Обобщенный закон гука. Закон упругой деформации Допускаемые напряжения. Расчеты по допускаемым напряжениям

Устройство динамометров - приборов для определения сил - основано на том, что упругая деформация прямо пропорциональна силе, вызывающей эту деформацию. Примером сказанного служит всем известный пружинный безмен.

Связь между упругими деформациями и внутренними силами в материале впервые была установлена английским ученым Р. Гуком. В настоящее время закон Гука формулируется следующим образом: механическое напряжение в упруго деформированном теле прямо пропорционально относительной деформации этого телах

Величина характеризующая зависимость механического напряжения в материале от рода последнего и от внешних условий, называется модулем упругости. Модуль упругости измеряется механическим напряжением, которое должно возникнуть в материале при относительной упругой деформации, равной единице.

Отметим, что относительная упругая деформация обычно выражается числом, много меньшим единицы. За редким исключением, получить равное единице, практически невозможно, так как материал задолго до этого разрушается. Однако модуль упругости можно найти из опыта как отношение и при малом так как в формуле (11.5) - величина постоянная.

Единицей модуля упругости в СИ является 1 Па. (Докажите это.)

Рассмотрим в качестве примера применение закона Гука к деформации одностороннего растяжения или сжатия. Формула (11.5) для этого случая принимает вид

где Е обозначает модуль упругости для этого вида деформации; его называют модулем Юнга. Модуль Юнга измеряется нормальным напряжением, которое должно возникнуть в материале

при относительной деформации, равной единице, т. е. при увеличении длины образца вдвое Числовое значение модуля Юнга определяют из опытов, проведенных в пределах упругой деформации, и при расчетах берут из таблиц.

Поскольку из (11.6) получаем откуда

Таким образом, абсолютная деформация при продольном растяжении или сжатии прямо пропорциональна действующей на тело силе и длине тела, обратно пропорциональна площади поперечного сечения тела и зависит от рода вещества.

Наибольшее напряжение в материале, после исчезновения которого форма и объем тела восстанавливаются, называется пределом упругости. Формулы (11.5) и (11.7) справедливы, пока не перейден предел упругости. При достижении предела упругости в теле возникают пластические деформации. В этом случае может наступить момент, когда при одной и той же нагрузке деформация начнет возрастать и материал разрушается. Нагрузку, при которой в материале возникает наибольшее возможное механическое напряжение, называют разрушающей.

При постройке машин и сооружений всегда создают запас прочности. Запасом прочности называется величина, показывающая, во сколько раз фактическая максимальная нагрузка в самом напряженном месте конструкции меньше, чем разрушающая нагрузка.

Силовые факторы и деформации, возникающие в брусе, тесно связаны между собой. Эта связь между нагрузкой и деформацией была сформулирована впервые Робертом Гуком в 1678 году. При растяжении или сжатии бруса закон Гука выражает прямую пропорциональность между напряжением и относительной деформацией, где Е модуль продольной упругости материала или модуль Юнга, который имеет размерность [МПа]:

Коэффициент пропорциональности Е характеризует сопротивляемость материала бруса продольным деформациям. Величина модуля упругости устанавливается экспериментально. Значения Е для различных материалов приведены в таблице 7.1.

Для однородных и изотропных материалов Е – const, тогда и напряжение тоже величина постоянная.

Как показано ранее, при растяжении (сжатии) нормальные напряжения определяются из соотношения

а относительная деформация – по формуле (7.1). Подставляя значения величин из формул (7.5) и (7.1) в выражение закона Гука (7.4), получаем

отсюда находим– удлинение (укорочение), получаемое брусом.

Величина ЕA , стоящая в знаменателе, называется жесткостью сечения при растяжении (сжатии). Если брус состоит из нескольких участков, то полная его деформация определится как алгебраическая сумма деформаций отдельных i -x участков:

Для определения деформации бруса в каждом его сечении строят эпюры продольных деформаций (эпюра).

Т а б л и ц а 7.2 – Значения модулей упругости для различных материалов

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Прикладная механика

Белорусский государственный университет транспорта.. кафедра техническая физика и теоретическая механика..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

УПРУГОСТЬ, МОДУЛЬ УПРУГОСТИ, ЗАКОН ГУКА. Упругость – свойство тела деформироваться под действием нагрузки и восстанавливать первоначальную форму и размеры после ее снятия. Проявление упругости лучше всего проследить, проведя простой опыт с пружинными весами – динамометром, схема которого показана на рис.1.

При нагрузке в 1 кг стрелка-индикатор сместится на 1 деление, при 2 кг – на два деления, и так далее. Если нагрузки последовательно снимать, процесс идет в обратную сторону. Пружина динамометра – упругое тело, ее удлинение D l , во-первых, пропорционально нагрузке P и, во-вторых полностью исчезает при полном снятии нагрузки. Если построить график, отложить по вертикали оси величины нагрузки, а по горизонтальной – удлинение пружины, то получаются точки, лежащие на прямой, проходящей через начало координат, рис.2. Это справедливо как для точек, изображающих процесс нагружения так и для точек, соответствующих нагрузке.

Угол наклона прямой характеризует способность пружины сопротивляться действию нагрузки: ясно, что «слабая» пружина (рис.3). Эти графики называются характеристиками пружины.

Тангенс угла наклона характеристики называется жесткостью пружины С . Теперь можно записать уравнение деформирования пружины D l = P / C

Жесткость пружины С имеет размерность кг / см\up122 и зависит от материала пружины (например, сталь или бронза) и ее размеров – длины пружины, диаметра ее витка и толщины проволоки, из которой она сделана.

В той или иной мере все тела, которые можно считать твердыми, обладают свойством упругости, но заметить это обстоятельство можно далеко не всегда: упругие деформации обычно очень малы и наблюдать их без специальных приборов удается практически только при деформировании пластинок, струн, пружин, гибких стержней.

Прямым следствием упругих деформаций являются упругие колебания конструкций и природных объектов. Можно легко обнаружить дрожание стального моста, по которому идет поезд;иногда можно услышать, как звенит посуда, когда на улице проезжает тяжелый грузовик; все струнные музыкальные инструменты так или иначе преобразуют упругие колебания струн в колебания частичек воздуха;в ударных инструментах тоже упругие колебания (например, мембраны барабана) преобразуются в звук.

При землетрясении происходят упругие колебания поверхности земной коры; при сильном землетрясении кроме упругих деформаций возникают пластические (которые остаются после катаклизма как изменения микрорельефа), а иногда появляются трещины. Эти явления не относятся к упругости: можно сказать, что в процессе деформирования твердого тела сначала всегда появляются упругие деформации, потом пластические, и, наконец, образуются микротрещины. Упругие деформации очень малы – не больше 1%, а пластические могут достигнуть 5–10% и более, поэтому обычное представление о деформациях относится к пластическим деформациям – например, пластилин или медная проволока. Однако, несмотря на свою малость, упругие деформации играют важнейшую роль в технике: расчет на прочность авиалайнеров, подводных лодок, танкеров, мостов, туннелей, космических ракет – это, в первую очередь, научный анализ малых упругих деформаций, возникающих в перечисленных объектах под действием эксплуатационных нагрузок.

Еще в неолите наши предки изобрели первое дальнобойное оружие – лук и стрелы, используя упругость изогнутой ветки дерева; потом катапульты и баллисты, построенные для метания больших камней, использовали упругость канатов, свитых из растительных волокон или даже из женских длинных волос. Эти примеры доказывают, что проявление упругих свойств было давно известно и давно использовалось людьми. Но понимание того, что любое твердое тело под действием даже небольших нагрузок обязательно деформируется, хотя и на очень малую величину, впервые появилось в 1660 у Роберта Гука , современника и коллеги великого Ньютона . Гук был выдающимся ученым, инженером и архитектором. В 1676 он сформулировал свое открытие очень кратко, в виде латинского афоризма: «Ut tensio sic vis», смысл которого состоит в том, что «какова сила, таково и удлинение». Но опубликовал Гук не этот тезис, а только его анаграмму: «ceiiinosssttuu». (Таким образом тогда обеспечивали приоритет, не раскрывая сути открытия.)

Вероятно, в это время Гук уже понимал, что упругость – универсальное свойство твердых тел, но считал необходимым подтвердить свою уверенность экспериментально. В 1678 вышла книга Гука, посвященная упругости, где описывались опыты, из которых следует, что упругость есть свойство «металлов, дерева, каменных пород, кирпича, волос, рога, шелка, кости, мышцы, стекла и т.п.» Там же была расшифрована анаграмма. Исследования Роберта Гука привели не только к открытию фундаментального закона упругости, но и к изобретению пружинных хронометров (до того были только маятниковые). Изучая различные упругие тела (пружины, стержни, луки), Гук установил, что «коэффициент пропорциональности» (в частности, жесткость пружины) сильно зависит от формы и размеров упругого тела, хотя материал играет решающую роль.

Прошло более ста лет, в течение которых опыты с упругими материалами проводили Бойль, Кулон, Навье и некоторые другие, менее известные физики. Одним из основных опытов стало растяжение пробного стержня из изучаемого материала. Для сравнения результатов, полученных в разных лабораториях, нужно было либо использовать всегда одинаковые образцы, либо научиться исключать слияние размеров образца. И в 1807 появилась книга Томаса Юнга, в которой был введен модуль упругости – величина, описывающая свойство упругости материала независимо от формы и размеров образца, который использовался в опыте. Для этого нужно силу P , приложенную к образцу, разделить на площадь сечения F , а произошедшее при этом удлинение D l разделить на первоначальную длину образца l . Соответствующие отношения – это напряжение s и деформация e .

Теперь закон Гука о пропорциональности можно записать в виде:

s = Е e

Коэффициент пропорциональности Е называется модулем Юнга, имеет размерность, как у напряжения (МПа), а обозначение его есть первая буква латинского слова elasticitat – упругость.

Модуль упругости Е – это характеристика материала того же типа, как его плотность или теплопроводность.

В обычных условиях, чтобы продеформировать твердое тело, требуется значительная сила. Это означает, что модуль Е должен быть большой величиной – по сравнению с предельными напряжениями, после которых упругие деформации сменяются пластическими и форма тела заметно искажается.

Если измерять величину модуля Е в мегапаскалях (МПа), получатся такие средние значения:

Физическая природа упругости связана с электромагнитным взаимодействием (в том числе с силами Ван-дер-Ваальса в решетке кристалла). Можно считать, что упругие деформации связаны с изменением расстояния между атомами.

Упругий стержень имеет еще одно фундаментальное свойство – утоньшаться при растяжении. То, что канаты при растяжении становятся тоньше, было известно давно, но специально поставленные опыты показали, что при растяжении упругого стержня всегда имеет место закономерность: если измерить поперечную деформацию e ", т.е. уменьшение ширины стержня d b , деленное на первоначальную ширину b , т.е.

и разделить ее на продольную деформацию e , то это отношение остается постоянным при всех значениях растягивающей силы P , то есть

(Полагают, что e "< 0 ; поэтому используется абсолютная величина). Константа v называется коэффициентом Пуассона (по имени французского математика и механика Симона Дени Пуассона) и зависит только от материала стержня, но не зависит от его размеров и формы сечения. Величина коэффициента Пуассона для разных материалов изменяется от 0 (у пробки) до 0,5 (у резины). В последнем случае объем образца в процессе растяжения не изменяется (такие материалы называются несжимаемыми). Для металлов значения различны, но близки к 0,3.

Модуль упругости E и коэффициент Пуассона вместе образуют пару величин, которые полностью характеризуют упругие свойства любого конкретного материала (имеются в виду изотропные материалы, т.е. такие, у которых свойства не зависят от направления; пример древесины показывает, что это не всегда так – ее свойства вдоль волокон и поперек волокон сильно различаются. Это – анизотропный материал. Анизотропными материалами являются монокристаллы, многие композиционные материалы (композиты) типа стеклопластика. Такие материалы тоже в известных пределах обладают упругостью, но само явление оказывается значительно более сложным).

Растяжение (сжатие) стержня возникает от действия внешних сил, направленных вдоль его оси. Растяжение (сжатие) характеризуется:  абсолютным удлинением (укорочением) Δl ;

 относительной продольной деформацией ε= Δl/ l

 относительной поперечной деформацией ε`= Δa / a = Δb / b

При упругих деформациях междуσ и ε существует зависимость, описываемая законом Гука, ε=σ/E, где Е – модуль упругости I рода (модуль Юнга), Па.Физический смысл модуля Юнга: Модуль упругости численно равен напряжению, при котором абсолютное удлинение стержня равно его первоначальной длине , т.е. Е=σ при ε=1.

14. Механические свойства конструкционных материалов. Диаграмма растяжения.

К механическим свойствам материалов относятся прочностные показатели  предел прочности σ в, предел текучести σ т, и предел выносливости σ -1 ; характеристика жесткости  модуль упругости Е и модуль сдвига G; характеристика сопротивления контактным напряжениям  поверхностная твердость НВ, HRC; показатели эластичности  относительное удлинение δ и относительное поперечное сужение φ; ударная вязкость а.

Графическое представление зависимости между действующей силой F и удлинением Δl называется диаграммой растяжения (сжатия) образца Δl = f (F ).

Характерные точки и участки диаграммы:0-1  участок прямолинейной зависимости между нормальным напряжением и относительным удлинением, что отражает закон Гука. Точка 1 соответствует пределу пропорциональности σ пц =F пц /А 0 , где F пц  нагрузка, соответствующая пределу пропорциональности. Точка 1` соответствует пределу упругости σ у, т.е. наибольшему напряжению, при котором в материале еще нет остаточных деформаций. В точке 2 диаграммы материал переходит в область пластичности - наступает явление текучести материала. Участок 2-3 параллелен оси абсцисс (площадка текучести). На участке 3-4 наблюдается упрочнение материала. В точке 4 происходит местное сужение образца. Отношение σ в =F в /А 0 называется пределом прочности. В точке 5 происходит разрыв образца при разрушающей нагрузке F разр.

15. Допускаемые напряжения. Расчеты по допускаемым напряжениям.

Напряжения, при которых образец из данного материала разрушается или при которых развиваются значительные пластические деформации, называется предельными. Эти напряжения зависят от свойств материала и вида деформации. Напряжение, величина которого регламентируется техническими условиями, называется допускаемым. Допускаемые напряжения устанавливаются с учетом материала конструкции и изменяемости его механических свойств в процессе эксплуатации, степени ответственности конструкции, точности задания нагрузок, срока службы конструкции, точности расчетов на статическую и динамическую прочность.

Для пластичных материалов допускаемые напряжения [σ] выбирают так, чтобы при любых неточностях расчета или непредвиденных условиях эксплуатации в материале не возникло остаточных деформаций, т.е. [σ] = σ 0,2 /[n] т, где [n] т  коэффициент запаса прочности по отношению к σ т.

Для хрупких материалов допускаемые напряжения назначаются из условия, что материал не разрушится. В этом случае [σ] = σ в /[n] в. Таким образом, коэффициент запаса прочности [n] имеет сложную структуру и предназначен для гарантии прочности конструкции от любых случайностей и неточностей, возникающих при проектировании и эксплуатации конструкции.

Под действием внешних сил, приложенных к телу, оно может изменять свою форму или объем – деформироваться.

При деформации тела внутри него возникают противодействующие силы- силыупругости , которые по своей природе являются молекулярными силами и в конечном счёте имеют электрическую природу (см. рис.1).

В отсутствие деформации расстояние между молекулами равно r o и силы притяжения и отталкивания компенсируют друг друга. При сжатии тела (r < r o) силы отталкивания будут больше сил притяжения ( от > пр ) и наоборот, при растяжении (r > r o) – большими будут силы молекулярного притяжения. В обоих случаях молекулярные силы (силы упругости) стремятся восстановить первоначальную форму или объём тела. Это свойство тел называется упругостью.

Если после прекращения действия силы тело полностью восстанавливает свою прежнюю форму (или объём), то такая деформация называется упругой , а тело упругим

Рис. 1

Если форма тела (или его объём) полностью не восстанавливается, то деформация называетсянеупругой или пластичной, а тело – пластичным. Идеально упругих и пластичных тел не существует. Реальные тела, как правило, сохраняют упругость лишь при достаточно малых деформациях, а при больших становятся пластичными.

В зависимости от действующих сил различают следующие виды деформаций: растяжение, сжатие, изгиб, сдвиг, кручение. Каждый вид деформации вызывает появление соответствующей силы упругости.

Опыт показывает, что сила упругости , возникающая при малых деформациях любого вида, пропорциональна величине деформации (смещению) - закон Гука .

= , (1)

где к – коэффициент пропорциональности, постоянная величина для данной деформации данного твердого тела.

Знак (-) показывает на противоположность направлений силы упругости и смещения.

Теория упругости говорит о том, что все виды деформации можно свести к одновременно действующим деформации растяжения (или сжатия) и сдвига.

Рассмотрим более подробно деформацию растяжения.

Пусть к нижнему концу закрепленного стержня длиной х и площадью поперечного сечения S (см. рис 2) приложена деформирующая сила . Стержень удлинится на величину , и в нем возникает сила упругости , которая по третьему закону Ньютона равна по величине и противоположна по направлению деформирующий силе .

Учитывая соотношение (2), закон Гука можно записать так:

или величина деформации прямо пропорциональна деформирующей. силе.. При продольной деформации степень деформации,

Рис. 2 испытываемой телом, принято характеризовать не абсолютным удлинением , а относительным удлинением

ε = , (3)

а деформирующее действие силы – напряжением

σ = , (4)

т.е. отношением деформирующей силы к площади поперечного сечения стержня.

Напряжение измеряется в Па (1 Па = 1 ).

Благодаря взаимодействию частей тела напряжение, создаваемое деформирующей силой, передается во все точки тела – весь объем тела оказывается в напряженном состоянии.

Английский ученый Гук экспериментально установил, что для малых деформаций относительное удлинение ε прямо пропорционально напряжению

σ = ε (5) -

закон Гука для деформации растяжения (сжатия).

Здесь коэффициент пропорциональности Е – модуль Юнга – не зависит от размеров тела и характеризует упругие свойства материала, из которого изготовлено тело.

Если в формуле 5 принять ε = , т.е. , то = σ т.е. модуль Юнга есть величина, численно равная напряжению, при котором длина стержня увеличивается в 2 раза. Измеряется в Па(1 Па = 1 ) .

Фактически удвоение длины можно наблюдать лишь для каучука и некоторых полимеров. Для других материалов нарушение прочности происходит задолго до того, как длина образца удвоится.

Типичная зависимость между напряжением σ и относительной деформацией показана на (рис. 3).

Рис. 3

При относительно небольших напряжениях деформация упругая (участок ОВ ), и здесь выполняется закон Гука, согласно которому напряжение пропорционально деформации. Наибольшее напряжение σ упр. при котором деформация ещё остаётся упругой, называется пределом упругости . Далее деформация становится пластичной (участок ВС ), и при значении напряжения σ пр (предел прочности) происходит разрушение тела. Материалы,

для которых область пластичной деформации (ВС )

значительна, называются вязкими , для которых она практически отсутствует – хрупкими . Упругие свойства живых тканей определяются их строением. Композиционное строение кости придает ей нужные механические свойства: твердость, упругость, прочность. При небольших деформациях для неё выполняется закон Гука. Модуль Юнга кости Е ~ 10 гПа , предел прочности σ пр ~ 100 МПа .

Механические свойства кожи, мышц, сосудов, которые состоят из коллагена, эластинов и основной ткани, подобны механическим свойствам полимеров, состоящих из длинных, гибких, причудливо изогнутых молекул. При приложении нагрузки волокна распрямляются, а после снятия нагрузки возвращается в первоначальное состояние. Этим объясняется высокая эластичность мягких тканей. Закон Гука для них не выполняется, т.к. их модуль Юнга – переменная величина.