimesel võrrandil pole juuri ja nüüd kaalume teist:

Üldiselt kavatsesin selliste võrrandite lahendamisel veidi hiljem peatuda, aga kuna see välja tuli, siis pole midagi teha, pean lahendama...

Vormi võrrandid:

See võrrand lahendatakse, jagades mõlemad pooled järgmisega:

Seega on meie võrrandil üks juurte jada:

Peame leidma need, mis kuuluvad intervalli: .

Ehitame uuesti tabeli, nagu ma varem tegin:

Vastus:.

Võrrandid on taandatud kujule:

Noh, nüüd on aeg liikuda võrrandite teise osa juurde, eriti kuna olen juba selgeks teinud, millest uut tüüpi trigonomeetriliste võrrandite lahendus koosneb. Kuid tasub korrata, et võrrand on kujul

Lahendatud, jagades mõlemad pooled koosinusega:

Lahendage võrrand
Märkige võrrandi juured, mis asuvad lõike kohal.
Lahendage võrrand
Märkige nende vahel oleva võrrandi juured.

Näide 1.

Esimene on üsna lihtne. Liikuge paremale ja rakendage topeltnurga koosinusvalemit:

Jah! Vormirõrrand: . Jagan mõlemad osad arvuga

Teostame juurte sõeluuringut:

Vahe:

Vastus:

Näide 2.

Kõik on ka üsna triviaalne: avame parempoolsed sulud:

Põhiline trigonomeetriline identiteet:

Topeltnurga siinus:

Lõpuks saame:

Juuresõeluuringud: intervall.

Vastus:.

Noh, kuidas teile see tehnika meeldib, kas see pole liiga keeruline? Loodan, et mitte. Võime kohe teha reservatsiooni: puhtal kujul võrrandid, mis taanduvad kohe puutuja võrrandiks, on üsna haruldased. Tavaliselt on see üleminek (koosinusega jagamine) vaid osa keerulisemast probleemist. Siin on teile harjutamiseks näide:

Lahendage võrrand
Leidke kõik selle võrrandi juured, mis asuvad lõike kohal.

Kontrollime:

Võrrandi saab kohe lahendada, piisab, kui jagada mõlemad pooled:

Juuresõeluuringud:

Vastus:.

Ühel või teisel viisil pole me veel kohanud seda tüüpi võrrandeid, mida just uurisime. Siiski on meil veel vara seda päevaks nimetada: on veel üks võrrandite “kiht”, mida me pole analüüsinud. Niisiis:

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine muutujate muutmise teel

Siin on kõik läbipaistev: vaatame võrrandit tähelepanelikult, lihtsustame seda nii palju kui võimalik, teeme asendusi, lahendame selle, teeme pöördasenduse! Sõnades on kõik väga lihtne. Vaatame tegevuses:

Näide.

Lahendage võrrand:.
Leidke kõik selle võrrandi juured, mis asuvad lõike kohal.

Noh, siin soovitab meile end asendada!

Siis muutub meie võrrand järgmiseks:

Esimesel võrrandil on juured:

Ja teine on selline:

Nüüd leiame intervalli kuuluvad juured

Vastus:.

Vaatame koos veidi keerulisemat näidet:

Lahendage võrrand
Märkige antud võrrandi juured, mis asuvad nende vahel.

Siin ei ole asendus kohe näha, pealegi pole see eriti ilmne. Mõelgem kõigepealt: mida me saame teha?

Võime näiteks ette kujutada

Ja samal ajal

Siis saab minu võrrand järgmise kuju:

Ja nüüd tähelepanu, keskenduge:

Jagame võrrandi mõlemad pooled järgmisega:

Järsku on sinul ja minul ruutvõrrandi sugulane! Teeme asendus, siis saame:

Võrrandil on järgmised juured:

Ebameeldiv teine juurte seeria, aga midagi ei saa teha! Valime intervallis juured.

Peame ka sellega arvestama

Sellest ajast ja siis

Vastus:

Selle tugevdamiseks enne, kui hakkate ise probleeme lahendama, on siin teile veel üks harjutus:

Lahendage võrrand
Leidke kõik selle võrrandi juured, mis asuvad nende vahel.

Siin tuleb silmad lahti hoida: meil on nüüd nimetajad, mis võivad olla nullid! Seetõttu peate olema juurte suhtes eriti tähelepanelik!

Kõigepealt pean võrrandi ümber korraldama, et saaksin teha sobiva asendus. Ma ei suuda praegu midagi paremat välja mõelda, kui puutuja siinuse ja koosinuse järgi ümber kirjutada:

Nüüd liigun koosinuse juurest siinuse juurde, kasutades trigonomeetrilist põhiidentiteeti:

Ja lõpuks toon kõik ühise nimetaja juurde:

Nüüd võin liikuda võrrandi juurde:

Aga kell (st kell).

Nüüd on kõik asendamiseks valmis:

Siis või

Pane aga tähele, et kui, siis samas!

Kes selle all kannatab? Puutuja probleem seisneb selles, et seda ei määratleta, kui koosinus on võrdne nulliga (toimub nulliga jagamine).

Seega on võrrandi juured:

Nüüd sõelume intervalli juured välja:


	- sobib
	- liialdamine

Seega on meie võrrandil intervallil üks juur ja see on võrdne.

Näete: nimetaja ilmumine (nagu puutuja, toob juurtega kaasa teatud raskusi! Siin peate olema ettevaatlikum!).

Noh, teie ja mina oleme trigonomeetriliste võrrandite analüüsimise peaaegu lõpetanud, on jäänud väga vähe – kaks ülesannet iseseisvalt lahendada. Siin nad on.

Lahenda võrrand
Leidke kõik selle võrrandi juured, mis asuvad lõike kohal.
Lahendage võrrand
Märkige selle võrrandi juured, mis asuvad lõike kohal.

Otsustas? Kas pole väga raske? Kontrollime:

Töötame redutseerimisvalemite järgi:
Asendage võrrand:
Kirjutame kõik koosinuste kaudu ümber, et asendust oleks lihtsam teha:
Nüüd on asendus lihtne teha:
On selge, et see on kõrvaline juur, kuna võrrandil pole lahendeid. Seejärel:
Otsime intervallis vajalikke juuri
Vastus:.
Siin on asendus kohe näha:
Siis või

- sobib! - sobib!
- sobib! - sobib!
- palju! - ka palju!
Vastus:

Noh, see on nüüd kõik! Kuid trigonomeetriliste võrrandite lahendamine ei lõpe kõige raskematel juhtudel: kui võrrandid sisaldavad irratsionaalsust või mitmesuguseid "keerulisi nimetajaid". Kuidas selliseid ülesandeid lahendada, vaatame edasijõudnutele mõeldud artiklis.

EDASIJÕUDNUTE TASE

Lisaks kahes eelmises artiklis käsitletud trigonomeetrilistele võrranditele käsitleme veel üht võrrandite klassi, mis nõuavad veelgi hoolikamat analüüsi. Need trigonomeetrilised näited sisaldavad kas irratsionaalsust või nimetajat, mis muudab nende analüüsi keerulisemaks. Siiski võite eksamitöö C osas neid võrrandeid kohata. Igal pilvel on aga hõbedane vooder: selliste võrrandite puhul reeglina enam ei tõstatata küsimust, milline selle juurtest antud intervalli kuulub. Ärme löö võsa, vaid läheme otse trigonomeetriliste näidete juurde.

Näide 1.

Lahendage võrrand ja leidke lõigule kuuluvad juured.

Lahendus:

Meil on nimetaja, mis ei tohiks olla võrdne nulliga! Siis on selle võrrandi lahendamine sama, mis süsteemi lahendamine

Lahendame kõik võrrandid:

Ja nüüd teine:

Vaatame nüüd sarja:

On selge, et see valik meile ei sobi, kuna sel juhul lähtestatakse meie nimetaja nullile (vt teise võrrandi juurte valemit)

Kui, siis on kõik korras ja nimetaja pole null! Siis on võrrandi juured järgmised: , .

Nüüd valime intervalli kuuluvad juured.


	- ei sobi	- sobib
	- sobib	- sobib
	liialdamine	liialdamine

Siis on juured järgmised:

Näete, isegi väikese müra ilmumine nimetaja kujul mõjutas võrrandi lahendust oluliselt: me jätsime kõrvale rea juurtest, mis nimetaja tühistasid. Asjad võivad muutuda veelgi keerulisemaks, kui satute trigonomeetriliste näidetega, mis on irratsionaalsed.

Näide 2.

Lahendage võrrand:

Lahendus:

Vähemalt ei pea te juuri ära võtma ja see on hea! Esmalt lahendame võrrandi, olenemata irratsionaalsusest:

Niisiis, kas see on kõik? Ei, paraku, see oleks liiga lihtne! Peame meeles pidama, et juure all võivad esineda ainult mittenegatiivsed arvud. Seejärel:

Selle ebavõrdsuse lahendus on järgmine:

Nüüd jääb üle välja selgitada, kas osa esimese võrrandi juurtest sattus tahtmatult sinna, kus ebavõrdsus ei kehti.

Selleks saate uuesti kasutada tabelit:


	: , Aga	Ei!
		Jah!
		Jah!

Nii "kukkus välja" üks mu juurtest! Selgub, kui paned selle maha. Siis saab vastuse kirjutada järgmiselt:

Vastus:

Näete, juur nõuab veelgi rohkem tähelepanu! Teeme asja keerulisemaks: olgu mul nüüd juure all trigonomeetriline funktsioon.

Näide 3.

Nagu varemgi: kõigepealt lahendame igaüks eraldi ja siis mõtleme, mida oleme teinud.

Nüüd teine võrrand:

Nüüd on kõige keerulisem teada saada, kas aritmeetilise juure all saadakse negatiivseid väärtusi, kui asendada juured esimesest võrrandist:

Arvu tuleb mõista radiaanidena. Kuna radiaan on ligikaudu kraadi, siis on radiaanid kraadide suurusjärgus. See on teise veerandi nurk. Mis on teise veerandi koosinuse märk? Miinus. Aga siinus? Pluss. Mida me saame öelda väljendi kohta:

See on vähem kui null!

See tähendab, et see ei ole võrrandi juur.

Nüüd on aeg.

Võrdleme seda arvu nulliga.

Kootangens on funktsioon, mis väheneb 1 veerandiga (mida väiksem argument, seda suurem on kotangent). radiaanid on ligikaudu kraadid. Samal ajal

aastast, siis ja seetõttu
,

Vastus:.

Kas see saaks veel keerulisemaks minna? Palun! See on keerulisem, kui juur on endiselt trigonomeetriline funktsioon ja võrrandi teine osa on jällegi trigonomeetriline funktsioon.

Mida rohkem trigonomeetrilisi näiteid, seda parem, vt allpool:

Näide 4.

Juur ei sobi piiratud koosinuse tõttu

Nüüd teine:

Samal ajal juure määratluse järgi:

Peame meeles pidama ühikuringi: nimelt need veerandid, kus siinus on väiksem kui null. Mis need kvartalid on? Kolmas ja neljas. Siis tunneme huvi nende esimese võrrandi lahendite vastu, mis asuvad kolmandas või neljandas kvartalis.

Esimene seeria annab juured, mis asuvad kolmanda ja neljanda veerandi ristumiskohas. Teine seeria - sellele diametraalselt vastupidine - tekitab juured, mis asuvad esimese ja teise kvartali piiril. Seetõttu see sari meile ei sobi.

Vastus: ,

Ja jälle trigonomeetrilised näited "raske irratsionaalsusega". Meil pole mitte ainult trigonomeetriline funktsioon jälle juure all, vaid nüüd on see ka nimetajas!

Näide 5.

Noh, midagi ei saa teha – teeme nagu varem.

Nüüd töötame nimetajaga:

Ma ei taha trigonomeetrilist ebavõrdsust lahendada, seega teen midagi tarka: võtan ja asendan oma juurte jada ebavõrdsusega:

Kui - on paaris, siis on meil:

kuna kõik vaatenurgad asuvad neljandas kvartalis. Ja jälle püha küsimus: mis on siinuse märk neljandas veerandis? Negatiivne. Siis ebavõrdsus

Kui -paar, siis:

Millises veerandis asub nurk? See on teise veerandi nurk. Siis on kõik nurgad jälle teise veerandi nurgad. Siinus on positiivne. Just see, mida vajate! Nii et seeria:

Sobib!

Teise seeria juurtega käsitleme samamoodi:

Asendame oma ebavõrdsusega:

Kui - isegi, siis

Esimese veerandi nurgad. Siinus on positiivne, mis tähendab, et sari sobib. Kui nüüd - veider, siis:

sobib ka!

Noh, nüüd paneme vastuse kirja!

Vastus:

Noh, see oli võib-olla kõige töömahukam juhtum. Nüüd pakun teile probleeme, mida saate ise lahendada.

Koolitus

Lahendage ja leidke kõik lõiku kuuluvad võrrandi juured.

Lahendused:

Esimene võrrand:
või
Juure ODZ:
Teine võrrand:
Intervalli kuuluvate juurte valik
Vastus:

Või
või
Aga

Mõelgem: . Kui - isegi, siis
- ei sobi!
Kui - paaritu, : - sobib!
See tähendab, et meie võrrandil on järgmised juured:
või
Juurte valik intervallis:


	- ei sobi	- sobib
	- sobib	- palju
	- sobib	palju

Vastus: ,.

Või
Kuna siis puutuja pole määratletud. Me viskame selle juurte seeria kohe kõrvale!

Teine osa:

Samas DZ sõnul nõutakse seda

Kontrollime esimeses võrrandis leitud juuri:

Kui märk:

Esimese veerandi nurgad, kus puutuja on positiivne. Ei sobi!
Kui märk:

Neljanda veerandi nurk. Seal on puutuja negatiivne. Sobib. Kirjutame vastuse üles:

Vastus: ,.

Oleme selles artiklis koos vaadanud keerulisi trigonomeetrilisi näiteid, kuid võrrandid peaksite ise lahendama.

KOKKUVÕTE JA PÕHIVALEMID

Trigonomeetriline võrrand on võrrand, milles tundmatu on rangelt trigonomeetrilise funktsiooni märgi all.

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks on kaks võimalust:

Esimene võimalus on valemite kasutamine.

Teine viis on läbi trigonomeetrilise ringi.

Võimaldab mõõta nurki, leida nende siinused, koosinused jne.