Теория определителей. Реферат: Теория Матриц и Определителей. Союзная или присоединенная матрица

Средняя школа № 45.

Город Москва.

Ученик 10 класса “Б” Горохов Евгений

Курсовая работа (черновик).

Введение в теорию матриц и определителей .

1. Матрицы.........................................................................................................................................................

1.1 Понятие матрицы....................................................................................................................................

1.2 Оновные операции над матрицами................................................................................................

2. Определители...........................................................................................................................................

2.1 Понятие определителя..........................................................................................................................

2.2 Вычисление определителей................................................................................................................

2.3 Основные свойства определителей................................................................................................

3. Системы линейных уравнений................................................................................................

3.1 Основные определения.........................................................................................................................

3.2 Условие совместности систем линейных уравнений...........................................................

3.3 Решение ситем линейных уравнений метедом Крамера.....................................................

3.4 Решение ситем линейных уравнений метедом Гаусса........................................................

4. Обратная матрица.................................................................................................................................

4.1 Понятие обратной матрицы................................................................................................................

4.2 Вычесление обратной матрицы........................................................................................................

Список литературы..................................................................................................................................

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m = n , матрица называется квадратной, а число m = n -- ее порядком .

Основными арифметическими операциями над матрицами являются умножение матрицы на число, сложение и умножение матриц.

Перейдем к определению основных операций над матрицами.

Сложение матриц : Суммой двух матриц, например: A и B , имеющих одинаковое количество строк и столбцов, иными словами, одних и тех же порядков m и n называется матрица С = (С ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) тех же порядков m и n , элементы Cij которой равны.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2 )

Для обозначения суммы двух матриц используется запись C = A + B. Операция составления суммы матриц называется их сложением

Итак по определению имеем:

+ =

=

Из определения суммы матриц, а точнее из формулы (1.2 ) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:

1) переместительным свойством: A + B = B + A

2) сочетательным свойством: (A + B) + C = A + (B + C)

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

Умножение матрицы на число :

Произведением матрицы на вещественное число называется матрица C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , элементы которой равны

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3 )

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C = A или C = A . Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

Непосредственно из формулы (1.3 ) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

1) распределительным свойством относительно суммы матриц:

(A + B) = A + B

2) сочетательным свойством относительно числового множителя:

() A = ( A)

3) распределительным свойством относительно суммы чисел:

( + ) A = A + A .

Замечание : Разностью двух матриц A и B одинаковых порядков естественно назвать такую матрицу C тех же порядков, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A . Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: C = A – B.

Перемножение матриц :

Произведением матрицы A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , имеющей порядки соответственно равные m и n , на матрицу B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , имеющую порядки соответственно равные n и p , называется матрица C = (С ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , имеющая порядки, соответственно равные m и p , и элементы Cij , определяемые формулой

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4 )

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись

C = AB . Операция составления произведения матрицы A на матрицу B называется перемножением этих матриц. Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B : необходимо чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B . Для того чтобы оба произведения AB и BA не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и B были квадратными матрицами одного и того же порядка.

Формула (1.4 ) представляет собой правило составления элементов матрицы C ,

являющейся произведением матрицы A на матрицу B . Это правило можно сформулировать и словесно: Элемент Cij , стоящий на пересечении i -й строки и j- го столбца матрицы C = AB , равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i -й строки матрицы A и j- го столбца матрицы B . В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка

Из формулы (1.4 ) вытекают следующие свойства произведения матрицы A на матрицу B :

1) сочетательное свойство: (AB) C = A (BC);

2) распределительное относительно суммы матриц свойство:

(A + B) C = AC + BC или A (B + C) = AB + AC.

Вопрос о перестановочном свойстве произведения матриц имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Элементарные примеры показывают, что произведений двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает, вообще говоря, перестановочным свойством. В самом деле, если положить

A = , B =

Те же матрицы, для произведения которых справедливо перестанавочное свойство, принято называть коммутирующими.

Метрические и нормированные пространства.

Евклидовы и унитарные пространства.

Евклидовы пространства. Скалярное произведение в евклидовом пространстве и его свойства.

Длина вектора в евклидовом пространстве, угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника.

Ортогональные и ортонормированные системы векторов в евклидовом пространстве. Скалярное произведение в ортонормированном базисе.

Процесс Штурма ортогонализации системы векторов.

Изоморфизм евклидовых пространств.

Унитарные пространства. Скалярное произведение в унитарном пространстве и его свойства.

Длина вектора в унитарном пространстве. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника.

Ортогональные и ортонормированные системы в унитарном пространстве. Скалярное произведение в ортонормированном базисе.

Ортогональное дополнение к подпространству. Свойства ортогонального дополнения.

Представление пространства в виде прямой суммы подпространства и его ортогонального дополнения.

Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора на подпространство.

Расстояние между вектором и подпространством, вектором и многообразием.

Угол между вектором и подпространством евклидового пространства, угол между вектором и многообразием евклидового пространства.

Метрические пространства. Предел последовательности в метрическом пространстве.

Шары в метрическом пространстве. Ограниченные множества. Предельные точки.

Полнота метрических пространств. Теорема о вложенных шарах.

Нормированные пространства. Связь нормированных и метрических пространств.

Покоординатная сходимость и сходимость по норме, связь между ними. Полнота нормированных пространств.

Линейные функционалы на линейном пространстве. Пространство линейных функционалов.

Билинейные функционалы на линейном пространстве. Симметричные и антисимметричные билинейные функционалы.

Полилинейные функционалы на линейном пространстве. Симметричные, антисимметричные, абсолютно симметричные и абсолютно антисимметричные полилинейные функционалы.

Определитель квадратной матрицы, как полилинейный абсолютно антисимметричный функционал. Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядка.

Свойства определителей.

Разложение определителя по элементам строки или по элементам столбца.

Миноры порядка, их алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.

Метод вычисления определителей порядка приведением к треугольному виду.

Метод выделения линейных множителей при вычислении определителей порядка. Определитель Вандермонда.

Метод рекуррентных соотношений при вычислении определителя порядка.

Метод представления определителя в виде суммы двух определителей при вычислении определителей порядка.

Метод изменения элементов определителя при вычислении определителей порядка.

Определители второго и третьего порядка.

Числа m и n называются размерностями матрицы.

Матрица называется квадратной , если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы.

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы. Это число называется определителем.

Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом: .

При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.

Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

Замечание. Для того чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило Крамера (треугольников). Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:

Образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали:

14. Определители -го порядка. (определители высших порядков)

Определителем n -го порядка, соответствующим матрице n´n, называется число:

Основные методы вычисления определителей:

1) Метод понижения порядка определителя основан на соотношении: (1)

где называется алгебраическим дополнением элемента -го. Минором элемента -го называется определитель n-1 порядка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием i -той строки и j -го столбца.

Соотношение (1) называется разложением определителя по i -той строке. Аналогично можно записать и разложение определителя по столбцу:

Теорема: Для любой квадратной матрицы имеет место равенство ,

где и – символ Кронекера

2) Метод приведения к треугольному виду основан на седьмом свойстве определителей.

Пример: Вычислить определитель: Вычтем первую строку из всех остальных.

3) Метод рекуррентных соотношений позволяет выразить данный определитель через определитель того же вида, но более низкого порядка.

Перестановки, инверсии.

Всякое расположение чисел 1, 2, ..., n в некотором определенном порядке, называется перестановкой из n символов (чисел).

Общий вид перестановки: .

Ни одно из не встречается в перестановке дважды.

Перестановка называется четной , если ее элементы составляют четное число инверсий, и нечетной в противном случае.

Числа k и р в перестановке составляют инверсию (беспорядок) , если k > р, но k стоит в этой перестановке перед р.

Три свойства перестановок.

Свойство 1: Число различных перестановок равно ( , читается: «n факториал»).

Доказательство. Число перестановок совпадает с числом способов, которыми можно составить различные перестановки. При составлении перестановок в качестве j 1 можно взять любое из чисел 1, 2, …, n , что дает n возможностей. Если j 1 уже выбрано, то в качестве j 2 можно взять одно из оставшихся n – 1 чисел, и число способов, которыми можно выбрать j 1 и j 2 будет равно и т.д. Последнее число в перестановке можно выбрать только одним способом, что дает способов, а значит, и перестановок.

Свойство 2: Всякая транспозиция меняет четность перестановки.

Доказательство. Случай 1. Транспонируемые числа стоят в перестановке рядом, т.е. она имеет вид (..., k , p , ...), здесь многоточием (...) отмечены числа, которые при транспозиции остаются на своих местах. Транспозиция превращает ее в перестановку вида (..., p , k ,...). В этих перестановках каждое из чисел k , р составляет одни и те же инверсии с числами, остающимися на местах. Если числа k и p ранее не составляли инверсии, (т.е. k < р ), то в новой перестановке появится еще одна инверсия и число инверсий увеличится на одну; если же k и р составляли инверсию, то после транспозиции число инверсий станет меньше на одну. В любом случае четность перестановки меняется.

Свойство 3: при перестановке определитель меняет знак.

17. Свойства определителей: определитель транспонированной матрицы, перемена местами строк в определителе, определитель матрицы с одинаковыми строками.

Свойство 1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.

Доказательство.

Замечание. Следующие свойства определителей будут формулироваться только для строк. При этом из свойства 1 следует, что теми же свойствами будут обладать и столбцы.

Свойство 6 . При перестановке двух строк определителя он умножается на –1.

Доказательство.

Свойство 4. Определитель, имеющий две равные строки, равен 0:

Доказательство:

18. Свойства определителей: разложение определителя по строке.

Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент.

Обозначение: выбранный элемент определителя, его минор.

Пример. Для

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i+j есть число четное, или число, противоположное минору, если i+j нечетно, т.е.

Рассмотрим еще один способ вычисления определителей третьего порядка – так называемое разложение по строке или столбцу. Для этого докажем следующую теорему:

Теорема: Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е.: где i=1,2,3.

Доказательство.

Докажем теорему для первой строки определителя, так как для любой другой строки или столбца можно провести аналогичные рассуждения и получить тот же результат.

Найдем алгебраические дополнения к элементам первой строки:

Доказательство этого свойства можно провести самостоятельно, сравнив значения левой и правой частей равенства, найденные с помощью определения 1.5.

ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Теория определителей возникла в XVIII веке в связи с задачей решения систем линейных алгебраических уравнений. Однако, впоследствии определители нашли применение в самых различных разделах математики, в частности, в векторной алгебре, аналитической геометрии и математическом анализе.

§ 1. Определители второго порядка

Рассмотрим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными и

,

где
- числовые коэффициенты системы (1).

Таблица, составленная из коэффициентов этой системы

,

называется матрицей коэффициентов системы (1).

Матрице (2) ставится в соответствие число, называемое определителем матрицы
, которое обозначается
и вычисляется по правилу , т.е. определитель второго порядка равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали и на побочной диагонали матрицы . Определитель матрицы обозначают так

.

Найдём решение системы (1). Нетрудно убедиться, что оно выражается через коэффициенты системы так (предполагаем, что
):

;
.

Мы видим, что в знаменателе выражений для и стоит определитель , в числителе также стоят определители, которые мы обозначим через
и соответственно, т.е.

,
.

Нетрудно заметить, что определитель получается из определителя , если в нём заменить столбец коэффициентов при (первый столбец) столбцом из свободных членов, а определитель
- если второй столбец определителя заменить столбцом из свободных членов. Тогда решение системы (4) можно записать так:

,
(
).

Эти формулы называются формулами Крамера . Итак, для того, чтобы найти решение линейной алгебраической системы второго порядка достаточно подсчитать три определителя , , и составить их отношение.

Пример 1 . Найти по формулам Крамера решение линейной алгебраической системы

.

Решение . Вычислим определители , , :

По формулам Крамера

.

Итак,

.

Основные свойства определителей второго порядка

1.Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами, т.е.

2.При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный, т.е.

3.Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя, т.е. , например,

4.Определитель с одинаковыми строчками (столбцами) равен нулю, т.е.

5.Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю, т.е. например,

6.Если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится, т.е. например

Все эти свойства доказываются непосредственным вычислением левой и правой части выражений, входящих в рассматриваемые равенства. Докажем, например, свойство 6.

Для этого вычислим определитель, стоящий в левой части равенства:

§ 2. Определители третьего порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу (таблицу) третьего порядка

.

Если в этой матрице вычеркнуть любую строку и любой столбец, то оставшиеся элементы образуют квадратную матрицу второго порядка. Из квадратной матрицы третьего порядка можно получить девять квадратных матриц второго порядка. Введём несколько новых понятий.

Определение 1 . Минором элемента матрицы третьего порядка называют определитель матрицы второго порядка, которая получается из данной матрицы вычёркиванием -ой строки и -го столбца, т.е. строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Минор элемента обозначается символом
. Например, минором элемента
матрицы (1) является определитель

.

Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента матрицы третьего порядка называют число, равное произведению минора этого элемента на
.

Иначе: алгебраическое дополнение элемента - это минор, если сумма индексов
чётная, и минор, взятый с противоположным знаком, если сумма индексов нечётная. Алгебраическое дополнение элемента обозначается
, т.е. по определению
.

Пример 1. Вычислить алгебраические дополнения
и
матрицы

.

;
.

Замечание . Можно говорить также о минорах и алгебраических дополнениях элементов матрицы второго порядка, если под определителем матрицы, состоящей из одного элемента (матрицы первого порядка), понимать число, равное этому элементу.

Определение 3. Определителем (детерминантом ) квадратной матрицы третьего порядка (определителем третьего порядка ) называем число, равное сумме попарных произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения . Т.е. по определению имеем

.

Пример 2 . Вычислить определитель матрицы

Замечание . Если в формулу (3) подставить выражения алгебраических дополнений через элементы матрицы, то получим

В этой формуле шесть слагаемых, причём каждое из них является произведением трёх элементов матрицы: по одному из каждой строки и из каждого столбца; три слагаемых входит со знаком «+», а три со знаком «-». В курсах высшей алгебры формула (4) принимается в качестве определения определителя третьего порядка.

§ 3. Основные свойства определителей 3-го порядка.

Нетрудно убедиться, что все свойства определителей 2-го порядка справедливы и для определителей 3-го порядка. Но как более сложный объект, определители 3-го порядка имеют и дополнительные свойства. Сформулируем и докажем все свойства полностью.

1.Определитель не изменяется, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами, т.е.

.

Доказывается разложением каждого определителя по элементам первой строки. В результате получаем одно и то же выражение.

2.Определитель равен сумме попарных произведений элентов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Окажем, например, равенство

Следовательно, .

Это свойство называют свойством разложения по элементам строки или столбца.

3.При перестановке двух строк определитель меняет знак на противоположный.

Доказательство . Пусть в матрице третьего порядка перестановлены первая и третья строки. Покажем, что

Разлагая определитель, стоящий в левой части равенства (3), по элементам первой строки, получим

Разлагая же определитель, стоящий в правой части этого равенства, по элементам третьей строки, получим

т.е. то же выражение, но с противоположным знаком.

4.Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), равен нулю.

Доказательство . Пусть - определитель матрицы с двумя одинаковыми строками. Если эти строки переставить местами, то определитель должен поменять знак. Но так как строки одинаковы, то определитель не изменится. Т.е. имеем
, откуда
или

5.Если все элементы какой-либо строки определителя умножить на число К, то весь определитель умножится на это число.

Доказательство . Покажем, например, что

.

Разложим по элементам второй строки. Тогда левая часть равенства может быть записана так:

где - определитель матрицы .

Это свойство иногда формулируют так: общий множитель всех элементов строки можно выносить за знак определителя.

6.Определитель, у которого соответствующие элементы двух строк пропорциональны, равен нулю.

Доказательство . Пусть, например, элементы третьей строки пропорциональны элементам первой, т.е.

Тогда, используя свойство 5, а затем 4, будем иметь

7.Определитель, у которого все элементы какой-либо строки пред-ставляют собой сумму двух слагаемых, равен сумме двух определителей, получаемых из данного заменой элементов рассматриваемой строки соответственно на первые и вторые слагаемые.

Доказательство . Пусть, например,

8.Определитель не меняется, если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы любой другой строки, умноженные на общий множитель

Доказательство . Прибавим, например, к элементам первой строки соответствующие элементы третьей строки, умноженные на одно и то же число . Тогда, по свойству 7, а затем по свойству 6, будем иметь

9. Теорема замещения . Сумма произведений алгебраических дополнений какой-либо строки на числа , и равна определителю матрицы, получающиеся из данной, заменой рассматриваемых элементов соответственно на числа , и .

Доказательство . Рассмотрим, например, сумму произведений элементов первой строки на алгебраические дополнения элементов третьей строки:

и определитель

.

Разложив его по элементам первой строки, получим , т.е. исходное выражение.

10. Сумма произведений элементов какой-либо строки на алгебраические дополнения другой строки равна нулю.

Доказательство . Рассмотрим, например, сумму произведений элементов третьей строки:

По теореме замещения (свойство 9) это выражение равно определителю, в третьей строке которой стоят числа , и
:

.

Этот определитель равен нулю по свойству 4, так как первая и третья строки совпадают.

Перечисленные свойства, особенно свойство 8, позволяют значительно упростить вычисление определителя, в частности свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению одного определителя второго порядка, вместо трёх.

Пример . Вычислить определитель

Прежде всего заметим, что элементы второго столбца имеют общий множитель 2, а элементы третьей строки – общий множитель 3. Поэтому, вынося эти множители за знак определителя, получим

.

Прибавляя теперь третью строку к первой, будем иметь

.

Разлагая этот определитель по элементам первой строки, в которой только один элемент отличен от нуля, получим

.

§ 4. Определители высших порядков

Определители высших порядков, т.е. четвёртого, пятого и т.д., определяются с помощью определителей меньшего порядка точно так, как был определён определитель третьего порядка.

Так, определитель четвёртого порядка равен по определению

,

где ,, и
- элементы первой строки, а
, ,
и
- соответствующие им алгебраические дополнения. Миноры и алгебраические дополнения определяются точно так же, как и для определителей третьего порядка. Таким образом, вычисление определителя четвёртого порядка сводится к вычислению четырёх определителей третьего порядка.

Определитель порядка n по определению

.

Как видно, определитель n - го порядка определяется через n определителей n -1 порядка, каждый из них определяется через
определитель порядка n -2 и т.д.. Доводя разложение до определителей 2-го порядка и вычисляя их, получаем, что определитель n - го порядка представляет собой алгебраическую сумму n ! с лагаемых.

Все свойства, сформулированные и доказанные для определителей третьего порядка, справедливы и для определителей
-го порядка. И доказываются они аналогично.

Для вычисления определителей порядка используем свойство 8. С помощью этого свойства добиваемся того, чтобы в одной из строк или в одном из столбцов, все элементы, кроме одного, были равными нулю. Так что вычисление определителя - го порядка можно свести к вычислению одного определителя порядка .

Пример . Вычислить определитель пятого порядка

Замечаем, что в третьем столбце два элемента равны нулю. Можно в этом столбце получить ещё два нулевых элемента, если ко второй и четвёртой строкам прибавить пятую строку, умноженную соответственно на 3 и на «-4». Тогда получим

.

Таким образом

Для вычисления полученного определителя 4-го порядка прибавим к первой, третьей и четвёртой строкам вторую строку, умноженную соответственно на 2, -3, -2. Получим

Разлагая теперь определитель по элементам первого столбца, получим (вынося предварительно за знак определителя множитель «-10» у элементов третьей строки), что

Прибавляя к первой строке третью строку, будем иметь

Замечание . Существует и другое определение определителя матрицы порядка n : это сумма всевозможных произведений элементов, взятых по одному из каждой строчки, по одному из каждого столбца и снабженных знаком по определённому правилу. Более подробно с теорией определителей можно ознакомиться, например, по книге А.Г. Куроша «Курс высшей алгебры».

§5. Исследование и решение систем линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений третьего порядка

Исключая по очереди переменные , и , переходим к формулам; можно не вычислять, так как из того, что определитель матрицы A обозначается detA. Определителем n- ...

С линейными задачами, использующими теорию матриц, связан аппарат так называемых определителей, очень ценный по широте приложений к теоретическим вопросам.

1. Наводящие соображения.

Рассмотрим в общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Допустим, что система имеет решение и пара х, у составляет решение, так что оба уравнения уже обратились в верные равенства. Умножим обе части первого равенства на второго на и вычтем. Получим

Теперь первое равенство умножим на второе на , и сложим. Получим

Предположим, что . Тогда

Таким образом, предположив, что решение существует, мы смогли его найти. Теперь перед нами альтернатива - либо решение существует и тогда оно дается формулами (2), либо решение не существует. Для того чтобы отделаться от второй возможности, нужно только установить, что формулы (2) действительно дают решение системы, для чего следует подставить х и у из (2) в систему (1). Сделаем это:

Мы видим, что оба уравнения превратились в верные равенства.

Если а то наши рассуждения не приводят к законченному результату, и мы оставим этот случай пока в стороне.

В формулах (2) знаменатель один и тот же. Числители же очень похожи по форме записи на знаменатель.

Для выражения существует специальное название

определителя матрицы и специальное обозначение:

С помощью обозначений для определителей формулы (2) за писываются в виде

Применяя, например, эти формулы к решению системы

Разумеется, понятие определителя было бы не нужным, если бы шла речь только о системах двух уравнений с двумя неизвестными. Результат может быть обобщен на линейные системы уравнений с неизвестными.

Рассмотрим еще случай Пусть дана система

Исключим сразу неизвестные у и . С этой целью умножим первое уравнение на второе на третье на и сложим. Получим

Ясно, что коэффициенты при у и z равны нулю.

Коэффициент при играет здесь такую же роль, как для систем второго порядка. Он называется определителем матрицы и обозначается:

В этих обозначениях, если определитель не равен нулю,

Аналогично,

Наш вывод имеет смысл при предположении, что решение существует. Однако, если подставить найденные выражения для х, у, z в исходную систему, можно убедиться в том, что все три уравнения обратятся в верные равенства.

Итак, мы показали, что формулы для решения в общем виде линейных систем уравнений при и имеют сходную структуру и основную роль в них играют определители второго порядка

и третьего порядка

Оба эти выражения представляют собой алгебраические суммы произведений элементов матриц, причем эти произведения составляются по одному элементу из каждой строки и по одному из каждого столбца. Все такие произведения входят в состав определителя. Произведения снабжаются знаками + и - по правилам

На этих рисунках соединены линиями элементы матрицы, составляющие произведения, входящие в определитель со знаками

Обратимся теперь к обобщению определителя для квадратных матриц любого порядка , исходя из формы этих выражений для

Здесь удобно обозначать элементы матрицы одной буквой, приписывая ей два индекса - номер строки и номер столбца. Дадим формальное определение определителя для квадратной матрицы порядка следующим образом:

Определителем квадратной матрицы порядка (или определителем порядка ) называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки, по одному из каждого столбца и снабженных знаками «плюс» и «минус» по некоторому определенному правилу.

К вопросу о том, что это за правило, мы обратимся в ближайшее время, а пока попытаемся записать символически сформулированное выше определение. В каждом слагаемом определителя мы будем записывать сомножители в порядке следования строк. Номера столбцов будут составлять в совокупности все числа от 1 до , в различных порядках, причем во всех возможных порядках, так как определитель, согласно данному определению, составлен из всех произведений элементов, взятых по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца. В буквенных обозначениях:

Здесь индексы пробегают все возможные перестановки чисел . Все перестановки должны быть разбиты на два класса так, чтобы одному классу соответствовали слагаемые со знаком «плюс», другому - со знаком «минус».