Вращение тела вокруг неподвижной оси. Вращательное движение твердого тела Вращательное движение тела

Вращательным называют такое движение, при котором две точки, связанные с телом, следовательно, и прямая, проходящая через эти точки, остаются неподвижными во время движения (рис. 2.16). Неподвижную прямую А В называют осью вращения.

Рис. 2.1В. К определению вращательного движения тела

Положение тела при вращательном движении определяет угол поворота ф, рад (см. рис. 2.16). При движении угол поворота меняется со временем, т.е. закон вращательного движения тела определяется как закон изменения во времени величины двугранного угла Ф = ф(/) между неподвижной полуплоскостью К () , проходящей через ось вращения, и подвижной п 1 полуплоскостью, связанной с телом и также проходящей через ось вращения.

Траектории всех точек тела при вращательном движении представляют собой концентрические окружности, расположенные в параллельных плоскостях с центрами на оси вращения.

Кинематические характеристики вращательного движения тела. Аналогично тому, как были введены кинематические характеристики для точки вводят кинематическое понятие, характеризующее быстроту изменения функции ф(с), которая определяет положение тела при вращательном движении, т.е. угловую скорость со = ф = с/ф/с//, размерность угловой скорости [со] = рад/с.

В технических расчетах часто используют выражение угловой скорости другой размерностью - через число оборотов в минуту: [я] = об/мин, а связь между п и со можно представить в виде: со = 27ш/60 = 7ш/30.

В общем случае угловая скорость изменяется во времени. Мерой быстроты изменения угловой скорости является угловое ускорение е = с/со/с//= со = ф, размерность углового ускорения [е] = рад/с 2 .

Введенные угловые кинематические характеристики полностью определяются заданием одной функции - угла поворота от времени.

Кинематические характеристики точек тела при вращательном движении. Рассмотрим точку М тела, находящуюся на расстоянии р от оси вращения. Эта точка движется по окружности радиуса р (рис. 2.17).

Рис. 2.17.

точек тела при его вращении

Длина дуги M Q M окружности радиуса р определяется как s = ptp, где ф - угол поворота, рад. В случае, если закон движения тела задан как ф = ф(г), то закон движения точки М по траектории определяет формула S = рф(7).

Пользуясь выражениями кинематических характеристик при естественном способе задания движения точки, получим кинематические характеристики для точек, вращающегося тела: скорость по формуле (2.6)

V = 5 = рф = рсо; (2.22)

касательное ускорение согласно выражению (2.12)

я т = К = сор = ер; (2.23)

нормальное ускорение по формуле (2.13)

а„ = И 2 /р = со 2 р 2 /р = огр; (2.24)

полное ускорение с использованием выражения (2.15)

а = -]а + а] = рх/е 2 + со 4 . (2.25)

За характеристику направления полного ускорения принимают р - угол отклонения вектора полного ускорения от радиуса окружности, описываемой точкой (рис. 2.18).

Из рис. 2.18 получаем

tgjLi = aja n =ре/рсо 2 =г/(о 2 . (2.26)

Рис. 2.18.

Отметим, что все кинематические характеристики точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям до оси вращения. Ве-

личины их определяют через производные одной и той же функции - угла поворота.

Векторные выражения для угловых и линейных кинематических характеристик. Для аналитического описания угловых кинематических характеристик вращающегося тела вместе с осью вращения вводят понятие вектора угла поворота (рис. 2.19): ф = ф(/)А:, где к - еди

ничный вектор оси вращения

1; к =соп51 .

Направлен вектор ф по этой оси так, чтобы с «конца» его видеть

поворот, происходящим против хода часовой стрелки.

Рис. 2.19.

характеристик в векторной форме

Если известен вектор ф(/), то все остальные угловые характеристики вращательного движения можно представить в векторной форме:

вектор угловой скорости со = ф = ф к. Направление вектора угловой скорости определяет знак производной угла поворота;
вектор углового ускорения є = со = ф к. Направление этого вектора определяет знак производной угловой скорости.

Введенные векторы со и є позволяют получить векторные выражения для кинематических характеристик точек (см. рис. 2.19).

Заметим, что модуль вектора скорости точки совпадает с модулем векторного произведения вектора угловой скорости и радиуса-вектора: |сох г = согвіпа = сор. Учитывая направления векторов со и г и правило направления векторного произведения, можно записать выражение для вектора скорости:

V = со хг.

Аналогично легко показать, что

? X Ґ
- егБіпа = єр = а т и

Сосор = со р = я.

(роме этого векторы этих кинематических характеристик совпадают по направлению с соответствующими векторными произведениями.

Следовательно, векторы касательного и нормального ускорений можно представить в виде векторных произведений:

(2.28)
(2.29)

а х = г х г

а = со х V.

Вращением твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором две точки тела остаются неподвижными в течение всего времени движения. При этом также остаются неподвижными все точки тела, расположенные на прямой, проходящей через его неподвижные точки. Эта прямая называется осью вращения тела .

Пусть точки A и B неподвижны. Вдоль оси вращения направим ось . Через ось вращения проведём неподвижную плоскость и подвижную , скреплённую с вращающимся телом (при ).

Положение плоскости и самого тела определяется двугранным углом между плоскостями и . Обозначим его . Угол называется углом поворота тела .

Положение тела относительно выбранной системы отсчета однозначно определяется в любой момент времени, если задано уравнение , где - любая дважды дифференцируемая функция времени. Это уравнение называется уравнением вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси .

У тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, одна степень свободы, так как его положение определяется заданием только одного параметра - угла .

Угол считается положительным, если он откладывается против часовой стрелки, и отрицательным - в противоположном направлении. Траектории точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружностями, расположенными в плоскостях перпендикулярных оси вращения.

Для характеристики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси введём понятия угловой скорости и углового ускорения.

Алгебраической угловой скоростью тела в какой-либо момент времени называется первая производная по времени от угла поворота в этот момент, то есть .

Угловая скорость является положительной величиной при вращении тела против часовой стрелки, так как угол поворота возрастает с течением времени, и отрицательной - при вращении тела по часовой стрелке, потому что угол поворота при этом убывает.

Размерность угловой скорости по определению:

В технике угловая скорость - это частота вращения, выраженная в оборотах в минуту. За одну минуту тело повернётся на угол , где n - число оборотов в минуту. Разделив этот угол на число секунд в минуте, получим

Алгебраическим угловым ускорением тела называется первая производная по времени от угловой скорости, то есть вторая производная от угла поворота т.е.

Размерность углового ускорения по определению:

Введем понятия векторов угловой скорости и углового ускорения тела.

И , где - единичный вектор оси вращения. Векторы и можно изображать в любых точках оси вращения, они являются скользящими векторами.

Алгебраическая угловая скорость это проекция вектора угловой скорости на ось вращения. Алгебраическое угловое ускорение это проекция вектора углового ускорения скорости на ось вращения.

При и тело вращается ускоренно в отрицательную сторону. Направление векторов и совпадают, оба они направлены в отрицательную сторону оси вращения .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Вращательным движением твердого тела будем называть такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и ой же прямой, называемой осью вращения.

Для изучения динамики вращательного к известным кинематическим величинам добавляются ещё две величины : момент силы (M) и момент инерции (J).

1. Из опыта известно: ускорение вращательного движения зависит не только от величины силы, действующей на тело, но и от расстояния от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила. Для характеристики этого обстоятельства вводится физическая величина называемая моментом силы .

Рассмотрим простейший случай.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Моментом силы относительно некоторой точки “O” называется векторная величина , определяемая выражением , где – радиус-вектор, проведенный из точки “O” в точку приложения силы.

Из определения следует, что является аксиальным вектором. Его направление выбрано так, что вращение вектора вокруг точки “O” в направлении силы и вектор образуют правовинтовую систему. Модуль момента силы равен , где a – угол между направлениями векторов и , а l = r·sin a – длина перпендикуляра, опущенного из точки “O” на прямую, вдоль которой действует сила (называется плечом силы относительно точки “O”) (рис. 4.2).

2. Опытные данные свидетельствуют, что на величину углового ускорения оказывает влияние не только масса вращающегося тела, но и распределение массы относительно оси вращения. Величина, учитывающая это обстоятельство, носит название момента инерции относительно оси вращения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Строго говоря, моментом инерции тела относительно некоторой оси вращения называется величина J, равная сумме произведений элементарных масс на квадраты их расстояний от данной оси .

Суммирование проводится по всем элементарным массам, на которые было разбито тело. Следует иметь ввиду, что эта величина (J) существует безотносительно к вращению (хотя понятие момента инерции было введено при рассмотрении вращения твердого тела).

Каждое тело независимо от того покоится оно или вращается обладает определенным моментом инерции относительно любой оси, подобно тому как тело обладает массой независимо от того движется оно или покоится.

Учитывая, что , момент инерции можно представить в виде: . Это соотношение приближенно и оно будет тем точнее, чем меньше элементарные объемы и соответствующие им элементы массы. Следовательно, задача нахождения моментов инерции сводится к интегрированию: . Здесь интегрирование проводится по всему объему тела.

Запишем моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы.

1. Однородный длинный стержень.
Рис. 4.3	Момент инерции относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину равен
2. Сплошной цилиндр или диск.
Рис. 4.4	Момент инерции относительно оси, совпадающей с геометрической осью, равен .
3. Тонкостенный цилиндр радиуса R.
Рис. 4.5
4. Момент инерции шара радиуса R относительно оси, проходящей через его центр
Рис. 4.6
5. Момент инерции тонкого диска (толщина b<
Рис. 4.7
6. Момент инерции бруска
Рис. 4.8
7. Момент инерции кольца
Рис. 4.9

Вычисления момента инерции здесь достаточно просты, т.к. тело предполагаем однородным и симметричным, а момент инерции определяем относительно оси симметрии.

Для определения момента инерции тела относительно любой оси необходимо воспользоваться теоремой Штейнера.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J с относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (рис. 4.10).

Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси (оси вращения) называется такое его движение, при котором точки тела, лежащие на оси вращения, остаются неподвижными в течение всего времени движения.

Пусть осью вращения является ось , которая может иметь в пространстве любое направление. Одно направление оси принимается за положительное (рис. 28).

Через ось вращения проведем неподвижную плоскость и подвижную , скрепленную с вращающимся телом. Пусть в начальный момент времени обе плоскости совпадают. Тогда в момент времени положение подвижной плоскости и самого вращающегося тела можно определить двугранным углом между плоскостями и соответствующим линейным углом между прямыми, расположенными в этих плоскостях и перпендикулярными оси вращения. Угол называется углом поворота тела .

Положение тела относительно выбранной системы отсчета полностью определяется в любой момент времени, если задано уравнение

где – любая, дважды дифференцируемая функция времени. Это уравнение называют уравнением вращения твердого тела вокруг неподвижной оси .

У тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, одна степень свободы, так как его положение определяется заданием только одного параметра – угла .

Угол считается положительным, если он откладывается против часовой стрелки, и отрицательным – в противоположном направлении, если смотреть с положительного направления оси . Траектории точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружностями, расположенными в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Для характеристики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси введем понятия угловой скорости и углового ускорения. Алгебраической угловой скоростью тела в какой-либо момент времени называют первую производную по времени от угла поворота в этот момент, т.е. . Она является величиной положительной при вращении тела против часовой стрелки, так как угол поворота возрастает с течением времени, и отрицательной – при вращении тела по часовой стрелке, потому что угол поворота при этом убывает.

Модуль угловой скорости обозначают . Тогда

Алгебраическим угловым ускорением тела называют первую производную по времени от алгебраической скорости, т.е. вторую производную от угла поворота . Модуль углового ускорения обозначим , тогда

Если при , то алгебраическая угловая скорость возрастает с течением времени и, следовательно, тело вращается ускоренно в рассматриваемый момент времени в положительную сторону (против часовой стрелки). При и , тело вращается ускоренно в отрицательную сторону. Если при , то имеем замедленное вращение в положительную сторону. При и замедленное вращение совершается в отрицательную сторону.

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие – нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно связанные с ним), остаются во все время движения неподвижными (рис. 2.2).

Рисунок 2.2

Проходящая через неподвижные точки А иВ прямая называетсяосью вращения. Так как расстояние между точками твердого тела должны оставаться неизменными, то очевидно, что при вращательном движении все точки, принадлежащие оси будут неподвижны, а все остальные будут описывать окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси. Для определения положения вращающегося тела проведем через ось вращения, вдоль которой направлена осьAz , полуплоскостьІ – неподвижную и полуплоскостьІІ врезанную в само тело и вращающуюся вместе с ним. Тогда положение тела в любой момент времени однозначно определится взятым с соответствующим знаком угломφ между этими плоскостями, который назовемуглом поворота тела. Будем считать уголφ положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца осиAz ), а отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измерять уголφ будем в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость углаφ от времениt , т.е.

Это уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость ω и угловое ускорениеε.

9.2.1. Угловая скорость и угловое ускорение тела

Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота φ с течением времени, называется угловой скоростью.

Если за промежуток времени
тело совершает поворот на угол
, то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет
. В пределе при
получим

Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени.

Правило знаков: когда вращение происходит против хода часовой стрелки, ω> 0, а когда по ходу часовой стрелки, тоω< 0.

или, так как радиан – величина безразмерная,
.

В теоретических выкладках удобнее пользоваться вектором угловой скорости , модуль которого равени который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно против хода часовой стрелки. Этот вектор сразу определяет и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси.

Величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течением времени, называется угловым ускорением тела.

Если за промежуток времени
приращение угловой скорости равно
, то отношение
, т.е. определяет значение среднего ускорения вращающегося тела за время
.

При стремлении
получаем величину углового ускорения в моментt :

Таким образом, числовое значение углового ускорения тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела во времени.

В качестве единицы измерения обычно применяют или, что тоже,
.

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным , а если убывает, -замедленным. Когда величиныω иε имеют одинаковые знаки, то вращение будет ускоренным, когда разные – замедленным.По аналогии с угловой скоростью угловое ускорение также можно изобразить в виде вектора, направленного вдоль оси вращения. При этом

Если тело вращается ускоренно направление совпадает с, и противоположнопри замедленном вращении.

Если угловая скорость тела остается во время движения постоянной (ω= const ), то вращение тела называетсяравномерным .

Из
имеем
. Отсюда, считая, что в начальный момент времени
угол
, и беря интегралы слева отдо, а справа от 0 доt , получим окончательно

При равномерном вращении, когда =0,
и
.

Скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через n об/мин. Найдем зависимость междуn об/мин иω 1/с. При одном обороте тело повернется на 2π, а приn оборотах на 2π n ; этот поворот делается за 1 мин, т.е.t = 1мин=60с. Из этого следует, что

Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным (ε= const ), то вращение называетсяравнопеременным .

В начальный момент времени t =0 угол
, а угловая скорость
(- начальная угловая скорость).
;
=ε
. Интегрируя левую часть отдо, а правую от 0 доt , найдем

Угловая скорость ω этого вращения
. Если ω и ε имеют одинаковые знаки, вращение будетравноускоренным , а если разные –равнозамедленным.