Какие бывают виды чисел, понятия и операции. Действительные числа, рациональные числа и иррациональные числа Натуральные числа обозначаются буквой

Понятие действительного числа: действительное число - (вещественное число), всякое неотрицательное или отрицательное число либо нуль. С помощью действительных чисел выражают измерения каждой физической величины .

Вещественное , или действительное число возникло из необходимости измерений геометрической и физической величин мира. Кроме того, для проведения операций извлечения корня, вычисления логарифма, решения алгебраических уравнений и т.д.

Натуральные числа образовались с развитием счета, а рациональные с потребностью управлять частями целого, то вещественные числа (действительные) используются для измерений непрерывных величин. Т.о., расширение запаса чисел, которые рассматриваются, привело к множеству вещественных чисел, которое кроме рациональных чисел состоит из других элементов, называемых иррациональные числа .

Множество действительных чисел (обозначается R ) - это множества рациональных и иррациональных чисел собранные вместе.

Действительные числа делят на рациональные и иррациональные .

Множество вещественных чисел обозначают и зачастую называют вещественной или числовой прямой . Вещественные числа состоят из простых объектов: целых и рациональных чисел .

Число, которое возможно записать как отношение, где m - целое число, а n - натуральное число, является рациональным числом .

Всякое рациональное число легко представить как конечную дробь либо бесконечную периодическую десятичную дробь.

Пример ,

Бесконечная десятичная дробь , это десятичная дробь, у которой после запятой есть бесконечное число цифр.

Числа, которые нельзя представить в виде , являются иррациональными числами .

Пример:

Всякое иррациональное число легко представить как бесконечную непериодическую десятичную дробь.

Пример ,

Рациональные и иррациональные числа создают множество действительных чисел. Всем действительным числам соответствует одна точка координатной прямой, которая называется числовая прямая .

Для числовых множеств используются обозначения:

N - множество натуральных чисел;
Z - множество целых чисел;
Q - множество рациональных чисел;
R - множество действительных чисел.

Теория бесконечных десятичных дробей.

Вещественное число определяется как бесконечная десятичная дробь , т.е.:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n …

где ± есть один из символов + или −, знак числа,

a 0 — целое положительное число,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… — последовательность десятичных знаков, т.е. элементов числового множества {0,1,…9}.

Бесконечную десятичную дробь можно объяснить как число, которое на числовой прямой находится между рациональными точками типа:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n и ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) для всех n=0,1,2,…

Сравнение вещественных чисел как бесконечных десятичных дробей происходит поразрядно. Например , предположим даны 2 положительны числа:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

Если a 0 0, то α<β ; если a 0 >b 0 то α>β . Когда a 0 =b 0 переходим к сравнению следующего разряда. И т.д. Когда α≠β , значит после конечного количества шагов встретится первый разряд n , такой что a n ≠b n . Если a n n , то α<β ; если a n >b n то α>β .

Но при этом нудно обратить внимание на то, что число a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Поэтому если запись одного из сравниваемых чисел, начиная с некоторого разряда это периодическая десятичная дробь, у которой в периоде стоит 9, то её нужно заменить на эквивалентную запись, с нулем в периоде.

Арифметические операции с бесконечными десятичными дробями это непрерывное продолжение соответствующих операций с рациональными числами. Например , суммой вещественных чисел α и β является вещественное число α+β , которое удовлетворяет таким условиям:

∀ a′,a′′,b′,b′′ ∈ Q(a′ ⩽ α ⩽ a′′) ∧ (b′ ⩽ β ⩽ b′′) ⇒ (a′+b′ ⩽ α + β ⩽ a′′+b′′)

Аналогично определяет операция умножения бесконечных десятичных дробей.

Числа – виды, понятия и операции, натуральные и другие виды чисел.

Число – фундаментальное понятие математики, служащее для определения количественной характеристики, нумерации, сравнения объектов и их частей. К числам применимы различные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и другие.

Числа, участвующие в операции, называются операндами. В зависимости от производимого действия, они получают различные наименования. В общем случае схему операции можно представить следующим образом: <операнд1> <знак операции> <операнд2> = <результат>.

В операции деления первый операнд называется делимым (так называется число, которое делят). Второй (на которое делят) – делитель, а результат – частное (оно показывает, во сколько раз делимое больше делителя).

Виды чисел

В операции деления могут участвовать различные числа. Результат деления может быть целым или дробным. В математике существуют следующие виды чисел:

Натуральные – числа, используемые при счёте. Среди них выделяется подмножество простых чисел, имеющих всего два делителя: единицу и самого себя. Все остальные, кроме 1, называются составными и имеют более двух делителей (примеры простых чисел: 2, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т.д.);
Целые – множество, состоящее их отрицательных, положительных чисел и нуля. При делении одного целого числа на другое, частное может быть целым, либо вещественным (дробным). Среди них можно выделить подмножество совершенных чисел – равных сумме всех своих делителей (включая 1), кроме самого себя. Древним грекам было известно только четыре совершенных числа. Последовательность совершенных чисел: 6, 28, 496, 8128, 33550336… До сих пор не известно ни одного нечётного совершенного числа;
Рациональные – представимые в виде дроби a/b, где а – числитель, а b – знаменатель (частное таких чисел обычно не вычисляется);
Действительные (вещественные) – содержащие целую и дробную часть. Множество включает рациональные и иррациональные числа (представимые в виде непериодической бесконечной десятичной дроби). Частное таких чисел, как правило, представляет собой вещественное значение.

Существует несколько особенностей, связанных с выполнением арифметического действия – деления. Их понимание важно для получения правильного результата:

Делить на ноль нельзя (в математике данная операция не имеет смысла);
Целочисленное деление – операция, в результате которой вычисляется только целая часть (дробная при этом отбрасывается);
Вычисление остатка от целочисленного деления позволяет получить в качестве результата целое число, оставшееся после завершения операции (например, при делении 17 на 2 целая часть равна 8, остаток – 1).

Найдите на числовой окружности точки с данной абсциссой. Координаты. Свойство координат точек. Центр числовой окружности. От окружности к тригонометру. Найдите на числовой окружности точки. Точки с абсциссой. Тригонометр. На числовой окружности укажите точку. Числовая окружность на координатной плоскости. Числовая окружность. Точки с ординатой. Назвать координату точки. Назвать линию и координату точки.

««Производные» 10 класс алгебра» - Применение производной для исследования функций. Производная равна нулю. Найдите точки. Обобщаем информацию. Характер монотонности функции. Применение производной к исследованию функций. Теоретическая разминка. Закончите формулировки утверждений. Выберите верное утверждение. Теорема. Сравните. Производная положительна. Сравните формулировки теорем. Функция возрастает. Достаточные условия экстремума.

««Тригонометрические уравнения» 10 класс» - Значения из промежутка. X= tg х. Укажите корни. Верно ли равенство. Серии корней. Уравнение ctg t = a. Определение. Cos 4x. Найти корни уравнения. Уравнение tg t = a. Sin х. Имеет ли смысл выражение. Sin x =1. Не делай никогда того, чего не знаешь. Продолжите фразу. Сделаем выборку корней. Решите уравнение. Ctg x = 1. Тригонометрические уравнения. Уравнение.

«Алгебра «Производные»» - Уравнение касательной. Происхождение терминов. Решить задачу. Производная. Материальная точка. Формулы дифференцирования. Механический смысл производной. Критерии оценок. Функция производная. Касательная к графику функции. Определение производной. Уравнение касательной к графику функции. Алгоритм отыскания производной. Пример нахождения производной. Структура изучения темы. Точка движется прямолинейно.

«Кратчайший путь» - Путь в орграфе. Пример двух разных графов. Ориентированные графы. Примеры ориентированных графов. Достижимость. Кратчайший путь из вершины A в вершину D. Описание алгоритма. Преимущества иерархического списка. Взвешенные графы. Путь в графе. Программа “ProGraph”. Смежные вершины и рёбра. Степень вершины. Матрица смежности. Длина пути во взвешенном графе. Пример матрицы смежности. Нахождение кратчайшего пути.

«История тригонометрии» - Якоб Бернулли. Техника оперирования с тригонометрическими функциями. Учение об измерении многогранников. Леонард Эйлер. Развитие тригонометрии с XVI века до нашего времени. Ученику приходится встречаться с тригонометрией трижды. До сих пор тригонометрия формировалась и развивалась. Построение общей системы тригонометрических и примыкающих к ним знаний. Проходит время, и тригонометрия возвращается к школьникам.

Это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3... и т.д.

Ноль не является натуральным.

Натуральные числа принято обозначать символом N .

Целые числа. Положительные и отрицательные числа

Два числа отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными , например, +1 и -1, +5 и -5. Знак "+" обычно не пишут, но предполагают, что перед числом стоит "+". Такие числа называются положительными . Числа, перед которыми стоит знак "-", называются отрицательными .

Натуральные числа, противоположные им и ноль называют целыми числами. Множество целых чисел обозначают символом Z .

Рациональные числа

Это конечные дроби и бесконечные периодические дроби. Например,

Множество рациональных чисел обозначается Q . Все целые числа являются рациональными.

Иррациональные числа

Бесконечная непериодическая дробь называется иррациональным числом. Например:

Множество иррациональных чисел обозначается J .

Действительные числа

Множество всех рациональных и всех иррациональных чисел называется множеством действительных (вещественных) чисел.

Действительные числа обозначаются символом R .

Округление чисел

Рассмотрим число 8,759123... . Округлить до целой части означает записать лишь ту часть числа, которая находится до запятой. Округлить до десятых означает записать целую часть и после запятой одну цифру; округлить до сотых - после запятой две цифры; до тысячных - три цифры и т.д.

Что такое число? ЧИСЛО - одно из основных понятий математики, зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. В связи со счётом отдельных предметов возникло понятие о целых положительных (натуральных) числах, а затем идея о безграничности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, Натуральные числа – это числа, используемые при счёте предметов. 1

История. На раскопках стойбища древних людей нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад, какой – то древний охотник нанёс пятьдесят пять зарубок. Видно, что, делая эти зарубки, он считал по пальцам. Узор на кости состоял из одиннадцати групп, по пять зарубок в каждой. При этом первые пять групп он отделил от остальных длинной чертой. Также в Сибири и в других местах были найдены, сделанные в ту же далёкую эпоху каменные орудия и украшения, на которых тоже были чёрточки и точки, сгруппированные по 3, по 5 или по 7.Кельты - древний народ, живший в Европе 2500 лет тому назад, являющиеся предками французов и англичан, считали двадцатками (две руки и две ноги давали двадцать пальцев). Следы этого сохранились во французском языке, где слово «восемьдесят» звучит как «четыре раза двадцать». Двадцатками считали и другие народы – предки датчан и голландцев, осетин и грузин. 2

Чётные и нечётные числа. Чётное число целое число, которое делится без остатка на 2: …, 2, 4, 6, 8, … Нечётное число целое число, которое не делится без остатка на 2: …, 1, 3, 5, 7, 9, … Пифагор определяя число как энергию и считал, что через науку о числах раскрывается тайна Вселенной, ибо число заключает в себе тайну вещей. Чётные числа Пифагор считал женскими, а нечётные – мужскими: 2+3=5 5- это символ семьи, брака. Чётные и нечётные числа = женские и мужские числа. 4

Простые и составные. Простое число – это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Последовательность простых чисел начинается так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, … Составные числа- это числа имеющие 3 и больше делителей. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. Таким образом, все натуральные числа больше единицы разбиваются на простые и составные. 5

Совершенные и несовершенные числа. Совершенные числа, целые положительные числа, равные сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Например, числа 6 = и 28 = являются совершенными. До сих пор (1976) неизвестно ни одного нечётного Сов. ч. и вопрос о существовании их остаётся открытым. Исследования о Сов. ч. были начаты пифагорейцами, приписывавшими особый мистический смысл числам и их сочетаниям. Несовершенными Пифагор называл числа, сумма правильных делителей, которых меньше его самого. 6

Магические числа. Секреты чисел привлекают людей, заставляют вникать, разбираться, сравнивать свои выводы с реальным соотношением дел. К цифрам в древнем мире относились очень трепетно. Люди, познавшие их, считались великими, их приравнивали к божествам. Самый простой пример – это отсутствие во многих странах самолётов с бортовым номером 13, этажей и номеров в гостиницах с номером «13». 8
Магический ряд 2 – число равновесия и контраста, и поддерживающие устойчивость, смешивающие позитивные и негативные качества. 6 – Символ надёжности. Это идеальное число, которое делится как на чётное число(2), так и на нечётное(3), таким образом, объединяя элементы каждого. 8 – Число материального успеха. Оно означает надёжность, доведённую до совершенства, поскольку представлено двойным квадратом. Разделённое пополам, оно имеет равные части (4 и 4). Если его ещё разделить, то части будут тоже равными (2, 2, 2, 2), показывая четырёхкратное равновесие. 9 – Число всеобщего успеха, самое большое из всех цифр. Как трёхкратное числу 3, девятка превращает неустойчивость в стремление. 10